2015-2016学年山西省运城市高三(上)期中数学试卷和答案(文科)
2016-2017学年山西省运城市高三上学期期末数学试卷(理科)含答案
2016-2017学年山西省运城市高三上学期数学期末试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1．（5分）设集合A={x|﹣1＜x≤2}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是（）A．3B．4C．5D．62．（5分）复数的虚部为（）A．2B．﹣2C．2i D．﹣2i3．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）•g（x）是偶函数B．f（x）+x2是奇函数C．f（x）﹣sinx是奇函数D．g（x）+2x是奇函数4．（5分）如图是实现秦九韶算法的程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入a=3，4，5，6，7，…，则输出的s=（）A．3B．10C．25D．565．（5分）已知三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图为直角三角形，俯视图为等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于（）A．B．C．D．6．（5分）已知，x＞1，y＞1，且lnx，，lny成等比数列，则xy有（）A．最小值e B．最小值C．最大值e D．最大值7．（5分）若直线l过点（﹣3，1）且被圆x2+y2=25截得的弦长为8，则直线l 的方程是（）A．x=﹣3或4x+3y﹣15=0B．4x﹣3y+15=0C．4x+3y﹣15=0D．x=﹣3或4x﹣3y+15=08．（5分）定义=a1b2﹣a2b1，f（x）=，则f（x）（）A．有最大值1B．图象关于直线x=﹣对称C．在区间（﹣，0）上单调递增D．周期为π的偶函数9．（5分）若函数f（x）=的值域为实数集R，则f（2）的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）B．（﹣∞，﹣）C．[﹣，+∞）D．[﹣，﹣）10．（5分）设向量，满足||=1，|+|=，•（+）=0，则|2﹣|=（）A．2B．2C．4D．411．（5分）已知F 是双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点，过F 作倾斜角为60°的直线l ，直线l 与双曲线交于A ，与y 轴交于点B ，且=，则该双曲线的离心率等于（ ） A ．+1B ．C ．+1D ．12．（5分）函数f （x ）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x ），且有3xf （x ）+x 2f （x ）＜0，则不等式（x +2016）3f （x +2016）+27f （﹣3）＞0的解集（ ） A ．（﹣2018，﹣2016） B ．（﹣∞，﹣2016） C ．（﹣2019，﹣2016） D ．（﹣∞，﹣2019）二、填空题13．（5分）已知sinx +cosx=，则sin （x +）= ． 14．（5分）已知实数x ，y 满足条件则z=的最小值为 ．15．（5分）已知抛物线C ：y 2=4x 与直线y=k （x +1）（k ＞0）相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|FA |=2|FB |，则k= ． 16．（5分）以下说法正确的有 ①若p ：∃x 0∈R ，x﹣x 0＞0，则￢p ：∀x ∈R ，x 2﹣x ＞0②已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同是平面，若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥β③“m ＞2”是“∀k ∈R ，y=kx +2k 与x 2+y 2+mx=0都有公共点”的充分不必要条件④在△ABC 中，AB=AC=3，BC=2，p 是△ABC 内部的一点，若==（S △PAB ，S △PBC ，S △PAC 表示相应三角形的面积），则PA +PB +PC=2+．三、解答题17．（10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边是a ，b ，c ，已知a=c ，cos2B=，B为钝角．（1）求B；（2）若b=，求AC边上的高．18．（12分）已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，且a4=，=，数列{b n}的前n项和为T n，且T n=n2+n．（1）求{a n}，{b n}的通项公式；（2）若数列{c n}满足（n+1）2n a n b n c n=1，求数列{a n+c n}的前n项和．19．（12分）为调查运城市学生百米运动成绩，从该市学生中按照男女比例随机抽取50名学生进行百米测试，学生成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[13，14），第二组[14，15）…第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（Ⅰ）求这组数据的中位数（精确到0.1）（Ⅱ）根据有关规定，成绩小于16秒为达标．如果男女生使用相同的达标标准，则男女生达标情况如表：根据表中所给的数据，能否有99%的把握认为“体育达标与性别有关”？若有，你能否提出一个更好的解决方法来？附：K2=20．（12分）已知：矩形AA1B1B，且AB=2AA1=2，C1，C分别是A1B1、AB的中点，D为C1C中点，将矩形AA1B1B沿着直线C1C折成一个60°的二面角，如图所示．（1）求证：AB1⊥A1D；（2）求二面角B﹣A1D﹣B1的正弦值．21．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，且椭圆上的点到焦点的距离最小值为1，若F为左焦点，A为左顶点，过F的直线交椭圆于M，N直线AM，AN交直线x=t（t＜﹣2）于B，C两点．（1）求椭圆方程；（2）若以BC为直径的圆过F，求t的值．22．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣kx+1（k为常数），函数g（x）=xe x﹣ln（x+1），（a为常数，且a＞0）．（Ⅰ）若函数f（x）有且只有1个零点，求k的取值的集合；（Ⅱ）当（Ⅰ）中的k取最大值时，求证：ag（x）﹣2f（x）＞2（lna﹣ln2）．2016-2017学年山西省运城市高三上学期数学期末试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1．（5分）设集合A={x|﹣1＜x≤2}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是（）A．3B．4C．5D．6【分析】求出A与Z的交集，即可作出判断．【解答】解：∵A={x|﹣1＜x≤2}，Z为整数集，∴A∩Z={0，1，2}，则集合A∩Z中元素的个数是3，故选：A．2．（5分）复数的虚部为（）A．2B．﹣2C．2i D．﹣2i【分析】由复数的代数运算可化简复数，可得其虚部．【解答】解：由题意可得====1﹣2i，故其虚部为：﹣2故选：B．3．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）•g（x）是偶函数B．f（x）+x2是奇函数C．f（x）﹣sinx是奇函数D．g（x）+2x是奇函数【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可．【解答】解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），A．f（﹣x）•g（﹣x）=﹣f（x）•g（x），则函数f（x）•g（x）为奇函数，故A 错误，B．∵f（x）是奇函数，x2是偶函数，则f（x）+x2是非奇非偶函数，故B错误，C．f（﹣x）﹣sin（﹣x）=﹣f（x）+sinx=﹣[f（x）﹣sinx]，则f（x）﹣sinx是奇函数，故C正确，D．g（x）是偶函数，2x是非奇非偶函数，则g（x）+2x是非奇非偶函数，故D 错误，故选：C．4．（5分）如图是实现秦九韶算法的程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入a=3，4，5，6，7，…，则输出的s=（）A．3B．10C．25D．56【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体，输出a=3，则s=3，k=1，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体，输出a=4，则s=10，k=2，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体，输出a=5，则s=25，k=3，满足退出循环的条件；故输出的s值为25，故选：C．5．（5分）已知三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图为直角三角形，俯视图为等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于（）A．B．C．D．【分析】原几何体为三棱锥，三棱锥的高为，底面为等腰直角三角形，直角三角形的斜边为2，斜边的高为1，由此能求出三棱锥的体积．【解答】解：由题意知：原几何体为三棱锥，三棱锥的高为，底面为等腰直角三角形，直角三角形的斜边为2，斜边的高为1，所以三棱锥的体积为：V==．故选：A．6．（5分）已知，x＞1，y＞1，且lnx，，lny成等比数列，则xy有（）A．最小值e B．最小值C．最大值e D．最大值【分析】由题意可得lnx＞0，lny＞0，lnx•lny=，由基本不等式可得lnx+lny的最小值，由对数的运算可得xy的最小值．【解答】解：∵x＞1，y＞1，∴lnx＞0，lny＞0，又∵lnx，，lny成等比数列，∴=lnx•lny，解得lnx•lny=，由基本不等式可得lnx+lny≥2=1，当且仅当lnx=lny，即x=y=时取等号，故ln（xy）=lnx+lny≥1=lne，即xy≥e，故xy的最小值为：e故选：A．7．（5分）若直线l过点（﹣3，1）且被圆x2+y2=25截得的弦长为8，则直线l 的方程是（）A．x=﹣3或4x+3y﹣15=0B．4x﹣3y+15=0C．4x+3y﹣15=0D．x=﹣3或4x﹣3y+15=0【分析】算出圆心为O（0，0）、半径r=5，根据垂径定理算出直线到圆心的距离等于3．当直线斜率存在时设直线方程为y﹣1=k（x+3），由点到直线的距离公式建立关于k的等式，解出k=，可得此时直线的方程；当直线斜率不存在时，直线方程为x+3=0，到圆心的距离也等于3，符合题意．由此即可得出所求的直线方程．【解答】解：圆x2+y2=5的圆心为O（0，0），半径r=5．设圆心到直线的距离为d，①当过点M（﹣3，1）的直线斜率存在时，设直线方程为y﹣1=k（x+3），即kx﹣y+3k+1=0，∵直线圆x2+y2=25截得弦长为8，∴根据垂径定理，得圆心到直线的距离d=3．根据点到直线的距离公式，得=3，解之得k=，此时直线的方程为4x﹣3y+15=0；②当过点M（﹣3，1）的直线斜率不存在时，直线方程为x=﹣3．由圆心到直线的距离d=3，可得直线被圆截得的弦长也等于8，符合题意．综上所述，可得所求的直线方程为4x﹣3y+15=0或x=﹣3．故选：D．8．（5分）定义=a1b2﹣a2b1，f（x）=，则f（x）（）A．有最大值1B．图象关于直线x=﹣对称C．在区间（﹣，0）上单调递增D．周期为π的偶函数【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的性质，得出结论．【解答】解：f（x）==sinxcosx+cos2x﹣cos（+2x）=sin2x+﹣sin2x=﹣sin2x+cos2x+=﹣sin（2x﹣）+，故函数的最大值为1+=，故排除A；当x=﹣时，f（x）=1+=，是函数的最大值，故B正确；在区间（﹣，0）上，2x﹣∈（﹣，0），f（x）=﹣sin（2x﹣）+单调递减，故排除C；函数f（x）的周期为=π，且函数为非奇非偶函数，故D不正确，故选：B．9．（5分）若函数f（x）=的值域为实数集R，则f（2）的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）B．（﹣∞，﹣）C．[﹣，+∞）D．[﹣，﹣）【分析】由题意画出图形，得到0＜a＜1且，求出log a2的范围，则f（2）的取值范围可求．【解答】解：由f（x）=作出函数图象如图，由图象可知，0＜a＜1且，即．又f（2）=，∴f（2）∈[﹣，﹣）．故选：D．10．（5分）设向量，满足||=1，|+|=，•（+）=0，则|2﹣|=（）A．2B．2C．4D．4【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义求得=4，﹣=1，从而求得|2﹣|的值．【解答】解：∵向量，满足||=1，|+|=，且•（+）=0，∴+2+=3=1+2+，且=﹣=1，∴=4，﹣=1，∴+2+=1﹣2+4=3，则|2﹣|====2，故选：B．11．（5分）已知F是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点，过F作倾斜角为60°的直线l，直线l与双曲线交于A，与y轴交于点B，且=，则该双曲线的离心率等于（）A．+1B．C．+1D．【分析】求出双曲线的左焦点，设出直线l的方程为y=（x+c），令x=0，可得B的坐标，由向量共线的坐标表示，可得A的坐标，代入双曲线方程，结合离心率公式及取值范围，计算即可得到双曲线的离心率．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F为（﹣c，0），直线l的方程为y=（x+c），令x=0，则y=c，即B（0，c），设A（m，n），由=，可得（m+c，n）=（c，c），即有m=﹣c，n=c．即A（﹣c，c），代入双曲线方程，可得•﹣•=1，由于e=（e＞1），则e2﹣3•=4，化简可得e4﹣8e2+4=0，解得：e2=4±2，由e＞1，解得：e=+1，故选：A．12．（5分）函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有3xf（x）+x2f（x）＜0，则不等式（x+2016）3f（x+2016）+27f（﹣3）＞0的解集（）A．（﹣2018，﹣2016）B．（﹣∞，﹣2016）C．（﹣2019，﹣2016）D．（﹣∞，﹣2019）【分析】先构造函数g（x）=x3f（x），再根据导数和函数的单调性的关系得到g （x）在（﹣∞，0）为增函数，由（x+2016）3f（x+2016）+274f（﹣3）＞0得到g（x+2016）＞g（﹣3）根据函数的单调性即可求出答案．【解答】解：令g（x）=x3f（x），∴g′（x）=3x2f（x）+x3f′（x），∵3f（x）+x2f′（x）＜0，x＜0时，g′（x）＞0，∴g（x）在（﹣∞，0）为增函数，∵（x+2016）3f（x+2016）+27f（﹣3）＞0，∴（x+2016）3f（x+2016）＞（﹣3）3f（﹣3），即g（x+2016）＞g（﹣3），∴，解得：﹣2019＜x＜﹣2016，故选：C．二、填空题13．（5分）已知sinx+cosx=，则sin（x+）=．【分析】推导出2sin（x+）=，由此能求出sin（x+）的值．【解答】解：∵sinx+cosx=，∴2sin（x+）=，∴sin（x+）=．故答案为：．14．（5分）已知实数x，y满足条件则z=的最小值为﹣5．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据分式的性质，结合斜率的公式进行转化求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：z===1+，设k=，则k的几何意义是区域内的点到定点D（﹣1，2）的斜率，由图象知CD的斜率最小，由得，即C（0，﹣4），则CD的斜率k==﹣6，则z=1﹣6=﹣5，即z=的最小值为﹣5，故答案为：﹣515．（5分）已知抛物线C：y2=4x与直线y=k（x+1）（k＞0）相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=．【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l 于N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，进而可知|OB|=|AF|，由此求得点B的横坐标，则点B的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．【解答】解：抛物线C：y2=4x的准线为l：x=﹣1，直线y=k（x+1）（k＞0）恒过定点P（﹣1，0），如图过A 、B 分别作AM ⊥l 于M ，BN ⊥l 于N ，由|FA |=2|FB |，则|AM |=2|BN |，点B 为AP 的中点、连接OB ，则|OB |=|AF |， ∴|OB |=|BF |，点B 的横坐标为， 故点B 的坐标为（，）∵P （﹣1，0），∴k==故答案为：16．（5分）以下说法正确的有 ②④ ①若p ：∃x 0∈R ，x﹣x 0＞0，则￢p ：∀x ∈R ，x 2﹣x ＞0②已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同是平面，若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥β③“m ＞2”是“∀k ∈R ，y=kx +2k 与x 2+y 2+mx=0都有公共点”的充分不必要条件④在△ABC 中，AB=AC=3，BC=2，p 是△ABC 内部的一点，若==（S △PAB ，S △PBC ，S △PAC 表示相应三角形的面积），则PA +PB +PC=2+．【分析】写出原命题的否定，可判断①；判断两个平面的位置关系，可判断②；根据充要条件的定义，可判断③；求出PA +PB +PC 的值，可判断④．【解答】解：若p ：∃x 0∈R ，x ﹣x 0＞0，则￢p ：∀x ∈R ，x 2﹣x ≤0，故①错误；若m⊥α，m∥n，则n⊥α，又由n∥β，则α⊥β，故②正确；y=kx+2k恒过（﹣2，0）点，若“∀k∈R，y=kx+2k与x2+y2+mx=0都有公共点”则（﹣2，0）在圆x2+y2+mx=0内部，即4﹣2m＜0，解得：m＞2，故“m＞2”是“∀k∈R，y=kx+2k与x2+y2+mx=0都有公共点”的充要条件，故③错误；由==，可得tan∠APB=tan∠BPC=tan∠APC，由于0＜∠APB，∠BPC，∠APC＜π，且∠APB+∠BPC+∠APC=2π，则∠APB=∠BPC=∠APC=，由于AB=AC=3，BC=2，由△APB≌△APC，则PB=PC=，在△APB中，AB2=AP2+BP2﹣2AP•BPcos，即有9=AP2++AP，解得AP=﹣+2，则有PA+PB+PC=2+，故④正确；故答案为：②④三、解答题17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，已知a=c，cos2B=，B为钝角．（1）求B；（2）若b=，求AC边上的高．【分析】（1）由范围B∈（，π），利用二倍角的余弦函数公式可求cosB=﹣，进而可得B的值．（2）由（1）利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，由余弦定理可求c，a的值，进而利用三角形面积公式可求AC边上的高．【解答】解：（1）∵B为钝角，B∈（，π）∴cosB＜0，又∵cos2B=2cos2B﹣1=，∴解得：cosB=﹣，可得：B=．（2）∵由（1）可得：sinB==，a=c，b=，∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，可得：7=a2+c2+ac=3c2+c2+，解得：c=1，a=，设AC边上的高为x，则：a•c•sinB=b•x，即：=，解得：x=，即AC边上的高为．18．（12分）已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，且a4=，=，数列{b n}的前n项和为T n，且T n=n2+n．（1）求{a n}，{b n}的通项公式；（2）若数列{c n}满足（n+1）2n a n b n c n=1，求数列{a n+c n}的前n项和．【分析】（1）利用等比数列的通项公式与求和公式可得a n，利用递推关系可得b n．（2）利用等比数列的求和公式、“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（1）设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a4=，=，∴=，=，解得a1=1，q=．∴a n =．∵T n =n 2+n ，∴n=1时，b 1=T 1=2．n ≥2时，b n =T n ﹣T n ﹣1=n 2+n ﹣[（n ﹣1）2+（n ﹣1）]=2n ，n=1时也成立． ∴b n =2n ．（2）∵（n +1）2n a n b n c n =1， ∴c n==．∴数列{a n +c n }的前n 项和=++…+=+=﹣﹣．19．（12分）为调查运城市学生百米运动成绩，从该市学生中按照男女比例随机抽取50名学生进行百米测试，学生成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[13，14），第二组[14，15）…第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图． （Ⅰ）求这组数据的中位数（精确到0.1）（Ⅱ）根据有关规定，成绩小于16秒为达标．如果男女生使用相同的达标标准，则男女生达标情况如表：根据表中所给的数据，能否有99%的把握认为“体育达标与性别有关”？若有，你能否提出一个更好的解决方法来？ 附：K 2=【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图能求出众数落在第三组[15，16）内，由此能求出众数；数据落在第一、二组的频率是0.22＜0.5，数据落在第一、二、三组的频率是0.6＞0.5，所以中位数一定落在第三组中，假设中位数是x，则0.22+（x﹣15）×0.38=0.5，由此能求出中位数（Ⅰ）列出2×2列联表，求出K2，即可求出结果．【解答】解：（1）由图可知众数落在第三组[15，16）内是（15+16）=15.50因为数据落在第一、二组的频率数据落在第一、二组的频率=1×0.04+1×0.18=0.22＜0.5，∵数据落在第一、二组的频率=1×0.04+1×0.18=0.22＜0.5，数据落在第一、二、三组的频率=1×0.04+1×0.18+1×0.38=0.6＞0.5，∴中位数一定落在第三组中，假设中位数是x，则0.22+（x﹣15）×0.38=0.5，解得中位数x≈15.7；（Ⅱ）依据题意得相关的2×2列联表如下：K2=≈8.33＞6.625，故有99%的把握认为“体育达标与性别有关”．解决办法：可以根据男女生性别划分达标的标准20．（12分）已知：矩形AA1B1B，且AB=2AA1=2，C1，C分别是A1B1、AB的中点，D为C1C中点，将矩形AA1B1B沿着直线C1C折成一个60°的二面角，如图所示．（1）求证：AB1⊥A1D；（2）求二面角B﹣A1D﹣B1的正弦值．【分析】（1）连结AB、A1B1，则可证明几何体ABC﹣A1B1C1是正三棱柱．