第二章 平面连杆机构的运动分析

第二章 平面连杆机构的运动分析 一、基本要求 1) 正确理解速度瞬心的概念，会判断直接组成运动副的两构件的瞬心及 运用“三心定理”确定平面机构中没有直接组成运动副的两构件间的瞬心。 2）会用速度瞬心法对平面机构进行速度分析。 3）会用相对运动图解法（矢量方程图解法）及矢量方程复数法对Ⅱ级机 构进行速度及加速度分析。

二、基本概念和基础知识 为了确定机器工作过程的运动和动力特性，往往需对机构进行运动分析。机构运动分析就是在已知机构的运动尺寸和已知原动件的运动规律的前提下，确定机构中其它构件或其他构件上的某些点的位置、速度、加速度等运动参数。 机构运动分析的方法通常有矢量方程图解法和解析法。图解法形象直观，简便，精度较低；解析法精度高，但需进行大量的数学运算，一般需借助电子计算机来完成。 1. 矢量方程图解法 矢量方程图解法就是根据相对运动的原理列出机构中两点间的相对运动的矢量方程式，然后按一定的比例画出相应的矢量多边形，由此解出所需运动参数。此方法的关键是如何正确列出矢量方程式。建立矢量方程式时一定要注意将未知量分列于等式两端以便求解，另外每个矢量的角标一定要写清楚是哪个构件上的哪个点；画矢量多边形时由等式一边出发，先画已知量，画完等式一边的矢量后再画另一边的矢量，最后由矢量多边形求出所需未知量。下面分两种情况进行讨论。 (1) 同一构件上两点间的速度和加速度关系。 这种类型常用于求解同一构件上两个回转副之间的速度及加速度关系。需要注意的是加速度分析中的相对加速度通常由向心加速度与切向加速度两项构成，无哥氏加速度。 ① .速度关系。图3-1（a）所示机构中，点B和C同为构件2上的点，根据相对运动的原

理，可知点C的速度Cv等于点B的速度Bv和点C相对于点B的相对速度CBv的矢量和。即 Cv = Bv + CBv 大小 ？ ABl1 ？ 方向 沿导路方向 ⊥AB ⊥BC

图3-1 同一构件上两点的相对运动关系 (a)机构简图;(b)速度多边形;(c)加速度多边形

由于一个矢量方程可转化为两个标量方程，故上面矢量方程含两个未知量，可解。下面就用图解法来解此方程。

首先选取速度比例尺mms/mv，然后在平面内选取一点p作为速度极点（代表机构中构件上速度为零的点），如图3-1（b）所示。 从p点作pb代表B点的速度Bv，过b 作速度 CBv的方向线 ，然后过p作Cv的方向线，CBv的方向线与Cv的方向线的交点为c，矢量pc 即代表C点的速度Cv。 C点的速度大小vCvpc。矢量bc代表C点相对B点的相对速度CBv。 已知构件2上B点和C点的速度后，很容易求构件2上第三点D的速度。

Dv = Bv + DBv = Cv + DCv

大小 ABl1 ？ pcv ？ 方向 ⊥AB ⊥BD pc ⊥DC 上式中只有DBv和DCv的大小未知，故可解。如图3-1（b)所示，过b作DBv的方向线，过c作DCv的方向线，这两条方向线的交点为d, 矢量pd即代表D点的速度Dv。D点的速度大小vDvpd。 由分析知ΔBCD∽Δbcd ,且两三角形字母排列顺序相同，BCD和bcd均为逆时针排列，称Δabc为 ΔABC的速度影像。

图3-1（b)中由各速度矢量所构成的多边形称为速度多边形。在速度多边形中，由极点p向外发射的矢量代表对应点的绝对速度矢量，连接两个绝对速度矢端的矢量代表对应点的相对速度

矢量（bc代表C点相对B点的相对速度CBv），极点p的速度为0 。如果知道同一构件上两点的速度，想求此构件上第三点的速度，可用影像法，即在速度多边形上作与机构简图中该三点所构成的三角形相似的三角形，要注意两三角形顶点字母排列顺序要相同。

②加速度关系。根据相对运动的原理，点C的加速度Ca等于点B的加速度Ba和点C相对于点B的相对加速度CBnCBCBaaa的矢量和。即 Ca = Ba + nCBa + CBa 大小 ? ABl21 BCl22=BCBCCBllv2 ？ 方向 沿导路方向 B →A C→B ⊥BC

下面画加速度多边形。首先，取加速度比例尺mmsma2/，然后任取一点作为加速度极点π(见图3-1（c）)。从π出发画代表Ba的矢量　'pb，然后由'b出发画代表nCBa的矢量'''bb，之后再由''b出发画代表CBa方向的方向线，这样等式右边的各矢量全部画完，最后从极点π出发画代表Ca方向的方的向线，CBa的方向线与Ca的方向线的交点为'c， 'c代表C点的加速度，C点的加速度大小aCac。 加速度多边形中，从极点π发出的矢量代表对应点的绝对加速度矢量，连接两个绝对加速度矢端的矢量代表对应点的相对加速度。 已知同一构件上的两点的加速度，求第三点的加速度可用加速度影像法，具体操作同速度影像法。现要求构件2上的点D的加速度，在加速多边形图中作ΔBCD∽Δ'''dcb，且'''dcb的排列顺序同BCD的排列顺序，均为逆时针排列，'d代表D点的加速度, D点的加速度大小aDa'd。

