2021-2022年高一下学期期末考试数学试题含答案
2021-2022学年山东省滨州市高一下学期期末数学试题【含答案】
2021-2022学年山东省滨州市高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知复数，则（ ）52i z =+z =A ．B ．C ．D ．2i --2i -+2i -2i+D【分析】根据复数的除法运算求得复数z ，再根据共轭复数的概念即可求得答案.【详解】由题意得，，故，55(2i)2i 2i 5z -===-+2i z =+故选：D2．已知正方体的棱长为2.它的8个顶点都在一个球面上，则此球的表面积是A ．8πB ．12πC ．16πD ．20πB由棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上，知球半径R 的表面积．【详解】因为棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上，所以，球半径，R =得出，球的表面积．2412S ππ==故选：．B 本题考查球的表面积的求法，求出球的半径是关键，运用正方体外接球的直径等于正方体的体对角线求解．3．以下结论正确的是（ ）A ．事件与事件的和事件的概率一定大于事件的概率AB A B ．对立事件一定互斥C ．事件与事件互斥，则有A B ()()1P A P B =-D ．事件，满足，则，是对立事件A B ()()1P A P B +=A B B【分析】利用对立事件、互斥事件的定义、性质直接求解．【详解】对于，当事件与事件互斥时，事件与事件的和事件的概率才大于A A B A B 事件的概率，故A 错误；A 对于，对立事件一定是互斥事件，故B 正确；B对于，事件与事件对立，则有，事件与事件互斥，则有C A B ()()1P A P B =-A B ，故C 错误；()()1P A P B ≤-对于，事件，满足，则，不一定是对立事件，故D 错误．D A B ()()1P A P B +=A B 故选：B4．在中，若，则此三角形一定是（ ）ABC cos 2bC a =A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．既非等腰三角形也非直角三角形A【分析】根据余弦定理化简即可【详解】由余弦定理，，即，即，故此三222cos 22a b c bC ab a +-==2222a b c b +-=a c =角形一定是等腰三角形故选：A5．设，为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，下列命题正确的是αβ（ ）A ．若，，则B ．若，，，则m n ∥n ⊂αm α∥m α∥n β∥m n ∥αβ∥C ．若，，则D ．若，，，则m β⊥n β∥m n⊥αβ⊥m αβ= n m ⊥n α⊥C【分析】利用直线、平面的位置关系进行判断以及通过举反例进行排除.【详解】对于A ，若，，则或，故A 错误；m n ∥n ⊂αm α∥m α⊂对于B ，若，，，则或相交，故B 错误；m α∥n β∥m n ∥αβ∥,αβ对于C ，利用线面垂直的性质定理以及平行的传递性，可知C 正确；对于D ，若，，，当，不一定垂直于，αβ⊥m αβ= n m ⊥n β⊄n α故D 错误.故选：C.6．在中，点P 满足，则（ ）OAB 3AB AP =A ．B ．2133OP OA OB=+ 1233OP OA OB=+C ．D ．2133OP OA OB=- 1233OP OA OB=-A【分析】根据向量的线性运算即可求解.【详解】()11213333OP OA AP OA AB OA OB OA OA OB=+=+=+-=+故选：A7的正方体中，直线BD 到平面的距离为1111ABCD A B C D -11AB D （ ）A B C D B【分析】根据线面平行可得点到面的距离即为线到面的距离，根据等体积法即可求解.【详解】因为,平面,平面,因此平面,故11//BD B D 11B D ⊂11AB D BD ⊄11AB D //BD 11AB D 直线BD 到平面的距离即为点到平面的距离；11AB D B 11AB D为边长为2的等边三角形，故,11AB D 111=222AB D S ⨯⨯ 11=12A B B S = 设点到平面的距离为，由等体积法可得,即B 11AB D h 1111D AB B B AB D V V --=11111AB AB D B S A D h S ⋅==故选:B8．如图，为了测量山顶M ，N 间的距离，飞机沿水平方向在A ，B 两点进行测量，A ，B ，M ，N 在同一个铅垂平面内.若已测得AB 之间的距离为a ，，BAM α∠=，由于条件不足，需要再观测新的角，则利用已知观测数据和下面三组新ABM β∠=观测的角的其中一组，可以求出M ，N 间距离的组数为（ ）①和；②和；③和BNM ∠MBN ∠AMN ∠BNM ∠NAB ∠BNA∠A ．0B ．1C ．2D ．3D【分析】利用已知条件结合正余弦定理，判断所选的条件是否可以求出即可MN 【详解】由，，，在中，利用正弦定理可以求出AB a =BAM α∠=ABM β∠=ABM 的长，,AM BM 对于①和，在中，利用正弦定理可得，BNM ∠MBN ∠BMN △sin sin MN BMMBN BNM =∠∠得，从而可求出，sin sin BM MBN MN BNM ∠=∠MN 对于②和，先求得，所以，AMN ∠BNM ∠AMB παβ∠=--BMN AMN AMB ∠=∠-∠然后在中，利用正弦定理可得，得BMN △sin sin MN BMMBN BNM =∠∠，从而可求出，sin sin BM MBN MN BNM ∠=∠MN 对于③和，在中，由正弦定理得，可求得NAB ∠BNA ∠ABN sin BN ABNAB BNA =∠∠，再在中利用三角形的内角和定理可求出，sin AB NAB BN BNA ∠=∠ABN ABN ∠从而可求得，再在中，利用余弦定理得MBN ABN β∠=∠-BMN △，从而可求出，2222cos MN BN BM BM BN MBN =+-⋅∠MN 所以三组数据均能求出，MN 故选：D 二、多选题9．已知数据，…，的众数､平均数､方差､第80百分位数分别是，123,,x x x n x 1a ，，，数据，，，…，的众数､平均数､方差､第80百分位数分别是，1b 1c 1d 1y 2y 3y n y 2a ，，，且满足，则下列结论正确的是（ ）2b 2c 2d 21(1,2,3,,)i i y x i n =-= A ．B ．C ．D ．21a a =2121b b =-214c c =2121d d =-BCD【分析】由众数的计算方法可判断A;根据平均数的概念可判断B ；根据方差的性质判断C ；根据百分位数的计算可判断D.【详解】由题意可知，两组数据满足，则它们的众数也满足21(1,2,3,,)i i y x i n =-= 该关系，则有，故A 错误；2121a a =-由平均数计算公式得：1212(21)(21)(21)n n y y y x x x n n +++-+-++-=，即，故B 正确；1221nx x x n +++=⨯- 2121b b =-由方差的性质可得，故C 正确；214c c =对于数据，…，，假设其第80百分位数为，123,,x x x n x 1d 当是整数时，，当不是整数时，设其整数部分为k,则0.8n k =112k k x x d ++=0.8n ，11k d x +=故对于数据，…，，假设其第80百分位数为，12321,21,21x x x ---21n x -2d 当是整数时，，当不是整数时，设其整数0.8n k =1212121212k k x x d d +-+-==-0.8n 部分为k,则，2112121k d x d +=-=-故，故D 正确，2121d d =-故选：BCD10．已知是任意的非零向量，则下列结论正确的是（ ）,,a b cA ．B ．a b a b+≤+ a b a b ⋅≤⋅ C ．若，则D ．若，则a b= a b=+a b a b=- a b⊥ ABD【分析】对A ，平方根据可判断；对B ，根据数量积定义和cos ,1a b <>≤可判断；对C ，根据向量是由大小和方向决定可判断；对D ，两边平方cos ,1a b <>≤可得即可判断.0a b ⋅=【详解】对A ，2222222cos ,a b a b a b a b a b a b +=++⋅=++⋅⋅<>，当且仅当同向等号成立，所以，故()2222a b a b a b≤++⋅=+ ,a ba b a b+≤+ A 正确；对B ，因为，所以，当且仅当同向等号cos ,1a b <>≤ cos ,a b a b a b a b ⋅=<>⋅⋅≤⋅ ,a b 成立，故B 正确；对C ，若，因为方向不一定相同，所以不一定相等，故C 错误；a b= ,a b ,a b 对D ，若，两边平方可得，所以，故D 正确.+a b a b =- 0a b ⋅= a b ⊥ 故选：ABD.11．在某次数学中，对多项选择题的要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.”已知某道多项选择题的正确答案是ABC ，且某同学不会做该题，下列结论正确的是（ ）A ．该同学仅随机选一个选项，能得分的概率是12B ．该同学随机至少选择二个选项，能得分的概率是411C ．该同学仅随机选三个选项，能得分的概率是14D ．该同学随机选择选项，能得分的概率是415BC【分析】对各项中的随机事件，计算出基本事件的总数和随机事件中含有的基本事件的个数，再计算出相应的概率后可得正确的选项.【详解】该同学随机选一个选项，共有4个基本事件，分别为，，，；A B C D 随机选两个选项，共有6个基本事件，分别为，，，，，；AB AC AD BC BD CD 随机选三个选项，共有4个基本事件，分别为，，，；ABC ABD ACD BCD 随机选四个选项，共有1个基本事件，即；ABCD 仅随机选一个选项，能得分的概率是，故A 错误；34随机至少选择二个选项，能得分的概率是，故B 正确；31464111+=++仅随机选三个选项，能得分的概率是，故C 正确；14随机选择选项，能得分的概率是，故D 错误；3317464115++=+++故选：BC.12．如图1，在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，沿AE ､AF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使得B ､C ､D 三点重合于点S ，得到四面体（如图2）.下列结论正确的是（ ）S AEF -A ．平面平面SAF AEF ⊥B ．四面体的体积为S AEF -13C ．二面角A EF S --D ．顶点S 在底面AEF 上的射影为的垂心AEF BD【分析】（１）作辅助线，证为平面SAF 与平面AEF 的二面角的平面角，显然SNO ∠为锐角，从而判断A 选项．SNO ∠（２）先证平面AEF ，从而得到锥体的高，计算出所需长度，算出体积即可．SO ⊥（３）证为平面SEF 与平面AEF 的二面角的平面角，计算的正切值．SMA ∠SMA ∠（４）先证O 为S 在平面AEF 上的射影，由于AM ，只需证，EF ⊥OE AF ⊥即可．OF AE ⊥【详解】如图，作EF 的中点M ，连结AM 、SM ，过S 作AM 的垂线交AM 于点O ，连结SO ，过O 作AF 的垂线交AF 于点N ，连结SN由题知AE =AF AM ，SE =SF =1，所以，EF ⊥SM EF ⊥为平面SEF 与平面AEF 的二面角的平面角SMA ∴∠又 平面ASM ，平面ASM ，SO ，SM AM M ⋂=EF ∴⊥SO ⊂EF ∴⊥作法知， ，平面AEF ，SO AM ^AM EF M = SO ∴⊥所以SO 为锥体的高．所以O 为S 在平面AEF 上的射影.平面AEF ，所以 ，由作法知，AF ⊂SO AF ⊥ON AF ⊥SO NO O⋂=平面SON ，平面SON ，AF ∴⊥SN ⊂SN AF∴⊥为平面SAF 与平面AEF 的二面角的平面角，显然为锐角，故A 错．SNO ∴∠SNO ∠由题知 ， ，AS SEAS SFAS SEFSE SF S ⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⋂=⎭平面SM SEF ⊂平面AS SM ∴⊥又AS ＝２，，SE＝１，12EM EF ==SM AM ∴=== ，四面体S −AEF 的体积为23AS SM SO AM ⨯===1132133233AEF V S SO =⨯=⨯⨯=，故B 正确．在直角三角形ASM中：tan AS SMA SM ∠=== 故C 不正确．因为，，OM ==AO AM OM =-=OE==所以，2224cos 25OE OF EF EOF OE OF +-∠==-⋅222cos 2OE OA AE EOA OE OA +-∠==⋅()cos cos OE AF OE OF OA OE OFEOF OE OA EOA⋅=⋅-=∠-∠45⎛⎛⎫=- ⎪ ⎝⎭⎝44099=-+= ，由对称性知 ，又AM OE AF ∴⊥OF AE ⊥EF ⊥故D 正确．故选：BD ．三、填空题13．某校举行演讲比赛，10位评委给甲选手的评分如下：7.5，7.5，7.8，7.8，8.0，8.0，8.1，8.3，8.3，8.7，则这组数据的75%分位数为___________.8.3【分析】根据百分位数的定义和运算规则即可求解.【详解】该数据已经从小到大排列， ，∴第75%位数是8.3；1075%7.5⨯=故8.3.14．已知一个圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则该圆锥的表面积为___________.12π【分析】首先根据题意得到，解得，再分别计算侧面积和底面积12242r ππ=⨯⨯2r =即可.【详解】解：设圆锥的半径为，由题知：，解得.r 12242r ππ=⨯⨯2r =所以圆锥的底面积为，圆锥的侧面积为.2124S ππ=⨯=221482S ππ=⨯⨯=所以表面积.4812S πππ=+=故答案为.12π15．一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向东2.一艘小km/h 货船准备从河南岸的码头A 处出发，航行到位于河对岸B （AB 与河的方向垂直）的正西方向并且与B 相距250的码头C 处卸货.若流水的速度与小货船航行的速度的合速m 度的大小为6，则当小货船的航程最短时，小货船航行的速度大小是___________km/h .km/h【分析】由已知条件求解直角三角形，根据向量的平行四边形法则，结合向量的模长公式，即可求解小货船航行速度的大小.【详解】由题意，当小货船的航程最短时，航线路线为线段，AC 设小货船航行速度为，水流的速度为，水流的速度与小货船航行的速度的合速度v1v为，作出示意图如下：2v因为一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向正东，2km/h，在中，有,250AB BC m ==Rt ABC △tan AB BCA BC ∠==所以，12ππππ2π,,,+=36263BCA BAC v v ∠=∠=〈〉= 所以，21v v v =-所以||v ===所以小货船航行速度的大小为．故四、双空题16．已知为虚数单位，则___________，i (cos isin )(cos isin )ααββ++=___________.()cos15isin15⎫︒+︒=⎪⎪⎭cos()isin()αβαβ+++12【分析】根据复数的乘法运算结合三角函数的恒等变换公式，即可求得答案.【详解】由题意得，(cos isin )(cos isin )cos cos sin sin i(cos sin sin cos )ααββαβαβαβαβ++=-++ ；cos()isin()αβαβ=+++())cos15isin15cos15sin15i ⎫⎫︒+︒=︒-︒+︒+︒⎪⎪⎪⎪⎭⎭，()()cos 4515isin 4515=+++12=故；cos()isin()αβαβ+++12五、解答题17．已知向量，.(,1)a m =- (1,2)b =(1)若，求；()+2a b b⊥ 2a b+ (2)若向量，，求与夹角的余弦值.(2,1)c =- a c ∥a 2ab -【分析】（1）根据求得，从而可得，于是()+2a b b⊥ 3m =-2(1,3)ab +=- a + （2）由，可得，再由夹角公式计算即可.ac ∥(2,1)a =- 【详解】(1)因为，，(,1)a m =- (1,2)b = 所以，.+(1,1)a b m =+2(2,4)b = 由，可得，即，()+2a b b⊥ ()+20a b b ⋅= 2(1)40m ++=解得，所以，故3m =-2(1,3)a b +=-a + (2)因为向量，，所以，所以.(2,1)c =- a c ∥ 20m -=2m =则，，(2,1)a =- 2(0,5)a b -=-所以()2cos ,22a a b a a b a a b ⋅--=-==所以与a2a b -18．如图，在圆内接四边形ABCD 中，，，的面积120B ∠=︒2AB =AD =ABC (1)求AC ；(2)求.ACD ∠(1)(2)45︒【分析】（1）根据面积公式可得，再根据余弦定理求解可得2BC =AC =（2）根据内接四边形可得 ，再根据正弦定理求解即可60D ∠=︒【详解】(1)因为.ABC 1sin 2AB BC B ⋅∠又因为，，所以.120B ∠=︒2AB =2BC =由余弦定理得，，222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅∠，所以22222222cos120AC =+-⨯⨯︒12=AC =(2)因为ABCD 为圆内接四边形，且，所以.又120B ∠=︒60D ∠=︒AD =可得，，故因为sin sin AD AC ACD D =∠∠sin sin AD D ACD AC ∠∠===，所以，所以.AC AD >060ACD ︒<∠<︒45ACD ∠=︒19．如图，在直三棱柱中，，，E 为线段111ABC A B C -AB BC ⊥12AA AB BC ===的中点.1AB(1)求证：平面平面；1BEC ⊥11AB C (2)求直线与平面所成角的正切值.1EC 11BB C C (1)证明见解析【分析】（1）先证明平面,再根据面面垂直的判定定理证明结论即可；BE ⊥11AB C （2）作辅助线，找出直线与平面所成角，解直角三角形，即可求得答案 .1EC 11BB C C 【详解】(1)证明：在直三棱柱中，111ABC A B C -平面ABC ，所以.1BB ⊥1BB BC ⊥又因为，，平面，平面，AB BC ⊥1AB BB B Ç=AB Ì11ABB A 1BB ⊂11ABB A所以平面.因为平面，所以.BC ⊥11ABB A BE ⊂11ABB A BC BE ⊥又因为，所以.11BC B C ∥11B C BE ⊥因为，E 为线段的中点，11AB AA BB ==1AB 所以.因为，平面，平面，1BE AB ⊥1111B C AB B = 1AB ⊂11AB C 11B C ⊂11AB C 所以平面,BE ⊥11AB C 又平面，所以平面平面.BE ⊂1BEC 1BEC ⊥11AB C (2)取的中点F ，连接EF ，，1BB 1FC 则，所以.,EF AB AB BC ⊥∥EF BC ⊥因为在直三棱柱中，所以，111ABC A B C -1BB AB ⊥1EF BB ⊥又因为，平面，平面，1BC BB B = BC ⊂11BB C C 1BB ⊂11BB C C 所以平面.所以为直线与平面所成的角.EF ⊥11BB C C 1EC F ∠1EC 11BB C C 因为，所以，，，12AA AB BC ===1EF =112B C =11B F =所以1FC ==因为平面，平面，所以，EF ⊥11BB C C 1FC ⊂11BB C C 1EF FC ⊥所以11tan EF EC F FC ∠==所以直线与平面1EC 11BB C C 20．法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们（书籍的作者）一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流，阅读会让精神世界闪光”.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示：(1)求a ；(2)根据频率分布直方图，估计该地年轻人每天阅读时间的中位数（精确到0.1）（单位：分钟）；(3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，和的年轻人中抽取5人，再从中任选3人进行调查，[50,60)[60,70)[80,90)求其中恰好有2人每天阅读时间位于的概率.