动点最值问题解法探析
如何求解双动点线段长的最小值问题
挑战性强：双动点线段长的最小值问题是一个经典的数学难题，具有很高的难度和挑战性，是考 验数学家智慧和能力的题目之一。
相关数学概念
双动点：问题中 涉及的两个可以 独立变化的点。
线段长：两点之 间的距离，通常 表示为 d。
最小值：在给定 条件下，线段长 的最小可能值。
问题的定义和背景： 研究双动点线段长 的最小值问题，是 在一定条件下，寻 找两个可动点之间 线段长度的最小值 的问题。
求解方法
代数法
定义：通过代 数运算和不等 式求解动点线 段长的最小值
问题
步骤：设动点坐 标，建立函数表 达式，求导数， 判断单调性，求
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
该问题涉及到几何学、分析学等多 个学科领域，是数学中的经典问题 之一。
解决该问题需要运用数学中的一些 基本概念和方法，如极限、导数、 不等式等。
问题的重要性
数学领域的基础问题：双动点线段长的最小值问题在数学领域中具有重要地位，是数学研究的重 要课题之一。
实际应用广泛：双动点线段长的最小值问题在几何、物理学、工程学等领域有广泛的应用，对于 解决实际问题具有重要的意义。
双动点线段长的最小值 问题汇报人：XX Nhomakorabea目录
问题的定义和背景
01 实例分析 04 求解方法
02 结论与展望 05 求解步骤
03
问题的定义和背 景
问题的描述
双动点线段长的最小值问题是指两 个动点在平面上运动时，它们之间 线段长的最小值问题。
双动点线段长的最小值问题在现实 生活中有着广泛的应用，如工程设 计、交通运输等领域。
专题66 反比例函数中的动点最值问题(解析版)
例题精讲【例1】．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P的坐标为________解：当x＝0时，y＝×0+4＝4，∴点B的坐标为（0，4）；当y＝0时，x+4＝0，解得：x＝﹣6，∴点A的坐标为（﹣6，0）．∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，∴点C的坐标为（﹣3，2），点D坐标为（0，2）．作点C关于x轴的对称点C′，连接C′D交x轴于点P，此时PC+PD的值最小，如图所示．∵点C的坐标为（﹣3，2），∴点C′的坐标为（﹣3，﹣2）．设直线C′D的解析式为y＝kx+b（k≠0），将C′（﹣3，﹣2），D（0，2）代入y＝kx+b得：，解得：，∴直线C′D的解析式为y＝x+2．当y＝0时，x+2＝0，解得：x＝﹣，∴点P的坐标为（﹣，0），即点P的坐标为（﹣1.5，0）．变式训练【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点P是双曲线y＝（x＞0）上的一个动点，PB⊥y轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB 的面积将会（）A．逐渐增大B．不变C．逐渐减小D．先增大后减小解：设点P的坐标为（x，），∵PB⊥y轴于点B，点A是x轴正半轴上的一个定点，∴四边形OAPB是个直角梯形，∴四边形OAPB的面积＝（PB+AO）•BO＝（x+AO）•＝+＝+•，∵AO是定值，∴四边形OAPB的面积是个减函数，即点P的横坐标逐渐增大时四边形OAPB的面积逐渐减小．故选：C．【变1-2】．如图，一次函数y＝2x与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，点M在以C（2，0）为圆心，半径为1的⊙C上，N是AM的中点，已知ON长的最大值为，则k的值是．解：方法一、联立，∴，∴，∴A（），B（），∴A与B关于原点O对称，∴O是线段AB的中点，∵N是线段AM的中点，连接BM，则ON∥BM，且ON＝，∵ON的最大值为，∴BM的最大值为3，∵M在⊙C上运动，∴当B，C，M三点共线时，BM最大，此时BC＝BM﹣CM＝2，∴（，∴k＝0或，∵k＞0，∴，方法二、设点B（a，2a），∵一次函数y＝2x与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，∴A与B关于原点O对称，∴O是线段AB的中点，∵N是线段AM的中点，连接BM，则ON∥BM，且ON＝，∵ON的最大值为，∴BM的最大值为3，∵M在⊙C上运动，∴当B，C，M三点共线时，BM最大，此时BC＝BM﹣CM＝2，∴＝2，∴a1＝或a2＝0（不合题意舍去），∴点B（，），∴k＝，故答案为：．【例2】．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点．△OMN的面积为10．若动点P在x 轴上，则PM+PN的最小值是2．解：∵正方形OABC 的边长是6，∴点M 的横坐标和点N 的纵坐标为6，∴M （6，），N （，6），∴BN ＝6﹣，BM ＝6﹣，∵△OMN 的面积为10，∴6×6﹣×6×﹣×6×﹣×（6﹣）2＝10，∴k ＝24，∴M （6，4），N （4，6），作M 关于x 轴的对称点M ′，连接NM ′交x 轴于P ，则NM ′的长＝PM +PN 的最小值，∵AM ＝AM ′＝4，∴BM ′＝10，BN ＝2，∴NM ′＝＝＝2，故答案为2．变式训练【变2-1】．已知在平面直角坐标系中有两点A （0，1），B （﹣1，0），动点P 在反比例函数y ＝的图象上运动，当线段PA 与线段PB 之差的绝对值最大时，点P 的坐标为（1，2）或（﹣2，﹣1）．解：如图，设直线AB的解析式为y＝kx+b，将A（0，1）、B（﹣1，0）代入，得：，解得：，∴直线AB的解析式为y＝x+1，直线AB与双曲线y＝的交点即为所求点P，此时|PA﹣PB|＝AB，即线段PA与线段PB 之差的绝对值取得最大值，由可得或，∴点P的坐标为（1，2）或（﹣2，﹣1），故答案为：（1，2）或（﹣2，﹣1）．【变2-2】．如图，一次函数y1＝mx+n（m≠0）的图象与双曲线y2＝（k≠0）相交于A（﹣1，2）和B（2，b）两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D．（1）求双曲线的解析式；（2）经研究发现：在y轴负半轴上存在若干个点P，使得△CPB为等腰三角形．请直接写出P点所有可能的坐标．解：（1）∵点A（﹣1，2）在双曲线y2＝（k≠0）上，∴k＝﹣1×2＝﹣2，∴反比例函数解析式为y2＝﹣，（2）∵点B在双曲线y2＝﹣上，∴2b＝﹣2，∴b＝﹣1，∴B（2，﹣1），将点A（﹣1，2），B（2，1）代入一次函数y1＝mx+n（m≠0）中，得，∴，∴一次函数的解析式为y＝﹣x+1；令x＝0，则y＝1，∴C（0，1），设P（0，p）（p＜0），∵B（2，﹣1），∴BC＝＝2，BP＝，CP＝1﹣p，∵△CPB为等腰三角形，∴①当BC＝BP时，2＝，∴p＝1（舍）或p＝﹣3，∴P（0，﹣3），②当BC＝CP时，2＝1﹣p，∴p＝1﹣2，∴P（0，1﹣2），③当BP＝CP时，＝1﹣p，∴p＝﹣1，∴P（0，﹣1），故满足条件的点P的坐标为（0，﹣3）或（0，1﹣2）或（0，﹣1）．1．如图，点N是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一个动点，过点N作MN∥x轴，交直线y＝﹣2x+4于点M，则△OMN面积的最小值是（）A．1B．2C．3D．4解：设点N的坐标为（，m），则点M的坐标为（2﹣m，m）（m＞0），∴MN＝﹣（2﹣m）＝m+﹣2，＝MN•m＝m2﹣m+3＝（m﹣2）2+2，∴S△OMN∴当m＝2时，△OMN面积最小，最小值为2．故选：B．2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝a，∠BAC＝18°，动点P、Q分别在直线BC上运动，且始终保持∠PAQ＝99°．设BP＝x，CQ＝y，则y与x之间的函数关系用图象大致可以表示为（）A．B．C．D．解：∵AB＝AC＝a，∠BAC＝18°，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣18°）＝81°，∴∠ABC＝∠APB+∠PAB＝81°，∵∠PAQ＝99°，∠BAC＝18°，∴∠PAB+∠QAC＝99°﹣18°＝81°，∴∠APB＝∠QAC，同理可得∠PAB＝∠AQC，∴△APB∽△QAC，∴＝，即＝，整理得，y＝，∵x、y都是边的长度，是正数，∴y与x之间的函数关系用图象表示是反比例函数在第一象限内的部分，纵观各选项，只有A符合．故选：A．3．如图，已知A、B是反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C匀速运动，终点为C，过点P作PM ⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M、N．设四边形OMPN的面积为S，点P运动的时间为t，则S关于t的函数图象大致为（）A．