高考数学带解析版
数学理科
本卷共48题，三种题型：选择题、填空题和解答题。选择题30小题，填空题4小题，解答题14小题。 1.已知集合22{|log 1},{|60},A x x B x x x =≥=--<则()R
A B I e
等于（ ）
A.{|21}x x -<<
B.{|22}x x -<<
C.{|23}x x ≤<
D.{|2}x x <
【答案】B 【解析】{}{}|2,|23,A x x B x x =
≥=-<<得{}|2R A x x = {}()|22.R A B x x =-< 2. 已知复数()4i 1i b z b R +=∈-的实部为1-，则复数z b -在复平面上对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】C 【解析】41bi z i +=-＝ (4)(1)44(1)(1)22bi i b b i i i ++-+=+-+，则由412 b -=-，得6b =，所以15z i =-+，所以75z b i -=--，其在复平面上对应点为(7,5)--，位于第三象限. 3.若复数z 满足()1i 1i i z -=-+,则z 的实部为（ ） A. 12-1 C.1 D.1 2 【答案】A 【解析】由()1i 1i i z -=-+= i + ,得i i)(1i)1i (1i)(1i) z += = --+=1 1i 22+, 所以z 的实部为 1 2 ,故选A ． 4.下列函数中，既是奇函数又在区间(0,) 2π 上是减函数的是（ ） A ．3 y x = B. sin y x =- C ．21y x =+ D ． cos y x = 【答案】B 【解析】选项C 、D 不是奇函数，3 y x = 在R 上都是增函数，只有选项B 符合. 5.若()(),,,A a b B c d 是()ln f x x =图象上不同两点,则下列各点一定在()f x 图象上的 是( ) A. (),a c b d ++ B.()a c bd +， C.(),ac b d + D.(),ac bd 【答案】C 【解析】因为()(),,,A a b B c d 在()ln f x x =图象上,所以ln b a = ,ln ,d c =所以 ln ln ln b d a c ac +=+=,因此(),ac b d +在()ln f x x =图象上,故选C ． 6.双曲线2 2 :13 y C x -=的顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为（ ） A.1 2 B.22 C.33 D.32 【答案】A 【解析】1,2,a c ==∴Q 双曲线C 的顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为 1 .2 10.若向量,a b 满足||||2==a b ，a b 与的夹角为60?，a 在+a b 上的投影等于 ( ) A.2 B.2 C. 3 D.4＋2 3 【答案】：C 【解析】：a 在+a b 上的投影为 222 2 () 3.||23 () 2?+== = =+++?+a a b a b a b a a b b A(1，3),B(2，1)，所以所以 ，故p 2，p 3 正 确，故答案为D. 14.若数列{n a }满足 1 1n a －－ 1 =n d a （d N n ,*∈为常数） ，则称数列{n a }为调和数列．已知数列{ 1 n x }为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则165x x +等于（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．40 【答案】B 【解析】∵数列1n x ??? ??? 为调和数列，∴1111 11n n n n x x d x x ++--＝＝，∴{}n x 是等差数列. 又∵1220200x x x ++?+== 12020() 2 x x +， ∴12020x x +=. 又120516516,20x x x x x x +=+∴+=Q . 16.在某次联考测试中，学生数学成绩X ()()21000N σσ>:,，若 ,8.0)12080(=< A ．0.05 B ．0.1 C ．0.15 D ．0.2 【答案】B 【解析】由题意知(80120)0.8P ξ<<=，则由正态分布图象的对称性可知， 1 (080)0.5(80120)0.12 P X P X <<=-?<<=，故选B ． 17．由1,2,3,0组成没有重复数字的三位数，其中0不在个位上，则这些三位数的和为（ ） A.2544 B.1332 C.2532 D.1320 【答案】A 【解析】分两种情况：（1）所有不含0的三位数的和为 ()()221231*********A ++??++=， (2)含0且0只能在十位上的三位数的和为()()1 212310011212A ++??+=，那么可得符 合条件的这些三位数之和为133212122544+=. 18.已知()2cos 2,21x x f x ax x =+++若π()3f =2,则π ()3 f -等于（ ） A.2- B.1- C.0 D. 1 【答案】A 【解析】因为()2cos 221 x x f x ax x =+++,所以()()222cos 22121x x x x f x f x x --+-=++++ 21 2cos 212cos 22112 x x x x x =++=+++,所以π ()3f +π()3f -=1+2π2cos 3 =0, 所以ππ()() 2.33 f f -=-=- 19.