专题二十二 图形的旋转-知识点与题型全解析(解析版)
22 图形的旋转
考点总结
【思维导图】
【知识要点】
知识点一旋转的基础
旋转的概念：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫作图形的旋转.点O叫作旋转中心，转动的角叫作旋转角.如图形上的点P经过旋转变化点P'，那么这两个点叫作这个旋转的对应点.
如图所示，A OB
''
?绕定点O逆时针旋转45?得到的，其中点A与点A'叫作对应点，线段OB与?是AOB
线段OB'叫作对应线段，OAB
∠与OA B'
∠）的度数叫
∠叫作对应角，点O叫作旋转中心，AOA'
∠（或BOB'
作旋转的角度. 【注意】
1.图形的旋转由旋转中心、旋转方向与旋转的角度所决定.
2.旋转中心可以是图形内，也可以是图形外。
【图形旋转的三要素】旋转中心、旋转方向和旋转角. 旋转的特征：
? 对应点到旋转中心的距离相等；
? 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； ? 旋转前、后的图形全等. 旋转作图的步骤方法：
? 确定旋转中心、旋转方向、旋转角； ? 找出图形上的关键点；
? 连接图形上的关键点与旋转中心，然后按旋转方向分别将它们旋转一定的角度，得到关键点的对应点； ? 按原图的顺序连接这些对应点，即得旋转后的图形. 平移、旋转、轴对称之间的联系：
变化后不改变图形的大小和形状，对应线段相等、对应角相等。 平移、旋转、轴对称之间的区别： 1） 变化方式不同：
平移：将一个图形沿某个方向移动一定距离。 旋转：将一个图形绕一个顶点沿某个方向转一定角度。 轴对称：将一个图形沿一条直线对折。 2） 对应线段、对应角之间的关系不同
平移： 变化前后对应线段平行（或在一条直线上），对应点连线平行（或在一条直线上），对应角的两边平行（或在一条直线上）、方向一致。
旋转： 变化前后任意一对对应点与旋转中心的连线所称的角都是旋转角。 轴对称：对应线段或延长线如果相交，那么交点在对称轴上。 3）确定条件不同
A
平移：距离与方向
旋转：旋转的三要素。
轴对称：对称轴
1．如图，将正方形ABCD中的阴影三角形绕点A顺时针旋转90°后，得到的图形为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
顺时针90°后，AD转到AB边上，所以，选A。
2．将数字“6”旋转180°，得到数字“9”；将数字“9”旋转180°，得到数字“6”．现将数字“69”旋转180°，得到的数字是（）
A．96B．69C．66D．99
【答案】B
【解析】
解：现将数字“69”旋转180°，得到的数字是：69．
故选B．
3．下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
试题分析：A、最小旋转角度=360
3
=120°；
B、最小旋转角度=360
4
=90°；
C、最小旋转角度=360
2
=180°；
D、最小旋转角度=360
5
=72°；
综上可得：顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是A．
故选A．
题型一图形旋转的概念与性质的应用方法
例1．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为25，DE=2，则AE的长为（）
A．5B C．7D
【答案】D
【解析】
∵把△ADE顺时针旋转△ABF的位置，
∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于25，
∴AD=DC=5，
∵DE=2，
∴Rt△ADE中，AE==
故选D．
跟踪训练一
1．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC的度数是()
A．55°B．60°C．65°D．70°
【答案】C
【解析】
∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．
∴∠DCE=∠ACB=20°，∠BCD=∠ACE=90°，AC=CE，
∴∠ACD=90°-20°=70°，
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴∠ADC+∠EDC=180°，
∵∠EDC+∠E+∠DCE=180°，
∴∠ADC=∠E+20°，
∵∠ACE=90°，AC=CE
∴∠DAC+∠E=90°，∠E=∠DAC=45°
在△ADC中，∠ADC+∠DAC+∠DCA=180°，
即45°+70°+∠ADC=180°，
解得：∠ADC=65°，
故选C．
2．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【答案】B
【解析】
∵△ADE是由△ABC绕点A旋转100°得到的，
∴∠BAD=100°，AD=AB ， ∵点D 在BC 的延长线上，
∴∠B=∠ADB=180100402
-=o o
o .