[80,90)(1)0.020a =(2)74.4分钟(3)310【分析】（1）根据频率之和为1即可求出；（2）根据频率可判断中位数位于区间，设为，列出方程即可求出；[70,80)x （3）求出5人中任取3人的所有情况，再求出满足条件的情况即可求出.【详解】(1)因为频率分布直方图的所有矩形面积之和为1，所以，解得.(0.0100.0450.005)101a a ++++⨯=0.020a =(2)因为，.(0.0100.020)100.30.5+⨯=<(0.0100.0200.045)100.750.5++⨯=>则中位数位于区间内，设中位数为x ，[70,80)则，解得，0.3(70)0.0450.5x +-⨯=74.4x ≈所以估计该地年轻人阅读时间的中位数约为74.4分钟.(3)由题意，阅读时间位于的人数为，[50,60)1000.110⨯=阅读时间位于的人数为，[60,70)1000.220⨯=阅读时间位于的人数为，[80,90)1000.220⨯=所以在这三组中按照分层抽样抽取5人的抽样比例为，515010=则抽取的5人中位于区间有1人，设为a ，位于区间有2人，设为，[50,60)[60,70)1b ，位于区间有2人，设为，.2b [80,90)1c 2c 则从5人中任取3人，样本空间()()()(){12111221Ω,,,,,,,,,,,,a b b a b c a b c a b c =.()()()()()()}2212121122112212,,,,,,,,,,,,,,,,,a b c a c c b b c b b c b c c b c c 含有10个样本点.设事件A 为“恰有2人每天阅读时间在”，[80,90)，含有3个样本点.()()(){}12112212,,,,,,,,A a c c b c c b c c =所以，3()10P A =所以恰好有2人每天阅读时间位于的概率为.[80,90)31021．当今社会，学生的安全问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，滨州市组织了一次中学生安全知识竞赛，规定每队2人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得1分，答错得0分.在竞赛中，假设甲队2人答对的概率均为，乙队2人23答对的概率分别为，，且各人回答正确与否互不影响，各队得分互不影响.1234(1)求甲队总得分为1分的概率；(2)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率.(1)49(2)29【分析】（1）（2）根据相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得；【详解】(1)解：令“甲队第个人回答问题正确"，，=i A i 1,2i =令“乙队第个人回答问题正确”，，i B =i 1,2i =则，，.()23i P A =()112P B =()234P B =令“甲队总得分为1分”，则.C =1212C A A A A =⋃由概率加法公式和事件的独立性定义得，()1212()P C P A A A A =⋃()()1212P A A P A A =+.()()()()1212P A P A P A P A =+21123333=⨯+⨯49=所以甲队总得分为1分的概率为.49(2)解：令“甲队总得分为2分”，令“乙队总得分为1分”，D =E =则，，12D A A =1212E B B B B =⋃由概率加法公式和事件的独立性定义得，，()12()P D P A A =()()12P A P A =224339=⨯=()1212()P E P B B B B =⋃()()1212P B B P B B =+，()()()()1212P B P B P B P B =+1113124242=⨯+⨯=，()()()P DE P D P E =412929=⨯=所以甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率为.2922．如图，在四棱锥中，底面ABCD 是平行四边形，，点E 是PB P ABCD -PA AB ⊥的中点.(1)求证：平面EAC ；PD ∥(2)若，，，求点P 到平面AEC 的距离.2PC AD ==1==PA AB 3APC π∠=(1)证明见解析【分析】（1）连结BD 交AC 于点O ，连接EO ，证明即可；EO PD ∥（2）利用等体积关系即可求解.12P ACE P ABCV V --=【详解】(1)证明：连结BD 交AC 于点O ，连接EO .显然，O 为BD 的中点，又因为E 为PB 的中点，所以.EO PD ∥又因为面EAC ，面EAC ，所以平面EAC ；PD ⊂/EO ⊂PD ∥(2)在中，，，，PAC △1PA =2PC =3APC π∠=由余弦定理得，22212cos 1421232AC PA PC PA PC APC =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=所以，所以，AC =222PA AC PC +=PA AC ⊥又因为，，平面ABCD ，平面ABCD ，PA AB ⊥AB AC A ⋂=AB ÌAC ⊂所以平面ABCD .PA ⊥在中，，，，所以，ABC 1AB =2BC =AC =222AB AC BC +=AB AC ⊥所以12ABCS AB AC =⋅=△11133P ABC ABC V S PA -=⋅==△因为点E 是PB 的中点，所以12P ACE P ABC V V --==因为，且E 是PB 的中点，，所以PA AB ⊥1==PA AB 12AE PB ==因为，，，AC AB ⊥PA AC ⊥PA AB A = 又因为平面ABP ，平面ABP ，所以平面ABP ，AB ÌPA ⊂AC ⊥因为平面ABP ，所以，所以，AE ⊂AC AE ⊥12ABC S AC AE =⋅=△令点P 到平面ACE 的距离为h ，则，13AEC P ACE S h V -⋅=△即，即.13h =h =。
2021-2022学年天津市河西区、四十一中高一下学期期末考试数学试题(解析版)
天津市河西区、四十一中2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．实部为2-，虚部为1的复数所对应的点位于复平面内的( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限〖解 析〗实部为2-，虚部为1的复数所对应的点的坐标为(2,1)-，位于第二象限． 〖答 案〗B2．在频率分布直方图中，各个长方形的面积表示( ) A ．落在相应各组的数据的频数 B ．相应各组的频率C ．该样本所分成的组数D ．该样本的样本容量〖解 析〗频率分布直方图中，各个长方形的面积表示相应数据的频率， 它等于这组的频数除以样本容量的值， 小长方形的个数表示该样本所分成的组数． 〖答 案〗B3．已知(5,2)a =-，(4,3)b =--，(,)c x y =，若230a b c -+=，则(c = ) A ．8(1,)3B ．138(,)33C ．134(,)33D ．134(,)33-- 〖解 析〗由题意可得：23(133,43)0a b c x y -+=++=， 所以1330x +=，并且430y +=，所以133x =-，43y =-． 〖答 案〗D4．将无盖正方体纸盒展开如图，则直线AB 、CD 在原正方体中的位置关系是( )A ．平行B ．相交且垂直C ．相交成60︒D ．异面〖解 析〗将正方体还原得到A ，B ，C ，D 的位置如图因为几何体是正方体，所以连接AC ，得到三角形ABC 是等边三角形，所以60ABC ∠=︒；〖答 案〗C5．已知||4a =，e 为单位向量，当向量a 与e 的夹角θ等于150︒时，则向量a 在向量e 上的投影向量为( ) A ．2eB ．2e -C ．3eD ．3e -〖解 析〗||4a =，e 为单位向量，向量a 与e 的夹角θ等于150︒时，∴||||cos15041(a e a e ⋅=︒=⨯⨯=-∴向量a 在向量e 上的投影||a ee ⋅为-a 在向量e 上的投影向量为3e -． 〖答 案〗D6．从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数和次品件数．则下列事件是互斥事件但不是对立事件的是( ) A ．恰好有1件次品和恰好有2件次品B ．至少有1件次品和全是次品C ．至少有1件正品和至少有1件次品D ．至少有1件次品和全是正品〖解 析〗从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数和次品件数，∴在A 中，恰好有1件次品和恰好有2件次品不能同时发生，但能同时不发生， ∴恰好有1件次品和恰好有2件次品是互斥事件但不是对立事件，故A 成立；在B 中，至少有1件次品和全是次品，能同时发生， ∴至少有1件次品和全是次品不是互斥事件，故B 不成立；在C 中，至少有1件正品和至少有1件次品能同时发生， ∴至少有1件正品和至少有1件次品不是互斥事件，故C 不成立；在D 中，至少有1件次品和全是正品不能同时发生，也不能同时不发生， ∴至少有1件次品和全是正品是对立事件，故D 不成立．〖答 案〗A7．两条异面直线与同一平面所成的角，不可能是( ) A ．两个角均为锐角 B ．一个角为0︒，一个角为90︒ C ．两个角均为0︒D ．两个角均为90︒〖解 析〗两条异面直线与同一平面所成的角，两个角均为锐角，所以A 正确， 如果异面直线互相垂直时，一条直线与平面平行，另一条直线与平面垂直， 满足一个角为0︒，一个角为90︒，所以B 正确；如果两条异面直线都与平面平行，此时两条异面直线与同一平面所成的角两个角均为0︒，所以C 正确；如果两个角均为90︒，则两条直线与平面垂直，两条直线是平行线，所以D 不正确． 〖答 案〗D8．袋子中有大小和质地完全相同的4个球，其中2个红球，2个白球，不放回地从中依次随机摸出2个球．设A = “两个球颜色相同”， B = “两个球颜色不同”，则( ) A ．P （A ）P =（B ） B ．2P （A ）P =（B ）C ．P （A ）2P =（B ）D ．3P （A ）P =（B ）〖解 析〗袋子中有大小和质地完全相同的4个球，其中2个红球，2个白球，不放回地从中依次随机摸出2个球．基本事件总数246n C ==， 设A = “两个球颜色相同”， B = “两个球颜色不同”，则A 中包含的基本事件个数221222m C C =+=，B 中包含的基本事件个数112224m C C ==， P ∴（A ）2163==，P （B ）4263==，2P ∴（A ）P =（B ）． 〖答 案〗B9．如图，圆柱OO '中，AA '是侧面的母线，AB 是底面的直径，C 是底面圆上一点， 则( )A ．BC ⊥平面A AC 'B ．BC ⊥平面A AB 'C ．AC ⊥平面A BC 'D ．AC ⊥平面A AB '〖解 析〗C 是底面圆周上异于A ，B 的任意一点，且AB 是圆柱底面圆的直径，BC AC ∴⊥，AA '⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，AA BC '∴⊥，AA AC A '=，AA '⊂平面AA C '，AC ⊂平面AA C '，BC ∴⊥平面A AC '．〖答 案〗A二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.10．已知i 是虚数单位，若复数z 满足(1)2i z +=，则z 的虚部为 ；z = ． 〖解 析〗(1)2i z +=，22(1)11(1)(1)i z i i i i -∴===-++-， 故z 的虚部是1-，1z i =+． 〖答 案〗1-，1i +11．某中学有高中生3500人，初中生1500人．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为 ． 〖解 析〗分层抽样的抽取比例为701350050=， 总体个数为350015005000+=，∴样本容量1500010050n =⨯=． 〖答 案〗10012．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则四棱锥111A BB D D -的体积为 ．〖解 析〗由题意可知四棱锥111A BB D D -的底面是矩形，边长：1四棱锥的高：1112AC =．则四棱锥111A BB D D -的体积为：11133⨯=．〖答 案〗1313．从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是 ． 〖解 析〗从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数共有2510C =种情况， 和为5的有(1，4)(2，3)两种情况，故所求的概率为：20.210=． 〖答 案〗0.214．已知a ，b ，c 是直线，给出下列命题： ①若//a b ，//b c ，则//a c ； ②若a b ⊥，b c ⊥，则a c ⊥； ③若//a b ，b c ⊥，则a c ⊥；④若a 与b 异面，则至多有一条直线与a ，b 都垂直． 其中真命题是 （写出所有正确命题的序号） 〖解 析〗已知a ，b ，c 是直线，给出下列命题：①若//a b ，//b c ，根据平行线的传递性可得：//a c ，正确； ②若a b ⊥，b c ⊥，则a 与c 平行、相交或为异面直线，因此不正确； ③若//a b ，b c ⊥，则a c ⊥，正确；④若a 与b 异面，则有无数条直线与a ，b 都垂直，因此不正确． 其中真命题是 ①③． 〖答 案〗①③15．在ABC ∆中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =．若2BD DC =，()AE AC AB R λλ=-∈，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为 ． 〖解 析〗如图所示，ABC ∆中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =，2BD DC =，∴AD AB BD =+23AB BC =+2()3AB AC AB =+-1233AB AC =+，又()AE AC AB R λλ=-∈，∴12()()33AD AE AB AC AC AB λ⋅=+⋅-221212()3333AB AC AB AC λλ=-⋅-+221212()32cos603243333λλ=-⨯⨯⨯︒-⨯+⨯=-， ∴1113λ=，解得311λ=． 〖答 案〗311三、解答题：本大题共5小题，共49分、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（9分）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F ，G 分别是AD ，BC 的三等分点1(3AF AD =，13BG BC =．设AB a =，AD b =．（1）用a ，b 表示EF ，EG ； （2）如果3||||2b a =，EF ，EG 有什么位置关系？用向量方法证明你的结论． 解：（1）11113232EF AF AE AD AB b a =-=-=-，1111122323EG EB BG AB AF AB AD a b =+=+=+=+， （2）EF EG ⊥，证明：由（1）得，1132EF b a =-，1132EG b a =+，∴2222111111191()()0323294944EF EG b a b a b a a a ⋅=-⋅+=-=⨯-=，∴EF EG ⊥，EF EG ∴⊥．17．（10分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin cos()6b A a B π=-． （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）设2a =，3c =，求b ． 解：（Ⅰ） 在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a bA B=，又sin cos()6b A a B π=-．可得sin cos()6B B π=-，1sin sin 2B B B ∴=+，则tan B ． 又(0,)B π∈，可得3B π=．（Ⅱ） 在ABC ∆中，由余弦定理及2a =，3c =，3B π=，2222cos 49223cos73b ac ac B π∴=+-=+-⨯⨯⨯=，解得b =．18．（10分）为了了解某学校高一年级的712名学生身高的情况，现从该学校386名女生中抽取一个样本容量为27的样本，其观测数据（单位：)cm 如下： 163.0 164.0 161.0 157.0 162.0 165.0 158.0 155.0 164.0 162.5 154.0 154.0 164.0 149.0 159.0 161.0 170.0 171.0 155.0 148.0 172.0 162.5 158.0 155.5 157.0 163.0 172.0 （1）计算女生身高的样本平均数；（2）若该学校男生平均身高为170.6cm ，试估计该校高一年级学生的平均身高； （3）根据女生的样本数据估计该学校高一年级女生身高的第75百分位数． 解：（1）根据题意，女生身高的样本平均数1(163.0164.0161.0157.0162.0165.0158.0155.0164.0162.5154.027x =++++++++++ 154.0164.0149.0159.0161.0170.0171.0155.0148.0172.0162.5158.0155.5157.0163.0172.0)160.6cm ++++++++++++++++≈，（2）根据题意，高一年级共712名学生，其中女生386名，则男生有712386326-=， 则高一年级学生的平均身高为386160.6326170.6165.2712cm ⨯+⨯=，（3）根据题意，女生身高从小到大排列为：148、149、154、154、155、155.5、157、157、158、159、161、161、162、162.5、162.5、163、163、164、164、164、165、170、171、172、172， 又由2775%20.25⨯=，则女生身高的第75百分位数为第21个数据，即164， 故该学校高一年级女生身高的第75百分位数为164cm ．19．（10分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14． （1）记X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求0X =，1X =的概率； （2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 解：（1）由题意可知1111(0)(1)(1)(1)2344P X ==-⨯-⨯-=，11111111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)23423423424P X ==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=． （2）两辆车共遇到1个红灯的概率为11111111142424448P =⨯+⨯=， 所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148． 20．（10分）如图，在四面体ABCD 中，ABC ∆是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，2AB =，AD =90BAD ∠=︒．（Ⅰ）求证：AD BC ⊥；（Ⅱ）求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值； （Ⅲ）求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．（Ⅰ）证明：由平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ⋂平面ABD AB =，AD AB ⊥， 得AD ⊥平面ABC ，故AD BC ⊥；（Ⅱ）解：取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND ，M 为棱AB 的中点，故//MN BC ，DMN ∴∠（或其补角）为异面直线BC 与MD 所成角，在Rt DAM ∆中，1AM =，故DM =，AD ⊥平面ABC ，故AD AC ⊥，在Rt DAN ∆中，1AN =，故DN ==在等腰三角形DMN 中，1MN =，可得12cos MNDMN DM ∠==．∴异面直线BC 与MD （Ⅲ）解：连接CM ，ABC ∆为等边三角形，M 为边AB 的中点，故CM AB ⊥，CM =又平面ABC ⊥平面ABD ，而CM ⊂平面ABC ，故CM ⊥平面ABD ，则CDM ∠为直线CD 与平面ABD 所成角．在Rt CAD ∆中，4CD =，在Rt CMD ∆中，sin CM CDM CD ∠==．∴直线CD 与平面ABD ．。
