2016-2017学年高二数学湘教版选修1-1同步练习：3.3.1 利用导数研究函数的单调性 Word版含解析
2017版高中数学选修1-1(课件)：3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.2 函数的极值与导数
2
x
极小值为f
函数fx =
12x 3=--434x.+
3
4的图象如图所示.
极大值一定大于极小值吗?
思 考 导 数 值 为 0的 点 一 定 是 函 数 的 极 值 点 吗 ?
第十七页，编辑于星期六：三点 二十八分。
解答： 导数值为 0 的点不一定是函数的极值点 .例如,
对于函数 f x = x3 ,我们有 fx = 3x2.虽然 f0 = 0, 但由于无论 x > 0 ,还是 x < 0 ,恒有 fx > 0 ,即函数 f x = x3是单调递增的,所以x = 0不是函数f x = x3的 极值点.也就是说,函数 y = f x在一点的导数值为0是 函数 y = f x 在这点取极值的必要条件,而非充分条件.
bx
提示：观察图象,我们发现,f x1 , f x3 ,f x5 是函数y = f x 的极小值,f x2 ,f x4 ,f x6 是函数y = f x的极大值.
第九页，编辑于星期六：三点 二十八分。
探究：根据函数极值的概念,回答下列问题:
(1)函数的极值点是否只能有一个?区间的端点能不 能成为函数的极值点? 提示:函数在其定义域上的极值点可能不止一个,也可 能没有;极值点是函数定义域中的点,因而端点不可能 是极值点.
用方程f′(x)=0的根，顺次将函数的定义域 分成若干个开区间，并列成表格，由f′(x)在方程 f′(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处 取极值的情况.
第二十九页，编辑于星期六：三点 二十八分。
我以为挫折、磨难是锻炼意志、增强能 力的好机会。
——邹韬奋
第三十页，编辑于星期六：三点 二十八分。
求导数—求临界点—列表—写出单调性
《原创》2013—2014学年高二数学选修1—1导学案3.3.1利用导数研究函数的单调性
2.函数的单调递增区间是_____________
3.函数的单调区间为
4.用导数证明
①，在上是减函数。
②在区间上是增函数。
课题3.3.1——利用导数研究函数单调区间
2.利用导数证明函数的单调性
二：课前预习
1.（1）作出函数的图像，并指出其单调区间：
（2）作出函数的图像，并指出其单调区间：
2.作出函数f(x)=的图像，并用单调性定义证明其在(0，+∞)上递减.
三：课堂研讨
例1函数的单调增区间是；
例2.（1）证明函数在上是增函数；
例3 证明当时，证明
备注
课堂检测——课题：3.3.1研究函数的单调性⑴姓名：
1.确定下列函数的单调区间：
（1）：
（2）：
2.求证当时，
3.已知曲线点P在该曲线上移动，过点P的切线为L,
⑴求证：此函数在R上单调递增；
⑵求L的斜率的取值范围。
课外作业——利用导数研究函数的单调性（1）姓名：
2013-2014学年高二数学1-1导学案：3.3.1利用导数研究函数的单调性(1)
课堂检测——
课题：3.3.1 研究函数的单调性 ⑴
姓名：
2
1.确定下列函数的单调区间： （1） y x 2 ( x 3) ：
（2） y sin x cos x ：
2.求证当 x 0,
时， x sin x 2
3.已知曲线 y x 3 3x 2 6 x 10 点 P 在该曲线上移动， 过点 P 的切线为 L, ⑴求证：此函数在 R 上单调递增； ⑵求 L 的斜率的取值范围。
2.作出函数 f(x)=
1 的图像，并用单调性定义证明其在(0，+∞)上递减. x
三：课堂研讨 例 1 函数 f ( x) x ln x 的单调增区间是 ；
1
例 2.（1）证明函数 f ( x) e e
x
x
在 0, 上是增函数；
例 3 证明当 x 0,
时，证明 tan x x 2
课题 3.3.1——利用导数研究函数的单调性 ⑴ 一：学习目标 1. 利用导数求函数的单调区间 2. 利用导数证明函数的单调性 二：课前预习 1.（1）作出函数 y x 2 4 x 3 的图像，并指出其单调区间：
姓名： 备 注
（2）作出函数 f ( x) sin x( x 0,2 ) 的图像，并指出其单调区间：
课外作业——
利用导数研究函数的单调性 （1）
姓名：
3
1． 函数 f x x 3 x 的单调增区间为
2.函数 f ( x) ( x 3)e x 的单调递增区间是_____________
3.函数 y x
1 的单调区间为 x
4.用导数证明 ① y e x x ，在 x ,0 上是减函数。 ② y sin x 在区间
2016-2017学年高中数学苏教版选修1-1课件：第3章 导数及其应用 3.3.1
f′(x)的正负 f′(x)>0 f′(x)<0
f(x)的单调性
增 函数 减 函数
2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 一般地，设函数 y＝f(x)，在区间(a，b)上
导数的绝对值 函数值变化 越大 越小 函数的图象 比较“ 陡峭 ”(向上或向下) 比较“ 平缓 ”(向上或向下)
快
慢
1.判断正误： (1)函数 f(x)在定义域上都有 f′(x)>0，则函数 f(x)在定义域上单调递增.( (2)f(x)在区间(a，b)上是增函数，则 f′(x)一定大于零.( ) ) )
[再练一题] 2.求下列各函数的单调区间： (1)f(x)＝x3－3x；(2)f(x)＝3x2－2ln x. 【导学号：24830080】 【解】 (1)函数 f(x)的定义域为 R，且 f ′(x)＝3x2－3＝3(x2－1). 当 f ′(x)＞0 时，x<－1 或 x＞1，此时函数 f(x)递增； 当 f ′(x)<0 时，－1< x<1，此时函数 f(x)递减. ∴函数 f(x)的递增区间是(－∞，－1)，(1，＋∞)，递减区间是(－1,1).
阶 段 一
3.3
导数在研究函数中的应用 3.3.1 单调性
阶 段 三
阶 段 二
学 业 分 层 测 评
1.了解函数的单调性与导数的关系. 2.掌握利用导数研究函数的单调性的方法，会求函数的单调区间.(重点、难点)
[基础· 初探] 教材整理 函数的单调性 阅读教材 P86 思考以上部分，完成下列问题. 1.函数的单调性与其导数正负的关系 定义在区间(a，b)内的函数 y＝f(x)
【答案】 (1)④ (2)③
1.利用原函数图象可以判断导函数的正负， 原函数的单调增区间即为 f′(x)≥0 的区间，原函数的减区间就是导函数 f′(x)≤0 的区间. 2.利用导函数的图象可以判断原函数的单调区间， 导函数在 x 轴上方的区间就 是原函数的增区间，导函数在 x 轴下方的区间就是原函数的减区间.
