圆锥曲线方程-椭圆知识点归纳
椭圆
典例剖析
知识点一 椭圆定义的应用
方程x 225－m ＋y 2
16＋m
＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值围是________．
解析：因为焦点在y 轴上，所以16＋m >25－m ，即m >92
，又因为b 2
＝25－m >0，故m <25，所以m 的取值
围为92 2 知识点二 求椭圆的标准方程 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)． (2)经过点A (13，13)，B (0，－1 2 )． (1)解 方法一 椭圆的焦点在x 轴上， 设其标准方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)． 由椭圆定义知：2a ＝(5＋4)2＋(5－4)2 ＝10， 所以a ＝5. 又c ＝4，所以b 2＝a 2－c 2 ＝25－16＝9. 故椭圆标准方程为x 225＋y 2 9 ＝1. 方法二 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)， 因为c ＝4，所以a 2－b 2＝c 2＝16.又椭圆经过点(5,0)，所以25a 2＋0b 2＝1，所以a 2 ＝25，所 以b 2 ＝25－16＝9，所以椭圆的标准方程为x 2 25＋y 2 9 ＝1. (2)方法一 ①当椭圆焦点在x 轴上时，设标准方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)， 依题意有????? (13)2a 2＋(13)2 b 2＝1， 0a 2 ＋(－1 2)2 b 2 ＝1. 解得????? a 2＝15， b 2 ＝1 4. 又因为a >b ，所以该方程组无解． ②当椭圆焦点在y 轴上时，设标准方程为y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a >b >0)． 依题意有????? (13)2a 2＋(13)2b 2＝1， (－1 2)2a 2 ＋0b 2 ＝1. 解得????? a 2＝1 4，b 2 ＝1 5. 所以方程为y 214＋x 2 15 ＝1. 综上知，所求椭圆的标准方程为：y 214＋x 2 15＝1. 方法二 设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2 ＝1(m >0，n >0，m ≠n )， 依题意有????? 19m ＋19n ＝1， 1 4n ＝1， 解得??? ?? m ＝5，n ＝4， 所以所求椭圆的方程为5x 2＋4y 2 ＝1， 即其标准方程为y 214＋x 2 15 ＝1. 练习：过点(－3,2)且与椭圆x 29＋y 2 4 ＝1有相同焦点的椭圆的标准方程是________． 解析：因为c 2 ＝9－4＝5，所以设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1.由点(－3,2)在椭圆上知9a 2＋4 a 2 －5 ＝1，所以a 2 ＝15.所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 210＝1.答案：x 215＋y 210 ＝1 知识点三 根据方程研究几何性质 求椭圆25x 2＋16y 2 ＝400的长轴、短轴、离心率、焦点坐标和顶点坐标． 解 将方程变形为y 225＋x 2 16 ＝1，得a ＝5，b ＝4，所以c ＝3.故椭圆的长轴和短轴的长分别 为2a ＝10,2b ＝8，离心率e ＝c a ＝3 5 ，焦点坐标为(0，－3)，(0,3)，顶点坐标为(0，－5)，(0,5)， (－4,0)，(4,0)． 知识点四 根据几何性质求方程 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是6，离心率是2 3 . (2)在x 轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 解 (1)设椭圆的方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a >b >0)． 由已知得2a ＝6，a ＝3.e ＝c a ＝2 3 ，∴c ＝2. ∴b 2＝a 2－c 2 ＝9－4＝5. ∴椭圆方程为x 29＋y 25＝1或x 25＋y 2 9 ＝1. (2)设椭圆方程为22 221x y a b += (a>b>0)． 如图所示，△A 1FA 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|=c ，|A 1A 2|=2b ， ∴c=b=3，∴a 2 =b 2 +c 2 =18，故所求椭圆的方程为 22 1189 x y +=, 知识点五 求椭圆的离心率 如图所示，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点 的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的2 3 ，求椭圆的离心率． 解 方法一 设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a ，b ，c.则焦点为F 1 (-c,0)，F 2 (c,0)，M 点的坐标为(c ， 3 2 b)，则△MF1F2为直角三角形．在Rt △M F 1F 2中： |F 1F 2|2 +|MF 2|2 =|MF 1|2 ， 即4c 2+9 4b 2=|MF 1|2 . 而|MF 1|+| MF 22 242 42,93 c b b a + = 整理得3c 2 =3a 2 -2 ab. 又c 2=a 2 -b 2 ，所以3b=2a. 所以2249 b a =， 所以22222 222 51,9 c a b b e a a a -===-=所以e=35 知识点六 直线与椭圆的位置关系问题 当m 取何值时，直线l ：y ＝x ＋m 与椭圆9x 2＋16y 2 ＝144相切、相交、相离． 