高等数学下册试卷及答案

高等数学下册试卷及答案高等数学（下册）考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、z=loga(x+y)的定义域为D={(x,y)|x+y>0}。

2、二重积分∬|x|+|y|≤1 2ln(x+y)dxdy的符号为负。

3、由曲线y=lnx及直线x+y=e+1，y=1所围图形的面积用二重积分表示为∬(e+1-x)dx dy，其值为e-1.4、设曲线L的参数方程表示为{x=φ(t)。

y=ψ(t)} (α≤t≤β)，则弧长元素ds=√[φ'(t)²+ψ'(t)²]dt。

5、设曲面∑为x+y=9介于z=0及z=3间的部分的外侧，则∫∫∑(x²+y²+1)ds=18√2.6、微分方程y'=x/(y²+1)的通解为y=1/2ln(y²+1)+1/2x²+C。

7、方程y''-4y=tanx的通解为y=C1e^(2x)+C2e^(-2x)-1/2cosxsinx。

8、级数∑n=1∞1/(n(n+1))的和为1.二、选择题（每小题2分，共计16分）1、二元函数z=f(x,y)在(x,y)处可微的充分条件是（B）f_x'(x,y)，f_y'(x,y)在(x,y)的某邻域内存在。

2、设u=yf(x)+xf(y)，其中f具有二阶连续导数，则x²+y²等于（A）x+y。

3、设Ω：x+y+z≤1.z≥0，则三重积分I=∭ΩzdV等于（D）∫0^1∫0^(1-z)∫0^(1-x-y)zdxdydz。

4、球面x²+y²+z²=16a²与柱面x²+y²=2ax所围成的立体体积V=（C）8∫0^π/2∫0^(2acosθ)∫0^√(16a²-r²)rdzdrdθ。

注：原文章中第一题的符号“>”应该是“≥”，已进行更正。

2sin(x+2y-3z)。

2、设f(x)在[0,1]上连续，则f(x)在[0,1]上一定有最小值和最大值。

3、设f(x)在[0,1]上可导，且f(0)=0，f(1)=1，则在(0,1)内至少存在一点c，使得f'(c)=1.4、设f(x)在[a,b]上连续，且f(x)在(a,b)内可导，则存在c∈(a,b)，使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)。

5、设f(x)在[a,b]上连续，且f(x)在(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点c，使得f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)。

6、设f(x)在[a,b]上连续，且f(x)在(a,b)内可导，则f(x)在[a,b]上一致连续。

7、设f(x)在[a,b]上可导，且f'(x)在[a,b]上有界，则f(x)在[a,b]上一定一致连续。

8、设f(x)在[a,b]上连续，且f(x)在(a,b)内可导，则f(x)在[a,b]上可导。

二、选择题（每小题5分，共计25分）1、设f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则f(x)g(x)为（）A。

奇函数 B。

偶函数 C。

非奇非偶函数 D。

无法确定答案：B解析：奇函数与偶函数相乘，结果为偶函数。

2、设f(x)在[a,b]上连续，且f(x)在(a,b)内可导，则f(x)在[a,b]上（）A。

一定可导 B。

一定不可导 C。

可能可导 D。

无法确定答案：C解析：根据连续函数可导的充要条件，可得可能可导。

3、设f(x)在[0,1]上连续，且f(0)=f(1)，则在(0,1)内至少存在一点c，使得f(c)=f(c+1/2)的命题是（）A。

错误的 B。

正确的，但无法证明 C。

可以用零点定理证明 D。

可以用介值定理证明答案：D解析：根据介值定理，可得该命题正确。

4、下列哪个级数为调和级数（）A。

∑(1/n) B。

∑(n^2) C。

∑(1/n^2) D。

∑(1/2n+1)答案：A解析：调和级数为1+1/2+1/3+。

+1/n+。

5、级数∑(n^2)/(2^n)的收敛性为（）A。

收敛 B。

发散 C。

无法判断 D。

收敛但不绝对收敛答案：A解析：根据比值判别法，可得该级数收敛。

6、设$\Sigma$为柱面$x+y=1$和$x=0,y=0,z=1$在第一卦限所围成部分的外侧，则曲面积分$\iint_{\Sigma}2zdxdy+xzdydz+x^2ydxdz$等于（）。

（A）$\pi$；（B）$-5\pi$；（C）0；（D）4/3.7、方程$y''-2y'=f(x)$的特解可设为（）（A）$Ax$，若$f(x)=1$；（B）$Ae^{x}$，若$f(x)=e^{x}$；（C）$Ax^2+Bx+Cx+Dx+E$，若$f(x)=x^2-2x$；（D）$x(A\sin5x+B\cos5x)$，若$f(x)=\sin5x$。

8、设$f(x)=\begin{cases} -1.& -\pi \leq x < 0 \\ 1.& 0 \leq x < \pi \end{cases}$，则它的Fourier展开式中的$a_n$等于（）（A）$[1-(-1)^n]/(n\pi)$；（B）$2/(n\pi)$；（C）1；（D）0.二、计算题（每小题10分，共计60分）3、设$D$是由曲线$y=x$，$y=x+2$所围成，则二重积分$I=\iint_D 2(1+x)dxdy=$（）。