高二数学新同步湘教版选修2-2讲义+精练：第4章 4.3.1 利用导数研究函数的单调性
4．3导数在研究函数中的应用4．3.1 利用导数研究函数的单调性[读教材·填要点]函数在区间(a ，b )上的单调性与其导函数的正负有如下关系：[小问题·大思维]1．在区间(a ，b )内，若f ′(x )>0，则f (x )在此区间上单调递增，反之也成立吗？ 提示：不一定成立．比如y ＝x 3在R 上为增函数，但其在0处的导数等于零．也就是说f ′(x )>0是y ＝f (x )在某个区间上递增的充分不必要条件．2．右图为导函数y ＝f ′(x )的图象，则函数y ＝f (x )的单调区间是什么？提示：单调递增区间：(－∞，－3]，[－2,1]，[3，＋∞)； 单调递减区间：[－3，－2]，[1,3]．已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1－3a，讨论函数f (x )的单调性．[自主解答] 由题设知a ≠0.f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3ax ⎝⎛⎭⎫x －2a ， 令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2a.当a >0时，若x ∈(－∞，0)，则f ′(x )>0. ∴f (x )在区间(－∞，0)上为增函数． 若x ∈⎝⎛⎭⎫0，2a ，则f ′(x )<0， ∴f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，2a 上为减函数．若x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞，则f ′(x )>0， ∴f (x )在区间⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞上是增函数． 当a <0时，若x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，2a ，则f ′(x )<0. ∴f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，2a 上是减函数． 若x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，0，则f ′(x )>0. ∴f (x )在区间⎝⎛⎭⎫2a ，0上为增函数． 若x ∈(0，＋∞)，则f ′(x )<0. ∴f (x )在区间(0，＋∞)上为减函数．利用导数判断或证明函数单调性的思路1．求证：函数f (x )＝e x －x －1在(0，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)内是减函数． 证明：由f (x )＝e x －x －1， 得f ′(x )＝e x －1.当x ∈(0，＋∞)时，e x －1>0， 即f ′(x )>0.∴f (x )在(0，＋∞)内为增函数． 当x ∈(－∞，0)时，e x －1<0， 即f ′(x )<0.∴f (x )在(－∞，0)内是减函数．求下列函数的单调区间：(1)f (x )＝3x 2－ln x ；(2)f (x )＝－13ax 3＋x 2＋1(a ≤0)．[自主解答] (1)函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝6x －1x ＝6x 2－1x ，令f ′(x )>0，即6x 2－1x >0， ∵x >0，∴6x 2－1>0，∴x >66.令f ′(x )<0， 即6x 2－1x <0，∵x >0，∴6x 2－1<0，∴0<x <66.∴f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫66，＋∞， 单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，66. (2)①当a ＝0时，f (x )＝x 2＋1，其单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)． ②当a <0时，f ′(x )＝－ax 2＋2x ，f ′(x )>0⇔(－ax ＋2)x >0⇔⎝⎛⎭⎫x －2a x >0⇔x >0或x <2a ；f ′(x )<0⇔2a <x <0. 故f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，2a 和(0，＋∞)，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2a ，0.求函数的单调区间的“两个”方法 方法一：(1)确定函数y ＝f (x )的定义域； (2)求导数y ′＝f ′(x )；(3)解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 方法二：(1)确定函数y ＝f (x )的定义域；(2)求导数y ′＝f ′(x )，令f ′(x )＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根； (3)把函数f (x )的间断点(即f (x )的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f (x )的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f ′(x )在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．2．已知函数f (x )＝ln x ＋ke x(k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值； (2)求f (x )的单调区间．解：(1)由题意得f ′(x )＝1x－ln x －k e x ，又 f ′(1)＝1－ke＝0，故k ＝1. (2)由(1)知，f ′(x )＝1x －ln x －1e x.设h (x )＝1x －ln x －1(x >0)，则h ′(x )＝－1x 2－1x <0，即h (x )在(0，＋∞)上是减函数．由h (1)＝0知，当0<x <1时，h (x )>0，从而f ′(x )>0； 当x >1时，h (x )<0，从而f ′(x )<0.综上可知，f (x )的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x ，a ≠0.(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减，求a 的取值范围． [自主解答] (1)h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x －ax －2.因为h (x )在(0，＋∞)上存在单调递减区间， 所以当x ∈(0，＋∞)时， 1x－ax －2<0有解， 即a >1x2－2x 有解．设G (x )＝1x 2－2x ，所以只要a >G (x )min 即可．而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1，所以G (x )min ＝－1.所以a >－1.即实数a 的取值范围是(－1，＋∞)． (2)因为h (x )在[1,4]上单调递减，所以x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立．即a ≥1x 2－2x恒成立．所以a ≥G (x )max .而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1. 因为x ∈[1,4]，所以1x ∈⎣⎡⎦⎤14，1. 所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)． 所以a ≥－716.当a ＝－716时，h ′(x )＝1x ＋716x －2＝16＋7x 2－32x 16x ＝(7x －4)(x －4)16x .∵x ∈[1,4]，∴h ′(x )＝(7x －4)(x －4)16x ≤0.即h (x )在[1,4]上为减函数．故实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－716，＋∞.若将本例(2)中“单调递减”改为“单调递增”，如何求a 的取值范围？ 解：∵h (x )在[1,4]上单调递增，∴x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≥0恒成立．即a ≤1x 2－2x恒成立． 设G (x )＝1x2－2x ，∴只需a ≤G (x )min .又G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1，∵x ∈[1,4]，∴1x ∈⎣⎡⎦⎤14，1. ∴G (x )min ＝－1，∴a ≤－1.经验证：a ＝－1时，h (x )在[1,4]上单调递增，综上所述，a 的取值范围为(－∞，－1]．已知f (x )在区间D 上单调，求f (x )中参数的取值范围的方法为分离参数法：通常将f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)的参数分离，转化为求最值问题，从而求出参数的取值范围．特别地，若f ′(x )为二次函数，可以由f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立求出参数的取值范围．3．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x ，若f (x )在[－1,1]上是单调减函数，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，34B.⎝⎛⎭⎫12，34 C.⎣⎡⎭⎫34，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫0，12 解析：f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x ＝[x 2＋(2－2a )x －2a ]e x ， 由题意当x ∈[－1,1]时，f ′(x )≤0恒成立， 即x 2＋(2－2a )x －2a ≤0恒成立．令g (x )＝x 2＋(2－2a )x －2a ，则有⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)≤0，g (1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧(－1)2＋(2－2a )·(－1)－2a ≤0，12＋2－2a －2a ≤0，解得a ≥34.答案：C证明：方程x －12sin x ＝0有唯一解．[巧思] 方程f (x )＝0的解即曲线y ＝f (x )与x 轴交点的横坐标，因此可以通过构造函数来解决．[妙解] 设f (x )＝x －12sin x ，当x ＝0时，f (0)＝0，所以x ＝0是方程x －12sin x ＝0的一个解．因为f ′(x )＝1－12cos x ，且x ∈R 时，f ′(x )>0总成立， 所以函数f (x )在R 上单调递增．所以曲线f (x )＝x －12sin x 与x 轴只有一个交点．所以方程x －12sin x ＝0有唯一解．1．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1的单调递减区间为( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，2) C ．(－∞，0)D ．