2021届黑龙江大庆铁人中学高三上学期期中文科数学试卷

2021年黑龙江大庆铁人中学高三上学期期中文科数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．设集合{0,1,2}A =，2{|320}B x x x =-+≤，则A

B =（ ） A ．{1} B ．{2}

C ．{0,1}

D ．{1,2} 2．“如果x 、y ∈R ，且x 2＋y 2＝0，则x 、y 全为0”的否命题是（ ）

A ．若x 、y ∈R 且x 2＋y 2

≠0，则x 、y 全不为0

B ．若x 、y ∈R 且x 2＋y 2≠0，则x 、y 不全为0

C ．若x 、y ∈R 且x 、y 全为0，则x 2＋y 2＝0

D ．若x 、y ∈R 且x 、y 不全为0，则x 2＋y 2≠0 3．下列函数中，在区间()0+∞，

上为增函数的是（ ）

A ．ln(2)y x =+

B ．y =

C ．12x y ??= ???

D ．1y x x =+ 4．定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,21y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1

5．函数f （x ）＝ 的最小正周期和振幅分别是（ ）

A ．π，1

B ．π，2

C ．2π，1

D ．2π，2

6．已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 7＝－8，a 2＝2，则数列{a n }的公差d 等于（ ） A ．－1 B ．－2 C ．－3 D ．－4 7．已知向量a ＝（1，2），b ＝（2，－3）．若向量c 满足（c ＋a ）∥b ，c ⊥（a ＋b ）

，则c 等于（ ） A ． B ．

C ．

D ．

8．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=1，a n+1=3S n （n≥1），则a 6= （ ） A ．44+1 B ．3×44+1 C ．45 D ．3×44 9．已知函数f （x ）＝2ax 2＋4（a －3）x ＋5在区间（－∞，3）上是减函数，则a 的取

值范围是（）

A．（0，）B．（0，]

C．[0，）D．[0，]

10．已知△ABC的三边a，b，c成等差数列，且B＝，则cosA－cosC的值为（）

A．± B．

C． D．±

11．已知函数f（x）＝log a x（0

A．M B．N

C．P D．Q

12．如图，四边形OABC是边长为1的正方形，OD＝3，点P为△BCD内（含边界）的动点，设＝α＋β（α，β∈R），则α＋β的最大值等于（）

A． B． C． D．1

二、填空题

13．已知|a|＝2，|b|＝2，a与b的夹角为45°，且λb－a与a垂直，则实数λ＝________．

14．若幂函数f（x）的图象经过点A，设它在A点处的切线为l，则过点A与l 垂直的直线方程为________．

15．已知实数a、b、c、d成等比数列，且曲线y＝3x－x3的极大值点坐标为（b，c），则ad等于__________．

16．已知函数f（x）＝x3－3x，若过点A（1，m）（m≠－2）可作曲线y＝f（x）的三条切线，则实数m的取值范围为________．

三、解答题

17．在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝2A．

（1）求cos A的值；

（2）求c的值．

18．已知函数f（x）＝sin＋sin－2cos2x．

（1）求函数f（x）的值域及最小正周期；

（2）求函数y＝f（x）的单调增区间．

19．如图，四边形ABEF是等腰梯形，AB∥EF，AF＝BE＝2，EF＝4，AB＝2，ABCD 是矩形．AD⊥平面ABEF，其中Q，M分别是AC，EF的中点，P是BM中点．

（1）求证：PQ∥平面BCE；

（2）求证：AM⊥平面BCM；

（3）求点F到平面BCE的距离．

20．已知正项数列{a n}，{b n}满足：a1＝3，a2＝6，{b n}是等差数列，且对任意正整数n，都有b n，，b n＋1成等比数列．

（1）求数列{b n}的通项公式；

（2）求S n＝＋＋…＋．

21．椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为．（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．22．已知函数f（x）＝（ax－a＋2）·e x（其中a∈R）．

（1）求f（x）在[0，2]上的最大值；

（2）若函数g（x）＝a2x2－13ax－30，求a所能取到的最大正整数，使对任意x＞0，都有2f′（x）＞g（x）恒成立．

参考答案

1．D

【解析】

分析:先化简集合B,再求A∩B 得解.

详解：由题得{|12}B x x =≤≤，所以{}1,2A B ?=.故答案为D

点睛：本题主要考查集合和集合的交集运算，意在考查学生集合基础知识的掌握能力.要注

意集合A 和集合B 的交集是有限集，不要写成了不等式.

