数学思想方法一整体思想

数学思想方法一

整体思想

整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性．整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识

方面具有独特的作用．

一．数与式中的整体思想

例 1.已知114a b -=，则2227a ab b a b ab

---+的值等于 （ ）

A.6

B.6-

C.125

D.27

- 分析：根据条件显然无法计算出a ，b 的

值，只能考虑在所求代数式中构造出11a b

-的形式，再整体代入求解． 解：112242b 6112272(4)7

2()7a ab b a a b ab b a ------===-+⨯-+-+

说明：本题也可以将条件变形为4b a ab -=，即4a b ab -=-，再整体代入求解．

例2．已知代数式25342()2x ax bx cx x dx ++++，当1x =时，

值为3，则当1x =-时，代数式的值为

解：因为当1x =时，值为3，所以231a

b c d

+++=+，即

11a b c d ++=+，从而，当1x =-时，原式()21211a b c d

-++=+=-+=+ 例3．已知

2002007a x =+，2002008b x =+，2002009c x =+，求多项式222a b c ab bc ac ++---的值．

分析：要求多项式的值，直接代入计算肯定不是最佳方案，注意到222a b c ab bc ac ++---2221()()()2a b b c c a ⎡⎤=-+-+-⎣⎦，只要求得

a b -，b c -，c a -这三个整体的值，本题的计算就显得很简单了．

解：由已知得，1a b b c -=-=-，2c a -=，所以， 原式2221(1)(1)232⎡⎤=-+-+=⎣⎦

说明：在进行条件求值时，我们可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出

条件中含有的模型，然后整体代入，从整体上把握解的方向和策略，从而使复杂问题简单化．

二．方程(组)与不等式（组）中的整体思想

例4．已知24122x y k x y k +=+⎧⎨+=+⎩

，且03x y <+<，则k 的取值范围是

分析：本题如果直接解方程求出x ，y 再代入03x y <+<肯定比较麻烦，注意到条件中x y +是一个整体，因而我们只需求得x y +，通过整体的加减即可达到目的．

解：将方程组的两式相加，得：3()53x y k +=+，所以513x y k +=+，从而50133

k <+<，解得3655k -<<

例5． 已知关于x ，y 的二元一次方程

组3511x ay x by -=⎧⎨+=⎩的解为56x y =⎧⎨=⎩

，那么关于x ，y 的二元一次方程组3()()5()11x y a x y x y b x y +--=⎧⎨++-=⎩

的解为为 分析：如果把56x y =⎧⎨=⎩代入3511x ay x by -=⎧⎨+=⎩

，解出a ，b

的值，再代入3()()5()11x y a x y x y b x y +--=⎧⎨++-=⎩进行求解，应当是可行的，但运算量比较大，相对而言比较繁琐．

若采用整体思想，在方程组3()()5()11

x y a x y x y b x y +--=⎧⎨++-=⎩中令x y m x y n +=⎧⎨-=⎩，则此方程组变形为3511

m an m bn -=⎧⎨+=⎩，对照第一个方程组即知56m n =⎧⎨=⎩，从而56

x y x y +=⎧⎨-=⎩，容易得到第二个方程组的解为1121

2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，这样就避免了求a ，b 的值，又简化

了方程组，简便易操作． 解：1121

2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩

说明：通过整体加减既避免了求复杂的未知数的值，又简化了方程组（不等式组），解答直接简便．

例6．解方程 225

23423x x x x +-=+

分析：本题若采用去分母求解，过程很复杂和繁冗，根据方程特点，我们采用整体换元，将分式方程转化为整式方程来解．

解：设223x

x y +=，则原方程变形为54y y

-=，即2450y y --=，解得15y =，21y

=-，所以2235x x +=或2231x x +=-，从而解得152x =-，21x =，312x =-，41

x =-，经检验1x ，2x ，3x ，4

x 都是原方程的解． 说明：（1）对于某些方程，如果项中含有相同部分（或部分相同）可把它看作一个整体，用整体换元进行代换，从而简

化方程及解题过程．当然本题也可以设2234y x x =+-，将方程变形为54

y y =+来解． （2）利用整体换元，我们还可以解决形如

22315122x x x x -+=-这样的方程，只要设21x y x =-，从而将方程变形为15322

y y +=，再转化为一元二次方程来求解．

例7． 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若购甲4件，乙10件，丙1件，共需4.20元．现在计划购甲、乙、丙各1件，共需多少元

分析：要求的未知数是三个，而题设条件中只有两个等量关系，企图把甲、乙、丙各1件的钱数一一求出来是不可能的，若把甲、乙、丙各1件的钱数看成一个整体，问题就可能解决．