数列函数性
等差数列的函数特性及其性质 第二课时
上述解法用了等差数列的哪些性质? 与运用通项公式的通性通法对比有何优缺点?(① 若 m+n=p+q=2w,则 am+an=ap+aq=2aw(m,n,p,q,w∈N+); ②等差数列中,序号成等差数列的项按原次序构 成的新数列仍成等差数列;③an=am+(n-m)d,
an am d= nm
运算量小)
解:由题干图可知,从第 1 年到第 6 年平均每 个鸡场出产的鸡数成等差数列,记为{an},公 差为 d1,且 a1=1,a6=2;从第 1 年到第 6 年的养 鸡场个数也成等差数列,记为{bn},公差为 d2, 且 b1=30,b6=10; 从第 1 年到第 6 年全县出产鸡的总只数记为 数列{cn}, 则 cn=anbn.
等差数列的函数特性
1:观察上述等差数列的图像,它们 有什么共同特征?有什么差异? (它们的图像都是呈直线状的一群孤立的点. 当 d>0 时图像上升,d<0 时图像下降,d=0 时图 像不变化)
1:由等差数列{an}的通项公式 an=f(n)=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),可知其图像 是直线 y=dx+(a1-d)上的一些等间隔的点, 这些点的横坐标是正整数,其中公差 d 是该 直线的斜率. 当 d>0 时,{an}为递增数列; 当 d<0 时,{an}为递减数列; 当 d=0 时,{an}为常数列.
解:(1)设等差数列{an}的通项公式为 an=dn+b, 由(2,1),(4,5)是等差数列图像上的两点,可得
2d b 1, b 3, 解得 ∴a =2n-3. 4d b 5, d 2,
n
(2)由 2n-3=17,得 n=10∈N*, ∴(10,17)是{an}图像上的点.
高中数学专题-数列
高中数学专题-数列一、基础知识1.等差数列的定义与性质定义：1n n a a d+-=（d 为常数)，()11n a a n d=+-等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y⇔=+前n 项和()()11122n n a a n n n S nad+-==+性质：{}n a 是等差数列(1)若m n p q+=+，则m n p q a a a a +=+；(2)数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2；(3)若三个成等差数列，可设为a d a a d-+，，(4)若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则2121m m m m a S b T --=(5){}n a 为等差数列2n S an bn ⇔=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数)nS 的最值可求二次函数2n S an bn=+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项，即：当100a d ><，，解不等式组100n n a a +≥⎧⎨≤⎩可得n S达到最大值时的n 值.当100a d <>，，由100n n a a +≤⎧⎨≥⎩可得n S达到最小值时的n 值.(6)项数为偶数n 2的等差数列{}n a ，有),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S ndS S =-奇偶，1+=n na a S S 偶奇.(7)项数为奇数12-n 的等差数列{}n a ，有)()12(12为中间项n n n a a n S -=-na S S =-偶奇，1-=n n S S 偶奇.2.等比数列的定义与性质定义：1n na q a +=（q 为常数，0q ≠)，11n n a a q -=.等比中项：x G y 、、成等比数列2G xy ⇒=，或G xy =.前n 项和：()11(1)1(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩（要注意！)性质：{}n a 是等比数列(1)若m n p q+=+，则m n p qa a a a =··(2)232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列,公比为nq .注意：由nS 求na 时应注意什么？1n =时，11a S =；2n ≥时，1n n n a S S -=-.二、等差数列和等比数列对比等差数列等比数列定义a n－a n－1＝常数(n≥2)a na n－1＝常数(n≥2)通项公式a n＝a1＋(n－1)d a n＝a1q n－1(q≠0)判定方法(1)定义法(2)中项公式法：2a n＋1＝a n＋a n＋2(n≥1)⇔{a n}为等差数列(3)通项公式法：a n＝pn＋q(pq为常数)⇔{a n}为等差数列(4)前n项和公式法：S n＝An2＋Bn(A、B为常数)⇔{a n}为等差数列(5){a n}为等比数列，a n>0⇔{log a a n}为等差数列(1)定义法(2)中项公式法：a2n＋1＝a n·a n＋2(n≥1)(a n≠0)⇔{a n}为等比数列(3)通项公式法：a n＝c·q n(c、q均是不为0的常数，n∈N*)⇔{a n}为等比数列(4){a n}为等差数列⇔{a an}为等比数列(a>0且a≠1)性质(1)若m、n、p、q∈N*，且m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q特别：若m＋n＝2p，则a m＋a n＝2a p.