B．C．D．解：①点P在AB上运动时，此时四边形OMPN的面积S＝K，保持不变，故排除B、D；②点P在BC上运动时，设路线O→A→B→C的总路程为l，点P的速度为a，则S＝OC×CP＝OC×（l﹣at），因为l，OC，a均是常数，所以S与t成一次函数关系．故排除C．故选：A．4．已知点A是双曲线y＝在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为一边作等边△ABC．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但始终在一个函数的图象上运动，则这个函数的表达式为y＝﹣．解：设A（a，），∵点A与点B关于原点对称，∴OA＝OB，∵△ABC为等边三角形，∴AB⊥OC，OC＝AO，∵AO＝，∴CO＝，过点C作CD⊥x轴于点D，则可得∠AOD＝∠OCD（都是∠COD的余角），设点C的坐标为（x，y），则tan∠AOD＝tan∠OCD，即＝，解得：y＝﹣a2x，在Rt△COD中，CD2+OD2＝OC2，即y2+x2＝3a2+，将y＝﹣a2x代入，（a4+1）x2＝3×可得：x2＝，故x＝，y＝﹣a2x＝﹣a，则xy＝﹣3，故可得：y＝﹣（x＞0）．故答案为：y＝﹣（x＞0）．5．如图，点P是双曲线C：y＝（x＞0）上的一点，过点P作x轴的垂线交直线AB：y＝x﹣2于点Q，连接OP，OQ．当点P在曲线C上运动，且点P在Q的上方时，△POQ面积的最大值是3．解：∵PQ⊥x轴，∴设P（x，），则Q（x，x﹣2），∴PQ＝﹣x+2，＝（﹣+2）•x＝﹣（x﹣2）2+3，∴S△POQ∵﹣＜0，∴△POQ面积有最大值，最大值是3，故答案为3．6．如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象经过点C．已知点P是反比例函数y＝（k≠0，x＞0）图象上的一个动点，则点P到直线AB距离最短时的坐标为（，）．解：（1）设直线AB的解析式为y＝ax+b，将点A（1，0），点B（0，2）代入得，解得，∴直线AB为y＝﹣2x+2；∵过点C作CD⊥x轴，∵线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，∴△ABO≌△CAD（AAS），∴AD＝OB＝2，CD＝OA＝1，∴C（3，1），∴k＝3，∴y＝；设与AB平行的直线y＝﹣2x+h，联立﹣2x+h＝，∴﹣2x2+hx﹣3＝0，当△＝h2﹣24＝0时，h＝2或﹣2（舍弃），此时点P到直线AB距离最短，解方程﹣2x2+2x﹣3＝0得x＝＝，∴P（，），故答案为P（，）．7．如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数y＝（k≠0）的图象上运动，且始终保持线段AB＝4的长度不变．M为线段AB的中点，连接OM．则线段OM长度的最小值是（用含k的代数式表示）．解：如图，因为反比例函数关于直线y＝x对称，观察图象可知：当线段AB与直线y＝x 垂直时，垂足为M，此时AM＝BM，OM的值最小，∵M为线段AB的中点，∴OA＝OB，∵点A，B在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，∴点A与点B关于直线y＝x对称，∵AB＝4，∴可以假设A（m，），则B（m+4，﹣4），∴（m+4）（﹣4）＝k，整理得k＝m2+4m，∴A（m，m+4），B（m+4，m），∴M（m+2，m+2），∴OM＝＝＝，∴OM的最小值为．故答案为．8．如图，点A是反比例函数y＝在第一象限的图象上的一点，过点A作AB⊥y轴于点B．连接AO，以点A为圆心，分别以AB，AO为半径作直角扇形BAC和OAD，并连接CD，则阴影部分面积的最小值是2π+2．解：如图，过点D作DE垂直于CA的延长线于点E，则∠AED＝90°，由题意可知，AB＝AC，AO＝AD，∠BAC＝∠DAO＝90°，∵AB⊥y轴，∴∠ABO＝90°，∴∠BAO+∠OAE＝90°，∠DAE+∠OAE＝90°，∴∠BAO＝∠DAE，∴△BAO≌△EAD（AAS），∴DE＝OB．∵点A是反比例函数y＝在第一象限的图象上的一点，∴OB•AB＝4，∴S△AOB＝OB•AB＝2，∴S△ACD＝AC•DE＝OB•AB＝2，∴S阴影＝S△ACD+S扇形OAD＝2+＝2+∵（AB﹣OB）2≥0，∴AB2﹣2AB•OB+OB2≥0，∴AB2+OB2≥2AB•OB，∴S阴影≥2+×2AB•OB＝2+2π．故答案为：2+2π．9．如图，点A是反比例函数y＝（k＞0）图象第一象限上一点，过点A作AB⊥x轴于B 点，以AB为直径的圆恰好与y轴相切，交反比例函数图象于点C，在AB的左侧半圆上有一动点D，连接CD交AB于点E．记△BDE的面积为S1，△ACE的面积为S2，连接BC，△ACB是等腰直角三角形，则若S1﹣S2的值最大为1，则k的值为4+4．解：如图连接BC、O′C，作CH⊥x轴于H．由题意⊙O′与反比例函数图象均关于直线y＝x对称，∴点A、C关于直线y＝x对称，设A（m，2m）则C（2m，m），∴BO′＝CH＝m，BO′∥CH，∴四边形BHCO′是平行四边形，∵BH＝CH，∠BHC＝90°，∴四边形BHCO′是正方形．∴∠ABC＝45°，∴△ACB是等腰直角三角形，∵S1﹣S2＝S△DBC﹣S△ACB，△ABC的面积是定值，∴△DBC的面积最大时，S1﹣S2的值最大，∴当DO′⊥BC时，△DBC的面积最大，∴m•（m+m）﹣•2m•m＝1，∴m2＝2（+1），∵k＝2m2，∴k＝4+4，故答案为：等腰直角三角形，4+4．10．如图，正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A 点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1．（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，P为x轴上一点，求使PA+PB的值最小时点P的坐标．解：（1）设A点的坐标为（a，b），则由，得ab＝2＝k，∴反比例函数的解析式为；（2）由条件知：两函数的交点为，解得：，，∴A点坐标为：（2，1），作出A点关于x轴对称点C点，连接BC，P点即是所求则点C（2，﹣1），∵B（1，2），设直线BC的解析式为：y＝kx b，解得：，∴直线BC的解析式为：y＝﹣3x+5，当y＝0时，x＝，∴点P（，0）．11．如图，正比例函数y＝2x的图象与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直x轴于点C，连接BC，若△ABC面积为2．（1）求k的值（2）x轴上是否存在一点D，使△ABD是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由．解：（1）∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，∴A、B两点关于原点对称，∴OA＝OB，∴△BOC的面积＝△AOC的面积＝2÷2＝1，又∵A是反比例函数y＝图象上的点，且AC⊥x轴于点C，∴△AOC的面积＝|k|，∴|k|＝1，∵k＞0，∴k＝2．故这个反比例函数的解析式为y＝；（2）x轴上存在一点D，使△ABD为直角三角形．将y＝2x与y＝联立成方程组得：，解得：，，∴A（1，2），B（﹣1，﹣2），∵△ABD是以AB为斜边的直角三角形∴∠ADB＝90°，如图3，∵O为线段AB的中点，∴OD＝AB＝OA，∵A（1，2），∴OC＝1，AC＝2，由勾股定理得：OA＝＝，∴OD＝，∴D（，0）．根据对称性，当D为直角顶点，且D在x轴负半轴时，D（﹣，0）．故x轴上存在一点D，使△ABD以AB为斜边的直角三角形，点D的坐标为（，0）或（﹣，0）．12．如图，一次函数y＝x+2的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（1，a），B两点．（1）求反比例函数的解析式及点B的坐标；（2）在x轴上找一点C，使|CA﹣CB|的值最大，求满足条件的点C的坐标及△ABC的面积．解：（1）∵直线y＝x+2经过点A（1，a），∴a＝3，∵反比例函数y＝经过A（1，3），∴k＝3，∴y＝，由，解得或，∴B（﹣3，﹣1）．（2）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′，延长AB′交x轴于点C，点C即为所求；∵A（1，3），B′（﹣3，1），∴直线AB′的解析式为y＝x+，∴C（﹣5，0），＝S△CBB′+S△BB′A＝×2×2+×2×4＝6．∴S△ABC13．如图，一次函数y＝2x﹣3的图象与反比例函数y＝的图象相交于点A（﹣1，n），B 两点．（1）求反比例函数的解析式与点B的坐标；（2）连接AO、BO，求△AOB的面积；（3）点D是反比例函数图象上的一点，当∠BAD＝90°时，求点D的坐标．