(0,2)解析：f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)， 令f ′(x )<0，得0<x <2.∴函数f (x )的单调递减区间为(0,2)． 答案：D2．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞) 解析：函数y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，y ′＝x －1x ＝(x －1)(x ＋1)x ，令y ′≤0，可得0＜x ≤1. 答案：B3．函数f (x )＝x 3＋ax －2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．[3，＋∞) B ．[－3，＋∞) C ．(－3，＋∞) D ．(－∞，－3)解析：f ′(x )＝3x 2＋a ， 令3x 2＋a ≥0，∴a ≥－3x 2， ∵x ∈(1，＋∞)，∴a ≥－3. 答案：B4．函数f (x )＝cos x ＋32x 的单调递增区间是________．解析：因为f ′(x )＝－sin x ＋32＞0，所以f (x )在R 上为增函数． 答案：(－∞，＋∞)5．已知函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为____________．解析：设g(x)＝f(x)－2x－4，则g′(x)＝f′(x)－2.∵对任意x∈R，f′(x)＞2，∴g′(x)＞0. ∴g(x)在R上为增函数．又g(－1)＝f(－1)＋2－4＝0，∴x＞－1时，g(x)＞0.∴由f(x)＞2x＋4，得x＞－1.答案：(－1，＋∞)6．求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋1在区间[－4,4]上的单调性．解：∵f(x)＝x3－3x2－9x＋1，∴f′(x)＝3x2－6x－9.令f′(x)>0，结合－4≤x≤4，得－4≤x<－1或3<x≤4.令f′(x)<0，结合－4≤x≤4，得－1<x<3.∴函数f(x)在[－4，－1)和(3,4]上为增函数，在(－1,3)上为减函数．一、选择题1．函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间为()A．(0,1)B．(0，＋∞)C．(1，＋∞) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析：函数的定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝1－1x＝x－1x，令f′(x)＜0，解得0＜x＜1，所以单调递减区间是(0,1)．答案：A2．已知函数f(x)＝x＋ln x，则有()A．f(2)<f(e)<f(3) B．f(e)<f(2)<f(3) C．f(3)<f(e)<f(2) D．f(e)<f(3)<f(2)解析：在(0，＋∞)上，f′(x)＝12x＋1x>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以有f(2)<f(e)<f(3)．答案：A3．如图为函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，那么函数y＝f(x)的图象可能为()解析：由导函数y ＝f ′(x )的图象，可知当－1<x <3时，f ′(x )<0， 所以y ＝f (x )在(－1,3)上单调递减； 当x >3或x <－1时，f ′(x )>0，所以y ＝f (x )在(－∞，－1)和(3，＋∞)上单调递增．综上，函数y ＝f (x )的图象的大致形状如A 中图所示，所以选A. 答案：A4．f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )<0，且f (－1)＝0，则f (x )g (x )<0的解集为( )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－1,0)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)解析：令F (x )＝f (x )g (x )，则F (x )为奇函数， 且当x <0时，F ′(x )<0， 即F (x )在(－∞，0)上为减函数． 又∵f (－1)＝0，即F (－1)＝0.∴F (x )＝f (x )g (x )<0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)． 答案：A 二、填空题5．若函数y ＝x 2－2bx ＋6在(2,8)内是增函数，则实数b 的取值范围是________． 解析：y ′＝2x －2b ≥0在(2,8)内恒成立，即b ≤x 在(2,8)内恒成立，∴b ≤2. 答案：(－∞，2]6．已知函数y ＝f (x )在定义域[－4,6]内可导，其图象如图，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为________．解析：f ′(x )≤0的解集，即为函数y ＝f (x )的单调减区间， ∴f ′(x )≤0的解集为⎣⎡⎦⎤－43，1∪⎣⎡⎦⎤113，6.答案：⎣⎡⎦⎤－43，1∪⎣⎡⎦⎤113，6 7．设函数f (x )＝x (e x －1)－12x 2，则f (x )的单调增区间是________，减区间是________．解析：f (x )＝x (e x －1)－12x 2，f ′(x )＝e x －1＋x e x －x ＝(e x －1)(x ＋1)．当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0；当x ∈(－1,0)时， f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x ) 在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减． 答案：(－∞，－1)和(0，＋∞) (－1,0)8．已知函数f (x )＝3xa －2x 2＋ln x (a ＞0)．若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，则a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3a －4x ＋1x ，若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，即f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≥0或f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≤0在[1,2]上恒成立 ，即3a ≥4x －1x 或3a ≤4x －1x 在[1,2]上恒成立． 令h (x )＝4x －1x ，则h (x )在[1,2]上单调递增， 所以3a ≥h (2)或3a ≤h (1)，即3a ≥152或3a ≤3，又a ＞0，所以0＜a ≤25或a ≥1.答案：⎝⎛⎦⎤0，25∪[1，＋∞)三、解答题9．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x ，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x11 知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5，因x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数．10．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R)．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a ＝－1时，证明：当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋2>0.解：(1)根据题意知，f ′(x )＝a (1－x )x (x >0)，当a >0时，则当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0 ，所以f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)；同理，当a <0时，f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)； 当a ＝0时，f (x )＝－3，不是单调函数，无单调区间．(2)证明：当a ＝－1时，f (x )＝－ln x ＋x －3，所以f (1)＝－2，由(1)知f (x )＝－ln x ＋x －3在(1，＋∞)上单调递增，所以当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>f (1)．即f (x )>－2，所以f (x )＋2>0.。
2016-2017学年高中数学人教A版选修1-1课件：3.3.1 函数的单调性与导数
第十二页，编辑于星期五：十六点 二十七分。
【解析】 (1)y′＝3x2－2x－1，令 y′>0，得 x<－13或 x>1，所以函数的单 调递增区间为－∞，－13和(1，＋∞)．
(2)令 f′(x)＝1－2cos x>0，则 cos x<12，又 x∈(0，π)，解得π3<x<π，所以函 数的单 【调 答增 案区 】间为(1)Aπ3，π(2.)π3，π
4．若函数 f(x)＝x3＋x2＋mx＋1 是 R 上的单调增函数，则 m 的取值范围是
________.
【导学号：26160083】
【解析】 ∵f′(x)＝3x2＋2x＋m，由题意知 f(x)在 R 上单调递增， ∴ 【Δ答＝案4】－12mm≥≤130，∴m≥13.
第三十一页，编辑于星期五：十六点 二十七分。
→
|f′x|较大小， fx变化较快慢
→ 得正确选项
【自主解答】 由导函数图象知，在[a，b]上，f′(x)＞0.故 f(x)在[a，b]上 单调递增，又在a，a＋2 b上，|f′(x)|越来越大，则 f(x)在a，a＋2 b上增长越来越 快，在a＋2 b，b上，|f′(x)|越来越小，则 f(x)在a＋2 b，b上增长越来越慢，故选 D.
第二十九页，编辑于星期五：十六点 二十七分。
3．函数 f(x)＝(x－1)ex 的单调递增区间是________． 【解析】 f′(x)＝(x－1)′ex＋(x－1)(ex)′＝xex， 令 f′(x)＞0，解得 x＞0，故 f(x)的增区间为(0，＋∞)． 【答案】 (0，＋∞)
第三十页，编辑于星期五：十六点 二十七分。
第二十一页，编辑于星期五：十六点 二十七分。
【自主解答】 (1)因为 f′(x)＝3x2－a，且 f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数， 所以 f′(x)≥0 在(1，＋∞)上恒成立，即 3x2－a≥0 在(1，＋∞)上恒成立， 所以 a≤3x2 在(1，＋∞)上恒成立，即 a≤3. (2)f′(x)＝3x2－a. ①当 a≤0 时，f′(x)≥0，无减区间，不满足条件． ②当 a＞0 时，令 3x2－a＝0，得 x＝± 33a； 当－ 33a＜x＜ 33a时，f′(x)＜0. 因此 f(x)在－ 33a， 33a上为减函数．∴ 33a＝1，即 a＝3.
高中数学利用导数研究函数的单调性精选练习题