哈尔滨市第六中学2021-2022年度高一下学期期末考试数学试卷含答案
试卷第1页，共6页哈尔滨市第六中学2021级高一下学期期末考试数学试题一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设()21i 2z -=，则z =（）A．2BC ．1D ．22．某校有男生3000人，女生2000人，学校将通过分层随机抽样的方法抽取100人的身高数据，若按男女比例进行分层随机抽样，抽取到的学生平均身高为165cm ，其中被抽取的男生平均身高为172cm ，则被抽取的女生平均身高为（）A ．154.5cm B ．158cm C ．160.5cm D ．159cm 3．如图，四面体ABCD中，BD =，2AC =，M 、N 分别为BC 、AD 的中点，1MN =，则异面直线AC 与BD ）A ．3πB ．2πC ．6πD ．4π4．对于数据：2、6、8、3、3、4、6、8，四位同学得出了下列结论：甲：平均数为5；乙：没有众数；丙：中位数是3；丁：75百分位数是7，正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．45．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，O 是底面ABCD 中心，,E F 分别是11,BB DD 的中点，则下列结论正确的是（）A ．1AO //EFB ．1A O EF ⊥C ．1AO //平面1EFB D ．1A O ⊥平面1EFB 6．甲、乙两名同学均打算高中毕业后去A ，B ，C 三个景区中的一个景区旅游，甲、乙到A ，B ，C 三个景区旅游的概率分别如表，则甲、乙去不同景区旅游的概率为（）去A 景区旅游去B 景区旅游去C 景区旅游甲0.40.2乙0.30.6A ．0.66B ．0.58C ．0.54D ．0.52试卷第2页，共6页7．四棱锥P ABCD -的外接球O 的半径为2，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，2AB =，则平面PAD 截球O 所得的截面面积为（）A ．4πB ．3πC ．2πD ．π8．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为直角梯形，1PA AB BC ===，90ABC ∠= ，120PAB ∠= ，AB //DC ，2DC PC ==，则点P 到平面ABCD 的距离为（）ABC ．2D ．13二、多选题（本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题所给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得5分，漏选得2分，错选得0分．）9．新中国成立以来，我国共进行了7次人口普查，这7次人口普查的城乡人口数据如图所示．根据该图数据判断，下列选项中正确的是（）A ．乡村人口数均高于城镇人口数B ．城镇人口比重的极差是50.63%C ．城镇人口数达到最高峰是第7次D ．和前一次相比，城镇人口比重增量最大的是第6次10．已知复数1z ，2z 满足1225i z z +=-，1223i z z -=，则（）A．1z B ．22i z =+C ．123iz z ⋅=+D ．22023iz在复平面内对应的点位于第一象限试卷第3页，共6页11．已知向量)a = ，()()cos ,sin 0b θθθπ=≤≤，则下列命题不正确的是（）A ．若a b ⊥，则tan θ=B ．若b 在a，则a 与b 夹角为23πC ．与a共线的单位向量只有一个为33⎛ ⎝⎭D ．存在θ，使得a b a b+=-12．如图，在菱形ABCD 中，2AB =，π3BAD ∠=，将ABD ∆沿BD 折起，使A 到A '，且点A '不落在底面BCD 内，若点M 为线段A C '的中点，则在ABD ∆翻折过程中，以下命题中正确的是（）A ．四面体A BCD '-的体积的最大值为1B ．存在某一位置，使得BM CD⊥C ．异面直线BM 与A D '所成的角为定值D ．当二面角A BD C '--的余弦值为13时，2A C '=三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分．）13．为迎接创卫考核，现从高二（11）班随机选取两名学生参加问卷调查．已知选中的两名学生都是男生的概率是352，选中的两名学生都是女生的概率是2952，则选中的两名学生是一男一女的概率是；14．有一组样本数据1x ，2x ，…，6x 如右表：由这组数据得到新样本数据1y ，2y ，…，6y ，其中2(1,2,,6)3i i y x c i =+= ，c 为常数，则数据1y ，2y ，…，6y 的方差为；15．嵩岳寺塔位于河南郑州登封市嵩岳寺内，历经1400多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存最早的砖塔．如图，为测量塔的总高度AB ，选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D ，现测得30BCD ∠= ，45BDC ∠=，CD =，在C 点测得塔顶A 的仰角为60 ，则塔的总高度为m ；16．在ABC ∆中，内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知2a =，222sin 3sin 2sin A B a C +=，则cos C 的最小值为．1x 2x 3x 4x 5x 6x 567576试卷第4页，共6页四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本小题10分）某高中学校为了学生的身心健康，加强食堂用餐质量（简称“美食”）的过程中，后勤部门需要了解学生对“美食”工作的认可程度，若学生的认可系数（认可系数=100认可程度平均分）不低于0.85，“美食”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改．为此该部门随机调查了600名学生，根据这600名学生对“美食”工作认可程度给出的评分，分成[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]五组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中x 的值和中位数；(2)为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，该部门从评分低于80分的学生中用比例分配的分层随机抽样的方法随机选取30人进行座谈，求应选取评分在[60,70)的学生人数；(3)根据你所学的统计知识，结合认可系数，判断“美食”工作是否需要进一步整改，并说明理由．18．（本小题12分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面11ADD A 为矩形，22AB AD ==，160D DB ∠=︒，1BD AA ==(1)证明：平面ABCD ⊥平面11BDD B ；(2)求三棱锥11D BCB -的体积．试卷第5页，共6页19．（本小题12分）某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下表：消费次数第1次第2次第3次第4次消费5次及以上收费比例10.950.900.850.80该公司从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如下表：消费次数第1次第2次第3次第4次消费5次及以上频数60201055假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：(1)估计该公司一位会员至少消费两次的概率；(2)某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；(3)该公司要从这100位里消费二次和三次的顾客中按消费次数用分层随机抽样方法抽出6人，再从这6人中抽出2人发放纪念品，求抽出的2人中恰有1人消费二次的概率．20．（本小题12分）在如图所示的几何体中，ABE ∆、BCE ∆、DCE ∆都是等腰直角三角形，AB AE DE DC ===，且平面ABE ⊥平面BCE ，平面DCE ⊥平面BCE ．(1)求证：AD ∥平面BCE ；(2)求直线AB 与平面EAD 所成角的正弦值．试卷第6页，共6页21．（本小题12分）已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C的对边，且cos sin a C C b c -=-．(1)求角A (2)若2c =，角B 的平分线BD 交AC 于点D，且BD =ABC ∆的面积．22．（本小题12分）如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ∠= ，点,M N 分别是边,BC CD 的中点，1AC BD O = ，AC MN G = ．沿MN 将CMN ∆翻折到PMN ∆的位置，连接PA 、PB 、PD ，得到如图2所示的五棱锥P ABMND -．(1)在翻折过程中是否总有平面PBD ⊥平面PAG ？证明你的结论；(2)当四棱锥P MNDB -体积最大时，在线段PA 上是否存在一点Q ，使得平面QMN 与平面PMNQ的位置；若不存在，请说明理由．1-4.CADB 5-8.BABB 9.BC10.ACD 11.BCD 12.ABD13.51314.82715.64316.3417.(1)由图可知：10.0150.020.030.025,0.0110x x ++++=∴=，中位数：()0.50.10.150.252458010800.333-+++⨯=+=.(2)低于80分的学生中三组学生的人数比例为0.1:0.15:0.22:3:4=，则应选取评分在[)60,70的学生人数为：33010234⨯=++（人）.(3)由图可知，认可程度平均分为：550.1650.15750.2850.3950.2579.50.8510085⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=<⨯=，∴“美食"工作需要进一步整改.18.(1)证明：ABD △中，因为2AB =，1AD =，3BD =所以222AB AD BD =+.所以AD BD ⊥，又侧面11ADD A 为矩形，所以1AD DD ⊥，又1BD DD D = ，BD ，1DD ⊂平面11BDD B .所以AD ⊥平面11BDD B ，又AD ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面11BDD B .(2)解：因为AD BC ∥，AD ⊥平面11BDD B ，所以BC ⊥平面11BDD B ，易得1BC =，113B D =13B B =，1160D B B ∠=︒，所以11BB D △的面积11133333224BB D S ==△.三棱锥11D BCB -的体积1111111133313344D BCB C BB D BB D V V S BC --==⋅=⨯⨯=△19.(1)100位会员中，至少消费两次的会员有40位，所以估计一位会员至少消费两次的概率为400.4100=.(2)该会员第1次消费时，公司获得的利润为20015050-=（元），第2次消费时，公司获得的利润为2000.9515040⨯-=（元），所以公司获得的平均利润为5040452+=（元）.(3)因为20:10=2:1，所以用分层随机抽样方法抽出的6人中，消费2次的有4人，分别设为1234,,,A A A A ，消费3次的有2人，分别设为12,B B ，从中抽出2人，总的抽取方法有121314A A A A A A ，，，1112,A B A B ，23242122A A A A A B A B ，，，,343132414212A A A B A B A B A B B B ，，，，，，共15种，其中恰有1人消费两次的抽取方法有1112,A B A B ，2122A B A B ，，3132A B A B ，，4142A B A B ，，，共8种，所以抽出的2人中恰有1人消费两次的概率为815P =20.(1)证明：分别取,EB EC 的中点,O H ，连接,,AO DH OH ，设1AB AE DE DC ====，则2EB EC ==，,,AB AE BO OE AO BE ==∴⊥ ，又平面ABE ⊥平面BCE ，平面ABE 平面,BCE BE AO =⊂平面ABE ，AO ∴⊥平面BCE ，同理可证DH ⊥平面BCE ，//AO DH ∴，又因为22AO DH ==，所以四边形AOHD 是平行四边形，//AD OH ∴，又AD ⊄Q 平面,BCE OH ⊂平面BCE ，//AD ∴平面BCE ；(2)如图，取BC 的中点为F ，则OF BE ⊥，以点O 为坐标原点，,,OB OF OA 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则2222220,0,,,,,,,0,0222222A B D E ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则2222BA ⎛=-⎝⎭ ，则2222,0,,AE DE ⎛⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面ADE 的一个法向量为(),,n a b c =，则2200022022a c b c ⎧=⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪-=⎪⎩，令1a =，得平面ADE 的一个法向量为()1,1,1n=-，设直线BA 与平面EAD 夹角为θ，则6sin |cos ,|3B BA n BA n A nθ⋅=<>== ，所以直线BA 与平面EAD 夹角的正弦值为6321.(1)在 中，由正弦定理及cos 3sin a C a C b c =-得：()sin cos 3sin sin sin sin A C A C A C C =+-，整理得cos sin 3sin sin A C A C C =，而0πC <<，则cos 31A A =，即π1sin()62A +=，又0πA <<，有ππ7π666A <+<，解得π5π66A +=，所以2π3A =.(2)如图，在ABD △中，由余弦定理得：2222cos AB AD AB AD A BD +-⋅=，即2230AD AD +-=，解得1AD =，因BD 平分ABC ∠，11sin sin 2211sin sin(π)22ABD CBD AB BD ABD AD BD ADBS AB AD BC S CDBC BD CBD CD BD ADB ⋅∠⋅∠====⋅∠⋅-∠ ，即2BC AB CD AD ==，在BDC 中，2222cos 227CD BD BC BDC CD BD CD +-∠=⋅又22227cos cos 27AD BD AB BDC BDA BD AD +-∠=-∠=-=-⋅22727CD =，即23470CD CD --=，而0CD >，解得：73CD =，有103AC AD CD =+=，所以ABC 的面积1110353sin 222323AB AC A S =⋅=⨯⨯⨯.22.(1)在翻折过程中总有平面PBD ⊥平面PAG ，证明：∵点M ，N 分别是边CD ，CB 的中点，又60DAB ∠=︒，∴BD MN ∥，且PMN 是等边三角形，∵G 是MN 的中点，∴MN PG ⊥，∵菱形ABCD 的对角线互相垂直，∴BD AC ⊥，∴MN AC ⊥，∵AC PG G ⋂=，AC ⊂平面PAG ，PG ⊂平面PAG ，∴MN ⊥平面PAG ，∴BD ⊥平面PAG ，∵BD ⊂平面PBD ，∴平面PBD ⊥平面PAG ．(2)要使得四棱锥P MNDB -体积最大，只要点P 到平面MNDB ∴当PG ⊥平面MNDB 时，点P 到平面MNDB 3假设符合题意的点Q 存在．以G 为坐标原点，GA ，GM ，GP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则()33,0,0A ，()0,1,0M ，()0,1,0N -，(3P ，AG PG ⊥，又AG MN ⊥，且MN PG G ⋂=，MN ⊂平面PMN ，PG ⊂平面PMN ，AG ⊥平面PMN ，故平面PMN 的一个法向量为()11,0,0n =u r，设AQ AP λ=（01λ≤≤），∵(33,0,3AP =- ，()333AQ λλ=-，故)()3313λλ-，∴()0,2,0NM =，)()331,1,3QM λλ=- ，平面QMN 的一个法向量为()2222,,n x y z =，则20n NM ⋅= ，20n QM ⋅=，即)222220,33130,y x y z λλ=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩令21z =，所以()220,31y x λλ=⎧⎪⎨=⎪-⎩()()()()211,0,1,0,313131n λλλλ⎛⎫==- ⎪ ⎪--⎝⎭，则平面QMN 的一个法向量()(),0,31n λλ=-，设两平面夹角为θ，则()122110cos 1091n n n n λθλλ⋅==+- 12λ=，故符合题意的点Q 存在且Q 为线段PA 的中点．。
2021-2022学年山东省青岛市莱西市高一下学期期末考试数学试题(解析版)