函数()()sin 2()2 f x A x π ??=+≤ 部分图象如图所示，对不同的[]b a x x ,,21∈，若 ()()21x f x f =，有()321=+x x f ，则（ ） A ．()x f 在5(,)1212ππ-上是减函数 B ．()x f 在5(,)36ππ 上是减函数 C ．()x f 在5(,)1212ππ-上是增函数 D ．()x f 在5(,)36 ππ 上是增函数 【答案】C 【解析】由图可知2A =，又由()()21x f x f =，知函数的图象关于直线12 22 x x a b x ++= =对称，所以12a b x x +=+．由五点法作图，得20a ?+=，2b ?π+=，所以2 a b π ?+=-， 则()f a b +＝()122sin(2)2sin 3f x x π???-+==+=，即3sin ?=所以3 π?=，所以()2sin(2)3 f x x π =+ ， 在5(,)1212ππ-上，2(,)322x πππ+∈-，所以()x f 在5(,) 1212 ππ-上是增函数，故选C ． 20．若()()7 280128112x x a a x a x a x +-=+++???+，则127a a a ++???+的值是（ ） A.2- B.3- C ．125 D.131- 【答案】C 【解析】令0x =，得01a =；令1x =，得01282a a a a -=++++L ，即 1283a a a +++=-L ．又77 87 (2)128a C =-=-，所以12783125a a a a +++=--=L ，故选C ． 21.设点A 、(),0F c 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点、 右焦点,直线2 a x c =交该双曲线的一条渐近线于点P ．若PAF ?是等腰三角形,则此双曲线的离心率为（ ） 332 D.2 【答案】D 【解析】显然PF PA >,PF AF >,所以由PAF ?是等腰三角形得PA AF =.易知 A (0)a ， ,P 2()a ab c c ， ,所以2222()()()a ab a c a c c -+=-, 222222 ()()()()()a a a c c a c a c c ?-+-=-22()()1 a a c a c c c a +?+?=- 22111 1.1e e e e +? +?=- 解得 2e =.故选D. 22.过抛物线2y x ＝4焦点F 的直线交其于B A ,两点，O 为坐标原点．若3=AF ，则 AOB ?的面积为（ ） A. 22 B.2 C.322 D.22 【答案】C 【解析】设直线AB 的倾斜角为(0)θθπ<<及 BF m =，∵3AF =， ∴点A 到准线 :1l x =-的距离为 3，∴23cos 3θ+=,即1 cos 3 θ=，则22sin θ=． ∵2cos()m m πθ=+-，∴23 . 1cos 2m θ= =+ ∴AOB ?的面积为 1132232 sin 1(3)222S OF AB θ= ???=??+?= . 23.已知圆221:20C x cx y ++=，圆222:20C x cx y -+=，椭圆 22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为2c ，若圆12,C C 都在椭圆C 内，则椭圆C 离心率的范 围是（ ） A ．1[,1)2 B ．1(0]2， C ．2 [,1)2 D ．2(0]2， 【答案】B 【解析】由题意，得圆12,C C 的圆心分别为(,0)c -和(,0)c ，半径均为c ，满足题意的圆与椭圆的临界位置关系如图所示，则知要使圆12,C C 都在椭圆内，则需满足不等式2c a ≤， 所以离心率1 02 c e a <=≤，故选B ． 24.已知向量AB u u u r 、AC u u u r 、AD u u u r 满足AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r ,2AB =u u u r ,1AD =u u u r ,E 、F 分别是线段BC 、CD 的中点．若5 4 DE BF ?=-u u u r u u u r ,则向量AB u u u r 与向量AD u u u r 的夹角为（ ） A ．π3 B ．2π3 C ．π6 D ．5π6 【答案】A 【解析】 DE BF ?=u u u r u u u r 22115115()()224224 CB CD CD CB CB CD CD CB --=?--=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 由2CD AB ==u u u r u u u r ,1BC AD ==u u u r u u u r ,可得1cos 2CB CD ??=u u u r u u u r ，,所以π 3 CB CD ??=u u u r u u u r ，,从而 π3 AB AD ??=u u u r u u u r ，.故选A. 25.已知函数()???<+≥+=0,0 ,3x b ax x x x f 满足条件：对于R ∈?1x ，?唯一的R ∈2x ，使得 ()()21x f x f =.