协方差及相关系数.ppt
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协方差与相关系数 PPT
D(V ) D(2X Y ) D(2X ) D(Y ) 2Cov(2X ,Y )
4D( X ) D(Y ) 2 2 Cov( X ,Y ) 17
所以
Cov(U ,V ) Cov(2X Y , 2X Y )
Cov(2X , 2X ) Cov(2X ,Y ) Cov(Y , 2X ) Cov(Y ,Y )
所以D(t0X*-Y*)=0,由方差得性质知它等价于 P{t0X*-Y* =0}=1,即P{Y=aX+b}=1
其中a=t0σ(Y)/σ(X),b=E(Y)- t0 E(X) σ(Y)/σ(X)、
• 性质3:若X与Y相互独立,则ρXY=0、 证明 若X与Y相互独立,则E(XY)=E(X)E(Y), 又 Cov(X,Y)= E(XY)-E(X)E(Y),所以
协方差与相关系数
一、协方差得概念及性质 二、相关系数得概念及性质 三、协方差得关系式
§1 协方差
• 定义:设二维随机向量(X,Y)得数学期望 (E(X),E(Y))存在,若E[(X-E(X))(Y-E(Y))]存在,则称 它为随机变量X与Y得协方差,记为Cov(X,Y),即
Cov(X,Y)= E[(X-E(X))(Y-E(Y))] • 协方差有计算公式
9 ， XY
1 3
，设
U
2X
Y
，
V 2X Y ， 求 UV .
解
Cov( X ,Y ) XY
D( X ) D(Y ) 1 3
49 2
D(U ) D(2X Y ) D(2X ) D(Y ) 2Cov(2X ,Y )
4D( X ) D(Y ) 2 2 Cov( X ,Y ) 33
E( X ) (1) 0.15 1 0.35 0.20
协方差和相关系数的计算ppt(共24张PPT)
E(X 2) 2
D( X ) D(Y ) 2
E(Y 2 ) 2
cov(U ,V ) (a2 b2 ) 2
而 D(U ) a2D( X ) b2D(Y ) (a2 b2 ) 2
D(V ) a2D( X ) b2D(Y ) (a2 b2 ) 2
故
UV
a2 a2
b2 b2
XY 1 0 P pq
E(X ) p, E(Y ) p, D(X ) pq, D(Y ) pq, E(XY ) p, D(XY ) pq,
cov( X ,Y ) pq, XY 1
例2 设 ( X ，Y ) ~ N ( 1，12，2，22，)， 求
XY ．
解
cov( X ,Y )
当D(X ) > 0， D(Y ) > 0 时，当且仅当
P(Y E(Y ) t0 ( X E( X ))) 1
时，等式成立 —Cauchy-Schwarz不等式．
证明 令
g(t) E[(Y E(Y )) t( X E( X ))]2 D(Y ) 2t cov( X ,Y ) t2D( X )
在寒冷的年代里，母爱是温暖。
协方差和相关系数的计算
cov(U ,V ) 解 在文明的年代里，母爱是道德。
继续讨论：a，b 取何值时，U，V 不相关？
E(UV
)
E(U
)E(V
)
为X，Y 的相关系数，记为
a E( X ) b E(Y ) 例2 设 ( X ，Y ) ~ N ( 1， 12， 2， 22，2 )， 求 2XY ． 2
E( XY ) p, D( XY ) pq,
cov( X ,Y ) pq, XY 1
X X p ,Y Y p , P(X Y ) 1
概率论与数理统计课件 协方差与相关系数
试求二维正态随机变量的边缘概率密度 .
p( x, y)
1
e 1 2(1 ρ2
)
(
x
μ1 σ12
)2
2
ρ(
x
μ1 )( σ1σ2
y
μ2
)
(
y
μ2 σ22
)2
2πσ1σ2 1 ρ2
pX (x) pY ( y)
1
e ,
(
x μ1 2 σ12
)2
2πσ1 1
e
(
y μ2 2σ22
)2
1
2πσ1σ2
1 ρ2
( x μ1 )( y μ2 )
e e d y d x.
