重庆市树人中学校13—14学年下学期高一半期考试数学(附答案)
重庆市西南大学附属中学2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题含答案
高2025届2022-2023学年（下）5月名校联考数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1．复数i(3i)z =+在复平面内对应的点所在的象限为A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知向量(11)=−，a ，(21)=，b ，(2)λ=，c ．若(2)+c a b ，则λ=A ．12−B ．0C ．12D ．83．已知3sin()2πα−α为第三象限角，则tan α=A． B C D4．金字塔一直被认为是古埃及的象征，然而，玛雅文明也有 类似建筑，玛雅金字塔是仅次于埃及金字塔的著名建筑．玛 雅金字塔由巨石堆成，其下方近似为正四棱台，顶端是祭 神的神殿，其形状近似为正四棱柱．整座金字塔的高度为29m ，金字塔的塔基（正四棱台的下底面）的周长为220m , 塔台（正四棱台的上底面）的周长为52m ，神殿底面边长 为9m ，高为6m ，则该玛雅金字塔的体积为 A ．374920m 3B ．330455mC ．337217mD ．345439.5m5．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知a x =，6c =，60A =°，若满足条件的三角形有两个，则x 的取值范围为A ．(6⎤⎦，B ．()6，C ．()36，D ．()+∞，6．已知一个正六棱锥的所有顶点都在一个球的表面上，六棱锥的底面边长为1，侧棱长为2，则球的表面积为A ．43π B ．83π C ．163πD ．4π7．若sin(2)04πθθ+=，则tan()tan()44ππθθ++−=A ．2−B ．1C ．2D ．48．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知3B π=，8a =，cos cos 6b A a B +=，点O 是ABC △的外心．若BO xBA yBC =+，则x y += A ．712B ．2336C ．2536D ．2936二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024年重庆市第八中学树人中学校自主招生提前录入数学思维与运算
2024年重庆市第八中学树人中学校自主招生提前录入数学思维与运算一、填空题1．202410247÷，余数是．2．2 78⨯的积不到2000， 里最大填．3．三条直线相交，最多可以组成个直角．4．一个正方形，如果边长增加3厘米，面积就增加39平方厘米，原来正方形的面积是平方厘米．5．一只怪物，它眼睛的数量是鼻子的3倍，耳朵的数量是嘴巴的3倍，胳膊的数量是腿的3倍．眼睛、鼻子、耳朵、嘴巴、胳膊和腿的总数是60个，那么眼睛、耳朵和胳膊的总数是个．6．110、8、12再配上一个数就可以组成比例，这个数最小是．7．某次书法比赛，共有1123名同学参加，小明说：“至少有10名同学来自同一个学校．”如果他的说法是正确的，那么最多有个学校参加了这次比赛．8．某校男老师的平均年龄是27岁，女老师的平均年龄是32岁，全体老师的平均年龄是30岁．如果男老师比女老师少12名，那么该校有名女老师．9．不成倍数的两个自然数a 和b ．它们的最大公因数是18，最小公倍数是216，那么a b +=．10．规定运算“☆”为：若a b >，则a b a b =+☆；若a b =，则22b a b a =-+☆；若a b <，则a b a b =⨯☆．那么，()()()342476++=☆☆☆．11．若一个分数的分子减少20%，并且分母增加28%，则新分数比原来的分数减少了%．12．下列说法正确的是（不定项）A ．两个连续自然数相乘，积一定是偶数B ．两个分数的大小相等，它们的分数单位也相等C ．求长方体和正方体的体积都可以用底面积乘高D ．一个几何体如果从正面和上面看到的都是，那么从左面看到的也一定就是13．甲、乙两条船，在同一条河上相距210千米．若两船相向而行，则2小时相遇；若同向而行，则14小时甲赶上乙，则甲船的速度为14．如图，在长方形ABCD 中，2cm AB =，4cm BF =，1cm FC =，已知涂色部分甲的面积=涂色部分乙的面积，则EA =cm ．15．有三个最简真分数，其分子的比为1:2:3，分母的比为4:5:8．将这三个分数相加，再经过约分后为41200．那么三个分数的分母相加的和是．16．在一个水池中有两根直立的木棍，木棍的一端紧贴着池底，另一端都露在水面上．两个木棍露出水面部分的长度之比是7:3．如果现在水池中的水面向上涨70厘米，这时两根木棍露出水面的部分的长度之比是7:2．那么原来这两根木棍露出水面部分的长度和是厘米．17．近日，一古董店收到两台还能走的古老时钟，一台时钟每天快15分钟，另一台每天慢24分钟，师傅将两台时钟同时调到标准时间，则至少需要天才能同时显示出标准时间．二、解答题18．计算：418.2562 4.27153⎛⎫⎛⎫-÷+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19．计算：11131517193042567290-+-+．20．计算：12233344445555666778+++++++21．计算：123510158910323640÷÷-÷÷÷÷-÷÷22．计算：3142320.17 2.0177391010.7183725⎡⎤⎛⎫+-⨯÷÷⨯÷ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．23．计算：1287.42 2.50.139⎛⎫-⨯-÷+ ⎪⎝⎭24．解方程：332164x x +-=-25．10.3x -﹣20.5x +=1.2．26．解方程：11612311213x =+++27．解方程：1532 2.25455392324741x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⨯÷+=⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎣⎦28．如图，甲和乙两个圆柱体容器，底面积之比是2:3．在甲容器中有一个体积是30立方里米的铁球，此时两容器中水面高度相差1厘米；若把铁球从甲容器移到乙容器中，两容器水面的高度仍然相差1厘米，则甲容器的底面积是多少平方厘米？29．在如图所示的竖式中，不同的符号代表不同的数字，请找出每一个符号对应的数字，并把这个竖式写出来．30．甲、乙、丙三人中，甲每分钟走50米，乙每分钟走60米，丙每分钟走70米，甲、乙两人从A 地，丙从B 地同时相向出发，丙遇到乙后2分钟遇到甲，A ，B 两地之间相距多少千米？31．容器中有某种酒精含量的酒精溶液，加入一杯水后酒精含量降为25%；再加入一杯纯酒精后酒精含量升为40%．那么原来容器中酒精溶液的酒精含量是多少？32．对于正整数n ．如果各位上的数字和是一个多位数（含两位数），那么我们再算这个多位数的各位上的数字和，直至得到一个一位数为止，我们将这个一位数记作()S n ，例如2018，因为201811+++=，112+=，所以()20182S =．大家注意，()35291015*⨯=根据以上算法，()358S =，()292S =，()()()()()358216297S S S S S =⨯==⨯，有趣的是()1015S 也等于7．这是偶然的巧合还是必然的规律？(1)根据以上材料，你能提出一个猜想吗？从等式（*）左边数的个数和数的位数入手考虑，尽量使你的猜想适用范围更广．(2)请证明你的猜想．(3)请举出以上结论的一个应用．。
重庆市学校2023-2024学年高三下学期入学适应性考试数学试题含答案
重庆高2024届高三（下）入学适应性考试数学试题（答案在最后）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,6,7A B ==，记全集I A B = ，则I A =ð（）A.{}1,2,3 B.{}4,5 C.{}6,7 D.{}4,5,6,7【答案】C 【解析】【分析】先求I A B = ，再求I A ð.【详解】全集{}1,2,3,4,5,6,7== I A B ，则{}6,7=I A ð.故选：C.2.若复数()2i 1i z a a =+-+是纯虚数，则实数=a （）A.1B.1-C.1± D.0【答案】B 【解析】【分析】利用复数的定义及乘法法则计算即可.【详解】由()()22i 1i 11i z a a a a =+-+=-+-，根据题意可知210110a a a ⎧-=⇒=-⎨-≠⎩.故选：B3.函数()2e 2xf x x =+-的零点有（）A.4个B.2个C.1个D.0个【答案】B 【解析】【分析】结合函数e x y =与22y x =-的图象可得正确的选项.【详解】令()2e 20xf x x =+-=，即2e 2x x =-，可知函数()f x 的零点个数即为e x y =与22y x =-的交点个数，结合函数的图像，可知e x y =与22y x =-的函数图像有两个交点，所以函数有两个零点，即函数()2e 2xf x x =+-的零点有2个.故选：C.4.设集合(){}{},,,,1,0,1A x y z x y z =∈-∣，那么集合A 满足条件“2x y z ++=”的元素个数为（）A.4B.6C.9D.12【答案】D 【解析】【分析】由题意对,,x y z 谁取0分类讨论即可求解.【详解】若0x =，则{},1,1y z ∈-，即有序数对(),y z 有4种取法，同理若0y =，则{},1,1x z ∈-，即有序数对(),x z 有4种取法，若0z =，则{},1,1x y ∈-，即有序数对(),x y 有4种取法，综上所述，集合A 满足条件“2x y z ++=”的元素个数为44412++=.故选：D.5.已知函数()()log ,1214,1a x x f x a x a x >⎧=⎨-+≤⎩在R 上为减函数，则实数a 的取值范围是（）A.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.10,6⎛⎤ ⎥⎝⎦C.1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D.11,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】根据分段函数单调性以及对数函数性质列式求解.【详解】由题意可得：01210610a a a <<⎧⎪-<⎨⎪-≥⎩，解得1162a ≤<，所以实数a 的取值范围是11,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：D.6.已知,a b 为正实数，且,,4a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则a b +的值等于（）A.6B.8C.10D.12【答案】C 【解析】【分析】根据题意分析可知仅有,4,a b -或,4,b a -构成等比数列，且,,4a b -或4,,b a -构成等差数列，或,,4b a -或4,,a b -构成等差数列，结合等差、等比中项列式求解即可.【详解】因为,a b 为正实数，且,,4a b -可适当排序后成等比数列，可知仅有,4,a b -或,4,b a -构成等比数列，可得16ab =，又因为,,4a b -这三个数可适当排序后成等差数列，则有：若,,4a b -或4,,b a -构成等差数列，可得24b a =-，即1624ab b a =⎧⎨=-⎩，解得82a b =⎧⎨=⎩或44a b =-⎧⎨=-⎩（舍去），可得10a b +=；若,,4b a -或4,,a b -构成等差数列，可得24a b =-，即1624ab a b =⎧⎨=-⎩，解得28a b =⎧⎨=⎩或44a b =-⎧⎨=-⎩（舍去），可得10a b +=；综上所述：10a b +=.故选：C.7.已知球O的直径为PC A B =、是球面上两点，且π3PA PB APB ==∠=，则三棱锥-P ABC 的体积（）A.2B.C.62D.【答案】C 【解析】【分析】利用球体的性质先计算球心到平面APB 的距离，再根据棱锥的体积公式计算即可.【详解】由题意可知APB △为正三角形，设其外接圆圆心为M ，半径为r ，则21πsin 3PAr PM r =⇒==，且OM ⊥平面APB ，所以OM ==C 到平面APB的距离为，所以三棱锥-P ABC的体积为21342⨯⨯=.故选：C8.设F 为抛物线2:2C x y =的焦点，P 为C 上一点且在第一象限，C 在点P 处的切线交x 轴于N ，交y 轴于T ，若30FPT ∠= ，则直线NF 的斜率为（）A.－2B. C.12-D.3-【答案】D 【解析】【分析】设P 点坐标，利用导数的几何意义求得切线方程可先含参表示N ，T 坐标，再根据抛物线的定义可判定FPT △为等腰三角形，根据其性质计算即可.【详解】易知210,,22x F y y x ⎛⎫=⇒⎪⎭'= ⎝，设2,2a P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则C 在点P 处的切线方程为()2222a a y a x a y ax =-+⇒=-，所以2,0,0,22a a N T ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，显然N 为TP 中点，由抛物线定义可知2122a PF FT =+=，即FPT △为以F 为顶点的等腰三角形，所以FN PT ⊥，即30FNO FPT ∠=∠= ，所以直线NF 的斜率为()tan 180303-=- .故选：D【点睛】思路点睛：本题通过设P 点坐标，利用抛物线的切线方程含参表示N ，T 坐标，再根据抛物线的定义可判定FPT △为等腰三角形，根据其性质计算即可.解析几何问题首先是几何题，所以利用几何特征可减少计算量，提高效率.二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分，有选错得0分）．9.已知A B 分别为随机事件,A B 的对立事件，满足()()01,01P A P B <<<<，则下列叙述可以说明事件A ，B 为相互独立事件的是（）A.()()P B P BA =∣ B.()()P BA PB A =∣∣C.()()()P A P B P A B += D.()()()P AB P AB P B A +=∣【答案】ABD 【解析】【分析】根据事件相互独立的充要条件()()()P AB P A P B =判断.【详解】对于A ，由()(|)P B P B A =，得()()()P AB P B P A =即()()()P AB P A P B =，所以,A B 相互独立，故A 正确;对于B ，由()()()P BA P BA P A =∣，()(|()P BA PB A P A =得()()()()P BA P BA P A P A =，又()(()P AB P AB P B +=，所以()()()()1()P BA P B P BA P A P A -=-，得()()()()()()()P BA P A P BA P A P B P A P BA -=-即()()()P BA P A P B =，所以B,A 相互独立，所以,A B 相互独立，故B 正确;对于C ，由()()()P A P B P A B +=⋃，()()()()P A B P A P B P AB ⋃=+-，得()0P AB =，由()()01,01P A P B <<<<得()()0≠P A P B ，故()()()P AB P A P B ≠，所以事件A ，B 相互独立错误，故C 错误;对于D ，由()()(|)P AB P AB P B A +=，得()(|)P B P B A =，又()(|)()P AB P B A P A =，所以()()()P AB P A P B =，所以,A B 相互独立，故D 正确.故选：ABD.10.已知函数()sin cos sin cos f x x x x x =++-，则下列关于函数()f x 的说法，正确的是（）A.()f x 的一个周期为π2B.()f x 的图象关于π2x =对称C.()f x 在ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D.()f x 的值域为2⎤⎦【答案】ABD 【解析】【分析】利用函数的对称性与周期性结合诱导公式可判定A 、B ，再根据A 、B 结论及三角函数的图象与性质可判定C 、D.【详解】对于A ，根据诱导公式可知：πππππsin cos sin cos 22222f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()sin cos sin cos x x x x f x =-++=，故()f x 的一个周期为π2，即A 正确；对于B ，根据诱导公式可知：()()()()()πsin πcos πsin πcos πf x x x x x -=-+-+---()sin cos sin cos x x x x f x =-++=，所以()f x 的图象关于π2x =对称，即B 正确；对于C ，易知()()()()()sin cos sin cos f x x x x x -=-+-+---()sin cos sin cos x x x x f x =-++=，即()f x 为偶函数，当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()sin cos cos sin 2cos f x x x x x x =++-=，显然此时函数单调递减，由偶函数的对称性可知π,04x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时函数单调递增，故C 错误；由B 结论可知ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为()f x 的一个周期，此区间上()()()max min π02,4f x f f x f ⎛⎫===±= ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：ABD11.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，12AA=，点P 在底面ABCD 内运动（含边界），点Q 满足[]1,0,1CQ mCC m =∈，则（）A.当12m =时，1A P PQ +B.当14m =时，存在点P ，使1A PQ ∠为直角C.当78m =时，满足11D P A Q ⊥的点P 的轨迹平行平面1C BDD.当116m =时，满足1A P PQ ⊥的点P 的轨迹围成的区域的面积为π4【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用对称性得到1A P PQ +；B 选项，设(),,0P s t ，表达出22211,,A P PQ A Q ，利用22211A P PQ A Q +=得到()()2222110s t s t -+++-=，方程无解，B 错误；C 选项，设(),,0P s t ，表达出11102A Q D P s t ⋅=-++= ，得到轨迹，由线线平行得到线面平行，C 正确；D 选项，设(),,0P s t ，表达出22111224s t ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得到轨迹为圆，求出面积.【详解】以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则()()11,0,2,0,1,1A Q ，则点Q 关于平面ABCD 的对称点为()0,1,1Q '-，连接1A Q '，与平面ABCD 的交点即为使得1A P PQ +取最小值的点P ，此时11A P PQ AQ +==='A 正确；B 选项，当14m =时，()111,0,2,0,1,2A Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设(),,0P s t ，则()222114A P s t =-++，()222114PQ s t =+-+，22111711224A Q ⎛⎫=++-= ⎪⎝⎭，令22211A P PQ A Q +=，即()()222211714144s t s t -++++-+=，故()()2222110s t s t -+++-=，则需满足10,0,0,10s s t t -===-=，不合要求，故不存在点P ，使1A PQ ∠为直角，B 错误；C 选项，当78m =时，()()1171,0,2,0,1,,0,0,24A Q D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设(),,0P s t ，则()()11710,1,1,0,21,1,,,,244A Q D P s t ⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，()11111,1,,,2042A Q D P s t s t ⎛⎫⋅=--⋅-=-++= ⎪⎝⎭ ，在平面ABCD 中画出(),,0P s t 点的轨迹，如图所示，其轨迹为线段MN ，其中,M N 分别为,AD AB 的中点，其中//MN BD ，又BD ⊂平面1C BD ，MN ⊄平面1C BD ，故//MN 平面1C BD ，当78m =时，满足11D P A Q ⊥的点P 的轨迹平行平面1C BD ，C正确；D 选项，当116m =时，()111,0,2,0,1,8A Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设(),,0P s t ，则()111,,2,,1,8A P s t PQ s t ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭ ，则()221111,,2,1,084A P PQ s t s t s s t t ⎛⎫⋅=--⋅--=-+-+-= ⎪⎝⎭ ，即22111224s t ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故点P 的轨迹为以11,22⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，12为半径的圆，刚好与正方形ABCD 相切，故面积为211ππ24⎛⎫= ⎪⎝⎭，当116m =时，满足1A P PQ ⊥的点P 的轨迹围成的区域的面积为1π4，D 正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标表示与解析几何的相关知识结合即可得解.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．12.设向量()()2,0,,1a b m =-=，若()a b b +⊥ ，则+= a b ______．【答案】【解析】【分析】由向量垂直列方程得参数，进一步由模长公式即可求解.【详解】由题意()()2,1,,1a b m b m +=-=，因为()a b b +⊥，所以()210m m -+=，解得1m =，所以()1,1a b +=-，从而a b +=.13.双曲线22:13y C x -=的左、右焦点分别为12,F F ，O 为原点，,M N 为C 上关于原点对称的两点，若222NF MF =，则MO =______．【答案】【解析】【分析】利用双曲线的定义及性质结合余弦定理计算即可.【详解】如图示，连接11,MF NF ，易知四边形12MF NF 平行四边形，124F F =，根据双曲线的性质及已知有21222224NF NF NF MF MF NF -=-==⇒=，根据余弦定理可知：222222122244244cos 2828OM F NF NF M +-+-∠=∠=⨯⨯，又222222122244244cos cos 02828OMF NF NF M OM +-+-∠=-∠⇒+⇒=⨯⨯.14.已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()()1212f x f x f x x =，且当0x >时，()0f x >．若()()33f f a ='=，则()f x 在点11,33f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为______．（结果用含a 的表达式表示）【答案】920++=x ay 【解析】【分析】利用赋值法分别令13x =，1x =可得()1f ，13f ⎛⎫⎪⎝⎭，根据()f x 为偶函数得13f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由()()33af x f x =''，令1x =、13x =可得13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭'，()f x 为偶函数求出13f ⎛-'⎫⎪⎝⎭，再由直线的点斜式方程可得答案.【详解】因为()3f a =，所以()()()33f f x f x =，即()()3af x f x =，令13x =，有()113a f f ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，令1x =，有()()13a f f a ⨯==，所以()11f =，113f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为()f x 为偶函数，所以11133f f a⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由()()33af x f x =''，令1x =得()()1333af f a ''==，所以()13f '=，令13x =得()13193af f ⎛⎫== ⎪⎝⎭''，所以193f a⎛⎫= ⎪⎭'⎝，因为()f x 为偶函数，所以193f a⎛⎫-=-⎪⎭'⎝，所以()f x 在点11,33f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为1913y x a a ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，即920++=x ay .故答案为：920++=x ay .【点睛】关键点点睛：解题的关键点是利用赋值法、()f x 为偶函数求出13f ⎛⎫- ⎪⎝⎭、13f ⎛-'⎫ ⎪⎝⎭，再由直线点斜式方程求解.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.