(04)第4章 概率分布(2011年)
第四章 常用概率分布 .doc
江西师范大学生命科学学院学风建设工作简报（二O 一六年第一百零四期总第四期）院学风建设领导小组办公室编 2016年4月15日本期要目【学院动态】★生命学院第十届“学术月”系列活动顺利开幕★手中见细，落笔有致--生命学院第十届“学术月”之细胞图绘制比赛★讲出真我，赛出风采★生命科学学院“学术月”之专业知识趣味竞赛★生命科学院第十届“学术月”之说课大赛初赛【时事热点】★快递专用三轮将实行国家强制性标准★大学教育之怪状：教师不谈教学，还谈什么大学【美文杂谈】★身边的美【学院动态】生命学院第十届“学术月”系列活动顺利开幕为全面深刻地阐述师范院校的人文特色，提高生命学院同学的综合素质，促使学生教学实践能力提升，真正实现教学相结合的教育方法，适应未来社会的发展需求，生命学院特举办第十届“学术月”活动系列活动。
4月5号下午，开幕式在惟义楼7502顺利举行，学院团委副书记张英俊出席仪式并讲话，生命学院15级全体新生出席。
四月的天气很沉闷，但同学们的热情却没有因此削弱，教室里座无虚席，每个人的脸上都写着期待与激动。
开幕式首先由团委副书记张英俊发言，张老师从同学们疑问最多的地方开始，简单地介绍“学术月”的历史和一届又一届的改革与创新。
而后，张老师又借学院学生的面试经历为在座的同学们证明了在当今社会做一个全面发展的大学生的必要性，并以此勉励同学们在大学期间锻炼自己的各项能力，做到全面均衡发展。
张老师一番激情四射的演讲听得同学们个个斗志昂扬，跃跃欲试。
在紧接的学生代表发言环节中，14级学生代表傅慧就以往的参赛经历和同学们进行了分享，15级学生代表张凡则表达了作为一名师范生对本次学术月的无限期待。
最后，本届“学术月”负责人为15级同学详细解说了此次“学术月”的各项比赛和规则，并重点介绍了本届“学术月”的新项目——“生命职来职往”。
据悉，“学术月”系列活动作为生命学院的一项品牌活动，为同学们提供一个相互交流的机会，一个展示自我的平台，同时强化了同学们的专业技能，进一步激发同学们对专业知识的热爱，充分展现当代大学生的教学风采，展现生科学子最靓丽的一面！（文\图生命学院新媒体）手中见细，落笔有致——生命学院第十届“学术月”之细胞图绘制比赛为践行“主动学习，知行合一”教育理念，给广大同学提供更好的、锻炼平台，营造更加浓厚的学习氛围，培养学生专业基础能力和认真严谨的学习态度，生命学院于4月5日晚在惟义楼7502组织开展第十届“学术月”系列活动的首项比赛——细胞图绘制比赛。
《概率论第四章》PPT课件
2 2a
所以 f(s,t)4
1 a2
s2t2
e4a22
2
1对概念的理解:
描述随机变量X波动大小的量( B )
(A)数学期望EX
(B)方差DX
(C)X的分布函数F(x) (D)X的密度函数f(x)
设 X~N(μ,σ2),在下列哪种情况下的概率密度曲
线比较平缓(D )
(A) 较小 (B) 较大 (C) 较小 (D) 较大
一、协方差与相关系数的概念及性质
1. 问题的提出
若随机 X和 Y 变 相量 互 ,那 独么 立
D (X Y ) D (X ) D (Y ).
若随机X变 和Y 量 不相互独立
D(XY)?
D (X Y ) E { (X Y ) E (X Y ) } 2
D ( X ) D ( Y ) 2 E { [ X E ( X ) ] [ Y E ( Y ) ] } .
《概率论第四章》PPT课 件
2随机变量函数的数学期望
(1)离散型随机变量函数的数学期望
若 Y=g(X), 且 P { X x k } p k ,k 1 ,2 , ,
则有
E(g(X)) g(xk)pk.
k1
(2)连续型随机变量函数的数学期望
若 X 是连续型的,它的分布密度为 f (x) , 则
由方差性质知
P { Y ( a 0 b 0 X ) 0 } 1 ,或 P { Y a 0 b 0 X } 1 .