取BC 中点O，B1C1的中点O1，连结OA，OO1，以O为原点建立坐标系，利用向量法能证明AB1⊥A1D；（2）求出平面A1B1D的法向量和平面A1BD的法向量，利用向量法能求出二面角B﹣A 1D﹣B1的正弦值．【解答】证明：（1）连结AB、A1B1，∵C1，C分别是矩形A1ABB1边A1B1、AB的中点，∴AC⊥CC1，BC⊥CC1，AC∩BC=C∴CC1⊥面ABC∴∠ACB为二面角A﹣CC'﹣A'的平面角，则∠ACB=60°．∴△ABC为正三角形，即几何体ABC﹣A1B1C1是正三棱柱．取BC中点O，B1C1的中点O1，连结OA，OO1，则OA⊥平面BB1C1C，OO1⊥BC．以O为原点，以OB，OO1，OA的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A（0，0，），B1（1，2，0），D（﹣1，1，0），A1（0，2，）．∴=（1，2，﹣），=（﹣1，﹣1，﹣），∴•=1×（﹣1）+2×（﹣1）+（﹣）×（﹣）=0，∴AB1⊥A1D．（Ⅱ）B（1，0，0），=（1，0，﹣），=（1，﹣2，﹣），设平面A1B1D的法向量为=（x，y，z）．则，取x=，得=（，﹣2，1），设平面BA1D的法向量=（a，b，c），则，取c=，得=（﹣1，﹣2，），设二面角B﹣A1D﹣B1的平面角为θ，则cosθ=||==，sinθ==．∴二面角B﹣A1D﹣B1的正弦值为．21．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，且椭圆上的点到焦点的距离最小值为1，若F为左焦点，A为左顶点，过F的直线交椭圆于M，N直线AM，AN交直线x=t（t＜﹣2）于B，C两点．（1）求椭圆方程；（2）若以BC为直径的圆过F，求t的值．【分析】（1）由已知列关于a，b，c的方程组，求解方程组可得a，b的值，则椭圆方程可求；（2）由（1）求得F坐标，设出直线MN的方程，联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数的关系结合以BC为直径的圆过F列式求得t值．【解答】解：（1）由题意，可得，解得a2=4，b2=3．∴椭圆方程为；（2）如图，由（1）知，F（﹣1，0），设MN所在直线方程为x=ty﹣1，联立，得（3t2+4）y2﹣6ty﹣9=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则．x 1+x2=t（y1+y2）﹣2=，=+．AM：，取x=t，得B（t，），AN：，取x=t，得C（t，）．由题意可知，，，由====，解得：t=﹣（舍）或t=﹣4．22．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣kx+1（k为常数），函数g（x）=xe x﹣ln（x+1），（a为常数，且a＞0）．（Ⅰ）若函数f（x）有且只有1个零点，求k的取值的集合；（Ⅱ）当（Ⅰ）中的k取最大值时，求证：ag（x）﹣2f（x）＞2（lna﹣ln2）．【分析】（Ⅰ）求导数，利用导数的正负，和函数的零点存在定理，分类讨论，即可k的取值的集合；（Ⅱ）构造函数记F（x）=axe x﹣2lnx﹣2x﹣2，求导，再构造函数G（x）=axe x ﹣2，确定函数的单调性，求出即可证明结论．【解答】解：（Ⅰ）①k≤0时，f'（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上单调递增．而f（e k﹣2）=k﹣2﹣ke k﹣2+1=k（1﹣e k﹣2）﹣1≤﹣1＜0，f（1）=1﹣k＞0，故f（x）在（e k﹣2，1）上存在唯一零点，满足题意；②k＞0时，令f'（x）＞0得，则f（x）在上单调递增；令f'（x）＜0得，则f（x）在上单调递减；若，得k=1，显然满足题意；若，则0＜k＜1，而，又，令h（x）=lnx﹣x+1，则，令h'（x）＞0，得x＜1，故h（x）在（0，1）上单调递增；令h'（x）＜0，得x＞1，故h（x）在（1，+∞）上单调递减；故h（x）≤h（1）=0，则，即，则．故f（x）在上有唯一零点，在上有唯一零点，不符题意．综上，k的取值的集合为{k|k≤0或k=1}．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，lnx≤x﹣1，当且仅当x=1时取“=“，而，故，则k=1时，ag（x）﹣2f（x）=axe x﹣aln（x+1）﹣2lnx+2x﹣2＞axe x﹣a•x+2x ﹣2=axe x﹣2x﹣2，记F（x）=axe x﹣2lnx﹣2x﹣2，则，令G（x）=axe x﹣2，则G'（x）=a（x+1）e x＞0，故G（x）在（0，+∞）上单调递增．而G（0）=﹣2＜0，，故存在，使得G（x0）=0，即．则x∈（0，x0）时，G'（x）＜0，故F'（x）＜0；x∈（x0，+∞）时，G'（x）＞0，故F'（x）＞0．则F（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，故=．故ag（x）﹣2f（x）＞2（lna﹣ln2）．。
2016届陕西省高三(上)大联考数学试卷(解析版)(文科)(六)
2015-2016学年陕西省高三（上）大联考数学试卷（文科）（六）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）若为a实数，且=3+i，则a=（）A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．42．（5分）命题“∀x∈[0，+∞），x3+x≥0”的否定是（）A．∀x∈（﹣∞，0），x3+x＜0 B．∀x∈（﹣∞，0），x3+x≥0C．∃x0∈[0，+∞），x03+x0＜0 D．∃x0∈[0，+∞），x03+x0≥03．（5分）设集合M={x|﹣2＜x＜﹣1}，集合N={x|（）x≤4}，则M∪N（）A．{x|x≥﹣2}B．{x|x＞﹣1}C．{x|x＜﹣1}D．{x|x≤﹣2}4．（5分）在△ABC中，=，=．若点D满足=（）A．+B．C．D．5．（5分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，86．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）A．B．C．D．7．（5分）现有20个数，它们构成一个以1为首项，﹣2为公比的等比数列，若从这20个数中随机抽取一个数，则它大于8的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．y=±2x D．9．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，S n=2a n+1，则a n=（）A．2n﹣1B．（）n﹣1C．（）n﹣1D．10．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．2+B．4+C．2+2D．511．（5分）已知直线x+ay﹣1=0是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（）A．2 B．6 C．4D．212．（5分）定义方程f（x）=f′（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新驻点”，如果函数g （x）=x，h（x）=ln（x+1），φ（x）=cosx（）的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是（）A．α＜β＜γB．α＜γ＜βC．γ＜α＜βD．β＜α＜γ二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8=．14．（5分）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为．15．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+y的最大值为．16．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则下列说法中，所有正确说法的序号是①f（x）的图象关于直线x=对称②f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z③方程f（x）=1在[﹣，0]上有两个不相等的实根④函数f（x）的图象是由函数y=2sin（2x﹣）的图象向左平移个单位得到的．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asinB﹣bcosA=0 （1）求A；（2）当a=，b=2时，求△ABC的面积．18．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB=，D，E分别为线段AB，BC上的点，CD=DE=，CE=2EB=2，（Ⅰ）证明：DE⊥平面PCD；（Ⅱ）求三棱锥P﹣ABC的体积．19．（12分）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18，先采用分层抽取的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．（Ⅰ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；（Ⅱ）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．（i）用所给编号列出所有可能的结果；（ii）设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．20．（12分）椭圆C：=1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．21．（12分）设函数f（x）=﹣klnx，k＞0．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．四、选修4-1：几何证明选讲（共1小题，满分10分）22．（10分）如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO 与直线CD相交于点F，证明：（1）∠MEN+∠NOM=180°（2）FE•FN=FM•FO．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．2015-2016学年陕西省高三（上）大联考数学试卷（文科）（六）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2015•新课标II）若为a实数，且=3+i，则a=（）A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4【分析】根据复数相等的条件进行求解即可．【解答】解：由，得2+ai=（1+i）（3+i）=2+4i，则a=4，故选：D．【点评】本题主要考查复数相等的应用，比较基础．2．（5分）（2014•福建）命题“∀x∈[0，+∞），x3+x≥0”的否定是（）A．∀x∈（﹣∞，0），x3+x＜0 B．∀x∈（﹣∞，0），x3+x≥0C．∃x0∈[0，+∞），x03+x0＜0 D．∃x0∈[0，+∞），x03+x0≥0【分析】全称命题的否定是一个特称命题，按此规则写出其否定即可得出正确选项．【解答】解：∵命题“∀x∈[0，+∞），x3+x≥0”是一个全称命题．∴其否定命题为：∃x0∈[0，+∞），x03+x0＜0故选C．【点评】本题考查全称命题的否定，掌握此类命题的否定的规则是解答的关键．3．（5分）（2015秋•陕西月考）设集合M={x|﹣2＜x＜﹣1}，集合N={x|（）x≤4}，则M∪N（）A．{x|x≥﹣2}B．{x|x＞﹣1}C．{x|x＜﹣1}D．{x|x≤﹣2}【分析】解指数不等式求出N={x|x≥﹣2}，再利用两个集合的并集的定义求出M∪N．【解答】解：∵集合N={x|（）x≤4}={x|x≥﹣2}，∴M∪N={x|﹣1≤x＜2}∪{x|x≥﹣2}={x|x≥﹣2}，故选：A．【点评】本题主要考查指数不等式的解法，两个集合的并集的定义和求法，属于基础题．4．（5分）（2010•广东模拟）在△ABC中，=，=．若点D满足=（）A．+B．C．D．【分析】由向量的运算法则，结合题意可得═=，代入已知化简可得．【解答】解：由题意可得=====故选A【点评】本题考查向量加减的混合运算，属基础题．5．（5分）（2013•重庆）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8【分析】求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以5．找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数．据此列式求解即可．【解答】解：乙组数据平均数=（9+15+18+24+10+y）÷5=16.8；∴y=8；甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27．所以中位数为：10+x=15，∴x=5．故选：C．【点评】本题考查了中位数和平均数的计算．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．6．（5分）（2015•重庆）执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）A．B．C．D．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，s的值，当k=8时不满足条件k＜8，退出循环，输出s的值为．【解答】解：模拟执行程序框图，可得s=0，k=0满足条件k＜8，k=2，s=满足条件k＜8，k=4，s=+满足条件k＜8，k=6，s=++满足条件k＜8，k=8，s=+++=不满足条件k＜8，退出循环，输出s的值为．故选：D．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．7．（5分）（2015•黄冈模拟）现有20个数，它们构成一个以1为首项，﹣2为公比的等比数列，若从这20个数中随机抽取一个数，则它大于8的概率为（）A．B．C．D．【分析】由题意可得20个数中满足大于8的共8个，由概率公式可得．【解答】解：由题意可得这20个数为：1，﹣2，4，﹣8，16， (219)其中的偶数项均为负数，奇数项为正数，满足大于8的有8个，故所求概率为=，故选：B．【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及等比数列，属基础题．8．（5分）（2014•北海一模）已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．y=±2x D．【分析】双曲线离心率为，根据双曲线的离心率公式算出b=a，结合双曲线的渐近线公式即可得到该双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线的方程为，∴c=，结合离心率为，得e===，化简得b= a∴该双曲线的渐近线方程为y=±，即故选：B【点评】本题给出双曲线的离心率，求它的渐近线方程，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．9．（5分）（2015秋•陕西月考）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，S n=2a n+1，则a n=（）A．2n﹣1B．（）n﹣1C．（）n﹣1D．【分析】根据数列{a n}的前n项和与等比数列的定义，得出a n+1与a n的关系，从而求出数列{a n}的通项公式．【解答】解：数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，S n=2a n+1，∴S n﹣1=2a n，n≥2，∴a n=S n﹣S n﹣1=2a n+1﹣2a n，n≥2即a n+1=a n，n≥2∴从第2项起，数列{a n}是以公比q=的等比数列，且a2=S1=a1=；∴n≥2时，a n=•；∴a n=．故选：D．【点评】本题考查了数列{a n}的前n项和与等比数列的定义、通项公式的应用问题，是综合性题目．10．（5分）（2015•北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．2+B．4+C．2+2D．5【分析】根据三视图可判断直观图为：OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EA=EB=1，OA=1，：BC⊥面AEO，AC=，OE=判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积．【解答】解：根据三视图可判断直观图为：OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EC=EB=1，OA=1，∴可得AE⊥BC，BC⊥OA，运用直线平面的垂直得出：BC⊥面AEO，AC=，OE=∴S△ABC=2×2=2，S△OAC=S△OAB=×1=．S△BCO=2×=．故该三棱锥的表面积是2，故选：C．【点评】本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，计算能力，关键是恢复直观图，得出几何体的性质．11．（5分）（2015•重庆）已知直线x+ay﹣1=0是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（）A．2 B．6 C．4D．2【分析】求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），求得a的值，可得点A的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的值．【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2 =4，表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆．由题意可得，直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），故有2+a﹣1=0，∴a=﹣1，点A（﹣4，﹣1）．∵AC==2，CB=R=2，∴切线的长|AB|===6．故选：B．【点评】本题主要考查圆的切线长的求法，解题时要注意圆的标准方程，直线和圆相切的性质的合理运用，属于基础题．12．（5分）（2013春•黄州区校级期中）定义方程f（x）=f′（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新驻点”，如果函数g（x）=x，h（x）=ln（x+1），φ（x）=cosx（）的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是（）A．α＜β＜γB．α＜γ＜βC．γ＜α＜βD．β＜α＜γ【分析】由题设中所给的定义，方程f（x）=f'（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新驻点”，对三个函数所对应的方程进行研究，分别计算求出α，β，γ的值或存在的大致范围，再比较出它们的大小即可选出正确选项．【解答】解：∵g'（x）=1，令g（x）=g'（x），∴α=1，∵，令h（x）=h'（x），结合图象可知，β＜1；∵φ'（x）=﹣sinx，令φ（x）=φ'（x），∴，∴β＜α＜γ．故选：D．【点评】本题是一个新定义的题，理解定义，分别建立方程解出α，β，γ的值或存在范围是解题的关键，本题考查了推理判断的能力，计算能力属于基本题型二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2015•广东）在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8=10．【分析】根据等差数列的性质，化简已知的等式即可求出a5的值，然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后，将a5的值代入即可求出值．【解答】解：由a3+a4+a5+a6+a7=（a3+a7）+（a4+a6）+a5=5a5=25，得到a5=5，则a2+a8=2a5=10．故答案为：10．【点评】本题主要考查了等差数列性质的简单应用，属于基础试题14．（5分）（2014•历下区校级三模）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为3．【分析】求出曲线方程的导函数，根据切线的方程找出切线的斜率，令导函数等于斜率列出关于x的方程，求出方程的解即为切点的横坐标．【解答】解：求导函数得：y′=﹣（x＞0），又由曲线的一条切线的斜率为，令﹣=即（x﹣3）（x+2）=0，解得x=3，x=﹣2（不合题意，舍去），则切点的横坐标为3．故答案为：3【点评】此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，是一道基础题．学生在求出x的值后，注意隐含的条件函数的定义域x＞0，舍去不合题意的x的值．15．（5分）（2016•福建模拟）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+y的最大值为9．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图，由z=3x+y，得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点A时，直线y=﹣3x+z的截距最大，此时z最大．由，得，即A（2，3）此时z的最大值为z=3×2+3=9，故答案为：9【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，要熟练掌握目标函数的几何意义．16．（5分）（2015秋•陕西月考）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则下列说法中，所有正确说法的序号是①②①f（x）的图象关于直线x=对称②f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z③方程f（x）=1在[﹣，0]上有两个不相等的实根④函数f（x）的图象是由函数y=2sin（2x﹣）的图象向左平移个单位得到的．【分析】先求出函数的解析式，再结合函数的图象进行判断，即可得出结论．【解答】解：由题意，A=2，==，∴ω=2，（，2）代入函数，可得φ=，∴f（x）=2sin（2x+），①周期为π，f（x）的图象关于直线x=对称，可得f（x）的图象关于直线x=对称，正确②由图象可得f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，正确；③方程f（x）=1在[﹣，0]上有1个实根，不正确；④函数f（x）的图象是由函数y=2sin（2x﹣）的图象向左平移个单位得到的，不正确．故答案为：①②．【点评】本题考查正弦函数的图象与性质，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）（2015秋•厦门校级期中）若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asinB﹣bcosA=0（1）求A；（2）当a=，b=2时，求△ABC的面积．【分析】（1）由正弦定理化简已知可得，又sinB≠0，从而可求tanA，由于0＜A＜π，即可解得A的值．（2）由余弦定理解得c2﹣2c﹣3=0，结合c＞0，即可求c，利用三角形面积公式即可得解．【解答】解：（1）因为，由正弦定理，得，又sinB≠0，从而，由于0＜A＜π，所以．