故选B.
3．如图，将ABC ?绕点C 顺时针旋转得到DEC ?，使点A 的对应点D 恰好落在边AB 上，点B 的对应点为E ，连接BE ．下列结论一定正确的是（ ）
A ．AC AD =
B ．AB EB ⊥
C ．BC DE =
D ．A EBC ∠=∠
【答案】D 【解析】
解：∵ABC ?绕点C 顺时针旋转得到DEC ?， ∴AC=CD ，BC=EC ，∠ACD=∠BCE ， ∴∠A=∠CDA=
180ACD 2∠?-；∠EBC=∠BEC=
180BCE
2
∠?-, ∴选项A 、C 不一定正确 ∴∠A =∠EBC ∴选项D 正确．
∵∠EBC=∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC=0180-∠ACB 不一定等于090， ∴选项B 不一定正确； 故选：D ．
4．如图，已知△AOB 是正三角形，OC ⊥OB ，OC=OB ，将△OAB 绕点O 按逆时针方向旋转，使得OA 与OC 重合，得到△OCD ，则旋转的角度是（ ）
A ．150°
B ．120°
C ．90°
D ．60°
【答案】A 【解析】
∠AOC 就是旋转角，根据等边三角形的性质，即可求解． 解：旋转角∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°+90°=150°． 故选A ．
题型二 确定旋转中心
例2．如图，在平面直角坐标系中，其中一个三角形是由另一个三角形绕某点旋转一定的角度得到的，则其旋转中心是（ ）
A ．（1，0）
B ．（﹣1，2）
C ．（0，0）
D ．（﹣1，1）
【答案】B 【解析】
解：作线段AB ，线段CD ，作线段AB 的垂直平分线MN ，线段CD 的垂直平分线EF ，直线MN 交直线EF 于点K ，点K 即为旋转中心．
观察图象可知旋转中心()K 1,2-， 故选：B ．
题型三 通过图形旋转相关知识作图
例3．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC 的顶点均在格点上，点B 的坐标为（1，0） （1）画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1；
（2）画出将△ABC 绕原点O 按逆时针旋转90°所得的△A 2B 2C 2；
（3）△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2成轴对称图形吗？若成轴对称图形，画出所有的对称轴；
（4）△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出所有的对称中心的坐标．
【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）作图见解析；（4）（1
2
，
1
2
）
【解析】
解：（1）根据题意，作图如下图所示：
（2）根据题意，作图如下图所示：
（3）成轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段，作它的垂直平分线，或连接A1C1，A2C2的中点的连线为对称轴．
（4）成中心对称，对称中心为线段BB2的中点P，坐标是（，）．
跟踪训练三
1．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣6，0）、C（﹣1，0）．
（1）画出△ABC关于原点成中心对称的三角形△A′B′C′；
（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，画出图形，直接写出点B的对应点B″的坐标；
（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
【答案】（1）图略；（2）图略，点B″的坐标为（0，﹣6）；（3）点D坐标为（﹣7，3）或（3，3）或（﹣5，﹣3）．
【解析】
解：（1）如图所示△A′B′C′即为所求；
（2）如图所示，△A′′B′′C′ ′即为所求；
（3）D（-7，3）或（-5，-3）或（3，3）．
当以BC为对角线时，点D3的坐标为（-5，-3）；
当以AB 为对角线时，点D 2的坐标为（-7，3）； 当以AC 为对角线时，点D 1坐标为（3，3）． 题型四 旋转与全等三角形相结合解题
例4．如图，在等边△ABC 中，点D 是 AB 边上一点，连接CD ，将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转60°后得到CE ，连接AE ．求证：AE ∥BC ．
【答案】见解析 【解析】
∵△ABC 是等边三角形, ∴AC=BC ,∠B =∠ACB =60°,
∵线段CD 绕点C 顺时针旋转60°得到CE , ∴CD=CE ,∠DCE =60°,
∴∠DCE =∠ACB ,即∠BCD +∠DCA =∠DCA +∠ACE , ∴∠BCD =∠ACE , 在△BCD 与△ACE 中,
BC AC BCD ACE DC EC =??