从某企业生产的某种产品中随机抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（1）求这1000件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s （同一组的数据用该组区间的中点值作为代表）；（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数2,x σ近似为样本方差2s ，为监控该产品的生产质量，每天抽取10个产品进行检测，若出现了质量指标值在()3,3μσμσ-+之外的产品，就认为这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的10个产品中尺寸在()3,3μσμσ-+之外的产品数，求()1P X ≥②请说明上述监控生产过程方法的合理性．附：()100.99740.9743,330.9974P X μσμσ≈-<<+=【答案】（1）2100;159x S ==;（2）()10.0257P X ≥≈;说明见解析.【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图的平均数与方差计算公式计算即可；（2）根据正态分布的定义及性质计算、分析即可.【小问1详解】由题意可知：x =（700.0025800.009900.0221000.0321100.024⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+1200.0081300.0025⨯+⨯）10100⨯=，=2S[()()()222701000.0025801000.009901000.022-⨯+-⨯+-⨯+()()221001000.0321101000.024-⨯+-⨯+()()221201000.0081301000.0025-⨯+-⨯]10159⨯=，【小问2详解】①由题意可知生产状态正常，此时一个产品尺寸在()3,3μσμσ-+之内的概率为0.9974，所以()10110.99740.0257P X ≥=-≈；②如果生产状态正常，此时一个产品尺寸在()3,3μσμσ-+之外的概率只有10.99740.0026-=，一天内抽取10个零件中，发现尺寸在()3,3μσμσ-+之外的概率只有0.0257，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为生产线在这一天的生产过程中可能出现异常，需要对当天的生产过程进行检查，可见这种监管过程方法合理.16.已知四边形ABCD 的外接圆面积为7π3，且2,BD CD BAD ==∠为钝角，（1）求BCD ∠和BC ；（2）若21sin 7ABD ∠=，求四边形ABCD 的面积．【答案】（1）π3BCD ∠=，3BC =（2）【解析】【分析】（1）利用外接圆面积求出外接圆半径，进而由正弦定理得到sin 2C =，求出π3C =，再利用余弦定理求出3BC =；（2）求出2BCD S =，并利用正弦定理和余弦定理求出2AD =，1AB =，利用三角形面积公式求出ABD S ，相加后得到答案.【小问1详解】四边形ABCD 的外接圆面积为7π3,即BCD △的外接圆面积为7π3，设BCD △的外接圆半径为R ，则27ππ3R =，解得3R =，在BCD △中，2212sin 3BD R C ==，即7221sin 3C =，故3sin 2C =，因为BAD ∠为钝角，所以BCD ∠为锐角，故π3C =，由余弦定理得222cos 2BC CD BD C BC CD +-=⋅，即2π47cos 322BC BC +-=⋅，故232BC BC -=，解得3BC =，负值舍去，【小问2详解】11πsin 32sin 2232BCD S BC CD C =⋅=⨯⨯=，因为πA C +=，所以2π3A =，在ABD △中，由正弦定理得sin sin AD BDABD A=∠，又21sin 7ABD ∠=21372=，解得2AD =，在ABD △中，由余弦定理得222cos 2AB AD BD A AB AD +-=⋅，即247142AB AB +-=-，解得1AB =，故112πsin 12sin 2232ABD S AB AD A =⋅=⨯⨯=，四边形ABCD的面积为22BCD ABD S S +=+= 17.在圆221:4C x y +=上任取一点P ．过点P 作x 轴的垂线PD ，垂足为D ，点M 满足12DM DP =．（1）求M 的轨迹2C 的方程；（2）设()()2,0,2,0A B -，延长MD 交2C 于另一点N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E ，判断BDE △与 BDN 的面积之比是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．【答案】（1）2214x y +=（2）是定值，定值为45【解析】【分析】（1）利用相关点法，设(),M x y ，由题意可得(),2P x y ，代入圆221:4C x y +=即可得结果；（2）设()000,,0M x y y ≠，则()()000,,,0N x y D x -，根据题意求点E 的纵坐标，进而可得结果.【小问1详解】设(),M x y ，因为点M 满足12DM DP =，即点M 为线段DP 的中点，可知(),2P x y ，且点P 在圆221:4C x y +=上，则2244x y +=，即2214x y +=，所以M 的轨迹2C 的方程为2214x y +=.【小问2详解】设()000,,0M x y y ≠，则()()000,,,0N x y D x -，则直线AM 的斜率002AM y k x =+，可知直线DE 的斜率002DE x k y +=-，即直线DE 的方程为()0002x y x x y +=--，且直线BN 的方程为()0022y y x x =---，联立方程()()00000222x y x x y y y x x +⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪-⎩，消去x 解得()()200220044x y y y x -=--，且()00,M x y 在椭圆上，则220014x y +=，即220044x y -=-，可得()()()()220022220000444544xy y y y yy x y y --===-----，即点E 的纵坐标为045y -，所以014425152BDE BDNBD y S S BD y ⋅==⋅- （定值）..【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值；（3）得出结论．18.在如图所示的几何体中，DA ⊥平面,ABC EB ⊥平面,2ABC AC BC BE ===，记M 为DC 中点，平面DAC 与平面EBC 的交线为l ．（1）求证：l ⊥平面ABC ；（2）若三棱锥M ABC -的体积1V 与几何体ABCDE 的体积2V 满足关系216,V V P =为l 上一点，求当2V 最大时，直线CD 与平面PAB 所成角的正弦值的最大值．【答案】（1）证明见解析.（2）5【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质定理、线面平行的判定定理及性质定理可证.（2）根据条件求出,AB AD 长度，建立空间直角坐标系，用向量法求出直线CD 与平面PAB 所成角的正弦值，利用导数求出最大值.【小问1详解】因为DA ⊥平面,ABC EB ⊥平面ABC ，所以//DA BE ,又DA ⊄平面EBC ，BE ⊂平面EBC ，所以//DA 平面EBC ,又DA ⊂平面DAC ，且平面DAC 与平面EBC 的交线为l ，所以//DA l ，所以l⊥平面ABC .【小问2详解】设,2DA h AB x ==，取AB 的中点O ，因为AC BC =，所以CO AB ⊥，因为M 为DC 中点，所以M 到平面ABC 的距离为2h，因为DA ⊥平面ABC ，DA ⊂平面ABED ，所以平面ABC⊥平面ABED ，且平面ABC ⋂平面ABED AB =，CO ⊂平面ABC ，所以CO ⊥平面ABED ，1132ABC h V S ∆∴=⋅，213ABED V S CO =⋅，又216,V V =即()211126232322h h x CO x CO +⋅⋅⋅=⨯⨯⨯，解得1h =，()212112332ABED V S CO x x +=⋅=⨯⨯2=≤，当且仅当224x x -=，即x =时取等号，所以当2V最大时AB CO ==,如图建立空间直角坐标系，则())()(),,0,,A B C D,设()(),0P t t>，则()CD =，()),AB AP t ==，设平面PAB 的一个法向量()111,,n x y z =，因为n AB n AP ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，所以11110tz ⎧=⎪++=，令1y =，则1120,x z t ==-，即2n t ⎛⎫=-⎪⎝⎭，设直线CD 与平面PAB 所成角为θ，所以sin cos ,5CD n θ===令()2212t y t +=+，则()()()()()()2222222212122222t t t tt t y tt++-+⋅-++='=++，令0'>y ，则220t t --<，所以12t -<<，函数y 在()0,2上为增函数，在()2,∞+上为减函数，所以当2t =时max 32y=，即()max sin 5θ=，故直线CD与平面PAB 所成角的正弦值的最大值5.19.如果函数()F x 的导数()()F x f x '=，可记为()()F x f x dx=⎰．若()0f x ≥，则()()()b af x dx F b F a =-⎰表示曲线()y f x =，直线,x a x b ==以及x 轴围成的“曲边梯形”的面积．（1）若()1F x dx x =⎰，且()11F =，求()F x ；（2）已知π02α<<，证明：0cos cos a xdx ααα<<⎰，并解释其几何意义；（3）证明：1π2π3ππ221cos 1cos 1cos 1cos πn n n n n n 骣琪++++<琪桫 ，*n ∈N ．【答案】（1）()ln 1F x x =+（2）答案见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由基本函数的导数公式和题中定积分的含义得到.（2）先由定积分的预算得到cos sin sin 0sin axdx a a =-=ò，再分别构造函数()sin g x x x =-和()sin cos h x x x x =-，利用导数分析单调性，证明结论；几何意义由题干中定积分的含义得到.（3）先由二倍角公式化简得到ππ1cos22k k n n+=，再由定积分的意义得到2π2π3ππcos cos cos cos 2222n n n n ⎛⎫++++ ⎝⎭ 0π2cos 2x dx ⎛⎫< ⎪⎝⎭，最后根据求导与定积分的运算得到()()10π2π2cos 10sin 2π2πx dx F F ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭⎰，最后得证.【小问1详解】当0x >时，因为()1ln x x'=，所以设()1ln F x x C =+，又()11F =，代入上式可得()111ln111F C C =+=⇒=，所以，当0x >时，()ln 1F x x =+；当0x <时，设()()2ln F x x C =-+，同理可得21C =，综上，()ln 1F x x =+.【小问2详解】因为()cos sin F x xdx x C =⎰=+，所以0cos sin sin 0sin axdx a a =-=ò，设()πsin ,02g x x x x =-<<，则()1cos 0g x x ='->恒成立，所以()g x 在π02x <<上单调递增，所以()()min 00g x g >=，故sin αα<，即0cos axdx a <ò；设()sin cos h x x x x =-，π02x <<，则()sin 0h x x x '=>恒成立，所以()h x 在π02x <<上单调递增，()()min 00h x h >=，所以0cos cos axdx a a <ò，综上，0cos cos axdx ααα<<⎰.几何意义：当π02x <<时，曲线cos y x =与直线0x =（y 轴），x α=以及x 轴围成的“曲边面积”大于直线0x =（y 轴），x α=以及x 轴，直线cos y α=围成的矩形面积，小于0x =（y 轴），x α=以及x 轴，直线1y =围成的矩形面积.【小问3详解】π,1,2,2k k n n=== ，所以1n +π2π3ππcos cos cos cos 2222n n n n ⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭0πcos 2x dx ⎛⎫< ⎪⎝⎭，设()2πsin π2F x x =，则()πcos 2F x x ='，所以()()10π2π2cos10sin 2π2πx dx F F ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭⎰，故122πn +++< .【点睛】关键点点睛：1、由题干得到求导与定积分互为逆运算；2、证明不等式时可作差构造函数，求导，利用导数分析其单调性；3、利用定积分的几何意义得到要证明的不等式间关系，再利用求导与定积分运算得出最后结果.。
【数学】重庆市重庆八中2013-2014学年高二下学期期中考试(文)
（2）命题“0,sin 0x x ∃>=”的否定为（A ）0,sin 0x x ∃>≠ （B ）0,sin 0x x ∀≤≠ （C ）0,sin 0x x ∃≤≠（D ）0,sin 0x x ∀>≠（3）若函数x x f ln )(=，则)1('f 等于（A ）2（B ）e（C ）1（D ）0（4）函数3x y =在)1,1(处的切线与y 轴交点的纵坐标为（A ）0（B ）32 （C ）2- （D ）2（5）设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的离心率45=e ，则该双曲线的渐近线方程为（A ）430x y ±= （B ）340x y ±= （C ）530x y ±=（D ）350x y ±=（6）设直线y 与圆()22:24C x y -+=交于,A B 两点，则弦长AB =（A（B）（C ）1 （D ）2（7）已知实数,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≥-4020x y x y x ，则y x z +=2的最大值为（A ）14 （B ）12（C ）6（D ）3（8）已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是 （A ）73 （B ）79 （C ）103 （D ）108（9）已知13)(23+-+=mx x x x f 在]2,2[-为单调增函数，则实数m 的取值范围为（A ）3-≤m（B ）0≤m（C ）24-≥m（D ）1-≥m（10）已知21,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点，点2F 关于渐近线的对称点恰落在以1F 为圆心，||1OF 为半径的圆上，则双曲线的离心率为 （A ）2（B ）4（C ）2（D ）6二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应的位置上. （11）命题“若p 则q ”的逆命题是 .（12）设)0,1(),0,1(B A -是平面两定点，点P 满足6||||=+PB PA ，则P 点的轨迹方程是 .（13）函数x e x f x -=)(在]1,1[-上的最小值是 .（14）过抛物线x y 42=的焦点作一条直线交抛物线于B A ,两点，若线段AB 的中点M 的横坐标为2，则||AB 等于 .（15）若函数)0(23)(23>+-=a x a x x f 有三个零点，则正数a 的范围是 . 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）已知函数)(193)(23R x x x x x f ∈+--=． （Ⅰ）求函数)(x f 在点))0(,0(f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数)(x f 的单调区间．俯视图侧（左）视图正（主）视图32554（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）如图所示，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱⊥PA 底面ABCD ，且2=PA ，Q 是PA 的中点．（Ⅰ）证明：//PC 平面BDQ ； （Ⅱ）求三棱锥BAD Q -的体积．（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）已知抛物线)0(2:2>=p px y C 过点)2,1(-P ． （Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其准线方程；（Ⅱ）过焦点F 且斜率为2的直线l 与抛物线交于B A ,两点，求OAB ∆的面积．（19）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交3元的管理费，预计当每件产品的售价为x 元(117≤≤x )时，一年的销售量为2)12(x -万件． （Ⅰ）求该分公司一年的利润L (万元)与每件产品的售价x 的函数关系式；（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，该分公司一年的利润L 最大？并求出L 的最大值．（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）已知函数)(ln 212)(R a x a xa x x f ∈---=． （Ⅰ）若函数)(x f 在2=x 时取得极值，求实数a 的值；（Ⅱ）若0)(≥x f 对任意),1[+∞∈x 恒成立，求实数a 的取值范围．（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）已知,A B 为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>上两动点，12,F F 分别为其左右焦点，直线AB 过点()2,0F c ，且不垂直于x 轴，1ABF ∆的周长为8，且椭圆的短轴长为32．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知点P 为椭圆C 的左端点，连接PA 并延长交直线4:=x l 于点M ．求证：直线BM 过定点．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分） 解：（I ）由题意1)0(,9)0(',963)('2=-==--=f f k x x x f所以函数在点))0(,0(f 处的切线方程为x y 91-=-，即019=-+y x 6分 （II ）令0963)('2>--=x x x f ，解得31>-<x x 或 令0963)('2<--=x x x f ，解得31<<-x故：函数)(x f 的单调增区间为),3(),1,(+∞--∞，单调减区间为)3,1(- 13分（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分） 解：（I ）证明：连结AC ,交BD 于O因为底面ABCD 为正方形, 所以O 为AC 的中点.又因为Q 是PA 的中点, 所以PC OQ //,因为⊂OQ 平面BDQ ,⊄PC 平面BDQ , 所以//PC 平面BDQ 6分 （II ）32123131=⨯⨯=⨯⨯=∆-QA S V BAD BAD Q ． 13分（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分） 解：（Ⅰ）由题意：p 24=，解得：2=p ，从而抛物线的方程为x y 42=，准线方程为1-=x 5分 （Ⅱ）抛物线焦点坐标为)0,1(F ，依题意可设直线22-=x y 6分 设点()()1122,,,A x y B x y 联立⎩⎨⎧=-=xy x y 4222得：041242=+-x x ，即0132=+-x x 8分设点()()1122,,,A x y B x y ，则由韦达定理有：1,32121==+x x x x 9分则弦长54954)(5||5||2122121=-⋅=-+⋅=-=x x x x x x AB 11分而原点)0,0(O 到直线l 的距离552=d 12分 故5||21=⨯⨯=∆d AB S FAB 13分（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分） 解：（Ⅰ）x a x a x f 2121)('2--+=，依题意有：0)2('=f ，即04121=--+a a ， 解得：23=a 检验：当23=a 时， 2222)2)(1(23321)('xx x x x x x x x f --=+-=-+= 此时：函数)(x f 在)2,1(上单调递减，在),2(+∞上单调递增，满足在2=x 时取得极值综上：23=a 5分（Ⅱ）依题意有：0)(min ≥x f 6分2222)1))(12(()12(22121)('x x a x x a ax x x a x a x f ---=-+-=--+=令0)('=x f 得：1,1221=-=x a x 8分 ①当112≤-a 即1≤a 时，函数0)('≥x f 在),1[+∞恒成立，则)(x f 在),1[+∞单调递增，于是022)1()(min ≥-==a f x f ，解得：1≤a ，此时：1≤a 10分 ②当112>-a 即1>a 时，函数)(x f 在]12,1[-a 单调递减，在),12[+∞-a 单调递增，于是022)1()12()(min <-=<-=a f a f x f ，不合题意，此时：Φ∈a 12分 综上所述：实数a 的取值范围是1≤a说明：本题采用参数分离法或者先用必要条件0)1(≥f 缩小参数范围也可以（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）解：（Ⅰ）依题意有： ⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==3232284b a b a ，则椭圆C 的方程为22143x y += 4分 （Ⅱ）由椭圆方程可知()()22,0,1,0P F -，点()()1122,,,A x y B x y设直线1:2PA x m y =-，由1222143x m y x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()221134120m y m y +-=，从而11211234m y m =+，211112168234m x m y m -=-=+，即点21122116812,3434m m A m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭同理设直线2:2PB x m y =-，可得22222226812,3434m m B m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭7分 由2,,A F B 三点共线可得22AF BF k k =，即121211y y x x =--，代入,A B 两点坐标化简可得()()12121222124044m m m m m m m m =⇒-+=--1240m m ⇒+= 9分 直线:4l x =，可得点164,M m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即234,2M m ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 从而直线BM 的方程为()22222222212334234682434m m m y x m m m ++=----+ 化简得()2233442y m x m =---，即()2324y m x =--，从而直线BM 过定点()2,0． 12分。
重庆市2024届高三下学期强化考试(四)数学试题含答案