2．B

【解析】

试题分析：根据否命题的概念知，要否定条件，否定结论，、全为的否定是、不

全为，故选B ．

考点：否命题．

3．A

【分析】

根据指数函数，对数函数，幂函数，对勾函数的单调性以及复合函数的单调性法则，即可判断．

【详解】 对A ，函数ln(2)y x =+在()2-+∞，

上递增，所以在区间()0+∞，上为增函数，符合；

对B ，函数y =[)1,-+∞上递减，不存在增区间，不符合；

对C ，函数12x y ??= ???

在R 上递减，不存在增区间，不符合； 对D ，函数1y x x

=+

在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，不符合． 故选：A ．

【点睛】

本题主要考查指数函数，对数函数，幂函数，对勾函数的单调性以及复合函数的单调性法则的应用，属于容易题．

4．C

【解析】

由奇函数的概念可知，y ＝x 3，y ＝2sin x 是奇函数．

5．A

【解析】

试题分析：由正弦型函数的性质知，

，振幅为，故选A ．

考点：正弦型函数的性质．

6．C

【解析】

试题分析：由等差数列的性质知，

，所以，又，解得：，故选C ． 考点：1、等差数列的性质；2、等差数列的通项公式．

7．D

【解析】

试题分析：设(),c x y =，则()1,2c a x y +=++，()3,1a b +=-，因为()c a b +，()c a b ⊥+，所以

，，联立解得：，，

所以，故选D ． 考点：向量的平行与垂直．

8．D

【详解】

试题分析：因为

，所以，即，所以是以为首

项的等比数列，其通项公式，所以，故选D ． 考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的通项公式；3、数列前项和与通项关系．

9．D

【解析】

试题分析：当时，在区间上是减函数，符合题意，当时，

的对称轴方程，因为在区间上是减函数，所以抛物线开口向上，且对称轴，解得：，综上，故选D．

考点：函数的单调性．

10．D

【解析】

试题分析：三边成等差数列，且，所以，，利用正弦定理得：

，即，设，则有：

，展开整理得：，解得，故选D．

考点：1、等差中项；2正弦定理；3、两角和余弦公式；4、同角三角函数关系．

11．D

【解析】

试题分析：由导数的几何意义及两点连线的斜率知道，表示函数在点处的切线斜率，表示函数在点处的切线斜率，表示直线的斜率；表示直线的斜率，其中，由的图象知，斜率最大的是，所以最大，故选D．

考点：1、导数的几何意义；2、直线的斜率．

【思路点晴】本题主要考查的是对数函数的图象和导数的几何意义及两点连线的斜率公式，属于中档题．本题通过对四个值的几何意义的分析，有两个是过图象上两点的切线的斜率，有两个是过图象上两点之间割线的斜率，根据图象结合直线倾斜角可以看出的值最大，本题对数形结合的方法要求较高．

12．B

【解析】

试题分析：以

为原点，以所在直线为轴建立直角坐标系，设点，因为

＝α

＋β， 则

，所以，由于点在内（包含边界），目标函数为

，如图所示，当点为点时，取得最大值，其最大值为，故选B ．

考点：1、向量的坐标运算；2、线性规划．

【方法点晴】本题主要考查的是向量的坐标运算和线性规划问题，属于难题．本题通过建立坐标系，将向量的运算转化为坐标运算，降低了问题难度，转化后

，利用线性规划的方法，求解

的最大值，结合可行域，可以看出当经过时，

有最大值．

13． 【解析】

试题分析：因为b a λ-与a 垂直，所以()22240b a a b a a λλ-?=?-=-=，解得

，所以答案应填：

． 考点：向量的数量积运算．

14．

【解析】

试题分析：设幂函数为，因为过点，所以，又，所以，所以过点

与垂直的直线方程为，即

，所以答案应填：． 考点：1、幂函数；2、导数的几何意义；3、两直线垂直的位置关系．

15．

【解析】

试题分析：因为

成等比数列，所以，又，令，解得，，当时，，当时，，所以函数在时取得极大值．所以，所以答案应填：．

考点：1、等比数列性质；2、函数的极值；3、导数的应用．

【方法点晴】本题主要考查的是等比数列的性质和利用导数求函数的极大值，属于中档题．研究函数极值时，首先要对函数求导数，然后分析导函数的零点，再根据零点把定义域分成几个区间，分别研究导函数在各区间的正负，进而得到函数在各区间的增减性，根据增减性写出函数的极值，注意区分极值和极值点的差别．