(2)a n＝a m＋(n－m)d(3)数列S m，S2m－S m，S3m－S2m，…也是等差数列，即2(S2m－S m)＝S m+(S3m－S2m)(1)若m、n、p、q∈N*，且m＋n＝p＋q，则a m·a n＝a p·a q特别地，若m＋n＝2p，则a m·a n＝a2p.(2)a n＝a m q n－m(3)若等比数列前n项和为S n则S m，S2m－S m，S3m－S2m仍成等比数列，即(S2m－S m)2＝S m(S3m－S2m)(m∈N*，公比q≠－1)．前n 项和S n＝n a1＋a n2＝na1＋n n－12d(1)q≠1，S n＝a11－q n1－q＝a1－a n q1－q(2)q＝1，S n＝na1三、考点方法归纳考点一求数列的通项公式1.由a n与S n的关系求通项公式：由S n与a n的递推关系求a n的常用思路有：①利用S n－S n－1＝a n(n≥2)转化为a n的递推关系，再求其通项公式；数列的通项a n与前n项和S n的关系是a n S1，n＝1，S n－S n－1，n≥2.当n＝1时，a1若适合S n－S n－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项a n；当n＝1时，a1若不适合S n－S n－1，则用分段函数的形式表示。
收敛数列的性质和函数极限的性质
故存在
N1
,
使当
n
>
N1
时,
从而
xnaa 2ba 2b
当 n > N1 时,
xn
a
2
b
当 n > N1 时,
xn
a
2
b
同理, 因 limynb, 故存在 N2 ,
n
使当 n > N2 时, 有
从而
ynba 2ba 2b
取 N m N 1 ,N a 2 ,x 则当 n > N 时, 便有
组成的数列：
1 2k
是其子数列. 它的第k 项是 x n kx 2k2 1 k (k1 ,2 ,3 ， )
(2) 收敛数列与其子数列的关系
定理2.4
若nl i m xna, 则 {xn}的任意子 { xnk } 也收敛，且 kl i m xnka.
证设
的任一子数列 .
若
则 0, N,当
时, 有
第二节
第二章
极限的基本性质
一、收敛数列的性质 1. 唯一性 2. 有界性 3. 保号性、保序性
4. 收敛数列与其子列的关系
第二章
二、函数极限的性质 1. 唯一性 2. 局部有界性 3. 局部保号性 4. 函数极限与数列极限的关系
一、收敛数列的性质
1. 唯一性 定理1.1 ( 收敛数列极限的唯一性)
函数 f (x) 有界.
3. 局部保号性
定理2.3' (函数极限的局部保号性)
(1) 如果
且 A > 0 , 则存在 (A<0)
f(x)0. (f(x)0)
(2) 如果
据此，可由函极数限在符 该号点推邻得域函内数的在符该号点 推得邻极域限内符的号符号
数列的极限ppt
恒有 f ( x) A .
记作 lim f ( x) A 或 x x0 0 ( x x0 )
注意:{x 0 x x0 }
f ( x0 0) A.
{ x 0 x x0 } { x x x0 0}
. Sept. 26 Mon
Review
1.数列极限性质：唯一性，有界性，夹逼性， 保号性；
定理 : lim f ( x) A x x0
f ( x0 0) f ( x0 0) A.
lim
n
xn
a,
或 xn a (n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
注意：1. 不等式 xn a 刻划了 xn 与 a 的无限接近;
2. N 与任意给定的正数 有关.
极限的 N 定义:
lim
n
xn
a
0, N 0,使 n N 时,恒有 xn a .
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x1 , x2 ,, xi ,xn ,
xn1 , xn2 ,, xnk ,
xn
1
(1)n 2
子列 1，1，
0，0，
0, 1, 0, 1,
定义3. 设有序列{ xn }，若 M 0，对一切n 都有： | xn | M 则称 {xn} 是有界序列。
例： 0,1,0,1,
为有界序列。
二. 数列极限的定义
有界，几个特殊数列的极限; 。
高等数学 极限
( 1) n1 例1 证 明l im 0. n n
n 1 ( 1 ) 1 证明 an a 0 , n n 对 0,要使an 0 , 即 1 , n 1 , n
1 取N ,
( 1)n1 0 , 当n N时, 有 n
( 1) n1 由极限的定义知 lim 0. n n
3n 1 3 . 例2 证 明 l i m n 2n 1 2
3n 1 3 1 1 1 证明 an a , 2n 1 2 4n 2 4 n 2 4 n 3n 1 3 1 1 , 只要 , n 对 0, 要 使 , 2n 1 2 4 4n
n
证明 由条件 (2), 0 , N 1 , N 2 N , 当 当
时, 时,
令 N max N 1 , N 2 ,
则当 n N 时, 结合条件 (1)，得
a bn an cn a
从而
a an a
上的点 a1 , a2 ,, an ,.
a3
a1
a2 a4
an
2.数列极限的定义 问题的提出——割圆术 我国古代数学家刘徽在《九章算术注》利用圆 内接正多边形计算圆面积的方法——割圆术，就是
极限思想在几何上的应用.
