2019-2020学年河南省平顶山市高一上学期期末数学试题(解析版)
河南省平顶山市高一上学期期末数学试题
一、单选题
1.已知集合{0,1,2,3,4,5,6}A =,{|4B x x =>或0}x <,则()
R A B =I e( ) A .{1,2,3,4} B .{0,1,2,3,4}
C .{1,2,3}
D .{|04}x x ≤≤
【答案】B
【解析】先求得R B e,再求得()
R A B I e 【详解】
{|4B x x =>Q 或0}x <,R {|04}B x x ∴=剟e,
()R {0,1,2,3,4,5,6}{|04}{0,1,2,3,4}A B x x ∴?=?=剟e.
故选:B 【点睛】
本小题主要考查集合交集、补集的概念和运算,属于基础题.
2.已知直线1l ⊥平面α,直线2l ?平面α,则下列结论一定不正确的是( ) A .12,l l 相交 B .12,l l 异面
C .12l l //
D .12l l ⊥
【答案】C
【解析】根据线面垂直的概念,判断1l 与2l 不平行. 【详解】
由平面的垂线的定义可知,在平面α内肯定不存在与直线1l 平行的直线. 故选:C 【点睛】
本小题主要考查线面垂直的知识,属于基础题.
3.已知函数3
3(0)()log (0)x x f x x x -?=?>?,,?则
13f f ?
?
??= ? ?????
( ) A .3 B .
13 C .13
-
D .3-
【答案】A
【解析】根据分段函数解析式,先求得13f ?? ???
的值,再求得13f f ???? ? ?????
的值.
【详解】
由题可知(1)
311log (1)3333f f f f --??????==-== ? ? ????
?
??
.
故选:A 【点睛】
本小题主要考查分段函数求函数值,属于基础题.
4.已知(1,2)P -,(2,4)Q ,直线:3l y kx =+.若P 点到直线l 的距离等于Q 点到直线l 的距离,则k =( ) A .
2
3
或6 B .
23
C .0
D .0或
23
【答案】D
【解析】利用点到直线的距离公式列方程,解方程求得k 的值. 【详解】
=
,解得0k =或
23
. 故选:D 【点睛】
本小题主要考查点到直线的距离公式,属于基础题.
5.函数y = )
A .1,3??+∞????
B .2,3
??-∞ ??
?
C .12,33
??????
D .12,
33??
????
【答案】D
【解析】根据偶次方根的被开方数为非负数、对数真数大于零列不等式,解不等式求得函数的定义域. 【详解】
要使函数有意义,需使
12
log (23)0x -…,即
0231x <-≤,解得12
33
x .所以函数
的定义域为12,33??
????
.
故选:D 【点睛】
本小题主要考查对数型复合函数定义域的求法,属于基础题.
6.已知3log 2a =,2
12b -??= ???
,()33log log 2c =,则,,a b c 的大小关系为( ) A .a b c >> B .b a c >>
C .c a b >>
D .b c a >>
【答案】B
【解析】利用“0,1分段法”结合对数函数的单调性、指数运算,比较出三者的大小关系. 【详解】
由题意,根据对数函数的单调性可得3330log 1log 2log 31=<<=,即3log 2(0,1)∈,
故()33log log 20c =<,又2
212412b -??===> ???
,所以b a c >>.
故选:B 【点睛】
本小题主要考查指数式、对数式比较大小,属于基础题. 7.已知0a b >>且1a b
=
,则函数x
y a =-与log ()b y x =-的大致图象是( ) A . B .
C .
D .
【答案】C
【解析】首先判断出10>>>a b ,根据指数型函数的单调性、对数型函数的单调性,由此判断出正确选项.
【详解】
由于0a b >>且1a b
=
,所以10>>>a b .当1a >时,函数x
y a =单调递增,函数x y a =-与函数x y a =的图象关于x 轴对称,当01b <<时,函数log b y x =调递减,
函数log ()b y x =-与函数log b y x =的图象关于y 轴对称,结合选项可知选C. 故选:C 【点睛】
本小题主要考查函数图象的识别,考查指数型、对数型函数的单调性,属于基础题.