解：$D$被直线$y=x$所分成的两部分分别为$D_1=\{(x,y)|0\leq x\leq 1.x\leq y\leq x+2\}$和$D_2=\{(x,y)|1\leq x\leq 3.x+2\leq y\leq 2\}$，则begin{aligned}I&=\iint_D 2(1+x)dxdy\\iint_{D_1} 2(1+x)dxdy+\iint_{D_2} 2(1+x)dxdy\\int_0^1\int_x^{x+2} 2(1+x)dydx+\int_1^3\int_{x+2}^22(1+x)dydx\\2\int_0^1(3+x)dx+2\int_1^3(3+x)dx\\20end{aligned}4、在椭圆$x^2/4+y^2/1=1$上求一点，使其到直线$2x+3y-6=0$的距离最短。

解：设椭圆上的点为$(x,y)$，则直线$2x+3y-6=0$的法向量为$(2,3)$，所以过点$(x,y)$且垂直于直线$2x+3y-6=0$的直线方程为$2(x-x_0)+3(y-y_0)=0$，即$2x+3y=2x_0+3y_0$。

又因为点$(x,y)$在椭圆上，所以有$x^2/4+y^2/1=1$，将$2x+3y=2x_0+3y_0$代入得$2x_0+3y_0=\dfrac{4x}{\sqrt{4+9}}+\dfrac{3y}{\sqrt{4+9}}=\df rac{4x}{\sqrt{13}}+\dfrac{3y}{\sqrt{13}}$。

因此，问题转化为求椭圆$x^2/4+y^2/1=1$上到直线$2x+3y=\dfrac{4x}{\sqrt{13}}+\dfrac{3y}{\sqrt{13}}$的距离最短的点$(x_0,y_0)$。

由于点$(x_0,y_0)$到直线$2x+3y=\dfrac{4x}{\sqrt{13}}+\dfrac{3y}{\sqrt{13}}$的距离等于$\dfrac{|2x_0+3y_0|}{\sqrt{4+9}}=\dfrac{|2x_0+3y_0|}{\sqrt{13 }}$，所以问题又转化为求椭圆$x^2/4+y^2/1=1$上到直线$2x+3y=\pm1$的距离最短的点。

设直线$2x+3y=1$上的点为$(x_1,y_1)$，则点$(x_1,y_1)$到椭圆$x^2/4+y^2/1=1$的距离为$d_1=\dfrac{|2x_1+3y_1-1|}{\sqrt{2^2+3^2}}=\dfrac{|2x_1+3y_1-1|}{\sqrt{13}}$；同理，设直线$2x+3y=-1$上的点为$(x_2,y_2)$，则点$(x_2,y_2)$到椭圆$x^2/4+y^2/1=1$的距离为$d_2=\dfrac{|2x_2+3y_2+1|}{\sqrt{13}}$。

因为点$(x_0,y_0)$到直线$2x+3y=\pm1$的距离最短，所以$d_0=\min\{d_1,d_2\}$。

不妨设$d_1\leq d_2$，则$d_0=d_1$，即$\dfrac{|2x_1+3y_1-1|}{\sqrt{13}}$最小，因此点$(x_0,y_0)=(x_1,y_1)$。

直线$2x+3y=1$与椭圆$x^2/4+y^2/1=1$的交点为$(1/\sqrt{5},2/\sqrt{5})$，因此点$(x_0,y_0)=(1/\sqrt{5},2/\sqrt{5})$。

5、求圆柱面$x+y=2$被锥面$z=\sqrt{x^2+y^2}$和平面$z=0$割下部分的面积$A$。

解：圆柱面$x+y=2$在$xOy$平面上的投影为线段$AB$，其中$A=(0,2)$，$B=(2,0)$。

锥面$z=\sqrt{x^2+y^2}$在$xOy$平面上的投影为圆$x^2+y^2=r^2$，其中$r$为锥面母线的长度。

由于锥面和平面$z=0$的交线在$xOy$平面上的投影为圆$x^2+y^2=r^2$，所以锥面和平面$z=0$割下的部分在$xOy$平面上的投影为圆$x^2+y^2\leq r^2$。

设圆$x^2+y^2=r^2$与线段$AB$的交点为$C$和$D$，则线段$AB$被圆$x^2+y^2=r^2$分成的两段分别是线段$AC$和线段$BD$。

设线段$AC$的长度为$l_1$，线段$BD$的长度为$l_2$，则圆$x^2+y^2=r^2$的周长$C=2\pi r=2l_1+2l_2$，即$l_1+l_2=\pi r$。

因为锥面和平面$z=0$割下的部分在$xOy$平面上的投影为圆$x^2+y^2\leq r^2$，所以该部分的面积为$A=\pi r^2$。

又因为圆柱面$x+y=2$被锥面和平面$z=0$所割下的部分在$xOy$平面上的投影为线段$AB$被圆$x^2+y^2=r^2$所分成的两段，所以$l_1+l_2=AB=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。

因此，$r=\dfrac{l_1+l_2}{\pi}=2\dfrac{\sqrt{2}}{\pi}$，$A=\pir^2=8\dfrac{2}{\pi^2}$。

6、计算$I=\iint_{\Sigma} xyzdxdy$，其中$\Sigma$为球面$x^2+y^2+z^2=1$的$x\geq 0,y\geq 0$部分的外侧。