利用导数研究函数的单调性精选题24道一．选择题（共7小题） 1．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x>时，()()0x f x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是()A ．(-∞，1)(0-⋃，1) B ．(1-，0)(1⋃，)+∞C ．(-∞，1)(1--⋃，0)D ．(0，1)(1⋃，)+∞2．若函数1()s in 2s in 3f x x x a x=-+在(,)-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是() A ．[1-，1] B ．[1-，1]3C ．1[3-，1]3D ．[1-，1]3-3．函数32()f x a x b x c x d=+++的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．0a >，0b <，0c >，0d >B ．0a >，0b <，0c <，0d >C ．0a<，0b<，0c<，0d>D ．0a>，0b>，0c>，0d<4．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x x f x =．若2(log 5.1)ag =-，0.8(2)bg =，cg=（3），则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．ab c<<B ．cb a<< C ．ba c<< D ．bc a<<5．若函数21()f x xa x x=++在1(,)2+∞是增函数，则a 的取值范围是()A ．[1-，0]B ．[1-，)+∞C ．[0，3]D ．[3，)+∞6．若定义在R 上的函数()f x 满足(0)1f =-，其导函数()f x '满足()1f x k '>>，则下列结论中一定错误的是( )A ．11()f k k <B ．11()1f k k >-C ．11()11f k k <-- D ．1()11k f k k >--7．已知21()s in ()42f x xx π=++，()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的图象是()A ．B ．C ．D ．二．填空题（共12小题）8．已知函数31()2xxf x x x ee=-+-，其中e 是自然对数的底数．若2(1)(2)0f a f a -+…．则实数a 的取值范围是 ． 9．函数()f x 的定义域为R ，(1)2f -=，对任意x R∈，()2f x '>，则()24f x x >+的解集为 ． 10．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)f -=，当0x>时，()()0x f x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是 ．11．已知函数3(21)34,(),a x a x tf x x x x t-+-⎧=⎨->⎩…，无论t 取何值，函数()f x 在区间(,)-∞+∞总是不单调．则a 的取值范围是 ． 12．已知()f x 的定义域为(-∞，0)(0⋃，)+∞，()f x '是()f x 的导函数，且满足()2()0x f x f x '->，若()f x 是偶函数，f（1）1=，则不等式2()f x x>的解集为 ．13．函数()(3)xf x x e=-的单调递增区间是 ．14．设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的x R∈有2()()f x f x x-+=，且在(0,)+∞上()f x x'>．若(2)f a f--（a ）22a-…，则实数a 的取值范围是 ．15．已知三次函数32()()32a b f x x xc xd a b =+++<在R 上单调递增，则a b c b a++-的最小值为 ． 16．已知函数21()22f x m xln x x=+-在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为 ．17．函数212yxln x=-的单调递减区间为 ．18．已知函数321()242f x x xx =+-+，则函数的单调减区间为 ．19．设定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式1()(21)x e f x f x -<-的解为 ．三．解答题（共5小题） 20．已知函数1()f x x a ln xx=-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：1212()()2f x f x a x x -<--．21．设函数2()(1)xf x x e=-⋅．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x …时，()1f x a x +…，求实数a 的取值范围．22．已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．24．已知函数()1f x x a ln x=--．（1）若()0f x …，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222nm++⋯+<，求m 的最小值．利用导数研究函数的单调性精选题24道参考答案与试题解析一．选择题（共7小题） 1．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x>时，()()0x f x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是()A ．(-∞，1)(0-⋃，1) B ．(1-，0)(1⋃，)+∞C ．(-∞，1)(1--⋃，0)D ．(0，1)(1⋃，)+∞【分析】由已知当0x >时总有()()0x f x f x '-<成立，可判断函数()()f xg x x=为减函数，由已知()f x 是定义在R 上的奇函数，可证明()g x 为(-∞，0)(0⋃，)+∞上的偶函数，根据函数()g x 在(0,)+∞上的单调性和奇偶性，模拟()g x 的图象，而不等式()0f x >等价于()0x g x ⋅>，数形结合解不等式组即可．【解答】解：设()()f x g x x =，则()g x 的导数为：2()()()x f x f x g x x'-'=，当0x >时总有()()xf x f x '<成立，即当0x>时，()g x '恒小于0， ∴当0x>时，函数()()f xg x x =为减函数，又()()()()()f x f x f xg x g x xxx---====--，∴函数()g x 为定义域上的偶函数又(1)(1)01f g --==-，∴函数()g x 的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式()0()0f x xg x >⇔⋅>⇔0()0x g x >⎧⎨>⎩或0()0x g x <⎧⎨<⎩，01x ⇔<<或1x <-．故选：A ．【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题． 2．若函数1()s in 2s in 3f x x x a x=-+在(,)-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是() A ．[1-，1] B ．[1-，1]3C ．1[3-，1]3D ．[1-，1]3-【分析】求出()f x 的导数，由题意可得()0f x '…恒成立，设c o s (11)t x t=-剟，即有25430ta t -+…，对t 讨论，分0t=，01t <…，10t -<…，分离参数，运用函数的单调性可得最值，解不等式即可得到所求范围． 【解答】解：函数1()s in 2s in 3f x x x a x=-+的导数为2()1c o s 2c o s 3f x x a x'=-+，由题意可得()0f x '…恒成立，即为21c o s 2c o s 03x a x -+…， 即有254c o s c o s 033x a x -+…，设co s (11)t x t =-剟，即有25430ta t -+…，当0t =时，不等式显然成立；当01t <…时，534a t t-…，由54tt-在(0，1]递增，可得1t =时，取得最大值1-，可得31a -…，即13a -…；当10t -<…时，534a t t-…，由54tt-在[1-，0)递增，可得1t=-时，取得最小值1，可得31a …，即13a …．综上可得a 的范围是1[3-，1]3．另解：设co s (11)tx t =-剟，即有25430ta t -+…，由题意可得5430a -+…，且5430a --…，解得a 的范围是1[3-，1]3．故选：C ．【点评】本题考查导数的运用：求单调性，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和换元法，考查函数的单调性的运用，属于中档题． 3．函数32()f x a x b x c x d=+++的图象如图所示，则下列结论成立的是()A ．0a >，0b <，0c >，0d >B ．0a >，0b <，0c <，0d >C ．0a<，0b<，0c<，0d>D ．0a>，0b>，0c>，0d<【分析】根据函数的图象和性质，利用排除法进行判断即可． 【解答】解：(0)0f d =>，排除D ，当x→+∞时，y →+∞，0a ∴>，排除C ， 函数的导数2()32f x a x b x c'=++，则()0f x '=有两个不同的正实根，则12203b x x a+=->且123c x x a=>，(0)a>，b ∴<，0c>，方法22:()32f x a x b x c'=++，由图象知当当1x x <时函数递增，当12x x x <<时函数递减，则()f x '对应的图象开口向上，则0a>，且12203b x x a+=->且123c x x a=>，(0)a >，b ∴<，0c>，方法3:(0)0f d =>，排除D ，函数的导数2()32f x a x b x c'=++，则(0)0f c '=>，排除B ，C ，故选：A ．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数图象的信息，结合函数的极值及(0)f 的符号是解决本题的关键．4．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x x f x =．若2(log 5.1)ag =-，0.8(2)bg =，cg=（3），则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．ab c<<B ．cb a<< C ．ba c<< D ．bc a<<【分析】由奇函数()f x 在R 上是增函数，则()()g x x f x =偶函数，且在(0,)+∞单调递增，则22(lo g 5.1)(lo g 5.1)a g g =-=，则22lo g 5.13<<，0.8122<<，即可求得ba c<< 【解答】解：奇函数()f x 在R 上是增函数，当0x>，()(0)0f x f >=，且()0f x '>，()()g x xf x ∴=，则()()()0g x f x xf x '=+'>，()g x ∴在(0,)+∞单调递增，且()()g x x f x =偶函数，22(lo g 5.1)(lo g 5.1)a g g ∴=-=， 则22lo g 5.13<<，0.8122<<，由()g x 在(0,)+∞单调递增，则0.82(2)(lo g 5.1)g g g<<（3），b a c∴<<，故选：C ．【点评】本题考查函数奇偶性，考查函数单调性的应用，考查转化思想，属于基础题． 5．若函数21()f x xa x x=++在1(,)2+∞是增函数，则a 的取值范围是()A ．[1-，0]B ．[1-，)+∞C ．[0，3]D ．