山东省青岛市莱西市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数13z i =-+，i 为虚数单位，则z 的共轭复数为( ) A ．13i + B ．13i - C ．13i -- D ．3i -〖解 析〗13z i =-+，∴13z i =--．〖答 案〗C2．一支野外科学考察队有男队员56人，女队员42人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体队员中抽出一个容量为28的样本，如果样本按比例分配，那么下面说法正确的为( )A ．男队员应抽取12人B ．男队员应抽取16人C ．女队员应抽取6人D ．女队员应抽取14人〖解 析〗由分层抽样的定义可知，男队员应抽取5628165642⨯=+人，女队员应抽取281612-=人．〖答 案〗B3．若||2a =，(1,1)b =-，a 与b 共线，则向量a 的坐标可能为( )A ．(1,1)a =-B ．(1,1)a =C ．2(,2a = D ．2(,2a =-〖解 析〗设(,)a x y =，||2a =，(1,1)b =-，且a 与b 共线，则2220x y x y ⎧+=⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩或11x y =-⎧⎨=⎩，即(1,1)a =-或(1,1)a =-（舍去）． 〖答 案〗A4．下列命题正确的为( ) A ．两条直线确定一个平面 B ．一条直线和一个点确定一个平面C ．若直线在平面外，则这条直线与这个平面没有公共点D ．若两条直线没有公共点，则这两条直线为平行直线或异面直线〖解 析〗在A 中，由平面基本性质的推论2，3得到：两条相交直线能确定一个平面，两条平行直线能确定一个平面，故A 错误；在B 中，一条直线和这条直线外一个点可以确定一个平面，故B 错误；在C 中，若直线在平面外，包括直线和平面平行和直线和平面相交，若直线和平面相交，则这条直线与这个平面有一个公共点，故C 错误；在D 中，若两条直线没有公共点，则这两条直线为平行直线或异面直线，故D 正确． 〖答 案〗D5．下列说法正确的为( )A ．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件B ．事件A 与事件B 中至少有一个发生的概率一定比A 与B 中恰有一个发生的概率大C ．事件A 与事件B 中同时发生的概率一定比A 与B 中恰有一个发生的概率小D ．设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，则()P AB P =（A ）P +（B ）()P AB -〖解 析〗对A ，互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，故A 错误； 对B ，当事件A 与事件B 为对立事件时，事件A 与事件B 中至少有一个发生的概率和A 与B 中恰有一个发生的概率相等，故B 错误；对C ，当A B =时，事件A 与事件B 中同时发生的概率等于A 与B 中恰有一个发生的概率，故C 错误；对D ，设A ，B 是一个随机试验中的两个事件， 则()P AB P =（A ）P +（B ）()P AB -正确，故D 正确．〖答 案〗D6．要得到()sin(4)3g x x π=+的图象，只需要将22()cos 2sin 2f x x x =-的图象( )A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移24π个单位长度C ．向左平移12π个单位长度D ．向右平移6π个单位长度 〖解 析〗22()cos 2sin 2cos4sin(4)sin 4()sin 4[()]282412f x x x x x x x ππππ=-==+=+=++，又()sin(4)sin 4()312g x x x ππ=+=+，故要得到函数()sin(4)3g x x π=+的图象，只需将函数()sin 4[()]2412f x x ππ=++的图象向右平移24π个单位长度即可． 〖答 案〗B7．为了普及环保知识，某学校随机抽取了30名学生参加环保知识测试，得分（十分制，单位：分）的统计数据如表：设这30名学生得分的中位数为m ，众数为n ，平均数为x ，则下列选项正确的为( ) A ．m n x ==B ．m n x =<C ．m n x <<D ．n m x <<〖解 析〗这30名学生得分的中位数为565.52m +==，众数为5n =， 平均数1(324351066738292102) 5.9630x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 故n m x <<． 〖答 案〗D8．已知球O 是正三棱锥A BCD -（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，3BC =，AB =E 在线段BD 上，且3BD BE =．过点E 作球O 的截面，则所得截面面积的最小值是( ) A ．2πB ．3πC ．4πD ．5π〖解 析〗如图，1O 是A 在底面的射影，由正弦定理得，BCD ∆的外接圆半径131sin602r =⨯=︒；由勾股定理得棱锥的高13AO ==；设球O 的半径为R ，则22(3)R R =-，解得2R =，所以11OO =；在△1BO E 中，由余弦定理得2113211O E =+-⨯=，所以11O E =；所以在1OEO ∆中，OE ；当截面垂直于OE =2π． 〖答 案〗A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．连续抛掷一枚质地均匀的硬币两次，下面说法正确的为( ) A ．两次均正面朝上的概率为12 B ．两次均反面朝上的概率为14C ．两次中，一次正面朝上，另一次反面朝上的概率为14D ．两次中，至少一次正面朝上的概率为34〖解答〗对A ，两次均正面朝上的概率为111224⨯=，故A 错误；对B ，两次均反面朝上的概率为111224⨯=，故B 正确；对C ，两次中，一次正面朝上，另一次反面朝上的概率为1111122222⨯+⨯=，故C 错误；对D ，两次均正面朝上的概率为111224⨯=，故两次中，至少一次正面朝上的概率为13144-=，故D 正确． 〖答 案〗BD10．已知三个不同的平面α，β，γ和三条不同的直线m ，n ，l ，下列命题中为真命题的是( )A ．若//m n ，m α⊥，则n α⊥B ．若//m n ，//m α，则//n αC ．若m αβ=，n α⊂，l β⊂，//n l ，则////m n lD ．若αγ⊥，//αβ，则βγ⊥〖解 析〗选项A ，由线面垂直的性质定理知，若//m n ，m α⊥，则n α⊥，即A 正确； 选项B ，若//m n ，//m α，则//n α或n α⊂，即B 错误； 选项C ，因为l β⊂，//n l ，n β⊂/，所以//n β，又m αβ=，n α⊂，所以//n m ，由平行线的传递性知，////m n l ，即C 正确；选项D ，由面面垂直的性质定理知，若αγ⊥，//αβ，则βγ⊥，即D 正确． 〖答 案〗ACD11．给出以下24个数据：148.0 149.0 154.0 154.0 155.0 155.0 155.2 157.0 158.0 158.0 159.0 159.5 161.5 162.0 162.5 162.5 163.0 163.0 164.0 164.1 165.0 170.0 171.0 172.0 对于以上给出的数据，下列选项正确的为( ) A ．极差为24.0B ．第75百分位数为164.0C ．第25百分位数为155.2D ．80%分位数为164.1〖解 析〗对于A ，由题意可得，极差为17214824-=，故A 正确， 对BCD ，25%246⨯=，75%2418⨯=，80%2419.2⨯=，∴样本数据的第25，75，80百分位数为第6，7为的平均数，第18，19的平均数，第20项数据，即分别为155155.2155.12+=，163164163.52+=，164.1，故BC 错误，D 正确． 〖答 案〗AD12．在ABC ∆中，135BAC ∠=︒，6AB =，AC =D 为BC 边上的一点，且D 到A ，B 距离相等，则下列结论正确的为( )A．sin ABC ∠=B．BD =C ．ABC ∆外接圆的面积为45πD ．18ABC S ∆=〖解 析〗在ABC ∆中，135BAC ∠=︒，6AB =，AC =由余弦定理可得2222cos 90BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=，BC ∴=由正弦定理可得sin sin AC BCABC BAC=∠∠，sin ACin BAC ABC BC ∠∴∠===，由角B为锐角知cos B A 错误； 过点D 作AB 的垂线DE ， 如图，由AD BD =得cos cos DAE B ∠=，132AE AB ==， Rt ADE ∆，3cos cos AE AD DAE B ====∠BD AD ∴==B 正确；由正弦定理可知，ABC ∆外接圆的直径2sin BC R A ==，R = ABC ∴∆外接圆的面积为245S R ππ==，故C 正确；由三角形面积公式可得11sin 6922ABC S AB AC A ∆=⋅⋅=⨯⨯=，故D 错误． 〖答 案〗BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知复数z 满足46z i zi +=+，其中i 为虚数单位，则复数z = ． 〖解 析〗设z a bi =+，a ，b R ∈，46z i zi +=+，46()6a bi i a bi i b ai ∴++=++=-+，即64a bb a =-⎧⎨+=⎩，解得5a =，1b =， 故5z i =+． 〖答 案〗5i +14．已知1sin cos 5αα+=，0απ，则cos 2α= ．〖解 析〗由1sin cos 5αα+=，两边平方得：112sin cos 25αα+=，可得242sin cos 25αα=-，0απ，∴2παπ<，则sin 0α>，cos 0α<，7sin cos 5αα∴-． 解得4sin 5α=，3cos 5α=-，∴cos2α．〖答 15．已知(12,1)a k =-，(3,)b k =-，若a 与b 的夹角为钝角，则实数k 的取值范围为 ． 〖解 析〗由已知条件可得，0a b ⋅<且,a b 不共线， 则3(12)0(12)3a b k k k k ⎧⋅=--<⎪⎨-≠-⎪⎩，解得37k <且1k ≠-，故实数k 的取值范围为(-∞，31)(1,)7--．〖答 案〗(-∞，31)(1,)7--16．（3分）某传媒机构举办闯关答题比赛，比赛分两轮，每轮共有4道题，参赛者必须从前往后逐道题回答．在第一轮中，若中途回答错误，立马淘汰，若四道题全部回答正确，就能获得一枚复活币并进入下一轮答题，这枚复活币在下一轮答题中最多只能使用一次；在第二轮中，若首次遇到某一道题回答错误时，系统会自动使用第一轮获得的一枚复活币复活一次，即视为答对该道题，其后若回答错误，和第一轮一样，立马淘汰；两轮都通过就可以获得优胜者纪念奖章．对于每轮的4道题，若某参赛者从前往后每道题回答正确的概率均依次为910，89，34，13，且每道题回答正确与否不受其它题的影响，则该参赛者能进入第二轮答题的概率为 ；该参赛者能获得优胜者纪念奖章的概率为 ． 〖解 析〗该参赛者能进入第二轮答题的概率为98311109435⨯⨯⨯=； 该参赛者能获得优胜者纪念奖章的概率：198311831913198119832257()510943109431094310943109431800⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=． 〖答 案〗15，2571800四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知复数22(710)(56)z m m m m i =-++-+，i 为虚数单位，m R ∈． （Ⅰ）若z 为纯虚数，求m 的值；（Ⅱ）若在复平面上表示复数z 的点位于第二象限，求m 的取值范围； （Ⅲ）若在复平面上表示复数z 的点位于直线2140x y --=上，求m 的值． 解：(I)z 为纯虚数，∴225607100m m m m ⎧-+≠⎨-+=⎩，解得5m =． (II)在复平面上表示复数z 的点位于第二象限，则225607100m m m m ⎧-+>⎨-+<⎩，解得35m <<，故m 的取值范围为(3,5)．(III)在复平面上表示复数z 的点位于直线2140x y --=上，则222(710)(56)140m m m m -+--+-=，解得0m =或9． 18．（12分）试分别解答下列两个小题：（Ⅰ）已知||6a =，||4b =，(2)(3)480a b a b +⋅-+=，求向量a 与b 的夹角θ； （Ⅱ）已知3sin()cos cos()sin 5βαβαββ---=，α是第三象限角，求3tan(2)4πα+的值． 解：（Ⅰ）由已知，||6a =，||4b =，(2)(3)480a b a b +⋅-+=， 所以22648a b a b --⋅=-，将||6a =，||4b =，代入上式得12a b ⋅=-， 故1cos 2||||a b a b θ⋅==-，[0θ∈，]π，故23πθ=；（Ⅱ）由3sin()cos cos()sin 5βαβαββ---=， 得3sin[()]sin()5βαβα--=-=，故3sin 5α=-，因为α为第三象限角，故4cos 5α=-，所以3tan 4α=，所以22tan 24tan 217tan ααα==-， 所以2413177tan(2)244311(1)7πα-+==-⨯-． 19．（12分）试分别解答下列两个小题：（Ⅰ）一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其它差异．采用不放回方式从中任意摸球两次，每次摸出一个球．设事件A = “第一次摸出球的标号小于3”，事件B = “第二次摸出球的标号小于3”，试判断事件A 与事件B 是否相互独立？请写出判断过程；（Ⅱ）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为1DD 的中点，N 为1CC 的中点，求证：平1//NBD 平面MAC ．(I)解：因为样本空间{(,)|m n m Ω=，{1n ∈，2，3，4}，且}m n ≠， {(1,2)A =，(1.3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)}， {(1,2)B =，(2.1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}，由题意可知，P （A ）P =（B ）61122==，21()126P AB ==， 此时()P AB P ≠（A ）P （B ），因此事件A 与事件B 不相互独立； (II)证明：连接BD 交AC 于O ，连接OM ，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，可知ABCD 是平行四边形， 所以O 是BD 的中点，因为M 为1DD 的中点，所以1//MO D B ， 又MO ⊂平面MAC ，1BD ⊂/平面MAC ，所以1//BD 平面MAC ， 又因为M 为1DD 的中点，N 为1CC 的中点， 所以四边形1MCND 为平行四边形，所以1//ND CM ，又CM ⊂平面MAC ，1ND ⊂/平面MAC ，所以1//ND 平面MAC ， 又111BD ND D =，1BD ，1ND ⊂平面1BND所以平面1//NBD 平面MAC ．20．（12分）为调查禽类某种病菌感染情况，某养殖场每周都定期抽样检测禽类血液中A 指标的值．养殖场将某周的5000只家禽血液样本中A 指标值的检测数据进行整理，发现这些数据均在区间[1，15]内，现将这些数据分成7组：第1组，第2组，第3组，⋯，第7组对应的区间分别为[1，3)，[3，5)，[5，7)，⋯，[13，15]，绘成如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a 的值；（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计这5000只家禽血液样本中A 指标值的中位数和85%分位数（结果保留两位小数）；（Ⅲ）现从第2组A 指标值对应的家禽中抽取4只，分别记为1R ，2R ，3R ，4R ，从第5组A 指标值对应的家禽中抽取3只，分别记为1E ，2E ，3E ，然后将这7只家禽混在一起作为一个新的样本Ω，从Ω中任取2只家禽进行δ指标值的检测，求从Ω中取到的两只家禽的A 指标值的差的绝对值小于2的概率．解：（Ⅰ）由题意可得：2(0.020.060.180.050.030.02)1a ⨯++++++=，则0.14a =； （Ⅱ）由题意，每组的频率依次为：0.04，0.12，0.28，0.36，0.10，0.06，0.04， 0.040.120.280.440.50++=<，0.040.120.280.360.700.50+++=>，∴中位数位于[7，9)内，设为m ，则0.440.18(7)0.50m +⨯-=，7.33m ∴≈，0.040.120.280.360.800.85+++=<，0.040.120280.360.100.900.85++++=>， 85%∴分位数为[9，11)的中点10.00；（Ⅲ）从Ω中任取2只，共2721C =个基本事件，记“从Ω中取到的两只家禽的a 指标值的差的绝对值小于2”为事件B ，则事件B 共9个基本事件，∴从Ω中取到的两只家禽的A 指标值的差的绝对值小于2的概率P （B ）93217==． 21．（12分）如图①，在平行四边形11ABB A 中，160ABB ∠=︒，4AB =，12AA =，C ，1C 分别为AB ，11A B 的中点，现把平行四边形11AA C C 沿1CC 折起如图②所示．在图②中，连接1AB ，11A B ，若1AB =（Ⅰ）求证：平面11AAC C ⊥平面11BB C C ；（Ⅱ）求平面11AA B 与平面11BB C C 所成的锐二面角的大小． （1）证明：取1CC 的中点O ，连接OA ，1OB ，1AC ，在平行四边形11ABB A 中，160ABB ∠=︒，4AB =，12AA =，C 、1C 分别为AB 、11A B 的中点，1ACC ∴∆，△11B CC 为正三角形，则1AO CC ⊥，160ABB ∠=︒，4AB =，12AA =，C 、1C 分别为AB 、11A B 的中点，2AC ∴=，1OA OB ==1AB =22211OA OB AB +=，则三角形1AOB 为直角三角形，则1AO OB ⊥， 又1OB ⊂平面11BB C C ，1CC ⊂平面11BB C C ，11OB CC O =，AO ∴⊥平面11BB C C ，又AO ⊂平面11AA C C ，∴平面11AAC C ⊥平面11BB C C ；(II)解：以O 为原点，以OC ，1OB ，OA 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则(1C ，0，0)，1(0B0)，1(1C -，0，0)，(0A ，0， 则1(2CC =-，0，0)，则11(2AA CC ==-，0，0)，1(0AB =，(1AC =，0，， 设平面11AB A 的一个法向量为(n x =，y ，)z ，则113020n AB y n AA x ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1z =，则1y =，0x =，∴平面11AB A 的一个法向量为(0n =，1，1)，(0OA ∴=，0为平面11BB C C的一个法向量，则cos OA <，3||||3OA n n OA n ⋅>===⋅⨯OA <，45n >=︒，∴平面11AA B 与平面11BB C C 所成的锐二面角的大小45︒．22．（12分）如图所示，某住宅小区一侧有一块三角形空地ABO ，其中3OA km =，OB =，90AOB ∠=︒．物业管理拟在中间开挖一个三角形人工湖OMN ，其中M ，N 都在边AB 上(M ，N 不与A ，B 重合，M 在A ，N 之间），且30MON ∠=︒．（Ⅰ）若M 在距离A 点2km 处，求点M ，N 之间的距离；（Ⅱ）为节省投入资金，三角形人工湖OMN 的面积要尽可能小．试确定M 的位置，使OMN ∆的面积最小，并求出最小面积．解：（Ⅰ）在ABO ∆中，因为3,90OA OB AOB ==∠=︒，所以60OAB ∠=︒，在OAM ∆中，由余弦定理得：2222cos 7OM AO AM AO AM A =+-⋅=，所以OM所以222cos 2OA OM AM AOM AO AM +-∠==⋅， 在OAN ∆中，sin sin()sin(90)cos ONA A AON AOM AOM ∠=∠+∠=∠+︒=∠= 在OMN ∆中，由sin30sin MN OMONA =︒∠，得1724MN ==； （Ⅱ）解法1：设AOM θ∠=，060θ︒<<︒， 在OAM ∆中，由sin sin OM OAOAB OMA=∠∠，得OM =， 在OAN ∆中，由sin sin ON OAOAB ONA=∠∠，得ON =，所以111sin 222OMN S OM ON MON ∆=⋅∠=2716sin(60)cos θθ==+︒=60θ=<<︒．当26090θ+︒=︒，即15θ=︒时，OMNS∆所以应设计15AOM∠=︒，可使OMN∆2.解法2：设AM x=，03x<<．在OAM∆中，由余弦定理得22222cos39OM AO AM AO AM A x x=+-⋅⋅=-+，所以OM222cos2OA OM AMAOMOA OM+-∠==⋅，在OAN∆中，sin sin()ONA A AON∠=∠+∠sin(90)cosAOM AOM=∠+︒=∠=由sin sinON OAOAB ONA=∠∠，得36ONx==-，所以1sin2OMNS OM ON MON∆=⋅⋅∠1122==03x<<，令6x t-=，则6x t=-，36t<<，则：27339)9)4OMNS tt∆=-+⋅=当且仅当27tt=，即t=，6x=-OMNS∆所以M的位置为距离A点6-处，可使OMN∆的面积最小，最小面积是2．。
2021-2022学年辽宁省县级重点高中协作体高一下学期期末考试数学试题(解析版)