重庆市高2024届高三下学期强化考试（四）数学试题（答案在最后）一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.集合11,,,3663n n M x x n Z N x x n Z ⎧⎫⎧⎫==+∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，则下列关系正确的是（）A.M N ⊆B.M N ⋂=∅C.N M ⊆D.M N Z⋃=【答案】C 【解析】【分析】将两个集合化简后比较分子的关系可得两个集合的关系.【详解】221,,,66n n M x x n N x x n ++⎧⎫⎧⎫==∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Z Z ，2n +表示整数，21n +表示奇数，故N M ⊆，故A 错误，B 错误，C 正确，而M N ⋃中的元素有分数，故D 错误.故选：C ．2.已知函数2()lg(45)f x x x =--在(,)a +∞上单调递增，则a 的取值范围是（）A.(2,)+∞ B.[2,)+∞ C.(5,)+∞ D.[5,)+∞【答案】D 【解析】【分析】首先求出op 的定义域，然后求出2()lg(45)f x x x =--的单调递增区间即可.【详解】由2450x x -->得5x >或1x <-所以op 的定义域为(),1(5,)-∞-⋃+∞因为245y x x =--在(5,)+∞上单调递增所以2()lg(45)f x x x =--在(5,)+∞上单调递增所以5a ≥故选：D【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域.3.假设,A B 是两个事件，且()()0,0P A P B >>，则下列结论一定成立的是（）A.()()P AB P BA ≤∣B.()()()P AB P A P B =C.()()P BA P AB =∣∣D.()()P B P BA =∣【答案】A 【解析】【分析】利用条件概率的概率公式以及相互独立事件的概率公式，对选项逐一分析判断即可.【详解】对于A 选项，由()()()P AB P B A P A =，()01P A <≤，可知()()P AB P B A ≤，故A 正确；对于B 选项，()()()P AB P A P B =成立的条件为,A B 是两个独立事件，故B 错误；对于C 选项，由()()()P AB P B A P A =，()()()P AB P A B P B =，故当()()P A P B =时才有()()P B A P A B =，故C 错误；对于D 选项，若要()()()()P AB P B P B A P A ==成立，需要()()()P AB P A P B =，即()()P B P BA =∣成立的条件为,AB 是两个独立事件，故D 错误.故选：A ．4.已知非零向量,,a b c 满足0a b c ++= ，且1,a b == ，若a 与b 的夹角为75，则a 与c 的夹角为（）A.60oB.120C.135D.150【答案】C 【解析】【分析】首先求出2c +=，进一步求得12a c +⋅=- ，结合向量夹角公式即可求解.【详解】由题意abc +=-，所以c c =-==2=，注意到a c b +=-，两边平方得21222a c ⎛+++⋅=⎪⎝⎭，解得811422a c +-+⋅==-，a 与c的夹角的余弦值为12cos ,22a c a c a c+-⋅===-⋅ ，注意到[],0,πa c ∈ ，所以,135a c =.故选：C.5.用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由()()11a b +⋅+的展开式1a b ab +++表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球，而“ab ”表示把红球和蓝球都取出来，以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从3个无区别的红球、3个无区别的蓝球、2个有区别的黑球中取出若干个球，且所有蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（）A.()()()2233111a a a b c +++++B.()()()2323111ab bb c +++++C.()()()3232111a b b bc +++++D.()()()332111ab c c ++++【答案】A 【解析】【分析】分三步处理问题，分别表示出取红球、篮球、黑球的表达式，相乘即可求得.【详解】第一步，从3个无区别的红球中取出若干球，则有231a a a +++；第二步，从3个无区别的蓝球中都取出或都不取出，要满足题意，只有31b +；第三步，从2个有区别的黑球中取出若干个，则有()()()2111c c c ++=+.根据分步计数原理，则要满足题意的取法有：()()()2233111a a a b c +++++.故选：A.6.设12log 11a =，13log 12b =，0.12log 0.11c =，则（）A.<<c a bB.<<b c aC.b a c<< D.a b c<<【答案】D 【解析】【分析】由对数函数性质知01a <<，0b a <<，1c >，然后由基本不等式证明2lg11lg13(lg12)<，再用作差法比较,a b 大小后可得．【详解】由对数函数性质知121212log 1log 11log 12<<，即01a <<，同理01b <<，又0.120.12log 0.11log 0.12>，即1c >，2222lg11lg13lg143lg144lg11lg13()(()lg 12222+<=<=，所以()2lg11lg13lg12lg11lg120lg12lg13lg12lg13a b --=-=<，即a b <，综上a b c <<，故选：D ．7.圆台上、下底面半径分别为,r R ，作平行于底面的平面α将圆台分成上下两个体积相等的圆台，截面圆的半径为（）.A.2B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】设截面半径为x ，上，下圆台的高分别为1h ，2h ，上，下圆台的体积分别为12,V V ，则12h x r h R x-=-，而21V V =，利用圆台体积公式建立方程，化简求解即可得到答案．【详解】设截面半径为x ，上、下圆台的高分别为1h ，2h ，上，下圆台的体积分别为12,V V ，则12h x r h R x-=-，又21V V =，则()()22222111ππππππ33R x Rx h x r rx h ++=++，于是221222h R x Rx x rx r xr h R x++-==++-，则3333R x x r -=-，得3332x R r =+，故x =故选：B ．8.设直线:10l x y +-=，一束光线从原点O 出发沿射线()0y kx x =≥向直线l 射出，经l 反射后与x 轴交于点M ，再次经x 轴反射后与y 轴交于点N .若6MN =，则k 的值为（）A.32B.23C.12D.13【答案】B 【解析】【分析】根据光学的性质，根据对称性可先求O 关于直线l 的对称点A ，后求直线AP ，可得M 、N 两点坐标，进而由6MN =可得k .【详解】如图，设点O 关于直线l 的对称点为()11,A x y ，则()1111102211x y y x ⎧+-=⎪⎪⎨⎪⨯-=-⎪⎩得1111x y =⎧⎨=⎩，即()1,1A ，由题意知()0y kx x =≥与直线l 不平行，故1k ≠-，由10y kx x y =⎧⎨+-=⎩，得111x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，即1,11k P k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，故直线AP 的斜率为111111AP k k kk k -++==-，直线AP 的直线方程为：()111y x k-=-，令0y =得1x k =-，故()1,0M k -，令0x =得11y k =-，故由对称性可得10,1N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由6MN =得22113(1)136k k ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，即21113236k k k k ⎛⎫⎛⎫+-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1136k k +=，得23k =或32k =，若32k =，则第二次反射后光线不会与y 轴相交，故不符合条件．故23k =，故选：B.二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{}n a 是公比为q 的无穷等比数列，下列关于{}n a 的选项中，一定能成为该数列“基本量”的是（）（注：其中n 为大于1的整数，n S 为{}n a 的前n项和．）A.1S 与2SB.2a 与3SC.1a 与n aD.q 与na 【答案】AD 【解析】【分析】对于A ：根据1S 与2S 可知21a q a =为唯一定值；对于B ：根据题意可得232110S q q a ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，结合一元二次方程分析判断；对于CD ：结合等比数列的通项公式分析判断.【详解】对于选项A ：已知1S 与2S ，则11221a S a S S =⎧⎨=-⎩，可知21a q a =为唯一定值，即1S 与2S 为基本量，故A 正确；对于选项B ：已知2a 与3S ，则()212311a a qS a q q =⎧⎪⎨=++⎪⎩，整理得232110S q q a ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，令232140S a ⎛⎫∆=--= ⎪⎝⎭，解得321S a =-或323S a =，当且仅当321S a =-或323Sa =，关于q 的方程232110S q q a ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭有唯一解，可知2a 与3S 不为基本量，故B 错误；对于选项C ：已知1a 与n a ：因为11n n a a q-=，虽然已知1a ，也不能确定唯一的q 值，例如131,4==a a ，可知2q =±，所以1a 与n a 不为基本量，故C 错误；对于选项D ：已知q 与n a ：则11n n a a q -=，则1a 唯一确定，所以q 与n a 为基本量，故D 正确；故选：AD.10.如图，角α，()0πβαβ<<<的始边与x 轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点．N 为 AB 的中点，则下列说法中正确的是（）A.N 点的坐标为cos ,sin 22βαβα--⎛⎫⎪⎝⎭B.cos 2OM βα-=C.()1cos cos coscos 222βααβαβ+-+=D.若αβ+的终边与单位圆交于点C ，分别过A ，B ，C 作x 轴的垂线，垂足为R ，S ，T ，则CT AR BS <+【答案】BCD 【解析】【分析】利用三角函数定义可求得N 点的坐标为cos,sin 22αβαβ++⎛⎫⎪⎝⎭，可知A 错误；易知||||coscos 22OM OA βαβα--==，B 正确；求得M 点横坐标cos cos 22M x βααβ-+=，再利用中点坐标公式可得C 正确；分别表示出各线段长度利用三角恒等变换和三角函数值域可得D 正确.【详解】由N 为 AB 的中点，则122AON BON AOB βα-∠=∠=∠=，可得22xON βααβα-+∠=+=，由三角函数定义可得N 点的坐标为cos,sin 22αβαβ++⎛⎫⎪⎝⎭，故A 错误；由OM AB ⊥，可得||||cos cos 22OM OA βαβα--==，故B 正确；易知cos coscos 22M x OM xOM βααβ-+=∠=，又因为(cos ,sin )A αα，(cos ,sin )B ββ，M 为线段AB 的中点，则cos cos sin sin ,22M αβαβ++⎛⎫⎪⎝⎭，所以1(cos cos )cos cos cos cos 22222βααβαβαβαβ-++-+==，故C 正确；由0παβ<<<易知线段sin AR α=，sin BS β=，则sin sin cos cos sin 1sin 1sin s (in sin )CT αβαβαβαβαβ=+=+<⨯+⨯=+，所以CT AR BS <+，故D 正确，故选：BCD ．11.P 为椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>上一点，12,F F 为Γ的左、右焦点，延长1PF ，2PF 交Γ于A ，B 两点、在12PF F 中，记12PF F α=∠，21PF F β=∠，若()sin sin αβαβ+=+，则下列说法中正确的是（）A.12PF F 面积的最大值为2bB.Γ的离心率为12C.若12PF F 与12AF F △的内切圆半径之比为3：1，则PA l 的斜率为1±D.1212||||6||||PF PF F A F B +=【答案】ACD 【解析】【分析】在12PF F 中由正弦定理结合条件可得出e 的值，由面积公式可判断面积的最值，设:PA l x my c =-与椭圆方程联立得出韦达定理，利用等面积法结合韦达定理可判断选项C ，作椭圆的左准线，D ，E ，G 分别为P ，A ，1F 在左准线上的投影，设111PF F Aλ=，222PF F Bλ=，利用椭圆的第二定义可判断选项D.【详解】如图，在12PF F中，由正弦定理，2112sin sin sin()PF PF F F αβπαβ==--，则1212sin sin sin()PF PF F F αβαβ+=++，即22sin sin sin()a cαβαβ=++，所以sin()2sin sin 2c e a αβαβ+===+，由)222222b ac c c =-=-=所以b c =，则12212||2PF F P S c y b b c ≤=⋅⋅=△，则12PF F S 最大值为2b ，故A 正确，B 错误；由题意可得，PA l 的斜率不为0，设:PA l x my c =-，联立方程222222,0,x my c b x a y a b =-⎧⎨+-=⎩得222222222()20b m a y mcb y b c a b +-+-=，0∆>恒成立，22222A P mcb y y b m a +=+，4222A P b y y b m a-=+，设12PF F 与12AF F △的内切圆半径分别为1r ，2r ，因为121112||(22)22PF F p S c y a c r ==+△，122112(22)22AF F A S c y a c r ==+ ，所以123P P A A r y y r y y ==-=，即3p A y y =-，222222A p A mcb y y y b m a +=-=+，2222A mcb y b m a =-+，22223p mcb y b m a =+，所以()422422222223A p b m c b y y b m a b m a -==-++，即2222231m c b m a =+，222222132a a m c b c===-，所以1PA k =±，C 正确；作椭圆的左准线，D ，E ，G 分别为P ，A ，1F 在左准线上的投影，设111PF F A λ=，222PF F B λ=，11PF AF c e a PD AE ===，所以1PF PD e =，111AF PF AE e eλ==，则21111121111111PF a c PF PD GF PD GF PF a ec e c PF PF F A GF EA a a ec c c e λλλ⎛⎫-- ⎪--+⎝⎭====-⎛⎫---- ⎪⎝⎭∣∣-∣∣∣∣，得1121PF a ec λ=--，同理可得2221PF λ=--，所以2121222()42()2(1)2261PF PF a a ec e a ec a ec a ec eλλ++++=-=-===----，故D 正确，故选：ACD ．三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若曲线()2ln2f x mx x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数m 的取值范围是____.【答案】(),0-∞【解析】【分析】求导后，将问题转换为函数方程有解问题、参变分离即可得解.【详解】()()2122,02f x mx mx x x x'=+=+>，由题意曲线()2ln2f x mx x =+存在垂直于y 轴的切线，所以120mx x +=在()0,∞+上有解，即212m x=-在()0,∞+上有解，而212y x =-在()0,∞+上的值域为(),0-∞，则实数m 的取值范围是(),0-∞.故答案为：(),0-∞.13.已知复数12,z z满足12123,2z z z z ==+=-，则12z z -=______.【答案】【解析】【分析】可以采用向量方法求解，原问题等价于：已知3a b == ，(2,a b += ，求a b - .【详解】原题等价于3a b == ，(2,a b += ，求a b - .222222292936a b a b a b ++-=+=⨯+⨯= ，2||459a b +=+= ，2||36927a b ∴-=-= ，a b ∴-= .故答案为：14.已知二面角l αβ--为60º，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，135ACD ︒∠=，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为______________.【答案】4【解析】【分析】首先作出二面角的平面角,然后再构造出异面直线AB 与CD 所成的角,利用解直角三角形,可求出问题的答案.【详解】如图所示:过D 作DE α⊥于E ,DF l ⊥于F ,再过E 作l 的平行线与过C 作l 的垂线交于G ,连接,EF DG ,则DFE ∠为二面角l αβ--的平面角,易知四边形EFCG 为矩形.由AB l ⊥知////AB EF CG ,所以DCG ∠为AB 与CD 所成的角,设1EF =,因为DFE ∠60= ,则2,1DF CG ==,又由条件知18013545DCF ∠=-= ,且DF l ⊥,所以在Rt △DCF 中,DC =,所以在Rt △DCG 中,2cos4CG DCG DC ∠===.故答案为:4.【点睛】本题主要考查异面直线所成角,二面角,直线与平面间的垂直关系,属于中档题.四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()22cos 2cos 3,A C B b ac -+==.求B 与A .【答案】ππ,33B A ==【解析】【分析】由三角恒等变换以及正弦定理得sin 2B =，对B 分类讨论即可得解.【详解】()()()2cos 2cos 2cos 2cos πA C B A C B -+=---()()2cos 2cos A C A C =--+()()2cos cos sin sin 2cos cos sin sin A C A C A C A C =+--4sin sin 3A C ==，因为2b ac =，所以23sin sin sin 4B A C ==，因为()0,πB ∈，sin 0B >，所以sin 2B =，所以π3B =或2π3B =，当π3B =时，()12cos 232A C -+⨯=，即()cos 1A C -=，因为2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2π2π2π2π2,3333A C A A A ⎛⎫⎛⎫-=--=-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以0A C -=，所以此时π3B A C ===；当2π3B =时，()12cos 232A C ⎛⎫-+⨯-= ⎪⎝⎭，即()cos 21A C -=>，这与()cos 1A C -≤矛盾，故2π3B =是不可能的，综上所述，满足题意的,B A 为ππ,33B A ==.16.一个盒子中装着标有数字1,2,3,4,5的卡片各2张，从中任意抽取3张，每张卡片被取出的可能性相等，用X 表示取出的3张卡片中的最大数字.（1）求一次取出的3张卡片中的数字之和不大于5的概率;（2）求随机变量X 的分布列和数学期望.【答案】（1）130（2）133【解析】【分析】（1）由古典概型概率计算公式求解即可；（2）X 的所有可能取值为2,3,4,5，算出对应的概率即可得分布列，进一步结合数学期望公式求解期望即可.【小问1详解】记抽取的3张卡片标有的数字为{}123,,A a a a =，随机变量Y 表示一次取出的3张卡片中的数字之和，则31i i Y a ==∑，令5Y ≤，结合题设，当{}1,1,2A =时，Y 最小，且此时4Y =，当{}1,2,2A =时，Y 最大，且此时5Y =，所求概率为21122222310C C C C 221C 12030P ++===；【小问2详解】由题意记{}123max ,,X a a a =，则X 的所有可能取值为2,3,4,5，当2X =时，对应的A 可能是：{}1,1,2，{}1,2,2，当3X =时，对应的A 可能是：{}1,2,3，{}1,1,3，{}2,2,3，{}1,3,3，{}2,3,3当4X =时，对应的A 可能是：{}1,1,4，{}2,2,4，{}3,3,4，{}1,4,4，{}2,4,4，{}3,4,4，{}1,2,4,{}1,3,4,{}2,3,4，当5X =时，对应的A 可能是：{}1,1,5，{}2,2,5，{}3,3,5，{}4,4,5，{}1,5,5，{}2,5,5，{}3,5,5，{}4,5,5,{}1,2,5,{}1,3,5，{}1,4,5，{}2,3,5，{}2,4,5，{}3,4,5，所有()21223102C C 412C 12030P X ====，()1111222222310C C C 4C C 8823C 12015P X ++====，()11112222223103C C C 6C C 241234C 12010P X ++====，()11112222223106C C C 8C C 481685C 12015P X ++====，所以随机变量X 的分布列为：X k=2345()P X k =130215310815所以随机变量X 的数学期望为()1238132345301510153E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.17.如图，在三棱锥P ABC -中，2,,,,PB PC BC AB AB BC BP APBC ====⊥的中点分别为,,,2D E O AD =，点F 在AC 上，BF AO ⊥.（1）证明://EF 平面ADO ；（2）证明:AO ⊥平面BEF ；（3）求二面角D AO C --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）22-【解析】【分析】（1）根据给定条件，证明四边形ODEF 为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.（2）由（1）的信息，结合勾股定理的逆定理及线面垂直的判定推理作答.（3）求出平面ADO 与平面ACO 的法向量，由二面角的向量公式求解即可.【小问1详解】连接,DE OF ，设AF tAC =，则()(1)BF BA AF BA t AB BC t BA tBC =+=++=-+ ，12AO BA BC =-+ ，因为BF AO ⊥，AB BC ⊥，则2211[(1)]()(1)4(1)4022BF AO t BA tBC BA BC t BA tBC t t ⋅=-+⋅-+=-+=-+= ，解得12t =，则F 为AC 的中点，由,,,D E O F 分别为,,,PB PA BC AC 的中点，于是11//,,//,22DE AB DE AB OF AB OF AB ==，即,//DE OF DE OF =，则四边形ODEF 为平行四边形，所以//EF DO ，又EF ⊄平面,ADO DO ⊂平面ADO ，所以//EF 平面ADO ；【小问2详解】因为,D O 分别为,BP BC 中点，所以1//,2DO PC DO PC =，因为PC =62DO =，因为12BO BC ==2AB =，AB BO ⊥，所以AO =，因为2AD =，所以222AO OD AD +=，即AO OD ⊥，因为//DO EF ，所以AO EF ⊥，又因为,,,AO BF EF BF F EF BF ⊥⋂=⊂平面BEF ，所以AO ⊥平面BEF ；【小问3详解】因为AB BC ⊥，过点B 作z 轴⊥平面BAC ，建立如图所示的空间直角坐标系，()()()()2,0,0,,0,0,0,0,2,0,0,2,0A B C O ，在BDA △中，222315422cos 266222DB AB DA PBA DB AB +-+-∠===⋅⨯⨯，在PBA △中，2222cos 6462146PA PB AB PB AB PBA ⎛=+-⋅∠=+-⨯⨯-= ⎝，设(),,P x y z ，所以由1466PA PB PC ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩可得：()(222222222214626x y z x y z x y z ⎧-++=⎪⎪++=⎨⎪+-+=⎪⎩，可得：1,2,3x y z =-==(2,3P -，则123,,222D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以123,,222E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()2,0F ，()5232,0,,,222AO AD ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭ 设平面ADO 的法向量为1 =,1,1，则1100n AO n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得111112205230222x x y z ⎧-=⎪⎨-++=⎪⎩，令11x =，则112,3y z ==，所以(12,3n = ，平面ACO 的法向量为()30,0,1n = ，所以13131332cos ,2123n n n n n n ⋅===++⋅ ，因为D AO C --为钝角，故二面角D AO C --的余弦值为22-.18.设函数()()()11,1xf x c cx c =+-+>-且0c ≠，设*,N ∈m n .（1）证明:函数()f x 在区间0,1上存在唯一的极小值点；（2）证明:()11mc cm +≥+；（3）已知6n ≥且11132n n ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭，证明:()()34523n n n n n n n +++++<+ .【答案】（1）证明过程见解析（2）证明过程见解析（3）证明过程见解析【解析】【分析】（1）注意到总是有()()()l 1n 1x f x c c c =++'-在()0,1上单调递增，故只需证明()()()()()0ln 10,11ln 10f c c f c c c ''=+-<=++->（对c 进行分类讨论）即可；（2）由（1）中结论证明()f x 在[)1,+∞上单调递增即可，从而由()()10f m f ≥=即可得证；（3）原问题等价于3421333n n n n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，只需得到101133kk n n ⎛⎫<-≤- ⎪++⎝⎭，然后结合已知进行放缩即可得证.