当()()b f a f 32=成立时，则实数=+b a ( ) A. 26 B.26- C.26+3 D.2 6-+3 【答案】D 【解析】由题设条件对于R ∈?1x ，存在唯一的R ∈2x ，使得()()21x f x f =知()x f 在 ()0,∞-和()+∞,0上单调，得3=b ，且0 +a ，解之 得26- =a ，故32 6 +- =+b a ，选D. 26.函数2ln x y x = 的图象大致为（ ） 【答案】D 【解析】当01x <<时，ln 0x <，所以0y <，排除B 、C ；当1x >时，由于函数2y x =比 ln y x =随x 的增长速度快，所以随x 的增大，2ln x y x = 的变化也逐渐增大，排除A ，故选D ． 27.已知定义在(0,)2 π 上的函数()f x ,()f x '为其导数,且()()tan f x f x x '<恒成立，则 （ ） ()()4 3π π> ()()64 f ππ > ()()63f ππ< D.()12()sin16 f f π 【答案】C 【解析】因为(0, )2 x π ∈，所以sin 0,cos 0x x >>，则由()()tan f x f x x '<得 sin ()() cos x f x f x x '<，即cos ()sin ()0xf x xf x '-<．令sin ()=()x F x f x ，则 2sin cos ()sin ()()=( )0()[()]x f x xf x F x f x f x '-''=<，所以()F x 在(0,)2 π 上递减，所以()()63F F ππ>，即 sin sin 63()()63 f f π π ππ> ()()63f ππ<，故选C ． 28.若过点(),P a a 与曲线()ln f x x x =相切的直线有两条,则实数a 的取值范围是( ) A.(),e -∞ B.()e,+∞ C.10,e ? ? ?? ? D.()1,+∞ 【答案】B 【解析】设切点为(),ln Q t t t ,则切线斜率()k f t '==1ln t +,所以切线方程为 ()()ln 1ln y t t t x t -=+-,把(),P a a 代入得()()ln 1ln a t t t a t -=+-,整理得ln a t t =, 显然0a ≠,所以1ln t a t =,设()ln t g t t =,则问题转化为直线1 y a =与函数()g t 图象有两 个不同交点,由()2 1ln t g t t -'= ,可得()g t 在()0,e 递增,()e,+∞递减,在e x =处取得极大值1e ,结合()g t 图象,可得11 0e e a a < ,故选B. 29.已知四边形ABCD 的对角线相交于一点 , (AC =u u u r ,() BD =u u u r ,则AB CD ?u u u r u u u r 的最小值是（ ） A.2 B.4 C.2- D.4- 【答案】C 【解析】取(0,0)A , 则C ；设11(,)B x y ,22(,)D x y , 则2121 1. x x y y ?-=?? -=?? 所以( )() 1122,1AB x y x y ==-u u u r ,(221,CD x y =-u u u r , 求得22 22((22AB CD x y ?=++-≥-u u u r u u u r , 当11x y ?=????=?? 且22x y ?=??? ?=?? 时,AB CD ?u u u r u u u r 取到最小值2-,此时四边形ABCD 的对角线恰好相交于一点,故选C. 31.已知边长为3的正ABC ?的三个顶点都在球O 的表面上，且OA 与平面ABC 所成的角 为30o ，则球O 的表面积为________． 【答案】16π 【解析】设正ABC ?的外接圆圆心为1O ， 易知1AO 1Rt OO A ?中， 12cos30 O A OA = =o ，故球O 的表面积为2 4216ππ?=. 35.（本小题满分12分） 在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()2cos 14sin sin B C B C -=+. (1)求A ； (2) 若a =ABC ? 的面积b c +. 【答案】：（1） 23 π，（2）6b c +=. 【解析】：（1）由()2cos 14sin sin B C B C -=+， 得()2cos cos sin sin 4sin sin 1B C B C B C +-=， 即()2cos cos sin sin 1B C B C -=，亦即()2cos 1B C +=，∴()1 cos 2 B C +=. ∵0,3 B C B C π π<+<∴+=,∵A B C π++=,∴23 A π= . （2）由（1）得23A π= . 由S = 12sin 823 bc bc π==.① 由余弦定理2222cos a b c bc A =+- ，得(222 22cos 3 b c bc π=+-， 即22 28b c bc ++=.∴()228b c bc +-=.②,将①代入②， 得()2 828b c +-=，∴6b c +=. 36.（本小题满分12分） 如图，在ABC ?中，点D 在边BC 上，,4 π =∠CAD 2 7 = AC ，102cos -=∠ADB . （1）求C ∠sin 的值； （2）若ABD ?的面积为7，求AB 的长. 