（2）由余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccosA，而，，得7=4+c2﹣2c，即c2﹣2c﹣3=0因为c＞0，所以c=3，故△ABC面积为．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，属于基本知识的考查．18．（12分）（2015秋•陕西月考）如图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB=，D，E分别为线段AB，BC上的点，CD=DE=，CE=2EB=2，（Ⅰ）证明：DE⊥平面PCD；（Ⅱ）求三棱锥P﹣ABC的体积．【分析】（I）根据勾股定理得出DE⊥CD，又PC⊥平面ABC得出PC⊥DE，故DE⊥平面PCD；（II）作DF⊥BC，垂足为F，根据平行线的性质得出比例式计算AC，再代入体积公式计算三棱锥P﹣ABC的体积．【解答】证明：（I）∵PC⊥平面ABC，DE⊂平面ABC，∴PC⊥DE，∵CD=DE=，CE=2，∴CD2+DE2=CE2，∴CD⊥DE，又PC⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，PC∩CD=C，∴DE⊥平面PCD．解：（II）作DF⊥BC，垂足为F，则DF=CE=1，∵∠ACB=，∴DF∥AC，∴=，∴AC=．∴V P﹣ABC===．【点评】本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．19．（12分）（2015•天津）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18，先采用分层抽取的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．（Ⅰ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；（Ⅱ）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．（i）用所给编号列出所有可能的结果；（ii）设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．【分析】（Ⅰ）由题意可得抽取比例，可得相应的人数；（Ⅱ）（i）列举可得从6名运动员中随机抽取2名的所有结果共15种；（ii）事件A包含上述9个，由概率公式可得．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得抽取比例为=，27×=3，9×=1，18×=2，∴应甲、乙、丙三个协会中分别抽取的运动员的人数为3、1、2；（Ⅱ）（i）从6名运动员中随机抽取2名的所有结果为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，A5），（A1，A6），（A2，A3），（A2，A4），（A2，A5），（A2，A6），（A3，A4），（A3，A5），（A3，A6），（A4，A5），（A4，A6）），（A5，A6），共15种；（ii）设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，则事件A包含：（A1，A5），（A1，A6），（A2，A5），（A2，A6），（A3，A5），（A3，A6），（A4，A5），（A4，A6）），（A5，A6）共9个基本事件，∴事件A发生的概率P==【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及分层抽样，属基础题．20．（12分）（2015•新课标II）椭圆C：=1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．【分析】（1）利用椭圆的离心率，以及椭圆经过的点，求解椭圆的几何量，然后得到椭圆的方程．（2）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），联立直线方程与椭圆方程，通过韦达定理求解K OM，然后推出直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．【解答】解：（1）椭圆C：=1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上，可得，，解得a2=8，b2=4，所求椭圆C方程为：．（2）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），把直线y=kx+b代入可得（2k2+1）x2+4kbx+2b2﹣8=0，故x M==，y M=kx M+b=，于是在OM的斜率为：K OM==，即K OM•k=．∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．【点评】本题考查椭圆方程的综合应用，椭圆的方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．21．（12分）（2015•北京）设函数f（x）=﹣klnx，k＞0．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．【分析】（1）利用f'（x）≥0或f'（x）≤0求得函数的单调区间并能求出极值；（2）利用函数的导数的极值求出最值，利用最值讨论存在零点的情况．【解答】解：（1）由f（x）=f'（x）=x﹣由f'（x）=0解得x=）（所以，f（x）的单调递增区间为（），单调递减区间为（0，）；f（x）在x=处的极小值为f（）=，无极大值．（2）证明：由（1）知，f（x）在区间（0，+∞）上的最小值为f（）=．因为f（x）存在零点，所以，从而k≥e当k=e时，f（x）在区间（1，）上单调递减，且f（）=0所以x=是f（x）在区间（1，）上唯一零点．当k＞e时，f（x）在区间（0，）上单调递减，且，所以f（x）在区间（1，）上仅有一个零点．综上所述，若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．【点评】本题考查利用函数的导数求单调区间和导数的综合应用，在高考中属于常见题型．四、选修4-1：几何证明选讲（共1小题，满分10分）22．（10分）（2015•湖南）如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：（1）∠MEN+∠NOM=180°（2）FE•FN=FM•FO．【分析】（1）证明O，M，E，N四点共圆，即可证明∠MEN+∠NOM=180°（2）证明△FEM∽△FON，即可证明FE•FN=FM•FO．【解答】证明：（1）∵N为CD的中点，∴ON⊥CD，∵M为AB的中点，∴OM⊥AB，在四边形OMEN中，∴∠OME+∠ONE=90°+90°=180°，∴O，M，E，N四点共圆，∴∠MEN+∠NOM=180°（2）在△FEM与△FON中，∠F=∠F，∠FME=∠FNO=90°，∴△FEM∽△FON，∴=∴FE•FN=FM•FO．【点评】本题考查垂径定理，考查三角形相似的判定与应用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2015•新课标II）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．【分析】（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，把代入可得直角坐标方程．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程，联立解出可得C2与C3交点的直角坐标．（2）由曲线C1的参数方程，消去参数t，化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），利用|AB|=即可得出．【解答】解：（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，∴x2+y2=2y．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程：，联立，解得，，∴C2与C3交点的直角坐标为（0，0），．（2）曲线C1：（t为参数，t≠0），化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），∵A，B都在C1上，∴A（2sinα，α），B．∴|AB|==4，当时，|AB|取得最大值4．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲24．（2015•河北）已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a=1时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）化简函数f（x）的解析式，求得它的图象与x轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得f（x）的图象与x轴围成的三角形面积；再根据f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，从而求得a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，不等式f（x）＞1，即|x+1|﹣2|x﹣1|＞1，即①，或②，或③．解①求得x∈∅，解②求得＜x＜1，解③求得1≤x＜2．综上可得，原不等式的解集为（，2）．（Ⅱ）函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|=，由此求得f（x）的图象与x轴的交点A （，0），B（2a+1，0），故f（x）的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C（a，a+1），由△ABC的面积大于6，可得[2a+1﹣]•（a+1）＞6，求得a＞2．故要求的a的范围为（2，+∞）．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．参与本试卷答题和审题的老师有：maths；xintrl；whgcn；lincy；minqi5；w3239003；ywg2058；742048；sdpyqzh；zlzhan；wubh2011；吕静；sllwyn；lcb001；zhczcb；qiss；雪狼王；刘长柏；沂蒙松；caoqz（排名不分先后）菁优网2016年11月4日。
【真题】2015-2016年北京市东城区高三(上)期末数学试卷(文科)与答案
2015-2016学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={1，2，m}，B={3，4}．若A∩B={3}，则实数m=（）A．1 B．2 C．3 D．42．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知向量=（1，2），=（﹣2，x）．若+与﹣平行，则实数x的值是（）A．4 B．﹣1 C．﹣44．（5分）经过圆x2+y2﹣2x+2y=0的圆心且与直线2x﹣y=0平行的直线方程是（）A．2x﹣y﹣3=0 B．2x﹣y﹣1=0 C．2x﹣y+3=0 D．x+2y+1=05．（5分）给出下列函数：①y=log2x；②y=x2；③y=2|x|④．其中图象关于y轴对称的是（）A．①②B．②③C．①③D．②④6．（5分）“sin2α﹣cos2α=1”是“α=”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）某程序框图如图所示，当输入的x的值为5时，输出的y值恰好是，则在空白的处理框处应填入的关系式可以是（）A．y=x3 B．y=3x C．y=3x D．8．（5分）已知函数f（x）=a﹣x2（1≤x≤2）与g（x）=x+1的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．B．[1，2]C．D．[﹣1，1]二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）双曲线的离心率为．10．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，B=45°，面积S=2，则a=；b=．11．（5分）100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则模块测试成绩落在[50，70）中的学生人数是．12．（5分）设某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为13．（5分）已知点P（x，y）的坐标满足条件点O为坐标原点，那么|OP|的最大值等于．14．（5分）纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸．现在我国采用国际标准，规定以A0，A1，A2，B1，B2，…等标记来表示纸张的幅面规格．复印纸幅面规格只采用A系列和B系列，其中An（n∈N，n≤8）系列的幅面规格为：①A0，A1，A2，…，A8所有规格的纸张的幅宽（以x表示）和长度（以y表示）的比例关系都为；②将A0纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A1规格，A1纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A2规格，…，如此对开至A8规格．现有A0，A1，A2，…，A8纸各一张．若A4纸的宽度为2dm，则A0纸的面积为dm2；这9张纸的面积之和等于dm2．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=2，S3=12．（I）求数列{a n}的通项公式；，S k成等比数列，求正整数k的值．（II）若a3，a k+116．（13分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜2π）在一个周期内的部分对应值如下表：（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数g（x）=f（x）+2sinx的最大值和最小值．17．（13分）某中学从高三男生中随机抽取100名学生的身高，将数据整理，得到的频率分布表如下所示．（Ⅰ）求出频率分布表中①和②位置上相应的数据；（Ⅱ）为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进行体能测试，求第3，4，5组每组各抽取多少名学生进行测试？（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生进行引体向上测试，求：第4组中至少有一名学生被抽中的概率．组号分组频数频率第1组[160，165）50.050第2组[165，170）①0.350第3组[170，175）30②第4组[175，180）200.200第5组[180，185]100.100合计100 1.0018．（13分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，AE⊥DE，CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，CD=3AB．（Ⅰ）求证：平面ACE⊥平面CDE；（Ⅱ）在线段DE上是否存在一点F，使AF∥平面BCE？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．19．（14分）已知函数f（x）=x﹣ae x，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的方程；（Ⅱ）若曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围；（Ⅲ）设函数g（x）=x3，请写出曲线y=f（x）与y=g（x）最多有几个交点．（直接写出结论即可）20．（14分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）过点，且满足a+b=3．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）斜率为的直线交椭圆C于两个不同点A，B，点M的坐标为（2，1），设直线MA与MB的斜率分别为k1，k2．①若直线过椭圆C的左顶点，求此时k 1，k2的值；②试探究k1+k2是否为定值？并说明理由．2015-2016学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={1，2，m}，B={3，4}．若A∩B={3}，则实数m=（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵集合A={1，2，m}，B={3，4}，A∩B={3}，∴m=3，故选：C．2．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵=，∴复数对应的点的坐标为（﹣1，﹣2），位于第三象限．故选：C．3．（5分）已知向量=（1，2），=（﹣2，x）．若+与﹣平行，则实数x的值是（）A．4 B．﹣1 C．﹣4【解答】解：+=（﹣1，2+x）．﹣=（3，2﹣x），∵+与﹣平行，∴3（2+x）+（2﹣x）=0，解得x=﹣4．4．（5分）经过圆x2+y2﹣2x+2y=0的圆心且与直线2x﹣y=0平行的直线方程是（）A．2x﹣y﹣3=0 B．2x﹣y﹣1=0 C．2x﹣y+3=0 D．x+2y+1=0【解答】解：圆x2+y2﹣2x+2y=0的圆心（1，﹣1），与直线2x﹣y=0平行的直线的斜率为：2，所求直线方程为：y+1=2（x﹣1）．∴2x﹣y﹣3=0．故选：A．5．（5分）给出下列函数：①y=log2x；②y=x2；③y=2|x|④．其中图象关于y轴对称的是（）A．①②B．②③C．①③D．②④【解答】解：①y=log2x的定义域为（0，+∞），定义域关于原点不对称，则函数为非奇非偶函数；②y=x2；是偶函数，图象关于y轴对称，满足条件．③y=2|x|是偶函数，图象关于y轴对称，满足条件．④是奇函数，图象关于y轴不对称，不满足条件，故选：B．6．（5分）“sin2α﹣cos2α=1”是“α=”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：sin2α﹣cos2α=1，化为=，∴=或，k∈Z．当k=0时，可得α=或．∴“sin2α﹣cos2α=1”是“α=”必要不充分条件，7．（5分）某程序框图如图所示，当输入的x的值为5时，输出的y值恰好是，则在空白的处理框处应填入的关系式可以是（）A．y=x3 B．y=3x C．y=3x D．【解答】解：由题意，执行程序框图，有x=5不满足条件x≤0，有x=x﹣2=3不满足条件x≤0，有x=x﹣2=1不满足条件x≤0，有x=x﹣2=﹣1满足条件x≤0，此时经相应关系式计算得y=，检验4个选项，有A，y=（﹣1）3=﹣1，不正确．B，y=3×（﹣1）=﹣3，C，y=3﹣1=，D，y==﹣．故选：C．8．（5分）已知函数f（x）=a﹣x2（1≤x≤2）与g（x）=x+1的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．B．[1，2]C．D．[﹣1，1]【解答】解：若函数f（x）=a﹣x2（1≤x≤2）与g（x）=x+1的图象上存在关于x轴对称的点，则方程a﹣x2=﹣（x+1）⇔a=x2﹣x﹣1在区间[1，2]上有解，令g（x）=x2﹣x﹣1，1≤x≤2，由g（x）=x2﹣x﹣1的图象是开口朝上，且以直线x=为对称轴的抛物线，故当x=1时，g（x）取最小值﹣1，当x=2时，函数取最大值1，故a∈[﹣1，1]，故选：D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）双曲线的离心率为．【解答】解：因为双曲线，所以a=4，b=3，所以c=，所以双曲线的离心率为：e=．故答案为：．10．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，B=45°，面积S=2，则a=1；b=5．【解答】解：由题意可得S=acsinB=×a×4×=2，解得a=1，由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2acsinB，=1+32﹣2×1×4×=25，解得b=5．故答案为：1；5．11．（5分）100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则模块测试成绩落在[50，70）中的学生人数是25．【解答】解：根据频率分布直方图中频率和为1，得；10（2a+3a+7a+6a+2a）=1，解得a=；∴模块测试成绩落在[50，70）中的频率是10（2a+3a）=50a=50×=，∴对应的学生人数是100×=25．故答案为：25．12．（5分）设某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为4【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，棱锥的底面面积S==6，棱锥的高h=2，故棱锥的体积V==4，故答案为：4．13．（5分）已知点P（x，y）的坐标满足条件点O为坐标原点，那么|OP|的最大值等于．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如右图所示，则OB的距离最大，由，即，即B（1，3），则．故答案为：．14．（5分）纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸．现在我国采用国际标准，规定以A0，A1，A2，B1，B2，…等标记来表示纸张的幅面规格．复印纸幅面规格只采用A系列和B系列，其中An（n∈N，n≤8）系列的幅面规格为：①A0，A1，A2，…，A8所有规格的纸张的幅宽（以x表示）和长度（以y表示）的比例关系都为；②将A0纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A1规格，A1纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A2规格，…，如此对开至A8规格．现有A0，A1，A2，…，A8纸各一张．若A4纸的宽度为2dm，则A0纸的面积为64dm2；这9张纸的面积之和等于dm2．【解答】解：可设A i纸张的长度为y i，i=0，1， (8)由A4纸的宽度为2dm，且纸张的幅宽和长度的比例关系都为，可得y4=2，由题意可得y0=2•24=32，即有A0纸的面积为32×2=64dm2；由A0，A1，A2，…，A8纸9张纸的面积构成一个以64为首项，为公比的等比数列，可得这9张纸的面积之和为=dm2．故答案为：64，．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=2，S3=12．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）若a3，a k，S k成等比数列，求正整数k的值．+1【解答】（共13分）解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，由题意知a2+a3=10，即2a1+3d=10，由a1=2，解得d=2．所以a n=2+2（n﹣1）=2n，即a n=2n，n∈N*．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，所以．