43 协方差及相关系数 - 上海交通大学数学科学学院
协方差和相关系数的计算ppt(共24张PPT)
E(X 2) 2
D( X ) D(Y ) 2
E(Y 2 ) 2
cov(U ,V ) (a2 b2 ) 2
而 D(U ) a2D( X ) b2D(Y ) (a2 b2 ) 2
D(V ) a2D( X ) b2D(Y ) (a2 b2 ) 2
故
UV
a2 a2
b2 b2
XY 1 0 P pq
E(X ) p, E(Y ) p, D(X ) pq, D(Y ) pq, E(XY ) p, D(XY ) pq,
cov( X ,Y ) pq, XY 1
例2 设 ( X ，Y ) ~ N ( 1，12，2，22，)， 求
XY ．
解
cov( X ,Y )
当D(X ) > 0， D(Y ) > 0 时，当且仅当
P(Y E(Y ) t0 ( X E( X ))) 1
时，等式成立 —Cauchy-Schwarz不等式．
证明 令
g(t) E[(Y E(Y )) t( X E( X ))]2 D(Y ) 2t cov( X ,Y ) t2D( X )
在寒冷的年代里，母爱是温暖。
协方差和相关系数的计算
cov(U ,V ) 解 在文明的年代里，母爱是道德。
继续讨论：a，b 取何值时，U，V 不相关？
E(UV
)
E(U
)E(V
)
为X，Y 的相关系数，记为
a E( X ) b E(Y ) 例2 设 ( X ，Y ) ~ N ( 1， 12， 2， 22，2 )， 求 2XY ． 2
E( XY ) p, D( XY ) pq,
cov( X ,Y ) pq, XY 1
X X p ,Y Y p , P(X Y ) 1
概率论与数理统计课件 协方差与相关系数
试求二维正态随机变量的边缘概率密度 .
p( x, y)
1
e 1 2(1 ρ2
)
(
x
μ1 σ12
)2
2
ρ(
x
μ1 )( σ1σ2
y
μ2
)
(
y
μ2 σ22
)2
2πσ1σ2 1 ρ2
pX (x) pY ( y)
1
e ,
(
x μ1 2 σ12
)2
2πσ1 1
e
(
y μ2 2σ22
)2
1
2πσ1σ2
1 ρ2
( x μ1 )( y μ2 )
e e d y d x.
(
x μ1 2σ12
)2
1 2(1
ρ2
)
y
μ2 σ2
ρ
x
μ1 σ1
2
令t
1 1
ρ2
y
μ2 σ2
ρ
x
μ1 σ1
,
u x μ1 , σ1
2019/4/24
4-3—协方差和相关系数
3 .不相关与相互独立的关系
相互独立 不相关
2019/4/24
4-3—协方差和相关系数
10
例1 设 ( X ,Y ) 在圆域 x2 y2 1 上服从均匀分布, （1）问X与Y是否独立？ （2）求相关系数
例2 X ~N(0,1),Y X 2, 证明X与Y不相关且不独立
解：E( XY ) E( XX 2 ) x3 ( x)dx 0 Cov( X ,Y ) E( XY ) E( X )E(Y ) 0 故X与Y不相关
2019/4/24
4-3—协方差和相关系数
高中数学教案概率分布的协方差与相关系数
高中数学教案概率分布的协方差与相关系数当定义一个新课程的数学教案时，教师需要充分了解各个主题以确保学生的学习效果。
在高中数学的课程中，概率分布的协方差和相关系数是非常重要的概念。
本文将介绍关于这两个概念的背景知识、计算方法以及在课堂上引入这些概念的教学方法。
通过合理的设计和教学，学生将能够更好地理解和应用概率分布的协方差和相关系数。
一、概率分布的协方差1.1 协方差的定义协方差是用来衡量两个随机变量（或者称为信号）之间的相关性的度量。
在概率论中，协方差可以通过以下公式计算：Cov(X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))]这里，Cov(X,Y)表示变量X和Y的协方差；E表示取期望值（也就是平均值）的运算符；X-E(X)和Y-E(Y)分别表示X和Y与其期望值的偏差。
1.2 协方差的意义协方差的数值可以用来判断两个变量之间的相关性。
当协方差为正时，表示两个变量呈正相关关系；当协方差为负时，表示两个变量呈负相关关系；当协方差为零时，表示两个变量之间无线性相关性。
1.3 例子和计算方法为了帮助学生更好地理解协方差的概念，我们可以通过一个例子进行说明。
假设我们有两个变量X和Y，其取值分别为[2, 4, 5, 7, 9]和[3, 6, 4, 8, 10]。
首先，我们需要计算X和Y的期望值，即E(X)和E(Y)。