【答案】（1） 4 5 ；（237 【解析】（1）因为102cos - =∠ADB ，所以1027sin =∠ADB .又因为,4 π=∠CAD 所以,4 π - ∠=∠ADB C 所以4sin cos 4cos sin )4sin(sin π ππADB ADB ADB C ∠-∠=-∠=∠ 5 4 22102221027=?+?. （2）在ADC ?中，由正弦定理得ADC AC C A D ∠= ∠sin sin ， 故2210 2 75 427sin sin )sin(sin sin sin =? =∠∠?=∠-∠?=∠∠?=ADB C AC ADB C AC ADC C AC AD π. 又112sin 227,2210 ABD S AD BD ADB BD ?=???∠=??=解得5=BD . 在ADB ?中，由余弦定理得 .37)10 2 (5222258cos 2222=- ???-+=∠??-+=ADB BD AD BD AD AB 37.（本小题满分12分） 已知公差不为0的等差数列{}n a 中，12a =，且2481,1,1a a a +++成等比数列. (1)求数列{}n a 通项公式； (2)设数列{n b }满足3n n b a = ，求适合方程1223145...32n n b b b b b b ++++=的正整数n 的值. 【答案】（1）31n a n =-；（2）10. 【解析】：(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，由2481,1,1a a a +++，得 2(33)(3)(37),d d d +=++解得3d =或0d =（舍）， 故1(1)23(1)3 1.n a a n d n n =+-=+-=- (2)由（1）知3 31 n b n = -，19113().(31)(32)3132n n b b n n n n += =--+-+ 12231111111119...3(++)3(), 2558313223264n n n b b b b b b n n n n ++++=---=-=-+++L 依题有945 ,6432 n n =+解得10.n = 38.（本小题满分12分） 设* n N ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12n n n S S a +=++，125,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足 1(2)n a n n b a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =-；（2）1(23)26n n T n +=-+． 【解析】(1)由12n n n S S a +=++得：* 12()n n a a n N +-=∈， ∴数列{}n a 是以1a 为首项，2为公差的等差数列， 由125,,a a a 成等比数列得2 +)2(1a =1a (1a +8)，解得1a =1， ∴* 21()n a n n N =-∈. （2）由(1)可得2(21)(2)(21)2n n n b n n =-?=-， ∴1231...,n n n T b b b b b -=+++++ 即1 2 3 123252...(21)2n n T n =?+?+?++-?①， 23121232...(23)2(21)2n n n T n n +=?+?++-?+-?②， ①-②可得 23122(22...2)(21)2, n n n T n +-=++++-- ∴1 (23)2 6n n T n +=-+. 39.（本小题满分12分） 近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇,2015年双11期间,某购物平台的销售业绩高达918亿人民币.与此同时,相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200次成功交易,并对其评价进行统计,对商品的好评率为0.6,对服务的好评率为0.75,其中对商品和服务都做出好评的交易为80次. (1)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为商品好评与服务好评有关？ (2)若将频率视为概率,某人在该购物平台上进行的5次购物中,设对商品和服务全好评的次数为随机变量X ： ①求对商品和服务全好评的次数X 的分布列（概率用组合数算式表示）； ②求X 的数学期望和方差. 2()0.150.100.050.0250.0100.0050.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 P K k k ≥ （2 2 ()()()()() n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++） 【答案】（1）能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关； ② ()2,E X =().5D X = 【解析】：2 200(80104070)11.11110.828,1505012080 K ??-?=≈>??? 故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关. (2)①每次购物时,对商品和服务都好评的概率为 2 5 ,且X 的取值可以是0,1,2,3,4,5. 