又a3=2×3=6，a k+1=2（k+1），由已知可得，即（2k+2）2=6（k2+k），整理得k2﹣k﹣2=0，k∈N*．解得k=﹣1（舍去）或k=2．故k=2．…（13分）16．（13分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜2π）在一个周期内的部分对应值如下表：（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数g（x）=f（x）+2sinx的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）由表格可知，f（x）的周期，所以．又由sin（2×0+φ）=1，且0＜φ＜2π，所以．所以．…（6分）（Ⅱ）g（x）=f（x）+2sinx=cos2x+2sinx=1﹣2sin2x+2sinx=．由sinx∈[﹣1，1]，所以当时，g（x）有最大值；当sinx=﹣1时，g（x）有最小值﹣3．…（13分）17．（13分）某中学从高三男生中随机抽取100名学生的身高，将数据整理，得到的频率分布表如下所示．（Ⅰ）求出频率分布表中①和②位置上相应的数据；（Ⅱ）为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进行体能测试，求第3，4，5组每组各抽取多少名学生进行测试？（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生进行引体向上测试，求：第4组中至少有一名学生被抽中的概率．组号分组频数频率第1组[160，165）50.050第2组[165，170）①0.350第3组[170，175）30②第4组[175，180）200.200第5组[180，185]100.100合计100 1.00【解答】（共13分）（Ⅰ）由题可知，第2组的频数为0.35×100=35人，第3组的频率为．解：即①处的数据为35，②处的数据为0.300．…（3分）（Ⅱ）因为第3，4，5组共有60名学生，所以利用分层抽样，在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：第3组：人；第4组：人；第5组：人．所以第3，4，5组分别抽取3人，2人，人．…（6分）（Ⅲ）设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的位同学为C1，则从6位同学中抽两位同学有15种可能，分别为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1）．其中第4组的两位同学至少有一位同学被选中的有：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，C1），（B2，C1），（B1，B2）9种可能．所以第4组的两位同学至少有一位同学被选中的概率P=．…（13分）18．（13分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，AE⊥DE，CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，CD=3AB．（Ⅰ）求证：平面ACE⊥平面CDE；（Ⅱ）在线段DE上是否存在一点F，使AF∥平面BCE？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【解答】（共13分）证明：（Ⅰ）因为CD⊥平面ADE，AE⊂平面ADE，所以CD⊥AE．又因为AE⊥DE，CD∩DE=D，所以AE⊥平面CDE．又因为AE⊂平面ACE，所以平面ACE⊥平面CDE．…（7分）（Ⅱ）在线段DE上存在一点F，且，使AF∥平面BCE．设F为线段DE上一点，且．过点F作FM∥CD交CE于M，则．因为CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，所以CD∥AB．又FM∥CD，所以FM∥AB．因为CD=3AB，所以FM=AB．所以四边形ABMF是平行四边形．所以AF∥BM．又因为AF⊄平面BCE，BM⊂平面BCE，所以AF∥平面BCE．…（13分）19．（14分）已知函数f（x）=x﹣ae x，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的方程；（Ⅱ）若曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围；（Ⅲ）设函数g（x）=x3，请写出曲线y=f（x）与y=g（x）最多有几个交点．（直接写出结论即可）【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x﹣e x，f′（x）=1﹣e x．当x=0时，y=﹣1，又f′（0）=0，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=﹣1；（Ⅱ）由f（x）=x﹣ae x，得f′（x）=1﹣ae x．当a≤0时，f'（x）＞0，此时f（x）在R上单调递增；当x=a时，f（a）=a﹣ae a=a（1﹣e a）≤0，当x=1时，f（1）=1﹣ae＞0，所以当a≤0时，曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点；当a＞0时，令f'（x）=0，得x=﹣lna．f（x）与f'（x）在区间（﹣∞，+∞）上的情况如下：若曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点，则有f（﹣lna）=0，即﹣lna﹣a e﹣lna=0．解得．综上所述，当a≤0或时，曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点；（Ⅲ）曲线f（x）=x﹣ae x与曲线g（x）=x3最多有3个交点．20．（14分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）过点，且满足a+b=3．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）斜率为的直线交椭圆C于两个不同点A，B，点M的坐标为（2，1），设直线MA与MB的斜率分别为k1，k2．①若直线过椭圆C的左顶点，求此时k1，k2的值；②试探究k1+k2是否为定值？并说明理由．【解答】（共14分）解：（Ⅰ）由椭圆过点，则．又，故．所以椭圆C的方程为．…（4分）（Ⅱ）①若直线过椭圆的左顶点，则直线的方程是，由解得或故，．…（8分）②k1+k2为定值，且k1+k2=0．设直线的方程为．由消y ，得x 2+2mx +2m 2﹣4=0．当△=4m 2﹣8m 2+16＞0，即﹣2＜m ＜2时，直线与椭圆交于两点． 设A （x 1，y 1）．B （x 2，y 2），则x 1+x 2=﹣2m ，．又，，故=．又，，所以（y 1﹣1）（x 2﹣2）+（y 2﹣1）（x 1﹣2）==x 1x 2+（m ﹣2）（x 1+x 2）﹣4（m ﹣1）=2m 2﹣4+（m ﹣2）（﹣2m ）﹣4（m ﹣1）=0． 故k 1+k 2=0．…（14分）赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()mf q = ②02b x a->，则()m f p =． xxxx>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x xf xfxx<O-=f (p)f(q)()2b f a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。
2015-2016年北京市房山区高三(上)期末数学试卷和答案(文科)
2015-2016学年北京市房山区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|x≥0}，则A∩B=（）A．{x|0≤x≤1}B．{x|﹣1≤x＜0}C．{x|x＜﹣1}D．{x|x≥﹣1}2．（5分）已知命题p：∃x∈R，x2﹣x﹣2≥0，那么命题¬p为（）A．∃x∈R，x2﹣x﹣2≤0 B．∃x∈R，x2﹣x﹣2＜0C．∀x∈R，x2﹣x﹣2≤0 D．∀x∈R，x2﹣x﹣2＜03．（5分）某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的x值为5，则输出的y值（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．24．（5分）下列函数中，在定义域上为增函数的是（）A．y=|x|B．C．y=e x﹣1 D．y=tanx5．（5分）向量在正方形网格中的位置如图所示，则=（）A．B．C． D．6．（5分）若x，y满足则x+y的最大值为（）A．5 B．4 C．3 D．27．（5分）设f（x）=lnx，0＜x 1＜x2，若，，，则下列关系式中正确的是（）A．a=b＜c B．a=b＞c C．b=c＜a D．b=c＞a8．（5分）某民营企业生产甲、乙两种产品，根据以往经验和市场调查，甲产品的利润与投入资金成正比，乙产品的利润与投入资金的算术平方根成正比，已知甲、乙产品分别投入资金4万元时，所获得利润（万元）情况如下：该企业计划投入资金10万元生产甲、乙两种产品，那么可获得的最大利润（万元）是（）A．B．C．D．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）抛物线y2=2x的焦点坐标为．10．（5分）复数z=（其中i为虚数单位）的虚部为．11．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于．12．（5分）直线x﹣y+2=0与圆x2+y2=4相交于A，B，则弦长|AB|=．13．（5分）已知函数f（x）=sinxcosx，则f（x）的最小正周期为，f（x）在上的最小值为．14．（5分）某同学在研究函数时，得到以下几个结论：①函数f（x）是奇函数；②函数f（x）的值域是[﹣1，1]；③函数f（x）在R上是增函数；④函数g（x）=f（x）﹣m（m是常数）必有一个零点．其中正确结论的序号为．（写出所有正确结论的序号）三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b2+c2=a2+bc．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）如果，c=2，求a的值．16．（13分）已知{a n}是公差d=3的等差数列，且a1，a3，a2成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式和前n项和；（2）求数列{|a n|}的前n项和T n．17．（13分）北京高中会考考试科目原始得分采用百分制，公布成绩使用A、B、C、D等级制．A、B、C三级为合格等级，D为不合格等级．各等级分数划分标准：85分及以上为A，84﹣70分为B，69﹣60分为C，60分以下为D．如图的茎叶图（十位为茎，个位为叶）记录了某校高三年级6名学生的数学会考成绩．（Ⅰ）求出茎叶图中这6个数据的中位数和平均数；（Ⅱ）若从这6名学生中随机抽出2名，记事件X：“恰有一名学生的成绩达到A 等”，事件Y：“至多有一名学生的成绩达到A等”，分别求事件X、事件Y的概率．18．（14分）如图1，在直角梯形ADCE中，AD∥EC，EC=2BC，∠ADC=90°，AB ⊥EC，点F为线段BC上的一点．将△ABE沿AB折到△ABE1的位置，使E1F⊥BC，如图2．（Ⅰ）求证：AB∥平面CDE1；（Ⅱ）求证：E1F⊥AC；（Ⅲ）在E1D上是否存在一点M，使E1C⊥平面ABM．说明理由．19．（14分）设函数f（x）=x3+x2+x，g（x）=2x2+4x十c．（I）x=﹣1是函数f（x）的极值点吗？说明理由；（Ⅱ）当x∈[﹣3，4]对，函数f（x）与g（x）的图象有两个公共点，求c的取值范围．（Ⅲ）证明：当x∈R时，e x+x2﹣1≥f（x）．20．（13分）已知椭圆C：2x2+3y2=6的左焦点为F，过F的直线l与C交于A、B 两点．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）当直线l与x轴垂直时，求线段AB的长；（Ⅲ）设线段AB的中点为P，O为坐标原点，直线OP交椭圆C交于M、N两点，是否存在直线l使得|NP|=3|PM|？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．2015-2016学年北京市房山区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|x≥0}，则A∩B=（）A．{x|0≤x≤1}B．{x|﹣1≤x＜0}C．{x|x＜﹣1}D．{x|x≥﹣1}【解答】解：∵A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|x≥0}，∴A∩B={x|0≤x≤1}，故选：A．2．（5分）已知命题p：∃x∈R，x2﹣x﹣2≥0，那么命题¬p为（）A．∃x∈R，x2﹣x﹣2≤0 B．∃x∈R，x2﹣x﹣2＜0C．∀x∈R，x2﹣x﹣2≤0 D．∀x∈R，x2﹣x﹣2＜0【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是：∀x∈R，x2﹣x﹣2＜0，故选：D．3．（5分）某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的x值为5，则输出的y值（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．2【解答】解：经过第一次循环得到x=3，不满足判断框中的条件；经过第二次循环得到x=1，不满足判断框中的条件；经过第三次循环得到x=﹣1，满足判断框中的条件；执行“是”，y=2﹣1=，输出y 值为．故选：C．4．（5分）下列函数中，在定义域上为增函数的是（）A．y=|x|B．C．y=e x﹣1 D．y=tanx【解答】解：A.，该函数在（﹣∞，0）上单调递减，∴该选项错误；B．x=﹣1时，y=0，x=1时，y=0；∴在定义域{x|x≠0}上不是增函数，∴该选项错误；C．y=e x在定义域R上为增函数，∴y=e x﹣1在定义域R上为增函数，∴该选项正确；D．y=tanx在定义域上没有单调性，∴该选项错误．故选：C．5．（5分）向量在正方形网格中的位置如图所示，则=（）A．B．C． D．【解答】解：由图可知：=，=，∴=﹣（）=﹣3，故选：C ．6．（5分）若x ，y 满足则x +y 的最大值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示： 由，解得A （2，2），令z=x +y ，则y=﹣x +z ，显然直线过A （2，2）时，z 最大， 此时z=4， 故选：B ．7．（5分）设f （x ）=lnx ，0＜x 1＜x 2，若，，，则下列关系式中正确的是（ ）A ．a=b ＜cB ．a=b ＞cC ．b=c ＜aD ．b=c ＞a 【解答】解：∵f （x ）=lnx ，0＜x 1＜x 2， ∴函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增．=，==，=＞，∴a=b ＜c ．故选：A．8．（5分）某民营企业生产甲、乙两种产品，根据以往经验和市场调查，甲产品的利润与投入资金成正比，乙产品的利润与投入资金的算术平方根成正比，已知甲、乙产品分别投入资金4万元时，所获得利润（万元）情况如下：该企业计划投入资金10万元生产甲、乙两种产品，那么可获得的最大利润（万元）是（）A．B．C．D．【解答】解：∵甲产品的利润与投入资金成正比，∴设y=kx，当投入4万时，利润为1，即4k=1，得k=，即y=x，∵乙产品的利润与投入资金的算术平方根成正比，∴设y=k，当投入4万时，利润为2.5==，即k=，得2k=，即k=，即y=，设乙产品的投入资金x，则甲产品投入资金10﹣x，0≤x≤10，则销售甲乙产品所得利润y=（10﹣x）+，则函数的导数y′=﹣+=，由f′（x）＞0得5﹣2＞0，即0＜x＜，由f′（x）＜0得5﹣2＜0，即x＞，即当x=时，函数取得极大值同时也是最大值，此时f（）=（10﹣）+=+=，故选：B．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）抛物线y2=2x的焦点坐标为．【解答】解：抛物线y2=2x的焦点在x轴的正半轴上，且p=1，∴=，故焦点坐标为（，0），故答案为：（，0）．10．（5分）复数z=（其中i为虚数单位）的虚部为﹣．【解答】解：==，则复数z的虚部为﹣，故答案为：﹣．11．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于56．【解答】解：由三视图知几何体为一平放的直四棱柱，且四棱柱的底面为直角梯形，高为4；又直角梯形的上底为2，下底为5，高为4，所以直角梯形的面积为×（2+5）×4=14，所以该四棱柱的体积为V=14×4=56．故答案为：56．12．（5分）直线x﹣y+2=0与圆x2+y2=4相交于A，B，则弦长|AB|=2．【解答】解：∵圆x2+y2=4的圆心为（0，0），半径r=2，∴圆心到直线x﹣y+2=0的距离d==，∴弦长|AB|=2=2故答案为：213．（5分）已知函数f（x）=sinxcosx，则f（x）的最小正周期为π，f（x）在上的最小值为﹣．【解答】解：∵f（x）=sinxcosx=sin2x，∴f（x）的最小正周期T==π，∵x∈，∴2x∈[﹣，]，∴f（x）=sin2x∈[﹣，]，∴f（x）在上的最小值为﹣．故答案为：π，﹣．14．（5分）某同学在研究函数时，得到以下几个结论：①函数f（x）是奇函数；②函数f（x）的值域是[﹣1，1]；③函数f（x）在R上是增函数；④函数g（x）=f（x）﹣m（m是常数）必有一个零点．其中正确结论的序号为①③．（写出所有正确结论的序号）【解答】解：对于①，f（﹣x）==﹣f（x），故函数f（x）是奇函数，故正确，对于②函数f（x）的值域是（﹣1，1）；故不正确，对于③设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=＜0，∴函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，又函数f（x）是奇函数，∴函数f（x）在R上是增函数，故正确；对于④令函数g（x）=f（x）﹣m=0，即f（x）=m，∵由函数的值域可知：﹣1＜f（x）＜1，∴当m≥1或m≤﹣1时，无解，即函数g（x）=f（x）﹣m无零点；故不正确故答案为：①③．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b2+c2=a2+bc．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）如果，c=2，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵b2+c2=a2+bc，可得：b2+c2﹣a2=bc，∴由余弦定理可得：cosA===，∵A∈（0，π），∴可得：A=．（Ⅱ）∵A=，，c=2，∴由正弦定理可得：a===3．16．（13分）已知{a n}是公差d=3的等差数列，且a1，a3，a2成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式和前n项和；（2）求数列{|a n|}的前n项和T n．【解答】解：（1）a1，a3，a2成等比数列，可得a32=a1a2，即为（a1+2d）2=a1（a1+d），即（a1+6）2=a1（a1+3），解得a1=﹣4，则数列{a n}的通项公式为a n=a1+（n﹣1）d=3n﹣7；前n项和为S n=na1+n（n﹣1）d=n2﹣n；（2）当1≤n≤2，n为整数，可得|a n|=﹣a n，T n=﹣S n=n﹣n2；当n≥3时，a n＞0，即有T n=S n﹣S2﹣S2=n2﹣n﹣2×（﹣5）=n2﹣n+10．则T n=．17．（13分）北京高中会考考试科目原始得分采用百分制，公布成绩使用A、B、C、D等级制．A、B、C三级为合格等级，D为不合格等级．各等级分数划分标准：85分及以上为A，84﹣70分为B，69﹣60分为C，60分以下为D．如图的茎叶图（十位为茎，个位为叶）记录了某校高三年级6名学生的数学会考成绩．（Ⅰ）求出茎叶图中这6个数据的中位数和平均数；（Ⅱ）若从这6名学生中随机抽出2名，记事件X：“恰有一名学生的成绩达到A 等”，事件Y：“至多有一名学生的成绩达到A等”，分别求事件X、事件Y的概率．【解答】解：（Ⅰ）所求的中位数为：=74，所求的平均数为：（51+65+73+75+86+97）=74.5；（Ⅱ）由茎叶图可知：6名学生中由4名学生的成绩为达到A等，由2名学生的成绩达到A等，记成绩未达到A等的学生为a，b，c，d，成绩达到A等的学生为e，f，则从这6名学生中随机抽取2名学生的所有情况为：ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，dc，ce，ce，de，df，ef共15个基本事件，记“从这6名学生中随机抽出2名，求恰好有一名学生的成绩达到A等”为事件X，则X含有的基本事件为：ae，af，be，bf，ce，cf，de，df共8个，故P（X）=，记“至多有一名学生的成绩达到A等”为事件Y，“2名学生的成绩都达到A等”为事件Z，其可能的结果为ef，故P（Z）=，∴P（Y）=1﹣P（Z）=1﹣=．18．（14分）如图1，在直角梯形ADCE中，AD∥EC，EC=2BC，∠ADC=90°，AB ⊥EC，点F为线段BC上的一点．将△ABE沿AB折到△ABE1的位置，使E1F⊥BC，如图2．（Ⅰ）求证：AB∥平面CDE1；（Ⅱ）求证：E1F⊥AC；（Ⅲ）在E1D上是否存在一点M，使E1C⊥平面ABM．说明理由．【解答】证明：（Ⅰ）∵在直角梯形ADCE中，AD∥EC，∠ADC=90°，AB⊥EC，∴AB∥CD，∵CD⊆平面CDE1，AB⊄平面CDE1，∴AB∥平面CDE1；（Ⅱ）∵AB⊥BF，AB⊥BE1，BF∩BE1=B，∴AB⊥平面BFE1，∵FE1⊂平面BFE1，∴AB⊥FE1，又∵E1F⊥BC，BC∩AB=B，∴E1F⊥平面ABC，∵AC⊂平面ABC，∴E1F⊥AC；（Ⅲ）取CE1的中点G，连接BG，经点G，在△E1 CD中作GM∥CD，交E1 D与点M，连接AM，BM，∵CB=BE1，∴CE1⊥BG，又∵CE1⊥AB，AB∩BG=B，∴CE1⊥平面ABG，∵GM∥CD∥AB，∴点M在平面ABG上，∴E1C⊥平面ABM．19．（14分）设函数f（x）=x3+x2+x，g（x）=2x2+4x十c．（I）x=﹣1是函数f（x）的极值点吗？说明理由；（Ⅱ）当x∈[﹣3，4]对，函数f（x）与g（x）的图象有两个公共点，求c的取值范围．（Ⅲ）证明：当x∈R时，e x+x2﹣1≥f（x）．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=x2+2x+1=（x+1）2≥0，函数f（x）在R上单调递增，函数无极值点，故x=﹣1不是函数f（x）的极值点；（Ⅱ）令f（x）=g（x），则有x3﹣x2﹣3x﹣c=0，∴c=x3﹣x2﹣3x，设F（x）=x3﹣x2﹣3x，G（x）=c，令F′（x）=x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1或x=3．列表如下：由此可知：F（x）在（﹣3，﹣1）、（3，4）上是增函数，在（﹣1，3）上是减函数．当x=﹣1时，F（x）取得极大值F（﹣1）=；当x=3时，F（x）取得极小值F（﹣3）=F（3）=﹣9，而F（4）=﹣．如果函数f（x）与g（x）的图象有两个公共点，则函数F（x）与G（x）有两个公共点，所以﹣＜c＜或c=﹣9；（Ⅲ）由e x+x2﹣1≥f（x）=x3+x2+x，即e x﹣x3﹣x﹣1≥0在R上恒成立，令h（x）=e x﹣x3﹣x﹣1，则h′（x）=e x﹣x2﹣1，令h′（x）＞0，解得：x＞0，令h′（x）＜0，解得：x＜0，∴h（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，∴h（x）min=h（0）=0，∴h（x）≥0，即当x∈R时，e x+x2﹣1≥f（x）．20．（13分）已知椭圆C：2x2+3y2=6的左焦点为F，过F的直线l与C交于A、B 两点．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）当直线l与x轴垂直时，求线段AB的长；（Ⅲ）设线段AB的中点为P，O为坐标原点，直线OP交椭圆C交于M、N两点，是否存在直线l使得|NP|=3|PM|？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）椭圆C：2x2+3y2=6，即为+=1，可得a=，b=，c=1，即有e==；（Ⅱ）当直线l与x轴垂直时，即为x=﹣1，代入椭圆方程可得y2=，解得y=±，则线段AB的长为；（Ⅲ）由F（﹣1，0），设直线AB：x=my﹣1，代入椭圆方程，可得（3+2m2）y2﹣4my﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y2=，即有中点P的坐标为（，），直线OP：y=﹣x，代入椭圆方程，可得x=±，可设x N=，x M=﹣，假设存在直线l使得|NP|=3|PM|，即有=3，即为﹣=3（﹣﹣），解得m=±，则存在直线l：x=±y﹣1，使得|NP|=3|PM|．。