8.如果圆22
()()1(0)x a y a a -+-=>上所有点到原点O 的距离都不小于3,则实数a
的取值范围为( )
A .2]
B .)+∞
C .
D .[1,
【答案】B
【解析】设P 是圆上任意一点,利用P 到原点O 的距离不小于3列不等式,解不等式求得a 的取值范围. 【详解】
圆2
2
()()1(0)x a y a a -+-=>的圆心为(,)a a ,半径1r =.设圆心到原点的距离为d ,
则|d a =
==.设圆上任一点为P ,可知
1|||
1OP -+剟,由题意可知|31-…,解得a …a -?
去),故实数a 的取值范围是)+∞. 故选:B 【点睛】
本小题主要考查点和圆的位置关系,属于基础题.
9.若函数2(2)(3),()(21)(3)
x k x x f x k x k x ?-++≤=?-+>?在R 上为增函数,则实数k 的取值范围为
( ) A .1,2??+∞
???
B .[0,4]
C .[4,)+∞
D .[1,8]
【答案】C
【解析】根据分段函数在R 上递增,结合二次函数、一次函数的单调性列不等式组,解
不等式组求得k 的取值范围. 【详解】
()f x Q 在R 上为增函数,210,23,23(21)93(2)k k k k k ->??+?
∴??-+-++??
……1,24,0,k k k ?
>???????
……,解得4k ….∴
实数k 的取值范围是[4,)+∞. 故选:C 【点睛】
本小题主要考查根据分段函数的单调性求参数的取值范围,属于基础题.
10.有一个棱长为10cm ,悬空放置的正方体框架,将一个圆气球放在框架内,再向气球内充气,当圆气球恰好与框架12条棱均相切时,如果不计气球的厚度,则气球内气体的体积为( ) A .
31000cm 3
π
B
.
3cm 3
C .
3500cm 3
π
D
.
3cm 3
【答案】A
【解析】根据球恰好与正方体框架12条棱均相切,计算出球的半径,进而计算出求得体积. 【详解】
设球心为O ,正方体上底面中心为A ,上底面一边的中点为B ,在Rt OAB ?中,
5cm OA =,5cm AB =
,则OB =
,即气球的半径
R
=33
34433V R ππ∴==?=
气. 故选:A 【点睛】
本小题主要考查几何体与球体的位置关系,考查球的体积计算,属于基础题.
11.知函数1(0),()0(0),1(0),x w x x x -?
==??>?
()f x 是R 上的减函数,()()()(1)g x f x f ax a =->,则
( )
A .2(())()w g x w x =-
B .(())()
w g x w x =-
C .2(())()w g x w x =
D .(())()w g x w x =
【答案】D
【解析】将x 分成0,0,0x x x >=<三种情况,结合分段函数()w x 的解析式,求得
(())w g x 的解析式,由此确定正确选项.
【详解】
①当0x >时,x ax <,由单调性可知()0>g x ,此时(())1()w g x w x ==; ②当0x =时,()0g x =,此时(())(0)0()w g x w w x ===;
③当0x <时,x ax >,由单调性可知()0 本小题主要考查复合函数解析式的求法,考查分段函数的性质,属于基础题. 12.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,对任意的x ∈R 都有 5122f x f x ??? ?+=- ? ?????,当3,02x ??∈- ???时,2()log (1)f x x =--,则 (2020)(2019)f f -=( ) A .1 B .2 C .1- D .2- 【答案】A 【解析】首先根据5122f x f x ? ???+ =- ? ?? ?? ?求得()f x 的周期,由此化简()()(2020)(2019)10f f f f -=-,利用()f x 为奇函数,以及3 ,02 x ??∈- ?? ? 时() f x 的解析式,求得()()1,0f f 的值,由此求得(2020)(2019)f f -的值. 【详解】 函数()f x 满足对任意的x ∈R 都有5122f x f x ????+ =- ? ?? ?? ?,则(3)()f x f x +=,所以(2020)(36731)(1)f f f =?+=,(2019)(3673)(0)f f f =?=.由函数()f x 是定义 在R 上的奇函数,知(0)0f =.