第四章常用概率分布学习指导(定)详解

第四章 常用概率分布[教学要求]了解：质量控制的意义、原理和方法 熟悉：三个常用概率分布的特征。

掌握：掌握三个常用概率分布的概念；二项分布及Poisson 分布的概率函数与累计概率、正态分布的分布函数的计算方法；医学参考值的计算。

[重点难点]第一节 二项分布一、二项分布的概念与特征基本概念：如果每个观察对象阳性结果的发生概率均为，阴性结果的发生概率均为（1－π）；而且各个观察对象的结果是相互独立的，那么，重复观察n 个人，发生阳性结果的人数X 的概率分布为二项分布，记作B （n ,π）。

二项分布的概率函数：Xn X X n C X P --=)1()(ππ二项分布的特征：二项分布图的形态取决于与n ，高峰在=n 处。

当接近0.5时，图形是对称的；离0.5愈远，对称性愈差，但随着n 的增大，分布趋于对称。

二项分布的总体均数为 πμn = 方差为 )1(2ππσ-=n 标准差为 )1(ππσ-=n 如果将出现阳性结果的频率记为 nX p =则p 的总体均数为 πμ=p 标准差为二、二项分布的应用二项分布出现阳性的次数至多为k 次的概率为np )1(ππσ-=∑∑==-==≤kX kX XX eX P k X P 0!)()(λλ出现阳性的次数至少为k 次的概率为第二节 Poisson 分布的概念与特征一、Poisson 分布的概念与特征基本概念：Poisson 分布可以看作是每个观察对象阳性结果的发生概率很小，而观察例数n 很大时的二项分布。

除二项分布的三个基本条件以外，Poisson 分布还要求 接近于0。

有些情况和n 都难以确定，只能以观察单位（时间、空间、面积等）内某种稀有事件的发生数X 来近似。

Poisson 分布的概率函数：式中，πλn =为Poisson 分布的总体均数，X 为观察单位内某稀有事件的发生次数，e 为自然对数的底，λ为常数，约等于2.71828。

Poisson 分布的特征Poisson 分布当总体均数λ值小于5时为偏峰，λ愈小分布愈偏，随着λ增大，分布趋向对称。

Poisson 分布的总体均数与总体方差相等, 均为λ，且Poisson 分布的观察结果具有可加性。

特点：凡个体有传染性、聚集性，均不能视为二项分布或Poisson 分布。

三、Poisson 分布的应用如果某稀有事件发生次数的总体均数为λ，那么发生次数至多为k 次的概率为发生次数至少为k 次的概率为!)(X eX P Xλλ-=∑∑==---==≤kX kX X n X X n X n X P k X P 00)1()!(!!)()(ππ∑∑==---==≥n kX nkX Xn X X n X n X P k X P )1()!(!!)()(ππ第三节 正态分布一、正态分布的概念基本概念：正态分布是自然界最常见的一种分布，正态分布的特点是中间频数最多，两边频数渐少且对称。

正态分布的密度函数：222)(21)(σμπσ--=X eX f其中,μ为总体均数，σ为总体标准差 正态分布密度曲线的特点:（1）关于x=μ对称。

（2）在x=μ处取得该概率密度函数的最大值，在σμ±=x 处有拐点，表现为钟形曲线。

（3）曲线下面积为1。

（4）μ决定曲线在横轴上的位置，μ增大，曲线沿横轴向右移；反之，μ减小，曲线沿横轴向左移。

（5）σ决定曲线的形状，当μ恒定时，σ越大，数据越分散，曲线越“矮胖”’；σ越小, 数据越集中，曲线越‘瘦高’。

二、 正态曲线下面积的分布规律标准正态分布：总体均数为0、总体标准差为1的正态分布称为标准正态分布，用)1.0(N 表示。

对任意一个服从正态分布),(2σμN 的随机变量X ，经过如下的标准化变换 σμ-=X Z可以转变为标准正态分布。

正态曲线下面积的分布规律由标准正态分布曲线下面积分布表给出。

标准正态分布的分布函数值等于标准正态曲线下Z 值左侧的面积，记作)(z Φ。

)1(1)(-≤-=≥k X P k X P按正态分布规律，标准正态曲线下面积分布规律为： 单侧：P （Z -Z α）=α 或P （ZZ α）=α双侧：P （Z -Z α/2）＋P （Z Z α/2）=α三、正态分布的应用 （一）确定医学参考值范围基本概念：医学参考值范围是指特定的“正常”人群（排除了对所研究指标有影响的疾病和有关因素的特定人群）的解剖、生理、生化指标及组织代谢产物含量等数据中大多数个体取值所在的范围。

人们习惯用该人群中95%的个体某项医学指标的取值范围作为该指标的医学参考值范围。

计算方法：确定医学参考值范围的方法有两种：（1）百分位数法 双侧95%医学参考值范围是),(97525P P ，单侧范围是P 95以下（如血铅、发汞），或P 5以上（如肺活量）。

该法适用于任何分布类型的资料。

（2）正态分布法 若X 服从正态分布，医学参考值范围还可以依正态分布规律计算。

正态分布资料双侧医学参考值范围一般按下式作近似估计：S X 96.1±其中，X 和S 分别为样本的均数和标准差（二）二项分布、泊松分布的正态分布近似1．二项分布的正态近似 随着n 的增大，二项分布趋于对称。