(
x μ1 2σ12
)2
1 2(1
ρ2
)
y
μ2 σ2
ρ
x
μ1 σ1
2
令t
1 1
ρ2
y
μ2 σ2
ρ
x
μ1 σ1
,
u x μ1 , σ1
2019/4/24
4-3—协方差和相关系数
3 .不相关与相互独立的关系
相互独立 不相关
2019/4/24
4-3—协方差和相关系数
10
例1 设 ( X ,Y ) 在圆域 x2 y2 1 上服从均匀分布, （1）问X与Y是否独立？ （2）求相关系数
例2 X ~N(0,1),Y X 2, 证明X与Y不相关且不独立
解：E( XY ) E( XX 2 ) x3 ( x)dx 0 Cov( X ,Y ) E( XY ) E( X )E(Y ) 0 故X与Y不相关
2019/4/24
4-3—协方差和相关系数
协方差与相关系数
其余均方误差
e
D(Y
)(1
2 XY
).
从这个侧面也
能说明 XY 越接近1，e 越小. 反之， XY 越近于0，
e 就越大， Y与X的 线性相关性越小.
完
例3 设 ( X ,Y ) 的分布律为
X
Y
2 1 1 2 P{Y yi }
1
0 1/4 1/4 0
1/ 2
4
1/4 0 0 1/4 1/2
D(Y
)[1
2 XY
],
D(Y
)1
[cov( X ,Y )]2 D( X )D(Y )
D(Y
)[1
2 XY
],
由于方差
D(Y
)
是正的，
故必有
1
2 XY
0,
所以
XY 1.
性质2. 若 X 和 Y 相互独立，则 XY 0;
注意到此时 cov( X ,Y ) 0, 易见结论成立.
注： X 与Y 相互独立
完
例4 设 服从 [ , ] 上的均匀分布, 且
X sin , Y cos
判断 X 与 Y 是否不相关, 是否独立.
解
由于
E( X )
1
2
sind 0,
E(Y
)
1
2
cosd 0,
而
E(
XY
)
1
2
sin cosd 0.
2
因此
E( XY ) E( X )E(Y ),
从而 X 与 Y 不相关. 但由于 X 与 Y 满足关系:
完
例2 设连续型随机变量 ( X ,Y ) 的密度函数为
f
(
x,
概率论教学课件第四章4.4协方差与相关系数
1
一、协方差
对于二维随机变量(X,Y),讨论描述X与Y之间相互 依赖关系的数字特征.
X与Y相互独立 E[(X EX )(Y EY )] 0
或者：E[(X EX )(Y EY )] 0 X与Y一定不相互独立
定义1. 若E[(X EX )(Y EY )]存在, 则称E[(X EX )(Y EY )]为X与Y的协方差.
(连续型)．
-
3
或者用以下公式计算
Cov(X , Y ) E(XY ) EX EY
Cov (X , Y ) E[(X EX )(Y EY )]
E(XY XEY YEX EXEY ) E(XY ) EX EY EX EY EX EY E(XY ) EX EY
4
定义2* 设 DX 0 , DY 0，称X,Y的标准化随机变量
X , Y 的协方差 Cov ( X , Y ) 为X与Y的相关系数.
记 为 XY , 即
XY Cov( X , Y ) E( X Y ) EX EY E( X Y )
E[( X EX )(Y EY )] Cov( X ,Y ) .
其逆命题不真！
注:若Cov X,Y 0,即E XY EXEY,则X与Y不相互独立.
4. D(X Y ) DX DY 2Cov(X , Y ).
5
例4.14 设二维随机变量(X,Y )的联合分布列为
XY 0 1 pi 0 0.2 0.3 0.5 1 0.5 0 0.5
p j 0.7 0.3
1 R
2
R
dx
R
R2 x2
xydy
R2 x2
0，
Cov(X , Y ) E(XY ) EXEY 0 00 0 .
8
Cov(X , Y ) E(XY ) EXEY 0 .
一、协方差
对于二维随机变量(X,Y),讨论描述X与Y之间相互 依赖关系的数字特征.
X与Y相互独立 E[(X EX )(Y EY )] 0
或者：E[(X EX )(Y EY )] 0 X与Y一定不相互独立
定义1. 若E[(X EX )(Y EY )]存在, 则称E[(X EX )(Y EY )]为X与Y的协方差.