例4.4.3 设X和Y 是相互独立的随,都 机服 变从 量
正态分N布(0,2),又 aXbY,aXbY (1) 求 与的相关系数 (2) 问， 是否相关？是否独立？ (3) 当， 相互独立,求时(,)的联合密度函数
概率论第四章、正态分布解答
第四章、正态分布三、计算题：1．解：设随机变量i X 表示第i 个加数的取整误差（i=1,2,…，300）,则i X 在区间[-0.5，0.5]上服从均匀分布，并且12300,,,X X X 相互独立，又设随机变量X 表示300个数相加时误差总和，则有10,,1,2,,300.12i i E X D X i === 根据中心极限定理，3001i i X X ==∑近似地服从正态分布2Nμσ（，），其中3001300005ii EX EXμσ====⨯=====∑，于是，所求的概率为10)(1010)100100(10)(10)()()55(2)(2)2(2)120.977210.9544P X P X F F <=-<<---=--≈Φ-Φ=Φ-Φ-=Φ-=⨯-=（2．解：由题设X 的概率密度为22(),xX f x e x -=-∞<<+∞从而，随机变量函数2Y X =的分布函数为 2(){}{}Y F y P Y y P X y=≤=≤ 当0y ≤时，2{},()()0Y Xy F y P ≤=Φ=Φ=当0y ≥时，我们有2(){}})()2)1Y X X X F y P Xy P X F F F =≤=≤≤=-=-故 2Y X =的概率密度为 当0y ≤时， ()()0Y Y d f y F y dy==当0y ≥时，2()()[21]2Y Y X X y d d f y F y F dydy f -==-=⋅==综上所述，2Y X =的概率密度为21,0()0,y Y y f y y -⎧>=≤⎩3．解：因为随机变量X 与Y 独立，已知它们的概率密度分别是2222(),(),xyX Y f x f y --==所以得 2221(,)()()2x y X Y f x y f x f y eπ+-=⋅=.由此得随机变量22Z X Y =+的分布函数22()()()Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤当0z ≤时，显然有()0Z F z =,当0z >时，我们有2222222221()2112x y Z x y zz F z edxdyd d eρππθρρπ+-+≤--===-⎰⎰⎰所以，Z 的分布函数21,0()0,0z Z e z F z z -⎧⎪->=⎨⎪≤⎩由此得Z 的概率密度21,0()20,0zZ e z f z z -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩所得的分布称为自由度为2的2x 分布4．解:记一盒螺丝钉的重量为X ，盒中第i 个螺丝钉的重量为(1,2,,100)i X i = ，则有12300,,,X X X相互独立同分布，已知0.1i EX ==，根据中心极限定理，1001i i X X ==∑近似地服从正态分布2Nμσ（，），其中100110011001ii EX EXμσ====⨯=====∑，于是，所求的概率为102)1(102)1021001(102)1()11(2)10.97720.0228P X P X F >=-≤-=-≈-Φ=-Φ=-=（5．解：由题设X 的概率密度为222(),xf x e x σ-=-∞<<+∞故2222222222202()2)xxxxEY x f x dx dxdx d eeσσσσ-+∞+∞-∞-∞--+∞+∞-====-+∞=-=⎰⎰⎰⎰222222()()()E Yx f x dx x f x dxE X D X E X D X σ+∞+∞-∞-∞====+==⎰⎰故2222222()422(1)D Y EY EY σσσπσπ=-=-=-=-6．解：由于X ，Y ，Z 相互独立，故 222,,X Y Z 也相互独立。
概率论第四章4-文档资料
称 D (X) 为标准差或均方差 , 记为 σ (X).
4. 随机变量方差的计算
(1) 利用定义计算 离散型随机变量的方差
2 D ( X ) [ x E ( X )] p , k k k 1
其中 P { X x } p , k 1 , 2 , 是 X 的分 . k k
i j
( 1 )设 X , Y 为离散型随机变量 ,g ( x ,y )为二元函
其中 (X ,Y)的联合概率分布为 p ij.
