2014年数学中国“认证杯”二等奖论文

#3112 1 2014年第七届“认证杯”数学中国

数学建模网络挑战赛

题 目 轮胎的花纹 关 键 词 轮胎花纹 噪声控制 参数化 遗传算法 摘 要： 轮胎胎面花纹是轮胎与路面相互作用的直接接触部位，它不仅对轮胎的抓地性有直接的影响，对汽车的操作稳定性和平顺性也有着重要的影响，同时也是汽车产生噪声的主要影响因素。一直以来，胎面花纹由于其几何形状复杂性，轮胎与路面的接触工况多样性以及轮胎材料特性的可变性等，其变形特性很难利用试验等方法直观的得到并加以分析，因此也越来越成为研究汽车性能的一个主要的方向。建立简单而又精度高的轮胎花纹模型对整个汽车行业的研究有这种大的意义。 随着生活质量的提高，以及环保意识的增强，人们对交通噪声的重视程度也越来越高，当汽车的行驶速度超过65km/h时，道路与轮胎花纹噪声成为交通噪声的主要来源。因此，道路与轮胎花纹噪声控制的研究不仅具有深远的理论意义，还具有很大的实际意义。 而对于不同路面，对轮胎的整体要求也会有所不同。轮胎花纹的不同，摩擦对轮胎的耗损，。轮胎对路面的破坏程度不同，轮胎对各种路面的防滑效果不同，轮胎的排气量也会有所不同。 针对问题一：轮胎花纹的设计 本文利用了几何模型，通过使用遗传算法，从影响轮胎的性质的主要几个方面，即轮胎花纹块的高度，花纹沟的宽度，花纹沟的深度，花纹的条数，节距数结局排列及比例，花纹块的宽度等多个方面分析，得到了不同轮胎花纹的具体设计方案。 针对问题二：确定各类花纹轮胎的最佳适用范围 本文通过建立材料模型，方程模型，Ogden 模型等，提出了 

2

sin0.80.2sintsin10tsint10气柱PtdlAZdRttdlAZd



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本文以道路和轮胎花纹设计参数为基准，对道路与轮胎花纹噪声之间的关系进行了分析与讨论 最后通过上述几种状况下的计算结果，系统的分析并得到了轮胎与路面之间的关系。较好的得到了轮胎的与路面接触过程中的轮胎胎面花纹的变形特性， 参赛队号: 3112

所选题目: A 题 Abstract

参赛密码 （由组委会填写） #3112

2 Key Words:

一、问题重述 轮胎被广泛使用在多种陆地交通工具上。根据性能的需要，轮胎表面常会加工出不#3112 3 同形状的花纹。在设计轮胎时，往往要针对其使用环境，设计出相应的花纹形状。

第一阶段问题：对于不同的轮胎花纹设计方案，请建立合理的数学模型，以确切地分析其性能特性，并确定轮胎的最佳适用范围。

二、问题分析 轮胎目前作为交通工具与地面的直接接触的唯一物体，也作为交通工具的承载体，轮胎的各项性能特征直接影响到了交通行业的发展，研究轮胎的设计方案对于轮胎的使用有着至关重要的作用，如今随着轮胎工业的快速发展，轮胎产品的更新速度越来越快，使得轮胎行业的竞争变得日益加剧。从19世纪第一个充气轮胎的出现到现在，轮胎工业已经走过了一百多年的历史。轮胎工业发展到今天，无论是在加工技术、生产装备还是轮胎产品的种类都变得不断完善。 对于该问题中，需要研究的方面是解决对于不同轮胎的花纹的设计方案，通过建立适当的数学模型，描述出各种花纹对应的轮胎的特性，说明各种轮胎的较其它类型的优缺点，并且说明每种花纹的轮胎最佳的使用的范围。 首先,对轮胎花纹的设计过程中的关键问题进行了深入的研究，通过对研究成果的整理，提出了各种轮胎花纹的设计方案。 综上，针对题干中所提的问题，解决流程如图一所示：

图一 #3112

4 三、模型假设

四、符号说明 五、模型建立和求解 5.1轮胎的分类 在现代工业中，根据轮胎的结构形式的形式具体分为如图二所示：

图二 子午线轮胎: 子午线轮胎的帘线不是相互交叉排列的，而是与外胎断面接近平行，像地球子午线排列，帘线角度小，一般为0°，胎体帘线之间没有维系交点，当轮胎在行驶过程中，冠部周围应力增大，会造成周向伸张，胎体成辐射状裂口。子午线轮胎带束层设计很重要，必须具有良好的刚性，可采用多层大角度，高强度而且不易拉伸的纤维材料，如钢丝或者芳纶纤维等。 子午线轮胎的优点： 1)接地面积大，附着性能好，胎面滑移小，对地面单位压力也小，因而滚动阻力小，使用寿命长。 2)胎冠较厚且有坚硬的带束层，不易刺穿；行驶时变形小，可降低油耗3%～8%。 3)因为帘布层数少，胎侧薄，所以其径向弹性大，缓冲性能好，负荷能力较大。 4)散热性能好，可适应高温、高速行驶。 5)税收优惠：自2001年1月1日起，子午线轮胎免征消费税。 子午线轮胎缺点： 1)因胎侧较薄，胎冠较厚，在其与胎侧的过渡区易产生裂口。 #3112 5 2)侧面变形大，导致汽车的侧向稳定性差，制造技术要求高，成本也高.