(连续型)．
-
3
或者用以下公式计算
Cov(X , Y ) E(XY ) EX EY
Cov (X , Y ) E[(X EX )(Y EY )]
E(XY XEY YEX EXEY ) E(XY ) EX EY EX EY EX EY E(XY ) EX EY
4
定义2* 设 DX 0 , DY 0，称X,Y的标准化随机变量
X , Y 的协方差 Cov ( X , Y ) 为X与Y的相关系数.
记 为 XY , 即
XY Cov( X , Y ) E( X Y ) EX EY E( X Y )
E[( X EX )(Y EY )] Cov( X ,Y ) .
其逆命题不真！
注:若Cov X,Y 0,即E XY EXEY,则X与Y不相互独立.
4. D(X Y ) DX DY 2Cov(X , Y ).
5
例4.14 设二维随机变量(X,Y )的联合分布列为
XY 0 1 pi 0 0.2 0.3 0.5 1 0.5 0 0.5
p j 0.7 0.3
1 R
2
R
dx
R
R2 x2
xydy
R2 x2
0，
Cov(X , Y ) E(XY ) EXEY 0 00 0 .
8
Cov(X , Y ) E(XY ) EXEY 0 .
概率论与数理统计(第三版)第三章4协方差与相关系数-PPT精品文档
o 3 X , Y 不相关 E ( XY ) E ( X ) E ( Y ).
3. 相关系数的性质
是一个用来表征 X ,Y之间线性关系紧密 XY
程度的量 .
1 . 1 ρ XY
a , b使 1 的充要条件是 :存在常数 2 ρ XY
P { Y a bX } 1 .
0.3 0.7
0 . 3 0 0 . 7 1 0 . 7
0 . 6 1 0 . 4 2 1 . 4
0 . 9 50 . 7 1 . 4 0.03
c o v (,) X Y E X Y E X E Y
三、 相关系数的意义
1 . 当 ρ 表明 X,Y的线性关系联 XY 较大时
例1 已知 (X,Y)的分布律求Cov(X，Y)
x 0 1 y 1 2 0.15 0.15 0.45 0.25
解: c o v (,) X Y E X Y E X E Y
EX ( Y ) 0 .9 5
x 0 1
EX ( ) EY ( )
y 1 0.15 0.45 0.6
2 0.15 0.25 0.4
3.设X和Y是随机变量，若
E(XkYL)
k, L=1,2,…
存在，
称它为X和Y的k+L阶混合（原点）矩.
k L 4.若 E {[ X E ( X )] [ Y E ( Y )] } 存在，
称它为X和Y的k+L阶混合中心矩.
二、协方差与相关系数的概念及性质
1. 问题的提出
若随机变量 X 和 Y 相ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ独立 ,那么
3 Cov( X X , Y ) Cov( X , Y ) Co X , Y ). 1 2 1 2
第十三讲协方差与相关系数
• 图中的点群向右上方倾斜，点的y坐标随 坐标的 图中的点群向右上方倾斜，点的 坐标随 坐标随x坐标的 增加而增加。 是云团的中心。 增加而增加。(E(X),E(Y)), 是云团的中心。D(X)与 与 D(Y)只描述了 和Y各自的离散程度，缺少一个能 只描述了X和 各自的离散程度 各自的离散程度， 只描述了 够刻划云团XY线性关系的量 线性关系的量。 够刻划云团 线性关系的量。
•
−1 (x −µ1)2 (x −µ1)(y −µ2) (y −µ2)2 解：f (x, y) = exp −2ρ + 2 2 2 2 2(1− ρ ) σ1 σ1σ2 σ2 2πσσ2 1− ρ 1 1
2 1
• X服从 N ( µ1 , σ ) Y服从 N(µ2,σ ) • E(X)= µ1 , D(X)= σ 12 , E(Y)= µ 2 , D(Y)= σ
• 协方差矩阵的意义：在多元正态分布中， 协方差矩阵的意义：在多元正态分布中， 只要知道所有的一阶矩 协方差矩阵， 一阶矩和 只要知道所有的一阶矩和协方差矩阵，分 布就确定了。 布就确定了。
X1 X2 记X = ⋮ X n
µ1 E ( X 1 ) µ2 E(X 2 ) µ = = ⋮ ⋮ µ E(X ) n n
服从以2为参数的泊松分 设X～ π ( 2) , 即X服从以 为参数的泊松分 ～ 服从以 布，Z=3X-2 , 求COV(X,Z) 。 • 解：COV(X,Z)=COV(X,3X-2) • =3COV(X,X)-2COV(X,1) • COV(X,X)=E{[X-E(X)][X-E(X)]}=D(X)=2 (Poisson分布 分布) 分布 • Cov(X,1)=E{[X-E(X)][1-E(1)]} • =E{[X-E(X)].0}=0 • Cov(X,Z)=3×2-2×0=6 × ×
协方差及相关系数PPT课件
3) 1 存在常数 a, b(b≠0), 使 P{ Y=aX+b }=1,
即: X 和 Y 以概率 1 线性相关.