然后，我们根据协方差的公式计算协方差Cov(X,Y)。
最后，我们可以根据协方差的数值来判断X和Y之间的相关性。
二、概率分布的相关系数2.1 相关系数的定义相关系数是用来衡量两个变量之间线性相关程度的度量。
在概率论中，相关系数可以通过协方差和两个变量的标准差来计算：ρ(X,Y) = Cov(X,Y) / (σ(X) * σ(Y))这里，ρ(X,Y)表示变量X和Y的相关系数；Cov(X,Y)表示变量X 和Y的协方差；σ(X)和σ(Y)分别表示X和Y的标准差。
2.2 相关系数的意义相关系数的取值范围是[-1, 1]，可以用来评估两个变量之间的线性关系强度。
关于协方差、相关系数与相关性的关系
在实际中，人们为什么总是用（线性）相关系数 XY ，而不是用协方差 CovX ,Y 来判断两个随机变量
X 与Y 的线性相关程度呢？关于这个问题，只要我们注意 CovX ,Y EX EX Y EY 与
XY
CovX DX
,Y DY
的单位，就不难发现：
XY
是一个无量纲的量，用它来描述
X
于是 XY 是一个可以用来表征 X ，Y 之间线性关系紧密程度的量，当 XY 较大时，我们通常说 X ，Y
线性相关的程度较好；当 XY 较小时，我们通常说 X ，Y 线性相关的程度较差；当 XY 0 时，称 X ，
Y 不相关（实际上，按照严格的线性相关的定义，只有在 XY 1时，X 与Y 才是线性相关的， XY 1
概率论与数理统计
关于协方差、相关系数与相关性的关系
前言
z
y x
（概率论与数理统计(茆诗松)，Page 147）
高等学校教科书中，关于协方差、相关系数的概念，都是直接给出定义，再由定义导出几个基本
性质，然后是一些关于相关系数的计算或相关性的判断，至于定义这两个量的根据是什么，为什么它
们就是衡量随机变量 X ，Y 的线性相关程度的两把尺子？代数学与概率论中两个变量存在线性关系的
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时二者是线性无关的，不过为了研究 XY 的不同取值下， X ，Y 的关系，我们分为严格线性相关和线 性相关（一定程度）来讨论。）（注意：这里指的是线性不相关，但它们还会存在其他的相关关系，否 则如果什么关系都不存在，那就是 X ，Y 相互独立的情况了。）
方差、标准差、协方差、相关系数
方差、标准差、协方差、相关系数定义:用来衡量一组数据的离差。
在统计描述中，方差用于计算每个变量(观察值)与总体均值之间的差异。
公式： \sigma^{2}=\frac{\Sigma(X-\mu)^{2}}{N}为样本方差，X为变量，为样本均值，N为样本例数。
2、标准差定义：标准差（Standard Deviation），是离均差平方的算术平均数的算术平方根，用σ表示。
标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差，在概率统计中最常使用作为统计分布程度上的测量依据。
公式： \sigma=\sqrt{\frac{\Sigma(X-\mu)^{2}}{N}} 变异系数： C_{v}=\frac{\sigma}{\mu} ，其中 \mu 指数据的平均数3、协方差定义：协方差（Covariance）用于衡量两个变量的总体误差。
如果两个变量的变化趋势一致，也就是说如果其中一个大于自身的期望值，另外一个也大于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是正值。
如果两个变量的变化趋势相反，即其中一个大于自身的期望值，另外一个却小于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是负值。
公式1： C o v(X,Y)=E[(X-E[X])*(Y-E[Y])]\\=E[XY]-2E[X]E[Y]+E[X]E[Y]\\=E[XY]-E[X]E[Y]公式2: Cov=E[(X-\mu_{x})(Y-\mu_{y})] ------该公式易于理解公式2---可以有如下理解：如果有X,Y两个变量，每个时刻的“X值与其均值之差”乘以“Y值与其均值之差”得到一个乘积，再对这每时刻的乘积求和并求出均值。
注：1.协方差可以反映两个变量之间的合作关系以及变化趋势是否一致。
向同一个方向或方向变化。
2.X变大，同时Y也变大，说明两个变量是同向变化的，这时协方差就是正的。
3.X变大，同时Y变小，说明两个变量是反向变化的，这时协方差就是负的。
4.从数值上看，协方差越大，两个变量的同向程度越大。
协方差矩阵和相关系数矩阵