[3，)+∞【分析】由函数21()f x xa x x=++在1(2，)+∞上是增函数，可得21()20f x x a x'=+-…在1(2，)+∞上恒成立，进而可转化为212a xx-…在1(2，)+∞上恒成立，构造函数求出212xx-在1(2，)+∞上的最值，可得a 的取值范围．【解答】解：21()f x x a x x=++在1(2，)+∞上是增函数，故21()20f x x a x'=+-…在1(2，)+∞上恒成立，即212a x x-…在1(2，)+∞上恒成立，令21()2h x x x=-， 则32()2h x x'=--，当1(2x ∈，)+∞时，()0h x '<，则()h x 为减函数．1()()32h x h ∴<=3a ∴…．故选：D ．【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，恒成立问题，是导数的综合应用，难度中档．6．若定义在R 上的函数()f x 满足(0)1f =-，其导函数()f x '满足()1f x k '>>，则下列结论中一定错误的是( )A ．11()f k k<B ．11()1f k k >- C ．11()11f k k <-- D ．1()11k f k k >-- 【分析】根据导数的概念得出()(0)1f x f k x->>，用11x k =-代入可判断出11()11f k k >--，即可判断答案． 【解答】解；()(0)(0)limx f x f f x →-'=-()1f x k '>>， ∴()(0)1f x f k x ->>，即()11f x k x+>>，当11xk =-时，11()1111k f k k k k +>⨯=---，即11()1111k f k k k >-=---故11()11f k k >--，所以11()11f k k <--，一定出错，另解：设()()1g x f x kx =-+，(0)0g =，且()()0g x f x k '='->，()g x 在R 上递增，1k >，对选项一一判断，可得C错．故选：C ．【点评】本题考查了导数的概念，不等式的化简运算，属于中档题，理解了变量的代换问题． 7．已知21()s in ()42f x xx π=++，()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的图象是()A ．B ．C ．D ．【分析】先化简2211()s in ()c o s 424f x xx xxπ=++=+，再求其导数，得出导函数是奇函数，排除B ，D ．再根据导函数的导函数小于0的x 的范围，确定导函数在(3π-，)3π上单调递减，从而排除C ，即可得出正确答案． 【解答】解：由2211()s in ()c o s 424f x xx xxπ=++=+，1()s in 2f x x x ∴'=-，它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ，D ． 又1()c o s 2f x x''=-，当33x ππ-<<时，1c o s 2x>，()0f x ∴''<，故函数()yf x ='在区间(3π-，)3π上单调递减，故排除C ．故选：A ．【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减． 二．填空题（共12小题）8．已知函数31()2xxf x x x ee=-+-，其中e 是自然对数的底数．若2(1)(2)0f a f a -+…．则实数a 的取值范围是 [1-，1]2．【分析】求出()f x 的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得()f x 在R 上递增；再由奇偶性的定义，可得()f x 为奇函数，原不等式即为221a a-…，运用二次不等式的解法即可得到所求范围． 【解答】解：函数31()2xxf x x x ee=-+-的导数为： 211()3220xxxxf x x e ee'=-++-+=…，可得()f x 在R 上递增；又331()()()220xxxxf x f x x x e ex x ee--+=-++-+-+-=，可得()f x 为奇函数，则2(1)(2)0f a f a -+…， 即有2(2)(1)f a f a --… 由((1))(1)f a f a --=--，2(2)(1)f a f a -…，即有221a a -…， 解得112a-剟，故答案为：[1-，1]2．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，注意运用导数和定义法，考查转化思想的运用和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题． 9．函数()f x 的定义域为R ，(1)2f -=，对任意x R∈，()2f x '>，则()24f x x >+的解集为(1,)-+∞ ．【分析】构建函数()()(24)F x f x x =-+，由(1)2f -=得出(1)F -的值，求出()F x 的导函数，根据()2f x '>，得到()F x 在R 上为增函数，根据函数的增减性即可得到()F x 大于0的解集，进而得到所求不等式的解集． 【解答】解：设()()(24)F x f x x =-+，则(1)(1)(24)220F f -=---+=-=，又对任意x R∈，()2f x '>，所以()()20F x f x '='->，即()F x 在R 上单调递增， 则()0F x >的解集为(1,)-+∞，即()24f x x >+的解集为(1,)-+∞．故答案为：(1,)-+∞【点评】本题考查学生灵活运用函数思想求解不等式，解题的关键是构建函数，确定函数的单调性，属于中档题． 10．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)f -=，当0x>时，()()0x f x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是(-∞，1)(0-⋃，1) ．【分析】构造函数()()f x g x x=，利用()g x 的导数判断函数()g x 的单调性与奇偶性，画出函数()g x 的大致图象，结合图形求出不等式()0f x >的解集．【解答】解：设()()f xg x x=，则()g x 的导数为：2()()()x f x f x g x x'-'=，当0x >时总有()()xf x f x '<成立，即当0x>时，()g x '恒小于0， ∴当0x>时，函数()()f xg x x =为减函数，又()()()()()f x f x f xg x g x xxx---====--，∴函数()g x 为定义域上的偶函数又(1)(1)01f g --==-，∴函数()g x 的大致图象如图所示：数形结合可得，不等式()0()0f x xg x >⇔⋅>⇔0()0x g x >⎧⎨>⎩或0()0x g x <⎧⎨<⎩，01x ⇔<<或1x <-．()0f x ∴>成立的x 的取值范围是(-∞，1)(0-⋃，1)．故答案为：(-∞，1)(0-⋃，1)．【点评】本题考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式的应用问题，是综合题目． 11．已知函数3(21)34,(),a x a x tf x x x x t-+-⎧=⎨->⎩…，无论t 取何值，函数()f x 在区间(,)-∞+∞总是不单调．则a 的取值范围是 12a …．【分析】首先分析3()f x x x=-，其单调区间．然后根据无论t 取何值，函数()f x 在区间(,)-∞+∞总是不单调，判断()(21)34f x a x a =-+-的单调性，求出a 的取值范围即可．【解答】解：对于函数3()f x x x=-，2()31f x x '=-x t>当2310x ->时，即3x>或3x<-此时3()f x x x=-，为增函数当2310x -<时，33x -<<x t>，3()f x x x∴=-，一定存在单调递增区间要使无论t 取何值， 函数()f x 在区间(,)-∞+∞总是不单调()(21)34f x a x a ∴=-+-不能为增函数210a ∴-…∴12a …故答案为：12a …．【点评】本题考查函数单调性的判定与应用，3次函数与1次函数的单调性的判断，属于中档题． 12．已知()f x 的定义域为(-∞，0)(0⋃，)+∞，()f x '是()f x 的导函数，且满足()2()0x f x f x '->，若()f x 是偶函数，f（1）1=，则不等式2()f x x>的解集为(-∞，1)(1-⋃，)+∞ ．【分析】构造函数2()()(0)f xg x x x=≠，依题意可知它是偶函数且在(0,)+∞上单调递增，于是2()f x x>等价转化为()g x g>（1），即(||)(|1|)||1g x g x >⇒>，从而可得答案．【解答】解：令2()()(0)f xg x x x=≠，则243()2()()2()()x f x x f x x f x f x g x xx'-'-'==，因为足()2()0x f x f x '->，所以，当0x>时，()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增． 又()f x 是偶函数，故2()()(0)f xg x x x=≠也是偶函数，而f（1）1=，故g （1）2(1)1f f==（1）1=，因此，2()f x x>⇔2()1f x x>，即()g x g >（1），即(||)(|1|)g x g >所以，||1x >，解得：1x >或1x<-．则不等式2()f x x>的解集为(-∞，1)(1-⋃，)+∞，故答案为：(-∞，1)(1-⋃，)+∞．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数2()()(0)f xg x x x=≠，并判断它为偶函数且在(0,)+∞上单调递增是关键，考查等价转化思想与逻辑思维能力及运算能力，属于中档题． 13．函数()(3)xf x x e=-的单调递增区间是(2,)+∞ ．【分析】先求出函数的导数，令导函数大于0，解不等式求出即可．【解答】解：()(2)xf x x e'=-，令()0f x '>，解得：2x >，()f x ∴在(2,)+∞递增，故答案为：(2,)+∞．【点评】本题考查了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题． 14．设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的x R∈有2()()f x f x x-+=，且在(0,)+∞上()f x x'>．若(2)f a f --（a ）22a-…，则实数a 的取值范围是(-∞，1] ．【分析】令21()()2g x f x x=-，由()()g x g x -+=，可得函数()g x 为奇函数．利用导数可得函数()g x 在R 上是增函数，(2)f a f--（a ）22a-…，即(2)g a g-…（a ），可得2a a-…，由此解得a 的范围． 【解答】解：令21()()2g x f x x=-，2211()()()()022g x g x f x xf x x-+=--+-=，∴函数()g x 为奇函数．(0,)x ∈+∞时，()()0g x f x x '='->，故函数()g x 在(0,)+∞上是增函数，故函数()g x 在(,0)-∞上也是增函数， 由(0)0f =，可得()g x 在R 上是增函数． (2)f a f--（a ）22a-…，等价于2(2)(2)2a f a f---…（a ）22a-，即(2)g a g-…（a ），2a a∴-…，解得1a …，故答案为：(-∞，1]．【点评】本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题． 15．