割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不 可割，则与圆合体而无所失.
用圆内接多边形的面积去逼近圆的面积: 正六边形的面积 A1
由单调有界准则知， an 极限存在 故数列 , 设为a.
在an1 1 an 两边取极限 , 得 a 1 a，
解得
1 5 1 5 a 或 a . 2 2
等差数列的性质
必须一样多
(5)a 3 a 4 a5 4a 3
a1 an a2 an1 a3 an2 ak ank1
例1.
已知数列{an}是等差数列，且a1 2,它的前五项和为20， 求a3
S2n1 2n 1 an
例题分析 例2 .在等差数列{an}中 (1) 已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20
等差数列的性质三 1) 等差数列{an}的子数列也成等差数列。
K1,k2,k3,…,kn成等差数列
ak1 ,ak2 ,ak3 ,L ,akn 成等差数列
等差数列的下标成等差数列，则下标所对的 项也成等差数列。
如 a1、a4、a7 L ;a2、a5、a8 L ;a3、a6、a9 L ;
成等差数列。
（1）a1 a5 a2 a4成立吗？a4 a6 a3 a7呢？
（2）已知an是等差数列,若m n p q(m, n, p, q N *),
则aman ap aq成立吗？为什么？
等差数列性质二
“若下标和相等，则对应项的和相等”
an是等差数列，则
m n p q(m, n, p, q N*) aman ap aq
数列{an}是等差数列，m、n、p、q∈N+， 且m+n=p+q，，则am+an=ap+aq。
判断： (1)a 3 a5 a1 a7
可推广到三项， 四项等
(2)a 1 a 4 a6 a3 a8
注意：等式两
(3)a 1 a5 a6 a 2 a3 a7 边作和的项数
(4)a 3 a 4 a5 3a 4
a8＝a1＋7d＝5
⇒a1＝19， ⇒ d＝－2 an＝19＋(n－1)×(－2)，
1.1.2《数列的函数特性》课件(北师大版必修5)
3.已知递增数列{an}的通项公式是an=n2+λ n，则实数λ 的取 值范围是( )
(A)λ >0
(B)λ <0
(C)λ =0
(D)λ >-3
【解题提示】利用an+1-an＞0恒成立来解决. 【解析】选D.由an+1>an对n∈N+恒成立，可得an+1-an=2n+1 +λ>0,∴λ>-1-2n.∵n∈N+,∴λ>-3.
4.数列{2n2-kn+1}中，只有n=5时a5最小，则k的取值范围
(
(A)（9，11） (C)（18，22） (B)（9.5，10.5） (D)（19，21）
)
【解题提示】利用a5＜a4且a5＜a6,解不等式组求解.
【解析】选C.由题意知a5＜a4,a5＜a6即
2 52 5k 1<2 42 4k 1 , 解得18＜k＜22. 2 2 2 5 5k 1<2 6 6k 1
5 10
其中是递增数列的有______,递减数列的有______.
15
20
【解析】∵2＞1，0＜0.84＜1，∴（1）为递增数列，（2）为 递减数列，（3）中an=(n-1)〓10,an+1-an=10,∴(3)递增； （4）中，an=2n,an+1-an=2,∴(4)递增；（5）是摆动数列；
（6）是常数列；（7）中an= 1 ,an+1-an=∴(7)是递减数列. 答案：（1），（3），（4）
2
答案：递减
6.下列数列
（1）1，2，22，23，24，„，263；
（2）1，0.84，0.842，0.843，„； （3）0，10，20，30，„，1 000； （4）2，4，6，8，10„； （5）-1，1，-1，1，-1，„； （6）7，7，7，7，„；
等差数列与等比数列性质总结
a1 q
qn
cqn
{an}为常数数列⇔q＝1； {an}为摆动数列⇔q<0．
{an}递增⇔
a1>0或 q>1
a1<0 {an}递减⇔ 0<q<1
a0<1>q0<点1击进或入aq相1><应10模块
知识梳理
（3）.等比数列前n项和公式
Sn a1 a2 a3 a4 ....... an2 an1 an ① 错位相 qSn a1q a2q a3q a4q ....... an2q an1q anq qSn a2 a3 a4 a5 ....... an1 an anq ② 减法 ①-② (1- q)Sn a1 anq
则Sm , S2m Sm , S3m S2m ,...... 成等差数列。
(3)中项比性质:等差数列anbn 中，Sn Tn 是其前n项和，
an S 2n1
bn
