二次函数抛物线与直线交点个数问题

二次函数之抛物线与直线交点个数

1．（2014•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4）．

（1）求抛物线的表达式及对称轴；

（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD 与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．

考点：待定系数法求二次函数解析式；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值．

专题：计算题．

分析：（1）将A与B坐标代入抛物线解析式求出m与n的值，确定出抛物线解析式，求出对称轴即可；

（2）由题意确定出C坐标，以及二次函数的最小值，确定出D纵坐标的最小值，求出直线BC解析式，令x=1求出y的值，即可确定出t的范围．

解答：解：（1）∵抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4），

代入得：，

解得：，

∴抛物线解析式为y=2x2﹣4x﹣2，对称轴为直线x=1；

（2）由题意得：C（﹣3，﹣4），二次函数y=2x2﹣4x﹣2的最小值为﹣4，

由函数图象得出D纵坐标最小值为﹣4，

设直线BC解析式为y=kx+b，

将B与C坐标代入得：，

解得：k=，b=0，

∴直线BC解析式为y=x，

当x=1时，y=，

则t的范围为﹣4≤t≤．

点评：此题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，以及函数的最值，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

2．（2011•石景山区二模）已知：抛物线与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴交于C（0，4）．

（1）求抛物线顶点D的坐标；

（2）设直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可以平移多少个单位长度，向下最多可以平移多少个单位长度？

考点：二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式．

专题：探究型．

分析：（1）先设出过A（﹣2，0）、B（4，0）两点的抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣4），再根据抛物线与y 轴的交点坐标即可求出a的值，进而得出此抛物线的解析式；

（2）先用待定系数法求出直线CD解析式，再根据抛物线平移的法则得到（1）中抛物线向下平移m各单位所得抛物线的解析式，再将此解析式与直线CD的解析式联立，根据两函数图象有交点即可求出m的取值范围，进而可得到抛物线向下最多可平移多少个单位；同理可求出抛物线向上最多可平移多少个单位．解答：解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4），

∵C点坐标为（0，4），

∴a=﹣，（1分）

∴解析式为y=﹣x2+x+4，

顶点D坐标为（1，）；（2分）

（2）直线CD解析式为y=kx+b．

则，，

∴，

∴直线CD解析式为y=x+4，（3分）

∴E（﹣8，0），F（4，6），

若抛物线向下移m个单位，其解析式y=﹣x2+x+4﹣m（m＞0），

由消去y，得﹣x2+x﹣m=0，

∵△=﹣2m≥0，

∴0＜m≤，

∴向下最多可平移个单位．（5分）

若抛物线向上移m个单位，其解析式y=﹣x2+x+4+m（m＞0），

方法一：当x=﹣8时，y=﹣36+m，

当x=4时，y=m，

要使抛物线与EF有公共点，则﹣36+m≤0或m≤6，

∴0＜m≤36；（7分）

方法二：当平移后的抛物线过点E（﹣8，0）时，解得m=36，

当平移后的抛物线过点F（4，6）时，m=6，

由题意知：抛物线向上最多可以平移36个单位长度，（7分）

综上，要使抛物线与EF有公共点，向上最多可平移36个单位，向下最多可平移个单位．

点评：本题考查的是二次函数的图象与几何变换，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、二次函数与一次函数的交点问题，有一定的难度．

3．（2013•丰台区一模）二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，其顶点坐标为M（1，﹣4）．

（1）求二次函数的解析式；

（2）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象回答：当直线y=x+n与这个新图象有两个公共点时，求n的取值范围．

考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与几何变换．

分析：（1）确定二次函数的顶点式，即可得出二次函数的解析式．

（2）求出两个边界点，继而可得出n的取值范围．

解答：解：（1）因为M（1，﹣4）是二次函数y=（x+m）2+k的顶点坐标，

所以y=（x﹣1）2﹣4=x2﹣2x﹣3，

（2）令x2﹣2x﹣3=0，

解之得：x1=﹣1，x2=3，

故A，B两点的坐标分别为A（﹣1，0），B（3，0）．

如图，当直线y=x+n（n＜1），

经过A点时，可得n=1，

当直线y=x+n经过B点时，

可得n=﹣3，

∴n的取值范围为﹣3＜n＜1，

翻折后的二次函数解析式为二次函数y=﹣x2+2x+3

当直线y=x+n与二次函数y=﹣x2+2x+3的图象只有一个交点时，

x+n=﹣x2+2x+3，

整理得：x2﹣x+n﹣3=0，

△=b2﹣4ac=1﹣4（n﹣3）=13﹣4n=0，

解得：n=，

∴n的取值范围为：n＞，

由图可知，符合题意的n的取值范围为：n＞或﹣3＜n＜1．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式的知识，难点在第二问，关键是求出边界点时n的值．

4．（2009•北京）已知关于x的一元二次方程2x2+4x+k﹣1=0有实数根，k为正整数．

（1）求k的值；

（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=2x2+4x+k﹣1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；

（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线y=x+b（b＜k）与此图象有两个公共点时，b的取值范围．