全国高考文科全国卷数学试题及答案

年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学卷3

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的

四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则A B

I中元素的个数为A．1 B．2 C．3 D．4

2．复平面内表示复数(2)

=-+的点位于

z i i

A．第一象限B．第二象限C．第三象限

D．第四象限

3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.

根据该折线图，下列结论错误的是 A ．月接待游客逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加

C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月

D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

4．已知4sin cos 3

αα-=，则sin 2α=

A ．79

- B ．29

- C ． 29

D ．79

5．设,x y 满足约束条件326000x y x y +-≤??

≥??≥?

，则z x y =-的取值范围是

A ．[-3，0]

B ．[-3，2]

C ．[0，2]

D ．[0，

3]

6．函数1()sin()cos()5

3

6

f x x x ππ

=++-的最大值为

A ．65

B ．1

C ．35

D ．15

7．函数2sin 1x

y x x

=++

的部分图像大致为

A ．

B ．

C ．

D ．

8．执行右面的程序框图，为使输出S 的值小于91，

则输入的正整数N 的最小值为 A ．5 B ．4 C ．3 D ．2

9．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径

为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A ．π B ．

34π C ．

2

π

D ．4

π

10．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，则

A ．11A E DC ⊥

B ．1A E BD ⊥

C ．11A E BC ⊥

D ．1A

E AC ⊥

11．已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的左、右顶点分别为12,A A ，且以线段

12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为

A ．

B C D ．13

12．已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =

A ．1

2

-

B ．13

C ．12

D ．1

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知向量(2,3),(3,)a b m =-=，且a b ⊥，则m = .

14．双曲线22

21(0)9x y a a -=>的一条渐近线方程为35

y x =，则a = .

15．ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 。已知60,3C b c ===o ，则

A =_________。

16．设函数1,0,()2,0,

x x x f x x +≤?=?>?　则满足1

()()12f x f x +->的x 的取值范围是

__________。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第

17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（12分）

设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-=K . （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列{}21

n

a n +的前n 项和. 18．（12分）

某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，

售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

最高气

温

[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天数216362574

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计

Y大于零的概率．

19．（12分）

如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．

（1）证明：AC ⊥BD ；

（2）已知△ACD 是直角三角形，AB =BD ．若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE ⊥EC ，求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比． 20．（12分）

在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题：

（1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；

（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. 21．（12分）

已知函数()2(1)ln 2x ax a x f x =+++． （1）讨论()f x 的单调性； （2）当0a <时，证明3

()24f x a

≤-

-． （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多

做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为2,

x t y kt =+??=?（t 为参数），

直线2l 的参数方程为2,

x m m

y k =-+??

?=??

（m 为参数），设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．

（1）写出C 的普通方程：

（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设3l ：

(cos sin )0ρθθ+-=，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径．

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知函数()||||f x x x =+1--2．

（1）求不等式()f x ≥1的解集；

（2）若不等式()f x x x m 2≥-+的解集非空，求m 的取值范围．

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文科数学参考答案

一、选择题

1．B 2．C 3．A 4．A 5．B 6．A 7．D 8．D 9．B 10．C 11．A 12．C 二、填空题

13．2 14．5 15．75° 16．1(,)4

-+∞

三、解答题 17．解：

（1）因为123(21)2n a a n a n +++-=K ，故当2n ≥时，

1213(23)2(1)n a a n a n -+++-=-K

两式相减得(21)2n n a -= 所以2

(2)21

n a n n =

≥- 又由题设可得12a = 从而{}n a 的通项公式为2

21

n a n =- （2）记{

}21

n

a n +的前n 项和为n S 由（1）知

211

21(21)(21)2121

n a n n n n n ==-++--+ 则1111112 (1335212121)