其中53(0)()5P X ==；14523(1)()()55P X C ==；223 523(2)()()55 P X C ==； 332 523(3)()()55P X C ==；441523(4)()()55P X C ==；52(5)()5 P X = =. X ②由于~(5,)5X B ,则()52,5E X =? =()5(1).555 D X =??-= 40.（本小题满分12分） 某市组织高一全体学生参加计算机操作比赛，等级分为1至10分，随机调阅了A 、B 两所学 校各60名学生的成绩，得到样本数据如下： （1）计算两校样本数据的均值和方差，并根据所得数据进行比较； (2) 记事件C 为“A 校学生计算机优秀成绩高于B 校学生计算机优秀成绩”．假设7分或7分以上为优秀成绩，两校学生计算机成绩相互独立．根据所给样本数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C 的概率． 【答案】（1）6,A B x x ==2 1.5,A S =2 1.8;B S =（2）()0.02P C =. 【解析】：（1）从A 校样本数据的条形图可知：成绩分别为4分、5分、6分、7分、8分、9 分的学生分别有：6人、15人、21人、12人、3人、3人. A 校样本的平均成绩为465156217128393 660 A x ?+?+?+?+?+?= =（分） ， A 校样本的方差为2 2216(46)3(96) 1.560 A S ??= ?-++?-=??L . 从B 校样本数据统计表可知： B 校样本的平均成绩为49512621798693 660 B x ?+?+?+?+?+?= =（分） ， B 校样本的方差为2 22 19(46)3(96) 1.860B S ??= ?-++?-=? ?L . 因为,A B x x =所以两校学生的计算机成绩平均分相同，又因为22 A B S S <，所以A 校的学生的 计算机成绩比较稳定，总体得分情况比B 校好. (2) 记1A C 表示事件“A 校学生计算机成绩为8分或9分”， 2A C 表示事件“A 校学生计算机成绩为9分”， 1B C 表示事件“B 校学生计算机成绩为7分”，2B C 表示事件“B 校学生计算机成绩为8分”， 则1A C 与1B C 独立，2A C 与2B C 独立，1B C 与2B C 互斥，1122B A B A C C C C C =U ． 1122()()B A B A P C P C C C C =U 1122()()B A B A P C C P C C =+1122()()()() B A B A P C P C P C P C =+． 由所给数据得1A C ，2A C ，1B C ，2B C 发生的概率分别为 1()A P C 6= 60，2()=A P C 360，19()=60B P C ，26()60B P C =， 故9663 ()=+0.0260606060 P C ??=． 41.（本小题满分12分） 如图，已知矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面，平面ABCD I 平面 ABPE =AB ，且2,1AB BP AD AE ====，,AE AB ⊥且AE ∥BP ． （1）设点M 为棱PD 中点，求证：EM ∥平面ABCD ； （2）线段PD 上是否存在一点N ，使得直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值等于 2 5 ？若存在，试确定点N 的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】：（1）证明见解析；（2）当点N 与点D 重合时，直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值为 2 5 ，理由见解析． 【解析】：（1）证明：（方法一）由已知，平面ABCD ⊥平面ABPE ，且BC AB ⊥，则BC ⊥ 平面ABPE ，所以,,BA BP BC 两两垂直，故以B 为原点，,,BA BP BC u u u v u u u vu u u u v 分别为x 轴，y 轴， z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 则1 (0,2,0),(2,0,1),(1,1,),(2,1,0),(0,0,1)2P D M E C ，所以1=(1,0,)2 EM -u u u u v ． 易知平面ABCD 的一个法向量等于(0,1,0)n =v ， 因为1 =(1,0,)(0,1,0)02 EM n ?-?=u u u u v v ，所以EM n ⊥u u u u v v ， 又EM ?平面ABCD ，所以EM ∥平面ABCD ． （方法二）由已知，平面ABCD ⊥平面ABPE ，且BC AB ⊥，则BC ⊥平面ABPE ， 所以,,BA BP BC 两两垂直．连结,AC BD ，其交点记为O ，连结MO ，EM ． 因为四边形ABCD 为矩形， 所以O 为BD 中点．因为M 为PD 中点， 所以OM ∥PB ，且1 2 OM PB = ． 又因为AE ∥PB ，且1 2 AE PB =， 所以AE ∥OM ，且AE =OM ． 所以四边形AEMO 是平行四边形，所以EM ∥AO . 因为EM ?平面ABCD ，AO ?