解：（1）∵点A（﹣1，n）在一次函数y＝2x﹣3的图象上，∴n＝﹣5，∴点A（﹣1，﹣5），∵点A（﹣1，﹣5）在反比例函数的图象上，∴k＝﹣1×（﹣5）＝5，∴；联立，解得：，，∴点；（2）设y＝2x﹣3与y轴的交点为点E，则点E（0，﹣3），∴OE＝3，＝S△AOE+S△BOE＝×3×1+×3×＝；∴S△AOB（3）设点，如图，分别过点D，B作y轴的平行线DM，BN，过点A作MN⊥DM于M，交BN于N，则MN⊥BN，∴∠M＝∠N＝90°，∴∠DAM+∠ADM＝90°，∵∠BAD＝90°，∴∠BAN+∠DAM＝90°，∴∠BAN＝∠ADM，∴△BAN∽△ADM，∴＝，即＝，解得：a1＝﹣10，a2＝﹣1（舍），∴．14．如图，直线y＝2x+3与y轴交于A点，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B，过点B作BC⊥x轴于点C，且C点的坐标为（1，0）．（1）求反比例函数的解析式；（2）点D（a，1）是反比例函数y＝（x＞0）图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得PB+PD最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵BC⊥x轴于点C，且C点的坐标为（1，0），∴在直线y＝2x+3中，当x＝1时，y＝2+3＝5，∴点B的坐标为（1，5），又∵点B（1，5）在反比例函数y＝上，∴k＝1×5＝5，∴反比例函数的解析式为：y＝；（2）将点D（a，1）代入y＝，得：a＝5，∴点D坐标为（5，1）设点D（5，1）关于x轴的对称点为D′（5，﹣1），过点B（1，5）、点D′（5，﹣1）的直线解析式为：y＝kx+b，可得：，解得：，∴直线BD′的解析式为：y＝﹣x+，根据题意知，直线BD′与x轴的交点即为所求点P，当y＝0时，得：﹣x+＝0，解得：x＝，故点P的坐标为（，0）．15．如图，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y＝（x＞0）的图象与BC边交于点E．（1）当F为AB的中点时，求该反比例函数的解析式和点E的坐标．（2）设过（1）中的直线EF的解析式为y＝ax+b，直接写出不等式ax+b＜的解集．（3）当k为何值时，△AEF的面积最大，最大面积是多少？解：（1）∵四边形OABC为矩形，OA＝3，OC＝2，∴AB＝2，BC＝3，∵F为AB的中点，∴点F坐标为（3，1），∵点F在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝3×1＝3，∴反比例函数解析式为y＝，∵点E在BC上，∴E点纵坐标为2，在y＝中，令y＝2，可求x＝，∴E点坐标为（，2）；（2）不等式ax+b＜的解集即直线在反比例函数下方时对应的自变量的取值范围，由（1）可知点E、F两点的横坐标分别为、3，∴不等式ax+b＜的解集为：0＜x＜或x＞3；（3）由题意可知点E的纵坐标为为2，点F的横坐标为3，且E、F在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴可设E（，2），F（3，），∴AF＝，CE＝，∴BE＝BC﹣CE＝3﹣，＝AF•BE＝••（3﹣）＝﹣k2+＝﹣（k﹣3）2+，∴S△AEF∵﹣＜0，是关于k的开口向下的抛物线，∴S△AEF有最大值，最大值为，∴当k＝3时，S△AEF即当k的值为3时，△AEF的面积最大，最大面积为．16．如图，直线OA：y＝x的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A 点，过A点作轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1．（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小．解：（1）设点A的坐标为（a，b），则，解得：k＝2．∴反比例函数的解析式为y＝．（2）联立直线OA和反比例函数解析式得：，解得：．∴点A的坐标为（2，1）．设A点关于x轴的对称点为C，则C点的坐标为（2，﹣1），连接BC较x轴于点P，点P即为所求．如图所示．设直线BC的解析式为y＝mx+n，由题意可得：B点的坐标为（1，2），∴，解得：．∴BC的解析式为y＝﹣3x+5．当y＝0时，0＝﹣3x+5，解得：x＝．∴P点的坐标为（，0）．17．已知：如图，一次函数y＝﹣2x+10的图象与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点（A在B的右侧），点A横坐标为4．（1）求反比例函数解析式及点B的坐标；（2）观察图象，直接写出关于x的不等式﹣2x+10﹣＞0的解集；（3）反比例函数图象的另一支上是否存在一点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）把x＝4代入y＝﹣2x+10得y＝2，∴A（4，2），把A（4，2）代入y＝，得k＝4×2＝8．∴反比例函数的解析式为y＝，解方程组，得，或，∴点B的坐标为（1，8）；（2）观察图象得，关于x的不等式﹣2x+10﹣＞0的解集为：1＜x＜4或x＜0；（3）存在，理由：①若∠BAP＝90°，过点A作AH⊥OE于H，设AP与x轴的交点为M，如图1，对于y＝﹣2x+10，当y＝0时，﹣2x+10＝0，解得x＝5，∴点E（5，0），OE＝5．∵A（4，2），∴OH＝4，AH＝2，∴HE＝5﹣4＝1．∵AH⊥OE，∴∠AHM＝∠AHE＝90°．又∵∠BAP＝90°，∴∠AME+∠AEM＝90°，∠AME+∠MAH＝90°，∴∠MAH＝∠AEM，∴△AHM∽△EHA，∴，即，∴MH＝4，∴M（0，0），可设直线AP的解析式为y＝mx，则有4m＝2，解得m＝，∴直线AP的解析式为y＝x，解方程组，得，，∴点P的坐标为（﹣4，﹣2）．②若∠ABP＝90°，同理可得：点P的坐标为（﹣16，﹣）．综上所述：符合条件的点P的坐标为（﹣4，﹣2）、（﹣16，﹣）．18．反比例函数（k为常数．且k≠0）的图象经过点A（1，3），B（3，m）．（1）求反比例函数的解析式及B点的坐标；（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，①求满足条件的点P的坐标；②求△PAB的面积．解：（1）把A（1，3）代入y＝得，k＝3，∴反比例函数的关系式为：y＝；把B（3，m）代入y＝得，m＝1，∴点B的坐标为（3，1）；（2）①如图所示，作点B关于x轴的对称点B′，则B′（3，﹣1），连接AB′交x轴于点P，此时PA+PB最小．设直线AB′的关系式为y＝kx+b，把A（1，3），B′（3，﹣1）代入得，，解得，，∴直线AB′的关系式为y＝﹣2x+5，当y＝0时，x＝，即：P（，0），也就是，OP＝，②S△P AB＝S梯形ABNM﹣S△AMP﹣S△BPN＝（1+3）×2﹣（﹣1）×3﹣（3﹣）×1＝．19．如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与反比例y＝（k为常数，且k≠0）的图象交于A （1，a），B两点．（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）①在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标；②在x轴上找一点M，使|MA﹣MB|的值为最大，直接写出M点的坐标．解：（1）把点A（1，a）代入一次函数y＝﹣x+4，得a＝3，∴A（1，3），把点A（1，3）代入反比例y＝，得k＝3，∴反比例函数的表达式y＝，解得或，故B（3，1）．（2）作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小∴D（3，﹣1）设直线AD的解析式为y＝mx+n，则，解得，∴直线AD的解析式为y＝﹣2x+5，令y＝0，则x＝，∴P点坐标为（，0）；（3）直线y＝﹣x+4与x轴的交点即为M点，此时|MA﹣MB|的值为最大，令y＝0，则x＝4，∴M点的坐标为（4，0）．20．如图，四边形ABCD是正方形，点A的坐标是（0，1），点B的坐标是（0，﹣2），反比例函数y＝的图象经过点C，一次函数y＝ax+b的图象经过A、C两点，两函数图象的另一个交点E的坐标是（m，3）．（1）分别求出一次函数与反比例函数的解析式．（2）求出m的值，并根据图象回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值．（3）若点P是反比例函数图象上的一点，△AOP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求点P坐标．