当3,02x ?? ∈- ??? 时,2()log (1)f x x =--,则 22(1)log [1(1)]log 21f -=---=-=-,则(1)(1)1f f =--=,故(2020)(2019)(1)(0)101f f f f -=-=-=. 故选:A 【点睛】 本小题主要考查函数的周期性、奇偶性,考查化归与转化的数学思想方法,属于基础题. 二、填空题 13.函数()log (4)a f x x =-(0a >且1a ≠)的图象恒过定点的坐标为______. 【答案】(5,0) 【解析】根据log 10a =,求得()f x 图象所过定点. 【详解】 令41x -=,解得5x =,所以函数()log (4)a f x x =-(0a >且1a ≠)的图象恒过定点的坐标为(5,0) 故答案为:()5,0 【点睛】 本小题主要考查对数型函数过定点问题,属于基础题. 14.扇形OAB 的圆心角为90°,半径1OA OB ==,则该扇形绕OA 所在直线旋转一周得到的几何体的表面积为___________. 【答案】3π 【解析】根据旋转体的概念判断出旋转所得几何体为半球,由此求得半球的表面积. 【详解】 由已知可得,以OA 所在直线为旋转轴将整个图形旋转一周所得几何体是一个半球,半球的半径为故半球的表面积为22223r r πππππ+=+=. ? 故答案为:3π 【点睛】 本小题主要考查旋转体的结构判断,考查半球表面积有关计算,属于基础题. 15.《九章算术》卷第五——商功中记载有几何体“方亭”,一“方亭”的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是全等的等腰梯形.则其侧棱与底面所成的角为_______. 【答案】60° 【解析】画出“方亭”的对角面,根据线面角的定义,判断出侧棱与底面所成的角,解三角形求出这个角. 【详解】 由三视图可知“方亭”实质为上下底面均为正方形的棱台,上底面边长为1,下底面边长为3,高为6.画出“方亭”的对角面,如图所示,为上底为2,下底为32的等腰梯形ABCD ,过点,B C 分别作BE AD ⊥,CF AD ⊥,易知BE ⊥底面,所以BAE ∠是侧棱与底面所成的角.2AE DF == ,又6BE = ,所以tan 3BE BAE AE ∠= =,所以60BAE ?∠=,所以侧棱与底AF 面所成的角为60° . 故答案为:60o 【点睛】 本小题主要考查棱台侧棱与底面所成角的计算,考查中国古代数学文化,属于基础题. 16.已知圆C 的圆心在y 轴上,若直线30kx y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --,则圆C 的标准方程为___. 【答案】2 2 (2)5x y ++= 【解析】设出圆心的坐标()0,m ,判断出A 在直线30kx y -+=上,将A 的坐标代入直线方程,求得k 的值为3.根据圆心和切点的连线与直线230x y -+=垂直列方程,由此求得m 的值,利用两点间的距离公式求得圆的半径,进而求得圆的标准方程. 【详解】 设圆C 的圆心坐标为(0,)m .直线30kx y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --,显然A 点在该直线上,即2(1)30k ---+=,解得2k =.又圆心和切点的连线与直线 230x y -+=垂直,所以 (1)1 0(2)2 m --=---,解得2m =-.根据两点间的距离公式,可得 圆C 的半径r = =.故圆C 的标准方程为22 (2)5x y ++=. 故答案为:2 2 (2)5x y ++= 【点睛】 本小题主要考查直线和圆的位置关系,考查圆的标准方程的求法,考查圆的几何性质,属于基础题. 三、解答题 17.计算:(Ⅰ)1 42 2 1812224-- -?? ??-?-+ ? ??? ??; (Ⅱ)()2 212413331 ln lg log 8log 27log 3log 3log 2log 2100e -???+?++- ??? . 【答案】(Ⅰ)-2(Ⅱ)-8 【解析】(I )利用指数运算,化简求得表达式的值. (II )利用对数运算,化简求得表达式的值. 【详解】 (Ⅰ)142 2 1812224-- -?? ??-?-+ ? ????? 1 16824 =?-+ 482=-+ 2=-. (Ⅱ)()2 212413331 lne lg log 8log 27log 3log 3log 2log 2100-???+?++- ??? ()233 (2)(2)3(3)log 32log 22 =-?