【小问1详解】()()()l 1n 1xf x c c c =++'-，当10c -<<时，011c <+<，()ln 10c +<，所以()f x '在()0,1上单调递增，要证函数()f x 在区间()0,1上存在唯一的极小值点，只需证明()()()()()0ln 10,11ln 10f c c f c c c ''=+-<=++->，我们构造函数()()()()()()ln 1,1ln 1,10g c c c h c c c c c =+-=++--<<，()()110,1011c g c c c c-'=-=>-<<++，()()()()ln 111ln 10,10h c c c c '=++-=+<-<<，所以()g c 在()1,0-上单调递增，()h c 在()1,0-上单调递减，所以()()00g c g <=，()()00h c h >=，所以当10c -<<时，()f x '在()0,1上单调递增，()()()()()0ln 10,11ln 10f c c f c c c ''=+-<=++->，所以存在唯一的()00,1x ∈使得()00f x '=，当()00,x x ∈时，()0f x '<，当()0,1x x ∈时，()0f x '>，此时()f x 在()00,x 上单调递减，()f x 在()0,1x 上单调递增，()f x 在()0,1上存在唯一极小值点0x ；当0c >时，11c +>，()ln 10c +>，所以()()()l 1n 1xf x c c c =++'-在()0,1上依然单调递增，要证函数()f x 在区间()0,1上存在唯一的极小值点，只需证明()()()()()0ln 10,11ln 10f c c f c c c ''=+-<=++->，我们构造函数()()()()()()ln 1,1ln 1,0g c c c h c c c c c =+-=++->，()()110,011c g c c c c-'=-=<>++，()()()()ln 111ln 10,0h c c c c '=++-=+>>，所以()g c 在()0,∞+上单调递减，()h c 在()0,∞+上单调递增，所以()()00g c g <=，()()00h c h >=，所以当0c >时，()f x '在()0,1上单调递增，()()()()()0ln 10,11ln 10f c c f c c c ''=+-<=++->，所以存在唯一的()00,1x ∈使得()00f x '=，当()00,x x ∈时，()0f x '<，当()0,1x x ∈时，()0f x '>，此时()f x 在()00,x 上单调递减，()f x 在()0,1x 上单调递增，()f x 在()0,1上存在唯一极小值点0x ；根据上述分析可知，同理可证此时()f x 在()0,1上存在唯一极小值点0x ；综上所述，函数()f x 在区间()0,1上存在唯一的极小值点；【小问2详解】由（1）中分析可知，()()()l 1n 1xf x c c c =++'-在()0,1上单调递增，所以当1x ≥时，()()()()11ln 10f x f c c c ''≥=++->，所以()f x 在[)1,+∞上单调递增，注意到*N m ∈，所以()()()()0111mf c c m f m =-++≥=，即()11m c cm +≥+，*N m ∈成立；【小问3详解】目标等价于3421333n n n n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当6,n m k n ≥=≤时，在（2）中取()11,03c n =-∈-+，所以101133kk n n ⎛⎫<-≤- ⎪++⎝⎭，于是()111111,1,2,,3332n k n k n k k k n n n n ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≤-=-<=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ，12121111111113332222n n n n nn n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-<+++=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以3421333n n n n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()()34523n n n n n n n +++⋅⋅⋅++<+.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形；（2）构造新的函数()h x ；（3）利用导数研究()h x 的单调性或最值；（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．19.如图，在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的上下焦点分别为()10,F c ，()20,F c -.已知点(e和(都在双曲线上，其中e 为双曲线的离心率.（1）求双曲线的方程;（2）设,A B 是双曲线上位于y 轴右方的两点，且直线1AF 与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P .(i)若122AF BF -=，求直线1AF 的斜率；(ii)求证：12PF PF +是定值.【答案】（1）2212y x -=（2）(i)2；(ii)2【解析】【分析】（1）将点的坐标代入双曲线的方程求解即可；（2）（I ）构造平行四边形12F CF B ，求出112AF CF -=，然后利用弦长公式求直线1AF 的斜率即可；（II ）利用三角形相似和双曲线的性质，将12PF PF +转化为11211AF CF ++，然后结合韦达定理求解即可.【小问1详解】将点(和(e 代入双曲线方程得：22222251a ca ab ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，结合222c a b =+，化简得：222242a b a a ⎧=⎪-⎨⎪=⎩，解得222,1a b ==，双曲线的方程为2212y x -=．【小问2详解】(i)设()()1122,,,,A x y B x y B 关于原点对称点记为()33,C x y ，则3232,x x y y =-=-．因为112122122,F A CF BF y y y k k k x x x -++===，所以12CF BF k k =，又因为12//AF BF ，所以12F A BF k k =，即11F A CF k k =，故1,,A F C 三点共线．又因为BC 与12F F 互相平分，所以四边形12F CF B 为平行四边形，故12FC BF =，所以12112AF BF AF CF -=-=．由题意知，直线1AF 斜率一定存在，设1AF的直线方程为y kx =+，代入双曲线方程整理得：()22210kx -++=，故3131221,22x x x x k k +=-=--，直线1AF 与双曲线上支有两个交点，所以1231020,x x k =-><∆，解得k <．由弦长公式得)111313222AF CF x x k ⎫-=-=+=-=⎪⎪-⎭，则422740k k +-=，且由图可知0k >，即()()222140k k -+=，代入解得2k =．(ii)因为12//AF BF ，由相似三角形得1111222212PF AF BF AF BF PF BF AF AF BF ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，所以()()12211122121212AF BF BF AF AF BF BF AF PF PFAF BF AF BF ++++==++1211221111AF BF AF CF =+=+++．因为131113131111x x AF CF x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=+==⎪⎪⎪⎪⎭⎭．所以12522PF PF +=，故为定值．【点睛】关键点点睛：第二问(ii)的关键是将12PF PF +转化为11211AF CF ++，结合韦达定理即可顺利得解.。
重庆市巴蜀中学校2024届高三下学期高考适应性月考卷(八)数学试卷含答案解析
数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.集合{}2,1,1=+A a a ，{}2B a =，若B A ⊆，则实数=a （）A.1- B.0C.12D.12.已知()0,πα∈，310cos 10α=，则tan α=（）A .3B.13C.13-D.3-3.在等差数列{}n a 中，63a =，则58913+-=a a a （）A.2B.3C.4D.54.某班有5名男同学，4名女同学报名参加辩论赛，现从中选取4名同学组成一个辩论队，要求辩论队不能全是男同学也不能全是女同学，则满足要求的辩论队数量是（）A.120B.126C.210D.4205.已知椭圆22143x y C +=：的左，右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的点，若△F 1PF 2为直角三角形，则这样的点P 有A.8个B.6个C.4个D.2个6.已知ln 73=a ，ln 64=b ，ln55c =，ln 46=d ，则在b a -，c b -，-d c ，-d b ，-d a ，c a -这6个数中最小的是（）A.b a- B.c b- C.-d bD.c a-7.已知函数()22ln 1=-+f x ax x 的图象与x 轴无公共点，则实数a 的取值范围是（）A .1a <- B.21e a >C.1e>a D.1a >8.双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是1F ，2F ，P ，Q （P 在第一象限）是双曲线的一条渐近线与圆222x y a +=的两个交点，点M 满足10⋅= OM F P ，15=MP F M ，其中O 是坐标原点，则双曲线的离心率e =（）A.B.C.2D.3二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.随机变量X ，Y 分别服从正态分布和二项分布，即()2,1X N ，14,2Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，则（）A.()122P X ≤=B.()()E X E Y =C.()()D X Y D =D.()112P Y ==10.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，球1O 和球2O 的球心1O ，2O 都在线段1AC 上，球1O ，球2O 外切，且球1O ，球2O 都在正方体的内部（球可以与正方体的表面相切），记球1O 和球2O 的半径分别为1r ，2r ，则（）A.11AC B C⊥ B.当11r =时，2r 的最大值是1-C.12r r +的最大值是3 D.球1O 和球2O 的表面积之和的最大值是6π11.已知()22,,1=+-nn f x y n xy （1n ≥，n ∈Z ），定义方程(),,0=f x y n 表示的是平面直角坐标系中的“方圆系”曲线，记n S 表示“方圆系”曲线(),,0=f x y n 所围成的面积，则（）A.“方圆系”曲线(),,10=f x y 是单位圆B.24<SC.{}n S 是单调递减的数列D.“方圆系”曲线(),,20=f x y 上任意一点到原点的最大距离为142三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知()1i 24i z +=+，则复数z =________．13.已知函数()f x 的定义域是R ，3322f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()60f x f x +-=，当302x ≤≤时，()242=-f x x x ，则()2024f =________．14.已知锐角ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且1cos3A =，a =2b c +的取值范围是________．四、解答题（共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.如图，三棱锥-P ABC 中，90ACB ∠=︒，PA ⊥平面ABC ．（1）求证：平面PBC ⊥平面PAC ；（2）若AB =1BC =，2AP =，求二面角A PB C --的正弦值．16.函数()()2e1xf x xx =-+．（1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）令()()1e xg x x =-，过点()0,P m 可以作三条直线与曲线()y g x =相切，求实数m 的取值范围．17.甲、乙两名同学进行篮球投篮比赛，比赛规则如下：两人投篮的次数之和不超过5，投篮命中则自己得1分，该名同学继续投篮，若投篮未命中则对方得1分，换另外一名同学投篮，比赛结束时分数多的一方获胜，两人总投篮次数不足5但已经可以确定胜负时比赛就结束，两人总投篮次数达到5次时比赛也结束，已知甲、乙两名同学投篮命中的概率都是12，甲同学先投篮.（1）求甲同学一共投篮三次，且三次投篮连续的情况下获胜的概率；（2）求甲同学比赛获胜的概率．18.已知抛物线()2:20E y px p =>，O 是坐标原点，过()4,0的直线与E 相交于A ，B 两点，满足OA OB ⊥．（1）求抛物线E 的方程；（2）若()0,2P x 在抛物线E 上，过()4,2Q -的直线交抛物线E 于M ，N 两点，直线PM ，PN 的斜率都存在，分别记为1k ，2k ，求12k k ⋅的值．19.集合{}222,0,,,a b cA x x a b c a b c ==++≤<<∈N ，将集合A 中的元素按由小到大的顺序排列成数列{}n a ，即17a =，211a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ．（1）求3a ，4a ，5a ；（2）判断672，2024是否是{}n a 中的项；（3）求120a ，35S ．数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.集合{}2,1,1=+A a a ，{}2B a =，若B A ⊆，则实数=a （）A.1-B.0C.12D.1【答案】C 【解析】【分析】根据集合的包含关系，讨论2a a =或21a +或1，结合集合中元素的互异性，即可判断和选择.【详解】因为B A ⊆，故2∈a A ．①当2a a =时，0a =，则211a +=，与元素的互异性矛盾，故0a =不成立；②当221a a =+时，解得1a =，与元素的互异性矛盾，故1a =不成立；③当21a =时，即12a =，则15,,124A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{}1B =，故12a =成立，故12a =.故选：C ．2.已知()0,πα∈，310cos 10α=，则tan α=（）A.3B.13C.13-D.3-【答案】B 【解析】【分析】由同角的三角函数关系计算可得结果.【详解】因为()0,πα∈，cos 10α=，故sin 10α==，故sin 1tan cos 3ααα==，故选：B ．3.在等差数列{}n a 中，63a =，则58913+-=a a a （）A.2B.3C.4D.5【答案】D 【解析】【分析】根据等差数列的性质即可求解.【详解】因为63a =，令{}n a 的公差为d ，则()5896666115235333+-=-++-+==a a a a d a d a d a ，故选：D ．4.某班有5名男同学，4名女同学报名参加辩论赛，现从中选取4名同学组成一个辩论队，要求辩论队不能全是男同学也不能全是女同学，则满足要求的辩论队数量是（）A.120B.126C.210D.420【答案】A 【解析】【分析】先求出符合要求的辩论队总数，再排除不符合条件的情况即可.【详解】若总的辩论队数量是49C 126=，则全是男生的辩论队数量是45C 5=，全是女生的辩论队数量是44C 1=，故满足的辩论队数量是444954C C C 12651120--=--=，故选：A ．5.已知椭圆22143x y C +=：的左，右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的点，若△F 1PF 2为直角三角形，则这样的点P 有A .8个B.6个C.4个D.2个【答案】C 【解析】【分析】设(),P x y ，根据121212,,F PF F F P PF F ∠∠∠分别为直角分类计算即可.【详解】（1）若122F PF π∠=，则2221212PF PF F F +=，即221122422x x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，无解；（2）若122F F P π∠=，则31,2P ⎛⎫± ⎪⎝⎭；（3）若122PF F π∠=，则31,2⎛⎫-± ⎪⎝⎭P ；综上，共有4个点P 满足12F PF ∆为直角三角形，故选C.【点睛】（1）题设中没有指明哪一个角为直角，故需要分类讨论；（2）圆锥曲线中与焦点三角形有关的问题，常常利用几何性质来处理；（3）若椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，12,F F 为其左右焦点，(),P m n 为椭圆上的动点，则有焦半径公式：12,PF a em PF a em =+=-（左加右减），其中e 为椭圆的离心率.6.已知ln 73=a ，ln 64=b ，ln55c =，ln 46=d ，则在b a -，c b -，-d c ，-d b ，-d a ，c a -这6个数中最小的是（）A.b a - B.c b- C.-d bD.c a-【答案】C 【解析】【分析】分析题意得出d b =，进行下一步转化得出最小值是d b -即可.【详解】因为ln ln 3ln 7=⋅a ，ln ln 4ln 6=⋅b ，ln ln 5ln 5=⋅c ，ln ln 4ln 6=⋅d ，则d b =，故0d b -=，又0b a ->，0c b ->，0d c ->，0c a ->，0d a ->，故最小值是d b -，故选：C ．7.已知函数()22ln 1=-+f x ax x 的图象与x 轴无公共点，则实数a 的取值范围是（）A.1a <-B.21e a >C.1e>a D.1a >【答案】B 【解析】【分析】先合理讨论参数范围，后利用分离参数法求解即可.【详解】令2t x =，则()ln 1=-+g t at t ，当0a =时，()ln 1=-+g t t 与x 轴有公共点，故0a =时不成立；当a<0时，()()ee1e 110=-+=-+>aaa g a a a ，又()e e 0=<g a ，故()ln 1=-+g t at t 与x 轴有公共点，故a<0时不成立；当0a >时，()11g a =+，因为()ln 1=-+g t at t 与x 轴没有公共点，故()0,t ∈+∞时，ln 10-+>at t 恒成立，即ln 1->t a t恒成立，令()ln 1t h t t -=，()22ln t h t t-'=，()20,e t ∈时，()0h t '>()2e ,t ∈+∞时，()0h t '<，故()h t 在()20,e 上单调递增，在()2e ,+∞上单调递减，故()()221e e h t h ≤=，故21e a >，故选：B ．8.双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是1F ，2F ，P ，Q （P 在第一象限）是双曲线的一条渐近线与圆222x y a +=的两个交点，点M 满足10⋅= OM F P ，15=MP F M ，其中O 是坐标原点，则双曲线的离心率e =（）A.B.C.2D.3【答案】D 【解析】【分析】由题意，点1(,0)F c -到渐近线的距离为b ，则1OQ F Q ⊥，根据相似三角形的性质和勾股定理可得228b a =，结合222c a b =+与离心率的概念即可求解.【详解】点1(,0)F c -到渐近线by x a=的距离为d b ==，因为OQ a =，1OF c =，又222c a b =+，P ，Q 在渐近线上，故1OQ F Q ⊥，1FQ b =，又1⊥OM F P ，且15=MP F M ，设MP t =，则16F P t =，1Rt Rt △∽△PMO PQF ，故1MP OP PQPF =，则26=t aa t，故2262=t a ，又在1Rt PQF 中：22211PF QF PQ =+，即222236124==+t a a b ，解得228b a =，所以22229c a b a =+=，所以2229c e a==，解得3e =，故选：D．【点睛】关键点点睛：利用点到直线的距离公式证明焦点到渐近线的距离为b ，进而证明1OQ F Q ⊥，是解决本题的关键.二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.随机变量X ，Y 分别服从正态分布和二项分布，即()2,1X N ，14,2Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，则（）A.()122P X ≤= B.()()E X E Y = C.()()D X Y D = D.()112P Y ==【答案】ABC 【解析】【分析】A 选项，根据正态分布对称性得到A 正确；BC 选项，根据正态分布和二项分布求期望和方差公式求出答案；D 选项，利用二项分布求概率公式进行求解.【详解】A 选项，根据正态分布的定义得()12P X μ≤=，故A 正确；B 选项，()2E X μ==，()1422E Y =⨯=，故()()E X E Y =，故B 正确；C 选项，()21D X σ==，()114122D Y =⨯⨯=，故()()D X D Y =，故C 正确；D 选项，()3141111C ×1224P Y ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭，故D 错误.故选：ABC ．10.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，球1O 和球2O 的球心1O ，2O 都在线段1AC 上，球1O ，球2O 外切，且球1O ，球2O 都在正方体的内部（球可以与正方体的表面相切），记球1O 和球2O 的半径分别为1r ，2r ，则（）A.11AC B C⊥ B.当11r =时，2r 的最大值是1-C.12r r +的最大值是3D.球1O 和球2O 的表面积之和的最大值是6π【答案】AC 【解析】【分析】结合正方体性质可证得1B C ⊥平面1ABC ，知A 正确；易知当球2O 与正方体的三个面相切时，2r 最大，作出截面11ACC A ，利用1AC 构造等量关系可求得B 正确；当球1O ，2O 均与正方体的三个面相切时，12r r +最大，作出截面11ACC A ，利用1AC 构造等量关系可求得C 正确；结合BC 结论，可知1r 的范围，进而将表面积表示为关于1r 的二次函数的形式，结合二次函数性质可得D 错误.【详解】对于A ，连接1BC ，四边形11BCC B 为正方形，11B C BC ⊥∴；AB ⊥Q 平面11BCC B ，1B C ⊂平面11BCC B ，1AB B C ∴⊥；1AB BC B =Q I ，1,AB BC ⊂平面1ABC ，1B C ∴⊥平面1ABC ，1AC ⊂Q 平面1ABC ，11AC B C ∴⊥，A 正确；对于B ，当11r =时，球1O 至多与正方体的相邻三个面相切，则当球2O 与正方体的三个面相切时，2r 最大，作出截面11ACC A 如下图所示，22222AC =+= ，()2212223AC =+=，123sin 323C AC ∴∠==，22213sin r O A r C AC ∴==∠，12211223133AC O A r r O A r r ∴=+++=+++2312331r ∴==-+，即2r 最大值为23，B 错误；对于C ，对于任意的球1O ，当球2O 与正方体的三个面相切时，半径2r 最大，则当球1O ，球2O 均与正方体三个面相切时，12r r +最大，作出截面11ACC A 如下图所示，2221sin r O A CAC ==∠ ，111sin r O C AC A==∠，)()11121121AC O A O O O C r r ∴=++=+=，123r r ∴+==-，即12r r +的最大值为3，C 正确；对于D ，由选项BC 知：()12max 3r r +=-，()1max 1r =，()2max 1r =，121r ∴-≤≤，球1O ，球2O 的表面积之和为()22221212114π4π4π4π3S S r r r r +=+=+-(2118π36r r ⎡=-+-⎣，则当12r =-11r =时，12S S +取得最大值，最大值为(32π-，D 错误.故选：AC.11.已知()22,,1=+-nn f x y n xy （1n ≥，n ∈Z ），定义方程(),,0=f x y n 表示的是平面直角坐标系中的“方圆系”曲线，记n S 表示“方圆系”曲线(),,0=f x y n 所围成的面积，则（）A.“方圆系”曲线(),,10=f x y 是单位圆B.24<SC.{}n S 是单调递减的数列D.“方圆系”曲线(),,20=f x y 上任意一点到原点的最大距离为142【答案】ABD 【解析】【分析】选项A ：对应曲线是2210x y +-=从而可判断；选项B ：对应的曲线是4410+-=x y 从而可得出横纵坐标的范围，从而可判断；选项C ：(),,0f x y n =对应的曲线221+=n n x y ，(),,10f x y n -=()2n ≥对应的曲线22221--+=n n x y 从而可判断；选项D ：(),,20f x y =对应的曲线是4410+-=x y 再由三角换元2cos α=x ，2πsin 02y αα⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭可判断.【详解】对于A ，(),,10f x y =对应曲线是2210x y +-=表示单位圆，故A 正确；对于B ，(),,20f x y =对应的曲线是4410+-=x y ，故11x -≤≤，11y -≤≤，且1x =与1y =不能同时取等号，故24<S ，故选项B 正确；(),,0f x y n =对应的曲线221+=n n x y ，令n x x ='，ny y ='；因为曲线()()221x y ''+=，则1n x x ='，且1ny y ='.(),,10f x y n -=()2n ≥对应的曲线22221--+=n n x y .令1n xx -='，1n yy -='，因为曲线()()221x y ''+=，则11n x x -='，且11n y y -='.对于C ，又111n n x x -''≥，111n n y y -''≥且等号不能同时取得，故1n n S S ->，故{}n S 是单调递增的，故选项C 是错误的；对于D,(),,20f x y =对应的曲线是4410+-=x y ，假设曲线上任意一点()00,P x y .则44001+=x y ，令2cos α=x ，2πsin 02y αα⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，则22200sin cos d x y αα=+=+≤，故142d ≤=，故选项D 正确.故选:ABD ．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知()1i 24i z +=+，则复数z =________．