∠=∠??=?
, ∴△BCD ≌△ACE,
∴∠EAC=∠B=60°, ∴∠EAC=∠ACB, ∴AE ∥BC. 跟踪训练四
1．某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC 与AFE 按如图
（1）所示位置放置放置，现将Rt △AEF 绕A 点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），如图（2），AE 与BC 交于点M ，AC 与EF 交于点N ，BC 与EF 交于点P ． （1）求证：AM=AN ；
（2）当旋转角α=30°时，四边形ABPF 是什么样的特殊四边形？并说明理由． 【答案】（1）见解析. （2）见解析. 【解析】
解：（1）证明：∵用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC 与AFE 按如图（1）所示位置放置放置，现将Rt △AEF 绕A 点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°）， ∴AB=AF ，∠BAM=∠FAN.
∵在△ABM 和△AFN 中，FAN BAM
{AB AF
B F
∠=∠=∠=∠，
∴△ABM ≌△AFN （ASA ）. ∴AM=AN.
（2）当旋转角α=30°时，四边形ABPF 是菱形.理由如下：
连接AP ，
∵∠α=30°，∴∠FAN=30°.∴∠FAB=120°.
∵∠B=60°，∴AF ∥BP.∴∠F=∠FPC=60°. ∴∠FPC=∠B=60°.∴AB ∥FP. ∴四边形ABPF 是平行四边形.
∵AB=AF ，∴平行四边形ABPF 是菱形.
2．如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，把△ABC 绕A 点沿顺时针方向旋转得到△ADE ，连接BD ，CE 交于点F ．
（1）求证：△AEC ≌△ADB ；（2）若AB ＝2，∠BAC ＝45°，当四边形ADFC 是菱形时，求BF 的长． 【答案】（1）见解析；（2）BF
＝2． 【解析】
解：（1）由旋转的性质得：△ABC ≌△ADE ，且AB ＝AC ， ∴AE ＝AD ，AC ＝AB ，∠BAC ＝∠DAE ，
∴∠BAC+∠BAE ＝∠DAE+∠BAE ，即∠CAE ＝∠DAB ， 在△AEC 和△ADB 中，
AE AD CAE DAB AC AB =??
∠=∠??=?
， ∴△AEC ≌△ADB （SAS ）；
（2）∵四边形ADFC 是菱形，且∠BAC ＝45°， ∴∠DBA ＝∠BAC ＝45°， 由（1）得：AB ＝AD ， ∴∠DBA ＝∠BDA ＝45°，
∴△ABD 为直角边为2的等腰直角三角形， ∴BD 2＝2AB 2，即BD ＝
∴AD＝DF＝FC＝AC＝AB＝2，
∴BF＝BD﹣DF＝
﹣2．
题型五图形旋转综合题
例5如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D。
（1）求证：BE＝CF ；
（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长。
【答案】（1）证明见解析（2
-1
【解析】
（1）∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，
∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，
即∠EAB=∠FAC，
在△ACF和△ABE中，
AC AB
CAF BAE
AF AE
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
∴△ACF≌△ABE
∴BE=CF.
（2）∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1，∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，
∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°，∴∠AEB=∠ABE=45°，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴
，
∴BD=BE﹣1．
跟踪训练五
1．如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF=45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证：
（1）EA是∠QED的平分线；
（2）EF2=BE2+DF2．
【答案】详见解析.