16．

【详解】

设切点为3(,3)t t t -，

，则切线方程为，整理得： ，把

代入整理得:①，因为可作三条切线，所以①有三个解，记

，则，当1t >或0t <时，'()0,()g t g t >单调递增，当01t <<时，'()0,()g t g t <单调递减，

所以当

时，极大值，当时，极小值，要使有三个零点，只需且，所以，所以答案应填：

． 考点：1、导数的极值；2、导数的应用；3、函数的零点．

【方法点晴】

本题主要考查的是导数的几何意义，利用导数研究函数的极值，根据极值分析函数零点，属

于难题．首先根据导数的几何意义求得切线斜率，再写出切线方程，代入所过点，则存在三条切线转化为方程有三个解，进而需要通过研究其导数得到极值情况，进而研究函数图象，分析极值与零的关系，得到方程有三个解的情况．

17．（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）因为已知两边及其一边的的对角，考虑使用正弦定理及二倍角公式，即可化

简得出；（2）利用余弦定理得：，即可得出关于的一元二次方程，解得或．

试题解析：（1）在△AB C中，由正弦定理

＝?＝＝，

∴cos A＝．

（2）由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccos A?32＝（2）2＋c2－2×2c×，

则c2－8c＋15＝0．

∴c＝5或c＝3．

当c＝3时，a＝c，∴A＝C．

由A＋B＋C＝π，知B＝，与a2＋c2≠b2矛盾．

∴c＝3舍去．故c的值为5．

考点：1、正弦定理；2、三角形的面积公式；3、两角差的正弦公式．

18．（1），；（2）．

【解析】

试题分析：（1）根据两角和差的正弦公式及二倍角公式的变形可得：

，再根据辅助角公式得：

，所以可得函数值域及周期；（2）根据正弦型函数的性质，令

，可解得函数单增区间．

试题解析：（1）f（x）＝sin2x＋cos2x＋sin2x－cos2x－（cos2x＋1）

＝2－1＝2sin－1．

由－1≤sin≤1得，

－3≤2sin－1≤1．

可知函数f（x）的值域为[－3，1]．

且函数f（x）的最小正周期为π．

（2）由2kπ－≤2x－≤2kπ＋（k∈Z）解得，

kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z）．

所以y＝f（x）的单调增区间为[kπ－，kπ＋]（k∈Z）．

考点：1、正弦定理；2、三角形的面积公式；3、两角差的正弦公式．

19．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．

【解析】

试题分析：（1）因为分别是，的中点，由三角形的中位线性质知，∥，从而证明∥平面；（2）由题意易知，，又

，所以，故，所以由线面垂直的判定定理可得结论；（3）可转化为到平面的距离的倍，再利用三棱锥的等体积法求到平面的距离．

试题解析：（1）因为AB∥EM，且AB＝EM，所以四边形ABEM为平行四边形．

连接AE，则AE过点P，且P为AE中点，又Q为AC中点，

所以PQ是△ACE的中位线，于是PQ∥CE．

∵CE?平面BCE，PQ?平面BCE，

∴PQ∥平面BCE．

（2）AD⊥平面ABEF?BC⊥平面ABEF?BC⊥AM．

在等腰梯形ABEF中，由AF＝BE＝2，EF＝4，AB＝2，

可得∠BEF＝45°，BM＝AM＝2，

∴AB2＝AM2＋BM2，∴AM⊥BM．

又BC∩BM＝B，∴AM⊥平面BCM．

（3）解法一：点F到平面BCE的距离是M到平面BCE的距离的2倍，

∵EM2＝BE2＋BM2，∴MB⊥BE，

∵MB⊥BC，BC∩BE＝B，

∴MB⊥平面B CE，∴d＝2MB＝4．

解法二：V C－BEF＝S△BEF·BC＝BC，

V F－BCE＝S△BCE·d＝BC．

∵V C－BEF＝V F－BCE，∴d＝4．

考点：1、线面垂直；2、线面平行；3、点到平面距离；4、等体积法．

20．（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）因为成等比数列，所以，由

得，解得：，所以公差，数列的通项公式为；（2）由知，，所以

，采用裂项相消的方法，即可求出

．

试题解析：（1）∵对任意正整数n，都有b n，，b n＋1成等比数列，且数列{a n}，{b n}均为正项数列，

∴a n＝b n b n＋1（n∈N*）．