相关系数刻划了X 和Y 间“线性相关”的程度.
概率论
可见, 若 ρ = ±1, Y 与 X 有严格线性关系; 若 ρ = 0, Y 与 X 无线性关系; 若 0 < |ρ| < 1, |ρ|的值越接近于1, Y 与 X的线性相关程度越高; |ρ|的值越接近于0, Y 与 X的线性相关程度越弱.
可见, 均值 E(X)是 X 的一阶原点矩, 方差 D(X)是 X的二阶中心矩。
概率论
2. 定义: 设 X 和 Y 是随机变量,
若 E X k Y l k ,l 1 ,2 , 存 在
称它为 X 和 Y 的 k+l 阶混合(原点)矩. ((k+l)-th mixed raw moment)
若 E [ X E ( X ) ] k [ Y E ( Y ) ] l k , l 1 , 2 ,存 在
称它为 X 和 Y 的 k+l 阶混合中心矩. ((k+l)-th mixed central moment)
可见, 协方差 cov(X, Y)是 X 和 Y 的二阶混合中心矩.
四、协方差矩阵
概率论
将二维随机变量 (X1, X2) 的四个二阶中心矩:
c11 E {X [1E (X 1)2} ]
c 1 2 E { X 1 [ E (X 1 )X ]2 [ E (X 2 )]}
若 cij coX vi,(Xj) E {X [i E (X i)] X j[ E (X j)]}
( i, j=1,2,…,n ) 都存在, 称矩阵:
c11
C
c21
即: X 和 Y 以概率 1 线性相关.
相关系数刻划了X 和Y 间“线性相关”的程度.
概率论
可见, 若 ρ = ±1, Y 与 X 有严格线性关系; 若 ρ = 0, Y 与 X 无线性关系; 若 0 < |ρ| < 1, |ρ|的值越接近于1, Y 与 X的线性相关程度越高; |ρ|的值越接近于0, Y 与 X的线性相关程度越弱.
可见, 均值 E(X)是 X 的一阶原点矩, 方差 D(X)是 X的二阶中心矩。
概率论
2. 定义: 设 X 和 Y 是随机变量,
若 E X k Y l k ,l 1 ,2 , 存 在
称它为 X 和 Y 的 k+l 阶混合(原点)矩. ((k+l)-th mixed raw moment)
若 E [ X E ( X ) ] k [ Y E ( Y ) ] l k , l 1 , 2 ,存 在
称它为 X 和 Y 的 k+l 阶混合中心矩. ((k+l)-th mixed central moment)
可见, 协方差 cov(X, Y)是 X 和 Y 的二阶混合中心矩.
四、协方差矩阵
概率论
将二维随机变量 (X1, X2) 的四个二阶中心矩:
c11 E {X [1E (X 1)2} ]
c 1 2 E { X 1 [ E (X 1 )X ]2 [ E (X 2 )]}
若 cij coX vi,(Xj) E {X [i E (X i)] X j[ E (X j)]}
( i, j=1,2,…,n ) 都存在, 称矩阵:
c11
C
c21
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D(X )D(Y )
E ( X EX
E(X ))(Y
E(X )2 EY
E(Y ))2 E(Y )2
设U=X-E(X),V=Y-E(Y), 由许瓦兹不等式[E(UV)]2E(U2)E(V2)， 知[E((X-E(X))(Y-E(Y)))]2
E[(X-E(X))2] E[(Y-E(Y))2]
所以2XY 1, 即| XY |1
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2. | XY |=1
存在常数a,b(b≠0），
使P{Y=a+bX}=1，
即X和Y以概率1线性相关.