【解析】
(1)、∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，∴QB=DF，AQ=AF，∠ABQ=∠ADF=45°，∴△AQE≌△AFE（SAS），∴∠AEQ=∠AEF，∴EA是∠QED的平分线；
(2)、由（1）得△AQE≌△AFE，∴QE=EF，在Rt△QBE中，
QB2+BE2=QE2，则EF2=BE2+DF2．
题型六图形旋转在开放性问题的应用
例6．思维启迪：（1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB交AP的延长线于点D，此时测得CD＝200米，那么A，B间的距离是米．
思维探索：（2）在△ABC 和△ADE 中，AC ＝BC ，AE ＝DE ，且AE ＜AC ，∠ACB ＝∠AED ＝90°，将△ADE 绕点A 顺时针方向旋转，把点E 在AC 边上时△ADE 的位置作为起始位置（此时点B 和点D 位于AC 的两侧），设旋转角为α，连接BD ，点P 是线段BD 的中点，连接PC ，PE ．
①如图2，当△ADE 在起始位置时，猜想：PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是 ；
②如图3，当α＝90°时，点D 落在AB 边上，请判断PC 与PE 的数量关系和位置关系，并证明你的结论； ③当α＝150°时，若BC ＝3，DE ＝l ，请直接写出PC 2的值．
【答案】（1）200；（2）①PC ＝PE ，PC ⊥PE ；②PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是PC ＝PE ，PC ⊥PE ，
见解析；③PC 2. 【分析】
（1）由CD ∥AB ，可得∠C ＝∠B ，根据∠APB ＝∠DPC 即可证明△ABP ≌△DCP ，即可得AB ＝CD ，即可解题．
（2）①延长EP 交BC 于F ，易证△FBP ≌△EDP （SAS ）可得△EFC 是等腰直角三角形，即可证明PC ＝PE ，PC ⊥PE ．
②作BF ∥DE ，交EP 延长线于点F ，连接CE 、CF ，易证△FBP ≌△EDP （SAS ），结合已知得BF ＝DE ＝AE ，再证明△FBC ≌△EAC （SAS ），可得△EFC 是等腰直角三角形，即可证明PC ＝PE ，PC ⊥PE ． ③作BF ∥DE ，交EP 延长线于点F ，连接CE 、CF ，过E 点作EH ⊥AC 交CA 延长线于H 点，由旋转旋转可知，∠CAE ＝150°，DE 与BC 所成夹角的锐角为30°，得∠FBC ＝∠EAC ，同②可证可得PC ＝PE ，PC ⊥PE ，
再由已知解三角形得∴EC 2＝CH 2+HE 2＝10+2211022
PC EC +==
【解析】
（1）解：∵CD ∥AB ，∴∠C ＝∠B ， 在△ABP 和△DCP 中，
APB DPC B C ?
∠=∠??∠=∠?
， ∴△ABP ≌△DCP （SAS ）， ∴DC ＝AB ． ∵AB ＝200米． ∴CD ＝200米， 故答案为：200．
（2）①PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是PC ＝PE ，PC ⊥PE ． 理由如下：如解图1，延长EP 交BC 于F ， 同（1）理，可知∴△FBP ≌△EDP （SAS ）， ∴PF ＝PE ，BF ＝DE ， 又∵AC ＝BC ，AE ＝DE ， ∴FC ＝EC ， 又∵∠ACB ＝90°，
∴△EFC 是等腰直角三角形， ∵EP ＝FP ，
∴PC ＝PE ，PC ⊥PE ．
②PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是PC ＝PE ，PC ⊥PE ．
理由如下：如解图2，作BF ∥DE ，交EP 延长线于点F ，连接CE 、CF ， 同①理，可知△FBP ≌△EDP （SAS ）， ∴BF ＝DE ，PE ＝PF ＝1
2
EF ， ∵DE ＝AE ， ∴BF ＝AE ，
∵当α＝90°时，∠EAC ＝90°， ∴ED ∥AC ，EA ∥BC ∵FB ∥AC ，∠FBC ＝90， ∴∠CBF ＝∠CAE ， 在△FBC 和△EAC 中，
CBE CAE BC AC ?
∠=∠??=?
