“弹簧”10大模型

图1

图2 “弹簧”模型10大问题

太原市第十二中学 姚维明

模型建构:

在我们的日常生活中，弹簧虽然形态各异,大小不同,但是从弹簧秤,机动车的减震装置,各种复位按钮和机械钟表内的动力装置等,弹簧处处在为我们服务.因为弹簧本身的特性，如弹簧弹力的方向与弹簧所处的伸缩状态有关、弹力的大小与弹簧形变量大小有关；而且，弹簧在伸缩过程中涉及的物理过程较复杂，物理概念和规律较多，如力和加速度、功和能、冲量和动量等，因此，弹簧类试题多年来深受物理命题专家的青睐。

【模型】弹簧

【特点】：（1）一般问题中的轻弹簧是一种理想模型，不计质量。（2） 弹簧弹力不能突变，弹力变化需要形变量变化，需要时间的积累。（3）弹力变化：F = kx 或△F =k △x ，其中F 为弹力（△F 为弹力变化），k 为劲度系数，x 为形变量（△x 为形变变化量）。（4）弹簧可以贮存能量，弹力做功和弹性势能的关系为：W =－△E P 其中W 为弹簧弹力做功，

△E P 为弹性势能变化。另外， 弹性势能计算公式暂不做要求。

一、轻弹簧的弹力与弹簧秤的读数问题

【典案1】如图1，四个完全相同的轻弹簧都处于水平位置，它们的右端受到大小相等的拉力F 作用，而左端的情况则各不相同：

⑴弹簧的左端固定在墙上

⑵弹簧的左端受到大小也为F 的拉力作用

⑶弹簧的左端拴一小物块m ，物块在光滑的

水平面上滑动

⑷弹簧的左端拴一个小物块m ，物块在粗糙的水平面上滑动

以1l 、2l 、3l 、4l 依次表示四条弹簧的伸长量，则有

A 、1l >2l

B 、4l >3l

C 、1l >3l

D 、2l =4l

〖解析〗因轻弹簧自身质量不计，则轻弹簧的伸长量与轻弹簧上的弹力大小成正比，因为四种状态中轻弹簧的弹力均为F ，故四种状态轻弹簧的伸长量相同；选D

【体验1】如图2，四个完全相同的弹簧秤都处于水平位置，它们的右端受到大小相等的拉力F 作用，而左端的情况则各不相同：

⑴弹簧秤的左端固定在墙上

⑵弹簧秤的左端受到大小也为F 的拉力

作用

⑶弹簧秤的左端拴一小物块m 1，物

块在光滑的水平面上滑动

⑷弹簧秤的左端拴一个小物块m 1，物块在粗糙的水平面上滑动

以1l 、2l 、3l 、4l 依次表示四条弹簧的伸长量，则有 A 、1l =2l B 、4l =3l C 、1l >3l D 、2l =4l

〖解析〗弹簧秤的读数取决于弹簧的伸长量，而弹簧秤自身有质量，前两种情况弹簧秤处于平衡状态，则弹簧的伸长量相同，则读数相同；后两种情况弹簧秤处于加速状态，则弹簧上的弹力不等于F ，则读数不同。对⑶设弹簧秤自身质量也为m 2，则有弹簧秤的读数为2111'm m F m a m F +== 对⑷设物块所受的滑动摩擦力为F ，弹簧秤自身质量为m 2,弹簧秤的拉力为F ’,物块与弹簧秤的共同加速度为2

1m m f F a +-=，则弹簧秤的读数为21211'm m fm Fm f a m F ++=+=,因此，应选A 、C 【点评】轻弹簧的伸长量或弹簧秤的读数只与弹簧上的弹力大小成正比，而当弹簧秤自身有质量时，弹簧秤的读数与作用在弹簧秤钮上的力没有直关系。

二、弹簧与绳子约束问题的区别

【典案2】（1）如图3所示，物体的质量为m ，L 2为质量不计的轻弹簧，一端悬挂在天花板上，与竖直方向夹角为θ，L 1为一水平绳，现将L 1剪断，求剪断瞬间物体的加速度与弹簧的弹力。

〖解析〗设L 1的拉力为T 1，弹簧的拉力为T 2，重力为mg ，物体在三个力的作用下保持平衡， 沿着水平竖直方向建立直角坐标系。则：

θθθtan sin cos 11

22mg T T T mg T ===，

剪断线的瞬间，T 1消失，而弹簧的长度L 2未及发生变化，T 2的大小和方向都不变，物体即在T 1反方向获得加速度。

因为mg ma tan θ=

所以瞬时物体加速度：a g =tan θ，方向水平向右。

瞬时弹簧的弹力：θ

cos 2mg T = 方向沿弹簧向上。 图3 图4 mg

x y 0 T 2 T 1

【点评】弹簧的两端都有其他物体或力的约束时，使其发生形变时，弹力不能由某一值突变为零或由零突变为某一值。

（2）如果把案例2中的弹簧换成细绳子，其它条件不变，将L 1剪断，求剪断瞬间物体的加速度和绳子的张力。

〖解析〗设L 1的拉力为T 1，弹簧的拉力为T 2，重力为mg

剪断绳子时，由于绳子要发生突变，因此小球将做单摆运动，小球受力如图。

沿着径向和切向建立直角坐标系。则：

ma mg =θsin

θcos 2mg T =

解得瞬时物体的加速度：θsin g a = 方向为切向。

瞬时绳子的张力：θcos 2mg T = 方向沿绳子向上。

【点评】弹簧发生渐变，所以瞬时弹簧弹力“来不及变化”。绳子发生突变，瞬时张力“突然发生变化”，它们有质的变化。因此要具体问题，具体处理。比较上面的两典案可以发现：弹簧与绳子的加速度、拉力大小方向都发生了变化。

【体验2】A 、B 两球质量分别为m 1与m 2，用一劲度系数为k 的弹簧相连，一长为l 1的细线与m 1相连，置于水平光滑桌面上，细线的另一端拴在竖直轴OO /上，如图7所示，当m 1与m 2均以角速度ω绕OO /做匀速圆周运动时，弹簧长度为l 2。求：

（1）此时弹簧伸长量多大？绳子张力多大？

（2）将线突然烧断瞬间两球加速度各多大？

〖解析〗（1）m 2只受弹簧弹力，设弹簧伸长Δl ，满足

k Δl =m 2ω2(l 1＋l 2) ∴弹簧伸长量Δl =m 2ω2(l 1＋l 2)/k

对m 1，受绳拉力T 和弹簧弹力F 做匀速圆周运动，

满足：T －F =m 1ω2l 1

绳子拉力T =m 1ω2l 1＋m 2ω2(l 1＋l 2)

（2）线烧断瞬间

A 球加速度a 1=F /m 1=m 2ω2(l 1＋l 2)/m 1

B 球加速度a 2=F /m 2=ω2(l 1＋l 2)

三、静态平衡下的弹簧问题

【典案3】一个重为G 的小圆环套在一个竖直放置的半径为R 的光滑圆环上,小圆环由一根劲度

图5 图6 x

y 0 mg θ

图7