协方差矩阵和相关系数矩阵
协方差矩阵和相关系数矩阵是统计学中常用的两个矩阵，用于描述两个或多个随机变量之间的关系。
协方差矩阵衡量了不同随机变量之间的相关性和变异性，而相关系数矩阵则是协方差矩阵的归一化形式。
首先，让我们来谈谈协方差矩阵。
协方差矩阵是一个对称矩阵，它的元素是随机变量之间的协方差。
协方差反映了两个随机变量的共同变动程度。
具体而言，协方差的正负表示了两个变量是否呈现同向或反向的关系，而协方差的数值大小则反映了变量之间变动的幅度。
协方差矩阵由各对随机变量之间的协方差构成，是一个方阵。
与协方差矩阵相关的是相关系数矩阵。
相关系数矩阵是由协方差矩阵标准化得出的，用于消除量纲的影响并提供更直观的信息。
相关系数是将协方差除以各变量的标准差得到的。
相关系数矩阵的元素取值范围在-1到1之间，其中-1表示完全的反向相关，1表示完全的同向相关，而0表示无相关性。
协方差矩阵和相关系数矩阵在统计学和金融学中有广泛的应用。
它们可以帮助我们研究变量之间的关系，了解它们是否存在线性关联以及关联的强度。
通过分析协方差矩阵和相关系数矩阵，我们可以得出一些重要的结论，如哪些变量具有较强的相关性，哪些变量可以用来预测其他变量等等。
总结而言，协方差矩阵和相关系数矩阵是用于描述随机变量之间关系的重要工具。
协方差矩阵衡量了相关性和变异性，而相关系数矩阵进行了标准化以提供更直观的信息。
通过分析这些矩阵，我们可以深入了解变量之间的关联性，并在实际应用中做出更准确的判断和预测。
均值、方差、标准方差、协方差和相关系数
均值、方差、标准方差、协方差和相关系数均值、方差、标准方差、协方差和相关系数是统计学中常用的概念，能够帮助我们更好地理解和描述数据的分布特征以及不同变量之间的关系。
一、均值均值是一组数据中各个数值的平均数。
它是描述数据集中趋势的一种方式，通过计算所有数据点的总和，然后除以数据点的个数来得到。
二、方差方差是衡量一组数据中数据点与其均值之间差异程度的度量。
它是各个数据点与均值差的平方的平均值。
方差越大，说明数据点与均值之间的离散程度越高。
三、标准方差标准方差是方差的平方根。
它衡量数据集中的观测值与均值之间的差异程度，并将其以与原始数据相同的单位进行测量。
标准方差可以帮助我们评估数据集的离散性。
四、协方差协方差是衡量两个变量之间关系的统计量。
它描述了这两个变量的变化趋势是否同向或反向。
具体地说，协方差是各个变量的差与其均值差的乘积的平均值。
协方差公式为：cov(X, Y) = E((X - E(X))(Y - E(Y)))E表示期望，X和Y分别代表两个变量。
五、相关系数相关系数是衡量两个变量之间关系强度和方向的数值。
它取值范围为-1到1之间，接近1表示两个变量正相关，接近-1表示两个变量负相关，接近0表示两个变量没有线性相关性。
相关系数公式为：cor(X, Y) = cov(X, Y) / [σ(X) * σ(Y)]cov(X, Y)表示X和Y的协方差，σ(X)表示X的标准方差，σ(Y)表示Y的标准方差。
相关系数的绝对值越接近于1，表示两个变量之间的线性关系越强。
如果相关系数为0，说明两个变量之间没有线性关系。
以上是关于均值、方差、标准方差、协方差和相关系数的基本介绍。
它们是统计学中常用的工具，能够帮助我们更好地理解和分析数据。
在实际应用中，我们可以利用这些统计量来描述数据的分布特征和变量之间的关系，并进行相应的推断和决策。
金融计算中的协方差和相关系数计算方法
金融计算中的协方差和相关系数计算方法在金融领域中，协方差和相关系数是两个重要的统计量，用于衡量不同资产之间的关联性。
协方差和相关系数的计算方法对于投资组合的风险管理、资产配置和投资决策具有重要意义。
本文将介绍协方差和相关系数的计算方法，并探讨它们在金融计算中的应用。
协方差是衡量两个随机变量之间关系的统计量。
它描述了两个变量的变化趋势是否一致。
协方差的计算方法如下：1. 计算每个变量的平均值。
2. 将每个变量的观测值减去其平均值，得到离差。
3. 将两个变量的离差相乘，并求和。
4. 将上述结果除以观测值的个数减一，得到协方差。
协方差的计算公式为：cov(X, Y) = Σ((X - μX) * (Y - μY)) / (n - 1)其中，X和Y分别表示两个变量，μX和μY分别表示X和Y的平均值，n表示观测值的个数。
协方差的值可以为正、负或零。
当协方差为正时，表示两个变量呈正相关关系，即一个变量的增加伴随着另一个变量的增加；当协方差为负时，表示两个变量呈负相关关系，即一个变量的增加伴随着另一个变量的减少；当协方差为零时，表示两个变量之间没有线性关系。