n n

S n n n =-+-++-=-++ 18．解：

（1）这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，

由表格数据知，最高气温低于25的频率为

21636

0.690

++=，所以这

种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为

（2）当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，

若最高气温不低于25，则64504450900Y =?-?=；

若最高气温位于区间[20,25），则

63002(450300)4450300Y =?+--?=；

若最高气温低于20，则62002(450200)4450100Y =?+--?=-

所以，Y 的所有可能值为900,300，-100

Y 大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低

于20的频率为

362574

0.890

+++=，因此Y 大于零的概率的估计值为

19．解：

（1）取AC 的中点O ，连结,DO BO ，

因为AD CD =，所以AC DO ⊥

又由于ABC ?是正三角形，故BO AC ⊥ 从而AC ⊥平面DOB ，故AC BD ⊥

（2）连结EO

由（1）及题设知90ADC ∠=o ，所以DO AO = 在Rt AOB ?中，222BO AO AB +=

O

D

B

C

E

又AB BD =，所以

222222BO DO BO AO AB BD +=+==，故90DOB ∠=o

由题设知AEC ?为直角三角形，所以1

2

EO AC =

又ABC ?是正三角形，且AB BD =，所以1

2

EO BD =

故E 为BD 的中点，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的

12，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的1

2

，即四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积之比为1:1

20．解：

（1）不能出现AC BC ⊥的情况，理由如下：

设12(,0),(,0)A x B x ，则12,x x 满足220x mx +-=，所以122x x =- 又C 的坐标为（0,1），故AC 的斜率与BC 的斜率之积为121112

x x --?=-，所以不能出现AC BC ⊥的情况 （2）BC 的中点坐标为21(

,)22x ，可得BC 的中垂线方程为221

()22

x y x x -=- 由（1）可得12x x m +=-，所以AB 的中垂线方程为2

m

x =-

联立22

,21()22

m x x y x x ?=-????-=-??又2

2220x mx +-=，可得,212m x y ?=-????=-??

所以过A,B,C 三点的圆的圆心坐标为1

(,)22

m --

，半径2r =

故圆在y

轴上截得的弦长为3=，即过A,B,C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值。 21．解：

（1）f(x)的定义域为(0,)+∞，1(1)(21)

()221x ax f x ax a x x

++'=+++=

若0a ≥，则当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在(0,)+∞单调递增

若0a <，则当1(0,)2x a ∈-

时，()0f x '>；当1

(,)2x a

∈-+∞时，()0f x '< 故()f x 在1(0,)2a -单调递增，在1

(,)2a

-+∞单调递减。

（2）由（1）知，当0a <时，()f x 在1

2x a

=-取得最大值，最大值为

111

()ln()1224f a a a -=---

所以3()24f x a ≤--等价于113

ln()12244a a a

---≤--，即

11ln()1022a a

-++≤

设()ln 1g x x x =-+，则1

()1g x x

'=-

当(0,1)x ∈时，()0g x '>；当(1,)x ∈+∞，()0g x '<。 所以()g x 在（0,1）单调递增，在(1,)+∞单调递减。 故当1x =时，()g x 取得最大值，最大值为(1)0g = 所以当0x >时，()0g x ≤ 从而当0a <时，11ln()1022a a -++≤，即3()24f x a

≤-- 22．解：

（1）消去参数t 得1l 的普通方程1:(2)l y k x =-；消去参数m t 得2l 的普

通方程21:(2)l y x k

=+

设(,)P x y ，由题设得(2),1

(2).y k x y x k =-??

?=+??

消去k 得224(0)x y y -=≠ 所以C 的普通方程为224(0)x y y -=≠

（2）C 的极坐标方程为222(cos sin )4(22,)ρθθθπθπ-=<<≠

联立222(cos sin )4,(cos sin )0

ρθθρθθ?-=??+=??得cos sin 2(cos sin )θθθθ-=+

故1tan 3θ=-，从而2

291cos ,sin 1010

θθ=

= 代入222(cos sin )4ρθθ-=得25ρ=，所以交点M

23．解：

（1）3,1,

()21,12,3,2x f x x x x -<-??

=--≤≤??>?

当1x <-时，()1f x ≥无解；

当12x -≤≤时，由()1f x ≥得，211x -≥，解得12x ≤≤；

当2x >时，由()1f x ≥解得2x >

所以()1f x ≥的解集为{|1}x x ≥

（2）由2()f x x x m ≥-+得2|1||2|m x x x x ≤+---+，而

22|1||2|||1||2||x x x x x x x x +---+≤++--+

235

(||)24

x =--+

5 4≤

且当

3

2

x=时，2

5

|1||2|

4

x x x x

+---+=

故m的取值范围为

5 (,]

4 -∞