图三：子午线轮胎 斜交轮胎：斜交轮胎(diagonal tire ；bias tire )又称普通结构轮胎。指胎体帘布层和缓冲层相邻层帘线交叉，且与胎面中线呈小于90℃角排列的充气轮胎。 斜交轮胎优缺点：由于帘布层的斜交排列，斜交轮胎的胎面和胎侧的强度大。在适当充气时，能保证轮胎具有适当的弹性，足够的承载能力，能满足汽车对轮胎的使用要求。但斜交轮胎的胎侧刚度较大，舒适性差，由于高速时帘布层间移动与磨擦大，并不适合高速行驶

图四：斜交轮胎 两种轮胎的比较：与斜交轮胎相比，子午线轮胎耐磨性能好、能量损耗小、生热量小，提高了轮胎使用寿命，同时也节约了能源。相较斜交轮胎，子午线轮胎侧柔软，提高了乘坐舒适性。由于子午线轮胎增添了一层钢丝带束层，此时轮胎提高了胎面的耐刺穿性能，又提高了纵向刚度。在噪音方面，子午线轮胎也比斜交轮胎优越。通常轮胎可以通过降低轮胎的扁平率（Aspect Ratio，断面高宽比）提高轮胎的操纵稳定性。而子午轮胎，由于带束层的作用，其断面轮廓形状可以比较容易按照实际使用需要的扁平率进行设计。 子午线轮胎由于上述的优点，已被世界各国汽车公司所使用，且子午线轮胎的扁平#3112 6 化进程也在不断向前发展。子午化也是现在轮胎发展的主要方向之一。

5.2轮胎花纹的分类 根据轮胎花纹的构造形状，可分为如下几类：

图五 1. 纵向花纹 优点：这种花纹操纵稳定性优良，转动抵抗小，不容易横向滑移。一般适用于路况较好的路面，如高速公路或城市路面等。行驶中滚动阻力小，因此与地面摩擦力小，具有较好的行驶导向性，很适宜于高速行驶。而且纵向轮胎排水性能优异，在湿滑路面不易打滑，行驶中的噪音也较小。 缺点：纵向花纹轮胎的制动性能显得相对较弱，而且驱动力不如其他花纹的轮胎，不适合于沙子路等状况较差的道路。

图六：纵向花纹 #3112

7 2.横向花纹 优点：因为花纹采用了横向设计，因此轮胎与地面接触面积增大，无论是制动力、驱动力都表现较出色，较大地弥补了纵向花纹轮胎的不足，适用与荒郊野外、建筑工地等恶劣路况。 缺点：排水性差，轮胎散热效果不好。而且横向花纹轮胎在增大地面接触面积的同时，也增大了噪音。在车辆操控灵活性方面显然比不上纵向花纹轮胎。

图七：横向花纹 3.混合花纹 优点：吸收了纵向花纹排水性能好、噪声小的优点，同时兼顾了横向花纹动力性能方面的强项，比纯粹的纵向花纹具有更好的驱动力、制动力表现。因此这种类型花纹的轮胎适应能力强，应用范围广泛，它既适用于不同的硬路面，路况差的道路也可以对付，也适用于轿车和货车，不易打滑且防侧滑性能也比较好。因此纵横兼有的花纹类型已成了轮胎花纹的主流。。 缺点：由于花纹的接触压力大，滚动阻力大，所以不适合在良好硬路面上长时间行驶。否则，将加重轮胎磨损，增加燃油消耗，汽车行驶震动也比较厉害。 混合花纹是有横沟花纹和纵沟花纹组合而成，如图1.5所示。在胎面中部具有纵向的曲折性窄沟槽，两肩部为横向宽沟槽。但是它的越野性能较差，胎肩部还比较容易产生磨耗不匀。这种花纹可作为在铺装和非铺装路面上行驶的载重汽车和公共汽车轮胎用。 #3112

8 图八：混合花纹 4.定向花纹 定向花纹表现为胎面中心两侧的侧向花纹沟关于中心对称布置，且两侧花纹沟槽指向同一个方向，如图1.6所示。这种花纹的轮胎在安装时存在着方向性，一般要求轮胎的滚动方向沿花纹方向。它可以提供良好的制、驱动性能，特别是在潮湿路面上，这种花纹的排水能力较强，操纵稳定性较好。比较适合高速乘用车轮胎使用。

图九：定向花纹 5.非对称花纹 非对称花纹，胎而两侧的花纹形式和花纹而积不同，呈非对称排列，如图1.7所示。 这种花纹的轮胎在安装时要求轮胎外侧的胎而含有而积较大的花纹块。此时胎而内侧即为而积较小的花纹块，刚度较低；反之，外侧刚度较高。相较于普通轮胎，车辆在弯道#3112 9 行驶时，可以减少轮胎外侧磨耗，降低车身发生侧倾的倾向，而产生所谓的“花纹操纵”效应。这种胎而花纹比较适用于高性能和赛车用轮胎。

图十：非对称花纹 (6）块状花纹 块状花纹，俗称越野花纹，如图1.8所示。这种花纹由彼此独立的花纹块所构成，它的花纹沟槽较深，凸出而积较小，与路而的附着力大。这种花纹轮胎如果行驶在好路上，块状花纹会过早磨损，且这种花纹的振动较大，耗油量较高。它比较适合于在难走的土路、履雪路面或无路条件下的轮胎使用。越野花纹轮胎也适合于在崎岖不平的道路、松软土路和无路地区使用。

图十一：块状花纹 5.3轮胎花纹的设计 5．3.1轮胎花纹块的节距序列设计