( 2 )设 X ,Y 为连续型随机变量 ,g ( x ,y )为二元 数 , 则
E [ g ( X , Y )] g ( x , y ) f ( x , y ) d x d y .
t2 2
1 σ μ e d t t ed t 2 π 2 π
μ μ .
2 t 2
2 t 2
2 D ( X ) ( x μ ) f ( x ) d x
1 ( x μ ) e 2 π σ xμ 令 t,得 σ t2 2 σ 2 2 D ( X ) t e d t 2 π
3 XY , 独 立 ， DX ( Y )DX ( )DY ( ) .
o
分
布
参数
数学期望
方差
两点分布
二项分布 泊松分布 均匀分布
0 p 1 n 1, 0 p1 0 ab
1 0
p
np
p ( 1 p )
np ( 1 p )
1
1
1 x e d x . 2 π σ x μ x μ σ t , 令 t σ
第四章概率论
当( n + 1) p = 整数时,在 k = ( n + 1) p与 ( n + 1) p – 1 处的概率取得最大值 当( n + 1) p ≠ 整数时, 在 k = [( n + 1) p ] 处的概率取得最大值 对固定的 n、p, P ( X = k) 的取值呈不 对称分布 固定 p, 随着 n 的增大，其取值的分布 趋于对称
P (4) = 0.22 20
• • • •• •• • • • • • • • • • • • • • • x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20
0.2 0.15 0.1 0.05
5
10
15
20
二项分布中最可能出现次数的定义与推导
若P( X = k) ≥ P( X = j), j = X 可 的 切 取 一 值
P (k) = P( X = k) = C ( ) (1− ) , k = 0,1,⋯,8 8
k 1 k 3 8 1 8−k 3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 .039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .0000 P
0.273•
由图表可见 , 当 k = 2或3 时， 分布取得最大值 P (2) = P (3) = 0.273 8 8 此时的 k 称为最可能成功次数 • 1 • • • • • 2 3 4 5 6 • 7 • 8
P( X > 9) =1− P( X ≤ 9) =1− ∑P( X = k) =0.0081
k =0
9
P( X ≤ 7) = ∑P( X = k) =0.9489
k =0
7
用泊松定理近似计算！ 用泊，求在 例 设生三胞胎的概率为 10000次生育中恰有 次三胞胎的概率。 次生育中恰有2次三胞胎的概率 次生育中恰有 次三胞胎的概率。 解：X:生三胞胎的次数 生三胞胎的次数 X~B(10000,0.0001)
概率论与数理统计第四章
)
(
)
(
)
,
(
Y
D
X
Dபைடு நூலகம்
Y
X
Cov
xy
=
r
=4[E(WV)]2-4E(W2)×E(V2)≤0
01
得到[E(WV)]2≤E(W2)×E(V2). →(8)式得到证明.
02
设W=X-E(X),V=Y-E(Y),那么
03
其判别式
由(9)式知, |ρ xy|=1 等价于 [E(WV)]2=E(W2)E(V2). 即 g(t)= E[tW-V)2] =t2E(W2)-2tE(WV)+E(V2) =0 (10) 由于 E[X-E(X)]=E(x)-E(X) =0, E[Y-E(Y)]=E(Y)-E(Y) =0.故 E(tW-V)=tE(W)-E(V)=tE[X-E(X)]-E[Y-E(Y)]=0 所以 D(tW-V)=E{[tW-V-E(tW-V)]2}=E[(tW-V)2]=0 (11) 由于数学期望为0,方差也为0,即(11)式成立的充分必要条件是 P{tW-V=0}=1
随机变量X的数学期望是随机变量的平均数.它是将随机变量 x及它所取的数和相应频率的乘积和.
=
(1)
)
2
3
(
)
(
-
=
ò
µ
µ
-
dx
x
x
E
j
x
可见均匀分布的数学期望为区间的中值.
例2 计算在区间[a,b]上服从均匀分布的随机变量 的数学期望
泊松分布的数学期望和方差都等于参数λ.