2015-2016年山西省太原市高二(上)期末数学试卷(文科)及答案答案
2015-2016学年山西省太原市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．（3分）命题“a=0，则ab=0”的逆否命题是（）A．若ab=0，则a=0B．若a≠0，则ab≠0C．若ab=0，则a≠0D．若ab≠0，则a≠02．（3分）椭圆+=1的长轴长是（）A．2B．3C．4D．63．（3分）已知函数f（x）=x2+sinx，则f′（0）=（）A．0B．﹣1C．1D．34．（3分）“a＞1”是“a2＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（3分）双曲线﹣y2=1的渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=±4x C．y=±x D．y=±x 6．（3分）已知y=f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．f（x）在（﹣3，﹣1）上先增后减B．x=﹣2是函数f（x）极小值点C．f（x）在（﹣1，1）上是增函数D．x=1是函数f（x）的极大值点7．（3分）已知双曲线的离心率e=，点（0，5）为其一个焦点，则该双曲线的标准方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=18．（3分）函数f（x）=xlnx的单调递减区间为（）A．（﹣∞，）B．（0，）C．（﹣∞，e）D．（e，+∞）9．（3分）若方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，+∞）10．（3分）已知命题p：∀x∈（0，+∞），2x＞3x，命题q：∃x0∈（0，+∞），x＞x，则下列命题中的真命题是（）A．p∧q B．p∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．（￢p）∧q11．（3分）f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（）A．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）B．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）C．（﹣3，0）∪（3，+∞）D．（﹣3，0）∪（0，3）12．（3分）过点M（2，﹣1）作斜率为的直线与椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A，B两个不同点，若M是AB的中点，则该椭圆的离心率e=（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分.、共16分.13．（4分）抛物线x2=4y的焦点坐标为．14．（4分）已知命题p：∃x0∈R，3=5，则￢p为．15．（4分）已知曲线f（x）=xe x在点P（x0，f（x0））处的切线与直线y=x+1平行，则点P的坐标为．16．（4分）已知f（x）=ax3+3x2﹣1存在唯一的零点x0，且x0＜0，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共7小题，共48分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（8分）已知命题p：函数y=kx是增函数，q：方程+y2=1表示焦点在x轴上的椭圆，若p∧（￢q）为真命题，求实数k的取值范围．18．（10分）已知函数f（x）=2x3﹣6x2+m在[﹣2，2]上的最大值为3，求f（x）在[﹣2，2]上的最小值．19．（10分）已知点P（1，﹣2）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上．（1）求抛物线C的方程及其准线方程；（2）若过抛物线C焦点F的直线l与抛物线C相交于A，B两个不同点，求|AB|的最小值．20．（10分）已知函数f（x）=x﹣﹣2alnx（a∈R）．（1）若函数f（x）在x=处取得极值，求实数a的值；（2）求证：当a≤1时，不等式f（x）≥0在[1，+∞）恒成立．21．已知函数f（x）=x﹣﹣2alnx（a∈R）．（1）若函数f（x）在x=处取得极值，求实数a的值；（2）若不等式f（x）≥0在[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．22．（10分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，点P（﹣，1）在该椭圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）若点A，B是椭圆C上关于直线y=kx+1对称的两点，求实数k的取值范围．23．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，原点到直线+=1的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）若点A，B是椭圆C上关于直线y=kx+1对称的两点，求实数k的取值范围．2015-2016学年山西省太原市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．（3分）命题“a=0，则ab=0”的逆否命题是（）A．若ab=0，则a=0B．若a≠0，则ab≠0C．若ab=0，则a≠0D．若ab≠0，则a≠0【解答】解：因为原命题是“a=0，则ab=0”，所以其逆否命题为“若ab≠0，则a≠0”，故选：D．2．（3分）椭圆+=1的长轴长是（）A．2B．3C．4D．6【解答】解：椭圆+=1的实轴长是：2a=6．故选：D．3．（3分）已知函数f（x）=x2+sinx，则f′（0）=（）A．0B．﹣1C．1D．3【解答】解：函数的导数f′（x）=2x+cosx，则f′（0）=cos0=1，故选：C．4．（3分）“a＞1”是“a2＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由a2＜1解得﹣1＜a＜1，∴“a＞1”是“a2＜1”的既不充分也不必要条件．故选：D．5．（3分）双曲线﹣y2=1的渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=±4x C．y=±x D．y=±x【解答】解：双曲线=1的渐近线方为，整理，得y=．故选：C．6．（3分）已知y=f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．f（x）在（﹣3，﹣1）上先增后减B．x=﹣2是函数f（x）极小值点C．f（x）在（﹣1，1）上是增函数D．x=1是函数f（x）的极大值点【解答】解：由图象得：﹣3＜x＜﹣2时，f′（x）＞0，﹣2＜x＜﹣1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣3，﹣2）递增，在（﹣2，﹣1）递减，故选：A．7．（3分）已知双曲线的离心率e=，点（0，5）为其一个焦点，则该双曲线的标准方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=1【解答】解：设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），由题意可得e==，c=5，可得a=3，b==4，即有双曲线的标准方程为﹣=1．故选：D．8．（3分）函数f（x）=xlnx的单调递减区间为（）A．（﹣∞，）B．（0，）C．（﹣∞，e）D．（e，+∞）【解答】解：函数的定义域为x＞0∵y′=lnx+1令lnx+1＜0得0＜x＜，∴函数y=xlnx的单调递减区间是（0，），故选：B．9．（3分）若方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，+∞）【解答】解：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，可得m﹣1＞3﹣m＞0，解得2＜m＜3．故选：C．10．（3分）已知命题p：∀x∈（0，+∞），2x＞3x，命题q：∃x0∈（0，+∞），x＞x，则下列命题中的真命题是（）A．p∧q B．p∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．（￢p）∧q【解答】解：命题p：∀x∈（0，+∞），2x＞3x，是假命题，例如取x=2不成立；命题q：∵∀x∈（0，+∞），2x＜3x，因此命题q是假命题，∴只有（￢p）∧（￢q）是真命题．故选：C．11．（3分）f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（）A．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）B．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）C．（﹣3，0）∪（3，+∞）D．（﹣3，0）∪（0，3）【解答】解：令h（x）=f（x）g（x），则h（﹣x）=f（﹣x）g（﹣x）=﹣f（x）g （x）=﹣h（x），因此函数h（x）在R上是奇函数．①∵当x＜0时，h′（x）=f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，∴h（x）在x＜0时单调递增，故函数h（x）在R上单调递增．∵h（﹣3）=f（﹣3）g（﹣3）=0，∴h（x）=f（x）g（x）＜0=h（﹣3），∴x＜﹣3．②当x＞0时，函数h（x）在R上是奇函数，可知：h（x）在（0，+∞）上单调递增，且h（3）=﹣h（﹣3）=0，∴h（x）＜0，的解集为（0，3）．∴不等式f（x）g（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．故选：A．12．（3分）过点M（2，﹣1）作斜率为的直线与椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A，B两个不同点，若M是AB的中点，则该椭圆的离心率e=（）A．B．C．D．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4，y1+y2=﹣2，A，B两个不同点代入椭圆方程，可得+=1，+=1，作差整理可得+=0，∵斜率为==，∴a=2b，∴c==b，∴e==．故选：C．二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分.、共16分.13．（4分）抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1）．【解答】解：抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4，∴∴抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1）故答案为：（0，1）14．（4分）已知命题p：∃x0∈R，3=5，则￢p为∀x∈R，3x≠5．【解答】解：由特称命题的否定可知：￢p：∀x∈R，3x≠5，故答案为：∀x∈R，3x≠5．15．（4分）已知曲线f（x）=xe x在点P（x0，f（x0））处的切线与直线y=x+1平行，则点P的坐标为（0，0）．【解答】解：f（x）=xe x的导数为f′（x）=（x+1）e x，可得切线的斜率为（x0+1）e x0，由切线与直线y=x+1平行，可得（x0+1）e x0=1，即有x0为x+1=e﹣x的解，由y=x+1﹣e﹣x，在R上递增，且x=0时，y=0．即有x0=0，则P的坐标为（0，0）．故答案为：（0，0）．16．（4分）已知f（x）=ax3+3x2﹣1存在唯一的零点x0，且x0＜0，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．【解答】解：（i）当a=0时，f（x）=﹣3x2+1，令f（x）=0，解得x=，函数f（x）有两个零点，舍去．（ii）当a≠0时，f′（x）=3ax2+6x=3ax（x+），令f′（x）=0，解得x=0或﹣．①当a＜0时，﹣＞0，当x＞﹣或x＜0，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；当0＜x＜﹣时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．∴故x=﹣是函数f（x）的极大值点，0是函数f（x）的极小值点．∵函数f（x）=ax3+3x2﹣1存在唯一的零点x0，且x0＜0，则f（﹣）=﹣+﹣1=﹣1＜0，即a2＞4得a＞2（舍）或a＜﹣2．②当a＞0时，﹣＜0，当x＜﹣或x＞0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当﹣＜x＜0时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．∴x=﹣是函数f（x）的极大值点，0是函数f（x）的极小值点．∵f（0）=﹣1＜0，∴函数f（x）在（0，+∞）上存在一个零点，此时不满足条件．综上可得：实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．故答案为：（﹣∞，﹣2）．三、解答题：本大题共7小题，共48分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（8分）已知命题p：函数y=kx是增函数，q：方程+y2=1表示焦点在x轴上的椭圆，若p∧（￢q）为真命题，求实数k的取值范围．【解答】解：命题p：函数y=kx是增函数，∴k＞0．命题q：方程+y2=1表示焦点在x轴上的椭圆，∴k＞1．∵p∧（￢q）为真命题，∴p为真命题，q为假命题．∴，解得0＜k≤1．∴实数k的取值范围是0＜k≤1．18．（10分）已知函数f（x）=2x3﹣6x2+m在[﹣2，2]上的最大值为3，求f（x）在[﹣2，2]上的最小值．【解答】解：f′（x）=6x2﹣12x，令f′（x）=0，则x=0或x=2，∴f（x）在[﹣2，0]上单调递增，在（0，2]上单调递减，∴f（x）max=f（0）=m=3，即f（x）=2x3﹣6x2+3，又∵f（﹣2）=﹣37，f（2）=﹣5，∴f（x）min=f（﹣2）=﹣37．19．（10分）已知点P（1，﹣2）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上．（1）求抛物线C的方程及其准线方程；（2）若过抛物线C焦点F的直线l与抛物线C相交于A，B两个不同点，求|AB|的最小值．【解答】解：∵点P（1，﹣2）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上，∴2p=4，解得：p=2，∴抛物线C的方程为y2=4x，准线方程为x=﹣1；（2）设直线l的方程为：x+my﹣1=0，代入y2=4x，整理得，y2+4my﹣4=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1，y2是上述关于y的方程的两个不同实根，所以y1+y2=﹣4m根据抛物线的定义知：|AB|=x1+x2+2=（1﹣my1）+（1﹣my2）=4（m2+1）∴|AB|=4（m2+1）≥4，当且仅当m=0时，|AB|有最小值4．20．（10分）已知函数f（x）=x﹣﹣2alnx（a∈R）．（1）若函数f（x）在x=处取得极值，求实数a的值；（2）求证：当a≤1时，不等式f（x）≥0在[1，+∞）恒成立．【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=1+﹣，∴f′（）=1+4（2a﹣1）﹣4a=0，解得：a=，∴a=时，f′（x）=，∴f（x）在（0，）递增，在（，1）递减，f（x）在x=处取得极值，故a=符合题意；（2）f′（x）=1+﹣=，当a≤1时，则2a﹣1≤1，∴f′（x）＞0在（1，+∞）恒成立，函数f（x）递增，∴f（x）≥f（1）=2（1﹣a）≥0．21．已知函数f（x）=x﹣﹣2alnx（a∈R）．（1）若函数f（x）在x=处取得极值，求实数a的值；（2）若不等式f（x）≥0在[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=1+﹣，∴f′（）=1+4（2a﹣1）﹣4a=0，解得：a=，∴a=时，f′（x）=，∴f（x）在（0，）递增，在（，1）递减，f（x）在x=处取得极值，故a=符合题意；（2）依题意有：f min（x，）≥0f′（x）=，令f′（x）=0，得：x1=2a﹣1，x2=1，①当2a﹣1≤1即a≤1时，函数f'（x）≥0在[1，+∞）恒成立，则f（x）在[1，+∞）单调递增，于是f min（x）=f（1）=2﹣2a≥0，解得：a≤1；②当2a﹣1＞1即a＞1时，函数f（x）在[1，2a﹣1]单调递减，在[2a﹣1，+∞）单调递增，于是f min（x）=f（2a﹣1）＜f（1）=2﹣2a＜0，不合题意，综上所述：实数a的取值范围是a≤1．22．（10分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，点P（﹣，1）在该椭圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）若点A，B是椭圆C上关于直线y=kx+1对称的两点，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）由已知e==，即c2=a2，b2=a2﹣c2=a2，将P（﹣，1）代入椭圆方程，可得+=1，∴a=2，b=，∴a2=4，∴b2=2，∴椭圆C的方程为：+=1；（2）椭圆C上存在点B，A关于直线y=kx+1对称，设A（x1，y1），B（x2，y2），y1≠y2AB的中点（x0，y0），直线y=kx+1且k≠0，恒过（0，1），则x12+（y1﹣1）2=x22+（y2﹣1）2，点B，A在椭圆上，∴x12=4﹣2y12，x22=4﹣2y22，∴4﹣2y12+（y1﹣1）2=4﹣2y22+（y2﹣1）2，化简可得：y12﹣y22=﹣2（y1﹣y2），即y1+y2=﹣2，∴y0==﹣1，又因为AB的中点在y=kx+1上，所以y0=kx0+1，x0=﹣，由，可得x=±，∴0＜﹣＜，或﹣＜﹣＜0，即k＜﹣或k＞．则k的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．23．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，原点到直线+=1的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）若点A，B是椭圆C上关于直线y=kx+1对称的两点，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）由已知e==，即c2=a2，b2=a2﹣c2=a2，原点到直线+=1的距离为，即有=，∴a=2，b=，∴a2=4，∴b2=2，∴椭圆C的方程为：+=1；（2）椭圆C上存在点B，A关于直线y=kx+1对称，设A（x1，y1），B（x2，y2），y1≠y2AB的中点（x0，y0），直线y=kx+1且k≠0，恒过（0，1），则x12+（y1﹣1）2=x22+（y2﹣1）2，点B，A在椭圆上，∴x12=4﹣2y12，x22=4﹣2y22，∴4﹣2y12+（y1﹣1）2=4﹣2y22+（y2﹣1）2，化简可得：y12﹣y22=﹣2（y1﹣y2），即y1+y2=﹣2，∴y0==﹣1，又因为AB的中点在y=kx+1上，所以y0=kx0+1，x0=﹣，由，可得x=±，∴0＜﹣＜，或﹣＜﹣＜0，即k＜﹣或k＞．则k的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）。
2015-2016年辽宁省葫芦岛一中高三(上)数学期中试卷和答案(文科)
时，f（x）的最小值是﹣4，求此时函数 f（x）的最大值，
的一个极值点．
，若函数 g（x）在区间[1，2]内单调递增，求 a 的
cosA=
．
求△ABC 的面积． 21． （12 分）已知等比数列{an}是递增数列，a2a5=32，a3+a4=12，又数列{bn}满 足 bn=2log2an+1，Sn 是数列{bn}的前 n 项和 （1）求 Sn； （2）若对任意 n∈N+，都有 成立，求正整数 k 的值．
A．
B．
C
．
D． 5． （5 分）命题 p：若 sinx＞siny，则 x＞y；命题 q：x2+y2≥2xy，下列命题为假 命题的是（ A．p 或 q ） B．p 且 q C．q D．￢p
6． （5 分） 关于 x 的不等式 x2﹣4ax+3a2＜0 （a＞0） 的解集为 （x1， x2） ， 则 的最小值是（ A． B． ） C． D．
（1）求函数 f（x）的解析式；并求其最小正周期和对称中心． （2）当 并求出相应的 x 的值． 19． （12 分）已知 x=1 是 （1）求函数 f（x）的单调减区间； （2）设函数 取值范围． 20． （12 分）在△ABC 中，2sin2AcosA﹣sin3A+ （1）求角 A 的大小； （2） 已知 a， b， c 分别是内角 A， B， C 的对边， 若 a=1 且 sinA+sin （B﹣C） =2sin2C，
15． （5 分）已知不等式 5﹣x＞7|x+1|与不等式 ax2+bx﹣2＞0 的解集相同，则 a= ；b= ．
16． （5 分）设过曲线 f（x）=﹣ex﹣x（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切 线为 l1，总存在过曲线 g（x）=ax+2cosx 上一点处的切线 l2，使得 l1⊥l2，则实数 a 的取值范围为 ．
2015-2016学年河南省洛阳市高三(上)期中数学试卷和答案(文科)