【答案】3i +##i 3+【解析】【分析】根据给定条件，利用复数的除法运算计算得解.【详解】由()1i 24i z +=+，得()()()()24i 1i 24i 62i3i 1i 1i 1i 2z +-++====+++-.故答案为：3i+13.已知函数()f x 的定义域是R ，3322f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()60f x f x +-=，当302x ≤≤时，()242=-f x x x ，则()2024f =________．【答案】2【解析】【分析】根据已知关系式可推导求得()()6f x f x +=，利用周期性和对称性可得()()20241f f =，结合已知函数解析式可求得结果.【详解】由3322f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得：()()33322f x f x f x ⎡⎤⎛⎫=--=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，又()()60f x f x +-=，()()360f x f x ∴-+-=，()()()633f x f x f x ∴=---=-+⎡⎤⎣⎦，()()()63f x f x f x ∴+=-+=，()()()()20246337221422f f f f ∴=⨯+===-=.故答案为：2.14.已知锐角ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且1cos 3A =，a =2b c +的取值范围是________．【答案】(【解析】【分析】由正弦定理将边化成角后得到25sin b c C C +=+，再用辅助角公式得到()2b c C ϕ+=+，再结合正弦函数的单调性和角的范围求出结果即可.【详解】因为1cos 3A =，且π02A <<，故22sin 3A =，设三角形外接圆半径为R，由正弦定理得：23sin 223a R A ===，故()()()222sin sin 32sin sin 32sin cos 2cos sin sin b c R B C A C C A C A C C ⎡⎤+=+=++=++⎣⎦53cos sin 5sin 33C C C C ⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭．因为ABC 是锐角三角形，故π02C <<，且π2+>A C ，故cos sin 1<<A C ，即1sin 13<<C，又()25sin b c C C C ϕ+=+=+，令锐角θ满足1sin 3θ=，故π2θ<<C ，π,2C ϕθϕϕ⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭，且π2θϕ+<，故()sin C ϕ+在π,2θϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在ππ,22ϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减，故π2C ϕ+=时，2b c +．又1sin 3C =时，25sin 7+=+=b c C C ，又当sin 1C =时，25sin 5+=+=b c C C ，故2b c +的取值范围是(．故答案为：(.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用正弦定理把2b c +化成5sin C C +，然后再结合角的范围和三角函数的值域求出结果.四、解答题（共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.如图，三棱锥-P ABC 中，90ACB ∠=︒，PA ⊥平面ABC ．（1）求证：平面PBC ⊥平面PAC ；（2）若AB =1BC =，2AP =，求二面角A PB C --的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）310sin 10θ=【解析】【分析】（1）利用线面垂直的性质证明PA BC ⊥，再根据线面垂直的判定定理证明BC ⊥平面PAC ，再根据面面垂直的判定定理即可得证；（2）以CA 为x 轴正方向，CB 为y 轴正方向，过C 作AP的平行线为z 轴正方向，建立空间直角坐标系C xyz -，利用向量法求解即可.【小问1详解】因为PA ⊥平面ABC ，BC 在平面ABC 内，所以PA BC ⊥，又BC AC ⊥，,,AC PA A AC PA =⊂ 平面PAC ，故BC ⊥平面PAC ，又BC 在平面PBC 内，故平面PBC⊥平面PAC ；【小问2详解】因为90ACB ∠=︒，AB =，1BC =，故2AC =，又PA ⊥平面ABC ，ACBC ⊥，以CA 为x 轴正方向，CB 为y 轴正方向，过C 作AP的平行线为z 轴正方向，建立空间直角坐标系C xyz -，则()0,0,0C ，()2,0,0A ，()0,1,0B ，()2,0,2P 设平面PAB 的一个法向量为()1111,,n x y z = ，则10⋅= n AP ，10n AB ⋅=，因为()0,0,2AP = ，()2,1,0AB =-，则1112020z x y =⎧⎨-+=⎩，令11x =，则12y =，10z =，则()11,2,0n =，设平面PBC 的一个法向量为()2222,,n x y z = ，则20⋅= n CP ，20⋅=n CB ，又()2,0,2CP = ，()0,1,0CB =，则2222200x z y +=⎧⎨=⎩，令21x =，20y =，21x =-，故()21,0,1n =-，故12121210cos ,10n n n n n n ⋅==，所以二面角A PB C --的正弦值为31010=．16.函数()()2e1xf x xx =-+．（1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）令()()1e xg x x =-，过点()0,P m 可以作三条直线与曲线()y g x =相切，求实数m 的取值范围．【答案】（1）单调递增区间是(),1-∞-，()0,∞+，单调递减区间是()1,0-，极大值3e，极小值1（2）31e-<<-m 【解析】【分析】（1）求函数()f x 的导函数()f x '，再求()0f x '=的根，分区间判断导函数的符号，由此确定函数()f x 的单调区间和极值；（2）设切点()()000,e1-x M x x ，由条件结合导数的几何意义可得()0f x m +=有三个零点，结合（1）的结论，分析()1h -，()0h 的正负可得结论.【小问1详解】因为()()2e 1xf x xx =-+，则()()()22e 121e '+x xf x x x x x x ，令()0f x '=，可得0x =或=1x -，故当(),1x ∈-∞-时，()0f x ¢>，()f x 在区间(),1-∞-上单调递增，当()1,0x ∈-时，()0f x '<，()f x 在区间()1,0-上单调递减，当()0,x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 在区间()0,∞+上单调递增，故()f x 的单调递增区间是(),1-∞-，()0,∞+，单调递减区间是()1,0-，故()f x 在=1x -处取得极大值()31ef -=，在0x =处取得极小值()01f =．【小问2详解】设切点()()000,e1-x M x x ，因为()()1e xg x x =-，则()e xg x x '=，则切线的斜率()00001e e 0--==-x x x mk x x ，化简得：()20e1-=-+x m xx ．因为过点()0,P m 可以作三条直线与曲线()y g x =相切，故()200e1-=-+x m xx 有三个不同的实根，即()0f x m +=有三个零点．令()()h x f x m =+，则()()h x f x ''=，由（1）知：则()h x 在(),1-∞-上单调递增，在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，又()31e -=+h m ，()01h m =+．①当()310e-=+<h m 时，(),0x ∈-∞时，()0h x <，故()h x 至多一个零点，不满足；②当()010h m =+>时，()1,x ∈-+∞时，()0h x >，故()h x 至多一个零点，不满足；③当()310e-=+=h m ，(),0x ∈-∞时，()h x 有唯一零点=1x -，()h x 在()0,∞+上单调递增，故()h x 在区间()0,∞+至多一个零点，故()h x 至多两个零点，不满足；④当()010=+=h m ，()1,x ∈-+∞时，()h x 有唯一零点0x =，()h x 在(),1-∞-上单调递增，故()h x 在区间(),1-∞-上至多一个零点，故()h x 至多两个零点，不满足；⑤当()310e -=+>h m ，()010h m =+<，即31e -<<-m 时，因为()313310e -=+<+<h m m ，()31e 0e=+>+>h m m ，故存在()13,1x ∈--，()21,0x ∈-，()30,1x ∈使得()0=i h x ，1,2,3i =，故31e-<<-m 成立，综上所述：实数m 的取值范围是31e-<<-m ．【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．17.甲、乙两名同学进行篮球投篮比赛，比赛规则如下：两人投篮的次数之和不超过5，投篮命中则自己得1分，该名同学继续投篮，若投篮未命中则对方得1分，换另外一名同学投篮，比赛结束时分数多的一方获胜，两人总投篮次数不足5但已经可以确定胜负时比赛就结束，两人总投篮次数达到5次时比赛也结束，已知甲、乙两名同学投篮命中的概率都是12，甲同学先投篮.（1）求甲同学一共投篮三次，且三次投篮连续的情况下获胜的概率；（2）求甲同学比赛获胜的概率．【答案】（1）7 32（2）1 2【解析】【分析】（1）分甲全中，甲中了2次乙投1次未中，甲中了2次乙投次1次中，1次未中求解；（2）分甲、乙比分3：0，甲、乙比分3：1，前4次投篮甲、乙比分2：2获胜求解.【小问1详解】解：用A表示甲投篮命中，A表示甲投篮未命中，用B表示乙投篮命中，B表示乙投篮未命中，记甲同学连续投篮了三次并赢得了比赛的事件为M，则()()()()1117 8163232=++=++=P M P AAA P AAAB P AAABB．【小问2详解】①剩余两次投篮，甲、乙比分3：0获胜的概率是()11 8==P P AAA；②剩余一次投篮，甲、乙比分3：1获胜的概率是2P：()()() 23 16=++=P P AAAB P AABA P ABAA（也可用412313C216⎛⎫==⎪⎝⎭P）；③不剩余投篮，前4次投篮甲、乙比分2：2获胜的概率是3P：()()()()()() 36 32=+++++= P P AAABB P AAB AB P AABBA P ABAAB P AB ABA P ABBAA，（也可用4234116C 2232⎛⎫=⋅=⎪⎝⎭P ），故甲获胜的概率是12312=++=P P P P ．18.已知抛物线()2:20E y px p =>，O 是坐标原点，过()4,0的直线与E 相交于A ，B 两点，满足OA OB ⊥．（1）求抛物线E 的方程；（2）若()0,2P x 在抛物线E 上，过()4,2Q -的直线交抛物线E 于M ，N 两点，直线PM ，PN 的斜率都存在，分别记为1k ，2k ，求12k k ⋅的值．【答案】（1）24y x =（2）43-【解析】【分析】（1）设AB 的直线方程为：14=+x m y ，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程，利用韦达定理求出12y y ，再根据OA OB ⊥，可得12120x x y y +=，求出p ，即可得解；（2）先求出点P 的坐标，设MN 的直线为24=++x my m ，()33,M x y ，()44,N x y ，联立方程，利用韦达定理求出34y y +，34y y ，再利用斜率公式化简整理即可得解.【小问1详解】当直线AB 的斜率为0时不成立，设AB 的直线方程为：14=+x m y ，()11,A x y ，()22,B x y ，联立2124y px x m y ⎧=⎨=+⎩，消去x 得21280--=y pm y p ，则2214320p m p ∆=+>恒成立，故128y y p =-，又2112y x p =，2222y x p =，故222121222641644⋅===y y p x x p p，又OA OB ⊥，则12120x x y y +=，故1680-=p ，解得2p =，故抛物线E 的方程是24y x =；【小问2详解】因为24y x =，()0,2P x 在抛物线上，故01x =，则()1,2P ，当直线MN 的斜率为0时不成立，设MN 的直线为24=++x my m ，()33,M x y ，()44,N x y ，联立2424y x x my m ⎧=⎨=++⎩，消去x 得：248160---=y my m ，则344y y m +=，34816=--y y m ，因为33123332241214--===-+-y y k y x y ，44224442241214--===-+-y y k y x y ，则()()()1234343444161642224816843k k y y y y y y m m ⋅=⋅===-+++++--++，故12k k ⋅的值为43-．【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．19.集合{}222,0,,,a b cA x x a b c a b c ==++≤<<∈N ，将集合A 中的元素按由小到大的顺序排列成数列{}n a ，即17a =，211a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ．（1）求3a ，4a ，5a ；（2）判断672，2024是否是{}n a 中的项；（3）求120a ，35S ．【答案】（1）313a =，414a =，519a =（2）672是数列{}n a 的项，2024不是{}n a 中的项（3）120896=a ，351905=S 【解析】【分析】（1）直接对a,b,c 赋值求值即可；（2）直接利用集合A 中元素的意义验证即可；（3）先确定集合A 中元素个数，再确定{}n a 中最大项是12222--++n n n （2n ≥），最小项是10222++n 可求出120a ，再利用求和求得35S .【小问1详解】320322213=++=a ，321422214=++=a ，410522219=++=a ．【小问2详解】97567251216051212832222=+=++=++，故672∈A ，则672是数列{}n a 的项；1091098202410241000102451248822488222=+=++=++>++．令1098222=++k a ，则111012222051+=++=k a ，故12024+<<k k a a ，故2024不是{}n a 中的项．【小问3详解】当2c =时在集合A 中有22C 个元素，当3c =时在集合A 中有23C 个元素，……当c n =时在集合A 中有2C n 个元素，则集合A 一共有()()222323111C C C C 6n n n n n ++-+++== 个元素，故{}n a 有()()116n n n +-项，当c n =时在集合A 中的2C n 个元素中最小的元素是10222++n ，最大元素是12222--++n n n （2n ≥），故c n =的元素在{}n a 中最大项是12222--++n n n （2n ≥），最小项是10222++n ；令9n =，则{}n a 共有10981206⨯⨯=项，则120a 恰好是9c =的元素在{}n a 中的最大项，则987120222896=++=a ；令6n =，则一共有765356⨯⨯=项，记n T 表示集合A 中c n =的元素之和，则35236=+++ S T T T ，因为集合A 中c n =的元素有2C n 个，这些元素中含2n 的个数是2C n ，含0112,2,,2n - 的个数都是n 1-，故()()21102C 2221n n n n T n -=⨯++++⨯- ，则：()()2210222C 22217T =⨯++⨯-=，()()32210332C 22231382738T =⨯+++⨯-=⨯+⨯=，()()423210442C 222241166315141T =⨯++++⨯-=⨯+⨯=，()()5243210552C 2222251320431444T =⨯+++++⨯-=+⨯=，()()62543210662C 222222619605631275T =⨯++++++⨯-=+⨯=，故3523673814144412751905=+++=++++= S T T T ．故120896=a ，351905=S ．【点睛】关键点点睛：本题考查结数列新定义，关键是利用集合A 中元素意义确定数列的项，确定项的个数解决第3问.。
重庆市八中2013-2014学年高二下学期期中考试理科数学试卷(带解析)
重庆市八中2013-2014学年高二下学期期中考试理科数学试卷（带解析）1．若26n nC C =，则n 的值为（ ） A ．11 B ．10 C ．9D ．8 【答案】D 【解析】试题分析：根据组合数的计算公式可得!!(2)(3)(4)(5)65432!(2)!6!(6)!n n n n n n n n =⇒----=⨯⨯⨯--，从中可得268n n -=⇒=，故选D.考点：组合数的计算.2．双曲线22145x y -=的离心率为（ ） A ．23 B ．43 C ．32D ．2 【答案】C 【解析】试题分析：依题意可得2,a b ===3c ===，所以该双曲线的离心率32c e a ==，故选C. 考点：双曲线的标准方程及其几何性质.3．已知函数()sin 2f x x =，则)(x f 的导函数=)('x f （ ）A ．cos 2xB ．cos 2x -C ．2cos 2xD ．2cos 2x - 【答案】C 【解析】试题分析：根据正弦函数的导数公式及复合函数的求导法则可得：令sin ,2y u u x ==，则()(cos )22cos2u x f x y u ux '''=⋅=⨯=，故选C. 考点：导数的计算.4．设i 是虚数单位，则复数21ii+等于（ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．1i --【答案】A 【解析】试题分析：222(1)2()11(1)(1)2i i i i i i i i i --===+++-，故选A.考点：复数的运算.5．高二年级计划从3名男生和4名女生中选3人参加某项会议，则选出的3人中既有男生又有女生的选法种数为（ ）A ．24B ．30C ．60D ．90 【答案】B 【解析】试题分析：选出的3人中既有男生又有女生的选法有两类：第一类是1男2女，这类共有123418C C =种；第二类是2男1女，这类共有213412C C =种，所以选出的3人中既有男生又有女生的选法种数有121830+=种，故选B. 考点：1.组合问题；2.两个计数原理.6．函数()f x 的导函数()f x '的图像如图所示，则（ ）A ．12x =为()f x 的极大值点 B ．2x =-为()f x 的极大值点 C ．2x =为()f x 的极大值点 D ．0x =为()f x 的极小值点 【答案】A 【解析】试题分析：依图可知1()022f x x '>⇒-<<或2x >，所以()f x 在1(2,)2-、(2,)+∞单调递增；()02f x x '<⇒<-或122x <<，所以()f x 在(,2)-∞-、1(,2)2单调递减；综上可得2x =-、2x =都是左减右增，所以这两个都是函数()f x 的极小值点，12x =是左增右减，从而该点是()f x 的极大值点，故选A. 考点：1.函数的导数与极值；2.函数的导数与单调性.7．从1,3,5中选2个不同数字，从2,4,6,8中选3个不同数字排成一个五位数，则这些五位数中偶数的个数为（ ）A ．5040B ．1440C ．864D ．720 【答案】C【解析】试题分析：第一步，先从3个奇数中选两个，第二步，从4个偶数中选择3个；第三步，从选出的偶数中选出一个放在个数；其余的数进行全排列即可，所以这些五位数中偶数的个数为2314343434324864C C C A =⨯⨯⨯=,故选C.考点：1.组合问题；2.排列问题；3.两个计数原理.8．函数3()xf x x e ax =+-在区间[0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[0,1) B ．(0,1] C ．[1,)+∞ D ．(,1]-∞ 【答案】D【解析】试题分析：因为2()3x f x x e a '=+-，要使函数3()x f x x e ax =+-在区间[0,)+∞上单调递增，则须()0f x '≥即230x x e a +-≥也就是23xa x e ≤+在[0,)+∞恒成立，所以2max [3]x a x e ≤+，设23(0)x y x e x =+≥，则60x y x e '=+>在[0,)+∞恒成立，所以23x y x e =+在[0,)+∞单调递增，从而220min [3]301x a x e e ≤+=⨯+=，故选D.考点：函数的单调性与导数.9．定义在(0,)+∞上的可导函数()f x 满足：()()0xf x f x '+<且(1)1f =，则不等式()1xf x >的解集为（ ）A ．(,1)-∞B ．(0,1)C ．(1,)+∞D ．(0,1] 【答案】B 【解析】试题分析：设()()(0)g x xf x x =>，则()()()0g x f x x f x ''=+<，所以()g x 在(0,)+∞上单调递减，又因为(1)1(1)1g f =⨯=，所以不等式()1()(1)xf x g x g >⇔>，根据()g x 在(0,)+∞上单调递减，可知01x <<，故选B.考点：1.函数的单调性与导数；2.函数的单调性在求解不等式中的应用.10．如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有（ ） A ．50种 B ．51种 C ．140种 D ．141种 【答案】D 【解析】试题分析：设*(1n 7,)n a n N ≤≤∈，则77665544332211a (a -a )+(a -a )+(a -a )+(a -a )+(a -a )+(a -a )+a =⇒0766554433221(a -a )+(a -a )+(a -a )+(a -a )+(a -a )+(a -a )=令*1(11,N )n n n n n a a x x x +-=-≤≤∈∴1234560x x x x x x +++++=所以共有的方法数为32211664651141C C C C C +++=(按0个0,2个0,4个0,6个0分类的)，故选D.考点：1.数列的递推关系；2.两个计数原理；3.组合问题.11．2213x dx ⎰= （用数字作答）． 【答案】7 【解析】试题分析：因为32()3x x '=，所以223331232171x dx x ⎰==-=.考点：定积分的计算.12．若6名学生排成一列，则学生甲、乙、丙三人互不相邻的排位方法种数为 ． 【答案】144 【解析】试题分析：先排除甲、乙、丙外的三人有336A =种排法，后将甲、乙、丙三人插入有3424A =种，故学生甲、乙、丙三人互不相邻的排位方法种数有3334624144A A ⨯=⨯=种.考点：1.排列问题；2.两个计数原理.13．曲线()321f x x x =++在点()()1,1f 处的切线方程为 ．【答案】52y x =- 【解析】试题分析：因为2()32f x x x '=+，所以所求切线的斜率(1)325k f '==+=，而(1)1113f =++=，故所求的切线方程为35(1)y x -=-即52y x =-.考点：导数的几何意义.14．将5名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种.【答案】150 【解析】试题分析：先将5名大学生分成三组：有两组各1人，另一组有3人有3510C =种分法；有两组各2人，另一组1人有22532215C C A =分法，然后将这三组大学生分别分配到3个乡镇去当村官有336A =种；综上可知不同的分配方案有2233535322()(1015)6150C C C A A +⨯=+⨯=种.考点：排列组合的综合问题.15．把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．124357681012911131517141618202224设(),ij a i j N +∈是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如428a =．若2014ij a =，则i j += ．【答案】79 【解析】试题分析：从所给的部分数表可看出，所有奇数都在奇数行，所有偶数都在偶数行.2014ij a =是偶数，所以它位于偶数行，将奇数除外，前n 行偶数共有(22)2462(1)2n nn n n +++++==+个，由22014n =得1007n =，所以2014ij a =是第1007个偶数，因为3132992100732331056⨯=<<⨯=，所以2014ij a =位于第32偶数行，即第23264⨯=行，64i =，前31行偶数共有3132992⨯=个偶数，所以第31偶数行的最后一个数为29921984⨯=，第32偶数行的第一个数为1986，2013是第201419861152-+=，15j =.所以641579i j +=+=.考点：1.合情推理—归纳推理；2.数列的计算.16．某研究性学习小组有6名同学．（1）这6名同学排成一排照相，则同学甲与同学乙相邻的排法有多少种？ （2）从6名同学中选4人参加班级4100⨯接力比赛，则同学丙不跑第一棒．．．．．的安排方法有多少种？【答案】（1）5252240A A ⋅=；（2）1355300C A =.【解析】 试题分析：（1）对于相邻问题采用捆绑后，将甲乙捆绑后当成一个人与其他四人一起排列，最后根据分步计数原理即可得到甲乙相邻有5252240A A ⋅=种排法；（2）方法一，先按丙同学有没有参加接力进行分类，进而求出这两种情况下的方法数，最后将这两类的方法数相加即可；法二，分两步走，第一步先确定第一棒是由除丙以外的哪个同学跑，第二步确定第二、三、四棒是由哪几位同学去跑，进而根据分步计数原理即可得到满足要求的方法数1355300C A =.