解：（1）∵点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（0，﹣2），∴AB＝1+2＝3，∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝AB＝3，∴C（3，﹣2），把C（3，﹣2）代入y＝，得k＝3×（﹣2）＝﹣6，∴反比例函数解析式为y＝﹣；把C（3，﹣2），A（0，1）代入y＝ax+b，得，解得，∴一次函数解析式为y＝﹣x+1；（2）∵反比例函数y＝﹣的图象过点E（m，3），∴m＝﹣2，∴E点的坐标为（﹣2，3）；由图象可知，当x＜﹣2或0＜x＜3时，一次函数落在反比例函数图象上方，即当x＜﹣2或0＜x＜3时，一次函数的值大于反比例函数的值；（3）设P（t，﹣），∵△AOP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，∴×1×|t|＝3×3，解得t＝18或t＝﹣18，∴P点坐标为（18，﹣）或（﹣18，）．21．如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上的一个动点，AC⊥x轴于点C；E是线段AC的中点，过点E作AC的垂线，与y轴和反比例函数的图象分别交于点B、D两点；连接AB、BC、CD、DA．设点A的横坐标为m．（1）求点D的坐标（用含有m的代数式表示）；（2）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；（3）当m为何值时，四边形ABCD是正方形？并求出此时AD所在直线的解析式．解：（1）∵点A的横坐标为m，∴点A的纵坐标为，∵E是AC的中点，AC⊥x轴，∴E（m，），∵BD⊥AC，AC⊥x轴，∴BD∥x轴，∴点B，E，D的纵坐标相等，为，∴点D的横坐标为2m，∴D（2m，）；（2）四边形ABCD是菱形，∵B（0，），E（m，），D（2m，），∴EB＝ED＝m，∵AE＝EC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵BD⊥AC，∴平行四边形ABCD是菱形；（3）∵平行四边形ABCD是菱形，∴当AC＝BD时，四边形ABCD是正方形，∴2m＝，∴m＝2，或m＝﹣2（舍），∴A（2，4），D（4，2），设直线AD的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴直线AD解析式为y＝﹣x+6，∴当m＝2时，四边形ABCD是正方形，此时直线AD解析式为y＝﹣x+6．22．如图，一次函数y＝﹣x+2的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，与反比例函数y＝交于点C、D，且点C坐标为（﹣2，m）．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点M在y轴正半轴上，且与点B，C构成以BC为腰的等腰三角形，求点M的坐标．（3）点P在第二象限的反比例函数图象上，若tan∠OCP＝3，求点P的坐标．解：（1）∵点C（﹣2，m）在一次函数y＝﹣x+2的图象上，∴m＝﹣（﹣2）+2，解得：m＝4，∴C（﹣2，4），将C（﹣2，4）代入y＝，得k＝﹣8，∴反比例函数为y＝﹣；（2）如图1，过点C作CH⊥y轴于H，在直线y＝﹣x+2中，当x＝0时，则y＝2，∴B（0，2），由（1）知，C（﹣2，4），∴BC＝＝2，当BM＝BC＝2时，OM＝2+2，∴M（0，2+2），当BC＝MC时，点C在BM的垂直平分线，∴M（0，6），综上所述，点M的坐标为（0，2+2）或（0，6）（3）作OQ⊥PC于Q，过Q作HG⊥x轴于G，CH∥x轴，交HG于H，则△CHQ∽△QGO，∴，∵tan∠OCP＝3，∴，设CH＝x，则GQ＝3x，HQ＝4﹣3x，∴OG＝3HQ＝12﹣9x＝x+2，解得x＝1，∴Q（﹣3，3），∴直线CQ的解析式为y＝x+6，∴x+6＝﹣，解得x1＝﹣2，x2＝﹣4，∵点P与C不重合，∴P（﹣4，2）．。
08 初三数学培优专题(8)——相对运动思想解多动点最值问题
相对运动思想解多动点最值问题相对运动思想：把原来的动点看做参，这样动变成了静，静变成了动。
注意相对运动的轨迹。
使用条件是：1.运动的点多余静态的点（注意这里说的不是所有点是和问题有关的点）2.动点是多个，但必须是严格联动，也就是动点围成的图形不会放缩，不会变形，所以题目往往是以一个图形的整体运动作为条件。
典型问题【例1】（2012•济南13题）如图，90MON∠=︒，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中2AB=，1BC=，运动过程中，点D到点O的最大距离为()A1B C D．5 2分析：显然点D的轨迹比较复杂，直接去求OD的最值不容易，能从其他方面入手吗？下面给出3种方法：方法1：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 解：如图，取AB 的中点E ，连接OE 、DE 、OD ，OD OE DE +，∴当O 、D 、E 三点共线时，点D 到点O 的距离最大，此时，2AB =，1BC =，112OE AE AB ∴===，DE ==，OD ∴1．故选：A ． 法2：（初三解法）我们还应深入思考点E 的轨迹，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，AB 为定长＝2，则OE ＝1，O 为定点，则E 点的轨迹在图中为四分之一圆弧，则问题转化为圆外有一点D ，已知其到圆上一点E 的距离确定，圆的半径也已确定，要求点D 与圆心O 距离的最大值．显然当O 、E 、D 三点共线时，OD 取到最大．法3：（运动相对性，定边对定角——隐圆）本题中，我们深入挖掘题目的本质，不难发现，AB 为定值2，而△OAB 中，AB 的对角∠O 始终为定值90°，根据上一讲“定弦定角必有圆”，可以构造△OAB 的外接圆⊙E ，E 为AB 中点，我们把AB 固定，则点D 固定，此时点O 就变为动点，问题转化为求⊙E 上一动点O 到圆外一定点D 距离的最大值．显然当动点与圆心，及圆外定点在同一直线上时，距离最大【变式1】（2009•潍坊）已知边长为a 的正三角形ABC ，两顶点A 、B 分别在平面直角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上滑动，点C 在第一象限，连接OC ，则OC 的长的最大值是 ．【解答】解：取AB 中点D ，连OD ，DC ，有OC OD DC +，当O 、D 、C 共线时，OC 有最大值，最大值是OD CD +．ABC ∆为等边三角形，AB BC AC a ∴===，根据三角形的性质可知：12OD a =，2CD a =．OC ∴．【点评】直角三角形斜边中点到三顶点距离相等，即等于斜边的一半．【例2】如图，正方形ABCD 的边长为3，E 、F 是对角线BD 上的两个动点，且EF =，连接AE 、AF ，则AE AF +的最小值为( )A ．B ．C ．92D ．225解：如图作//AH BD ，使得AH EF =，连接CH 交BD 于F ，则AE AF +的值最小．AH EF =，//AH EF ， ∴四边形EFHA 是平行四边形，EA FH ∴=， FA FC =，AE AF FH CF CH ∴+=+=， 四边形ABCD 是正方形，AC BD ∴⊥，//AH DB ，AC AH ∴⊥，90CAH ∴∠=︒，在Rt CAH ∆中，CH ==AE AF ∴+的最小值， 故选：A ．【变式1】2019年成都中考24题如图，在边长为1的菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒. 将△ABD 沿射线BD 的方向平移得到△A'B'D' ，分别连接A'C ，B 'C ，则A'C + B'C 的最小值为【例23（2018天津第3问）在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，点(0,0)O ，点(5,0)A ，点(0,3)B ．以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点O ，B ，C 的对应点分别为D ，E ，F ．记K 为矩形AOBC 对角线的交点，S 为KDE ∆的面积，求S 的取值范围（直接写出结果即可）．【解答】方法1：如图③中，当点D 在线段BK 上时，D E K ∆的面积最小，最小值113(522DE DK ==⨯⨯-=当点D 在BA 的延长线上时，△D E K ''的面积最大，最大面积113(522D E KD =⨯''⨯'=⨯⨯+=．303S +．旋转出隐圆如右图，以A 为圆心，AO 为半径作圆，过点K 作直径D 1D 2，当点D 与点D 1 重合时，S △KDE当点D 与点D 2 重合时，S △ KDE， 故S 303S +.反思：旋转的本质是图形上的每一个点绕旋转中心在同心圆上作同步运动，故而旋转出隐圆.本题的难点是最后一问，这里首先作出点D 所在的轨迹圆⊙A ，而DE 始终为⊙A 的切线且DE ＝3，要使△KDE 的面积取最值，只要使DE 边上的高取最值即可；如上图所示，过⊙A 上的任意点D 作切线DE ，作KG ⊥DE 于点G ，交⊙A 于点R ，再过点K 作直径D 1D 2，则KG ≥KR ≥KD 1，当且仅当点D 与D 1重合时，KG 取最小值，此时△KDE 的面积最小；另外，KG ≤KD ≤KD 2，当且仅当点D 与D 2重合时，KG 取最大值，此时△KDE 的面积最大方法2：相对运动最后一问：正常动是四个动点有点唬人，其实相关的动点就俩，E 和D ，E ，D 都是绕A 圆周运动，所以要看相关点，静态点相关的就是K下面是相对运动：让K 运动，K 绕点A 圆周运动。