(2)不同构件上两重合点间的速度和加速度关系。 这种类型常用于两构件构成移动副时的运动分析。需要注意的是在建立不同构件上两重合点间加速度矢量方程时，若牵连运动是转动，有哥氏加速度。下面就具体情况讲解。

图3-2（a）中，构件1以匀角速度1作定轴转动，现要求构件3的运动参数。构件1与构件2构成转动中心在B点的转动副，因此，构件1上的B点的速度与构件2上的B点的速度相等；构件2与构件3构成移动副，构件2的角速度与构件3的角速度相等。即 AB112lvvBB 32 机构中构件2为连杆，它是构件1与构件3联系的纽带，要想求得构件3的运动参数，就应在构件1、2、3上找一个重合点，通过这点将三个构件间的运动参数联系起来，显然B是最适合的点，因为构件1和构件2上的B点的速度和加速度是已知的，即0aB2B1AB1B1B2alvv、。

①速度关系。根据相对运动的原理，构件3上的B点的速度3Bv等于构件2上的B点的速度2Bv与构件3上的B点相对于构件2上的B点的相对速度23BBv的矢量和。即

图3-2同一构件上两点的相对运动关系 (a)机构简图;(b)速度多边形;(c)加速度多边形 3Bv = 2Bv + 23BBv 大小 ？ ABl1 ? 方向 ⊥BC ⊥AB ∥BC

按前述方法画速度多边形，如图3-2（b）所示, 3pb为代表构件3上B点速度的矢量，进

一步可求得构件3上B点速度的大小3Bv。构件3的角速度BCBlv33，逆时针方向旋转。 ②加速度关系 构件3上的B点的加速度等于构件2上的B点的加速度、构件3上的B点相对于构件2上的B点的相对加速度和哥氏加速度的矢量和。即

3Ba=nBa3 + 3Ba= 2Ba + KBBa23 + rBBa23

大小 BCl23 ？ ABl21 2232BBv ？ 方向 ∥BC ⊥BC ∥AB 23BBv沿2方向转900 ∥BC (由B指向C) (由B指向A) (⊥BC相上)

上式中，等号右边第二项为哥氏加速KBBv23，大小等于牵连角速度2与相对速度23BBv乘积的二倍，方向为相对速度23BBv绕牵连角速度方向转o90，第三项为相对加速度rBBa23。另外，请再次注意：每个矢量的角标一定要写清楚是哪个构件上的哪个点。

画加速度多边形如图3-2（b）, 3b为代表构件3上B点的向心加速度的矢量，'3''3bb为代表构件3上B点的切向加速度的矢量，'3b为代表构件3上B点加速度的矢量，进一步求出构

件3上B点的切向加速度的大小333bbaaB，则构件2和构件3的角加速度BCBla332，逆时针方向。 2. 解析法 解析法的特点是建立各运动参数与机构运动尺寸之间的代数关系式，然后借助计算机进行求解的一种方法。矢量方程复数法是一种常用的对平面机构进行运动分析的解析方法。矢量方程复数法的特点是：先列出机构的闭环矢量方程，然后将矢量方程中的各矢量用复数表示，然后进行求解。

下面用此方法对图3-3的铰链四杆机构进行分析。已知原动件以等角速度1逆时针方向转动，各构件的长度为4321llll、、、。

图3-3 铰链四杆机构 （1）位移分析。 机构中的各构件构成了一个矢量封闭多边形。得到矢量方程为

DCADBCAB 将上述矢量方程中的各矢量用复数表示，得到复数方程

34213421iiiielelelel （3-1） 式中， 1(ii，2 ，3，4）分别为各杆的复角。复角按如下规定度量，以 图3-3中x轴正方向为起始线，将x轴沿逆时针方向转至与某杆矢量重合，转过的角度即为该杆的复角且为正值，若x轴顺时针旋转，得到的复角为负值。 上面复数方程（3-1）可进一步表示为

3333040422221111sincos0sin0cossincossincosillillillill 将实部与虚部分开，可得到如下两个方程 33042211cos0coscoscosllll 33042211sin0sinsinsinllll 消去2得 0sincos33CBA 其中A=114cosll, B=11sinl, C=）32223222/()(lllBA

将 )2(tan12tan2sin3233 、)2(tan1)2(tan1cos32323带入上面公式得 （C-A）)2(tan32+2B)2tan(3+(A+C) =0 解得

CACBABCACAACBB22223))((2tan 式中的“+”、”-“号依机构的装配形式而定。

求出3后，很容易求得2

2tan3333cossinlAlB （2）速度分析。 将公式（3-1）对时间求导得