其他
02
f(x)=
01
（4-6）
03
（4）指数分布
概率论第四章
（连续型随机变量的性质） 定 理 设 X 是任意一个连续型随机变量，
例 9．某产品的次品率为 0.1，检验员每天检验 4 次， 每次随机的取 10 件产品进行检验， 如果发现其 中的次品数多于 1，就去调整设备。以 X 表示一天 中调整设备的次数， 试求 X 的概率函数。 （设各产品 是否为次品是相互独立的）
三.一维连续型随机变量
• 1 概率密度函数 • 2 常见连续型随机变量
（1） 该物业管理公司至少需要配备多少名 维修工人，才能使居民报修后能得到及时修
理的概率不低于 99%？（这里不考虑维修时间长短） （2） 如果该物业管理公司现有 4 名修理工， 那么居民报修后不能得到及时 维修的概率有 多大？
均匀分布： 称具有下列分布律的随机变量 X 服从 集合 a1, a2 ,, an 上的（离散型）均匀分布：
2．二项分布 如果随机变量 X 的概率函数为
P X k C p 1 p
k n k nk
， k 0,1,, n 。
那么称 X 服从参数为 n 、 p 的二项分布。 记作 X B n, p ，其中 0 p 1 。
（1）在 n 次重复独立试验中，事件 A 发生的 次数就服从二项分布。 （2）利用二项展开定理不难验证：
例3． 某物业管理公司负责 10000 户居民的 房屋维修工作。假定每户居民是否报 修是相互独立的，且一个时段内报修 的概率都是 0.04%。另外，一户居民 住房的维修只需一名修理工来处理。
在某个时段报修的居民数 X B 10000,0.0004 。 按泊松定理，可以近似认为 X 4 。试问：
（1）由无穷级数知识知
k! e
k 0
k
第四章概率分布(一)
西藏大学 经济与管理学 院
①随机试验的每一个可能结果称之为随机事件。 常用大写字母A、B、C表示。
问：如何用集合论的语言来描述随机事件？ 答：随机事件是样本空间的子集。
②当一次试验结果 ei A 时，表示事件A发生， 否则，当结果 ei A 时表示事件A没有发生。
第四章
③为方便，我们把S也称为事件，作为事件， S是 特别地在每次试验中S要发生。故S称为必然事件。
例 有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装 有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3 号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱，从 中任意摸出一球，求取得红球的概率. 解：记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3; 1 2 3 B ={取得红球}
运用加法公式得
西藏大学 经济与管理学 院
即 且
西藏大学 经济与管理学 院
（1）ABC （2）AB-C=ABC （3）ABC∪ABC∪ABC
（4）AB+BC+AC+ABC
(5)ABC ABC ABC ABC
第四章
（二）概率的运算
西藏大学 经济与管理学 院
1、加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
若事件A、B互斥，则A∩B=Φ 所以： P(AB)＝0
第四章
2、随机事件
西藏大学 经济与管理学 院
（1）样本空间（S或Ω ） 在讨论一个随机试验时，试验的所有可能结果是明 确知道的，这些所有的结果的集合称为样本空间。其 中的元素称为样本点，一般用e（或ω ）表示。
例：对于上面的例子
S1＝{胜、平、负} S2＝{0、1、2、3、…} S3＝ [0, ) {x R 0 x }
概率论第四章-new资料
的部分和 Sn X k 的分布在适当条件下向正态分
第四章 正态分布
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
（1）定义 如果随机变量 X 的密度函数为
f x 1
e
x 2
2 2
2
x
其中参数
>0
则称随机变量 X服从正态分布 N (, 2 )，
记为：
X ~ N ，2
(2)正态分布密度函数的图形性质
f (x)的图形呈钟形，关于直线 x 对称;
μ
=
1.8
5.9
-
σ
μ
=
0.7
解方程组可得： σ = 3, μ = 3.8
P{X 0} = 1- F(0) = 1- Φ(0 - 3.8)
3
= 1- Φ(-1.27) = Φ（1.27） = 0.898
例4 设 X ~ N (, 2 ) , （1）求P{|X-μ|<σ},
P{|X-μ|<2σ}, P{|X-μ|<3σ}; (2) 已知：P{μ-aσ<X<μ-aσ}=0.95，求a的值。