利用辅助圆求解动点最值问题
利用辅助圆求解动点最值问题许多几何问题虽然与圆无关，但是如果能结合条件补作辅助圆，就能利用圆的有关性质、结论，将某些最值问题通过圆中的几何模型求解.笔者经过研究，归纳为以下情况可考虑作辅助圆:一、同一端点出发的等长线段例1 如图1，在直角梯形中，，点是线段上一动点，将沿翻折到，连结.当点在上运动时，分别求的最小值.解析 如图1，当点在点时，与重合;当点在点时，设点在点处，由翻折可知.所以，点在以为圆心，为半径的圆上，运动轨迹为弧.如图2，点在⊙内，延长交⊙于点.当点在点时最小，最小值为.点在⊙外，设交⊙于点，当点在点时最小，最小值为.设与⊙交点为，当点在点时最小，最小值为.点评 当条件中有同一端点出发的等长线段时，根据圆的定义，以该端点为圆心，等长为半径构造圆，将原问题转化为定点与圆上点的距离问题.模型1 如图3，点在⊙外，到⊙上各点连线段中最短；如图4，点在⊙内，到⊙上各点连线段中最短.ABCD 90,3,4,6DAB ABC AD AB BC ∠=∠=︒===E AB EBC ∆CE EB C '∆,B D B A ''E AB ,,B D B A B D B A ''''+E B B 'B E A B 'F BC B C FC '==B 'C BC BF D C CD C 1B B '1B B D '11B C DC -=A C AC C 2B B '2B B A'26AC B C -=AD C 3B B '3B B D B A ''+3AD =A O A O AB A O A O AB证明 在⊙上任取一点，不与点重合，连结，如图3.,得证.如图4,，得证. 二、动点对定线段所张的角为定值模型2 如图5 , 为定线段，点为外一动点，为定值，则点形成的轨迹是弧、弧(不含点).证明 设⊙为的外接圆，在上方任取三点，点分别在⊙外、⊙上、⊙内.,当为定值时，点形成的轨迹是弧、弧(不含点).1.动点时定线段所张的角为直角例2 如图6，正方形边长为2，点是正方形内一动点，，连结，求的最小值.解析 为定线段， 由模型2可知，点在以为直径的圆上.连交⊙于点，由模型1，当在点处时.O C B ,CA CO ,,OC CA OA OC OB CA AB +>=∴>,,OC OA CA OC OB AB CA -<=∴<AB C AB ACB ∠C ACB AmB ,A B O ABC ∆AB ,,D E F O O O ,,D AGB C E C AFB H C ∠<∠=∠∠=∠∠>∠=∠∴ACB ∠C ACB ADB ,A B ABCD E ABCD 90AEB ∠=︒DE DE 90,AEB AB ∠=︒E AB OD O F E F DE 1点评 当动点对定线段所张的角为直角时，根据直径所对圆周角为直角，以定线段为直径构造圆.2.动点时定线段所张的角为锐角例 3 如图7, ，一把直角三角形尺的两个顶点分别在上移动，，求点到距离的最大值.解析 如图8,⊙为的外接圆，由模型2知，点的运动轨迹是弧(两点除外).过点作的垂线，垂足为点,交弧于点，当点在点处时，到 的距离最大，即为长..,.故到距离的最大值为.点评 本题是定长，为定值，利用模型2，找到点的运动轨迹是一段弧， 这段弧所在的圆是一个定圆，于是原问题转化为圆上一点到弦的距离问题.模型3 如图9,是⊙的一条弦，点是⊙上一动点(不与重合)，过点作 ，垂足为，交⊙于点在两侧).当点在点处时，点到的距离最大，即为长.证明 如图9，作垂足为点,，得证. 45XOY ∠=︒ABC ,A B ,OX OY 10AB =OAB D ABO ∆O AOB ,A B D AB E AOB F O F O AB FE 45,90XOY ADB ∠=︒∴∠=︒10,5AB FD AD DB DE =∴====5FE ∴=OAB 5AB XOY ∠O AB O C O ,A B O DE AB ⊥D O (,E E D O C E C AB DE CF AB ⊥F CF CD OC OD ED <<+=3.动点对定线段所张的角为钝角例4 如图10，正三角形边长为2，射线，点是射线上一动点(不与点重合)，外接圆交于点，求的最小值.解析 如图10 ,. 为定长，点的运动轨迹是弧(不与重合).过点作垂足为，交弧于点，当点在点时最小，最小值为. 点评 本题将动点转化到动点，且因为,为定长，由模型2可知，点的运动轨迹是弧，这段弧所在的圆是一个定圆.于是，的最小值问题转化为圆外一点到圆上一点的最小值问题，由模型1即可求解.三、动点对定线段所张的角的最值例5 如图11，四边形中，均有 .在边上，是否存在一点，使得的值最小?若存在，求出此时的值;若不存在，请说明理由.解析 当为锐角时，随的增大而减小，求的值最小值，只要求最大值.ABC ∆//AD BC E AD A AEC ∆EB F AF 60,120EFC EAC BFC ∠=∠=︒∴∠=︒BC ∴F BC ,B C A AG BC ⊥G BC H F HAF AG HG -==E F 120BFC ∠=︒BC F AF ABCD //,,60,8,AD BC CD BC ABC AD ⊥∠=︒=12BC =AD E cos BEC ∠cos BEC∠BEC ∠cos BEC ∠BEC ∠cos BEC ∠BEC ∠于是，作中垂线交于点.设三点确定⊙，则⊙切于点.此时上的点(除点)都在⊙外，，所以当点在点处时最大.由题意，可知.设⊙半径为,则，解得，, 所以最小值为. 点评 求动点对定线段所张角的最大值时，以定线段为弦所作的圆与动点所在的直线相切，由同弧所对的圆周角大于圆外角知，动点运动至切点处时所张角最大.BC ,BC AD ,F G ,,B C G O O AD G AD G O BEC BGC ∠<∠E G BEC∠6GF BF ==Or 2226)r r +=r OF ==1cos cos 7BGC BOF ∠=∠=cos BEC ∠17。
动点求最值方法总结
动点求最值方法总结动态规划是一种常用的动点求最值的方法。
动态规划的核心思想是将一个复杂的问题分解为若干个子问题，通过求解子问题得到原问题的最优解。
首先，我们需要定义状态。
状态是问题的一个关键属性，它包含了求解问题所需的全部信息。
在动态规划中，状态可以是一个或多个变量的组合，用来描述问题的不同维度。
例如，对于一个序列问题，状态可以是序列的长度、序列的起始位置等。
接下来，我们需要找到状态转移方程。
状态转移方程描述了问题的状态之间的关系，即从一个状态转移到另一个状态所需的操作或决策。
通过递推的方式，我们可以利用已知的状态值来求解未知的状态值。
状态转移方程是动态规划问题的核心，它是解决问题的关键所在。
然后，我们需要确定初始状态和边界条件。
初始状态是指问题的最简单的形式，即问题规模最小的情况下的解。
边界条件是指问题的边界情况，即问题无法再分解时的解。
初始状态和边界条件是动态规划问题的基础，它们为问题的求解提供了起点和终点。
最后，我们可以利用递推的方式求解问题。
通过计算状态之间的转移关系，我们可以从初始状态开始逐步推导出最终的解。
这种递推的过程称为自底向上的求解方法。
另外，我们还可以利用记忆化搜索的方法进行自顶向下的求解。
记忆化搜索通过保存已经计算过的状态值，避免重复计算，提高求解效率。
总结来说，动态规划是一种有效的动点求最值的方法。
它通过分解问题为子问题，利用状态转移方程和初始状态，递推地求解出最优解。
动态规划的求解方法包括自底向上的递推和自顶向下的记忆化搜索。
掌握动态规划的思想和方法，可以帮助我们解决各种复杂的求最值问题。
动点问题求最小值的做法思路
动点问题求最小值的做法思路
1、化动为静：将动点问题转化为静态的几何问题，简化问题，使解题过程更加直观和易于操作。
这种方法适用于多种动点问题，包括但不限于求最值问题。
2、构造比例线段：在某些特定的动点问题中，通过构造比例线段来求解是最直接有效的方法。
这种方法在解决阿氏圆最值模型等题目时尤为常见。
3、利用轴对称性质：初中数学中，利用轴对称的性质可以实现“搬点移线”，从而求解几何图形中的最值问题。
这种方法依赖于基本定理，如两点之间线段最短、三角形任意两边之和大于第三边等。
4、寻找线段的“替身”或“等比替身”：在解决双动点线段问题时，找到一个与原线段长度相等或成比例的线段作为替代，是解题的关键。