平面ABCD ，所以EM ∥平面ABCD ． （2）当点N 与点D 重合时，直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值为25 ． 理由如下： 因为(2,2,1),(2,0,0)PD CD =-=u u u v u u u v ，设平面PCD 的一个法向量为1111(,,)n x y z =u v ， 由110,0n PD n CD ??=???=??u v u u u v u v u u u v 得1111 220,20.x y z x -+=??=? 取11y =，得平面PCD 的一个法向量1(0,1,2)n =u v ． 假设线段PD 上存在一点N ，使得直线BN 与平面PCD 所成角α的正弦值等于 25 ． 设(01)PN PD λλ=≤≤u u u v u u u v ， 则(2,2,1)(2,2,)PN λλλλ=-=-u u u v ，(2,22,)BN BP PN λλλ=+=-u u u v u u u v u u u v ． 所以111|| sin |cos ,||||| BN n BN n BN n α?=<>=?u u u v u v u u u v u v u u u v u v 222 225 5(2)(22)()5984 λλλλλ= = =?+-+?-+． 所以29810λλ--=，解得1λ=或1 9 λ=-（舍去）． 因此，线段PD 上存在一点N ，当N 点与D 点重合时，直线BN 与平面PCD 所成角的正 弦值等于2 5 ． 42.（本小题满分12分） 正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，,//, AD CD AB CD ⊥ 1 2 2 AB AD CD ===，点M在线段EC上且不与C E,重合． （1）当点M是EC中点时，求证：ADEF BM平面 //； （2）当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为 6 6 时，求三棱锥BDE M-的体积． 【答案】：（1）证明见解析；（2） 4 . 3 【解析】：（1）由题意：以点D为坐标原点，DA方向为x轴，DC为y轴，DE为z轴建立空间直角坐标系，则()()()()() 2,0,0,2,2,0,0,4,0,0,0,2,0,2,1 A B C E M， ∴() 2,0,1 BM=- u u u u r ，平面ADEF的一个法向量() 0,4,0 DC= u u u r ， Θ0 BM DC ?= u u u u r u u u r ，∴BM DC ⊥ u u u u r u u u r ，即// BM ADEF 平面． （2）设()() 0,4,20,4,2 EM tEC t t t ==-=- u u u u r u u u r ，故点()() 0,4,2201 M t t t -<<， 设平面BDM的一个法向量()z y x n, , 1 = ρ ，则 () 11 220,4220 DB n x y DM n ty t z ?=+=?=+-= u u u r u u u u r r r ． 令1 y=-，则 1 2 1,1, 1 t n t ?? =- ? - ?? u r ，易知平面ABF的一个法向量() 2 1,0,0 n= u u r ， ∵ () 12 122 12 2 6 cos, 6 4 2 1 n n n n n n t t ? <>=== ? + - u r u u r u r u u r u r u u r，解得 1 2 t=， ∴()1,2,0 M为EC的中点， 1 2 2 DEM CDE S S ?? ==，B到面DEM的距离2 = h， ∴14.33 M BDE DEM V S h -?= ??= 43.（本小题满分12分） 已知点F 是椭圆)0(112 2 2>=++a y a x 的右焦点，点(,0)M m 、(0,)N n 分别是x 轴、y 轴上的动点，且满足0=?NF MN ．若点P 满足PO ON OM +=2． （1）求点P 的轨迹C 的方程； （2）设过点F 任作一直线与点P 的轨迹交于A 、B 两点，直线OA 、OB 与直线 a x -=分别交于点S 、T （O 为坐标原点），试判断FS FT ?u u u r u u u r 是否为定值？若是，求出这个 定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）ax y 42 =；（2）FS FT ?u u u r u u u r 的值是定值，且定值为0． 【解析】（1）Θ椭圆)0(1122 2 >=++a y a x 右焦点F 的坐标为(,0)a ， (,)NF a n ∴=-u u u r ．(,)MN m n =-u u u u r Q ，∴由0=?NF MN ，得02=+am n ． 设点P 的坐标为),(y x ，由PO ON OM +=2，有(,0)2(0,)(,)m n x y =+--， ?? ???=-=.2,y n x m 代入02=+am n ，得ax y 42=． （2）(法一)设直线AB 的方程为x ty a =+，211(,)4y A y a 、2 22(,)4y B y a ， 则x y a y l OA 14:= ，x y a y l OB 2 4:=． 由?? ? ??-==a x x y a y ,41，得214(,)a S a y --， 同理得224(,)a T a y --． 