(b) 正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许多 分布所不具备的．
(c) 正态分布可以作为许多分布的近似分布,它是数理 统计的基础．
标准正态分布
若 0， 1，我们称 N 0， 1为标准正态分布．
标准正态分布的密度函数是：
x
1
x2
e2
2
x
标准正态分布的分布函数是：
x x
,
r
)
则其两个边缘分布都是一维正态分布。
证明略。
X的边缘分布为：
X
N(
1,
2 1
概率统计讲课稿第四章(第一,二节)打印稿
第四章随机变量的函数的分布问题、目的、实际意义设X 为随机变量,它的概率分布(分布函数,分布律或概率密度)已知,)(x g 为连续函数,则)(X g Y =为随机变量,如何确定)(X g Y =的概率分布;设),(Y X 为二维随机变量,它的概率分布已知,),(y x g 为连续函数,则),(Y X g Z =为随机变量,如何确定),(Y X g Z=的概率分布;这是在实际和理论中既普遍又重要的一类问题.例如在无线电接收中,某时刻接收到的信号是一个随机变量X ,那么把这个信号通过平方检波器输出的信号为2X ,这时就需要根据X 的分布来求2X 的分布.又如在统计物理中,已知分子运动速度的绝对值X 之分布,要求其动能221mX 的分布.再如火炮射击平面上的目标0时,已知弹着点),(Y X 的分布,要求弹着点到目标0的距离22Y X R +=的分布等等.本章只讨论一维与二维的的离散型和连续型随机变量的函数的分布.第一节 离散型随机变量的函数的分布实例 测量一个正方形的边长,其结果是一个随机变量X(为简单起见把它看成是离散型的).X的分布律为求周长Y 和面积Z 的分布律. 解 根据题意,X Y4=, 2X Z =,Y 的分布律为Z 的分布律为例1试求:(1)12+X;(2)12-X 的分布律.解 (方法步骤,(1) 12+X(2) 12-X 的分布律为一般地,有如下定理:定理 设离散型随机变量X 的分布律为 i i p x X P ==}{, ⋅⋅⋅=,2,1i(1)若对于X 的不同取值i x ,)(X g Y =的取值i i y x g =)(也不同,则随机变量)(X g Y =的分布律为)}()({})({i i i x g X g P y x g YP ====i i p x X P ===}{, ⋅⋅⋅=,2,1i(2)如果对于X 的有限个或可列无穷多个不同的取值,,,,,21⋅⋅⋅⋅⋅⋅k i i i x x x 有*)()()(21y x g x g x g k i i i =⋅⋅⋅==⋅⋅⋅==则有 )}({})({}{*1**y g X P y X g P y YP -∈====}}{{∑==ki k x X P }{∑==ki kx X P .二维离散型随机变量的函数的分布律实例 一个仪器由两个主要部件组成,其总长度为此二部件长度的和,这两个部件的长度X 和Y 为两个相互独立的随机变量,其分布律如表,求此仪器长度Z 的分布律.解 根据题意,Y X Z +=,}{}{},{j Y P i X P j Y i X P =⋅====,11,10,9=i ;7,6=jZ 的分布律.定理 设二维离散型随机变量),(Y X 的分布律为ij j i p y Y x X P ===},{ , ⋅⋅⋅=,2,1,j i(1)若对于),(Y X 的不同取值),(j i y x ，),(Y X g Z=的取值ij j i z y x g =),(也不相同，则随机变量),(Y X g Z =的分布律为}),({ij j i z y x g Z P == }),(),({ij j i z y x g Y X g P ===ij j i p y Y x X P ====},{, ⋅⋅⋅=,2,1,j i(2) 如果对于),(Y X 的有限对或可列无穷对不同的取值),(k k j i y x ,⋅⋅⋅=,2,1k,),(Y X g Z =取相同的值*z ,*),(z y x g k k j i =,⋅⋅⋅=,2,1k ,则)}(),{(}),({}{*1**z g Y X P z Y X g P z Z P -∈====}},{{∑===kj i k k y Y x X P },{∑===kj i kky Y x X P .例2 已知二维随机变量),(Y X 的分布律试求:(1)Y X+2; (2)1+XY ;(3)),max(Y X 的分布律.解 (将),(Y X 的取值对列出,计算函数值,合并相同的值) 列表从而得所求分布律为 (1)(2)(3)例3 设)(~1λ∏X ,)(~2λ∏Y 且相互独立,试证 )(~21λλ+∏+=Y X Z.证明 由已知条件!}{11i e i X P iλλ-==,⋅⋅⋅=,2,1,0i ,!