辽宁省县级重点高中协作体2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．已知非零向量,a b 满足||2b =，且||a b a ⋅=，则向量a ，b 夹角θ的大小为( ) A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π 〖解 析〗因为||a b a ⋅=，所以||||cos ||a b a θ⋅⋅=，所以11cos 2||b θ==，即3πθ=．〖答 案〗C2．如图，小明从A 地去往B 地，且只沿向右或向上的方向行进．若在某个岔路口有向右或向上的两种选择时，小明选择每一个前进方向的概率均为12，且每次选择相互独立，则小明经过C 地的概率为( )A ．13B ．12C ．23D ．34〖解 析〗由题意小明经过C 地再到达B 的走法有11224C C =种方法， 小明从A 地到达B 的走法有24C 种方法，所以所求概率为4263=． 〖答 案〗C3．已知复数(,)z a bi a b R =+∈满足2(1)z z =⋅+，且a b <，则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限〖解 析〗由题意可知，22()(1)a bi a bi a b i +=-=++-，所以22a a b b ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，解得a =，因为a b <，所以0b <，所以0a <，即复数z 在复平面内对应的点(,)a b 位于第三象限． 〖答 案〗C4．已知α，β，γ是三个不同的平面，l ，m ，n 是三条不同的直线，且l αβ=，m ，n γ⊂．在下列条件中，能推出l γ⊥的是( )A ．n l ⊥，m l ⊥B ．m l ⊥，n α⊥C ．n α⊥，m α⊥D ．m α⊥，n β⊥〖解 析〗当//m n 时（如图所示），由n l ⊥，m l ⊥推不出l γ⊥，即A 错误；同理可知，B ，C 错误；若m α⊥，n β⊥，可知m 与n 交于一点，且n l ⊥，m l ⊥，所以l γ⊥，即D 正确． 〖答 案〗D5．已知α，β均为锐角，且1sin 2sin ,cos cos 2αβαβ==，则sin()(αβ-= )A ．35B ．45C D ．23〖解 析〗因为22221414sin cos sin cos ααββ+=+=，解得sin β=，所以cos β，所以sin αα=，所以3sin()sin cos cos sin 5αβαβαβ-=-=． 〖答 案〗A6．已知函数()|(1)|f x lg x =+，若f （a ）f =（b ）()a b <，则( ) A ．(1)(1)1a b --> B ．(1)(1)1a b --=C ．(1)(1)1a b --<D ．以上选项均有可能〖解 析〗()|(1)|f x lg x =+，f （a ）f =（b ）()a b <，(1)(1)lg a lg b ∴-+=+，且10a b -<<<，即(1)(1)(1)(1)0lg a lg b lg a b +++=++=， (1)(1)1a b ∴++=，即0ab a b ++=，即(1)(1)121a b ab --=+<． 〖答 案〗C7．某圆台的侧面展开图如图所示，其中2,3,63AOC OA OC OB OD π∠=====，则该圆台的体积为( )A B C ．8π D ．7π〖解 析〗设圆台上、下底面的圆心分别为M ，N ，一条母线为EF ， 则3EF AB ==，且AC 的弧长为232,3BD ππ⨯=的弧长为2643ππ⨯=，所以1ME =，2NF =，所以MN ==，所以圆台的体积221121333V ππ=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=．〖答 案〗B8．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且ABC ∆的面积14S abc =．若3C π=，则S 的最大值为( )A ．B C ． D 〖解 析〗11sin 42S abc ab C ==，2sin c C ∴=，3C π=，∴2sin c C ==，由余弦定理，2223c a b ab ab ==+-，当且仅当a b =时，等号成立，故133sin 24S ab C ==，即S ． 〖答 案〗D二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）9．已知复数1z ，2z ，3z 满足1||z ，2||z 均不为0，则下列命题正确的是( )A ．若1323z z z z =，则12z z =B ．对任意给定的1z ，2z ，均有1221z z z z R ⋅+⋅∈C ．若12||||z z =，则1323||||z z z z ⋅=⋅D ．若21z z =，则1323z z z z ⋅=⋅〖解 析〗当30z =时，可知1323z z z z =对任意1z ，2z 均成立，即A 错误，设1z a bi =+，2(z m ni a =+，b ，m ，)n R ∈，则122122z z z z am bn ⋅+⋅=+，即B 正确， 因为1313||||||z z z z ⋅=⋅，2323||||||z z z z ⋅=⋅，且12||||z z =，所以1323||||z z z z ⋅=⋅，即C 正确， 取11z =，31z i =+，可知D 错误． 〖答 案〗BC10．在菱形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，则( ) A ．3()2()AB AD AE AF +=+ B ．2ACBF DE +=C ．0AE AF DE BF ⋅+⋅=D ．AE DE AF BF ⋅=⋅〖解 析〗因为3()2AE AF AB BE AD DF AB AD +=+++=+，所以3()2()AB AD AE AF +=+，即A 正确；因为11()22BF DE BC CF DC CE AB BC AC +=+++=+=，即B 正确；因为11,22AE AB AD AF AD AB =+=+，且||||AB AD =，所以2115()()||224AE AF AB AD AD AB AB AB AD ⋅=+⋅+=+⋅， 因为1111,2222DE DC CB AB AD BF BC CD AD AB =+=-=+=-，且||||AB AD =，所以2115()()||224DE BF AB AD AD AB AB AB AD ⋅=-⋅-=-+⋅， 所以52AE AF DE BF AB AD ⋅+⋅=⋅，即C 错误； 因为2113()()||224AE DE AB AD AB AD AB ⋅=+⋅-=，2113()()||224AF BF AD AB AD AB AB ⋅=+⋅-=， 所以AE DE AF BF ⋅=⋅，即D 正确．〖答 案〗ABD11．已知函数()f x 是偶函数，且在[0，)+∞上单调递增．若A ，B 是ABC ∆的两个内角，且A B >，则下列命题正确的是( ) A ．(sin )(sin )f A f B > B ．(sin )(cos )f A f B < C ．(cos )(sin )f A f B >D ．(cos )(cos )f A f B <〖解 析〗函数()f x 是偶函数，且在[0，)+∞上单调递增，A ，B 是ABC ∆的两个内角， 且A B >， 对于A ，A B >，sin sin 0A B ∴>>，(sin )(sin )f A f B ∴>，故A 正确；对于B ，C ，取,36A B ππ==，可知(sin )(cos )f A f B =，(cos )(sin )f A f B =，故B ，C 错误； 对于D ，若2A π，则0cos cos A B <，(cos )(cos )f A f B ∴<，若2A π>，A B π+<，B A π∴<-，cos cos()cos 0B A A π∴>-=->，(cos )(cos )(cos )f A f A f B ∴=-<，故D 正确．〖答 案〗AD12．如图，在五面体ABC DEF -中，平面ABC 是边长为2的等边三角形，侧面ABED 为正方形，且平面ABED ⊥平面ABC ．已知2FC ≠，设平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角为θ，则( )A ．FC ⊥平面ABCB ．该五面体的体积大于C ．若存在两个不同的点F ，使得tan k θ=，则k ∈D ．若3πθ=，则5FC =〖解 析〗因为//AD BE ，AD ⊂/平面BEFC ，BE ⊂平面BEFC ，所以//AD 平面BEFC ，平面ADFC ⋂平面BEFC FC =，AD ⊂平面ADFC ，所以//AD FC ，又平面ABED ⊥平面ABC ，平面ABED ⋂平面ABC AB =，AD AB ⊥，AD ⊂平面ABED ， 所以AD ⊥平面ABC ，所以FC ⊥平面ABC ，即A 正确；该五面体的体积2123C ABED V V ->=⨯，又当F 与C 无限接近时，该五面体的体积C ABED V -所以该五面体的体积可能小于B 错误；由图可知，当(0,2)FC ∈时，tan k θ=随着FC 的增大而减小，且k ∈， 当(2,)FC ∈+∞时，tan k θ=随着FC 的增大而增大，且(0,)k ∈+∞，所以当k ∈时满足题意，即C 正确； 取DE 的中点M ，过M 作MH FC ⊥，垂足为H ，连接MF ，则FMH θ∠=，若3πθ=，则3FH ==，所以325FC =+=，即D 正确．〖答 案〗ACD三、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．设正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球球心为O ，已知14AA =，且OA AB =，则该正四棱柱外接球的表面积为 ．〖解 析〗正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球球心为O ，在正四棱柱的中心， 如图，即体对角线1AC 的中点为O ，连接11A C ，设半径OA R =，则OA AB R ==，12AC R =，因为正四棱柱，所以1111A B B C R ==，则11A C =，在直角三角形11AA C 中有，2221111AA AC AC +=，故2224)(2)R +=，解得R =所以外接球表面积2432S R ππ==． 〖答 案〗32π14．已知向量,a b 满足||2||,1a b a b =⋅=-，则||a b +的最小值为 ． 〖解 析〗设向量,a b 的夹角为θ．则2||||cos 2||cos 1a b a b b θθ⋅=⋅⋅=⋅=-． 故211||2cos 2b θ-=．由22221||||||25||22a b a b a b b +=++⋅=-，得||a b +．〖答15．已知函数25()sin([0,])4f x x =∈，设方程()(01)f x m m =<<的根从小到大依次为1x ，2x ，3x ，且2132x x x =，则m = ．〖解 析〗3ππ=+=，13-，23x =+-2132x x x =34，所以3sin 4m π==．〖答 16．某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）．如图，已知锐角ABC ∆外接圆的半径为2，且三条圆弧沿ABC ∆三边翻折后交于点P ．若3AB =，则sin PAC ∠= ；若::6:5:4AC AB BC =，则PA PB PC ++的值为 ．〖解 析〗设外接圆半径为R ，则2R =，由正弦定理，可知324sin sin AB R ACB ACB===∠∠，即3sin 4ACB ∠=，又由题意可知，2PAC ACB π∠=-∠，所以3cos 4PAC ∠=，所以sin PAC ∠设CAB θ∠=，CBA α∠=，ACB β∠=，则,,222PAC PBA PAB πππβθα∠=-∠=-∠=-，易知222222222654345614659cos ,cos ,cos 2654245824616θαβ+-+-+-======⨯⨯⨯⨯⨯⨯，由题意可得APC ABC π∠=-∠， 所以24sin sin sin()sin()22PCPAAC ACR APC ABCππβθ=====∠∠--，同理可得24sin sin sin()2PBAB ABR APB ACBπα====∠∠-，所以234(cos cos cos )4PA PB PC θαβ++=++=． 〖答；234四、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知复数z 满足2240z z -+=，虚数1z 满足2110(,)z az b a b R ++=∈． （1）求||z ； （2）若11z zz z z z+=+，求a 的值． 解：（1）由复数z 满足2240z z -+=，得1z ==，∴||2z ；（2）由（1）可知，11z z +==，1==-，又11z z a +=-，所以1a =．18．（12分）已知向量2(3,),(sin cos ,1)a sin x b x x ==-，函数1()2f x a b =⋅+． （1）求()f x 的单调增区间；（2）设(0,)6πα∈，若4()25f α=，求()f α的值．解：（1）由题意可知：2(3,sin ),(sin cos ,1)a x b x x ==-，故得到：2111()3sin cos sin 2cos2sin(2)2226f x a b x x x x x x π=⋅+=-+=+=+． 再令222()262k x k k Z πππππ-++∈．得到()36k x k k Z ππππ-+∈，所以单调增区间为[,]()36k k k Z ππππ-+∈．（2）由第一问可知：()sin(2)6f x x π=+．则4()sin()265f απα=+=．又由于(0,)6πα∈，故(,)663πππα+∈．得到cos()06πα+>，得到3cos()65πα+==，故2247sin(2)2sin()cos(),cos(2)2()1366253625cos πππππααααα+=++=+=+-=-，解得()sin(2)sin(2)sin(2)cos cos(2)sin 6363636f πππππππααααα=+=+-=+⋅-+⋅，所以得到：2471()25252f α=⨯=． 19．（12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 为菱形，且,3BAD Pπ∠=为棱1CC 上的一个动点．已知2AB =，14AA =．（1）当P 点为1CC 的中点时，证明：1//AC 平面BDP ； （2）若平面1A BD ⊥平面BDP ，求CP 的长． （1）证明：连接AC ，交BD 于点O ，连接OP ， 在菱形ABCD 中，O 为AC 的中点， 又P 点为1CC 的中点，所以1//OP AC ，因为OP ⊂平面BDP ，1AC ⊂/平面BDP ，所以1//AC 平面BDP ；（2）解：连接1OA ，在直三棱柱中，1AA ⊥平面ABCD ，又AB ，AD ⊂平面ABCD ， 所以1AA AB ⊥，1AA AD ⊥，由勾股定理可知，11A B A D ==在菱形ABCD 中，O 为BD 中点，且3BAD π∠=，所以1OA BD ⊥，且AC =因为平面1A BD ⊥平面BDP ，平面1A BD ⋂平面BDP BD =，1OA ⊂平面1A BD ， 所以1OA ⊥平面PBD ，因为OP ⊂平面PBD ，所以1OA OP ⊥， 由于1A ，A ，C ，P 共面，则12AOA POC π∠+∠=，而112AOA AAO π∠+∠=，故1POC AAO ∠=∠，故Rt △1~Rt OCP A AO ∆，所以1AA OCAO CP=，因为14,AA AO CO ===，所以34CP =． 20．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，已知23()a b c =+． （1）若3A π=，求ABC ∆周长的最大值；（2）若3b =，证明：2A B =． （1）解：因为3A π=，且23()a b c =+，由余弦定理可知，2223()a b c b c bc =+=+-，所以223()3()3()4b c b c bcb c +-+=+，当且仅当b c =时，等号成立， 所以12b c +，所以)6a =，即ABC ∆周长的最大值为12618+=； （2）证明：法一：因为23()a b c =+，且3b =，所以22a b bc =+， 由余弦定理可知，2222cos b bc b c bc A +=+-，所以2cos b c b A =-，由正弦定理可知，sin sin 2sin cos B C B A =-，因为A B C π++=，所以sin sin()sin cos sin cos C A B A B B A =+=+， 所以sin sin cos sin cos sin()B A B B A A B =-=-，又因为B A B A π+-=≠，所以B A B =-，即2A B =．法二：因为23()a b c =+，且3b =，所以2293,33a a c c =++=． 由余弦定理得22299393cos 2226a c c c c a B ac ac a +-++-+====， 即6cos a B =．由正弦定理得sin 6cos sin sin sin 23a B B B A Bb ===． 所以2A B =，或2A B π+=．若2A B π+=，则B C =，ABC ∆是以BC 为斜边的等腰直角三角形，2A B =．即2A B =成立．21．（12分）如图，在ABC ∆中，D ，E 分别是BC ，AB 上的点，且2,32,,BD DC AE EB AD CE ==交于点O ．（1）若AC xAD yCE =+，求x ，y 的值；（2）若AB ，证明：150AB AC AD CE ⋅+⋅=．（1）解：因为2,32BD DC AE EB ==， 所以22,35BD BC AE AB ==， 所以2212()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+， 且25CE AE AC AB AC =-=-， 所以553222AB AD AC AC CE =-=+，整理得2539AC AD CE =-， 所以25,39x y ==-． （2）证明：由（1）可知，1233AD AB AC =+，且25CE AB AC =-， 所以22122221()()||||33515315AD CE AB AC AB AC AB AC AB AC ⋅=+⋅-=--⋅，所以2222152||10||2||10||AB AC AD CE AB AC AB AC AB AC AB AC ⋅+⋅=⋅+--⋅=-，因为AB =，所以22152||10||0AB AC AD CE AB AC ⋅+⋅=-=．22．（12分）如图，在等腰直角三角形ABC 中，4AC BC ==，D 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且DE AB ⊥．将ADE ∆沿着DE 折起，形成四棱锥P BCDE -，其中A 点对应的点为P ．（1）在线段PB 上是否存在一点F ，使得//CF 平面PDE ？若存在，指出PF PB 的值，并证明；若不存在，说明理由；（2）设平面PBE 与平面PCD 的交线为l ，若二面角D l E --的大小为3π，求四棱锥P BCDE -的体积．（1）证明：当13PF PB =时，//CF 平面PDE ，证明如下： 过点C 作CH ED ⊥，垂足为H ，在PE 上取一点M ，使得13PM PE =，连接HM ，FM ， 因为11,33PM PE PF PB ==，所以//FM EB 且FM EB =， 因为D 是AC 的中点，且DE AB ⊥，所以1//3CH EB 且13CH EB =， 所以//CH FM 且CH FM =，所以四边形CFMH 是平行四边形，即//CF HM ， 又因为CF ⊂/平面PDE ，HM ⊂平面PDE ，所以//CF 平面PDE ；（2）解：延长CD ，BE 交于点A ，连接PA ，作PA 的中点T ，连接TD ，TE ，易知平面PBE 与平面PCD 的交线l 即为PA ， 因为PE AE =，PD AD =，T 为PA 的中点， 所以PA TE ⊥，PA TD ⊥，所以ETD ∠即为二面角D l E --的平面角， 因为DE AE ⊥，DE PE ⊥，AEPE E =，且AE ，PE ⊂平面APE ， 所以DE ⊥平面APE ，因为DE ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面PAB ， 因为TE ⊂平面APE ，所以DE TE ⊥，因为3DTE π∠=，且易知EA EP ED ===TE ==所以cos TE TEA AE ∠==，则sin TEA ∠=，所以sin sin 22PEA TEA ∠=∠=所以四棱锥P BCDE -的高4sin 33h PE PEA =⋅∠==，又四边形BCDE 的面积22114722S =⨯-⨯=， 所以四棱锥P BCDE -的体积14287339V =⨯⨯=．。
天津市部分区2021-2022高一数学下学期期末考试试题(含解析)