， ∴△FBC ≌△EAC （SAS ）， ∴CF ＝CE ，∠FCB ＝∠ECA ， ∵∠ACB ＝90°， ∴∠FCE ＝90°，
∴△FCE 是等腰直角三角形， ∵EP ＝FP ，
∴CP ⊥EP ，CP ＝EP ＝
1
2
EF ． ③如解图3，作BF ∥DE ，交EP 延长线于点F ，连接CE 、CF ，过E 点作EH ⊥AC 交CA 延长线于H 点， 当α＝150°时，由旋转旋转可知，∠CAE ＝150°，DE 与BC 所成夹角的锐角为30°， ∴∠FBC ＝∠EAC ＝α＝150° 同②可得△FBP ≌△EDP （SAS ），
同②△FCE 是等腰直角三角形，CP ⊥EP ，CP ＝EP
， 在Rt △AHE 中，∠EAH ＝30°，AE ＝DE ＝1， ∴HE ＝
12，AH
＝2
， 又∵AC ＝AB ＝3， ∴CH ＝
∴EC 2＝CH 2+HE 2
＝10+∴PC 2
＝
212EC =
跟踪训练六
1．小明在数学活动课上，将边长为√2和3的两个正方形放置在直线l上，如图a,他连接AD、CF，经测量发现AD=CF．
（1）他将正方形ODEF绕O点逆时针针旋转一定的角度，如图b，试判断AD与CF还相等吗？说明理由．
（2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图c，请求出CF的长．
【答案】（1）详见解析（2）CF=√17
【分析】
（1）根据正方形的性质可得AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°，然后求出∠AOD=∠COF，再利用“边角边”证明△AOD和△COF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证。
（2）与（1）同理求出CF=AD，连接DF交OE于G，根据正方形的对角线互相垂直平分可得DF⊥OE，OE，再求出AG，然后利用勾股定理列式计算即可求出AD。
DG=OG1
2
【解析】
解：（1）AD=CF。理由如下：
在正方形ABCO和正方形ODEF中，∵AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°，
∴∠AOC+∠COD=∠DOF+∠COD，即∠AOD=∠COF。
在△AOD和△COF中，∵AO=CO，∠AOD=∠COF，OD=OF，
∴△AOD ≌△COF （SAS ）。 ∴AD=CF 。
（2）与（1）同理求出CF=AD ，
如图，连接DF 交OE 于G ，则DF ⊥OE ，DG=OG=1
2
OE ，
∵正方形ODEF 的边长为√2，∴OE=√2×√2=2。 ∴DG=OG=1
2OE=1
2×2=1。 ∴AG=AO+OG=3+1=4，
在Rt △ADG 中，AD =√AG 2+DG 2=√42+12=√17， ∴CF=AD=√17。
知识点二 中心对称与中心对称图形
中心对称概念：把一个图形绕着某一点旋转180?，如图它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫作对称中心（简称中心）.这两个图形再旋转后能重合的对应点叫作关于对称中心的对称点.
如图，ABO ?绕着点O 旋转180?后，与CDO ?完全重合，则称CDO ?和ABO ?关于点O 对称，点C 是点A 关于点O 的对称点.
中心对称图形概念：把一个图形绕着某一个点旋转180?，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 中心对称与中心对称图形的区别与联系：
O
D
A
B
C
中心对称的性质：
?中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；
?中心对称的两个图形是全等图形.
作中心对称图形的一般步骤（重点）：
?作出已知图形各顶点（或决定图形形状的关键点）关于中心的对称点——连接关键点和中心，并延长一倍确定关键的对称点.
?把各对称点按已知图形的连接方式依次连接起来，则所得到的图形就是已知图形关于对称中心对称的图形.
找对称中心的方法和步骤：
对于中心对称图形和关于某一点对称的两个图形，它们的对称中心非常重要，找不对称中心是解决先关问题的关键.由中心对称的特征可知，对称中心为对应点连线的中点或两组相对应点连线的交点，因此找对称中心的步骤如下：
方法1：连接两个对应点，取对应点连线的中点，则中点为对称中心.
方法2：连接两个对应点，在连接两个对应点，两组对应点连线的交点为对称中心.
关于原点对称的点的坐标规律
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点
P’(-x，-y)
1．以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】