理论上可以证明:当n 相当大时，只要π不太靠近0或1， 特别是当n π和n (1－π)都大于5时，二项分布近似于正态分布。

由于二项分布为离散型变量分布，为了借用连续型变量的分布函数计算概率，要对概率函数作校正。

二项分布累计概率的正态近似计算公式为：∑=---+Φ≈=≤kX X n X X n n n k q p C K X P 0))1(5.0()(πππ∑=----Φ-≈=≥nkX X n X X n n n k q p C k X P ))1(5.0(1)(πππ2．Poisson 分布的正态近似随着总体均数λ的增大，Poisson 分布趋向对称。

理论上可以证明, 随着∞→λ，Poisson 分布也渐近正态分布。

一般，当20≥λ时Poisson 分布资料可按正态分布处理。

和二项分布相同，Poisson 分布也是离散型变量分布。

为了借用连续型变量的分布函数计算概率，也要对概率函数作校正。

校正后Poisson 分布的正态近似计算方法为∑=--+Φ≈=≤ki kk ei k X P 0)5.0(!)(λλλλ)5.0(1)(1)(λλ--Φ-≈〈-=≥k k X P k X P∑=---Φ--+Φ≈=≤≤21)5.0()5.0(!)(1221k k i kk k e i k X k P λλλλλλ[案例讨论参考答案]案例4-1 该案例问题在于艾滋病是传染病，观察单位在是否感染方面互不独立，不管感染人数有多么少都不能按Poisson 分布问题处理。

[电脑实验程序及结果解释]实验4-1 概率及累积概率的计算程序4-1 概率及累积概率的计算01 DATA exam6; 建立sas 数据集exam6； 02 n=150;prob=0.13;指定二项分布的n 和π； 03 p11=PROBBNML(prob,n,2); 计算至多感染2名的概率； 04 p12=1- PROBBNML (prob,n,1); 计算至少感染2名的概率； 05 p13=1- PROBBNML (prob,n,19);计算至少感染20名的概率；06 PROC PRINT; 输出数据集exam6的内容；07 DATA exam7_8; 建立数据集exam7_8；08 m=0.96; 指定Poisson分布的总体均数m；09 p21=PDF('POISSON',4,m); 计算4人患病的概率；10 p22=POISSON(m,4); 计算至多4人患病的概率；11 p23=1-POISSON(m,4); 计算至少5人患病的概率；12 PROC PRINT; 输出数据集exam7_8的内容；13 DATA exam10; 建立数据集exam10；14 mean=123.02; std=4.79; 指定正态分布的总体均数mean和标准差std；15 p31=1-CDF('NORMAL',130,mean,std); 计算身高130cm以上者占总数的百分比；16 p32=CDF('NORMAL',128,mean,std) 计算身高120cm～128cm者占总数的百分比；17 -CDF('NORMAL',120,mean,std);18 rangel=mean-PROBIT(0.9)*std; 计算80%参考值范围的下限；19 range2=mean+PROBIT(0.9)*std; 计算80%参考值范围的上限；20 PROC PRINT; RUN; 输出计算结果；运行程序；说明：改变语句行02，08行，可任意设定二项分布的n、π和Poisson分布的总体均数，09、10、11行中的人数根据需要任意设定。

运行结果：Output窗口：Obs n prob p11 p12 p131 150 0.13 .000000231 1.00000 0.48798Obs m p21 p22 p231 0.96 0.013550 0.99692 .003082683Obs mean std p31 p32 rangel range21 123.02 4.79 0.072530 0.58656 116.881 129.159实验4-2 正态近似法的计算程序4-2 正态近似法的计算03 为随机变量x1赋值；04 z1=(x1-0.5 -mean)/std; 对x1进行标准化正态变换；05 p1=1-PROBNORM(z1); 求标准正态分布中取值大于z1的概率；06 KEEP x1 p1 ; 指定数据集中只包含变量x1和p1；07 PROC PRINT; 输出当前数据集的内容；08 RUN; 运行上述程序；09 DATA norm2; 建立数据集norm2；10 mean=360 ; std=sqrt(mean); 指定Poisson分布近似的正态分布的总体均数和标准差；11 x2=400 ; 指定随机变量x2的值；12 z2=(x2-0.5-mean)/std; 对x2进行标准化正态变换；13 p2=1-PROBNORM(z2); 求取值大于z2的概率；KEEP x2 p2 ; 指定数据集中只包含变量x2和p2；说明：改变语句行02、03、10和11行，可设定任意均数、标准差和随机变量值。

运行结果：Output窗口：Obs x1 p11 20 0.5Obs x2 p21 400 0.018679实验4-3 正态分布的两个参数μ与σ的意义和作用程序4-3 正态分布的两个参数μ与σ的意义和作用14 DATA stdnorm2; 建立sas数据集stdnorm2;15 std1=0.5; std2=0.7;std3=0.9; 指定总体标准差std1、std2和std3；16 pi =3.1415926; c=1/SQRT(2*pi);17 DO u=-3 TO 3 BY 0.05; 设立循环，循环变量u从-3增加到3，每次加0.05；18 f0=c*EXP(-u**2/2); 计算u对应的正态分布N(0,1)的密度函数值f0；19 f1=c/std1*EXP(-u**2/2/std1**2); 计算u对应的正态分布N(0, std1)的密度函数值f1；20 f2=c/std2*EXP(-u**2/2/std2**2); 计算u对应的正态分布N(0, std2)的密度函数值f2；21 f3=c/std3*EXP(-u**2/2/std3**2); 计算u对应的正态分布N(0, std3)的密度函数值f3；22 OUTPUT; 将数据写入数据集；23 END; 结束循环；24 PROC GPLOT; 调用GPLOT过程绘制曲线图；25 PLOT (f0 f1 f2 f3) *u /OVERLAY ;26 RUN; 运行程序；说明：改变语句行02和15，可设定任意均数和标准差。