天津市部分区2021~2021度第二学期期末考试高一数学一、选择题1.下列命题正确的是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 一条直线和一个点确定一个平面 C. 梯形可确定一个平面 D. 圆心和圆上两点确定一个平面【答案】C 【解析】 【分析】根据公理2对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A 选项，三个不在同一条直线上的点，确定一个平面，故A 选项错误. 对于B 选项，直线和直线外一点，确定一个平面，故B 选项错误.对于C 选项，两条平行直线确定一个平面，梯形有一组对边平行，另一组对边不平行，故梯形可确定一个平面，所以C 选项正确.对于D 选项，圆的直径不能确定一个平面，所以若圆心和圆上的两点在直径上，则无法确定一个平面.所以D 选项错误. 故选：C【点睛】本小题主要考查公理2的理解和运用，属于基础题. 2.复数42z i =-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】求得z 对应的坐标，由此得出正确选项.【详解】复数42z i =-对应的坐标为()4,2-，在第四象限. 故选：D【点睛】本小题主要考查复数对应点所在象限的判断，属于基础题.3.用斜二测画法画边长为2的正方形ABCD 的直观图时，以射线AB ，AD 分别为x 轴、y 轴的正半轴建立直角坐标系，在相应的斜角坐标系中得到直观图A B C D''''，则该直观图的面积为（）B.2C.2D.2【答案】A【解析】【分析】根据原图和直观图面积关系，求得题目所求直观图的面积.【详解】设原图的面积为S，直观图的面积为'S，则''4S S S=⇒=.正方形ABCD的面积为224S=⨯=，所以其直观图的面积为'4S===故选：A【点睛】本小题主要考查斜二测画法有关的面积计算，属于基础题.4.一个袋子中装有大小和质地相同的3个红球和2个白球，若从中任取2个球，则这2个球中红球和白球各有1个的概率为（）A.45B.35C.25D.15【答案】B【解析】【分析】利用古典概型概率计算公式，求得所求的概率.【详解】依题意，这2个球中红球和白球各有1个概率为11322563105C CC==.故选:B【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，属于基础题.5.已知5a=，4b=，且10a b⋅=-，则向量a与b的夹角为（）A.6πB.3πC.23πD.56π【答案】C【解析】【分析】利用向量夹角公式求得向量a 与b 的夹角的余弦值，由此求得向量a 与b 的夹角. 【详解】设向量a 与b 的夹角为θ，则101cos 542a b a bθ⋅-===-⨯⋅，由于[]0,θπ∈，所以23πθ=. 故选：C 【点睛】本小题主要考查向量夹角公式，属于基础题.6.在ABC中，已知AC =3AB =，30A =︒，则BC =（ ）A. 4B. 2C. 3【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理求得BC 的值. 【详解】依题意BC==故选：D【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，属于基础题. 7.已知向量()1,2a=-，则与a平行的单位向量的坐标为（ ）A.⎛⎝⎭B. ⎛ ⎝⎭或⎝⎭C. ⎝⎭D. ⎝⎭或⎛ ⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】由单位向量的定义，计算a a±，即得．【详解】由已知21(a =+=，所以与a平行的单位向量为aa=或5(,55a a-=-． 故选：D ．【点睛】本题考查单位向量的概念，解题时要注意与与a 平行的单位向量有两个，一个与a 同向，一个与a 反向．8.四名同学各掷一枚骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数.根据下面四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ） （注：一组数据12,,...,n x x x 的平均数为x ，它的方差为()()()2222121...n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦） A. 平均数为2，方差为2.4 B. 中位数为3，众数为2 C. 平均数为3，中位数为2 D. 中位数为3，方差为2.8【答案】A 【解析】 【分析】假设出现6点，根据均值估计方差的大小，错误的可举反例说明． 【详解】若平均数2，若出现6点，则方差221(62) 3.25s >-=，不可能是2.4，因此A 中一定不会出现6点， 其它选项可各举一反例：如2,2,3,4,6，中位数是3，众数是2；如2,2,2,3,6，平均数为3，中位数为2； 如1,2,3,3,6，中位数为3，方差为2.8． 故选：A ．【点睛】本题考查样本数据特征，掌握均值，方差，中位数，众数等概念是解题基础．属于基础题．9.棱长为2的正方体的顶点都在一个球的球面上，则该球的体积为（ ）（注：球的体积343V R π=，其中R 为球的半径）B.3C. D.【答案】C 【解析】 【分析】利用正方体的体对角线计算出球的直径，由此得到半径，进而求得球的体积.【详解】=设球的半径为R ，则2R R ==所以球的体积为334433R ππ⨯=⨯=.故选：C【点睛】本小题主要考查几何体外接球有关计算，属于基础题.10.已知ABC 的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .向量(),m a b c =+，()3sin cos ,1n C C =+-，若m n ⊥，则A =（ ）A.6πB.3π C.23π D.56π 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量垂直的坐标表示列方程，结合正弦定理进行化简，由此求得sin 6A π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，进而求得A 的大小.【详解】由于m n ⊥，所以0m n ⋅=sin cos 0C a C b c +--=，由正弦定理得sin sin cos sin sin 0A C A C B C +--=，()sin sin cos sin sin 0A C A C A C C +-+-=，sin sin cos sin cos cos sin sin 0A C A C A C A C C +---=sin cos sin sin 0A C A C C --=，由于0C π<<，所以sin 0C >，cos 10A A ，12sin 1sin 662A A ππ⎛⎫⎛⎫-=⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于50,666A A ππππ<<-<-<， 所以,663A A πππ-==.故选：B【点睛】本小题主要考查向量垂直的坐标表示，考查正弦定理，考查两角和与差的正弦公式、辅助角公式，属于中档题. 二、填空题11.已知甲、乙两名射击运动员射击中靶的概率分别为0.7和0.8，且甲、乙两人射击的结果互不影响.若甲、乙两人各射击一次，则两人都中靶的概率为_______. 【答案】0.56 【解析】 【分析】利用相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.【详解】根据相互独立事件概率计算公式可知，两人都中靶的概率为0.70.80.56⨯=. 故答案为：0.56【点睛】本小题主要考查相互独立事件概率计算，属于基础题. 12.已知四面体各棱的长均为1，则这个四面体的表面积为_______.【解析】 【分析】四个面均为正三角形，计算出三角形面积后可得四面体的表面积．【详解】由题意四面体的表面积为2141sin 602S =⨯⨯⨯︒=【点睛】本题考查正四面体的表面积，掌握表面积的概念是解题基础．本题属于基础题．13.已知1e ，2e 是两个不共线的向量，122a e e =+，122b e ke =-.若a 与b 是共线向量，则实数k 的值为______. 【答案】4- 【解析】 【分析】根据向量共线定理求解．【详解】∵a 与b 是共线向量，∴存在实数m ，使得b ma =，即121222()e ke m e e +-=，∴22m k m =⎧⎨-=⎩，解得4k =-．故答案为：－4．【点睛】本题考查平面向量共线定理，属于基础题．14.在正方体1111D ABC A B C D -中，对角线1AC 与底面ABCD 所成角的正弦值为____________. 【答案】33【解析】分析：根据直线和平面所成角的定义即可得到结论． 详解：连结AC ，则AC 是A 1C 在平面ABCD 上射影，则∠A 1CA 即为直线A 1C 与平面ABCD 所成角正弦值， 设正方体的棱长为1， 则，则，点晴：本题需要先找出线面角所成角的平面角，然后放在三角形中进行解决即可15.已知ABC 中，D 为边BC 上的点，且2BD DC =，若(),AD mAB nAC m n R =+∈，则m n -=______. 【答案】13【解析】 【分析】以,AB AC 为基底表示出AD ，由此求得,m n ，进而求得m n -. 【详解】依题意()11213333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+， 所以211,,333m n m n ==-=. 故答案为：13【点睛】本小题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题. 三、解答题16.已知i 是虚数单位，131iz i-=+.（Ⅰ）求1z ；（Ⅱ）若复数2z 的虚部为2，且12z z 的虚部为0，求2z .【答案】（Ⅱ）242z i =-+. 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用复数的四则运算求出1z 后可求其模.（Ⅱ）设()22z a i a R =+∈，利用复数的乘法计算出12z z 后再根据虚部为0求出a ，从而可得2z .【详解】解：（Ⅰ）()()()()131********i i i iz i i i i -+-+====+--+，所以1z ==，（Ⅱ）设()22z a i a R =+∈，则()()()()1222224z z i a i a a i =++=-++， 因为12z z 的虚部为0，所以，40a +=，即4a =-.所以242z i =-+.【点睛】本题考查复数的乘法和除法，前者运算时注意分子分母同乘以分母的共轭复数，另外，对于含参数的复数问题，我们常通过将复数设成(),a bi a b R +∈的形式将问题转化为实数问题.17.从某校高一年级学生中随机抽取了20名学生，将他们的数学检测成绩（分）分成六段（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）：[)40,50，[)50,60，...，[]90,100后，得到如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）求图中实数a 的值；（Ⅱ）若该校高一年级共有学生600名，试根据以上数据，估计该校高一年级数学检测成绩不低于80分的人数.【答案】（Ⅰ）0.03a =；（Ⅱ）210. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由等比数列性质及频率分布直方图，列出方程，能求出a ． （Ⅱ）利用频率分布直方图能求出成绩不低于80分的人数． 【详解】解：（Ⅰ）因为图中所有小矩形的面积之和等于1， 所以()100.0050.010.020.0250.011a ⨯+++++=， 解得0.03a =.（Ⅱ）根据频率分布直方图，成绩不低于80分的频率为()100.0250.010.35⨯+=.由于该校高一年级共有学生600名，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学检测成绩不低于80分的人数为6000.35210⨯=.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查频率分布直方图，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题．18.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知7a =，5b =，8c =. （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）求角B 的正弦值.【答案】（Ⅰ）3A π=；. 【解析】【分析】 （Ⅰ）用余弦定理计算出cos A 后可得A ；（Ⅱ）用正弦定理计算sin B ．【详解】解：（Ⅰ）由三角形的余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222758258cos A =+-⨯⨯. 所以，1cos 2A =. 因为0a π<<. 所以3A π=. （Ⅱ）由三角形的正弦定理sin sin a b A B=， 得sin sin b A B a=. 527==所以内角B的正弦值为14. 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，掌握正弦定理和余弦定理是解题关键，本题属于基础题．19.己知某区甲、乙、丙三所学校的教师志愿者人数分别为240，160，80.为助力疫情防控，现采用分层抽样的方法，从这三所学校的教师志愿者中抽取6名教师，参与“抗击疫情·你我同行”下卡口执勤值守专项行动.（Ⅰ）求应从甲、乙、丙三所学校的教师志愿者中分别抽取的人数；（Ⅱ）设抽出的6名教师志愿者分别记为A ，B ，C ，D ，E ，F ，现从中随机抽取2名教师志愿者承担测试体温工作.（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii ）设M 为事件“抽取的2名教师志愿者来自同一所学校”，求事件M 发生的概率.【答案】（Ⅰ）3人，2人，1人；（Ⅱ）（i ）{},A B ，{},A C ，{},A D ，{},A E ，{},A F ，{},B C ，{},B D ，{},B E ，{},B F ，{},C D ，{},C E ，{},C F ，{},D E ，{},D F ，{},E F ；（ⅱ）415【解析】【分析】（Ⅰ）按照分层抽样规则计算可得；（Ⅱ）（i ）将所有可能结果一一列举，做到不重复不遗漏；（ii ）根据古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三所学校的教师志愿者人数之比为3:2:1由于采用分层抽样的方法从中抽取6名教师，因此应从甲、乙、丙三所学校的教师志愿者中分别抽取3人，2人，1人.（Ⅱ）（ⅰ）从抽出的 名教师中随机抽取2名教师的所有可能结果为{},A B ，{},A C ，{},A D ，{},A E ，{},A F ，{},B C ，{},B D ，{},B E ，{},B F ，{},C D ，{},C E ，{},C F ，{},D E ，{},D F ，{},E F ，共15种.（ⅱ）由（Ⅰ），不妨设抽出的6名教师中，来自甲学校的是A ，B ，C ，来自乙学校的是D ，E ，来自丙学校的是F ，则从抽出的6名教师中随机抽取的2名教师来自同一学校的所有可能结果为{},A B ，{},A C ，{},B C ，{},D E ，共4种.所以，事件M 发生的概率()415P M =. 【点睛】本题考查分层抽样及古典概型的概率计算，属于基础题.20.如图，在三棱锥P ABC -中，点M ，N 分别是棱AB ，AC 的中点，且PA PC =，PN AB ⊥.（Ⅰ）求证：//MN 平面PBC ；（Ⅱ）求证：PN BC ⊥.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.【解析】【分析】（I ）通过证明//MN BC ，证得//MN 平面PBC .（II ）通过证明PN AC ⊥，结合PN AB ⊥证得PN 平面ABC ，由此证得PN BC ⊥.【详解】（Ⅰ）证明：因为在ABC 中，点M ，N 分别是AB ，AC ，所以//MN BC ，又因为MN ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//MN 平面PBC .（Ⅱ）因为点N 是AC 的中点，且PA PC =，所以PN AC ⊥，又因为PN AB ⊥，AB 平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，ABAC A =， 故PN 平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ，所以PN BC ⊥.【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查线线垂直的证明，属于中档题.。
2021-2022学年辽宁省五校联考高一下学期期末数学试题【含答案】
2021-2022学年辽宁省五校联考高一下学期期末数学试题一、单选题1．坐标平面内点的坐标为，则点位于第（ ）象限.P ()sin 5,cos5P A ．一B ．二C ．三D ．四B【分析】利用角的范围，得出三角函数值的正负，判断出点所在的象限．P 【详解】，，32π2π5<< sin 50,cos50∴<>则点位于第二象限，P 故选：B2．复数，则（）z=z =A B CDA【分析】化简复数，再由复数的模长公式即可得出答案.z 【详解】,z===所以.z ===故选：A.3．已知非零平面向量、，“”是“”的（ ）条件.a b 0a b ⋅= a b ⊥A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要C【分析】对于平面向量垂直的数量积表示判断可得出结论.【详解】对于非零平面向量、，.a b 0a b a b ⋅=⇔⊥因此，“”是“”的充要条件.0a b ⋅= a b ⊥ 故选：C.4．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l 与太阳天顶距（）的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据θ0180θ︒≤≤︒三角学知识可知，晷影长l 等于表高h 与太阳天顶距正切值的乘积，即.对同θtan l h θ=一“表高”两次测量，第一次和第二次的天顶距分别为和，若第一次“晷影长”是“表αβ高”的3倍，且，则第二次“晷影长”是“表高”的（ ）倍()1tan 5αβ-=A ．B ．C ．D ．73744334B【分析】由题意可得，，再根据结合两tan 3α=1tan()5αβ-=[]tan tan ()βααβ=--角差的正切公式即可得解.【详解】由题意可得，，tan 3α=1tan()5αβ-=所以，[]13tan tan()7tan tan ()11tan tan()41553ααββααβααβ---=--===+-+⨯即第二次的“晷影长”是“表高”的倍.74故选：B 5．甲烷的分子结构中，相邻碳氢键的夹角都相等，设这个角为，则4CH θ（ ）cos θ=A ．0B ．C ．D ．14-13-12-C【分析】依题意构造正四面体模型，将其补成正方体，设出棱长，利用余弦定理即可求得答案.【详解】由题意甲烷的分子结构中，C 原子和四个H 原子构成了一个正四面体，4CH 其中C 原子位于正四面体的外接球球心O 位置，四个H 原子位于顶点，将该正四面体补成正方体，如图示：正四面体的四个顶点为H 原子位置，11A BC D -设正方体棱长为2，则正四面体棱长为,1A B =1112OA OB A C ===故，11cos 3A OB ∠==-即甲烷的分子结构中，相邻碳氢键的夹角都相等，设这个角为，则，4CH θ1cos 3θ=-故选：C6．空间中，对于平面､和直线a ､b ､c ，下列说法正确的是（ ）αβA ．，，，则a 与b 不可能平行⋂=c αβa α⊂b β⊂B ．，，则αβ⊥c α⊥c β∥C ．，，，则a 与b 一定是异面直线αβ∥a α⊂b β⊂D ．，，，则⋂=c αβa α∥a β∥a c ∥D【分析】根据线面平行与垂直的判定与性质定理，对各选项逐一分析即可得答案.【详解】解：对A ：，，，若，，则，故选项A 错⋂=c αβa α⊂b β⊂//a c //b c //a b 误；对B ：，，则或，故选项B 错误；αβ⊥c α⊥c β∥c β⊂对C ：，，，则a 与b 是异面直线或平行直线，故选项C 错误；αβ∥a α⊂b β⊂对D ：，，，则由线面平行的判定与性质定理可得，故选⋂=c αβa α∥a β∥a c ∥项D 正确.故选：D.7．边长为3的等边三角形中，点D 在边AB 上，点E 在边AC 上，DE 将ABC 的面积分为相等的两部分，若，此时（ ）ABC 2AD =DE =ABC ．