（1）分两步走：第一步先将甲乙捆绑有222A =种方法；第二步，甲乙两人捆绑后与其他四人一起排列有55120A =种方法，所以这6名同学排成一排照相，则同学甲与同学乙相邻的排法有5252240A A ⋅=种；（2）法一：分成两类：第一类，同学丙没有参加接力比赛的安排方法有455432120A =⨯⨯⨯=种；第二类，同学两参加接力比赛但不跑第一棒的安排方法有133********C A =⨯⨯⨯=；综上可知从6名同学中选4人参加班级4100⨯接力比赛，则同学丙不跑第一棒的安排方法有120180300+=种；法二：跑第一棒的选法有155C =种方法；第二、三、四棒的选法有3554360A =⨯⨯=种方法，所以从6名同学中选4人参加班级4100⨯接力比赛，则同学丙不跑第一棒的安排方法有1355300C A =种.考点：1.两个计数原理；2.排列问题. 17．已知函数1()ln 1f x a x x=+-在1x =处取极值． （1）求a 的值；（2）求()f x 在21[,]e e上的最大值和最小值．【答案】（1）1a =；（2）()()()min10f x f ==；()()22max 1()1f x f e e==+. 【解析】试题分析：（1）先求出导函数()21ax f x x -'=，进而根据函数1()ln 1f x a x x=+-在1x =处取极值得到(1)0f '=即10a -=，从中即可确定a 的值；（2）根据（1）中确定的a 的值，确定()21x f x x -'=，进而可确定函数()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，从而可确定()()()min10f x f ==，然后比较1()f e、2()f e ，最大的值就是函数()f x '在21[,]e e上的最大值. （1）因为1()ln 1f x a x x =+-，所以()21(0)ax f x x x-'=>又因为函数1()ln 1f x a x x=+-在1x =处取极值 所以(1)0f '=即21101a a -=-=，所以1a = （2）由（1）知()21x f x x-'=所以当1x >时，()0f x '>，当01x <<时，()0f x '<所以当21[,]x e e∈时，有()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减所以()()()min10f x f ==又12f e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2211f e e=+ 所以()()22max1()1f x f e e==+． 考点：1.导数的几何意义；2.函数的单调性与导数；3.函数的最值与导数.18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(0,1)．（1）求椭圆C 的方程；（2）若斜率为1的直线l 交C 于,A B 两点，且85AB =，求直线l 的方程． 【答案】（1）2214x y +=；（2）直线l的方程为y x = 【解析】试题分析：（1）先根据椭圆过点(0,1)确定1b =，进而根据离心率及椭圆中,,a b c 的关系式得到2222c a a b c ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，进而求解出,a c 即可确定椭圆C 的方程；（2）设1122(,),(,)A x y B x y 及直线:l y x m=+，进而联立直线与椭圆的方程得到2244y x mx y =+⎧⎨+=⎩，消y 得到2258440x mx m ++-=，进而根据二次方程根与系数的关系可得1285mx x +=-，212445m x x -=，进而代入弦长公式85AB =，从中即可求解出m 的值，进而可确定直线l 的方程.(1)由题知1b =，又因为22221c a a b c c ⎧=⎪⎨⎪=+=+⎩，从中求解得到2a c =⎧⎪⎨=⎪⎩ 则椭圆C 的方程为2214x y += (2)设1122(,),(,)A x y B x y ，直线:l y x m =+ 由2244y x m x y =+⎧⎨+=⎩，消去y 得到2258440x mx m ++-= 则1285mx x +=-，212445m x x -=则85AB ===解得m =y x =C 有两个交点 故直线l的方程为y x =考点：1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.二次方程根与系数的关系.19．如图，四棱锥S ABCD -中，AD AB ⊥，CD AB //，33CD AB ==，平面SAD ⊥平面ABCD ，E 是线段AD上一点，AE ED ==AD SE ⊥． （1）证明：BE ⊥平面SEC ；（2）若1SE =，求直线CE 与平面SBC 所成角的正弦值．【答案】（1）证明详见解析；（2）直线CE 与平面SBC 所成角的正弦值为14. 【解析】试题分析：（1）要证BE ⊥平面SEC ，只须证明BE 与平面SEC 内的两条相交直线,SE EC 垂直即可，对于BE SE ⊥的证明，只需要根据题中面面垂直的性质及线面垂直的性质即可得出，对于BE CE ⊥的证明，这需要在平面的直角梯形ABCD 中根据33CD AB ==及AE ED ==30,60AEB DEC ∠=︒∠=︒，进而可得出BE CE ⊥，问题得以证明；（2）分别以EB 、EC 、ES 所在的直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，进而写出有效点的坐标，设平面SBC 的法向量(,,)n x y z =，由0n SB n SC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩确定该法向量的一个坐标，进而根据线面角的向量计算公式sin EC n EC nθ⋅=⋅即可得出直线CE 与平面SBC 所成角的正弦值.（1）证明：由已知条件可知：在Rt EAB ∆中，tan AB AEB AE ∠==所以30AEB ∠=︒在Rt EDC ∆中，tan DCDEC ED∠==60DEC ∠=︒ 所以18090BEC AEB DEC BE EC ∠=︒-∠-∠=︒⇒⊥……①又因平面SAD ⊥平面ABCD ，AD SE ⊥⇒SE ⊥面BEC BE SE ⇒⊥……② 由①②及EC SE E ⋂=可得BE ⊥平面SEC（2）如图分别以EB 、EC 、ES 所在的直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系则(0,0,0)E ，C ,(0,0,1)S ,(2,0,0)B 所以EC =，(2,0,1),1)SB SC =-=- 设平面SBC 的法向量(,,)n x y z =，则有：00n SB n SC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即12020x z x z z y z ⎧=⎪-=⎧⎪⎪⇒⎨⎨-=⎪⎩⎪=⎪⎩，取z=(3,1n = 设直线直线CE 与平面SBC 所成角为θ，有1sin 423EC n EC nθ⋅===⋅ 所以直线CE 与平面SBC 所成角的正弦值为14.考点：1.空间中的垂直关系；2.空间向量在解决空间角中的应用. 20．已知函数()2axf x x e =⋅（a 为小于0的常数）．（1）当1a =-时，求函数()x f 的单调区间； （2）存在[1,2]x ∈使不等式44()f x e ≥成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）()f x 的单调递增区间为(0,2)，递减区间为(,0)-∞和(2,)+∞；（2）[ln 44,)a ∈-+∞.【解析】试题分析：先求出导函数2()(2)ax f x e ax x '=+，（1）将1a =-代入得到2()(2)(2)x x f x e x x e x x --'=-+=-⋅-，进而由()0f x '>及()0f x '<可求出函数()f x 的单调增区间与减区间；（2）先将存在[1,2]x ∈使不等式44()f x e≥成立等价转化成max 44[()]f x e ≥；然后由()0f x '=，得0x =或2x a =-，进而对a 分22a -≥、212a<-<、21a-≤三种情况，分别求出函数()f x 在[1,2]上的最大值， 进而求解不等式max 44[()]f x e≥得出a 的取值范围结合各自a 的条件求得各种情况下a 的取值范围，最后这三种情况的a 的取值范围的并集即可.2()(2)ax f x e ax x '=+(1) 当1a =-时，2()(2)(2)xxf x e x x ex x --'=-+=-⋅-所以由()002f x x '>⇒<<，由()02f x x '<⇒>或0x < 所以()f x 的单调递增区间为(0,2)，递减区间为(,0)-∞和(2,)+∞(2) 2()(2)ax f x e ax x '=+，令()0f x '=，得0x =或2x a=-①当22a-≥时，即10a -≤<时，()f x 在[1,2]上单调递增 则2max 44()(2)4af x f e e==≥，解得2a ≥-，所以10a -≤<满足题意②当212a <-<时，即21a -<<-时()f x 在2[1,]a -上单调递增，2[,2]a-上单调递减故2max 24244()()f x f e a a e-=-=⋅≥，解得e a e -≤≤，所以当21a -<<-时满足题意 ③当21a-≤时，即2a ≤-时，()f x 在[1,2]上单调递减 故max 44()(1)af x f e e==≥，解得ln 44a ≥-，所以ln 442a -≤≤-时满足题意综上所述[ln 44,)a ∈-+∞.考点：1.函数的单调性与导数；2.函数的最值与导数；3.不等式存在成立问题；4.分类讨论的思想.21．已知数列{}n a 满足112a =，1121n n n a a a ++=⋅+． （1）求234,,a a a 的值，由此猜测{}n a 的通项公式，并证明你的结论； （2）证明：13521n a a a a -⋅⋅⋅⋅<<． 【答案】（1）猜想1n na n =+，证明详见解析；（2）证明详见解析. 【解析】试题分析：（1）根据递推关系，依次附值1,2,3n =即可得到234,,a a a 的取值，进而作出猜想1n n a n =+，然后再用数学归纳法证明即可；（2）==，进而采用放缩法得到21121n n -<==，进而将n 取1，2，3，……，n时的不等式相乘即可证明不等式13521n a a a a -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅<=，然后构造函数x x x f s i n 2)(-=，确定该函数在区间)4,0(π上的单调性，进而得到x x sin 2<在)4,0(π恒成立，从而可得121sin 2121+<+n n即<. （1）令1,2,3n =可知223a =，334a =，445a =猜想1n na n =+，下用数学归纳法证明. （1）1n =时，显然成立；（2）假设n k =时，命题成立.即1k ka k =+.当1n k =+时，由题可知11112221k k k a a k k ++===-+-+. 故1n k =+时，命题也成立.由（1）（2）可知，1n na n =+.（2）证明：∵=212nn -<==135********2n n a a a a n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⋅⋅⋅⨯<=∴13521n a a a a -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅<由于=，可令函数x x x f sin 2)(-=，则()1cos f x x '=，令()0f x '=，得22cos =x ，给定区间)4,0(π，则有()0f x '<，则函数)(x f 在)4,0(π上单调递减，∴0)0()(=<f x f ，即x x s i n 2<在)4,0(π恒成立，又4311210π<≤+<n，则有121sin 2121+<+n n< 所以13521n a a a a -⋅⋅⋅⋅<. 考点：1.数学归纳法；2.数列不等式的证明——放缩法、构造函数法、数学归纳法等.。
重庆一中高2020级高三下学期期中考试试题(含标准答案)
秘密★启用前 【考试时间： 】2020年重庆一中高2020级高三下期期中考试数学（文科）试题卷（含标准答案）注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答卷上。
2. 作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。
3. 考试结束后，将答题卡交回。
第 Ⅰ 卷（选择题，共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 设集合{}22P x x x =+≥，{}3Q x Nx =∈≤，则P Q =I ( )A ．[1,2]-B ．[0,2]C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1,2-2. 已知向量(1,2)a =r ，(1,)b x =-r ，若a b r r∥ ，则b =r ( )A. 3B. C. 5D.3. 复数12z i =+，若复数1z 与2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，则12z z =g ( ) A.B.C.D.4. 一场考试之后，甲乙丙三位同学被问及语文、数学、英语三个科目是否达到优秀时，甲说：有一个科目我们三个人都达到了优秀；乙说：我的英语没有达到优秀；丙说：乙达到优秀的科目比我多.则可以完全确定的是( )A ．甲同学三个科目都达到优秀B ．乙同学只有一个科目达到优秀C ．丙同学只有一个科目达到优秀D ．三位同学都达到优秀的科目是数学5. 2020年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援湖北共抗新型冠状病毒肺炎，重庆某医院派出3名医生，2名护士支援湖北，现从这5人中任选2人定点支援湖北某医院，则恰有1名医生和1名护士被选中的概率为( )A ．0.7B ．0.4C ．0.6D ．0.36. 已知一组数据12345,,,,x x x x x 的平均数是m ，方差是n ，将这组数据的每个数都乘以(0) a a >得到一组新数据，则下列说法正确的是( )A ．这组新数据的平均数是mB ．这组新数据的平均数是a m +C ．这组新数据的方差是an D．这组新数据的标准差是7. 已知107700,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩表示的平面区域为D ，若对(,)x y D ∀∈都有2x y a +≤，则实数a 的取值范围是( ) A ．[)5,+∞B ．[)2,+∞C ．[)1,+∞D ．[)0,+∞5-534i -+34i -8. 将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为23π的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为( )A． B． C． D． 9. 若函数ln )() (f x a x a R =∈与函数()g x =a 的值为( )A ．4B ．12 C ．2eD ．e10. 已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线E 右支上一点，M 是线段1F P的中点，O 是坐标原点，若1OF M ∆的周长为3c a +（c 为双曲线的半焦距）且13F MO π∠=，则双曲线E 的渐近线方程为( ) A．y x = B．y = C ．12y x =±D ． 2y x =± 11. 已知函数()2sin()(0,)2x f x πωϕωϕ+><=的图象过点(0,1)A -，且在(,)183ππ上单调，同时将()f x 的图象向左平移π个单位后与原图象重合，当12172,(,)123x x ππ∈--且12x x ≠时12()()f x f x =，则12()f x x +=( )A． B ．1- C ．1 D12. 已知函数()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞U 上的偶函数，当(0,)x ∈+∞时，2(1),02()1(2),22x x f x f x x ⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数2()8()6()1g x f x f x =-+的零点个数为( ) A. 20B. 18C. 16D. 14第Ⅰ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且132455,24a a a a +=+=，则33S a =_________.14. 已知抛物线212y x =的焦点为F ，过点(2,1)P 的直线l 与该抛物线交于,A B 两点，且点P 恰好为线段AB 的中点，则AF BF +=_________.15. 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若0n a >，11a =，且2()n n n S a a t =+（, t R n N *∈∈），则100S = _________.16. 在三棱锥P ABC -中，2,1,90 PA PC BA BC ABC ︒====∠=，若PA 与底面ABC 所成的角 为60︒，则点P 到底面ABC 的距离是_________；三棱锥P ABC -的外接球的表面积是_________. （本小题第一空2分，第二空3分）三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生 都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.（12分）如图，ABC ∆是等边三角形，D 是BC 边上的动点（不含端点）记BAD ∠=α,ADC β∠=. （1）求2cos cos αβ-的最大值； （2）若11,cos 7BD β==，求ABD ∆的面积.18.（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC ⊥，D 是11B C 的中点，1112A A A B ==.（1）求证：11AB A CD ∥平面；（2）若异面直线1AB 和BC 所成角为60︒，求四棱锥11A CDB B -的体积.19.（12甲公司前期的经营状况，对该公司2019月（5—10据绘制了相应的折线图，如右图所示.（1利润y （单位：百万元）与月份代码x 求y 关于x （2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有,A B 两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不同，现对,A B 两种型1号的新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的频数统计表（表1）. 若从产品使用寿命的角度考虑，甲公司的负责人选择采购哪款新型材料更好？ 参考数据：6196i i y ==∑ ；61371i i i x y ==∑.参考公式：回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中()()()1122211ˆ=n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---⋅=--∑∑∑∑，ˆ.ˆˆay x b =- 20.（12分）已知椭圆2222: 1 (0)x y C a b a b+=>>的长轴长为4，且经过点2P . （1）求椭圆C 的方程； （2）直线l 的斜率为12，且与椭圆交于,A B 两点（异于点P ），过点P 作APB ∠的角平分线交椭圆于另一点Q . 证明：直线PQ 与坐标轴平行.21.（12分）已知函数()()2ln 1,.f x x ax x a R =++-∈（1）当14a =时，求函数()y f x =的极值； （2）若对于任意实数(1,2)b ∈，当(1,]x b ∈-时，函数()f x 的最大值为()f b ，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分. 22. [选修4—4：坐标系与参数方程] （10分） 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩ (ϕ为参数). 以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=． （1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）设点M 的极坐标为(4,0)，射线(0)4πθαα=<<分别交1C 、2C 于点,A B （,A B 异于极点），当4AMB π∠=时，求tan α的值.23. [选修4—5：不等式选讲] （10分） 已知0a >，0b >，22143a b ab+=+. （1）求证：1ab ≤； （2）若b a >，求证：3311113a b a b ⎛⎫->- ⎪⎝⎭. 命题人：张 露审题人：张志华 付红12020年重庆一中高2020级高三下期期中考试数学（文科）试题卷（参考答案）二、填空题13. 7 14. 10 15. 505016. 5 π三、解答题17.解：（1）,(0,)33ππβαα=+∈Q ，∴2cos α－cos β=2cos α－cos +3πα⎛⎫ ⎪⎝⎭+3πα⎛⎫ ⎪⎝⎭，又2(0,)(,)3333ππππαα∈∴+∈Q ，，故当32ππα+=·································· 6分 （2）由cos β＝17 ，得sin β＝7，故sin α＝sin 3πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin βcos 3π－cos βsin 3π＝14，在ABD ∆中，由正弦定理sin sin AB BD ADB BAD =∠∠，得AB ＝sin sin βαBD ＝83， 故S △ABD ＝12AB·BD·sin B ＝18123⨯⨯=. ·····································································12分18.（1）证明：如图，连1AC 交1A C 于点E ，连DE .因为直三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是矩形，故点E 是1AC 中点，又D 是11B C 的中点，故1DE AB ∥，又111,, AB ACD DE ACD ⊄⊂平面平面故11AB A CD ∥平面. ·····································（2）解：由（1）知1DE AB ∥，又1C D BC ∥，故1C DE ∠或其补角为异面直线1AB 和BC 所成角. 设2AC m =，则11C E C D DE ===1C DE ∆为等腰三角形，故160C DE ︒∠=，故1C DE ∆=1m =.故111A B C ∆为等腰直角三角形，故111A D C B ⊥，又11111111B B A B C A D A B C ⊥⊂平面，平面， 故11A D B B ⊥，又1111B B C B B =I ，故11A D CDB B ⊥平面，又梯形1CDB B的面积11122CDB B S A D =⨯⨯==， 则四棱锥11A CDB B -的体积1111233CDB B V S A D ==⨯=g . ·············································· 12分19. 解：（1）由折线图可知统计数据(),x y 共有6组，即(1,11)，(2,13)，(3,16)，(4,15)，(5,20)，(6,21)，计算可得1234563.56x +++++==，y =6111961666i i y ==⨯=∑， 所以616221ˆ=i ii i i x y nx ybx nx==-⋅=-∑∑37163.516217.5-⋅⋅=，162 3.59a y b x =-=-⨯=))).所以月度利润y 与月份代码x 之间的线性回归方程为29y x =+. ··················································· 6分 由题意推得2020年5月份对应的年份代码为13，故当13x =时，213935y =⨯+=)（百万元），故预计甲公司2020年5月份的利润为35百万元. ······················································································ 8分 （2）A 型新材料对应产品的使用寿命的平均数为12013523531042.35100x ⨯+⨯+⨯+⨯==（个月），B 型新材料对应的产品的使用寿命的平均数为21013024032042.7100x ⨯+⨯+⨯+⨯==（个月）， 12x x <Q ，∴采购B 型新材料更好. ······················································································ 12分 注：若采用其他数字特征（如中位数、众数等）进行合理表述，也可酌情给分。
江苏省扬州中学教育集团树人学校2024-2025学年九年级上学期月考数学试题[含答案]