2015-2016学年河南省洛阳市高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分．在每小题给出的四个选项中-只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合M={x|x2≤4}，N={﹣1，0，4}，则M∩N=（）A．{﹣1，0，4}B．{﹣1，0}C．{0，4}D．{﹣2，﹣1，0}2．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“若x2＜1，则﹣l≤x＜l”的逆否命题是“若x2≥1，则x＜﹣1或x≥l”B．命题“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∀x∈R，e x≤0”C．“a＞0”是“函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（﹣∞，0）上单调递减”的充要条件D．若“p∨q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题3．（5分）已知函数f（x）=，若f（f（1））=4a，则实数a等于（）A．B．C．2 D．44．（5分）在锐角三角形ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若2asinB=b，则角A=（）A．B．C．D．5．（5分）已知向量，若A、B、D三点共线，则实数m、n应该满足的条件是（）A．m+n=1 B．m+n=﹣1 C．mn=1 D．mn=﹣16．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n∈N*），则S6=（）A．44B．45C．（46﹣1） D．（45﹣1）7．（5分）已知非零向量，满足•=0，且|﹣|=2||，则向量﹣与的夹角为（）A．B．C． D．8．（5分）为了得到函数y=3cos2x的图象，只需把函数y=3sin（2x+）的图象上所有的点（）A．向右平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向左平移移动个单位长度9．（5分）使f（x）=sin（2x+θ）﹣cos（2x+θ）为偶函数，且在[，]上是减函数的θ的一个值是（）A． B． C．D．﹣10．（5分）在正项等比数列{a n}中，10a1，成等差数列，则=（）A．5 B．4 C．25 D．4或2511．（5分）设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有3f（x）+xf′（x）＞0，则不等式（x+2015）3f（x+2015）+27f（﹣3）＞0的解集（）A．（﹣2018，﹣2015）B．（﹣∞，﹣2016）C．（﹣2016，﹣2015）D．（﹣∞，﹣2012）12．（5分）若实数a，b，c，d满足（b+a2﹣3lna）2+（c﹣d+2）2=0，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A．B．2 C．2 D．8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量=（2，1），=（0，1），=（2，3），若λ∈R且（+λ）∥，则λ=．14．（5分）观察下面数表：设1027是该表第m行的第n个数，则m+n等于．15．（5分）设α为锐角，若cos（α+）=，则sin（2α+）的值为．16．（5分）已知函数f（x）=e x﹣mx+1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y=x 垂直的切线，则实数m的取值范围是．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知函数f（x）=4sinωx•sin（ωx+）+1（ω＞0）的最小正周期是π．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）求函数f（x）在[，]上的值域．18．（12分）设数列{a n}是等差数列，a3=5，a5=9，数列{b n}的前n项和为S n，S n=2n+1﹣2（n∈N*）．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）若c n=a n•b n（n∈N*），T n为数列{c n}的前n项和，求T n．19．（12分）已知函数f（x）=e x（ax+b），曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y=4x+1．（1）求a，b的值；（2）求函数f（x）的单调区间与极值．20．（12分）已知锐角三角形ABC中，向量=（2﹣2sinB，cosB﹣sinB），=（1+sinB，cosB+sinB），且⊥．（1）求角B的大小；（2）当函数y=2sin2A+cos（）取最大值时，判断三角形ABC的形状．21．（12分）已知f（x）=x3+ax2﹣a2x+2（1）若a≠0，求函数f（x）的单调区间；（2）若不等式2xlnx≤f′（x）+a2+1恒成立，求实数a的取值范围．四、选做题请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．【选修4-l：几何证明选讲】22．（10分）如图，点A是以线段BC为直径的圆O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作圆O的切线，与CA的延长线相交于点E，点G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．（1）求证：BF=EF；（2）求证：PA是圆O的切线．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中，l是过定点P（4，2）且倾斜角为α的直线，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系（取相同单位长度）中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）写出求直线l的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C与直线l相交于不同的两点M、N，求|PM|+|PN|的取值范围．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|x﹣|+|x+m|（m＞0）（1）证明：f（x）≥4；（2）若f（2）＞5，求m的取值范围．2015-2016学年河南省洛阳市高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题．每小题5分．在每小题给出的四个选项中-只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合M={x|x2≤4}，N={﹣1，0，4}，则M∩N=（）A．{﹣1，0，4}B．{﹣1，0}C．{0，4}D．{﹣2，﹣1，0}【解答】解：由x2≤4得﹣2≤x≤2，则集合M={x|﹣2≤x≤2}，又N={﹣1，0，4}，所以M∩N={﹣1，0}，故选：B．2．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“若x2＜1，则﹣l≤x＜l”的逆否命题是“若x2≥1，则x＜﹣1或x≥l”B．命题“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∀x∈R，e x≤0”C．“a＞0”是“函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（﹣∞，0）上单调递减”的充要条件D．若“p∨q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题【解答】解：命题“若x2＜1，则﹣l≤x＜l”的逆否命题是“若x＜﹣1或≥1，则x2≥1”，A错误；命题“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∃x∈R，e x≤0”，B错误；当a=0时，g（x）=（ax﹣1）x=﹣x，“函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（﹣∞，0）上单调递减”；∴“a＞0”是“函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（﹣∞，0）上单调递减”的充要条件错误；若“p∨q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题，正确．3．（5分）已知函数f（x）=，若f（f（1））=4a，则实数a等于（）A．B．C．2 D．4【解答】解：由分段函数可知f（1）=1+1=2，∴f（f（1））=f（2）=4+2a，即4a=4+2a，∴2a=4，解得a=2．故选：C．4．（5分）在锐角三角形ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若2asinB=b，则角A=（）A．B．C．D．【解答】解：利用正弦定理化简b=2asinB得：sinB=2sinAsinB，∵sinB≠0，∴sinA=，∵A为锐角，∴A=．故选：A．5．（5分）已知向量，若A、B、D三点共线，则实数m、n应该满足的条件是（）A．m+n=1 B．m+n=﹣1 C．mn=1 D．mn=﹣1【解答】解：由题意可得，∴，故有，∴mn=1，6．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n∈N*），则S6=（）A．44B．45C．（46﹣1） D．（45﹣1）=3S n（n∈N*），【解答】解：∵a n+1﹣S n=3S n，∴S n+1∴S n=4S n，+1S1=1，S2=3+1=4．∴数列{S n}是等比数列，首项为1，公比为4．∴S n=4n﹣1．∴S6=45．故选：B．7．（5分）已知非零向量，满足•=0，且|﹣|=2||，则向量﹣与的夹角为（）A．B．C． D．【解答】解：∵非零向量，满足•=0，且|﹣|=2||，∴，解得=，不妨令=（1，0），则=（0，）．∴=（1，﹣），设向量﹣与的夹角为θ．∴cosθ===﹣，∴．故选：D．8．（5分）为了得到函数y=3cos2x的图象，只需把函数y=3sin（2x+）的图象上所有的点（）A．向右平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向左平移移动个单位长度【解答】解：∵y=3cos2x=3sin（2x+）=3sin[2（x+）+]，∴把函数y=3sin（2x+）的图象上所有的向左平移个单位，可得函数y=3cos2x 的图象，故选：C．9．（5分）使f（x）=sin（2x+θ）﹣cos（2x+θ）为偶函数，且在[，]上是减函数的θ的一个值是（）A． B． C．D．﹣【解答】解：∵f（x）=sin（2x+θ）﹣cos（2x+θ）=2sin（2x+θ﹣）为偶函数，∴θ﹣=kπ+，k∈Z，即θ=kπ+，故θ应从A、D中选取．若θ=，f（x）=2sin（2x+）=2cos2x，在[，]上，2x∈[，]，f（x）是减函数，满足条件．若θ=﹣，f（x）=2sin（2x﹣）=﹣2cos2x，在[，]上，2x∈[，]，f（x）是增函数，不满足条件．故选：A．10．（5分）在正项等比数列{a n}中，10a1，成等差数列，则=（）A．5 B．4 C．25 D．4或25【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q，则q＞0，由10a1，成等差数列可得2×a3=10a1+3a2，∴a1q2=10a1+3a1q，∴q2﹣3q﹣10=0，解得q=5，或q=﹣2（舍去），∴==q2=25．故选：C．11．（5分）设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有3f（x）+xf′（x）＞0，则不等式（x+2015）3f（x+2015）+27f（﹣3）＞0的解集（）A．（﹣2018，﹣2015）B．（﹣∞，﹣2016）C．（﹣2016，﹣2015）D．（﹣∞，﹣2012）【解答】解：构造函数g（x）=x3f（x），g′（x）=x2（3f（x）+xf′（x））；∵3f（x）+xf′（x）＞0，x2＞0；∴g′（x）＞0；∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递增；g（x+2015）=（x+2015）3f（x+2015），g（﹣3）=﹣27f（﹣3）；∴由不等式（x+2015）3f（x+2015）+27f（﹣3）＞0得：（x+2015）3f（x+2015）＞﹣27f（﹣3）；∴g（x+2015）＞g（﹣3）；∴x+2015＞﹣3，且x+2015＜0；∴﹣2018＜x＜﹣2015；∴原不等式的解集为（﹣2018，﹣2015）．故选：A．12．（5分）若实数a，b，c，d满足（b+a2﹣3lna）2+（c﹣d+2）2=0，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A．B．2 C．2 D．8【解答】解解：∵实数a、b、c、d满足：（b+a2﹣3lna）2+（c﹣d+2）2=0，∴b+a2﹣3lna=0，设b=y，a=x，则有：y=3lnx﹣x2，且c﹣d+2=0，设c=x，d=y，则有：y=x+2，∴（a﹣c）2+（b﹣d）2就是曲线y=3lnx﹣x2与直线y=x+2之间的最小距离的平方值，对曲线y=3lnx﹣x2求导：y′（x）=﹣2x，与y=x+2平行的切线斜率k=1=﹣2x，解得：x=1或x=﹣（舍），把x=1代入y=3lnx﹣x2，得：y=﹣1，即切点为（1，﹣1），切点到直线y=x+2的距离：=2，∴（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值就是8．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量=（2，1），=（0，1），=（2，3），若λ∈R且（+λ）∥，则λ=2．【解答】解：+λ=（2，1+λ），∵（+λ）∥，∴3×2﹣2（1+λ）=0，解得λ=2．故答案为：2．14．（5分）观察下面数表：设1027是该表第m行的第n个数，则m+n等于13．【解答】解：根据上面数表的数的排列规律，1、3、5、7、9…都是连续奇数，第一行1个数，第二行2=21个数，且第1个数是3=22﹣1第三行4=22个数，且第1个数是7=23﹣1第四行8=23个数，且第1个数是15=24﹣1…第10行有29个数，且第1个数是210﹣1=1023，第2个数为1025，第三个数为1027；所以1027是第10行的第3个数，所以m=10，n=3，所以m+n=13；故答案为：13．15．（5分）设α为锐角，若cos（α+）=，则sin（2α+）的值为．【解答】解：设β=α+，∴si nβ=，sin2β=2sinβcosβ=，cos2β=2cos2β﹣1=，∴sin（2α+）=sin（2α+﹣）=sin（2β﹣）=sin2βcos﹣cos2βsin=．故答案为：．16．（5分）已知函数f（x）=e x﹣mx+1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y=x 垂直的切线，则实数m的取值范围是m＞2．【解答】解：∵f（x）=e x﹣mx+1，∴f′（x）=e x﹣m，∵曲线C存在与直线y=x垂直的切线，∴f′（x）=e x﹣m=﹣2成立，∴m=2+e x＞2，故答案为：m＞2．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知函数f（x）=4sinωx•sin（ωx+）+1（ω＞0）的最小正周期是π．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）求函数f（x）在[，]上的值域．【解答】解：（1）f（x）=4sinωxsin（ωx+）+1=4sinωx（sinωx+cosωx）+1=2sinωxcosωx+2sin2ωx+1=sin2ωx+﹣cos2ωx+1=2sin（2ωx﹣）++1，∵T==π，∴ω=1∴f（x）=2sin（2x﹣）+，∴由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间为：[k，k]，k∈Z．（2）∵x∈[，]，2x﹣∈[0，]，∴sin（2x﹣）∈[0，1]，∴f（x）=2sin（2x﹣）++1∈[1+，3+]．18．（12分）设数列{a n}是等差数列，a3=5，a5=9，数列{b n}的前n项和为S n，S n=2n+1﹣2（n∈N*）．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）若c n=a n•b n（n∈N*），T n为数列{c n}的前n项和，求T n．【解答】解：（1）在等差数列{a n}中，由a3=5，a5=9，得，∴a n=a3+（n﹣3）d=5+2（n﹣3）=2n﹣1；在等比数列{b n}中，由S n=2n+1﹣2，得b1=S1=2，当n≥2时，=2n，验证n=1时成立，∴．（2）∵c n=a n•b n=（2n﹣1）•2n，∴，，两式作差可得：=．∴．19．（12分）已知函数f（x）=e x（ax+b），曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y=4x+1．（1）求a，b的值；（2）求函数f（x）的单调区间与极值．【解答】解：（1）∵f（x）=e x（ax+b），∴f′（x）=e x（ax+b+a），又∵曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y=4x+1，∴f（0）=e0b=1，f′（0）=e0（b+a）=4，故a=3，b=1；（2）f（x）=e x（3x+1），f′（x）=e x（3x+4），故当x∈（﹣∞，﹣）时，f′（x）＜0，当x∈（﹣，+∞）时，f′（x）＞0；故函数f（x）在（﹣∞，﹣）上是减函数，在（﹣，+∞）上是增函数；故当x=﹣时，f（x）有极小值为f（﹣）=•（3×（﹣）+1）=﹣3．20．（12分）已知锐角三角形ABC中，向量=（2﹣2sinB，cosB﹣sinB），=（1+sinB，cosB+sinB），且⊥．（1）求角B的大小；（2）当函数y=2sin2A+cos（）取最大值时，判断三角形ABC的形状．【解答】解：（1）∵⊥，∴•=0，即：（2﹣2sinB）（1+sinB）+（cosB﹣sinB）（cosB+sinB）=0，化简可得3﹣4sin2B=0，∴sinB=，∵三角形ABC是锐角三角形，∴B=．（2）由（1）可知，B=，函数y=2sin2A+cos（）=2sin2A+cos（）=2sin2A+cos（）=﹣cos2A+cos2A++1=sin（2A﹣）+1．当2A﹣=时，即A=时，y有最大值，此时A=B=C，∴△ABC是正三角形．21．（12分）已知f（x）=x3+ax2﹣a2x+2（1）若a≠0，求函数f（x）的单调区间；（2）若不等式2xlnx≤f′（x）+a2+1恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f'（x）=3x2+2ax﹣a2=（x+a）（3x﹣a）由f'（x）=0得x=﹣a或，（1）当a＞0时，由f'（x）＜0，得﹣a＜x＜．由f'（x）＞0，得x＜﹣a或x＞，此时f（x）的单调递减区间为（﹣a，），单调递增区间为（﹣∞，﹣a）和（，+∞）．（2）当a＜0时，由f'（x）＜0，得，由f'（x）＞0，得x或x＞﹣a，此时f（x）的单调递减区间为（，﹣a），单调递增区间为（﹣∞，）和（﹣a，+∞），综上：当a＞0时，f单调递减区间为（﹣a，），单调递增区间为（﹣∞，﹣a）和（，+∞），当a＜0时，（x）的单调递减区间为（，﹣a），单调递增区间为（﹣∞，）和（﹣a，+∞），（2）依题意x∈（0，+∞），不等式2xlnx≤f′（x）+a2+1恒成立，等价于2xlnx≤3x2+2ax+1在（0，+∞）上恒成立，可得a≥lnx﹣﹣，在（0，+∞）上恒成立，设h（x）=lnx﹣﹣，则h′（x）=﹣+=﹣，令h′（x）=0，得x=1，x=﹣（舍），当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0，当x变化时，h′（x），h（x）变化情况如下表：∴当x=1时，h（x）取得最大值，h（x）max=﹣2，∴a≥﹣2．∴a的取值范围是[﹣2，+∞）．四、选做题请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．【选修4-l：几何证明选讲】22．（10分）如图，点A是以线段BC为直径的圆O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作圆O的切线，与CA的延长线相交于点E，点G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．（1）求证：BF=EF；（2）求证：PA是圆O的切线．【解答】证明：（1）∵BC是圆O的直径，BE是圆O的切线，∴EB⊥BC．又∵AD⊥BC，∴AD∥BE．可得△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC．∴，得．∵G是AD的中点，即DG=AG．∴BF=EF．（2）连接AO，AB．∵BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°．由（1）得：在Rt△BAE中，F是斜边BE的中点，∴AF=FB=EF，可得∠FBA=∠FAB．又∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO．∵BE是圆O的切线，∴∠EBO=90°，得∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90°，∴PA⊥OA，由圆的切线判定定理，得PA是圆O的切线．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中，l是过定点P（4，2）且倾斜角为α的直线，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系（取相同单位长度）中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）写出求直线l的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C与直线l相交于不同的两点M、N，求|PM|+|PN|的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l过定点P（4，2），且倾斜角为α，∴l的参数方程为（t为参数）．由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，将代入上式中，整理得曲线C的普通方程为x2+y2﹣4x=0．（Ⅱ）将l的参数方程代入x2+y2=4x中，得t2+4（sinα+cosα）t+4=0，由题意有△=16（sinα+cosα）2﹣16＞0，得sinα•cosα＞0，∵0≤α＜π，∴sinα＞0，且cosα＞0，从而0＜α＜．设点M，N对应的参数分别为t1，t2，由韦达定理，得t1+t2=﹣4（sinα+cosα）＜0，t1•t2=4＞0，∴t1＜0，且t2＜0，∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=﹣t1﹣t2=4（sinα+cosα）=．由0＜α＜，得，∴≤1，故|PM|+|PN|的取值范围是．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|x﹣|+|x+m|（m＞0）（1）证明：f（x）≥4；（2）若f（2）＞5，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由m＞0，有f（x）=|x﹣|+|x+m|≥|﹣（x﹣）+x+m|=+m ≥4，当且仅当=m，即m=2时取“=”，所以f（x）≥4成立．（Ⅱ）f（2）=|2﹣|+|2+m|．当＜2，即m＞2时，f（2）=m﹣+4，由f（2）＞5，求得m＞．当≥2，即0＜m≤2时，f（2）=+m，由f（2）＞5，求得0＜m＜1．综上，m的取值范围是（0，1）∪（，+∞）．。