然而，协方差的值无法直接比较不同变量之间的关联程度，因为它受到变量单位的影响。
为了解决这个问题，引入了相关系数作为衡量变量之间关联程度的统计量。
相关系数是协方差除以两个变量的标准差的乘积，其计算方法如下：1. 计算每个变量的标准差。
2. 将协方差除以两个变量的标准差的乘积。
相关系数的计算公式为：ρ(X, Y) = cov(X, Y) / (σX * σY)其中，ρ表示相关系数，cov表示协方差，σ表示标准差。
相关系数的取值范围在-1到1之间。
当相关系数为1时，表示两个变量呈完全正相关关系；当相关系数为-1时，表示两个变量呈完全负相关关系；当相关系数为0时，表示两个变量之间没有线性关系。
协方差和相关系数在金融计算中具有广泛的应用。
例如，在投资组合管理中，投资者可以通过计算不同资产之间的协方差和相关系数来评估它们之间的关联性，从而选择合适的资产组合，以实现风险分散和收益最大化。
概率论与数理统计-上海交通大学数学系
1. 二维随机变量及其概率分布 。 2. 二维离散型随机变量的联合概率分布、边缘分布和条件分布。 3. 二维连续型随机变量的联合概率密度、边缘密度和条件密度，常用二维随机变量的概
率分布。 4. 随机变量的独立性和相关性。 5. 两个随机变量函数的分布。 教学要求： 1. 理解二维随机变量的概念、理解二维随机变量的联合分布的概念、性质及两种基本形
Lindberg）定理。 教学要求：
1. 了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量的大 数定律）。
2. 了解棣莫弗－拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布）和列维－林德伯格定 理（独立同分布的中心极限定理）。
本章的重点是：会用契比雪夫不等式估计有关事件的概率。领会大数定律的实质。 掌握用中心极限定理计算概率的近似值的方法。
式： 2. 理解离散型联合概率分布，边缘分布和条件分布；连续型随机变量的联合概率密度、
边缘密度和条件密度。 3. 会利用二维概率分布求有关事件的概率。 4. 理解随机变量的独立性概念，掌握离散型和连续型随机变量独立的条件。 5. 掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的联合概率密度，理解其中参数的意义。 6. 会求两个随机变量的简单函数的分布。
教学要求： 1. 理解随机变量及其概率分布的概念；理解分布函数的概念及性质；会计算与随机变量 相联系的事件的概率。 2. 理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握 0－1 分布、二项分布、超几何分布、 泊松（Poisson）分布及其应用。 3. 了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布。
4. 理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布 N(μ，σ 2 )、
期望、方差、协方差、相关系数
期望、⽅差、协⽅差、相关系数
⼀、期望
在概率论和统计学中，数学期望（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。
它反映随机变量平均取值的⼤⼩。
线性运算：
推⼴形式：
函数期望：设f(x)为x的函数，则f(x)的期望为
离散函数：
连续函数：
注意：
函数的期望不等于期望的函数；
⼀般情况下，乘积的期望不等于期望的乘积；
如果X和Y相互独⽴，则E(xy)=E(x)E(y)。
⼆、⽅差
概率论中⽅差⽤来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。
⽅差是⼀种特殊的期望。
定义为：
⽅差性质：
1）
2）常数的⽅差为0；
3）⽅差不满⾜线性性质；
4）如果X和Y相互独⽴，则：
三、协⽅差
协⽅差衡量两个变量线性相关性强度及变量尺度。
两个随机变量的协⽅差定义为：
⽅差是⼀种特殊的协⽅差。
当X=Y时，
协⽅差性质：
1）独⽴变量的协⽅差为0。
2）协⽅差计算公式：
3）特殊情况：
四、相关系数
相关系数是研究变量之间线性相关程度的量。
两个随机变量的相关系数定义为：
相关系数的性质：
1）有界性。
相关系数的取值范围是，可以看成⽆量纲的协⽅差。
2）值越接近1，说明两个变量正相关性（线性）越强。
越接近-1，说明负相关性越强，当为0时，表⽰两个变量没有相关性。