解 由题意，得????? y ＝x ＋m ， ① 9x 2＋16y 2 ＝144. ② ①代入②，得9x 2＋16(x ＋m )2 ＝144， 化简，整理，得25x 2＋32mx ＋16m 2 －144＝0， Δ＝(32m )2－4×25×(16m 2－144)＝－576m 2＋14 400. 当Δ＝0时，得m ＝±5，直线l 与椭圆相切． Δ>0时，得－5 当Δ<0时，得m <－5，或m >5，直线l 与椭圆相离． 知识点七 中点弦问题 已知点P (4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 2 9 ＝1所截得的线段的中点，求l 的方程． 解 设l 与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则有????? x 2136＋y 2 1 9＝1，x 2 2 36＋y 22 9＝1. 两式相减，得k AB ＝ y 1－y 2 x 1－x 2 ＝－9(x 1＋x 2)36(y 1＋y 2) ＝－2×44×2×2＝－12 . ∴l 的方程为：y －2＝－1 2 (x －4)，即x ＋2y －8＝0. 考题赏析 1．(高考)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12 ，右焦点为F (c,0)，方程ax 2 ＋bx － c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)( ) A ．必在圆x 2＋y 2 ＝2 B ．必在圆x 2＋y 2 ＝2上 C ．必在圆x 2＋y 2 ＝2外 D ．以上三种情形都有可能 解析 ∵x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝－c a . ∴x 21 ＋x 2 2 ＝(x 1＋x 2)2 －2x 1x 2＝b 2a 2＋2c a ＝b 2＋2ac a 2 . ∵e ＝c a ＝12，∴c ＝12 a ， ∴b 2＝a 2－c 2＝a 2 －? ????12a 2＝34 a 2. ∴x 21＋x 2 2＝34a 2＋2a ×12a a 2 ＝74<2. ∴P (x 1，x 2)在圆x 2＋y 2 ＝2． 答案 A 2．(高考)如图所示，AB 是平面α的斜线段，A 为斜足．若点P 在平面α运动，使得△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．一条直线 D ．两条平行直线 解析 由题意可知P 点在空间中的轨迹应是以AB 为旋转轴的圆柱面，又P 点在平面α，所以P 点的轨迹应是该圆柱面被平面α所截出的椭圆． 答案 B 1．设F 1，F 2是椭圆x 225＋y 2 9 ＝1的焦点，P 为椭圆上一点，则△PF 1F 2的周长为( ) A ．16 B ．18 C ．20 D ．不确定 答案 B 解析 △PF 1F 2的周长为|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|＝2a ＋2c .因2a ＝10，c ＝25－9＝4，周长为10＋8＝18. 2．a ＝6，c ＝1的椭圆的标准方程是( ) A.x 236＋y 235＝1 B.y 236＋x 2 35 ＝1 C.x 2 36＋y 2 5＝1 D ．以上都不对 答案 D 解析 因焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，故标准方程有两种可能．故选D. 3．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( ) A.x 281＋y 272＝1 B.x 281＋y 2 9＝1 C.x 2 81＋y 2 45＝1 D.x 281＋y 2 36＝1 答案 A 解析 由题意2a ＝18,2c ＝1 3 ×2a ＝6 ∴a ＝9，c ＝3，b 2 ＝81－9＝72. 4．已知F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭 圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率为( ) A.33 B.23 C. 22 D.32 答案 A 解析 |AF 1|＝b 2a ，故有tan60°＝|F 1F 2| |AF 1| ∴2c ＝3×b 2a ∴(2ac )2＝3(a 2－c 2)2 解得e ＝c a ＝33. 5．设椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为1 2 ，则m 的值是( ) A ．3 B.16 3 C.163或3 D ．2或163 答案 C 解析 当m >4时，此时有m －4m ＝12，所以m ＝16 3； 当0 4－m 2＝1 2 ，所以m ＝3. 6．直线y ＝22x 与椭圆x 2 a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个交点在x 轴上的射影恰为椭圆的两个 焦点，则椭圆的离心率为________． 答案 2 2 解析 当x ＝c 时，y ＝±b 2a ，∴b 2a ＝2 2 c 即a 2－c 2a ＝22c ∴e 2＋22e －1＝0，解得e ＝22 . 7．倾斜角为π4 的直线交椭圆x 2 4 ＋y 2 ＝1于A ，B 两点，则线段AB 中点的轨迹方程是 ________． 答案 x ＋4y ＝0(－455 5 5) 解析 设中点坐标为(x ，y )，A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线方程为y ＝x ＋b ，代入椭圆方程， 整理，得5x 2＋8bx ＋4(b 2 －1)＝0， 则????? x ＝x 1 ＋x 2 2＝－45b ，y ＝b 5， 所以x ＋4y ＝0. 由Δ＝64b 2－4×5×4(b 2 －1)>0， 得－5