(新)高中数学知识点易错点梳理七立体几何

高中数学知识点易错点梳理七立体几何

几何体中数量运算导出结论

数量运算结论涉及到几何体的棱、侧面、对角面、截面等数量关系及几何性质. 1.在长方体(,,)a b c 中： ①体对角线长为222c b a ++

，外接球直径2R = ②棱长总和为4()a b c ++； ③全(表)面积为2()ab bc ca ++，体积V abc =； 2.在正三棱锥中：①侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)?顶点在底上射影为底面外心；②侧棱两两垂直(两对对棱垂直)?顶点在底上射影为底面垂心；③斜高长相等(侧面与底面所成角相等)且顶点在底上在底面内?顶点在底上射影为底面内心.

3.在正四面体中：设棱长为a ，则正四面体中的一些数量关系：

①全面积2S =

；②体积312

V =

；③对棱间的距离2

d =

；④外接球半径

R =

；⑤内切球半径12

r a =

；⑥正四面体内任一点到各面距离之和为定值3

h =.

4.在立方体中：

设正方体的棱长为a ，则

①体对角线长为a 3，②全面积为2

6a ，③体积3V a =，④内切球半径为1r ,外接球半

径为2r ,与十二条棱均相切的球半径为3r ,则12r a =

,22r

,22r =

且

1231r r r =::【点拨】：立方体承载着诸多几何体的位置关系特征，只要作适当变形，如切割、组合、扭转等处理，便可产生新几何体.貌似新面孔，但其本原没变.所以，在求解三棱椎、三棱柱、球体等问题时，如果一般识图角度受阻，不妨尝试根据几何体的结构特征，构造相应的“正方体”，将问题化归到基本几何体中，会有意想不到的效果.

5.在球体中：

球是一种常见的简单几何体．球的位置由球心确定，球的大小仅取决于半径的大小．球包括球面及球面围成的空间区域内的所有的点．球面是到球心的距离等于定长(半径) 的点的集合．

球的截面是圆面，球心和截面圆的距离d 与球的半径R 及截面圆半径r

之间的关系是

r =.

⑹外接球半径

R=R 7. 球的组合体

(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长．

(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长．

(3)球与正四面体的组合体: 棱长为a

,外接球的半

．

C 15.不定项填空题易误知识点拾遗： (1)情况存在的“个数”问题

①空间中到四面体的四个顶点距离都相等的平面＿＿个.（7个）；

②过直线外一点有＿＿个平面与该直线平行（无数个）；

③一直线与一平面斜交，则平面内有＿＿条直线与该直线平行.（0）； ④3条两两相交的直线可以确定＿＿个平面（1个或3个）；

⑤经过空间外一点，与两条异面直线都平行的平面有＿＿条（0或1）； ⑥3个平面可以把空间分＿＿个部分.（4或6或7或8）； ⑦两两相交的4条直线最多可以确定＿＿个平面（6个）；

(2)平面与空间的“区分”问题 1.错误的命题

①垂直于同一条直线的两直线平行； ②平行于同一直线的两平面平行； ③平行于同一平面的两直线平行；

④过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直； ⑤两个不同平面内的两条直线叫做异面直线；

⑥一直线与一平面内无数条直线垂直，则该直线与这个平面垂直…… 2.正确的命题

①平行于同一条直线的两条直线平行； ②垂直于同一条直线的两个平面平行；

③两平面平行，若第三个平面与它们相交且有两条交线，则两直线平行； ④两相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面…… (3)易误提点：

①0a b ?<是,a b <>为钝角的必要非充分条件. ②截距不一定大于零，可为负数，可为零；

③0常常会是等式不成立的原因，0模为0，方向和任意向量平行，却不垂直； ④在导数不存在的点，函数也可能取得极值；导数为0的点不一定是极值点，一定要既考虑0()0f x '=，又要考虑检验“左正右负”或“左负右正”；（2009江苏卷12）设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；

（3）设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直；（4）直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直．

上面命题中，真命题．．．的序号（写出所有真命题的序号）. (1)(2)

C16．关于空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比：

多面体多边形；面边体积面积；二面角平面角面积线段长； … ….

高中数学知识点易错点梳理七立体几何

第十六题（立几基础题）——推证不漏一个条件

立体几何：主要考查：1、平行问题；线线，线面，面面平行，重点仍是线面平行——两种方法（线线法，面面法）；2、垂直问题：条件与结论中都有垂直，重点是线线垂直与线面垂直（或面面垂直）的转化．复习时要重视证明、运算、推理的规范训练，要关注翻折问题，要偏重平行、垂直关系的探究与证明． 16.1、位置关系证明（主要方法）：（1）线面平行

思考途径 I.转化为直线与平面无公共点；

II.转化为线线平行； III.转化为面面平行支持定理 ①////a b b a a ααα?

????

???

； ②////a a αββα?????

；配图助记

（2）线线平行：

思考途径 I.利用平面几何结论（中位线或构造平行四边形）；

II.转化为二直线同与第三条直线平行；III.转化为线面平行； IV.转化为线面垂直；V.转化为面面平行.

支持定理

①////a a a b b αβαβ?

?????=?；②//a a b b αα⊥???⊥?；③////a a b b αβαγβγ??=???=?

；④

//////a b c b a c ???? 配图助记

（3）面面平行：

思考途径转化为线面平行；

支持定理 ①,////,//a b a b o a b αααβββ???

?=????

配图助记

（4）线线垂直：

思考途径 I.转化为相交垂直；

II.转化为线面垂直；

支持定理

① a a b b αα⊥??⊥???

；②所成角为900；

配图助记

（5）线面垂直：

b βa a b α

b γβ α a a β α

b α

a b

思考途径 I 转化为该直线与平面内相交二直线垂直；

II 转化为面面垂直；

支持定理

①,,a b a b O l l a l b ααα????=?⊥?

?⊥⊥?

；②,l a a a l αβαββα⊥??=?⊥???⊥?；

配图助记（6）面面垂直：

思考途径 I.转化为判断二面角是直二面角；

II.转化为线面垂直.

支持定理 ①二面角900；②

a a βαβα??

?⊥?⊥?

；配图助记 16.2、求解距离和体积

求体积常规方法：直接法（公式法）、分割法、补形法、等积法(位置转换)、比例法(性质转换)等.

16.3重要性质

（1）在三棱椎P ABC -中,设顶点P 在底面的射影为H ，即PH ABC ⊥.

①正三棱椎P ABC -中,则有PA BC ⊥,PB AC ⊥,PC AB ⊥,P 在底面的射影是

ABC ?的中心.

②若PA BC ⊥,PB AC ⊥,则H 为ABC 的垂心. ③若PA PB PC ==,则H 为ABC 的外心. ④若PD ⊥AB,PE ⊥BC,PF ⊥AC 垂足分别为D 、E 、F 且PD=PE=PF. 则点H 是△ABC 的内心;

（2）①若∠POA=∠POB ，则PO 在面AOB 上的射影是∠AOB 的角平分线；

②若∠AOB ，PE ⊥OA ，PF ⊥OB ，垂足分别E 、F 且PE=PF.则点P 在面AOB 上的

射影在∠AOB 平分线.

b a O

l α

α β

α a