}{22j e j Y P jλλ-==,⋅⋅⋅=,2,1,0j ,}{}{),{j Y P i X P j Y i X P =⋅====,⋅⋅⋅=,2,1,0,j i ,由于∑=-====ki i k Y i X k Z 0},{}{,由互不相容事件概率的可加性和随机变量的独立性得∑=-====ki i k Y i X P k Z P 0},{}{∑=-=⋅==ki i k Y P i X P 0}{}{)!(!2121i k e i e ik ki i -⋅=--=-∑λλλλik i ki i k i k k e -=+-∑-=210)()!(!!!21λλλλ k k e )(!21)(21λλλλ+=+-,⋅⋅⋅=,2,1,0k,故由泊松分布定义知 )(~21λλ+∏+=Y X Z .例4 设随机变量321,,X X X 相互独立且服从相同的(0—1)分布,即)10(}1{<<==p p X P i,)1(}0{p q q X P i -===,3,2,1=i .令⎩⎨⎧++=为偶数当为奇数当21211,0,1X X X X Y ,⎩⎨⎧++=为偶数当为奇数当32322,0,1X X X X Y ,试分别求2112Y Y Z -=和),m in(212Y Y Z =的分布律.解 根据题意和题设条件知,),(21Y Y的值为 (1,0),(1,1),(0,0),(0.1); 1Z 的可能取值为:2,1,0,-1;}0,1{}2{211====Y Y Z},{3221为偶数为奇数X X X X ++=}}0,0{}1,1{},1,0{}0,1{{32322121==+====+===X X X X X X X X}0,0,1{321====X X X }1,1,0{321===+X X X ,pq qp pq Y Y P Z P =+=====22211}0,1{}2{,}1,1{}1{211====Y Y Z},{3221为奇数为奇数X X X X ++=}}0,1{}1,0{},1,0{}0,1{{32322121==+====+===X X X X X X X X}1,0,1{321====X X X }0,1,0{321===+X X X ,}1,1{}1{211====Y Y P Z P pq p q q p =+=22,}0,0{}0{211====Y Y Z},{3221为偶数为偶数X X X X ++=}}0,0{}1,1{},0,0{}1,1{{32322121==+====+===X X X X X X X X}1,1,1{321====X X X }0,0,0{321===+X X X ,}0,0{}0{211====Y Y P Z Ppq pq q p q p q p 31)33()(22333-=+-+=+=,}1,0{}1{211===-=Y Y Z},{3221为奇数为偶数X X X X ++=}}1,0{}0,1{},0,0{}1,1{{32322121==+====+===X X X X X X X X}0,1,1{321====X X X }1,0,0{321===+X X X ,}1,0{}1{211===-=Y Y P Z P pq p q q p =+=22,于是2112Y Y Z -=的分布律为pq Y Y P Z P =====}1,1{}1{212,})0,1{}1,0{}0,0({}0{2121212==+==+====Y Y Y Y YY P Z P pq -=1 ,于是),m in(212Y Y Z =的分布律为第二节一维连续型随机变量的函数的分布例 1 设对球的直径进行测量，测量值R 在区间],[00δδ+-x x 上服从均匀分布，试求球体体积3361)2(34R R V ππ==的概率密度. 解 随机变量R 的概率密度⎪⎩⎪⎨⎧+-∈=其它,0),(,21)(00δδδx x x x f R ,分布函数)(x F R ;随机变量V 的分布函数)(y F V,}61{}{)(3y R P y V P y F V ≤=≤=π))6((})6({3131ππyF yR P R =≤=,V 的概率密度])([)('=y F y f V V ]))6(([31'=πy F Rππ6)6(31)(32⋅⋅'=-y x F R⎪⎩⎪⎨⎧+-∈⋅=-其它,0])(6,)(6[,)6(312130303231δπδππδx x y y .其中31)6()(πyy h x ==为)(613x g x y ==π的反函数. )()]([)(y h y h f y f R V '⋅=例2 由统计物理学知道,气体分子运动速度的绝对值X 服从马克斯威尔分布,即其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=0,00},exp{4)(2232x x a x a x x f π,其中参数0>a ,试求分子运动动能221mX Y =的概率密度.