扬州树人学校2024－2025学年第一学期大作业九年级数学2024.9（建议完成时间：120分钟）一、选择题（每题3分，共24分）1．如图，△ABC ∽△ADE ，则下列比例式正确的是（ ）A ．AE ADBE DC=B ．AE ADAB AC=C ．AD DEAC BC=D ．AE DEAC BC=2．用配方法解方程2210x x --=时，配方后所得的方程为（ ）A ．210x +=（）B ．210x -=（）C ．212x +=（）D ．212x -=（）3．已知O e 的半径为9cm ，若10cm OA =，则点A 与O e 的位置关系是（ ）A ．点A 在O e 外B ．点A 在O e 上C ．点A 在O e 内D ．不能确定4．已知点P 是线段AB 的黄金分割点（AP ＞PB ），AB=4，那么AP 的长是（ ）A ．2B ．2-C ．1-D 25．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与ABC V 相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=，若0a b c -+=，则此方程必有一个根为（ ）A ．1B ．0C ．1-D ．2-7．若m 、n 是关于x 的方程22410x x -+=的两个根，则11m n+的值为（ ）A ．4B ．4-C ．14D ．14-8．如图，在矩形ABCD 中，过点B 作BF AC ^，垂足为F ，设AF m =，CF n =，若2CF CD =，则nm的值为（ ）A ．2+B ．1+C ．1D ．1二、填空题（每题3分，共30分）9．已知三条线段a 、b 、c ，其中1cm 4cm a b ==，，c 是a 、b 的比例中项，则c = cm ．10．如下图，直线a b c ∥∥，直线1l ，2l 与这三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ．若:1:2AB BC =，3DE =，则EF 的长为 ．11．已知,ABC DEF ABC △△△∽的三条边分别为6、8、10，若DEF V 的最短边为3，则最长边为 ．12．如图，AB 是O e 的弦，C 是 AB 的中点，OC 交AB 于点D ．若16cm,4cm AB CD ==，则O e 的半径为 cm ．13．若a 为方程2250x x +-=的解，则2368a a +-的值为 ．14．操场上有一棵树，数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高，在阳光下他们测得一根长为1m 的直立竹竿的影长是1.5m ，此时，测得树的影长为16.5m ，则树高为m ．15．若等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x 的方程280x x n -+=的两个根，则n 的值为 ．16．方程2450x x +-=的解是11x =，25x =-，现在给出另一个方程()()22142150x x -+--=，它的解是 ．17．如图，G 是ABC V 的重心，AG GC ^，连接BG 并延长交AC 于D ，4AC =，则BG 的长为 ．18．如图，在矩形ABCD 中，12AB =，18BC =，E 是BC 的中点，连接AE ，P 是边AD 上一动点，过点P 的直线将矩形折叠，使点D 落在AE 上的D ¢处，当APD ¢△是等腰三角形时，AP = ．三、解答题（共96分）：19．选择适当的方法解下列一元二次方程：(1)2210x x +-=．(2)22310x x --=．20．如图，ABC EBD △≌△，连接AE 、CD ，且点A 、E 、D 在同一条直线上，求证：ABE CBD V V ∽．21．已知O 是坐标原点，A 、B 的坐标分别为()3,1，()2,1-．(1)以原点O 为位似中心，位似比为2:1，在y 轴的左侧，画出OAB △放大后的图形11OA B V ；(2)直接写出1A 点的坐标；若点(),D a b 在线段OA 上，点D 对应点1D 的坐标为 ．22．如图，AB 是O e 的弦，C 、D 为直线AB 上两点，OC OD =，求证：AC BD =．23．如图1，平直的公路旁有一灯杆AB ，在灯光下，小丽从灯杆的底部B 处沿直线前进4m 到达D 点，在D 处测得自己的影长1m DE =．小丽身高 1.2m CD =．(1)求灯杆AB 的长；(2)若小丽从D 处继续沿直线前进4m 到达G 处（如图2），求此时小丽的影长GH 的长．24．已知关于x 的方程22(23)2540x m x m m -+++-=．(1)求证：无论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根；(2)若该方程的两个实数根恰好为斜边为m 的值．25．在Rt ABC V 中，90,20cm,15cm Ð=°==C AC BC ．现有动点P 从点A 出发，沿AC 向点C 方向运动，动点Q 从点C 出发，沿线段CB 也向点B 方向运动．如果点P 的速度是4cm /秒，点Q 的速度是2cm /秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ｔ秒，求：(1)用含t 的代数式表示Rt CPQ V 的面积S ；(2)当3t =秒时，这时，P ，Q 两点之间的距离是多少？(3)当t 为多少秒时，以点C ，P ，Q 为顶点的三角形与ABC V 相似？26．栖霞某旅游景点的超市以每件45元的价格购进某款果都吉祥物摆件，以每件69元的价格出售．经统计，4月份的销售量为192件，6月份的销售量为300件．(1)求该款吉祥物摆件4月份到6月份销售量的月平均增长率；(2)从7月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈游客，经试验，发现该吉祥物摆件每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物摆件售价为多少元时，月销售利润达7200元？27．我们可以利用解二元一次方程组的代入消元法解形如22102x y x y ì+=í+=î①②的二元二次方程组，实质是将二元二次方程组转化为一元一次方程或一元二次方程来求解．其解法如下：解：由②得：2y x =- ③将③代入①得：()22210x x +-=整理得：2230x x --=，解得11x =-，23x =将11x =-，23x =代入③得1213y =+=，2231y =-=-∴原方程组的解为13x y =-ìí=î或31x y =ìí=-î．(1)请你用代入消元法解二元二次方程组：2221370x y y x x -=-ìí-+-=î；(2)若关于x ，y 的二元二次方程组222170x y y ax x -=-ìí++-=î有实数解，求实数a 的取值范围．28．如图，在菱形ABCD 中，5AB =，过点D 作DH AB ^于点H ，且4DH =，对角线AC与BD 交于点O ，动点P 从点A 出发，沿AC 个单位长度的速度向终点C 运动，在运动过程中，点P 关于直线AD 的对称点为点E ，点P 关于直线DC 的对称点为点F ，作PEF !，PE 交折线AD DC -于点M ，PF 交折线AD DC -于点N ，连接MN ．(1)BD 的长度为______，AC 的长度为______；(2)如图②，当点M 落在边AD 上，点N 落在边DC 上，求证：12MN EF =；(3)在不添加辅助线的情况下，图中存在与PMN V 相似的三角形是______，当此三角形与PMN V 相似比为5:2时，求t 的值；(4)当四边形EMNF 的面积是PMN V 面积的7倍时，直接写出t 的值．1．D【分析】根据相似三角形的对应边成比例即可得出结果．【详解】解：∵△ABC ∽△ADE ，∴AE DEAC BC=，故选D ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例这一性质是解答此题的关键．2．D【分析】先把常数项移项，然后在等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方即可．【详解】解：利用配方法如下：2210x x --=221x x -=22111x x -+=+()212x -=．故选D ．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的一般步骤是解题关键．3．A【分析】本题考查点与圆的位置关系． 若⊙O 的半径为r ，一点P 和圆心O 的距离为d ，当d r =时，点P 在⊙O 上；当d r <时，点P 在⊙O 内；当d r >时，点P 在⊙O 外．熟记相关结论即可．【详解】解：∵10cm OA =9cm >，∴点A 在O e 外故选：A 4．A【详解】根据黄金比的定义得：AP AB =，得42AP == .故选A.5．B【分析】此题考查了相似三角形的判定以及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．根据网格中的数据求出,,AB AC BC 的长，135ACB Ð=°，求出:2AC BC =，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似判断即可．【详解】解：根据题意可得：2,AB BC AC ====135ACB Ð=°；:2AC BC \=，A ．三角形中没有135°角，图中的三角形（阴影部分）与ABC V 不相似．B ．夹135°的两边之比为：2=，图中的三角形（阴影部分）与ABC V 相似．C ．三角形中没有135°角，图中的三角形（阴影部分）与ABC V 不相似．D ．三角形中没有135°角，图中的三角形（阴影部分）与ABC V 不相似．故答案为：B ．6．C【分析】本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．将1x =-代入方程20ax bx c ++=中的左边，得到a b c -+，由0a b c -+=得到方程左右两边相等，即1x =-是方程的解．【详解】解：将1x =-代入方程20ax bx c ++=中的左边得：()()211a b c a b c ´-+´-+=-+，∵0a b c -+=，∴1x =-是方程20ax bx c ++=的根．即方程的一个根为1x =-．故选：C ．7．A【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟知12x x ，是一元二次方程20(a 0)++=¹ax bx c 的两根时，1212b cx x x x a a+=-×=，是解答此题的关键．先根据一元二次方程根与系数的关系求出122m n mn +==，，再代入化简后的代数式进行计算即可．【详解】解：∵m ，n 是关于x 的方程22410x x -+=的两个实数根，∴122m n mn +==，，∴112412m n m n mn++===，故选：A ．8．A【分析】此题重点考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的解法等知识与方法．由矩形的性质得CD AB =，则22CF CD AB ==，所以1122AB CF n ==，则2221124AB n n æö==ç÷èø，再证明AFB ABC V V ∽，得AB AF AC AB =，则2()AB AF AC m m n =×=+，所以21()4n m m n =+，可求得()2n m =，则2n m=，于是得到问题的答案．【详解】解：Q 四边形ABCD 是矩形，AF m =，CF n =，CD AB \=，22CF CD AB \==，1122AB CF n \==，2221124AB n n æö\==ç÷èø，BF AC ^Q 于点F ，90AFB ABC \Ð=Ð=°，FAB BAC \Ð=Ð，AFB ABC \∽△△，\AB AFAC AB=，2()AB AF AC m m n \=×=+，\21()4n m m n =+，整理得22440n mn m --=，()2n m \=+或()2n m =-（不符合题意，舍去），\2nm=，故选：A ．9．2【分析】由c 是a 、b 的比例中项，根据比例中项的定义，列出比例式即可得出线段c 的长，注意线段不能为负．【详解】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．所以241=´c ，解得：2c =±（线段是正数，负值舍去）．则2c =cm ．故答案为：2．【点睛】此题考查了比例线段；理解比例中项的概念是关键，这里注意线段不能是负数．10．6【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握线段成比例的运算方法是解题的关键．根据a b c ∥∥可得AB DEBC EF=，由此即可求解．【详解】解：∵a b c ∥∥，∴AB DEBC EF=，:1:2AB BC =，3DE =，∴312EF =，∴6EF =，故答案为：6．11．5【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形对应边成比例即可求解．【详解】解：设DEF V 最长边为x ，Q ,ABC DEF ABC △△△∽的三条边分别为6、8、10，DEF V 最短边为3，\3610x =，解得5x =，即DEF V 最长边为5，故答案为：5．12．10【分析】本题考查圆的基本性质，解题的关键是掌握垂径定理的运用，勾股定理的运用．连接OA ，根据垂径定理，得8cm AD BD ==，设cm OA x =，则()4cm OD x =-，根据勾股定理，即可．【详解】解：连接OA ，∵AB 是O e 的弦，C 是 AB 的中点，AD BD \=，16cm AB =Q ，8cm AD BD \==，设cm OA x =，则()4OD x cm =-，222OA AD OD \=+，2228(4)x x \=+-，解得：10x =．故答案为：10．13．7【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，熟练掌握一元二次方程的解与一元二次方程的关系是解题的关键．由题意得2250a a +-=，将其变形与2368a a +-进行关联，即可求解．【详解】解：∵a 为方程2250x x +-=的解，∴2250a a +-=，∴225a a +=，∴()223683283587a a a a +-=+-=´-=．故答案为：7．14．11【分析】本题考查了相似三角形的运用．熟练掌握相似三角形的对应边成比例，是解答此题的关键．设这棵树的高度是x 米，根据同一时刻的物高与影长成比例得出比例式，即可得出结果．【详解】解：设这棵树的高度是x 米，根据题意得：16.51 1.5x =，解得：11x =；即这棵树的高度为11米．故答案为：11．15．15或16##16或15【分析】分3为等腰三角形的腰长和3为等腰三角形的底边长两种情况，再利用一元二次方程根的定义、根的判别式求解即可得．【详解】解：由题意，分以下两种情况：（1）当3为等腰三角形的腰长时，则3是关于x 的方程280x x n -+=的一个根，因此有23830n -´+=，解得15n =，则方程为28150x x -+=，设另一个根为2x ，∴238x +=∴另一个根为5x =，此时等腰三角形的三边长分别为3,5,5，满足三角形的三边关系；（2）当3为等腰三角形的底边长时，则关于x 的方程280x x n -+=有两个相等的实数根，因此，根的判别式6440n D =-=，解得16n =，则方程为28160x x -+=，解得方程的根为124x x ==，此时等腰三角形的三边长分别为3,4,4，满足三角形的三边关系；综上，n 的值为15或16，故答案为：15或16．【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义、根的判别式、等腰三角形的定义等知识点，正确分两种情况讨论是解题关键．需注意的是，要检验三边长是否满足三角形的三边关系定理．16．1x =或2x =-【分析】本题主要考查了解一元二次方程，设21x t -=，则方程()()22142150x x -+--=可以化为2450t t +-=，根据题意可得方程2450t t +-=的解是11t =，25t =-，则211x -=或215x -=-，据此求解即可．【详解】解：设21x t -=，则方程()()22142150x x -+--=可以化为2450t t +-=，∵方程2450x x +-=的解是11x =，25x =-，∴方程2450t t +-=的解是11t =，25t =-，∴211x -=或215x -=-，解得1x =或2x =-，故答案为：1x =或2x =-，17．4【分析】本题考查重心与三角形中线的关系，直角三角形斜边上的中线的性质，根据三角形重心的定义得BD 为ABC V 的中线，又AG GC ^，根据直角三角形斜边上中线的性质可知12GD AC =，再根据重心的性质得2BG GD =，即可得解．解题的关键是掌握：三角形的重心是三条中线的交点，三角形的重心到顶点的距离是重心到对边中点的距离的2倍．【详解】解：∵G 是ABC V 的重心，∴BD 为ABC V 的中线，又∵AG GC ^，∴GD 为Rt AGC △斜边上的中线，∴12GD AC =，∵G 是ABC V 的重心，4AC =，∴24BG GD AC ===，∴BG 的长为4．故答案为：4．18．9或90-10811【分析】分三种情形：如图1中，当PA PD ¢='时，如图2中，当AP AD ¢=时，如图3中，当D A D P ¢¢=时，分别求解即可．【详解】解：如图1中，当PA PD ¢=时，由翻折的性质可知，PD PD ¢=，∴9PA PD PD ¢===；如图2中，当AP AD ¢=时，作D H AD ¢^于点H ，设AP x =，则18PD PD x ¢==-，∵18BC =，E 是BC 的中点，∴9BE =，在矩形ABCD 中，12AB =，90B Ð=°，∴15AE ===，∵AD BC ∥，∴HAD AEB Ð=Ð，∴AHD EBA¢V V ∽∴AH HD AD BE AB AE ¢¢==，∴91215AH HD x =¢=，解得34,55AH x HD x =¢=，∴3255PH x x x =-=，在Rt PHD ¢V 中，222PH HD PD ¢¢+=,∴()222241855x x x æöæö+=-ç÷ç÷èøèø，解得90x =-90x =+（舍去）；如图3中，当D A D P ¢¢=时，作D H AD ¢^于点H ，设AP x =，则2x AH PH ==，18PD PD x ¢==-，∵AH AD BE AE¢=，∴182915xx -=，解得10811x =综上，满足条件的AP 的值为9或338-10811，故答案为：9或90-10811．【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．19．(1)1211x x =-+=-(2)12x x ==【分析】本题主要考查了解一元二次方程：（1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再解方程即可；（2）利用公式法解方程即可．【详解】（1）解：∵2210x x +-=，∴221x x +=，∴2212x x ++=，∴()212x +=，∴1x +=解得1211x x =-=-；（2）解：∵22310x x --=，∴231a b c ==-=-，，，∴()()23421170D =--´´-=>，∴x ．20．见解析【分析】本题考查了全等三角形的性质、相似三角形的判定，根据“全等三角形的对应边相等、对应角相等”，得出AB EB =，BC BD =，ABC EBD Ð=Ð，推出AB EB BC BD=，ABE CBD Ð=Ð，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，即可证明ABE CBD V V ∽，熟练掌握全等三角形的性质、相似三角形的判定是解题的关键．【详解】证明：∵ABC EBD △≌△，∴AB EB =，BC BD =，ABC EBD Ð=Ð，∴AB EB BC BD=，ABC CBE EBD CBE Ð+Ð=Ð+Ð，即ABE CBD Ð=Ð，∴ABE CBD V V ∽．21．(1)见解析(2)()16,2A --，()2,2a b --【分析】本题考查了位似变换，正确掌握位似比与坐标的关系是解题的关键．（1）根据位似图形的性质得出1A 、1B ，再顺次连接即可；（2）利用（1）中位似比得出对应点坐标关系即可．【详解】（1）解：11OA B V 如图所示：；（2）解：由图可得：()16,2A --，点(),D a b 在线段OA 上，点D 对应点1D 的坐标为()2,2a b --．22．见解析【分析】本题考查了垂径定理、等腰三角形的性质，作OH AB ^于H ，由垂径定理可得AH BH =，由等腰三角形的性质可得CH DH =，然后即可证得AC BD =，熟练掌握垂径定理及等腰三角形的性质是解此题的关键．【详解】证明：作OH AB ^于H ，如图，，则AH BH =，OC OD =Q ，OH AB ^，CH DH \=，CH AH DH BH \-=-，即AC BD =．23．(1)灯杆AB 的高度为6m(2)此时小丽的影长GH 的长是2m【分析】本题考查了中心投影及相似三角形的应用，解这道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似比列出方程即可求出．（1）根据题意得出AB CD ∥，由平行线得出EAB ECD △∽△，得出对应边成比例，即可得出结果．（2）根据相似三角形HGF HBA V V ∽的对应边成比例列出比例式，代入相关数值解答即可．【详解】（1）解：如图1，根据题意得：AB CD ∥，145BE =+=（米)，EAB ECD \V V ∽，\AB BE CD DE =，即51.21AB =，解得：6AB =（米)；答：灯杆AB 的高度为6m ；（2）如图2，根据题意得：AB FG ∥，145BE =+=（米)，HGF HBA \V V ∽，\AB BH FG GH =，即681.2GH GH+=，解得：2GH =（米)；答：此时小丽的影长GH 的长是2m ．24．(1)见解析(2)85【分析】本题主要考查了根与系数的关系，根的判别式及解一元二次方程，熟练掌握根与系数的关系，根的判别式及解一元二次方程的方法进行求解是解决本题的关键．（1）根据题意可得，1a =，(23)b m =-+，2254c m m =+-，即可算出24b ac D =-，化简得2(4)4m -+，根据非负数的性质即可得出答案；（2）记直角三角形的两直角边为AB 、AC ，由AB 、AC 的长是该方程的两个实数根，可得23AB AC m +=+，2254AB AC m m ×=+-，再由ABC V 是直角三角形，可得222AB AC BC +=，即22()2AB AC AB AC BC +-×=，再列出方程并解一元二次方程即可得出答案．【详解】（1）证明：1a =Q ，(23)b m =-+，2254c m m =+-，\2224[(23)]41(254)b ac m m m D =-=-+-´´+-2820m m =-+2(4)4m =-+，2(4)0m -³Q ，2(4)440m \-+³>，即0D >，\无论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：记直角三角形的两直角边为AB 、ACQ AB 、AC 的长是该方程的两个实数根，\23AB AC m +=+，2254AB AC m m ×=+-，Q ABC V 是直角三角形，222AB AC BC \+=，22()2AB AC AB AC BC \+-×=，即222(23)2(254)m m m +-´+-=，整理，得252160m m +-=，解得185m =，22m =-（舍去）\m 的值是8525．(1)2204(05)S t t t =-££(2)10cmPQ =(3)3t =秒或4011t =秒【分析】此题是相似形综合题，主要考查了直角三角形的面积公式，勾股定理，相似三角形的性质，解本题的关键时用分类讨论的思想和方程思想解决问题．（1）由点P ，点Q 的运动速度和运动时间，又知,AC BC 的长，可将CP 、CQ 用含t 的表达式求出，代入直角三角形面积公式12CPQ S CP CQ =´V 求解；（2）在Rt CPQ V 中，当3t =秒，可知CP 、CQ 的长，运用勾股定理可将PQ 的长求出；（3）应分两种情况：当Rt CPQ Rt CAB V V ∽时，根据CP CQ CA CB =，可将时间t 求出；当Rt CPQ Rt CBA V V ∽时，根据CP CQ CB CA=，可求出时间t ．【详解】（1）解：由题意得4,2AP t CQ t ==，则204CP t =-，∴Rt CPQ V 的面积为211(204)2204(05)22S CP CQ t t t t t =´=´-´=-££；（2）解：由题意得4,2AP t CQ t ==，则204CP t =-，当3t =秒时，2048cm,26cm CP t CQ t =-===，在Rt CPQ V 中，由勾股定理得10cm PQ ===；（3）解：由题意得4,2AP t CQ t ==，则204CP t =-，∵20cm,15cm AC BC ==．∴①当Rt CPQ Rt CAB V V ∽时，CP CQ CA CB =，即20422015t t -=，解得3t =秒；②当Rt CPQ Rt CBA V V ∽时，CP CQ CB CA =，即20421520t t -=，解得4011t =秒．∴3t =秒或4011t =秒时，以点C 、P 、Q 为顶点的三角形与ABC V 相似．26．(1)25%(2)60元【分析】本题考查一元二次方程的应用，（1）设该款吉祥物摆件4月份到6月份销售量的月平均增长率为x ，利用该款吉祥物摆件6月份的销售量=该款吉祥物摆件4月份的销售量(1´+该款吉祥物摆件4月份到6月份销售量的月平均增长率)2x ，可列出关于x 的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；（2）设该吉祥物摆件售价为y 元，则每件的销售利润为()45y -元，月销售量为()168020y -件，利用总利润=每件的销售利润´月销售量，可列出关于y 的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【详解】（1）解：设该款吉祥物摆件4月份到6月份销售量的月平均增长率为x ，根据题意得：()21921300x +=，解得：10.2525%x ==，2 2.25x =-（不符合题意，舍去），答：该款吉祥物摆件4月份到6月份销售量的月平均增长率为25%；（2）设该吉祥物摆件售价为y 元，则每件的销售利润为()45y -元，∴月销售量为：()3002069168020y y +-=-，根据题意得：()()451680207200y y --=，整理得：212941400y y -+=，解得：160y =，269y =（不符合题意，舍去），答：当该吉祥物摆件售价为60元时，月销售利润达7200元．27．(1)原方程组的解为13x y =ìí=î或611x y =-ìí=-î(2)12124a ³-【分析】本题考查解二元二次方程组，一元二次方程的根的判别式等知识，读懂题意掌握给出的方法是解题的关键．（1）将前一个方程转化为21y x =+，代入后一个方程求出x 的值，继而利用21y x =+得出y 的值，从而得解；（2）将前一个方程转化为21y x =+，代入后一个方程得到关于x 的方程，然后分所得方程是一元一次方程还是一元二次方程讨论，对于前者直接求解即可，对于后者根据根的判别式与方程的根的关系得出0D ³，继而得到关于a 的不等式，从而得解．【详解】（1）2221370x y y x x -=-ìí-+-=î①②由①，得21y x =+③把③代入②，得()2221370x x x +-+-=．整理，得2560x x +-=．解得11x =，26x =-．把11x =，26x =-代入③，得13y =，211y =-．故原方程组的解为13x y =ìí=î或611x y =-ìí=-î（2）222170x y y ax x -=-ìí++-=î①②由①得，得21y x =+③把③代入②，得()222170x ax x +++-=．