这种方法有助于简化问题，找到解决问题的突破口。
5、分类讨论：当动点问题存在多种可能性时，需要进行分类讨论，以确保不遗漏任何可能的情况。
这种方法适用于那些情况复杂、可能存在多种解法的问题。
6、建立直角三角形模型：在某些情况下，通过建立直角三角形模型并利用其性质（如勾股定理）来求解是最有效的策略之一。
这种方法特别适用于涉及圆和直线的问题。
7、动态规划：虽然动态规划主要用于解决算法问题，但其思想也可以应用于某些特定的动点最值问题中。
通过定义状态、计算转移方程和确定终止条件，可以有效地求解这类问题。
解答菱形中与动点有关的线段和最值问题的方法
数学篇学思导引菱形具有平行四边形的全部性质，此外，它还具有一般平行四边形所不具备的性质，如四边相等、对角线垂直、对角线平分对角、对角线一半的平方和等于边长的平方等.求解以菱形为背景，与动点有关的线段和最值问题，可结合菱形的轴对称特性、垂线段性质来确定动点位置和最值情形.解题时利用菱形的对称性可推导等线段长，也可对点的位置进行转化，从而将线段和的最小值转化为一条线段的长来求解.一、与一个动点有关的线段和最小值问题菱形中与一动点有关的线段和最小值问题较为基础.解题时要审清题干，把握关键节点.首先要弄清楚取最值时动点的位置，根据动点在菱形内、菱形上以及菱形外的不同位置确定不同的解法，然后利用菱形的对称性，把菱形的两条对角线当作动点与线段构成的图形的对称轴，作出线段的两个端点或动点的对称点，将线段和的最小值问题转换为“两个点之间，线段最短”的问题来解答.例1如图1，已知菱形ABCD 的两条对角线分别为6和8，M 、N 分别是边BC 、CD 的中点，P 是对角线BD 上一点，求PM +PN 的图1图2分析：已知图形ABCD 为菱形、菱形对角线长度、M 点和N 点的区域特征，那么同学们首先可连接菱形ABCD 的对角线.随后根据M 点和N 点的区域特征，作M 点在AB 线段上的对称点Q ，将PM +PN 的值转变为PN +PQ 的值.同时此题要求最小值，那么根据线段公理可知MP +NP 的值最小，而MP +NP 根据线段等量代换可得：MP +NP =NP +PQ .如果将P 看作NQ 和DB 的相交点，按照“两点之间，线段最短”的原理可知，NP +PQ 的最小值就是NQ 的取值，那么根据此解题思路即可完成作答.解：如图2所示，在菱形ABCD 边AB 上作M 点的对称点Q ，连接N 点、Q 点，交菱形ABCD 边BD 于点P .根据线段公理可知：MP +NP 的值最小时，MP +NP =NP +PQ =NQ ，连接AC ，∵四边形ABCD 为菱形，解答菱形中与动点有关的线段和数学篇学思导引∴Q 为菱形ABCD 边AB 的中点，又∵N 为菱形ABCD 边CD 的中点，∴BQ ∥CD ，BQ =CN ，∴四边形BQNC 为平行四边形BQNC ，∴NQ =BC ，∵四边形ABCD 是菱形，∴CP =12AC =3，BP =12BD =4，在RT△BPC 中，根据勾股定理可得BC =5，∴NQ =5，∴MP +NP =NP +PQ =NQ =5，∴PM +PN 的最小值为5.说明：解此题的关键是能根据轴对称找出P 的位置.解题时要关注菱形的轴对称特性，过菱形对角线存在两条对称轴，由此可把同侧距离之和化为异侧距离之和，从而利用两点之间线段最短确定线段和最小值.二、与两个动点有关的线段和最小值问题与两个动点有关的线段和最小值问题是菱形最值问题中较为复杂的一类问题.解题时可以结合由一个动点求线段和最小值问题的解题思路，首先根据动点具体位置明确解题方向，然后从“菱形的四边相等”“对角线互相垂直平分且平分对角”等菱形的特征入手，利用勾股定理对两个动点形成的线段长进行计算.解题时如果没有直接利用勾股定理的图形条件，可通过作辅助线构造直角三角形，再利用勾股定理来解题.例2如图3，菱形ABCD 的边长为6，∠ABC =60°，对角线BD 上有两个动点E ，F （点E 在点F 的左侧），连接AE ，CF .若EF =2，求AE +CF 的最小值.图3图4分析：可参考例1的解题思路，通过搭建菱形对角线，分析对角线关系，将菱形转化为平行四边形，再结合平行四边形边长的特征与勾股定理求出两动点形成的线段和最小值.解：在菱形ABCD 中，连接A 、C ，作AM ∥BD ，使AM =EF ，再连接C 、M ，交菱形ABCD 边BD 于点F ，如图4.∵AM =EF ，AM ∥EF ，∴四边形AEFM 是平行四边形，∴AE =FM ，∴AE +CF =MF +CF =CM ，而根据线段公理可知AE +CF 最小值为线段CM 的长，∵菱形ABCD 边长相等，即AB =BC ，且∠EBF =60°，则△ABC 为等边三角形，∴AB =AC =6，∵菱形图形对角线互相垂直，∴AC ⊥BD ，∵AM ∥BD ，∴∠CAM =90°，在Rt△CAM 中，CM =AC 2+AM 2=62+22=210，∴AE +CF 的最小值为210.说明：本题考查菱形的性质、平行四边形的判定和性质、两点之间线段最短、勾股定理等知识.解题的关键是结合菱形的特征来作辅助线，构造直角三角形模型，把线段和的最小值问题转化为两点之间线段最短来解答，最后借助勾股定理求得最短线段的长.菱形中的动点最值问题大多较为复杂，主要考查同学们对菱形的性质特征、勾股定理以及轴对称等相关知识的掌握情况.在解题的过程中，同学们要根据动点的位置进行分析思考，在复杂的问题背景下发现菱形中最值问题的基本模型，化“折”为“直”，寻找运动变化中的不变性，以此来形成解答此类问题的通性通法.27。
动点与最值问题解题技巧
动点与最值问题解题技巧【实用版4篇】篇1 目录1.动点与最值问题概述2.动点与最值问题的解题技巧3.动点与最值问题的应用篇1正文一、动点与最值问题概述动点与最值问题是数学中的一类常见问题，主要涉及到点在平面直角坐标系中的运动以及函数的最值求解。
这类问题通常需要结合几何知识、函数知识以及代数知识进行求解。
二、动点与最值问题的解题技巧1.理解问题：仔细阅读题目，理解问题的含义和限制条件，明确求解的目标。
2.建立模型：根据问题建立合适的数学模型，可以使用函数、方程、几何图形等方法。
3.求解模型：使用数学工具和方法求解模型，得到结果。
4.验证结果：验证所得结果是否符合问题要求，是否具有实际意义。
三、动点与最值问题的应用动点与最值问题在生活和工程中有着广泛的应用。
例如，在建筑设计、桥梁设计、道路设计等领域中，需要考虑动点的运动和最值问题，以保证设计的合理性和可行性。
篇2 目录1.动点与最值问题概述2.动点与最值问题的解题技巧3.动点与最值问题的应用篇2正文一、动点与最值问题概述动点与最值问题是数学中的常见问题，涉及到的知识点包括几何、函数、导数等。
这类问题具有综合性强、难度较大的特点，需要学生具备扎实的基础知识和灵活的解题技巧。
二、动点与最值问题的解题技巧1.理解问题本质：首先需要仔细阅读题目，理解问题的本质，确定动点的运动方式和约束条件。
2.建立数学模型：根据题目中的几何关系和函数关系，建立数学模型，使用几何或函数的方法描述问题。
3.寻找解题方法：根据具体问题选择合适的方法，如代数方法、几何方法、微积分方法等。
4.优化解题过程：在解题过程中，要善于利用各种技巧，如配方、拆项、代入数值等，使解题过程更加简洁。
三、动点与最值问题的应用动点与最值问题在日常生活和工程中都有广泛的应用，如建筑工程中的最短路径问题、交通规划中的最优路径问题等。
篇3 目录1.动点与最值问题的联系与区别2.动点问题的解题技巧3.最值问题的解题技巧篇3正文一、动点与最值问题的联系与区别动点问题与最值问题都是中学数学中常见的几何问题，它们在解题思路上有许多相似之处，但也有一些区别。
动点最值问题方法+经典例题
动点最值问题方法＋经典例题
动点最值是初中数学的难点内容，它考察的知识点很多，动点最值有很多类型，本次课程我们不仅总结了解决最值问题的基本方法，还给大家准备了经典例题基本方法
1最经济问题2利用三角形两边差求最值
3转化垂直求最值4平移构造平行四边形求最值5勺子形连两端求最值6对称连两端求最值
7构造两定边求最值8转化构造两定边求最值
9面积转化法求最值10相似转化法求最值
11系数化一法求最值12胡不归原理13轨迹最值14三动点的最值三角形15费马点今天就讲到这儿，还有很多内容我一下子没办法讲完，只能一点点讲。
同学们，下课。
中考数学复习：专题9-9 探究动点背景下的线段最值问题