由a1＝3，a2＝6得又{b n}为等差数列，即有b1＋b3＝2b2，

解得b1＝，b2＝，∴数列{b n}是首项为，公差为的等差数列．

∴数列{b n}的通项公式为b n＝（n∈N*）．

（2）由（1）得，对任意n∈N*，

a n＝

b n b n＋1＝，

从而有＝＝2（－），

∴S n＝2[（－）＋（－）＋…＋（－）]

＝1－

考点：1、等比中项的性质；2、等差数列的通项公式；3、裂项相消法．

21．（1）；（2），恒过定点．

【解析】

试题分析:（Ⅰ）利用两点间的距离公式可得c，再利用椭圆的标准方程及其性质即可得出a，b；

（Ⅱ）把直线l的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D，可得k AD×k BD=﹣1，即可得出m与k的关系，从而得出答案．

解：（Ⅰ）∵左焦点（﹣c，0）到点P（2，1）的距离为，∴，解得c=1．

又，解得a=2，∴b2=a2﹣c2=3．

∴所求椭圆C的方程为：．

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣3）=0，△=64m2k2﹣16（3+4k2）（m2﹣3）＞0，化为3+4k2＞m2．

∴，．

y1y2=（kx1+m）（kx2+m）==．

∵以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），k AD?k BD=﹣1，∴，∴y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4=0，∴．

化为7m2+16mk+4k2=0，解得m1=﹣2k，．

，且满足3+4k2﹣m2＞0．

当m=﹣2k时，l：y=k（x﹣2），直线过定点（2，0）与已知矛盾；

当m=﹣时，l：y=k，直线过定点．

综上可知，直线l过定点，定点坐标为．

考点：直线与圆锥曲线的综合问题．

22．（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）求导数，分类讨论，时，在上恒正，单调递增，最大值，当时，令，得，所以时，在上恒正，单调递增，最大值，当时，在上增函数，在上为减函数，最大值为

，综上；（2）因为

，所以只需，令

，则，所以，

，

，再次构造函数，，利用导数研究递增，在递减，分析存在零点，使得，而

，所以时，，恒成立，当时，

，不恒成立，所以的最大整数值是．

试题解析：（1）f（x）＝（ax－a＋2）·e x，f′（x）＝（ax＋2）·e x，

当a≥0时，f′（x）在[0，2]上恒正，f（x）单调递增，最大值为f（2）＝（a＋2）e2，

当a<0时，令f′（x）＝0，得x＝－．

所以当－1≤a<0时，仍有f（x）在[0，2]上为增函数，最大值为f（2）＝（a＋2）e2

当a<－1时，f（x）在[0，－]上为增函数，在[－，2]上为减函数，

最大值为f（－）＝－ae－．

综上有，f（x）max＝

（2）g（x）＝a2x2－13ax－30＝（ax＋2）（ax－15），

所以只需要2e x＞ax－15即可，

记h（x）＝2e x－ax＋15，则h′（x）＝2e x－a，

故h（x）在（0，ln）上单调递减，在（ln，＋∞）上单调递增，则h（x）min＝a－aln

＋15．

记k（x）＝x－xl n＋15，则k′（x）＝－ln，

故k（x）在（0，2）上单调递增，在（2，＋∞）上单调递减，

在（2，＋∞）上取2e2，有k（2e2）＝15－2e2＞0，

又k（15）＝15（2－ln）<0，故存在x0∈（2e2，15）使k（x0）＝0，

而2e2∈（14，15），所以当a＝14时可保证h（x）min＞0，有2f′（x）＞g（x）恒成立，当a＝15时h（x）min<0，不能有2f′（x）＞g（x）恒成立，

所以a所能取到的最大正整数为14．

考点：1、利用导数求最大值；2、利用导数研究单调性；3、利用导数研究极值；4、恒成立问题．

【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值、不等式的恒成立和利用导数求最大值，属于难题．利用导数求函数的极值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③求方程的所有实数根；④列表格．含参函数求导之后注意分类讨论思想的应用，特别要根据式子的结构特点选择分类标准，比较复杂的函数求导之后注意构造新函数继续求导，对综合思维能力要求较高．