2015-2016年江苏省常州市溧阳市高三(上)数学期中试卷和答案(文科)
2015-2016 学年江苏省常州市溧阳市高三 （上） 期中数学试卷 （文 科）
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分）只需直接写出结果． 1． （5 分）若集合 A={x|x2﹣4x≤0}，B={x|x2﹣2x＞0}，则 A∩B= 2． （5 分）复数 z=1+i，且 （a∈R）是纯虚数，则实数 a 的值为 ． ．
7． （5 分）设△ABC 的三边长分别为 a、b、c，△ABC 的面积为 S，内切圆半径为 r，则 r= ；类比这个结论可知：四面体 P﹣ABC 径为 r，四面体 P﹣ABC 的体积为 V，则 r=
8． （5 分）若圆 x2+y2﹣4mx+（2m﹣3）y+4=0 被直线 2x﹣2y﹣3=0 所截得的弦最 长，则实数 m 的值为 ． ，D 是 BC 边上一点，AD=10，AC=14，
【解答】解：由 A={x|x2﹣4x≤0}={x|0≤x≤4}，B={x|x2﹣2x＞0}={x|x＜0 或 x ＞2}， 则 A∩B={x|0≤x≤4}∩{x|x＜0 或 x＞2}=（2，4]． 故答案为： （2，4]．
3． （5 分）若直线 mx﹣2y﹣1=0 经过第一、三、四象限，则实数 m 的取值范围 是 ． ． 的最小值为 ．
4． （5 分）cos275°+cos215°+cos75°cos15°的值等于 5． （5 分）若实数 x 满足 x＞﹣4，则函数 f（x）=x+
6． （5 分）设 m，n 是两条不同的直线，α，β 是两个不重合的平面，给定下列四 个命题： ①若 m⊥n，n⊂ α，则 m⊥α； ②若 m⊥α，m⊂ β，则 α⊥β； ③若 m⊥α，n⊥α，则 m∥n； ④若 m⊂ α，n⊂ β，α∥β，则 m∥n． 其中真命题的序号为 ．
2015-2016年浙江省湖州市高三(上)期末数学试卷(文科)及参考答案
2015-2016学年浙江省湖州市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．（5分）设集合P={x|x＞1}，Q={x|x＞0}，则下列结论正确的是（）A．P⊊Q B．Q⊊P C．P=Q D．P∪Q=R 2．（5分）已知函数f（x）=|x﹣1|，则下列函数与f（x）相等的函数是（）A．g（x）=B．g（x）=C．g（x）=D．g（x）=x﹣13．（5分）设平面向量，，均为非零向量，则“=”是“（﹣）•=0”的（）A．充分不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）若实数x，y满足：x2+y2﹣2x﹣2y=0，则x+y的取值范围是（）A．[﹣4，0]B．[2﹣2，2+2]C．[0，4]D．[﹣2﹣2，﹣2+2]5．（5分）设等比数列{a n}的前n项积为P n，若P12=32P7，则a10的值是（）A．16B．8C．4D．26．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+）（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，为了得到函数g（x）=cosωx的图象，只要将y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度7．（5分）设双曲线﹣=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为的直线交双曲线的右支交于点P，若|PF2|=|F1F2|，则双曲线的离心率是（）A．﹣1B．C．+1D．8．（5分）如图，正方形ABCD与正方形BCEF所成角的二面角的平面角的大小是，PQ是正方形BDEF所在平面内的一条动直线，则直线BD与PQ所成角的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]二、填空题：本大题共7个小题，多空题，每题6分，单空题每题4分，共36分.9．（6分）双曲线﹣y2=1的实轴长是，离心率的值是，焦点到渐近线的距离是．10．（4分）若2x=3y=，则+=．11．（6分）已知函数f（x）=sin2x+2cos2x（x∈R），则f（）=，函数f （x）的最大值是．12．（6分）已知函数f（x）=，则f（f（3））=，f（x）的单调减区间是．13．（4分）已知某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则其体积是．14．（4分）设△ABC的重心为G，且|GB|+|GC|=4，若|BC|=2，则|GA|的取值范围是．15．（6分）设向量，的夹角为，若对任意的m，n∈R，|﹣m|的最小值为1，|﹣n|的最小值是2，则•=．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（15分）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin2+cos2A=．（I）求A的值；（Ⅱ）若a=，求bc的最大值．17．（15分）在三棱锥A﹣BCD中，点A在BD上的射影为O，∠BAD=∠BCD=90°，AB=BC=2，AD=DC=2，AC=．（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；（Ⅱ）若E是AC的中点，求直线BE和平面BCD所成角的正切值．18．（15分）设正项数列{a n}的前n项和为S n，且a+2a n=4S n（n∈N*）．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）设数列{b n}满足：b1=1，b n=（n∈N*，n≥2），求数列{b n}的前n 项和T n．19．（15分）已知函数x2=4y的焦点是F，直线l与抛物线交于A，B两点．（Ⅰ）若直线l过焦点F且斜率为1，求线段AB的长；（Ⅱ）若直线l与y轴不垂直，且|FA|+|FB|=3．证明：线段AB的中垂线恒过定点，并求出该定点的坐标．20．（14分）已知函数f（x）=|ax2+x﹣4a|，其中x∈[﹣2，2]，a∈[﹣1，1]．（I）当α=1时，求函数y=f（x）的值域；（Ⅱ）记f（x）的最大值为M（a），求M（a）的取值范围．2015-2016学年浙江省湖州市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．（5分）设集合P={x|x＞1}，Q={x|x＞0}，则下列结论正确的是（）A．P⊊Q B．Q⊊P C．P=Q D．P∪Q=R【解答】解：∵集合P={x|x＞1}，Q={x|x＞0}，∴根据子集的定义，可得P⊊Q．故选：A．2．（5分）已知函数f（x）=|x﹣1|，则下列函数与f（x）相等的函数是（）A．g（x）=B．g（x）=C．g（x）=D．g（x）=x﹣1【解答】解：函数f（x）=|x﹣1|的定义域为R，选项A：g（x）=的定义域为{x|x≠﹣1}，选项B：g（x）==|x﹣1|，且定义域也为R，故相等；选项C：g（x）=与f（x）的对应关系不同；选项D：g（x）=x﹣1的对应关系与其不同．故选：B．3．（5分）设平面向量，，均为非零向量，则“=”是“（﹣）•=0”的（）A．充分不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵平面向量，，均为非零向量，则“=”⇒“（﹣）•=0”；反之不成立，由“（﹣）•=0”⇒（﹣）⊥，或=．因此“=”是“（﹣）•=0”的充分不必要条件．故选：A．4．（5分）若实数x，y满足：x2+y2﹣2x﹣2y=0，则x+y的取值范围是（）A．[﹣4，0]B．[2﹣2，2+2]C．[0，4]D．[﹣2﹣2，﹣2+2]【解答】解：∵x2+y2≥2xy，∴2（x2+y2）≥x2+y2+2xy，∴2（x2+y2）≥（x+y）2，∴x2+y2≥，∵x2+y2﹣2x﹣2y=0，∴﹣2x﹣2y≤0，∴0≤x+y≤4．故选：C．5．（5分）设等比数列{a n}的前n项积为P n，若P12=32P7，则a10的值是（）A．16B．8C．4D．2【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项积为P n，且P12=32P7，∴a1•a2•a3•…•a12=32a1•a2•a3•…•a7，即a8•a9•…•a12=32，即（a10）5=32，解得a10=2．故选：D．6．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+）（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，为了得到函数g（x）=cosωx的图象，只要将y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：由题知ω=2，所以，故选：A．7．（5分）设双曲线﹣=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为的直线交双曲线的右支交于点P，若|PF2|=|F1F2|，则双曲线的离心率是（）A．﹣1B．C．+1D．【解答】解：设双曲线﹣=1（a＞b＞0）的焦点为F1（﹣c，0），由于|PF2|=|F1F2|=2c，由∠PF1F2=，由双曲线的定义可得，|PF1|=2a+2c，由余弦定理可得，|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2﹣2|PF1|•|F1F2|•cos，即有4c2=（2a+2c）2+4c2﹣2（2a+2c）•2c•，化简可得a=（﹣1）c，可得e===．故选：B．8．（5分）如图，正方形ABCD与正方形BCEF所成角的二面角的平面角的大小是，PQ是正方形BDEF所在平面内的一条动直线，则直线BD与PQ所成角的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]【解答】解：以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过B作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设BC=1，则B（0，0，0），D（1，1，0），C（1，0，0），E（1，），F（0，，），当D点在正方形BCEF的投影刚好落在CE上，记为G点，其坐标为G（1，，），此时BG与BD所成角刚好30度，即直线BD与PQ所成角的最小值为，取P（，0，0），Q（0，）时，直线BD于PQ所成角取最大值，∵=（1，1，0），=（﹣，，），∴cos＜＞==0，∴直线BD于PQ所成角最大值为．∴直线BD与PQ所成角的取值范围是[，]．故选：B．二、填空题：本大题共7个小题，多空题，每题6分，单空题每题4分，共36分.9．（6分）双曲线﹣y2=1的实轴长是4，离心率的值是，焦点到渐近线的距离是1．【解答】解：双曲线﹣y2=1的a=2，b=1，c==，可得实轴长2a=4，e==，渐近线方程为y=±x，可得焦点（，0）到渐近线的距离为d==1．故答案为：4，，1．10．（4分）若2x=3y=，则+=2．【解答】解：∵2x=3y=，∴，y=．则+===2．故答案为：2．11．（6分）已知函数f（x）=sin2x+2cos2x（x∈R），则f（）=，函数f（x）的最大值是1+．【解答】解：∵f（x）=sin2x+2cos2x（x∈R），∴f（）=sin+2cos2=+2×=；由三角函数公式化简可得f（x）=sin2x+2cos2x=sin2x+1+cos2x=1+sin（2x+），∴函数f（x）的最大值为1+．故答案为：；1+．12．（6分）已知函数f（x）=，则f（f（3））=1，f（x）的单调减区间是（1，2）．【解答】解：f（3）=|3﹣2|=1；∴f（f（3））=f（1）=﹣（1﹣2）2+2=1；x≤1时，f（x）=﹣（x﹣2）2+2单调递增；x＞1时，；∴f（x）在（1，2）上单调递减；即f（x）的单调减区间是（1，2）．故答案为：1，（1，2）．13．（4分）已知某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则其体积是．【解答】解：几何体为直三棱柱切去一个三棱锥得到的．三棱柱底面为左视图中三角形，棱柱的高为2，切去的三棱锥的底面与三棱柱的底面相同，高为1，所以几何体的体积V=﹣=．故答案为．14．（4分）设△ABC的重心为G，且|GB|+|GC|=4，若|BC|=2，则|GA|的取值范围是．【解答】解：∵|BC|=2，∴可设B（﹣1，0），C（1，0），即c=1．∵|GB|+|GC|=4=2a＞2=|BC|，∴b2=a2﹣c2=3．∴点G在椭圆：=1上，∴|GO|∈[b，a），即|GO|∈．∵|GA|=2|GO|，∴|GA|∈，故答案为：，15．（6分）设向量，的夹角为，若对任意的m，n∈R，|﹣m|的最小值为1，|﹣n|的最小值是2，则•=4．【解答】解：如图所示，不妨设==（R，0），==（r＞0）．=，=．∵对任意的m，n∈R，|﹣m|的最小值为1，|﹣n|的最小值是2，∴当⊥时，|﹣m|=1，当时，|﹣n|=2，可得：=2mr，R2﹣mRr+m2r2=1．r=2Rn，nRr+n2R2=4．联立解得：R=2，r=4，∴==4．故答案为：4．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（15分）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin2+cos2A=．（I）求A的值；（Ⅱ）若a=，求bc的最大值．【解答】解：（I）∵sin2+cos2A=．⇒+cos2A=，⇒8cos2A+2cosA﹣3=0，∴解得：cosA=或﹣（A为锐角，舍去）．∴A=．（Ⅱ）∵A=，a=，∴由余弦定理可得：3=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc，当且仅当b=c时等号成立，∴bc的最大值为：3．17．（15分）在三棱锥A﹣BCD中，点A在BD上的射影为O，∠BAD=∠BCD=90°，AB=BC=2，AD=DC=2，AC=．（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；（Ⅱ）若E是AC的中点，求直线BE和平面BCD所成角的正切值．【解答】解：（Ⅰ）证明：连接OC，由点A在BD上的射影为O，可得AO⊥BD，由∠BAD=∠BCD=90°，AB=BC=2，AD=DC=2，可得BD==4，AO===，同理可得CO=，由AO2+CO2=AC2，可得AO⊥CO，又BD，CO⊂平面BCD，且BD，CO为相交二直线，可得AO⊥平面BCD；（Ⅱ）取CO的中点H，连接EH，由中位线定理可得EH∥AO，EH=AO，由AO⊥平面BCD，可得EH⊥平面BCD，即有∠EBH为直线BE和平面BCD所成角．又EH=，BE===，BH===，可得tan∠EBH==．即有直线BE和平面BCD所成角的正切值为．18．（15分）设正项数列{a n}的前n项和为S n，且a+2a n=4S n（n∈N*）．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）设数列{b n}满足：b1=1，b n=（n∈N*，n≥2），求数列{b n}的前n 项和T n．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a12+2a1=4S1=4a1，解得a1=2，当n＞1时，a n﹣12+2an﹣1=4S n﹣1，又a+2a n=4S n（n∈N*）．两式相减可得，a﹣a n﹣12+2an﹣2a n﹣1=4S n﹣4S n﹣1=4a n，即有（a n﹣a n﹣1）（a n+a n﹣1）=2（a n+a n﹣1），可得a n﹣a n﹣1=2，则a n=a1+2（n﹣1）=2n：（Ⅱ）b1=1，b n===（﹣），前n项和T n=1+（﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣）=1+（+﹣﹣﹣）=﹣•．19．（15分）已知函数x2=4y的焦点是F，直线l与抛物线交于A，B两点．（Ⅰ）若直线l过焦点F且斜率为1，求线段AB的长；（Ⅱ）若直线l与y轴不垂直，且|FA|+|FB|=3．证明：线段AB的中垂线恒过定点，并求出该定点的坐标．【解答】（Ⅰ）解：由x2=4y，得抛物线焦点F（0，1），则直线l的方程为y=x+1，联立，得y2﹣6y+1=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=6，∴|AB|=y1+y2+2=8；（Ⅱ）证明：由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=kx+b，联立，得y2﹣（4k2+2b）y+b2=0．则，∴|FA|+|FB|=，则，∴，∴A，B的中点坐标为（），则AB的中垂线恒过定点（）．20．（14分）已知函数f（x）=|ax2+x﹣4a|，其中x∈[﹣2，2]，a∈[﹣1，1]．（I）当α=1时，求函数y=f（x）的值域；（Ⅱ）记f（x）的最大值为M（a），求M（a）的取值范围．【解答】解：（I）当α=1时，f（x）=|x2+x﹣4|，x∈[﹣2，2]，由x2+x﹣4=0，解得x=，由f（x）在[﹣2，﹣]递增，在（﹣，）递减，在（，2]递增，可得f（x）的最小值为0，由f（﹣）=，f（2）=4，最大值为．则f（x）的值域为[0，]；（Ⅱ）设f（x）=0的两根为x1，x2，（x1＜x2），当﹣1≤a≤﹣时，f（x）在（﹣2，x1）递减，（x1，﹣）递增，（﹣，2）递减，可得f（x）在x=﹣处取得最大值，且为﹣；当﹣＜a≤0时，f（x）在（﹣2，x1）递减，（x1，2）递增，可得f（x）在x=±2处取得最大值2；当0＜a≤时，f（x）在（﹣2，x2）递减，（x2，2）递增，可得f（x）在x=±2处取得最大值2；当＜a≤1时，f（x）在（﹣2，﹣）递增，（﹣，x2）递减，（x2，2）递增，可得f（x）在x=﹣处取得最大值，且为．即有M（a）=，当﹣1≤a≤﹣时，M（a）=（﹣4a）+在[﹣1，﹣]递减，可得M（a）∈[2，]；当＜a≤1时，M（a）=4a+递增，可得M（a）∈[2，]．综上可得，M（a）的取值范围是[2，]．。
2015-2016学年山西省运城市高一上学期期末数学试卷(带解析)
绝密★启用前2015-2016学年山西省运城市高一上学期期末数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：144分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、（2015秋•运城期末）两位同学一起去一家单位应聘，面试前单位负责人对他们说：“我们要从面试的人中招聘3人，你们俩同时被招聘进来的概率为”．根据这位负责人的话可以推断出参加面试的人数为（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．82、（2015秋•运城期末）如图：程序输出的结果S=132，则判断框中应填（ ）A ．i≥10？B ．i≤10？C ．i≥11？D ．i≥12？3、（2012•佛山一模）某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[20，45）岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是（ ）A ．31.6岁B ．32.6岁C ．33.6岁D ．36.6岁4、（2015•泉州模拟）如图，四边形ABCD 为矩形，AB=，BC=1，以A 为圆心，1为半径画圆，交线段AB 于E ，在圆弧DE 上任取一点P ，则直线AP 与线段BC 有公共点的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．5、（2015秋•运城期末）执行如图所示的程序框图．若输出的结果为﹣1，则可以输入的x 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．06、（2015秋•运城期末）某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如表 广告费用x （万元） 4 2 3 5销售额y （万元） 49 26 a 54已知由表中4组数据求得回归直线方程=8x+14，则表中的a 的值为（ ）A ．37B ．38C ．39D ．407、（2011•聊城一模）某校高一、高二年级各有7个班参加歌咏比赛，他们的得分的茎叶图如图所示，对这组数据分析正确的是（ ）A ．高一的中位数大，高二的平均数大B ．高一的平均数大，高二的中位数大C ．高一的中位数、平均数都大D ．高二的中位数、平均数都大8、（2015秋•运城期末）执行如图的程序框图，若输人a=319，b=87，则输出的a是（）ArrayA．19 B．29 C．57 D．769、（2015•济宁校级一模）现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 46980371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（）A．0.852 B．0.8192 C．0.8 D．0.7510、（2015秋•运城期末）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么互斥不对立的两个事件是（）A．恰有1名男生与恰有2名女生B．至少有1名男生与全是男生C．至少有1名男生与至少有1名女生D．至少有1名男生与全是女生11、（2015秋•运城期末）下列叙述随机事件的频率与概率的关系中正确的是（）A．频率就是概率B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．随着试验次数的增加，频率一般会稳定在一个常数附近D．概率是随机的，在试验前不能确定12、（2015秋•运城期末）某学校为了解三年级、六年级、九年级这三个年级学生的视力情况，拟从中抽取一定比例的学生进行调杳，则最合理的抽样方法是（）A．抽签法 B．系统抽样法 C．分层抽样法 D．随机数法第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、（2015秋•运城期末）任取实数x∈[2，30]，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于79的概率是．14、（2015秋•运城期末）为了了解某校高一200名学生的爱好，将这200名学生按001号至200号编号，并打算用随机数表法抽出5名同学，根据下面的随机数表，要求从本数表的第6列开始顺次向后读数，则抽出的5个号码中的第二个号码是．随机数表：84 42 17 53 31 57 24 55 00 88 77 04 74 17 67 21 76 33 50 2583 92 12 06 76．15、（2015秋•运城期末）10001000（2）转化为八进制数是．16、（2015秋•运城期末）从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则两个数和为偶数的概率为．三、解答题（题型注释）17、（2015秋•运城期末）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如图的频率分布直方图．