-+?-+?- 493=-- 8=-. 【点睛】 本小题主要考查指数运算和对数运算,属于基础题. 18.已知三点(5,0)A ,(3,2)B --,(0,2)C . (Ⅰ)求线段AB 的中垂线方程; (Ⅱ)求线段BC 的中点到直线AB 的距离. 【答案】(Ⅰ)430x y +-=(Ⅱ 【解析】(I )首先求得线段AB 的斜率,由此求得中垂线的斜率,然后求得线段AB 中点的坐标,由此求得中垂线的方程. (II )求得直线AB 的方程,求得线段BC 中点的坐标,根据点到直线的距离公式,求得线段BC 的中点到直线AB 的距离. 【详解】 (Ⅰ)由题得201 354 AB k --= =--, 所以线段AB 的中垂线斜率4k =-. 又线段AB 的中点坐标为(1,1)-, 所以线段AB 的中垂线方程为()141y x +=--,即430x y +-=. (Ⅱ)由(Ⅰ)可得直线AB 的方程为1 0(5)4 y x -= -,即450x y --=. 线段BC 的中点为3,02 ??- ??? , 所以线段BC 的中点到直线AB = 【点睛】 本小题主要考查直线方程的求法,考查点到直线的距离公式,考查中点坐标公式,属于基础题. 19.已知幂函数35()()m f x x m N -+=∈为偶函数,且在区间(0,)+∞上单调递增. (Ⅰ)求函数()f x 的解析式; (Ⅱ)设函数()()21g x f x x λ=+-,若()0 【答案】(Ⅰ)2 ()f x x =(Ⅱ)3,4? ?-∞- ??? 【解析】(I )根据幂函数的奇偶性和在区间(0,)+∞上的单调性,求得m 的值,进而求得()f x 的解析式. (II )先求得()g x 的解析式,由不等式()0 x x λ<-,结合函数122 x y x = -在区间[]1,2上的单调性,求得λ的取值范围. 【详解】 (Ⅰ)∵幂函数35 ()()m f x x m -+=∈N 为偶函数,且在区间(0,)+∞上单调递增, 350m ∴-+>,且35m -+为偶数. 又N m ∈,解得1m =, 2()f x x ∴=. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知2 ()()2121g x f x x x x λλ=+-=+-. 当[1,2]x ∈时,由()0 x x λ<-. 易知函数122 x y x = -在[1,2]上单调递减, min 112322222 4x x λ?? ∴<-=-=- ????. ∴实数λ的取值范围是3,4? ?-∞- ??? . 【点睛】 本小题主要考查幂函数的单调性和奇偶性,考查不等式在给定区间上恒成立问题的求解策略,属于中档题. 20.为保障城市蔬菜供应,某蔬菜种植基地每年投入20万元搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入2万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜.根据以往的经验,发现种西红柿的年收入()f x 、种黄瓜的年收入()g x 与大棚投入x 分别满足 ()8f x =+1 ()124 g x x = +.设甲大棚的投入为a ,每年两个大棚的总收入为()F a .(投入与收入的单位均为万元) (Ⅰ)求(8)F 的值. (Ⅱ)试问:如何安排甲、乙两个大棚的投入,才能使年总收人()F a 最大?并求最大年总收入. 【答案】(Ⅰ)39万元(Ⅱ)甲大棚投入18万元,乙大棚投入2万元时,最大年总收入为44.5万元. 【解析】(I )根据题意求得()F a 的表达式,由此求得()8F 的值. (II )求得()F a 的定义域,利用换元法,结合二次函数的性质,求得()F a 的最大值,以及甲、乙两个大棚的投入. 【详解】 (Ⅰ )由题意知11 ()8(20)122544 F a a a =++-+=-++, 所以1 (8)825394 F =- ?+=(万元). (Ⅱ)依题意得2,218202a a a ??? -? … 剟…. 故1 ()25(218)4 F a a a =- +剟. 令t = ,则t ∈ ,22 11()25(5744 G t t t =-++=--+, 显然在上()G t 单调递增, 所以当t =18a =时,()F a 取得最大值,max ()44.5F a =. 所以当甲大棚投入18万元,乙大棚投入2万元时,年总收入最大,且最大年总收入为44.5万元. 【点睛】 本小题主要考查函数在实际生活中的应用,考查含有根式的函数的最值的求法,属于中 档题. 21.