探究动点背景下的线段最值问题【专题综述】图形运动问题是中考数学命题的热点题型，其中有一类动点背景下线段长度的最值问题，常常使学生感到比较为难.本文谈谈破解这类问题的方法. 动点背景下线段长度的最值问题一般有两种解法:1、代数解法.通过设未知量，建立函数关系或列方程列不等式等，用函数最值、二次方程判别式、解不等式来求解.2、几何方法.常通取特殊点，如线段中点、端点;与动点的特殊位置相关的特殊线段，如三角形的高、中线、圆的直径等;特殊图形，如直角三角形、等边三角形、矩形等，用几何公理、定理来求解. 一般而言，用几何方法抓住特殊情形处理，比代数方法更有独特魅力. 【方法解读】一、从动点所在特殊位置入手图形中动点的运动有一定的范围，其较为特殊的位置有:线段上动点的两端点、线段中点等;若点在线段外运动，则与某线段共线就是特殊位置.这些特殊位置正是产生最值的关键点.例1 如图1，在四边形ABCD 中，90A ∠=︒，33AB =，3AD =，点M ，N 分别为线段BC ，AB 上的动点(含端点，但点M 不与点B 重合)，点E ，F 分别为DM ，MN 的中点，则EF 长度的最大值为. 分析 DM ，MN 的长度随点M ，N 分别在线段BC ，AB 上运动而变化，点E ，F 分别为DM ，MN 的中点却保持不变.题设中EF 与不变量A ∠，AB ，AD 无直接数量关系，但连结DN ，则由三角形的中位线定理可知12EF DN =，如图1所示，从而可知DN 最大时，EF 最大.因为N 在线段AB 上，当点N 与其端点B 重合时DN 最大，如图2所示.此时，由勾股定理知6BD =，所以EF 长度的最大值为3.例2 如图3，在⊙O 中，直径6AB =，BC 是弦，30ABC ∠=︒，点P 是BC 上的一个动点，点Q 在⊙O 上，且OP PQ ⊥.求PQ 长的最大值.分析 点P 在BC 运动时，OP ，PQ 的位置和大小都变化，但OP PQ ⊥，圆的半径不变，连结OQ ，则OPQ ∆保持直角三角形不变.在Rt OPQ ∆中，22223PQ OQ OP OP =-=-,所以OP 最小时PQ 的长的最大.由垂径定理知，此时点P 正好是CB 的中点，如图4所示，Q 点与C 点重合.分析 连结OQ . ∵OP PQ ⊥，∴OPQ ∆为直角三角形. 又∵OP CB ⊥，132OB AB ==，30ABC ∠=︒， ∴32OP =由勾股定理，得223333()22PQ =-=即PQ 长的最大值332. 二、从动点产生的特殊线段入手在图形中，点的运动会引起相应线段位置和长度大小的变化，位置的变化会使线段成为具有某种特殊性质抓住这些线段变化的特殊性:如三角形的高、中线、圆的直径等，往往会找到最值的答案.例3 如图5，在直角ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，P 为AB 上(不与AB 重合)一动点，过点P 分别作PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥与F ，则EF 的最小值 .分析 因为点P 在AB 上运动时，PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥与F ，90C ∠=︒，所以四边形CFDE 是矩形，且这些关系不变.连结PC ，则EF CP =，要求EF 的最小值，就是求CP 的最小值.显然当CD AB ⊥，即CD 是斜边AB 的高时，CD 最小.又由勾股定理，得5AB =，根据三角形面积不变，得AC BC CD AB ⨯=⨯，解得125CP =，所以EF 的最小值为125. 例4 如图6，在圆O 上有定点C 和动点P 位于直径AB 的异侧，过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点G .已知:圆O 半径为52，4tan 3ABC ∠=，则CG 的最大值是(). (A)5 (B)154(C)253(D)203分析 点P 在AB 上运动时，PC 的位置和大小会随之变化，但CAB CPG ∠=∠，90ACB PCG ∠=∠=︒保持不变，故有ABCPGC ∆∆，∴BC AC CG PC =，即BC CG PC AC=，由3tan 4AC ABC PC ∠==，知43CG PC =，当PC 最大时，CQ 取到最大值易知，当PC 经过圆心，即PC 为圆O 的直径时，PC 最大(此时CG 是圆O 的切线). ∵圆O 半径为52， ∴PC 的最大值为5,∴315544CG =⨯=. ∴CG 的最大值154，故选B.三、抓住动点问题的特性，从构造特殊图形入手某些动点问题中，难以找到图形变化时与相关线段最值的特殊情形若要用几何解法，应联系整个问题所含条件添加辅助线，构造特殊图形，然后借助特殊图形的性质将问题进行有效转化.例5 如图7，ABC ∆中，45B ∠=︒，60BAC ∠=︒，22AB =. D 是BC 上的一个动点以AD 为直径画圆与AB ，AC 相交于E ，F 两点，求EF 的最小值.分析 点D 在BC 上运动，AD 的位置改变引起圆O 的位置和大小变化，而所求EF 的 值与不变量B ∠，BAC ∠以及AB 的关系不明显.连结OE ，OF ，构造含120︒角的特殊等腰三角形，如图8所示，过O 点作OH EF ⊥垂足为H ，由圆周角定理可知1602EOH EOF BAC ∠=∠=∠=︒.在Rt EOH ∆中，由垂径定理可知23EF EH OE ==.所以当OE 最小时，EF 的值最小，而12OE AD =，由垂线段的性质可知，当AD 为ABC ∆的边BC 上的高时，直径AD 最短，此时线段EF 最小.在Rt ADB ∆中，45ABC ∠=︒，22AB =∴2AD BD ==，即此时圆的直径为2. 在Rt EOH ∆中，33sin 122EH OE EOH =∠=⨯= ∴23EF EH ==， 即EF 的最小值为3.四、从图形运动中相对保持不动的点入手若图形中的动点不止一个，这种情形相对单一动点问题要复杂一般会引起变化的量增加或整个图形发生运动，难以找到原图中保存不变的量，这时可着眼于图中的相对不变量.相对不变量是指在整个图形运动变化中，保持某种特性不变的量与动点下线段最值所对应的仍是图中特殊相对不变量透过图形运动的整体，抓住特殊相对不变量才是解题的关键.例6 如图9，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3BC =，8AC =，点A ，C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上.当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动中OB 的最大值是多少?分析 当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，这样改变了ABC ∆的位置，点B 的位置也随之改变，OB 的长度随之发生变化.虽然BC 、AC 的长度不变，但些相对不变的量与OB 没有直接的关系. 仔细观察图9，AC 是Rt COA ∆的斜边，AC 长度不变，则点O 与其中点D 的连线段OD 的长度保持不变，这个隐含的相对不变的特殊量与OB 有关. 于是，连结DB ，则OB DB OD <+,所以，当O 、D 、B 三点共线时OB 值最大，即BO OD DB =+. 在Rt BCA ∆中，4CD =，3CB =，5DB =. 则OB 的最大值为549+=:.综上可知，解决动点背景下线段长度的最值问题时，一般可用几何方法从特殊情形出发考虑.1、在分析动点位置变化的同时，重点抓住图形中不变的量，不变的关系和性质，以不变应万变，动中求静.2、线段的最大值和最小值，常与下列知识相关:两点之间线段最短，垂线段最短，直径是圆中最大的弦，三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边等等.所以要抓住特殊情形，联系与问题相关的结论进行有效转化.【强化训练】1.（2017四川省内江市）如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ=430，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，且P A+AB+BQ 最小，此时P A+BQ= ．2.（2017山东省东营市）如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为83，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为．3．（2017山东省威海市）如图，△ABC为等边三角形，AB=2．若P为△ABC内一动点，且满足∠P AB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为．4. （2017甘肃省天水市）如图所示，正方形ABCD的边长为4，E是边BC上的一点，且BE=1，P是对角线AC上的一动点，连接PB、PE，当点P在AC上运动时，△PBE周长的最小值是．5．（2017贵州省贵阳市）如图，在矩形纸片ABCD 中，AB =2，AD =3，点E 是AB 的中点，点F 是AD 边上的一个动点，将△AEF 沿EF 所在直线翻折，得到△A ′EF ，则A ′C 的长的最小值是 ．6.（2016山东省枣庄市）如图，把△EFP 放置在菱形ABCD 中，使得顶点E ，F ，P 分别在线段AB ，AD ，AC 上，已知EP =FP =6，EF =63，∠BAD =60°，且AB ＞63． （1）求∠EPF 的大小；（2）若AP =10，求AE +AF 的值；（3）若△E FP 的三个顶点E 、F 、P 分别在线段AB 、AD 、AC 上运动，请直接写出AP 长的最大值和最小值．