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3. X和Y独立时， =0，但其逆不真.
n
n
D( Xi ) D( Xi )
i 1
i 1
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5.许瓦兹不等式
[E(XY)] 2E(X2)E(Y2)
证明：设(t)=E(X+tY)2，则 (t)=E(X2)+2tE(XY)+t2E(Y2)0，
其判别式0，即 =[2E(XY)]2-4E(X2)E(Y2)0， 所以[E(XY)] 2E(X2)E(Y2)。
0.5
E( XY ) E( X cos X ) x cos x 1dx 0 0.5
E(X)=0， 故 Cov(X,Y)=0
2.简单性质 ⑴ Cov(X,Y)= Cov(Y,X) ⑵ Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b是常数 ⑶ Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y)
(4) Cov(X,X)= D(X) ; Cov(X,a)= 0
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协方差和相关系数
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D(X1 X2) E{[( X1 X2) E(X1 X2)]2} E{[( X1 E(X1)) (X2 E(X2))]2}
E{( X1 E(X1))2} E{(X2 E(X2))2} 2E{(X1 E(X1))(X2 E(X2))}
可见，若X与Y独立， Cov(X,Y)= 0 .
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4. 随机变量和的方差与协方差的关系 D(X+Y)= D(X)+D(Y)+ 2Cov(X,Y)
证明： D( X Y ) E{[( X Y ) E( X Y )]2}
E{[( X E( X )) (Y E(Y ))]2} E{(X E(X))2} E{(Y E(Y ))2} 2E{(X E(X))(Y E(Y ))} D( X ) D(Y ) 2Cov( X ,Y )
相关系数的性质：
1. | | 1 这一性质
证: 由由方于差方的差性D质也(Y和可)是协以正方用的差,的故定必义有知,
对任意1-实2数≥b0许,,有所瓦以兹|不 |≤1。
0≤D(Y-bX)= 等b2D式(证X)+明D(Y)-2b Cov(X,Y )
令 b Cov( X ,Y )，则上式为
3. 计算协方差的一个简单公式 由协方差的定义及期望的性质，可得
Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} =E[XY-E(X)Y-E(Y)X+E(X)E(Y) ] =E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y) 即 Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y)
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二、相关系数
定义: 设D(X)>0, D(Y)>0, 称
XY
Cov( X ,Y ) D( X ) D(Y )
为随机变量X和Y的相关系数 .
在不致引起混淆时，记 XY为 .
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D( X )
D(Y- bX)= D(Y ) [Cov( X ,Y )]2
D( X ) D(Y )[1 [Cov( X ,Y )]2 ] D(Y )[1 2]
D( X )D(Y )
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2 XY
Cov(X ,Y )2
D(X1) D(X2) 2E{( X1 E(X1))(X2 E(X2))}
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一、协方差 1.定义 任意两个随机变量X和Y的协方差, 记为Cov(X,Y), 定义为
Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}
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4. 随机变量和的方差与协方差的关系
D(X+Y)= D(X)+D(Y)+ 2Cov(X,Y)
n
n
D( Xi ) D( Xi ) 2 Cov( Xi, X j )
i1
i1
i j
若X1,X2, …,Xn两两独立,，上式化为
由于当X和Y独立时，Cov(X,Y)= 0.
故 Cov( X ,Y ) = 0
D( X )D(Y )
但由 0 并不一定能推出X和Y 独立.
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例1 设X服从(-1/2, 1/2)内的均匀分布,而 Y=cos X, 因Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)，
协方差及相关系数
一、协方差
1.定义
2.简单性质
3. 计算协方差的一个简单公式 4. 随机变量和的方差与协方差的关系 5.许瓦兹不等式
二、相关系数
相关系数的性质
四个等价命题
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前面我们介绍了随机变量的数学期望 和方差，对于多维随机变量，反映各随机 变量之间关系的数字特征中，最重要的， 就是本讲要讨论的
E ( X EX
E(X ))(Y
E(X )2 EY
E(Y ))2 E(Y )2
设U=X-E(X),V=Y-E(Y), 由许瓦兹不等式[E(UV)]2E(U2)E(V2)， 知[E((X-E(X))(Y-E(Y)))]2
E[(X-E(X))2] E[(Y-E(Y))2]
所以2XY 1, 即| XY |1
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2. | XY |=1
存在常数a,b(b≠0），
使P{Y=a+bX}=1，
即X和Y以概率1线性相关.