解 Y 的分布函数}21{}{)(2y mX P y Y P y F Y≤=≤=, 当0≤y 时,0)(=y F Y ,当0>y 时,}21{}{)(2y mX P y Y P y F Y≤=≤= }22{my X m yP ≤≤-=)2()2(myF m y F X X --=,])(['y F Y m m y m y f 2)2(21)2(21-⋅=}2exp{2423ma ym m a y-=π,于是Y 的概率密度⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=0,00},2exp{24)(23y y ma y m m a y y f Y π .将例1,例2的解法一般化,我们有如下定理.定理一 设连续型随机变量X的概率密度为)(x f ,函数)(x g y =在区间),(b a 上严格单调,其反函数)(y h x =有连续导数,则)(X g Y =是一个连续型随机变量,其概率密度为⎩⎨⎧∈'⋅=其它,0),(|,)(|)]([)(d c y y h y h f y f Y ,其中),(d c 为)(x g y =的值域.(证明见书)该定理从理论上对问题进行了彻底解决,实际做题时可套用,也可以按其证明的方法进行做题,而不必记此公式.求随机变量的函数的概率密度的一般方法:先求)(X g Y =的分布函数)(y F Y ,然后对)(y F Y 求导数得到概率密度)(y f Y .这种方法不仅适用于求一维随机变量的函数的概率密度.而且也适用于求二维或更多维的随机变量的函数的概率密度.设连续型随机变量X的概率密度为)(x f ,函数)(x g y =(一般函数),记]},()(|{})(|{y x g x y x g x D y-∞∈=≤=]},{(1y g -∞=-,求随机变量)(X g Y=的分布函数)(y F Y ,求导数得到概率密度)(y f Y .一般方法如下:})({}{)(y X g P y Y P y F Y ≤=≤=⎰=∈=yD y dx x f D X P )(}{,)()(y F dydy f Y Y =.例3 设),(~2σμN X,试求21k X k Y +=(21,k k 为常数,且01≠k )的概率密度.解 由题设条件,X的概率密度为222)(21)(σμπσ--=x ex f ,+∞<<∞-x ,先求分布函数}{}{)(21y k X k P y Y P y F Y ≤+=≤=(1)若01>k ,则)(}{)(1212k k y F k k y X P y F X Y -=-≤=, 于是)()(y F dy d y f Y Y =1121)(k k k y F X ⋅-'= 1121)(k k k y f ⋅-=21221)(2)]([121σμπσk k k y ek +--=,+∞<<∞-y ;(2) 若01<k ,则 )(1}{)(1212k k y F k k y X P y F X Y --=-≥=, 于是)()(y F dy d y f Y Y =1121)(k k k y F X ⋅-'-=1121)(k k k y f -⋅-= 21221)(2)]([121σμπσk k k y e k -+---=, +∞<<∞-y , 从而得21k X k Y +=的概率密度)(y f Y 21221)|(|2)]([12||1σμπσk k k y e k +--=,+∞<<∞-y ,由正态分布的定义,可见),(~2212121σμk k k N k X k Y ++=, 特别当σμσ-==21,1k k 时, 1,022121==+σμk k k ,)1,0(~21N X k X k Y σμ-=+=,即服从标准正态分布. )(}{)(σμ-Φ=≤=x x X P x F X(这个结论很有用).例4 设随机变量X 在)2,2(ππ-上服从均匀分布,试求X Y tan =的概率密度.解 由题设条件,X 的概率密度为 ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,022,1)(πππx x f ; 记}tan |{y x x D y ≤=}{tan }{)(y X P y Y P y F Y ≤=≤= ⎰=∈=y D y dx x f D X P )(}{ )2(arctan 11arctan 2ππππ+==⎰-y dx y ,所以2111)()(yy F dy d y f Y Y +==π, +∞<<∞-y . 例5设随机变量X 在]2,2[ππ-上服从均匀分布,试求X Y cos =的概率密度. 