7．（2016山东省枣庄市）如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a ≠0）的对称轴为直线x =﹣1，且抛物线经过A （1，0），C （0，3）两点，与x 轴交于点B ．（1）若直线y =mx +n 经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x =﹣1上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴x =﹣1上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．8.（2017山东省烟台市）如图1，抛物线22y ax bx =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，AB =4，矩形OBDC 的边CD =1，延长DC 交抛物线于点E ． （1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P 是直线EO 上方抛物线上的一个动点，过点P 作y 轴的平行线交直线EO 于点G ，作PH ⊥EO ，垂足为H ．设PH 的长为l ，点P 的横坐标为m ，求l 与m 的函数关系式（不必写出m 的取值范围），并求出l 的最大值；（3）如果点N 是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M ，使得以M ，A ，C ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．9.（2016四川省眉山市）已知如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 、C 分别为坐标轴上上的三个点，且OA =1，OB =3，OC =4．（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系xOy 中是否存在一点P ，使得以以点A 、B 、C 、P 为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点M 为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM ﹣AM |的最大值时点M 的坐标，并直接写出|PM ﹣AM |的最大值．10. （2016广西梧州市）如图，抛物线24y ax bx =+-（a ≠0）与x 轴交于A （4，0）、B （﹣1，0）两点，过点A 的直线y =﹣x +4交抛物线于点C ． （1）求此抛物线的解析式；（2）在直线AC 上有一动点E ，当点E 在某个位置时，使△BDE 的周长最小，求此时E 点坐标； （3）当动点E 在直线AC 与抛物线围成的封闭线A →C →B →D →A 上运动时，是否存在使△BDE 为直角三角形的情况，若存在，请直接写出符合要求的E 点的坐标；若不存在，请说明理由．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
动点最值问题解法探析
一、问题原型：
（人教版八年级上册第42页探究）如图1-1，要在燃气管道上修
建一个泵站，分别向、两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可
使所用的输气管线最短？
这个“确定最短路线”问题，是一个利用轴对称解决极值的经典
问题。解这类问题
二、基本解法：
对称共线法。利用轴对称变换，将线路中各线段映射到同一直线
上（线路长度不变），确定动点位置，计算线路最短长度。
三、一般结论：
(在线段上时取等号)（如图1-2）
线段和最小，常见有三种类型：
（一）“|定动|+|定动|”型：两定点到一动点的距离和最小
通过轴对称，将动点所在直线同侧的两个定点中的其中一个，映
射到直线的另一侧，当动点在这个定点的对称点及另一定点的线段上
时，由“两点之间线段最短”可知线段和的最小值，最小值为定点线
段的长。
1.两个定点+一个动点。
如图1-3，作一定点关于动点所在直线的对称点，线段
（是另一定点）与的交点即为距离和最小时动点位置，最小距
离和。
例1（2006年河南省中考题）如图2，正方形的边长为，
是的中点，是对角线上一动点，则的最小值
是 。
解析：与关于直线对称，连结，则。
连结,在中，，，则
故的最小值为
例2 （2009年济南市中考题）如图3，已知：抛物线
的对称轴为，与轴交于、两点，与轴
交于点，其中，。
（1）求这条抛物线的函数表达式；
（2）已知在对称轴上存在一点，使得的周长最小，请求
出点的坐标。
解析：（1）对称轴为，，由对称性可知：。根
据、、三点坐标，利用待定系数法，可求得抛物线为：
（2）与关于对称轴对称，连结，与对称轴交点
即为所求点。
设直线解析式为：。把、代入得，
。当时，，则
2.两个定点+两个动点。
两动点，其中一个随另一个动（一个主动，一个从动），并且两
动点间的距离保持不变。用平移方法，可把两动点变成一个动点，转
化为“两个定点和一个动点”类型来解。
例3 如图4，河岸两侧有、两个村庄，为了村民出行方便，
计划在河上修一座桥，桥修在何处才能两村村民来往路程最短？
解析：设桥端两动点为、，那么点随点而动，等于
河宽，且垂直于河岸。
将向上平移河宽长到，线段与河北岸线的交点即为桥端
点位置。四边形为平行四边形，，此时
值最小。那么来往、两村最短路程为：
。
例4 (2010年天津市中考)在平面角坐标系中，矩形的顶点
在坐标原点，顶点、分别在轴、轴的正半轴上，，，
为边的中点。
（1）若为边上的一个动点，当的周长最小时，求点的
坐标；
（2）若，为边上的两个动点，且，当四边形的
周长最小时，求点，的坐标。
解析：作点关于轴的对称点，则，。
（1）连接交轴于点，连接，此时的周长最小。由
可知 ，那么，则。
（2）将向左平移2个单位（）到点，定点、分别到
动点、的距离和等于为定点、到动点的距离和，即
。从而把“两个定点和两个动点”类问题转化成“两
个定点和一个动点”类型。
在上截取，连接交轴于，四边形为
平行四边形，。此时值最小，则四
边形的周长最小。由、可求直线解析式为
，当时，，即，则。（也可以用（1）
中相似的方法求坐标）
（二）“|动定|+|动动|”型：
两动点分别在两条直线上独立运动，一动点分别到一定点和另一
动点的距离和最小。
利用轴对称变换，使一动点在另一动点的对称点与定点的线段上
（两点之间线段最短），且这条线段垂直于另一动点的对称点所在直
线（连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短）时，
两线段和最小，最小值等于这条垂线段的长。
例5 （2009年陕西省中考）如图6，在锐角中，，
，的平分线交于点，、分别是和上
的动点，则的最小值为 4 。
解析：角平分线所在直线是角的对称轴，上动点关于的
对称点在上，，，当
时，最小。
作于，交于，
∵，
∴
作交于，
例6 如图7，四边形是等腰梯形，、在轴上，在
轴上，，，，，抛物线
过、两点。
（1）求、；
（2）设是轴上方抛物线上的一动点，它到轴与轴的距离
之和为，求的最大值；
（3）当（2）中点运动到使取最大值时，此时记点为，
设线段与轴交于点，为线段上一动点，求到点与到
轴的距离之和的最小值，并求此时点的坐标。
解析：（1）由，，，可得：、
、、；根据、的坐标可求出抛物线解析式为
（2）设，且，则，用
零点分段法可求得，。当时，。
此时，则。
（3）轴与直线关于对称，作轴于，动点关于
的对称点在直线上，，当垂直于
直线时，的值最小。
，根据和可求直线的解析式，则有
。由可知，。作，过点
作轴的平行线，交于，那么
。作于，则，
，当是于的交点时，与
重合，有最小值5。函数，此时，则，
即。
3.“|定动|+|动动|+|动定|”型：两定点到两动点的距离、以及两动
之间距离和最小。
例7 （2009年漳州中考）如图8， ，是内一
点，，、分别是和上的动点，求周长的最小
值。
解析：分别作关于、的对称点、，连接，则
，当、在线段上时， 周长最小，
∵ ，
∴ 。 则周长的最小值为
例8 （2009年恩施中考）恩施到张家界高速公路与沪渝高速
公路垂直，如图9建立直角坐标系。著名的恩施大峡谷（）和世
界级自然保护区星斗山（）位于两高速公路同侧，，到
直线的距离为，到直线和的距离分别为和。请
你在旁和旁各修建一服务区、，使、、、组成的四边
形的周长最小，并求出这个最小值。
解析：作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点，
连接，。当、在线段上
时，最小。
过、分别作轴、轴的平行线交于。在中，
，，交轴于，交轴于。
，而
∴ 四边形的周长最小值为：