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3. X和Y独立时， =0，但其逆不真.
n
n
D( Xi ) D( Xi )
i 1
i 1
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5.许瓦兹不等式
[E(XY)] 2E(X2)E(Y2)
证明：设(t)=E(X+tY)2，则 (t)=E(X2)+2tE(XY)+t2E(Y2)0，
其判别式0，即 =[2E(XY)]2-4E(X2)E(Y2)0， 所以[E(XY)] 2E(X2)E(Y2)。
0.5
E( XY ) E( X cos X ) x cos x 1dx 0 0.5
E(X)=0， 故 Cov(X,Y)=0
2.简单性质 ⑴ Cov(X,Y)= Cov(Y,X) ⑵ Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b是常数 ⑶ Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y)
(4) Cov(X,X)= D(X) ; Cov(X,a)= 0
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协方差和相关系数
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D(X1 X2) E{[( X1 X2) E(X1 X2)]2} E{[( X1 E(X1)) (X2 E(X2))]2}
E{( X1 E(X1))2} E{(X2 E(X2))2} 2E{(X1 E(X1))(X2 E(X2))}
可见，若X与Y独立， Cov(X,Y)= 0 .
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4. 随机变量和的方差与协方差的关系 D(X+Y)= D(X)+D(Y)+ 2Cov(X,Y)
证明： D( X Y ) E{[( X Y ) E( X Y )]2}
E{[( X E( X )) (Y E(Y ))]2} E{(X E(X))2} E{(Y E(Y ))2} 2E{(X E(X))(Y E(Y ))} D( X ) D(Y ) 2Cov( X ,Y )
相关系数的性质：
1. | | 1 这一性质
证: 由由方于差方的差性D质也(Y和可)是协以正方用的差,的故定必义有知,
对任意1-实2数≥b0许,,有所瓦以兹|不 |≤1。
0≤D(Y-bX)= 等b2D式(证X)+明D(Y)-2b Cov(X,Y )
令 b Cov( X ,Y )，则上式为
3. 计算协方差的一个简单公式 由协方差的定义及期望的性质，可得
Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} =E[XY-E(X)Y-E(Y)X+E(X)E(Y) ] =E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y) 即 Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y)
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二、相关系数
定义: 设D(X)>0, D(Y)>0, 称
XY
Cov( X ,Y ) D( X ) D(Y )
为随机变量X和Y的相关系数 .
在不致引起混淆时，记 XY为 .
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D( X )
D(Y- bX)= D(Y ) [Cov( X ,Y )]2
D( X ) D(Y )[1 [Cov( X ,Y )]2 ] D(Y )[1 2]
D( X )D(Y )
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2 XY
Cov(X ,Y )2
D(X1) D(X2) 2E{( X1 E(X1))(X2 E(X2))}
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一、协方差 1.定义 任意两个随机变量X和Y的协方差, 记为Cov(X,Y), 定义为
Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}
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4. 随机变量和的方差与协方差的关系
D(X+Y)= D(X)+D(Y)+ 2Cov(X,Y)
n
n
D( Xi ) D( Xi ) 2 Cov( Xi, X j )
i1
i1
i j
若X1,X2, …,Xn两两独立,，上式化为
由于当X和Y独立时，Cov(X,Y)= 0.
故 Cov( X ,Y ) = 0
D( X )D(Y )
但由 0 并不一定能推出X和Y 独立.
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例1 设X服从(-1/2, 1/2)内的均匀分布,而 Y=cos X, 因Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)，
协方差及相关系数
一、协方差
1.定义
2.简单性质
3. 计算协方差的一个简单公式 4. 随机变量和的方差与协方差的关系 5.许瓦兹不等式
二、相关系数
相关系数的性质
四个等价命题
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前面我们介绍了随机变量的数学期望 和方差，对于多维随机变量，反映各随机 变量之间关系的数字特征中，最重要的， 就是本讲要讨论的