整理，得()24560a x x ++-=．①若40a +=，则4a =-．此时原方程可化为560x -=，解得65x =，符合题意；②若40a +¹，则()()Δ254460a =-´+´-³且4a ¹-．解得12124a ³-且4a ¹-．综上可知，12124a ³-．28．(1)(2)见解析(3)65t =或145t =(4)1312t =或4013t =【分析】（1）易得5AD AB ==，根据勾股定理可得3AH ==，则2BH AB AH =-=，再根据勾股定理可得BD ==12BO BD AC BD ==^，2AC AO =，进而得出AO ==（2）根据轴对称的性质得出MN 为PEF !的中位线，即可求证；（3）进行分类讨论：①当点M 和点N 都在AD 上时，②当点M 落在边AC 上，点N 落在边DC 上时，③当点M 和点N 都在CD 上时，利用相似三角形的判定与性质等知识分别求解即可．（4）根据题意可得：AP =，则CP =，然后进行分类讨论：①当点M 和点N 都在AD 上时，②当点M 落在边AC 上，点N 落在边DC 上时，③当点M 和点N 都在CD 上时；【详解】（1）解：∵四边形ABCD 是菱形，5AB =，∴5AD AB ==，∵DH AB ^，4DH =，∴根据勾股定理可得：3AH ==，∴2BH AB AH =-=，根据勾股定理可得：BD ==∵四边形ABCD 是菱形，∴12BO BD AC BD ==^，2AC AO =，根据勾股定理可得：AO ==∴2AC AO ==故答案为：（2）证明：∵点P 关于直线AD 的对称点为点E ，点P 关于直线DC 的对称点为点F ，∴,PM EM PN FN ==，∴MN 为PEF !的中位线，∴12MN EF =；（3）解：①当点M 和点N 都在AD 上时，根据轴对称的性质可得：PE AD ^，PF CD ^，∵,PAM DAO AOD AMP Ð=ÐÐ=Ð，∴AMP AOD △∽△，∴AP PM AD OD ==，∴PM t =，∵,AB CD DH AB ^∥，∴DH CD ^，∴DH PN ∥，∴ADH PNM Ð=Ð，∵PMN AHD Ð=Ð，∴PMN AHD V V ∽，∵AHD PMN V V ∽，且相似比为5:2，∴352AH PM PM ==，∴65=PM ，∴65t =；②当点M 落在边AC 上，点N 落在边DC 上时，PEF PMNV V ∽由（2）可知，MN 为PEF !的中位线，∴相似比为2:1，不符合题意，舍去；③当点M 和点N 都在CD 上时，延长AD 交PE 于T ，由轴对称的性质可得90DTM PNM ==°∠∠，又∵DMT PMN =∠∠，∴TDM NPM =∠∠；∵90AHD CDH DTM ===°∠∠∠，∴90ADH DAH ADH TDM +=+=°∠∠∠∠，∴DAH TDM MPN ==∠∠∠，又∵90AHD PNM ==°∠∠，∴ADH PMN V V ∽，∵相似比为5:2，∴352AH PN PN ==，∴65PN =，∵PNC DOC PCN DCO ==∠∠，∠∠，∴CPN CDO V ∽，∴PN CP DO CD ==，解得：145t =．综上：65t =或145t =．（4）解：根据题意可得：AP =，则CP =，①当点M 和点N 都在AD 上时，延长CD 交PF 于点G ，过点E 作EI PF ^于点I ，根据轴对称的性质可得：PE AD ^，PF CD ^，∵,PAM DAO AOD AMP Ð=ÐÐ=Ð，∴AMP AOD △∽△，∴AP PM AD OD ==，∴PM t =，则2PE t =，∵,DCO PCG COD CGP Ð=ÐÐ=Ð，∴COD CGP V V ∽，∴PG CP DO CD ==，∴4PG t =-，则282PF PG t ==-，∵,AB CD DH AB ^∥，∴DH CD ^，∴DH PN ∥，∴ADH PNM Ð=Ð，∵PMN AHD Ð=Ð，∴PMN AHD V V ∽，∴PM MN AH DH =，即34t MN =，∴43MN t =，∴211422233PMN S MN PM t t t =×=´´=V ，∵,EIP NMP EPI NPM Ð=ÐÐ=Ð，∴EPI NPM V V ∽，∴EPI DAH V V ∽，∴PE EI AD DH=，即254t EI =，∴85EI t =，∴()21183288222555PEF S PF EI t t t t =×=´-´=-V ，∵四边形EMNF 的面积是PMN V 面积的7倍时，∴8PMN PEF S S =V V ，即2223288355t t t ´=-，解得：1213,012t t ==（舍去），②当点M 落在边AC 上，点N 落在边DC 上时，由（2）可知，MN 为PEF !的中位线，不符合题意，舍去，∴12MN EF NM EF =∥，，∴PMN PEF △∽△，∴214PMN PEF S MN S EF æö==ç÷èøV V ,∴四边形EMNF 的面积是PMN V 面积的3倍，不符合题意；③当点M 和点N 都在CD 上时，延长AD 交EP 于点J ，过点F 作FK PE ^于点K ，和①同理可得：PJ t =，则2PE t =，CPN CDO V V ∽，∴CP PN CD DO ==∴4PN t =-，则82PF t =-，和①同理可得：ADH PMN PFK V V V ∽∽，∴4164333MN PN t ==-，4328555FK PF t ==-，∴()2111642163242233333PMNS MN PN t t t t æö=×=´-´-=-+ç÷èøV 2113283282225555PEF S PF FK t t t t æö=×=´´-=-ç÷èøV ，∵∵四边形EMNF 的面积是PMN V 面积的7倍时，∴8PMN PEF S S =V V ，即2221632328833355t t t t æö-+´=-ç÷èø，解得：1240,413t t ==（舍去），综上：1312t =或4013t =；【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，轴对称性质、三角形的中位线性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，根据点的运动情况，正确找出相似三角形．。
重庆一中高2020级高三下学期期中考试数学参考答案
重庆一中高2020级高三下学期期中考试理科数学参考答案一.选择题：BACBCD ABACCB;二.填空题：13.1- 14.8 15.840 16.（1）4π；（2）12解：(1) 211cos 2()sin(2)2cos 2cos 226222x f x x x x x π+=+-=+-⨯……2分 ()sin(2)16f x x π⇒=--……………4分 222,26263k x k k x k k Z πππππππππ-+≤-≤+⇒-+≤≤+∈…………5分 ()f x 的单调增区间为[,],63k k k Z ππππ-++∈……6分（2）由5()264A f π-=-⇒1cos sin 4A A =⇒=7分 在ABD ∆中，由正弦定理可得：2sin sin BD AD AD A ABD=⇒=∠,2CD DA =u u u r u u u r 可得4DC =……8分1cos 4BDC ∠==10分在BCD ∆中，由余弦定理可得：2161024366BC BC =++⨯⨯=⇒=……12分 18.解：(1)能排除2个选项的试题记为A 类试题；设选对一道A 类试题为A ，则1()2P A =……1分 能排除1个选项的试题记为B 类试题；设选对一道B 类试题为B ，则1()3P B =……2分 该考生选择题得55分的概率为：A 对2道，B 对0道,则概率为222122()2312C ⨯=……3分 A 对1道，B 对1道,则概率为122112()2312C ⨯=……4分 则221(55)12123P x ==+=……5分 (2)该考生所得分数45,50,55,60x =……6分022121(45)()236P x C ==⨯=;12022212115(50)()()232312P x C C ==⨯+⨯=;022111(60)()2312P x C ==⨯=;……9分（每个概率各1分） ∴X 的分布列为：1511155455055606123123Ex =⨯+⨯+⨯+⨯=.……12分 （其中分布列1分，期望表达式1分，计算期望1分）19.证明：（1）设点O 为BC 中点，BCF ∆是正三角形OF BC ⇒⊥，平面ABCD ⊥平面BCF ，平面ABCD I 平面BCF BC =,则OF ⊥平面ABCD ……2分AE ⊥平面ABCD AE OF ⇒P ，……4分OF ⊂平面BCF ,AE ⊄平面BCF AE ⇒P 平面BCF ……6分（2）ABCDEF F ABCD E ADF F ABCD F ADE V V V V V ----=+=+2111(23)3(23)2316332AE =⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=2AE ⇒=……7分 由题意可知，建立如图直角坐标系，……8分ABCD 是边长为23的正方形，BCF ∆是正三角形.则(23,0,0)(0,23,0),(0,0,2)D B E ，,(3,23,3)F ，(3,23,3),(23,0,2)DF DE =-=-u u u r u u u r ……10分设平面DEF 的法向量为(,,)n x y z =r ，则00DF n DE n ⎧⋅=⎪⇒⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r (1,1,3)n =-r ，……11分 又(3,0,3)BF =u u u r ,若BF u u u r 与平面BEF 所成角为θ，则4325sin 523n BF n BFθ⋅===⨯⋅r u u u r r u u u r ……12分 20.解：（1）最大距离为31+311a r r ⇒+=+⇒=；……2分ABF ∆为直角三角形22c r c ⇒=⇒=；……3分又2231b c b +=⇒=；……4分圆O 的方程为：221x y +=；椭圆C 的方程为：2213x y +=……5分 （2）y kx m =+与圆相切：则221m k =+；……6分设11(,)P x y ，22(,)Q x y ,由2213x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(13)6330k x kmx m +++-= ……7分由0∆>，得2231k m +>…（※），且2121222633,1313km m x x x x k k-+=-=++……8分PQ ==10分1222()31PF QF a e x x k +=-+=++……11分FPQ ∆的周长为PQ PF QF ++=12分21.解：(1) 1112()()()(1)'()0,1,x x f x x a e x a x a e f x x x a --'=--+=--⇒===……1分函数()f x 为单调函数1a ⇒=……3分经检验，1a =，()f x 为增函数，故1a =适合题意……4分（也可分类讨论）(2)令12'()0,1f x x a x =⇒==，（Ⅰ）当0a ≤时，则(0,1)'()0x f x ∈⇒<⇒()f x 在(0,1]上为减函数(1,)'()0x f x ∈+∞⇒>⇒()f x 在[1,)+∞上为增函数当1x =时，()f x 有最小值1(1)2f =-. 故0a ≤不适合题意……5分 （Ⅱ）当1a =时，则(0,1)'()0x f x ∈⇒>⇒()f x 在(0,1]上为增函数(1,)'()0x f x ∈+∞⇒>⇒()f x 在[1,)+∞上为增函数∴()f x 在(0,)+∞上为增函数，()f x 无最小值，故1a =适合题意……6分（Ⅲ）当1a >时，则(0,1)'()0x f x ∈⇒>⇒()f x 在(0,1]上为增函数(1,)'()0x a f x ∈⇒<⇒()f x 在[,1]a 上为减函数(,)'()0x a f x ∈+∞⇒>⇒()f x 在[,)a +∞上为增函数……7分则()f x 无最小值，故(0)()f f a <21121111(1)022a a a a e e a e a e -----⇒<-⇒--+<……8分 g (a )=e a−1−12a 2−(a +1)e −1,a >1⇒g′(a )=e a−1−a −e −1由g ′′(a)=e a−1−1>0在(1,+∞)上恒成立⇒g′(a )=e a−1−a −e −1在(1,+∞)上为增……9分 且g ′(1)=−e −1<0, g ′(2)=e −2−e −1>0⇒g ′(a)=0存在唯一的实根a 1∈(1,2)⇒g(a) 在(1,a 1)上为减； g(a) 在(a 1,+∞)上为增……10分且g (1)=ⅇ−42ⅇ<0,g (2)=e −2−3ⅇ<0,g (3)=e 2−92−4ⅇ>0⇒g(a)=0存在唯一的实根a 2∈(2,3),e a−1−12a 2−(a +1)e −1<0⇒a <a 2……11分()f x 无最小值，21a a <<,a 2∈(2,3)，综上，21a a ≤<，a 2∈(2,3)，a Z ∈Q ，a min +a max =1+2=3……12分22.解：（1）直线1l 可化为：(4)y k x =--，代入2l ，消去k 可得：222(4)40y x x x y x =--⇒+-= ……4分由直线12,l l 斜率存在且不为零，则0y ≠，曲线1C 的普通方程为：2240(0)xy x y +-=≠……5分 （2）3:sin()4l πρθ-=2y x =+……6分设点B 到直线3l 的距离为d ，则AB 与3l 的夹角为4πAB ⇒=……7分max 22d =+=+……9分max 4AB =+10分【考点】普通方程、参数方程、极坐标方程互化，长度最值.23.解：（1）∵，，，∴，302b <<，……2分 ∴，……4分 ∴当，时，的最小值为， ∴22995a b ≤+<；……5分 （2）∵，，，∴， 当且仅当时，取等号，……7分 ∴，……9分 ∴时，的最大值为，∴．……10分 0a >0b >23a b +=320a b =->222222699(32)51295()555a b b b b b b +=-+=-+=-+≥65b =3325a b =-=22a b +950a >0b >23a b +=3≥908ab <≤322a b ==334a b ab +22(4)ab a b =+2[(2)4]ab a b ab =+-22819(94)94()4()168ab ab ab ab ab =-=-=--98ab =334a b ab +81163381416a b ab +≤。
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重庆市树人中学校2013—2014学年度(下)半期考试高一年级数学试题(文科)第一卷 共50分一、选择题(每题有且仅有一个正确答案,请将正确答案填涂在答题卷相应位置,每小题5分,共50分)1.数列{}n a 的通项公式为21n a n =+,则5a 的值为( )A.5B.10C.17D.26 2.若实数x 为10和90的等差中项,则x 的值为( )A.30B.40C.50D.60 3. 已知等差数列{}n a 中,38622,7a a a +==,则5a 的值为( )A.5B.15C.20D.25 4.已知等比数列{}n a 中,1235a a a =,45610a a a =,则789a a a 的值为( ) A.15 B.20 C.25 D.30 5.已知实数,a b 满足a b >,则下列说法一定正确的是( )A.a c b c ->-B.22a b > C.11a b< D.22ac bc > 6.已知0,0a b >>,且210a b +=,则2ab 的最大值为( ) A.25 B.252 D.1037.在ABC ∆中,角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ,若60,1A b ==,且ABC ∆则边a 的值为( )A. D.3 8.已知各项均为正数的等比数列{}n a 公比1q ≠,则37a a +与52a 的大小关系为( ) A.3752a a a +>B.3752a a a +<C.3752a a a +=D.37a a +与52a 的大小关系不确定9.数列1111,,,,...121231234++++++的前100项和为( ) A.99100 B.100101 C.201100 D.20010110.已知0,0a b >>且22a b +=,若21m a b+>恒成立,则实数m 的取值范围为( )A.(,8)-∞B.(8,)+∞C.(,4)-∞D.(4,)+∞第二卷 共100分二､填空题(请将正确答案填在答题卷相应位置,每小题5分,共25分) 11.关于实数x 的不等式22740x x -->的解集为 ｡12.在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,若60,3,A a b ===,则=B｡13.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,且公差40320,0d S <=,则n S 取得最大值时n = ｡14.在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,若::1:2:3A B C =,则::a b c = ｡15.已知各项均不为0的数列{}n a 满足12a =,112n n n n a a a a ++=-,n N +∈,则其通项公式n a = ｡三､解答题(请将正确答案做在答题卷相应位置,要有必要的推理或证明过程,共75分) 16.(本题满分13分)已知等差数列{}n a 满足368,17a a ==｡ (1)求{}n a 的通项公式;(2)各项均为正数的等比数列{}n b 满足1133,b a b a ==,求数列{}n b 的通项公式｡17.(本题满分13分)已知集合A 既是分式不等式113x <-的解集,又是一元二次不等式20x ax b ++>的解集｡(1)求集合A ; (2)求实数,a b 的值｡18.(本题满分13分)在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,已知角A 为一个锐角,且2sin a B =⋅｡(1)求角A ;(2)若a =1b =,求ABC ∆的面积｡19.(本题满分12分)在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别是,,a b c ｡ (1)若(2)cos cos 0a c B b C ++=,求角B 的值;(2)若b 为a ,c 的等比中项,求cos B 的最小值｡20.(本题满分12分)已知n S 为数列{}n a 的前n 项和,且对任意n N +∈有22n n S a =-｡ (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若不等式2640n n a k a -⋅+≥对任意n N +∈恒成立,求实数k 的取值范围｡21.(本题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,数列{}n b 满足2log (1)n n b a =+,11a =且对于任意2,n n N +≥∈有121n n a a -=+｡ (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若n n n c a b =⋅,求数列{}n c 的前n 项和nT重庆市树人中学校2013—2014学年度(下)半期考试高一年级数学(文科)参考答案一、选择题(每题有且仅有一个正确答案,请将正确答案填涂在答题卷相应位置,每小题5分,共50分)【1】22515126n a n a =+⇒=+=,选D 【2】x 为10和90的等差中项,则1090502x +==,选C 【3】386552215a a a a a +==+⇒=,选B【4】{}n a 为等比,则123456789,,a a a a a a a a a 也成等比数列,选B 【5】由不等式性质知a b a c b c >⇒->-,选A【6】210105252a b ab +=⇒≥⇒≥⇒≥,当且仅当25a b ==时取得最大值,选A【7】ABC ∆1sin 602bc ⇒=,由1b =知4c =,代入余弦定理得a =选C【8】3752a a a +≥==,而1q ≠所以取不到等号,选A 【9】数列的通项公式为11112()(1)12 (1)2n a n n n n n ===-+++++,易得前100项和为12002(1)101101-=,选D【10】212111422()(2)(22)222b a a b a b a b a b a b +=⇒+=++⨯=+++≥+ 4=,所以21a b+的最小值为4,所以4m >,选C 二､填空题(请将正确答案填在答题卷相应位置,每小题5分,共25分)(4,)+∞【11】22740(21)(4)0(,)(4,)2x x x x x -->⇒+->⇒∈-∞-+∞【12】sin 45sin sin 2a b B B A B =⇒=⇒=或135,又60A =︒,所以45B = 【13】21()22n d dS n a n =+-,0d <,由二次函数的性质,n S 开口向下,40320S =,且过坐标原点,对称轴为2016,所以前2016项和最大【14】::1:2:330,60,90,::sin :sin :sin A B C A B C a b c A B C =⇒====1:2= 【15】12a =,11111122n n n n n n n a a a a a a a +++⎧⎫=-⇒=-⇒⎨⎬⎩⎭为公差为2,首项为12的等差数列,所以114322(1)2243n n n n a a n -=+-=⇒=- 三､解答题(请将正确答案做在答题卷相应位置,要有必要的推理或证明过程,共75分) 16.(本题满分13分,第(1)问6分,第(2)问7分) 【解】(1)设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d , 依题意有:316128517a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩,解得:123a d =⎧⎨=⎩,于是31n a n =-;………………6分(2)依题意设11n n b b q -=,123128b b b q =⎧⎨=⋅=⎩,由于{}n b 为正项等比数列,所以0q >,解得122b q =⎧⎨=⎩即2n n b =｡…………………………………………………………………13分 17.(本题满分13分,第(1)问6分,第(2)问7分) 【解】(1)1141100(4)(3)03333xx x x x x x -<⇒-<⇒<⇒--<⇒<---或4x >,所以集合(,3)(4,)A =-∞+∞;………………………………………………………6分(2)集合A 为一元二次不等式20x ax b ++>的解集,则方程20x ax b ++=的根即为123,4x x ==………………………………………………………………………………9分由韦达定理知1212712x x a a x x bb +=-=-⎧⎧⇒⎨⎨⋅==⎩⎩｡……………………………………………13分 18.(本题满分13分,第(1)问5分,第(2)问8分)【解】(1)2sin 2sin sin sin a B B A B A =⋅⇒=⋅⇒=,由A 为锐角,所以60A =｡…………………………………………………………………………………5分(2)222222cos 312a b c bc A c c c =+-⇒=+-⇒=……………………………10分1sin 2ABC S bc A ∆==………………………………………………………………13分 19.(本题满分12分,第(1)问6分,第(2)问7分)【解】(1)(2)cos cos 0(2sin sin )cos sin cos 0a c B b C A C B B C ++=⇒++=2sin cos cos sin sin cos 02sin cos sin()0A B B C B C A B B C ⇒++=⇒++= 122sin cos sin 0cos 23A B A B B π⇒+=⇒=-⇒=;……………………………6分 (2)若b 为a ,c 的等比中项,则2b ac =……………………………………………8分2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=,当且仅当a c =时取到等号｡………………………………………………………………………………………………12分 20.(本题满分12分,第(1)问5分,第(2)问7分)【解】(1)1122,22n n n n S a S a --=-=-,两式相减得,11222,2n n n n n a a a a a n --=-⇒=≥,所以{}n a 为等比数列,1122a a =-12a ⇒=,所以2n n a =;………………………………………………………………………………5分(2)2226464022640264222nn n n n n n n a k a k k k -⋅+≥⇒-⋅+≥⇒+≥⋅⇒+≥ …………………………………………………………………………………………………8分只需min 64(2)2nn k +≥ ,642162n n +≥=,当且仅当3n =时取等号｡…11分 所以16k ≥｡………………………………………………………………………………12分 21.(本题满分12分,第(1)问4分,第(2)问9分)【解】(1)121n n a a -=+,则112(1)n n a a -+=+,所以{}1n a +是以112a +=为首项,2为公比的等比数列｡所以1221n n n n a a +=⇒=-;………………………………4分 (2)2log (1)n n n b a b n =+⇒=(21)2n n n n n c a b n n n =⋅=-=⋅-………………………………………………………5分使用分组求和:231'122232...(1)22n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯2'T = 2341122232...(1)22n n n n +⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ 23111'222...2222(12)2n n n n n T n n -++-=+++++-⨯=---⋅1'2(1)2n T n +=+-⋅………………………………………………………………………10分(1)''123 (2)n nT n +=++++=…………………………………………………………11分 1(1)'''2(1)22n n n T T T n ++=-=+-⋅-｡………………………………………………12分。