T2 n 1
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知识梳理
3.等差数列的性质
(4)奇数项和与偶数项和性质:等差数列an 中，奇数项有n+1项，
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上式都成立，因而它就是等差数列{an}的通项公式。
知识梳理
（2）.等差数列通项公式常用结论
结论1.等差数列{an}中,首项为a1，公差d an=am+(n-m)d (其中，m，n N*,n m)
结论2：等差数列通项公式 an － a1= (n－1)d函数性：
直线的一般形式： y kx b
a3 － a2=d， a4 …－…a3=d， an－1－an－2=d, an －an－1=d. 这（n－1）个式子迭加
利用数列的函数性质解题的几点注记
解题研究◆。
7般’7(2008年第11期高中版)17利用“数列"的函数住质饵题的几点注记313000浙江省湖州市第一中学黄加卫数列是一类定义在正整数集或它的有限子集{l，2，3，…}上的特殊函数．任何数列问题中都蕴含着函数的本质及意义，具有函数的一些固有特征．因此，在解决数列问题时师生常利用函数的性质(如值域、单调性、最值等)去分析．以它的概念、图象、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，揭示它们问的内在联系，从而有效地分解数列问题．但是事物总是具有特殊性的，数列作为一种特殊的函数，也具有自己的特点，滥用其函数性质就会导致解法不适宜或者不经意的差错发生，下面进行举例分析．1利用数列的函数性质解题反弄巧成拙例l等差数列{a。
}中，已知％=12，且有S。
：> 0，S．3<O，试求公差d的取值范围，并指出S。
，S：，…，S。
：中，哪一个值最大，并说明理由．解．s．=导n2+(D。
一导)n的零点分别是0和5—2了a3，根据条件可知5—2了a3E(12，13)，‘．‘a3=12，．．．d E(一等，一3)^∈(导，3)，码∈(一导，o)则a6>0，a7<0，．‘．S．，S：，…，5。
：中S。
的值最大．分析首先，事实上数列{s。
}这一函数是建立在正整数集N‘上的函数，其图象是分布在相应二次函数的图象上的离散的点，而非一条连续的抛物线．因此以上解法中说明函数s。
有两个零点的说法是不妥当的．实际上，利用等差数列的性质可以较简单地解决以上问题，也可避免出现以上疏漏．。
．。
S132al+a2+…+a13=7a7<0，．．a7<0，即a3+4d<0，而a，=12，则d<一3．同理，。
．’s。
2=6(口6+口7)>o，贝0d>一号}，，，』故d∈(一{；，一3)．由上可知，a7<0，(a6+口7)>0，故吼>一a7>0，即口，是此数列中的第一个负项，故5。
数列的概念和基本性质
会计学：数列用于编 制财务报表和进行财 务分析，如资产负债 表、利润表、现金流 量表等。
数据结构：数列是计算机科学中常见的数据结构之一，用于存储有序的数字序列。
算法设计：数列的特性在算法设计中有着广泛的应用，例如排序算法、搜索算法 等。
加密技术：数列的周期性和复杂性在加密技术中有着重要的应用，例如RSA算法、 AE领域有广泛应用
定义：数列中任意 两个相邻项，后一 项小于前一项
性质：对于任意的 正整数n，都有 an+1<an
举例：如1，0.5， 0.25，0.125...
应用：在数学、物 理等多个领域有广 泛应用
定义：数列中，每隔一定项数重复出现的性质 特性：数列中的项在一定范围内循环重复 判断方法：通过观察数列的项，确定是否存在周期性 应用：在数学、物理、工程等领域有广泛应用
数学物理方程的求解
波动现象的描述
统计物理中的热力学过程
量子力学中的波函数
金融领域：数列用于 计算复利、保险费、 贷款利息等金融产品 的收益和成本。
统计学：数列用于 描述和分析经济数 据，如GDP、就业 率、通货膨胀率等。
经济学：数列用于研 究经济现象和规律， 如人口增长、消费行 为、市场供需等。
性质：各项与首 项的比值为常数， 公比q≠0
举例：1，2，4， 8，16，...
定义：同时包含有 限项和无限项的数 列
特点：既有离散的 项，又有连续的项
举例：如数列1，2 ，3，...，n，...和 数列π，π^2， π^3，...等都是混 合数列
应用：在数学、物 理、工程等领域有 广泛应用
定义：几何数列是一个等比数列，其中任意一项都是前一项的固定倍数 通项公式：an=a1*r^(n-1)，其中a1是首项，r是公比 分类：等比数列、几何数列等 应用：在数学、物理、工程等领域有广泛应用