214(2,)a FS a y ∴=--u u u r ，224(2,)a FT a y =--u u u r ，则42 12 164a FS FT a y y ?=+ u u u r u u u r ． 由???=+=ax y a ty x 4,2，得04422=--a aty y ，2 124y y a ∴=-． 则044) 4(1642 22 42 =-=-+=?a a a a a FT FS ． 因此，FS FT ?u u u r u u u r 的值是定值，且定值为0． (法二)①当AB x ⊥时， (,2)A a a 、(,2)B a a -，则:2OA l y x =， :2OB l y x =-． 由2, y x x a =??=-? 得点S 的坐标为(,2)S a a --，则(2,2)FS a a =--u u u r ． 由2, y x x a =-??=-? 得点T 的坐标为(,2)T a a -，则(2,2)FT a a =-u u u r ． (2)(2)(2)20FS FT a a a a ∴?=-?-+-?=u u u r u u u r ． ②当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为()(0)y k x a k =-≠，),4(12 1y a y A 、 ),4(222y a y B ，同解法一，得42 12 164a FS FT a y y ?=+u u u r u u u r ． 由2(),4y k x a y ax =-??=?，得22440ky ay ka --=，2124y y a ∴=-． 则044) 4(1642 22 42 =-=-+=?a a a a a ． 因此，FS FT ?u u u r u u u r 的值是定值，且定值为0． 44.（本小题满分12分） 椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>> 的离心率为 （1）求椭圆C 的标准方程； （2）过原点且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于Q P ,两点，A 是椭圆C 的右顶点，直线 AQ AP 、分别与y 轴交于点N M 、，问：以MN 为直径的圆是否恒过x 轴上的定点？若 恒过x 轴上的定点，请求出该定点的坐标；若不恒过x 轴上的定点，请说明理由. 【答案】（1）2 213 x y +=；（2）以MN 为直径的圆恒过x 轴上的定点(1,0)-，(1,0). 【解析】（1 ）依题意，得 222,3 c ab a b c a ===+又 解得1, a b ?=??=??故椭圆C 的标准方程为 2213x y +=. （2 ）A ，设(0,)M m ，(0,)N n ，00(,)P x y ， 则由题意，可得2 20013x y += ①， 且00(,)Q x y -- ，00()AP x y =u u u r ，()AM m =u u u u r . 因为,,A P M 三点共线，所以AP AM u u u r u u u u r P ， 故有00(x m = ，解得m = ；同理，可得n = 假设存在满足题意的x 轴上的定点(,0)R t ，则有RM RN ⊥u u u u r u u u r ，即0RM RN ?=u u u u r u u u r . 因为(,)RM t m =-u u u u r ，(,)RN t n =-u u u r ， 所以2 0t mn += ，即2 0t =，整理得2 2 02 033y t x =--， 又由①，得220033y x =-，所以2 1t =，解得1t =或1t =-. 故以MN 为直径的圆恒过x 轴上的定点(1,0)-,(1,0). 方法二： （1）同方法一； （2）①当直线l 的斜率不存在时，有(0,1)P ，(0,1)Q -，(0,1)M ，(0,1)N -，此时以MN 为直径的圆经过x 轴上的点(1,0)-和(1,0)； ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx =， 联立方程组22 1, 3, x y y kx ?+=???=? ，解得P ，(Q . 设(0,)M m ，(0,)N n 又直线AP 的斜率1k = AM 的斜率2k =， 因为,,A P M 三点共线，所以12k k = ，解得m = 同理，可得n =， 假设存在满足题意的x 轴上的定点(,0)R t ，则有RM RN ⊥， 直线RM 的斜率3m k t =- ，直线RN 的斜率4n k t =-， 所以341k k =-，故有2 t mn =-，即2t = 整理，得2 1t =，解得1t =或1t =-， 综合①②，可知以MN 为直径的圆恒过x 轴上的定点(1,0)-，(1,0). 45.（本小题满分12分） 已知函数()ln 3f x a x ax =--（0a ≠）． （1）讨论()f x 的单调性； （2）若()()140f x a x e +++-≤对任意2 ,x e e ??∈??恒成立，求实数a 的取值范围（e 为 自然常数）； （3）求证：( )( )( )( ) 2 2 2 2 ln 21ln 31ln 41ln 112ln !n n ++++++???++<+（2n ≥， n *∈N ）． 【答案】：（1）当0>a 时，增区间为(]0,1，减区间为[)1,+∞；当0 减区间为(]0,1；（2）2 12 e e a --≤；（3）见解析． 【解析】：（1）)0() 1()(>-= 'x x