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为平行四边形,平面PAC ⊥平面PCD , PA CD ⊥,3CD DP ==,2PC =,4=AD . (Ⅰ)设,G H 分别为,PB AC 的中点,求证://GH 平面PAD ; (Ⅱ)求证:PA ⊥平面PCD ; (Ⅲ)求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值. 【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析(Ⅲ2 【解析】(I )连接BD ,利用平行四边形的性质,结合三角形的中位线,证得//GH PD ,由此证得//GH 平面PAD . (II )取棱PC 的中点N ,连接DN ,根据等腰三角形的性质证得DN PC ⊥,根据面面垂直的性质定理证得DN ⊥平面PAC ,由此证得DN PA ⊥,再由PA CD ⊥证得 PA ⊥平面PCD . (III )连接AN ,结合(II )中证得的DN ⊥平面PAC ,判断出DAN ∠为直线AD 与平面PAC 所成的角,解三角形求得线面角的正弦值. 【详解】 (Ⅰ)如图,连接BD . 易知AC BD H =I ,BH DH =. 又由BG=PG , 可知//GH PD . 因为GH ?/平面PAD ,PD ?平面PAD , 所以//GH 平面PAD . (Ⅱ)如图,取棱PC 的中点N ,连接DN . 依题意,得DN PC ⊥, 又因为平面PAC ⊥平面PCD ,平面PAC I 平面PCD PC =, 所以DN ⊥平面PAC ,又PA ?平面PAC , 故DN PA ⊥. 又因为PA CD ⊥,CD DN D =I , 所以PA ⊥平面PCD . (Ⅲ)如图,连接AN . 由(Ⅱ)中DN ⊥平面PAC ,可知DAN ∠为直线AD 与平面PAC 所成的角. 因为3CD DP ==,2PC =,且N 为PC 中点, 所以22DN =. 又DN AN ⊥,在Rt AND V 中,4=AD , 所以222 sin DN DAN AD ∠= == . 所以直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值为 2 2 . 【点睛】 本小题主要考查线面平行的证明,考查线面垂直的证明,考查线面角的求法,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题. 22.已知函数2,, ()lg 1,,x x m f x x x m ??=?+>?? ?其中01m . (Ⅰ)当0m =时,求函数()2y f x =-的零点个数; (Ⅱ)当函数2 ()3()y f x f x =-的零点恰有3个时,求实数m 的取值范围. 【答案】(Ⅰ)零点3个. (Ⅱ)10, 100?? ???? 【解析】(I )当0m =时,由()20f x -=,结合分段函数解析式,求得函数的零点,由此判断出()2y f x =-的零点的个数. (II )令2 ()3()0f x f x -=,解得()0f x =(根据分段函数解析式可知()0f x >,故 舍去.)或()3f x =.结合分段函数解析式,求得()3f x =的根,结合分段函数()f x 的 分段点,求得m 的取值范围. 【详解】 (Ⅰ)当0m =时,2,0, ()lg 1,0.x x f x x x ??=? +>?? ? 令()20y f x =-=,得()2f x =, 则|lg |12x +=或||22x =. 解|lg |12x +=,得10x =或 110 , 解||22x =,得1x =-或1x =(舍). 所以当0m =时,函数()2y f x =-的零点为1-, 1 10 ,10,共3个. (Ⅱ)令2 ()3()0f x f x -=,得()0f x =或()3f x =. 由题易知()0f x >恒成立. 所以()3f x =必须有3个实根,即|lg |13x +=和||23x =共有3个根. ①解||23x =,得2log 3x =-或2log 31x =>(舍),故有1个根. ②解|lg |13x +=,得100x =或1 100 x =, 要使得两根都满足题意,则有1100 m <. 又01m ,所以10100 m < ?. 所以实数m 的取值范围为10,100?? ???? . 【点睛】 本小题主要考查分段函数零点个数的判断,考查根据函数零点个数求参数的取值范围,属于中档题.