（1）求图中实数a 的值；（2）若该校高一年级共有学生1000人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数．（3）若从样本中数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，试用列举法求这2名学生的数学成绩之差的绝对值大于10的槪率．18、（2015秋•运城期末）在元旦联欢会上，某校的三个节目获得一致好评．其中哑剧表演有6人，街舞表演有12人，会唱有24人，现采用分层抽样的方法从这些学生中抽取7人进行采访．（1）求应从这三个节目中分别抽取的人数；（2）若安排其中的A 、B 、C 、D4人逐一作进一步的采访，求A 、B2人不被连续采访的概率．19、（2015秋•运城期末）已知f （x ）=（a+b ﹣3）x+1，g （x ）=a x ，其中a ，b ∈[0，3]，求两个函数在定义域内都为增函数的概率．20、（2015秋•运城期末）某学生对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，并用茎叶图表示30人的饮食指数．说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主．（1）根据茎叶图，帮助这位学生说明其亲属30人的饮食习惯；（2）根据茎叶图，指出50岁以下的亲属当中饮食指数高于70的人数，并计算这些人的饮食指数的平均数和方差（精确到整数）21、（2015秋•运城期末）2015年春晚过后，为了研究演员上春晚次数与受关注的关系，某网站对其中一位经常上春晚的演员上春晚次数与受关注度进行了统计，得到如下数据：（1）若该演员的粉丝数量y 与上春晚次数x 满足线性回归方程，试求回归方程=x+（精确到整数）；（2）试根据此方程预测该演员上春晚10次时的粉丝数；==，=﹣x ．22、（2015秋•运城期末）如图，给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 的值．（1）请指出该程序框图所使用的逻辑结构；（2）若要使输入的x 的值是输出的y 的值的一半，则输入x 的值为多少？参考答案1、B2、C3、C4、C5、A6、C7、A8、B9、D10、A11、C12、C13、14、17615、210（8）16、．17、（1）a=0.03．（2）850（人）．（3）．18、（1）哑剧表演、街舞、合唱抽取的人数分别为1，2，4．（2）19、20、（1）30为亲属中50岁以上的人多以食蔬菜为主，50岁以下的人多以食肉为主；（2）2521、（1）y=10x﹣11；（2）该演员上春晚10次时的粉丝数约为89万人．22、（1）该程序框图所使用的逻辑结构有：条件结构和顺序结构；（2）x=0，或x=2【解析】1、试题分析：设面试的总人数为n，则由题意可得=，由此求得n的值．解：设面试的总人数为n，则由题意可得=，即=，化简可得n（n﹣1）=30，求得n=6，故选：B．考点：相互独立事件的概率乘法公式．2、试题分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，i的值，当s=132，i=10时，由题意，应该满足条件，退出循环，输出S的值为132，则判断框中应填i≤10．解：模拟执行程序框图，可得i=12，s=1满足条件，s=12，i=11满足条件，s=132，i=10此时，由题意，应该满足条件，退出循环，输出S的值为132，则判断框中应填i≤10，故选：C．考点：程序框图．3、试题分析：由于在频率分布直方图中，中位数使得直方图左右两侧频率相等，故中位数右侧的频率为0.50．由残缺的频率分布直方图可求[35，45）段上的频率是0.40＜0.50，[30，45）岁之间频率是0.75＞0.50，可知中位数在区间[30，35）内，再根据频率即可求出中位数．解：由图知，抽到的司机年龄都在[30，35）岁之间频率是0.35；抽到的司机年龄都在[35，40）岁之间频率是0.30；抽到的司机年龄都在[40，45）岁之间频率是0.10．由于在频率分布直方图中，中位数使得左右频率相等，故中位数右侧的频率为0.50．而[35，45）段上的频率是0.40＜0.50，[30，45）岁之间频率是0.75＞0.50；故中位数在区间[30，35）内，还要使其右侧且在[30，35）岁之间频率是0.10，所以中位数是35﹣≈33.6．故答案选C．考点：用样本的频率分布估计总体分布；众数、中位数、平均数．4、试题分析：由题意知本题是一个几何概型，由题意，试验包含的所有事件是∠BAD，而满足条件的事件是直线AP在∠CAB内时AP与BC相交时，即直线AP与线段BC有公共点，根据几何概型公式得到结果．解：由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是∠BAD，如图，连接AC交弧DE于P，则tan∠CAB=，∴∠CAB=30°，满足条件的事件是直线AP在∠CAB内时AP与BC相交时，即直线AP与线段BC有公共点∴概率P==，故选：C．考点：几何概型．5、试题分析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用条件结构计算并输出分段函数y=的值，分类讨论满足输出的结果为﹣1的x值，可得答案．解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用条件结构计算并输出分段函数y=的值，当x≤1时，由x2﹣1=﹣1得：x=0，当x＞1时，由log2x=﹣1得：x=（舍去），综上可得：可以输入的x的个数为1个，故选：A考点：程序框图．6、试题分析：求出数据中心（，），代入回归方程解出a．解：==3.5，==．∴=8×3.5+14，解得a=39．故选：C．考点：线性回归方程．7、试题分析：根据给出的两组数据，把数据按照从小到大排列，根据共有7个数字，写出中位数，观察两组数据的集中区域，得到结果．解：由题意知，∵高一的得分按照从小到大排列是82，83，85，93，97，98，99共有7 个数字，最中间一个是93，高二得分按照从小到大的顺序排列是88，88，89，89，97，98，99共有7个数据，最中间一个是89，∴高一的中位数大，再观察数据的集中区域，高二的更大些，故高二的平均数大．故选A．考点：茎叶图；众数、中位数、平均数．8、试题分析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：第一次执行循环体后：c=58，a=87，b=58，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后：c=29，a=58，b=29，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后：c=0，a=29，b=0，满足退出循环的条件；故输出的a值为29，故选：B考点：程序框图．9、试题分析：由题意知，在20组随机数中表示种射击4次至少击中3次的有多少组，可以通过列举得到共多少组随机数，根据概率公式，得到结果．解：由题意知模拟射击4次的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示射击4次至少击中3次的有：7527 0293 9857 0347 4373 8636 9647 46986233 2616 8045 3661 9597 7424 4281，共15组随机数，∴所求概率为0.75．故选：D．考点：模拟方法估计概率．10、试题分析：互斥事件是两个事件不包括共同的事件，对立事件首先是互斥事件，再就是两个事件的和事件是全集，由此规律对四个选项逐一验证即可得到答案．解：A中的两个事件符合要求，它们是互斥且不对立的两个事件；B中的两个事件之间是包含关系，故不符合要求；C中的两个事件都包含了一名男生一名女生这个事件，故不互斥；D中的两个事件是对立的，故不符合要求．故选A考点：互斥事件与对立事件．11、试题分析：利用频率与概率的意义及其关系即可得出．解：随着试验次数的增加，频率一般会稳定在一个常数附近，这个常数就是此试验的事件的概率．因此C正确．故选C．考点：概率的意义；随机事件．12、试题分析：若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．解：常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，为了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，这种方式具有代表性，比较合理的抽样方法是分层抽样．故选：C．考点：分层抽样方法．13、试题分析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：当n=1时，满足执行循环的条件，x=2x+1，n=2，当n=2时，满足执行循环的条件，x=2（2x+1）+1=4x+3，n=3，当n=3时，满足执行循环的条件，x=2（4x+3）+1=8x+7，n=4，当n=4时，不满足执行循环的条件，故输出8x+7，由8x+7≥79得：输出的x≥9，又由输出的x∈[2，30]，∴输出的x不小于79的概率P==，故答案为：考点：程序框图．14、试题分析：根据随机数表进行简单随机抽样，抽取出符合条件的号码，对于不符合条件的号码，应舍去，直到取满样本容量为止．解：根据随机数表进行简单随机抽样的方法得，抽取的第一个号码为088，∴第二个号码为176．故答案为：176考点：简单随机抽样．15、试题分析：根据二进制转化为八进制的方法，我们从右往左把二进制数每三位分成一段，然后把每一段的数转化为对应的八进制数即可得到结果．解：10001000（2）=10 001 000（2）=210（8），故答案为：210（8）考点：进位制．16、试题分析：从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，先求出基本事件总数，再求出两个数和为偶数包含怕基本事件个数，由此能求出这两个数和为偶数的概率．解：从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，基本事件总数n==6，两个数和为偶数包含怕基本事件个数m==2，∴这两个数和为偶数的概率p===．故答案为：．考点：古典概型及其概率计算公式．17、试题分析：（1）由频率分布直方图的性质能求出a的值．（2）先求出数学成绩不低于60分的概率，由此能求出数学成绩不低于60分的人数．（3）数学成绩在[40，50）的学生为2人，数学成绩在[90，100]的学生人数为4人，由此利用列举法能求出这2名学生的数学成绩之差的绝对值大于10的槪率．解：（1）由频率分布直方图，得：0.05+0.1+0.2+10a+0.25+0.1=1，解得a=0.03．（2）数学成绩不低于60分的概率为：0.2+0.3+0.25+0.1=0.85，∴数学成绩不低于60分的人数为：1000×0.85=850（人）．（3）数学成绩在[40，50）的学生为40×0.05=2（人），数学成绩在[90，100]的学生人数为40×0.1=4（人），设数学成绩在[40，50）的学生为A，B，数学成绩在[90，100]的学生为a，b，c，d，从样本中数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，基本事件有：{AB}，{Aa}，{Ab}，{Ac}，{Ad}，{Ba}，{Bb}，{Bc}，{Bd}，{ab}，{ac}，{ad}，{bc}，{bd}，{c，d}，其中两名学生的数学成绩之差的绝对值大于10的情况有：{Aa}，{Ab}，{Ac}，{Ad}，{Ba}，{Bb}，{Bc}，{Bd}，共8种，∴这2名学生的数学成绩之差的绝对值大于10的槪率为．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．18、试题分析：（1）先求出三个节目的人数比，由此利用分层抽样的方法能求出应从这三个节目中分别抽取的人数．（2）先求出基本事件总数，再求出A、B2人不被连续采访包含的基本事件个数，由此能求出A、B2人不被连续采访的概率．解：（1）∵三个节目的人数比为6：12：24，用分层抽样的方法从这些学生中抽取7人，则哑剧表演、街舞、合唱抽取的人数分别为1，2，4．（2）安排其中的A、B、C、D4人逐一作进一步的采访，基本事件总数n==24，A、B2人不被连续采访包含的基本事件个数m==12，∴A、B2人不被连续采访的概率p===．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法．19、试题分析：点（a，b）表示的区域为长宽均为3的正方形区域，事件A表示的点的区域为梯形ABCD，数形结合求面积比可得．解：设事件A表示两个函数在定义域内都为增函数，∵a，b∈[0，3]，∴点（a，b）表示的区域为长宽均为3的正方形区域，面积S=9，要使两个函数在定义域内都为增函数，则需，∴事件A表示的点的区域如图所示的四边形ABCD，其面积S′=×（1+3）×2=4，∴所求概率P（A）=考点：几何概型．20、试题分析：（1）观察茎叶图，描述这位学生的亲属30人的饮食习惯即可；（2）根据茎叶图找出50岁以下的亲属当中饮食指数高于70的人数，分别求出平均数与方差即可．解：（1）30为亲属中50岁以上的人多以食蔬菜为主，50岁以下的人多以食肉为主；（2）根据茎叶图可知：50岁以下的亲属当中饮食指数高于70的有8人，这8人的饮食指数的平均数为=×（74+78+77+76+82+83+85+90）=81；这8人的饮食指数的方差为S2=×[（74﹣81）2+（78﹣81）2+（77﹣81）2+（76﹣81）2+（82﹣81）2+（83﹣81）2+（85﹣81）2+（90﹣81）2]≈25．考点：极差、方差与标准差；茎叶图．21、试题分析：（1）利用公式求出b、a，可得回归方程；（2）x=10，代入计算，从而预测该演员上春晚10次时的粉丝数．解：（1）由题意可知，x i y i=985，=121，=4.2，=31，∴b==10，∴a=31﹣4.2×10=﹣11，∴y=10x﹣11；（2）当x=10时，y=10×10﹣11=89，即该演员上春晚10次时的粉丝数约为89万人．考点：线性回归方程．22、试题分析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用条件结构计算并输出分段函数y=的值，分类讨论满足输入的x的值是输出的y的值的一半的x值，可得答案．解：（1）由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用条件结构计算并输出分段函数y=的值，该程序框图所使用的逻辑结构有：条件结构和顺序结构；（2）当x≤2时，由y=x2=2x得，x=0，或x=2；当2＜x≤5时，由y=2x﹣3=2x得，不存在满足条件的x值；当x＞5时，由y==2x得，x=﹣（舍去），或x=（舍去）；综上可得：x=0，或x=2考点：程序框图．。
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第1页（共18页） 2015-2016学年山西省运城市高三（上）期中数学试卷（文科） 一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分） 1．（5分）集合A={3，2a}，B={a，b}，若A∩B={2}，则A∪B=（ ） A．{1，2，3} B．{2，3，4} C．{2，3} D．{2，3，5} 2．（5分）已知向量=（1，3），=（m，2m﹣3），若∥，则m的值为（ ） A．﹣ B． C．3 D．﹣3
3．（5分）函数f（x）=的定义域为（ ） A．[﹣2，0）∪（0，2] B．（﹣1，0）∪（0，2] C．[﹣2，2] D．（﹣1，2] 4．（5分）已知在等比数列{an}中，a1=1，a5=9，则a3=（ ） A．5 B．±5 C．±3 D．3
5．（5分）设函数f（x）=，则的值为（ ） A．﹣ B．﹣ C．﹣﹣2 D．﹣2 6．（5分）函数f（x）=的大致图象为（ ）
A． B． C． D． 7．（5分）已知函数f（x）=sin2x向左平移个单位后，得到函数y=g（x），下列关于y=g（x）的说法正确的是（ ） A．图象关于点（﹣，0）中心对称 B．图象关于x=﹣轴对称 第2页（共18页）
C．在区间[﹣，﹣]单调递增 D．在[﹣，]单调递减 8．（5分）设M是△ABC所在平面上的一点，且++=，D是AC中点，
则的值为（ ） A． B． C．1 D．2 9．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则角A的大小为（ ） A．或 B． C．或 D．
10．（5分）数列{an}满足a1=1，且对于任意的n∈N*都满足an+1=，则数列{anan+1}的前n项和为 （ ） A． B． C． D．
11．（5分）定义在（0，）上的函数f（x），f′（x）是它的导函数，且恒有f（x）＞f′（x）tanx成立，则（ ） A． B． C．
D．
12．（5分）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax﹣1恒成立，则a的取值范围是（ ） A．[﹣2，0] B．[﹣2，1] C．[﹣4，0] D．[﹣4，1]
二、填空题（本题共4题，共20分） 13．（5分）计算（）÷100+= ． 14．（5分）已知向量=（1，2），•=10，|+|=5，则||= ． 第3页（共18页）
15．（5分）若实数x，y满足，则z=3x+2y的值域是 ． 16．（5分）定义域在R上的奇函数f（x），满足F（x+）=f（﹣x），且在[﹣，0]上是增函数，给出下列关于的判断： ①f（x）是周期函数，且周期为2； ②f（x）关于点（1，0）对称； ③f（x）在[0，1]上是减函数； ④f（x）在[，]上是增函数；
⑤f（）=f（）． 其中正确的序号是 ．
三、解答题（本大题共6题，共70分） 17．（10分）已知函数f（x）=Acos（wx+Φ）（A＞0，w＞0，|Φ|≤）的部分图象如图所示： （1）求f（x）的表达式； （2）若cosθ=，θ∈（π，2π），求f（2θ+）．
18．（12分）已知等差数列{an}满足a2+a3+a4=15，a4+a6=18，数列{bn}的前n项和为S，且满足Sn=2bn﹣2． （1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）数列{cn}满足cn=，求数列{cn}的n前项和． 19．（12分）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x 第4页（共18页）
的不等式f（x）＜m的解集为（c，c+2）． （1）求实数m的值； （2）若x＞1，y＞0，x+y=m，求+的最小值．
20．（12分）已知函数f（x）=（log2x﹣2）（log4x﹣）． （1）当x∈[1，4]时，求该函数的值域； （2）若f（x）≤mlog2x对于x∈[4，16]恒成立，求m得取值范围． 21．（12分）如图，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，AB=，点M在线段BC上． （1）若AM=1，求BM的长； （2）若点N在线段MC上，且∠MAN=30°，问：当∠BAM取何值时，△AMN的面积最小？并求出面积的最小值．
22．（12分）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=（﹣x2+ax﹣3）ex（a∈R） （1）当a=2时，求y=g（x）在x=1处的切线方程； （2）求f（x）在[t，t+1]（t＞0）上的最小值； （3）h（x）=g（x）﹣2exf（x），若h（x）在[，e]有两个不同的零点，求实数a的范围． 第5页（共18页）
2015-2016学年山西省运城市高三（上）期中数学试卷（文科） 参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分） 1．（5分）集合A={3，2a}，B={a，b}，若A∩B={2}，则A∪B=（ ） A．{1，2，3} B．{2，3，4} C．{2，3} D．{2，3，5} 【解答】解：∵集合A={3，2a}，B={a，b}， ∴2∈A={3，2a}，且2∈B={a，b}， ∴2a=2，b=2 ∴a=1 故A={3，2}，B={1，2} 故A∪B={1，2，3} 故选：A．
2．（5分）已知向量=（1，3），=（m，2m﹣3），若∥，则m的值为（ ） A．﹣ B． C．3 D．﹣3 【解答】解：∵向量=（1，3），=（m，2m﹣3）， 当∥时，1•（2m﹣3）﹣3•m=0， 解得m=﹣3． 故选：D．
3．（5分）函数f（x）=的定义域为（ ） A．[﹣2，0）∪（0，2] B．（﹣1，0）∪（0，2] C．[﹣2，2] D．（﹣1，2] 第6页（共18页）
【解答】解：∵函数， ∴， 解得﹣1＜x≤2，且x≠0； ∴f（x）的定义域为（﹣1，0）∪（0，2]． 故选：B．
4．（5分）已知在等比数列{an}中，a1=1，a5=9，则a3=（ ） A．5 B．±5 C．±3 D．3 【解答】解：设公比为q，由等比数列的通项公式可得 a5=a1q4，即 9=1•q4，解得 q2=3，∴a3=a1 q2=3， 故选：D．
5．（5分）设函数f（x）=，则的值为（ ） A．﹣ B．﹣ C．﹣﹣2 D．﹣2 【解答】解：∵函数f（x）=， ∴=f（﹣）﹣1=f（）﹣2 =cos﹣2 =﹣cos﹣2 =﹣． 故选：A．
6．（5分）函数f（x）=的大致图象为（ ） 第7页（共18页）
A． B． C． D． 【解答】解：∵f（﹣x）==f（x），且定义域关于原点对称，
∴函数f（x）为偶函数， 即函数f（x）的图象关于y轴对称，故排除A，B 当x＞1是函数y=lg|x|为增函数，当0＜x＜1时，函数y=lg|x|为减函数， 当x＞0，函数y=为减函数，
故函数f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）为减函数， 故图象为先增后减，故排除C， 故选：D．
7．（5分）已知函数f（x）=sin2x向左平移个单位后，得到函数y=g（x），下列关于y=g（x）的说法正确的是（ ） A．图象关于点（﹣，0）中心对称 B．图象关于x=﹣轴对称
C．在区间[﹣，﹣]单调递增 D．在[﹣，]单调递减 【解答】解：函数y=sin2x的图象向左平移个单位，得到的图象对应的函数为y=sin2（x+）=sin（2x+）． 对于A，当x=﹣时，y=sin（﹣）≠0．图象不关于点（﹣，0）中心对称，∴A不正确； 对于B，当x=﹣时，y=sin0=0，图象不关于x=﹣轴对称，∴B不正确
对于C，y=sin（2x+）的周期是π． 第8页（共18页）
当x=时，函数取得最大值，x=﹣时，函数取得最小值， ∵[﹣，﹣]⊂[﹣，]， ∴在区间[﹣，﹣]单调递增，∴C正确； 对于D，y=sin（2x+）的周期是π．当x=时，函数取得最大值，∴在[﹣，]单调递减不正确，∴D不正确； 故选：C．
8．（5分）设M是△ABC所在平面上的一点，且++=，D是AC中点，则的值为（ ） A． B． C．1 D．2
【解答】解：如图所示， ∵D是AC之中点，延长MD至E，使得DE=MD， ∴四边形MAEC为平行四边形， ∴==（+）；
又∵++=， ∴=﹣（+）=﹣3；
∴==． 故选：A．
9．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若， 第9页（共18页）
则角A的大小为（ ） A．或 B． C．或 D．
【解答】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵角A是△ABC的内角 ∴A= 故选：D．
10．（5分）数列{an}满足a1=1，且对于任意的n∈N*都满足an+1=，则数列{anan+1}的前n项和为 （ ） A． B． C． D．
【解答】解：由an+1=，得，即， 又a1=1，∴， 则数列{}是以1为首项，以3为公差的等差数列， ∴． ∴，， 则数列{anan+1}的前n项和为=． 故选：B．