已知三次函数32()()32a b f x x xc xd a b =+++<在R 上单调递增，则a b c b a++-的最小值为3 ．【分析】由题意得2()f x a x b x c'=++在R 上恒大于或等于0，得0a>，△240ba c =-…，将此代入a b c b a++-，将式子进行放缩，以b a为单位建立函数关系式，最后构造出运用基本不等式的模型使问题得到解决． 【解答】解：由题意2()0f x a x b x c '=++…在R 上恒成立，则0a>，△240ba c =-…．∴222222111()441b b a a b ba b c aa b a c aa b b aa b aa b aa++++++++==----…令(1)b tt a=>，222111(2)1(13)194(16)31414141t ta b c t t t b at t t t +++++-+===-++-----厖．（当且仅当4t =，即4bc a==时取“=” )故答案为：3【点评】本题考查了利用导数工具研究三次函数的单调性以及函数与方程的综合应用问题，属于中档题． 16．已知函数21()22f x m xln x x=+-在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为[1，)+∞ ．【分析】函数21()22f x m xl nx x =+-在定义域(0)x >内是增函数⇔2121()20f x m x mxx x'=+-⇔-厖对于任意0x>．⇔221()m a xm xx-…．利用导数即可得出．【解答】解：函数21()22f x m x l n xx =+-在定义域(0)x >内是增函数，∴1()20f x m x x'=+-…，化为221m xx-…．令221()g x xx=-，233222(1)()x g x xxx-'=-+=-，解()g x '>，得01x <<；解()0g x '<，得1x >．因此当1x =时，()g x 取得最大值，g （1）1=．1m ∴…．故答案为[1，)+∞．【点评】正确把问题等价转化、利用导数研究函数的单调性、极值与最值是解题的关键． 17．函数212yxln x=-的单调递减区间为(0，1] ．【分析】根据题意，先求函数212yxln x=-的定义域，进而求得其导数，即211xy x x x-'=-=，令其导数小于等于0，可得210x x -…，结合函数的定义域，解可得答案． 【解答】解：对于函数212yxln x=-，易得其定义域为{|0}x x>，211x y x xx-'=-=，令210x x-…，又由0x>，则221010x x x-⇔-剟，且0x>；解可得01x <…，即函数212yxln x=-的单调递减区间为(0，1]，故答案为(0，1]【点评】本题考查利用导数求函数的单调区间，注意首先应求函数的定义域． 18．已知函数321()242f x x xx =+-+，则函数的单调减区间为2[1,]3- ．【分析】对函数进行求导即可求出单调区间． 【解答】解：31()242f x x x x =+-+2()32(32)(1)f x x x x x ∴'=+-=-+令2()0,13f x x '-剟?．∴函数的单调减区间为2[1,]3-．【点评】此题较为容易，考查了导数与函数的单调性问题，注意区间端点的取值就可以了． 19．设定义域为R的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式1()(21)x ef x f x -<-的解为(1,)+∞ ．【分析】令()()xf xg x e=，求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于x 的不等式，解出即可．【解答】解：令()()xf xg x e=，则()()()xf x f xg x e'-'=>，故()g x 在R 递增， 不等式1()(21)x e f x f x -<-，即21()(21)xx f x f x ee--<，故()(21)g x g x <-，故21xx <-，解得：1x >，故答案为：(1,)+∞【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题． 三．解答题（共5小题） 20．已知函数1()f x x a ln xx=-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：1212()()2f x f x a x x -<--．【分析】（1）求出函数的定义域和导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可． （2）将不等式进行等价转化，构造新函数，研究函数的单调性和最值即可得到结论． 【解答】解：（1）函数的定义域为(0,)+∞， 函数的导数22211()1a xa x f x xxx-+'=--+=-，设2()1g x x a x =-+，当0a …时，()0g x >恒成立，即()0f x '<恒成立，此时函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，当0a>时，判别式△24a =-，①当02a <…时，△0…，即()0g x …，即()0f x '…恒成立，此时函数()f x 在(0,)+∞上是减函数， ②当2a>时，x ，()f x '，()f x 的变化如下表：综上当2a …时，()f x 在(0,)+∞上是减函数，当2a>时，在(02和2，)+∞上是减函数，则22上是增函数．（2）由（1）知2a>，不妨设12x x <，则121x x <<<，121x x =，则1221122112121()()()(1)()2()()f x f x x x a ln x ln x x x a ln x ln x x x -=-++-=-+-，则12121212()()()2f x f x a ln x ln x x x x x --=-+--，则问题转为证明12121ln x ln x x x -<-即可，即证明1212ln x ln x x x ->-，则111111ln x lnx x x ->-， 即11111ln x ln x x x +>-，即证11112ln x x x >-在(0,1)上恒成立，设1()2h x ln x x x=-+，(01)x <<，其中h （1）0=， 求导得222222121(1)()10x x x h x xxxx-+-'=--=-=-<，则()h x 在(0,1)上单调递减，()h x h∴>（1），即120ln xx x-+>，故12ln x x x>-，则1212()()2f x f x a x x -<--成立．（2）另解：注意到11()()f x a ln x f x x x=--=-，即1()()0f x f x +=，不妨设12x x <，由韦达定理得121x x =，122x x a +=>，得121x x <<<，121x x =，可得221()()0f x f x +=，即12()()0f x f x +=，要证1212()()2f x f x a x x -<--，只要证2212()()2f x f x a x x --<--，即证22220a a ln x a x x -+<，2(1)x >，构造函数()2a h x a ln x a x x=-+，(1)x >，22(1)()a x h x x--'=…，()h x ∴在(1,)+∞上单调递减，()h x h∴<（1）0=，20a a ln x a x x∴-+<成立，即22220a a ln x a x x -+<，2(1)x >成立．即1212()()2f x f x a x x -<--成立．【点评】本题主要考查函数的单调性的判断，以及函数与不等式的综合，求函数的导数，利用导数的应用是解决本题的关键．综合性较强，难度较大． 21．设函数2()(1)xf x x e=-⋅．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x …时，()1f x a x +…，求实数a 的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，求出极值点，利用导函数的符号，判断函数的单调性即可． （2）化简()(1)(1)xf x x x e=-+．()1f x a x +…，下面对a 的范围进行讨论：①当1a …时，②当01a <<时，设函数()1xg x e x =--，则()10(0)xg x e x '=->>，推出结论；③当0a …时，推出结果，然后得到a 的取值范围．法二：0x …时，2()(1)10xg x e x a x =-++…恒成立，推出()g x '，求解[()]g x ''，当(0)10g a '=-…时，判断函数的单调性，判断满足题意，当(0)10g a '=-<时，推出()(0)0g m g <=，不合题意，得到结果． 【解答】解：（1）因为2()(1)xf x x e=-，x R∈，所以2()(12)xf x x x e'=--，令()0f x '=可知1x=-±当1x<--1x>-+()0f x '<，当11x --<<-+时()0f x '>，所以()f x在(,1-∞--，(1-+)+∞上单调递减，在(1--，1-+上单调递增；（2）由题可知()(1)(1)xf x x x e=-+．下面对a 的范围进行讨论：①当1a …时，设函数()(1)xh x x e=-，则()0(0)xh x x e x '=-<>，因此()h x 在[0，)+∞上单调递减， 又因为(0)1h =，所以()1h x …，所以()(1)()11f x x h x x a x =+++剟；②当01a <<时，设函数()1xg x e x =--，则()10(0)x g x e x '=->>，所以()g x 在[0，)+∞上单调递增， 又(0)1010g =--=，所以1x e x +…．因为当01x <<时2()(1)(1)f x x x >-+，所以22(1)(1)1(1)x x a x x a x x -+--=---，取0(0,1)2x =，则2000(1)(1)10x x a x -+--=，所以00()1f x a x >+，矛盾；③当0a …时，取0(0,1)2x =，则20000()(1)(1)11f x x x a x >-+=+…，矛盾；综上所述，a 的取值范围是[1，)+∞． （2）法二：0x …时，2()(1)10x g x e x a x =-++…恒成立，2()(21)x g x e x x a'=+-+，2[()](41)0(0)xg x e x x x ''=++>…，()g x '在0x …时单调递增，当(0)10g a '=-…时，0x>时()0g x '>恒成立，()g x 单调递增，则0x …时，()(0)0g x g =…，符合题意，当(0)10g a '=-<时，(||)0g a '>，于是存在0m>使得()g m '=，当0x m<<时，()0g x '<，()g x 单调递减，有()(0)0g x g <=，不合题意，所以1a …．综上所述，a 的取值范围是[1，)+∞．【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力． 22．已知函数2()(2)(1)xf x x e a x =-+-．