2DB【分析】由题意，，进而可得，从而在中，利用12ADE ABC S S =⨯=94AE =ADE 余弦定理即可求解的长.DE 【详解】解：因为等边三角形的边长为3，所以ABC 23ABC S ==△因为DE 将的面积分为相等的两部分，，ABC 2AD =所以，解得，111sin 22322ADE S AD AE AE π=⋅⋅=⨯⨯= 94AE =在中，由余弦定理可得，ADE 2229917322244216DE ⎛⎫=+-⨯⨯⨯=⎪⎝⎭所以DE =故选：B.8．在直角中，，D 为AB 的中点，，E 在边AB 上，且满足：ABC 90C =︒8AB =，则的最大值是（ ）4CE CD ⋅= CEA ．BC ．DA【分析】以D 为原点建立坐标系，由得，对化简得4CE CD ⋅=cos 3t θ=CE CE求解即可.=44t -≤≤【详解】以D 为原点建立如图坐标系，则，()()()4,0400,0A B D -、，、设其中，，()()4cos ,4sin ,0C E t θθ、0θπ<<44t -≤≤，，()4cos ,4sin CE t θθ=--()4cos ,4sin CD θθ=--所以()()4cos ,4sin 4cos ,4sin CE CD t θθθθ=----224cos 16cos 16sin t θθθ=-++，由题知，4cos 16t θ=-+4CE CD ⋅=所以，所以，4cos 164t θ-+=cos 3t θ=，=44t -≤≤所以当时，取得最大值4t =±CE故选：A.二、多选题9．函数定义域为，且在上是增函数，则()sin cos f x x x=-[](),0m m m ->[],m m -（ ）A ．m 不存在最小值B ．m 的最大值是34πC ．恒成立D ．恒成立()0f x ≤()0f x ≥AC【分析】将化为，结合正弦函数的性质可得()sin cos f x x x =-π()4f x x =-，求得m 的范围，可判断A,B;由m 的范围确定ππ,[,]22ππ44m m ⎡⎤---⊆-⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数性质即可判断C,D.πππ0424,m m ---≥-≤【详解】由题意，，()πsin cos )4f x x x x =-=-由于函数定义域为，且在上是增函数，()sin cos f x x x=-[](),0m m m ->[],m m -故，则，故，故A 正确， B 错误；ππ,[,]22ππ44m m ⎡⎤---⊆-⎢⎥⎣⎦ππ42ππ42m m ⎧--≥-⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩π04m <≤由题意可得，由可知，,πππ444m m x ⎡⎤---⎢⎥⎣-⎦∈π04m <≤πππ0424,m m ---≥-≤故恒成立，故C 正确，D 错误，()0f x ≤故选：AC10．如图，正四棱柱，，，E 为BC 中点，1111ABCD A B C D -2AB =13AA =，则（ ）12CF FC =A ．EF 和是异面直线1ADB ．到平面AEF 的距离小于到平面AEF 的距离1A 1B C ．AEF 截正四棱柱的截面图形是四边形D ．AEF 截正四棱柱的截面图形是五边形ABD【分析】根据异面直线的定义判断A;作辅助线，利用点到平面的距离的概念判断B;作出平面AEF 截正四棱柱的截面图形即可判断C,D.【详解】如图，连接,设M 为AD 中点，N 为上的点，且,1AD 1DD 12DN ND =连接ME,NF ,则,,,,ME CD NF CD ME CD NF CD ==∥∥故 ，则四边形MEFN 为平行四边形，故,.ME NF ME NF =∥EF MN ∥由于M 为AD 中点，，故必相交不平行，即必不平行，12DN ND =1,MN AD 1AD EF ，而EF 和分别在两平行的平面和平面内，EF 和必无公共点，1AD 11BCC B 11ADD A 1AD 则EF 和一定异面，故A 正确；1AD设K 为的中点，连接,则 ,则到平面AEF 的距离相等，11B C 1A K 1A K AE ∥1A K ，如图，显然K 到平面AEF 的距离小于到平面AEF 的距离，1B 即到平面AEF 的距离小于到平面AEF 的距离，故B 正确；1A 1B 连接AE 并延长交DC 的延长线与于T ，延长到P ，使得,1DD 11D P D N =则，由于M 为AD 中点，连接AP PN DN =故，即,MN AP ∥EF AP ∥设AP 交于H ，连接TP,交于G ，F11A D 111D C CC ，连接 ,即得平面AEF 截正四棱柱的截面图形是五边形AEFGH ,,AE FG GH 故C 错误，D 正确，故选：ABD11．下列关于平面向量的说法错误的是（ ）A ．，且，则与一定共线0b ≠ ()()a b c b c a ⋅=⋅⋅⋅ a c B ．，且，则0b ≠ a b c b ⋅=⋅a c= C ．，且，，则0b ≠ a b c b ⋅=⋅ 0a c >> ,,a b c b> D ．，且，，则0b ≠ //a b //c b //a cBC【分析】利用共线向量的定义可判断AD 选项；利用向量垂直关系的数量积表示可判断BC 选项.【详解】对于A 选项，若、中至少有一个零向量时，，a c//a c 若、均为非零向量，当时，则，则，a c ab ⊥ ()()0a b c a c b⋅⋅==⋅⋅ 0b c ⋅= 可得，此时，b c ⊥ //a c若与不垂直，设，则，可设，a b()0a b λλ⋅=≠ 0b c ⋅≠ c b μ⋅= 由可得，可得，此时，()()a bc b c a ⋅=⋅⋅⋅c a λμ= c a μλ=//a c 综上所述，，A 对；//a c 对于B 选项，因为，，则，则或当时，0b ≠ a b c b ⋅=⋅ ()0b a c ⋅-= a c = a c ≠ ，B 错；()b a c⊥-对于C 选项，由已知、、均为非零向量，不妨取，a b c 0a b c b ⋅=⋅=则，，此时，C 错；a b ⊥ b c ⊥ ,,a b c b =对于D 选项，因为，且，，则，D 对.0b ≠ //a b //c b //a c故选：BC.12．下列等式正确的是（ ）A ．B ．1sin 54sin184︒︒=4sin 535︒=C ．D ．22cos 15sin 15︒-︒=223sin 55sin 65sin 55sin 654︒+︒-︒︒=ACD【分析】利用二倍角的正弦公式判断A ；特殊角判断B ；利用二倍角的余弦公式判断C ；利用两角和的正弦公式和诱导公式可判断D.【详解】对于A ，，cos36sin182cos18cos36sin 36sin 721sin 54sin182cos182cos184cos184︒︒⋅︒︒︒︒︒︒====︒︒︒所以A 正确；对于B ，，所以B 不正确；sin 5345︒≈对于C ，C 正确；22cos 15sin 15cos30︒-︒=︒=对于D ，()222sin 55sin 115sin 55sin115sin 55sin115sin 55sin115︒+︒-︒︒=︒-︒+︒︒()()sin 55sin 5560sin 55sin 5560⎡⎤=︒-︒+︒+︒︒+︒⎣⎦()()2sin 55sin 55cos 60cos55sin 60sin 55sin 55cos 60cos55sin 60=︒-︒︒-︒︒+︒︒︒+︒︒222131sin 55cos 5555cos5555cos55sin 55442=︒+︒︒︒︒︒+︒，所以D 正确.22333sin 55cos 55444=︒+︒=故选：ACD.三、填空题13．的最小正周期为___________.()23sin 23x f x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭4π【分析】利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期.()f x【详解】由题意可知，函数的最小正周期为.()f x 2412T ππ==故答案为.4π14．，，，则实数a ､b ､c 的大小关系是___________（用“<”表示）sin5a π=5b π=0.5c =c a b <<b a c>>【分析】令，求导得出单调性可知，所以，()sin 0y x x x =->()sin 0x x x >>sin55ππ>又因为，即可得出答案.sinsin0.556a cππ=>==【详解】令，所以，()sin 0y x x x =->()1cos 00y x x =-≥>'所以在上单调递增，则，所以，sin y x x =-()0,∞+0y >()sin 0x x x >>所以，所以，sin55ππ>b a >又因为，即.sinsin0.556a cππ=>==c a b <<故c a b <<15．复数z 满足：，则的最小值为___________.1i 1z -+=z1【分析】设复数，由复数的几何意义知，在以为圆心，()i ,R z a b a b =+∈(),Z a b ()1,1-1为半径的圆上，从而即可求解.【详解】解：设复数，()i ,R z a b a b =+∈由复数z 满足，可得，即在以为圆心，11i 1z -+=()()22111a b -++=(),Z a b ()1,1-为半径的圆上，所以到原点，即的最小值为(),Za b ()0,0O 11-z，1故答案为116．正三棱台，，D ､E ､F 为棱､､中点，平面ABD ､111ABC A B C -113BC B C =1CC 1AA 1BB 平面BCE ､平面ACF 交于点O ，则___________.（注：V 代表几何体111:O ABC ABC A B C V V --=体积）27:18227182【分析】设，，易得，再根据立体几何中的AD EC M = BD FC N = BM AN O = 比例关系，结合向量的方法求得到平面的距离与正三棱台高的比O ABC 111ABC A B C -值，进而由体积公式确定比例即可【详解】设，，易得，连接，由等腰梯AD EC M = BD FC N = BM AN O = FD 形的中位线性质可得，，又，故，111122BC B C FD B C +==FND CNB 23FD DN BC BN ==同理. 23DM AM =取中点，连接，易得为等腰三角形，且共线.故AB Q DQ DAB ,,D O Q ，根据三点共线满足的性质有，又22325DM DB ==+5277DO DM DB =+ ，设，则，解得.设正三棱台1122DQ DA DB =+ DO DQ λ= 2172λ=47λ=的高为，则到平面的距离为，则到平面的距离为111ABC A B C -h D ABC 12hO ABC.设，则，14312714h h ⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭111A B C S s = ()111113933ABC A B C V s s h sh -=+=，故139931414O ABC V s h sh -=⨯⨯=111:O ABC ABC A B C V V --=913:27:182143sh sh =故27:182四、解答题17．已知，回答下列问题：1tan 22α=(1)求；sin α(2)求.sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭(1)45【分析】(1)利用倍角公式展开，再转化为齐次式，把弦化切.(2)通过同角三角函数基本关系求出 ，再利用两角和公式.cos α【详解】(1)1tan 22α= 222sin cos 22sin 2sin cos 22sin cos 22ααααααα∴==+22tan2tan 12αα=+21221()12⨯=+45=(2)1tan 22α= 22tan 42tan =31-tan 2ααα∴=又 4sin 5α=3cos =5α∴sin =sin cos +sin cos 666πππααα⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭413=525⨯18．如图，已知正四棱锥，，，E 为侧棱MD 中点，F 为底M ABCD -2AB =4MC =面ABCD 的中心.(1)求证：平面MBC ；EF ∥(2)计算四面体的体积.M AEC -(1)证明见解析【分析】（1）连接BD ，证明，根据线面平行的判定定理可证明结论；EF MB ∥（2）求出棱锥的高，利用等体积法即可求得答案.【详解】(1)连接BD ，因为F 为底面ABCD 的中心，则F 为BD 中点，因为E 为侧棱MD 中点，故 , 平面MBC , 平面MBC ,EF MB ∥EF ⊄MB ⊂故平面MBC ；EF ∥(2)连接MF ，则MF 为四棱锥的高，由题意知则12AC CF AC ===MF ===由于E 为侧棱MD 中点，所以M,D 到平面AEC 的距离相等，则,M AEC D AEC E ADC V V V ---==由E 为侧棱MD 中点，则E 到平面ADC 的距离为M 到平面ADC 的距离的一半，故,而，1=2E ADC M ADC V V --11=2232M ADC V -⨯⨯⨯故的体积为M AEC V -M AEC -M AEC V -19．如图，在已知圆周上有四点、、、，，A B C D 5BA BC ==BD =.4cos 5DAB ∠=-(1)求的长以及四边形的面积；AD ABCD (2)设，，求的值.CDB α∠=DBC β∠=()sin 2αβ+(1)，2AD =18ABCD S =四边形(2)()sin 2αβ+=【分析】（1）利用余弦定理求出、的长，再利用同角三角函数的基本关系和三AD CD 角形的面积公式可求得四边形的面积；ABCD （2）利用余弦定理求出、的值，再利用同角三角函数的基本关系、二倍角cos αcos β公式以及两角和的正弦公式化简可得结果.【详解】(1)解：由余弦定理可得，222452cos BD AB AD AB AD DAB ==+-⋅∠整理可得，因为，解得.28200AD AD +-=0AD >2AD =由圆内接四边形的性质可知，BCD DAB π∠=-∠所以，，()4cos cos cos 5BCD DAB DAB π∠=-∠=-∠=由余弦定理可得，222452cos BD BC CD BC CD BCD ==+-⋅∠整理可得，，解得，28200CD CD --=0CD > 10CD =因为，3sin sin 5BCD DAB ∠=∠==所以，11sin sin 22ABD BCD ABCD S S S AB AD DAB BC CD BCD =+=⋅∠+⋅∠△△四边形.()132********=⨯⨯⨯+⨯=(2)解：由余弦定理可得222cos 2BD CD BC BD CD α+-==⋅为锐角，222cos 2BD BC CD BC BD β+-==⋅αβ所以，sin α==sin β==则，，4sin 22sin cos 5ααα==23cos 22cos 15αα=-=因此，.()43sin 2sin 2cos cos 2sin 55αβαβαβ⎛+=+=⨯+= ⎝20．在.ABC cos 1A A -=(1)求；cos A (2)D 在边BC上，，，求面积的最大值.2BD DC = 2AD = ABC (1)；13【分析】（1）将已知条件两边平方得到，结合三角形内角性质2sin cos A A A =求得，进而可求.tan 0A =>cos A （2）由，根据已知模长及向量数量积的运算律可得1233AD AB AC =+ ，结合基本不等式求得，进而求面积最大值，注221444999AB AB AC AC +⋅+= 274bc ≤意等号(最大值)成立条件.【详解】(1)由题设，222cos )2sin cos cos 1A A A A A A -=-+=所以，又，故，2sin cos A A A =sin 0A >tan 0A =>所以，故.02A π<<1cos 3A =(2)，2212()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ 所以，222212144()433999AD AB AC AB AB AC AC =+=+⋅+=则，故，22144416492792727c bc b bc bc ++=≥=274bc ≤所以面积ABC 1127sin 224S bc A =≤⨯=2c b =故ABC 21．如图所示，已知斜三棱柱，侧面为菱形，点在底面ABC 111ABC A B C -11ACC A 1A上的射影恰为AC 的中点D ，，2AC BC ==AB =(1)求证：平面；1AC ⊥1BCA (2)求四面体外接球的表面积.1A ABC -(1)证明见解析；(2).283π【分析】（1）证明和，原题即得证；11AC CA ⊥1BC AC ⊥（2）如图所示，设是中点，连接,设四面体外接球的球心为,连接E AB CE 1A ABC -O ,过作连接.求出四面体外接球的半径即得解.1,OA OA O 1,OF A D ⊥ED 1A ABC-【详解】(1)证明：由于侧面为菱形，所以.11ACC A 11AC CA ⊥因为点在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，1A 所以平面，而BC 在平面ABC 内，所以.1A D ⊥ABC 1A D BC ⊥因为.222,AC BC AB BC AC +=∴⊥又因为平面，11,,A D AC D A D AC =⊂ 11ACC A 所以平面，而AC 1在平面ACC 1A 1中，所以.BC ⊥11ACC A 1BC AC ⊥又因为平面，11,,BC A C C BC A C =⊂ 1BCA 所以平面.1AC ⊥1BCA (2)解：如图所示，设是中点，连接,设四面体外接球的球心为,连E AB CE 1A ABC -O 接,过作连接.1,OA OA O 1,OF A D ⊥ED 因为11111,2,60,AD AA A AC AC AA A C ==∴∠=∴== 因为1OA OC OA ==所以四面体是一个正三棱锥，所以在底面上的射影是的重1O ACA -O 1△ACA F 1△ACA 心，所以13DF =由题得四边形是矩形，所以,OEDF OE FD ==所以OA ===所以四面体1A ABC -所以四面体外接球的表面积为.1A ABC -283π22．函数())π4sin sin 6f x x x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R （1）说明函数的图像是由函数经过怎样的变换得到的；()f x sin 2y x =（2）函数，求函数的值域，并指出的最()1126212ππg x f x f x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()g x ()g x 小正周期（不需要证明）.（1）见解析；（2）；．⎡⎣π4【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式，二倍角公式以及辅助角公式化简函数，()f x 并将函数先平移再伸缩可得；sin 2y x =()f x （2）求出函数的解析式，利用正弦函数的有界性和周期性的定义可得答案．()g x 【详解】()214sin sin 4sin cos 2sin cos 62πf x x x x x x x x x ⎫⎛⎫=+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭)1cos 2sin 22sin 2π3x x x ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭（1）图象向右平移个单位可得，再将所有点的纵坐标伸长sin 2y x =π6πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为原来的2倍，得到；()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）()1π1π112sin 22cos 2sin 2cos 22621222g x f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=++-=+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则函数的值域为；的最小正周期为．()g x ⎡⎣()g x π4。
北京市房山区2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题(解析版)