解 由题设条件,X 的概率密度为 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它,022,1)(πππx x f ; }{cos }{)(y X P y Y P y F Y ≤=≤=, (1)当1≥y 时, }{cos }{)(y X P y Y P y F Y≤=≤=1}{==S P ; (2)当1-<y 时, }{cos }{)(y X P y Y P y F Y≤=≤=0)(==φP ; (3)当01<≤-y 时, }{cos }{)(y X P y Y P y F Y ≤=≤=⎰≤==y x dx x f cos 0)( ; (4)当 10<≤y 时, }{cos }{)(y X P y Y P y F Y ≤=≤=⎰≤=y x dx x f cos )( dx dx y y ⎰⎰--+=2arccos arccos 211ππππ)arccos 2(2y -=ππ, 此时 10,112])([)(2<≤-='=y y y F y f Y Y π所以 ⎪⎩⎪⎨⎧<≤-='=其它,010,112])([)(2y y y F y f Y π .例 6 若气体分子的速度是随机向量),,(Z Y X V =,各分量相互独立,且均服从),0(2σN ,试证222Z Y X S ++=服从马克斯威尔分布0),2ex p{2)(2232>-=s s s s f σσπ. 证明 由题设条件,Z Y X ,, 的概率密度分别为 }2ex p{21)(22σπσx x f X -=, }2ex p{21)(22σπσy y f Y -=, }2ex p{21)(22σπσz z f Z -=; 因为Z Y X ,,相互独立,所以(Z Y X ,,)的概率密度为 )()()(),,(z f y f x f z y x f Z Y X ⋅⋅= }2ex p{)21(22223σπσz y x ++-= }{}{)(222s Z Y X P s S P s F S ≤++=≤= (1)当0≤s 时,0)(=s F S ; (2) 当0>s 时, }{}{)(222s Z Y X P s S P s F S ≤++=≤= ⎰⎰⎰≤++=s z y x dxdydz z y x f 222),,( ⎰⎰⎰-=ππσθϕϕπσ2000223sin )21(22d d dr r e s r ⎰-⋅⋅=s r dr r e 02232222)21(σππσ, 于是222Z Y X S++=的概率密度0),2ex p{2])([)(2232>-='=s s s s F s f S σσπ； 0,0])([)(≤='=s s F s f S .其中我们用到了球面坐标变换θϕcos sin r x =,θϕsin sin r y =, ϕcos r z =,πϕπθ≤≤<≤≥0,20,0r ; θϕϕd drd r dxdydz sin 2=.例7 已知随机变量X 的分布函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤-+-<=1,111),1(211,0)(3x x x x x F , 求122+=X Y 的分布函数.解 },21{}12{}{)(22-≤=≤+=≤=y X P y X P y Y P y F Y 当1<y 时,0)(=y F Y ;当31≤≤y 时,}2121{)(-≤≤--=y X y P y F Y 23)21()21()21(-=----=y y F y F , 当3>y 时, }2121{)(-≤≤--=y X y P y F Y 101)21()21(=-=----=y F y F ,故 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤-<=3,131,)21(1,0)(23y y y y y F Y . 例8已知),0(~2σN X ,求||X Y =的概率密度.解 由题设条件,X 的概率密度为 }2ex p{21)(22σπσx x f X -=, }|{|}{)(y X P y Y P y F Y ≤=≤=, 当0≤y 时,0}|{|}{)(=≤=≤=y X P y Y P y F Y ; 当0>y 时,}|{|}{)(y X P y Y P y F Y ≤=≤= )()(}{y F y F y X y P X X --=≤≤-=,)()(y F dy d y f Y Y =)()(y F y F X X -'+'= )(2)()(y f y f y f X X X =-+=,故 ||X Y =的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=0,00},2exp{22)(22y y y y f Y σπσ .。