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出()f x 的导数，讨论当0a …时，2e a<-时，2e a=-时，02e a -<<，由导数大于0，可得增区间；由导数小于0，可得减区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）的单调区间，对a 讨论，结合单调性和函数值的变化特点，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）由2()(2)(1)x f x x e a x =-+-，可得()(1)2(1)(1)(2)xxf x x e a x x e a '=-+-=-+，①当0a …时，由()0f x '>，可得1x>；由()0f x '<，可得1x<，即有()f x 在(,1)-∞递减；在(1,)+∞递增（如右上图）； ②当0a <时，（如右下图）， 由20xe a +=，可得(2)x ln a =-，由(2)1ln a -=，解得2e a=-，若2e a =-，则()0f x '…恒成立，即有()f x 在R 上递增；若2e a <-时，由()0f x '>，可得1x<或(2)x ln a >-；由()0f x '<，可得1(2)x ln a <<-．即有()f x 在(,1)-∞，((2)ln a -，)+∞递增；在(1，(2))ln a -递减； 若02e a -<<，由()0f x '>，可得(2)xln a <-或1x>；由()0f x '<，可得(2)1ln a x -<<．即有()f x 在(-∞，(2))ln a -，(1,)+∞递增；在((2)ln a -，1)递减； （Ⅱ）①由（Ⅰ）可得当0a>时，()f x 在(,1)-∞递减；在(1,)+∞递增， 且f（1）0e =-<，x→+∞，()f x →+∞；当x→-∞时()0f x >或找到一个1x <使得()0f x >对于0a>恒成立，()f x 有两个零点；②当0a =时，()(2)xf x x e=-，所以()f x 只有一个零点2x=；③当0a <时， 若2e a<-时，()f x 在(1，(2))ln a -递减，在(,1)-∞，((2)ln a -，)+∞递增，又当1x …时，()0f x <，所以()f x 不存在两个零点；当2e a -…时，在(-∞，(2))ln a -单调增，在(1,)+∞单调增，在((2)ln a -，1)单调减， 只有((2))f ln a -等于0才有两个零点，而当1x …时，()0f x <，所以只有一个零点不符题意．综上可得，()f x 有两个零点时，a 的取值范围为(0,)+∞．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间，考查函数零点的判断，注意运用分类讨论的思想方法和函数方程的转化思想，考查化简整理的运算能力，属于难题． 24．已知函数()1f x x a ln x=--．（1）若()0f x …，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222nm++⋯+<，求m 的最小值．【分析】（1）通过对函数()1(0)f x x a ln x x =-->求导，分0a …、0a>两种情况考虑导函数()f x '与0的大小关系可得结论；（2）通过（1）可知1ln x x -…，进而取特殊值可知11(1)22kkln +<，*k N∈．一方面利用等比数列的求和公式放缩可知2111(1)(1)(1)222ne ++⋯+<，另一方面可知2111(1)(1)(1)2222n++⋯+>，从而当3n …时，2111(1)(1)(1)(2222n++⋯+∈，)e ，比较可得结论．【解答】解：（1）因为函数()1f x x a ln x=--，0x>，所以()1a x a f x x x-'=-=，且f（1）0=．所以当0a …时()0f x '>恒成立，此时()yf x =在(0,)+∞上单调递增，故当01x <<时，()f x f <（1）0=，这与()0f x …矛盾；当0a>时令()0f x '=，解得x a=，所以()y f x =在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，即()m in f x f=（a ），若1a≠，则f （a ）f<（1）0=，从而与()0f x …矛盾；所以1a =；（2）由（1）可知当1a =时()10f x x ln x =--…，即1ln x x -…，所以(1)ln xx +…当且仅当0x=时取等号，所以11(1)22kkln +<，*k N∈．221111111(1)(1)(1)112222222nnnln ln ln ++++⋯++<++⋯+=-<，即2111(1)(1)(1)222ne++⋯+<；因为m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222nm++⋯+<成立，当3n=时，23111135(1)(1)(1)222264+++=>，所以m 的最小值为3．【点评】本题是一道关于函数与不等式的综合题，考查分类讨论的思想，考查转化与化归思想，考查运算求解能力，考查等比数列的求和公式，考查放缩法，注意解题方法的积累，属于难题．。
2017版高中数学选修1-1(课件)：3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.3
问题1:在闭区间上函数的图象连续不断是函数有最值的充要条件吗? 问题2:连续函数y=f(x)在区间(a,b)上有极值,那么在区间(a,b)上一定有最值吗?
第十页，编辑于星期六：三点 二十九分。
【总结提升】 1.对函数最大(小)值的认识 (1)闭区间上的连续函数一定有最值,开区间内的连续函数不一定有最值. 若有惟一的极值,则此极值必是函数的最值. (2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念.
(2)对于不能求出参数值的问题,则要对参数进行讨论,其实质是讨论导函数 大于0,等于0,小于0三种情况.若导函数恒不等于0,则函数在已知区间上是 单调函数,最值在端点处取得;若导函数可能等于0,则求出极值点后求极值, 再与端点值比较后确定最值.
第二十九页，编辑于星期六：三点 二十九分。
2.已知函数最值求参数值(范围)的思路 已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维,一般先求 导数,利用导数研究函数的单调性及极值点,用参数表示出最值后求参数的值或范围.
第二十三页，编辑于星期六：三点 二十九分。
(3)若a≥ ,则e 2a≥e,g′(x)=ex-2a≤0, 所以函数g(x2)在区间[0,1]上单调递减,g(x)min=g(1)=e-2a-b.
综上所述,当a≤ 时,g(x)在区间[0,1]上的最小值为
g(x)min=g(0)=1-12b;
当 <a< 时,g(x)在区间[0,1]上的最小值为g(x)min=
3
3
(2)由(1)知:f(x)=-x3+x2+1,f′(x)=-3x2+2x,
令f′(x)=0⇒x1=0,x2= .
因为f(0)=1,f = ,f(2)2=-3,
所以f(x)max=
2016-2017学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.1 单调性课时作业 苏教版选修1-1
§3.3 导数在研究函数中的应用3.3.1 单调性 课时目标 掌握导数与函数单调性之间的关系，会利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．1．导函数的符号与函数的单调性的关系：如果在某个区间内，函数y ＝f (x )的导数________，则函数y ＝f (x )这个区间上是增函数；如果在某个区间内，函数y ＝f (x )的导数f ′(x )<0，则函数f (x )这个区间上是__________．2．函数的单调性决定了函数图象的大致形状．一、填空题1．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的____________条件．2．函数f (x )＝2x －ln x 的单调增区间为________．3．函数f (x )＝x cos x 的导函数f ′(x )在区间[－π，π]上的图象大致是________．(填序号)4．函数f (x )＝ln x －ax (a >0)的单调增区间为__________．5．函数y ＝ax －ln x 在(12，＋∞)内单调递增，则a 的取值范围为__________． 6．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间是____________．7．已知f (x )＝ax 3＋3x 2－x ＋1在R 上是减函数，则a 的取值范围为________．8．使y ＝sin x ＋ax 在R 上是增函数的a 的取值范围为____________．二、解答题9．求函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调区间．10．(1)已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调减区间为[－1,2]，求b ，c 的值．(2)设f (x )＝ax 3＋x 恰好有三个单调区间，求实数a 的取值范围．能力提升11．判断函数f(x)＝(a＋1)ln x＋ax2＋1的单调性．12．已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．1．利用导数的正负与函数单调性的关系可以求函数的单调区间；在求函数单调区间时，只能在定义域内讨论导数的符号．2．根据函数单调性可以求某些参数的范围．§3.3 导数在研究函数中的应用3．3.1 单调性知识梳理1．f ′(x )>0 减函数作业设计1．充分不必要解析 f (x )＝x 3在(－1,1)内是单调递增的，但f ′(x )＝3x 2≥0(－1<x <1)，故甲是乙的充分不必要条件．2．(12，＋∞) 解析 f ′(x )＝2－1x ＝2x －1x， ∵x >0，f ′(x )＝2x －1x >0，∴x >12. 3．①解析 ∵f (x )＝x cos x ，∴f ′(x )＝cos x －x sin x .∴f ′(－x )＝f ′(x )，∴f ′(x )为偶函数，∴函数图象关于y 轴对称．由f ′(0)＝1可排除③、④.而f ′(1)＝cos 1－sin 1<0，从而观察图象即可得到答案为①.4.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 解析 函数的定义域为{x |x >0}，f ′(x )＝1x－a ， 由f ′(x )>0，得1－ax x >0，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a x<0， ∴x <1a ，故f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a . 5．[2，＋∞)解析 ∵y ′＝a －1x ，∴在(12，＋∞)上y ′≥0，即a －1x ≥0，∴a ≥1x .由x >12得1x <2，要使a ≥1x 恒成立，只需a ≥2.6．(－1,11)解析 ∵f ′(x )＝3x 2－30x －33＝3(x ＋1)(x －11)．由f ′(x )<0，得－1<x <11，∴f (x )的单调减区间为(－1,11)．7．(－∞，－3]解析 f ′(x )＝3ax 2＋6x －1≤0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a <0Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a <036＋12a ≤0，∴a ≤－3. 8．[1，＋∞)解析 ∵f ′(x )＝cos x ＋a ≥0，∴a ≥－cos x ，又－1≤cos x ≤1，∴a ≥1.9．解 由题设知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x ，由f ′(x )>0，得x >12，由f ′(x )<0，得0<x <12，∴函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.10．