北京市房山区2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．“点在直线a 上，但不在平面α内”，用数学符号表示正确的是( ) A ．A a ∈且A α∉ B ．A a ∈且A α⊂/C ．A a ⊂且A α∉D ．A a ⊂/且A α∈〖解 析〗“点在直线a 上，但不在平面α内”的符号语言为A a ∈且A α∉． 〖答 案〗A2．复数34i -的虚部是( ) A ．4B ．3C ．3-D ．4-〖解 析〗复数34i -的虚部是4-． 〖答 案〗D3．计算式子cos80cos20sin80sin20︒︒+︒︒的结果是( )A ．B ．12-C ．12D〖解 析〗cos80cos20sin80sin20︒︒+︒︒1cos(8020)cos602=︒-︒=︒=．〖答 案〗C4．若复数(2)(4)z m m i =++-是虚数，则实数m 取值的集合是( ) A ．{|4}m m >B ．{|4}m m <C ．{|4}m m ≠D ．{|}m m R ∈〖解 析〗复数(2)(4)z m m i =++-是虚数， 40m ∴-≠，解得4m ≠，故实数m 取值的集合是{|4}m m ≠． 〖答 案〗C5．在ABC ∆中，已知6BC =，4AC =，3sin 4A =，则角(B = ) A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 〖解 析〗由已知得sin sin BC ACA B=， 即643sin 4B =，解得1sin 2B =，又因为AC BC <，故6B π=． 〖答 案〗A6．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,3)-，则z 的共轭复数(z = ) A ．13i -+B ．13i --C ．3i -D ．3i +〖解 析〗复数z 对应的点的坐标是(1,3)-，13z i ∴=-+，∴13z i =--． 〖答 案〗B 7．若1tan 7β=，1tan()2αβ+=，则tan (α= )A ．115B ．112C ．16D ．13〖解 析〗若1tan 7β=，1tan()2αβ+=，则11tan()tan 127tan tan[()]111tan()tan 3127αββααββαββ-+-=+-===+++⨯． 〖答 案〗D8．已知一个圆柱与一个圆锥的底面半径相等，圆柱的高等于其底面直径，圆锥的高等于其底面直径的2倍．给出下列结论： ①设圆柱与圆锥的体积分别为1v ，2v ，则1232v v =； ②设圆柱与圆锥的轴截面面积分别为1S ，2S ，则1212S S =； ③设圆柱与圆锥的侧面积分别为3S ，4S，则34S S =④设圆柱与圆锥表面积分别为5S ，6S，则56S S =其中所有正确结论的序号是( ) A ．①B ．②③C ．①③④D ．①②③④〖解 析〗设圆锥和圆柱的底面半径为r ，则圆柱的高为2r ，圆锥的高为4r ，圆锥的母线．对于①，3232121422,433r V r r r V r r ππππ=⋅==⋅=，则1233242V V =⨯=，①对；对于②，222121(2)4,2442S r r S r r r ===⨯⨯=，则12S S =，②错；对于③，2234224,S r r r S r r πππ=⨯===，则34S S =对于④，22222256246,1)S r r r S r r r πππππ=+==+=，则56S S ，④对． 〖答 案〗C9．“sin cos x x =”是“cos20x =”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件〖解 析〗当sin cos x x =时，22cos2cos sin 0x x x =-=，即充分性成立， 当22cos2cos sin 0x x x =-=时，则cos sin x x =或cos sin x x =-， 则sin cos x x =不一定成立，即必要性不成立，即“sin cos x x =”是“cos20x =”的充分不必要条件． 〖答 案〗A10．如图，以正方形的各边为底可以向外作四个腰长为1的等腰三角形，则正方形与四个等腰三角形面积之和的最大值为( )A ．2B ．2+C ．D ．6〖解 析〗设等腰三角形的底角为θ，则(0,)2πθ∈，则等腰三角形的底边为2cos θ，高为sin θ，则21(2)42222222224S cos sin cos sin cos πθθθθθθ⎛⎫=+⨯⨯=++=++ ⎪⎝⎭阴，又2(44ππθ+∈，5)4π，当242ππθ+=，即8πθ=时，S 阴取最大值2+．〖答 案〗B二、填空题：本大题共6题，每小题5分，共30分. 11．已知复数43z i =-，则复数z 的模是 ． 〖解 析〗43z i =-，∴||5z =．〖答 案〗512．若复数112z i =-，234z i =+，则12z z = ． 〖解 析〗112z i =-，234z i =+，∴12(12)(34)12(34)(34)55z i i i z i i --==--+-． 〖答 案〗1255i --13．用一个平面截一个球，所得截面面积为216cm π，球心到截面的距离为3cm ，则该球的表面积为 2cm ，体积为 3cm ．〖解 析〗因为截面面积为216cm π，所以截面圆的半径为4cm ， 因为球心到截面的距离为3cm5cm =， 所以球的表面积为2245100cm ππ⨯=，球的体积为334500533cm ππ⨯=．〖答 案〗500100;3ππ 14．已知ABC ∆的三条边长分别为5，7，8，则此三角形的最大角与最小角之和为 ． 〖解 析〗由题意设5a =，7b =，8c =， 易知，中间角为B ，222cos 2a c b B ac +-=25644912582+-==⨯⨯，(0,)B π∈，3B π=，故23A C π+=． 〖答 案〗23π15．如图，甲船在A 处，乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B 处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A 处向南偏西60︒方向行驶，则经过 小时后，甲、乙两船相距最近．〖解 析〗设经过x 小时后，甲船和乙船分别到达C ，D 两点， 则8AC x =，2010AD AB BD x =-=-， 2222cos60CD AC AD AC AD ∴=+-⋅⋅︒221(8)(2010)28(2010)2x x x x =+--⋅⋅-⋅22704800244560400244()6161x x x =-+=-+， 当2CD 取得最小值时，CD 取得最小值．∴当7061x =时，CD 取得最小值． 此时，甲．乙两船相距最近． 答：经过7061小时后，甲．乙两船相距最近．〖答 案〗706116．若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其表面积的值可能是 ．（只需写出一个可能的值）〖解 析〗由四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体， 如图，可取三条侧棱长均为2，底面边长2BC BD ==，1CD =．其表面积为11222122⨯⨯⨯⨯故其表面积的一个可能值为〖答 案〗 三、解答题：本大题共5小题，每题14分，共70分. 17．（14分）已知15sin 17α=，(2πα∈，)π，求值： （Ⅰ）sin()3πα-；（Ⅱ）cos2α；（Ⅲ）tan()4πα+．解：（Ⅰ）15sin 17α=，(,)2παπ∈，∴8cos 17α==-．∴1518sin()sin coscos sin()33317217πππααα-=-=⨯--=． （Ⅱ）2215161cos212sin 12()17289αα=-=-⨯=-．（Ⅲ）由（Ⅰ）知，15sin 17α=，8cos 17α=-， sin 15tan cos 8ααα∴==-．∴151tan tan784tan()154231tan tan 148παπαπα-+++===--⋅+． 18．（14分）已知函数()2sin cos 2f x x x x =． （Ⅰ）求函数的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 的值域．解：（Ⅰ）()2sin cos 2f x x x x =+12(sin 2)2sin(2)23x x x π==+，所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==．（Ⅱ）当22,32x k k Z πππ+=+∈时，函数()f x 有最大值2，当22,32x k k Z πππ+=-∈时，函数()f x 有最小值2-，所以函数()f x 的值域为[2-，2]．19．（14分）《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）．在如图所示的堑堵中，已知3AB =，4BC =，5AC =．当阳马111C ABB A -体积等于24时，求：（Ⅰ）堑堵111ABC A B C -的侧棱长； （Ⅱ）鳖臑1C ABC -的体积；（Ⅲ）阳马111C ABB A -的表面积．解：（Ⅰ）因为3AB =，4BC =，5AC =，所以222AB BC AC +=． 所以ABC ∆为直角三角形． 设堑堵111ABC A B C -的侧棱长为x ，则113A ABB S x =矩形，则111143243C AA BB V x -=⨯⨯=，所以6x =，所以堑堵111ABC A B C -的侧棱长为6；（Ⅱ）因为13462ABC S ∆=⨯⨯=，所以1111661233C ABC ABC V S CC -∆=⨯=⨯⨯=，所以鳖臑1C ABC -的体积为12； （Ⅲ）因为1111111346,641222A B C BB C S S =⨯⨯==⨯⨯=，111116515,3222AA C ABC SS =⨯⨯==⨯⨯113618A ABB S =⨯=矩形，所以阳马111C ABB A -的表面积为612151851++++=+20．（14分）在ABC ∆中，a =222a c b +=． （Ⅰ）求B ∠；（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC ∆存在且唯一确定，求ABC ∆的面积． 条件①：3b =； 条件②：4cos 5A =；条件③：ABC ∆的周长为4+解：（Ⅰ）由余弦定理知，222cos 2a c b B ac +-===因为(0,)B π∈，所以6B π=．（Ⅱ）选择条件①：把a =3b =代入222a c b +=中，化简得2630c c -+=，解得3c =， 所以存在两个ABC ∆，不符合题意； 选择条件②：因为4cos 5A =，(0,)A π∈，所以3sin 5A =，由正弦定理知，sin sin a bA B=，所以1235b ==因为341sin sin()sin cos cos sin 552C A B A B A B =+=+=+⨯=， 所以ABC ∆的面积11sin 22S ab C ==⨯=． 选择条件③：因为ABC ∆的周长为4+a =4bc +=，又222a c b +=，所以222126(4)c c b c +-==-，解得2b c ==， 所以ABC ∆的面积111sin 2222S ac B ==⨯⨯21．（14分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 上一点，且1:1:2CE EC =．（Ⅰ）试画出过1D ，A ，E 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得截面α； （Ⅱ）证明：平面1D AE 与平面ABCD 相交，并指出它们的交线．（Ⅰ）解：在BC 取点一点F ，使得13CF CB =，延长1A F ，DC ，1D E ，交于点G ，连结EF ，则平面AFED 就是过1D ，A ，E 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得截面α． （Ⅱ）证明：如图，因为A ∈面1D AE ，A ∈面ABCD ，所以面1D AE ⋂面ABCD ≠∅，即平面1D AE 与平面ABCD 相交．延长DC ，1D E ，设它们交于G ，因为G ∈直线1D E ，直线1D E ⊂面1D AE ， 所以G ∈面1D AE ．G ∈直线DC ，直线DC ⊂面ABCD ，G ∈面ABCD ． 所以G ∈面1D AE ⋂面ABCD ，从而AG 为面1D AE 与面ABCD 的交线．。
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试卷类型：A
2021年高一下学期期末考试数学试题含答案
注意事项：
1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，用2B铅笔将答案涂在答题卡上。
第Ⅱ卷为非选择题，用0.5mm黑色签字笔将答案答在答题纸上。
考试结束后，只收答题卡和答题纸。
2．答第Ⅰ、Ⅱ卷时，先将答题卡首和答题纸首有关项目填写清楚。
3．全卷满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1．已知α是第二限角，则下列结论正确的是（）A．sinα•cosα＞0 B．sinα•tanα＜0
C．cosα•tanα＜0 D．以上都有可能
2．化简= （）
A．B．C．D．
3．若为角终边上一点，则cos= （）
A. B. C. D.
4．若且的夹角为则的值（）
A．B．C．D．
5．下列函数中，最小正周期是的偶函数为（）A．B．
C．D．
6．将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），则所得图象的函数解析式为（）
A．B．
C．D．
7．如右图，该程序运行后的输出结果为（）
A．0
B．3
C．12
D．－2
8．函数y＝cos(－2x)的单调递增区间是
（）A．[kπ＋，kπ＋π] B．[2kπ＋，2kπ＋π]
C．[kπ－π，kπ＋] D．[2kπ－π，2kπ＋]（以上k∈Z）9．已知直线[﹣2,3]，则直线在y轴上的截距大于1的概率是（）
A．B．C．D．
10．右面是一个算法的程序．如果输入的x的值是20，则输出的y的值是
（）A．100
B．50
C．25
D．150
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
二、填空题（本题共5小题，每题5分，共25分）
11．若与共线，则＝.
12．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2∶3∶5．现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号的产品有16件，那么此样本的容量n＝______.
13．设扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是.
14．若，则= .
15．函数y=Asin(ωx+φ)( A＞0，ω＞0，|φ|＜π，在同一个周期内，当x=时，y有最大值2,当x=0时,y有最小值－2,则这个函数的解析式为________.
三、解答题（本大题共6小题,满分75分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．(本小题满分12分)某中学团委组织了“弘扬奥运精神，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形给出的信息，回答下列问题：
(1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分.
17．(本小题满分12分)已知函数. （1）求函数的最小正周期及值域； （2）求函数的单调递增区间.
18．(本小题满分12分)已知|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，c ＝3a ＋5b ，d ＝m a －
3b . (1)当m 为何值时，c 与d 垂直？ (2)当m 为何值时，c 与d 共线？
19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(m ，cos2x )，b ＝(1＋sin2x,1)，x ∈R ，
且函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π4，2. (1)求实数m 的值；
(2)求函数f (x )的最小值及此时x 值的集合．
20．(本小题满分13分)已知，且； （1）求的值； （2）求的值.
21．(本小题满分14分)某班数学兴趣小组有男生三名,分别记为,女生两名，分别记为,现从中任选2名学生去参加校数学竞赛. （1）写出这种选法的样本空间； （2）求参赛学生中恰有一名男生的概率； （3）求参赛学生中至少有一名男生的概率.
富平县xx 年高一质量检测试题 数学参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1．B 2．A 3．A 4．B 5．C 6．D 7．B 8．C 9．B 10．D 二、填空题（本题共5小题，每题5分，共25分） 11．－6 12．80 13．2 14． 15．
三、解答题（本大题共6小题,满分75分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．(本小题满分12分) 解：(1)因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：f 4＝1－(0.025＋0.015×2＋0.01＋0.005)×10＝0.3. 其频率分布直方图如图所示． (2)依题意，60分及以上的分数所在为第三、四、五、六组，频率和为(0.015＋0.030＋0.025＋0.005)×10＝0.75. 所以，估计这次考试的合格率是75%. 利用组中值估算这次考试的平均分，可得：45·f 1＋55·f 2＋65·f 3＋75·f 4＋85·f 5＋95·f 6 ＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71. 所以估计这次考试的平均分是71分． 17．(本小题满分12分) 解：. （1）函数最小正周期，值域为. （2）由， 得函数的单调递增区间为：. 18．(本小题满分12分) 解：(1)令c ·d ＝0，则(3a ＋5b )·(m a －3b )＝0，即3m |a |2－15|b |2＋(5m －9)a ·b ＝0
解得m ＝2914. 故当m ＝29
14
时，c ⊥d .
(2)令c ＝λd ，则3a ＋5b ＝λ(m a －3b ) 即(3－λm )a ＋(5＋3λ)b ＝0，
∵a ，b 不共线，∴⎩⎨
⎧
3－λm ＝0，
5＋3λ＝0.
解得⎩⎨⎧
λ＝－5
3，m ＝－9
5
.故当m ＝－9
5
时，c 与d 共线．
19．(本小题满分12分) 解：(1)f (x )＝a ·b ＝m (1＋sin2x )＋cos2x ，
由已知f ⎝⎛⎭⎫π4＝m ⎝⎛⎭⎫1＋sin π2＋cos π2
＝2，得m ＝1. (2)由(1)得f (x )＝1＋sin2x ＋cos2x ＝1＋2sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π
4， ∴当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
4＝－1时，f (x )取得最小值1－2， 由sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝－1得，2x ＋π4＝2k π－π2
， 即x ＝k π－3π8(k ∈Z ) 所以f (x )取得最小值时，x 值的集合为{x |x ＝k π－3π
8
，k ∈Z }
20．(本小题满分13分)
解：∵ ∴= ∵ ∴= （1）原式=
（2）原式=2
4392()21
2sin cos 2cos 1175525tan 141751tan 13
413
ααααα⨯⨯--⨯+-+==----+-+
21．(本小题满分14分) 解：（1）样本空间
{}12132311122122313212(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a a a a a a a b a b a b a b a b a b b b Ω= （2）记 =“恰有一名参赛学生是男生” 则{}111221223132(,),(,),(,),(,),(,),(,)A a b a b a b a b a b a b =
由6个基本事件组成，故;
（3）记=“至少有一名参赛学生是男生”，则 {}),(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(131322122111323121b a b a b a b a b a b a a a a a a a B =
故.。