解 (1)∵函数f (x )的导函数f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题设知－1<x <2是不等式3x 2＋2bx ＋c <0的解集．∴－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个实根，∴－1＋2＝－23b ，(－1)×2＝c 3，即b ＝－32，c ＝－6.(2)∵f ′(x )＝3ax 2＋1，且f (x )有三个单调区间，∴方程f ′(x )＝3ax 2＋1＝0有两个不等的实根，∴Δ＝02－4×1×3a >0，∴a <0.∴a 的取值范围为(－∞，0)．11．解 由题意知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a ＋1x ＋2ax ＝2ax 2＋a ＋1x .①当a ≥0时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②当a ≤－1时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减．③当－1<a <0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝－a ＋12a ，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0， －a＋12a 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a ＋12a ，＋∞时，f ′(x )<0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， －a ＋12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a ＋12a ，＋∞上单调递减．综上，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤－1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当－1<a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， －a ＋12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a ＋12a ，＋∞上单调递减．12．解 (1)由已知，得f ′(x )＝3x 2－a .因为f (x )在(－∞，＋∞)上是单调增函数，所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a ≤3x 2对x ∈(－∞，＋∞)恒成立．因为3x 2≥0，所以只需a ≤0.又a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，f (x )在实数集R 上单调递增，所以a ≤0.(2)假设f ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立，则a ≥3x 2在x ∈(－1,1)时恒成立．因为－1<x <1，所以3x 2<3，所以只需a ≥3.当a ＝3时，在x ∈(－1,1)上，f ′(x )＝3(x 2－1)<0，即f (x )在(－1,1)上为减函数，所以a ≥3.故存在实数a ≥3，使f (x )在(－1,1)上单调递减．。
人教新课标版(A)高二选修1-1 3.3.1函数的单调性与导数同步练习题
人教新课标版（A ）高二选修1-1 3.3.1 函数的单调性与导数同步练习题【基础演练】题型一：函数单调性的定义一般地，函数的单调性与其导函数的正负有关，如在某个区间（a ，b ）内，如果()0x f >'，那么()x f 在这个区间上单调递增，如果()0x f <'，则递减，请根据以上知识解决以下1~4题。
1. 函数()x ax x f 3-=在R 上为减函数，则A. 0a ≤B. 1a <C. 2a <D. 31a ≤2. 函数()x sin x 1x f -+=在（0，π2）上是A. 增函数B. 减函数C. 在（0，π）上递增，在（π，π2）上递减D. 在（0，π）上递减，在（π，π2）上递增3. 已知()()0a d cx bx ax x f 23>+++=为增函数，则A. 0ac 4b 2>-B. 0b >，0c >C. 0b =，0c >D. 0ac 3b 2<-4. x ln x y =在（0，5）上是A. 单调增函数B. 单调减函数C. 在⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0上是减函数，在⎪⎭⎫⎝⎛5,e 1上是增函数D. 在⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0上是增函数，在⎪⎭⎫⎝⎛5,e 1上是减函数题型二：求函数的单调区间利用导数求函数单调区间时注意：①确定定义域；②求()0x f >'、()<'x f 0的区间从而确定增区间、减区间；③如果在多个区间上单调性相同，不能并起来，请根据以上知识解决以下5~7题。
5. 函数5x 2x y 24+-=的单调减区间为A. ()1,-∞-和（0，1）B. []0,1-和),1[∞+C. []1,1-D. ()1,-∞-和),1[∞+6. 函数x cos x y =在下面哪个区间是增函数A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ23,2B. ()ππ2,C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ25,23D. ()ππ3,27. 已知函数()d cx bx x x f 23+++=的图象过点P （0，2），且在点M （-1，()1f -）处的切线方程为07y x 6=+-， （1）求函数()x f y =的解析式；（2）求函数()x f y =的单调区间。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1
1．f(x)＝5x2－2x的单调增区间为( )．
A．(15，＋∞) B．(－∞，15)
C．(－15，＋∞) D．(－∞，－15)
2．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为( )．
A．(－1,0) B．(－1,11)
C．(0,11) D．(－1,33)
3．函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，下列判断正确的是( )．
A．函数y＝f (x)在区间(－3，－12)内单调递增
B．函数y＝f(x)在区间(－12，3)内单调递减
C．函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增
D．函数y＝f(x)在区间(－2,2)内单调递减
4．若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图
象可能是( )．
2
5．设函数f(x)在R上的导函数为f′(x)，且f(x)＋xf′(x)＞x2.下面的不等式在R上恒成立
的是( )．
A．f(x)＞0 B．f(x)＜0
C．f(x)＞x D．f(x)＜x
6．设函数f(x)＝1xln x(x＞0且x≠1)，则函数f(x)的单调增区间是__________，单调减区
间是__________．
7．求下列函数的单调区间．
(1)f(x)＝x－x3；(2)f(x)＝3x2－2ln x.
8． 已知函数f (x)＝(a＋1)ln x＋ax2＋1.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)设a≤－2，证明：对任意x1，x2∈(0，＋∞)，|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|.
3
参考答案
1．A f′(x)＝10x－2.令f′(x)＞0，得x＞15，故选A.
2．B f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x－11)(x＋1)．
由(x－11)(x＋1)＜0，得单调减区间为(－1,11)．
3．C 由图可知在区间(－2,2)和(4,5)内，f′(x)＞0，故函数y＝f(x)在区间(－2,2)和(4,5)
内递增；在区间(－3，－2)和(2,4)内，f′(x)＜0，故函数f(x)在区间(－3，－ 2)和(2,4)内单调
递减，故选C.
4．A 因为函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)在区间[a，b]上是增函数，所以f(x)在区间[a，
b]上各点处的斜率k是递增的，由图易知选A.注意选项C中，y′＝k为常数．
5．A 由题意，f(x)＋xf′(x)＞x2≥0，
∴G(x)＝xf(x)在R上为增函数，且G(0)＝0.
于是有x＞0时，G(x)＝xf(x)＞0，
∴f(x)＞0.当x＜0时，G(x)＝xf(x)＜0，
∴f(x)＞0.∴f(x)＞0在x∈R上恒成立．
6．(0，1e) (1e，1)和(1，＋∞) f′(x)＝(1xln x)′＝－(1＋ln x)x2ln2x.
令f′(x)＞0，即－1＋ln xx2ln2x＞0，得1＋ln x＜0，即x＜1e.
令f′(x)＜0，即－1＋ln xx2ln2x＜0，得1＋ln x＞0，即x＞1e.
又x＞0且x≠1，
∴函数的单调递增区间为(0，1e)，单调递减区间为(1e，1)和(1，＋∞)．
7．解：(1)f′(x)＝1－3x2.
令1－3x2＞0，解得－33＜x＜33.
因此，函数f(x)的单调增区间为(－33，33)．
令1－3x2＜0，解得x＜－33或x＞33.
因此，函数f(x)的单调减区间为(－∞，－33)，(33，＋∞)．
(2)函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝6x－2x＝2·3x2－1x.
4
令f′(x)＞0，即2·3x2－1x＞0，
解得－33＜x＜0或x＞33.
又∵x＞0，∴x＞33.
令f′(x)＜0，即2·3x2－1x＜0，
解得x＜－33或0＜x＜33.
又∵x＞0，∴0＜x＜33.
∴f(x)的单调增区间为(33，＋∞)，单调减区间为(0，33)．
8．解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝a＋1x＋2ax＝2ax2＋a＋1x.
当a≥0时，f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上单调增加；
当a≤－1时，f′(x)＜0，故f(x)在(0，＋∞)上单调减少；
当－1＜a＜0时，令f′(x)＝0，解得x＝－a＋12a，
则当x∈(0，－a＋12a)时，f′(x)＞0，
当x∈(－a＋12a，＋∞)时，f′(x)＜0.
故f(x)在(0，－a＋12a)上单调增加，在(－a＋12a，＋∞)上单调减少．
(2)证明：不妨假设x1≥x2.
由于a≤－2，故f(x)在(0，＋∞)上单调减少．
所以|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|等价于f(x2)－f(x1)≥4x1－4x2，
即f(x2)＋4x2≥f(x1)＋4x1.
令g(x)＝f(x)＋4x，则g′(x)＝a＋1x＋2ax＋4＝2ax2＋4x＋a＋1x.
于是g′(x)≤－4x2＋4x－1x＝－(2x－1)2x≤0.
从而g(x)在(0，＋∞)上单调减少，
故g(x1)≤g(x2)，
即f(x1)＋4x1≤f(x2)＋4x2，
故对任意x1，x2∈(0，＋∞)，|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|.
5