计算方法习题

计算方法习题Newly compiled on November 23, 2020

《计算方法》练习题一

练习题第1套参考答案 一、填空题

1． 14159.3=π的近似值，准确数位是（ 210- ）。

2．满足d b f c a f ==)(,)(的插值余项=)(x R （

))((!2)

(b x a x f --''ξ ）。 3．设)}({x P k 为勒让德多项式，则=))(),((22x P x P （52

）。

4．乘幂法是求实方阵（按模最大 ）特征值与特征向量的迭代法。 5．欧拉法的绝对稳定实区间是（ ]0,2[-）。 二、单选题

1．已知近似数,,b a 的误差限)(),(b a εε，则=)(ab ε（Ｃ ）。

A ．)()(b a εε Ｂ．)()(b a εε+ Ｃ．)()(b b a a εε+ Ｄ．)()(a b b a εε+ 2．设x x x f +=2)(，则=]3,2,1[f （ Ａ ）。

Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４

3．设Ａ＝⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡3113，则化Ａ为对角阵的平面旋转=θ（ Ｃ ）． Ａ．

2π Ｂ．3π Ｃ．4π Ｄ．6

π

4．若双点弦法收敛，则双点弦法具有（Ｂ ）敛速．

Ａ．线性 Ｂ．超线性 Ｃ．平方 Ｄ．三次 5．改进欧拉法的局部截断误差阶是（ Ｃ ）.

A ．)(h o Ｂ．)(2h o Ｃ．)(3h o Ｄ．)(4h o 三、计算题

1．求矛盾方程组：⎪⎩⎪

⎨⎧=-=+=+2

42321

2121x x x x x x 的最小二乘解。

22122122121)2()42()3(),(--+-++-+=x x x x x x x x ϕ，

由

0,021=∂∂=∂∂x x ϕ

ϕ得：⎩⎨⎧=+=+96292321

21x x x x ， 解得14

9

,71821==

x x 。 2．用4=n 的复化梯形公式计算积分⎰21

1

dx x

，并估计误差。 ⎰

≈++++≈21

697.0]2

1

7868581[81x dx ， 96

1

1612)(2=

⨯≤

M x R 。 3．用列主元消元法解方程组：⎪⎩⎪

⎨⎧=++=++=++4

26453426352321

321321x x x x x x x x x 。

回代得：T x )1,1,1(-=

4．用雅可比迭代法解方程组：（求出)1(x ）。 因为Ａ为严格对角占优阵，所以雅可比法收敛。

雅可比迭代公式为：⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=+=+++ ,1,0,)

1(41)3(41)1(41)(2)1(3)

(3)(1)1(2)

(2)1(1m x x x x x x x m m m m m m m 。

取T x )1,1,1()0(=计算得： T x )5.0,25.1,5.0()1(=。

5．用切线法求0143=+-x x 最小正根（求出1x ）。

．因为0875.0)5.0(,01)0(<-=>=f f ，所以]5.0,0[*∈x ，在]5.0,0[上，

06)(,043)(2≥=''<-='x x f x x f 。由0)()(0≥''x f x f ，选00=x ，由迭代公式：

计算得：25.01=x 。 四、证明题

1．证明：若)(x f ''存在，则线性插值余项为：

1010),)((!

2)

()(x x x x x x f x R <<--''=

ξξ。 2. 对初值问题：⎩⎨⎧=-='1)0(10y y

y ，当2.00≤

１．设))()(()()()(),)()(()(10110x t x t x k t L t f t g x x x x x k x R ----=--=，有

x x x ,,10为三个零点。应用罗尔定理，)(t g ''至少有一个零点ξ，

!

2)

()(,0)(!2)()(ξξξf x k x k f g ''=

=-''=''。 ２．由欧拉法公式得：

0~1~y y oh y y n n n --=-。

当2.00≤

00~~y y y y n n -≤-。欧拉法绝对稳定。

练习题第2套参考答案 一、填空题

1． 71828.2=e 具有3位有效数字的近似值是（ 21

102

-⨯，）。

2．用辛卜生公式计算积分⎰

≈+1

01x dx

（

）。 3．设)()1()1(--=k ij k a A 第k 列主元为)1(-k pk

a ，则=-)

1(k pk a （ 21x =， ）。 4．已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2415A ，则=1

A （ ())

(434)1(232)1(1313331m m m x a x a x a b a ---++ , ）。 5．已知迭代法：),1,0(),(1 ==+n x x n n ϕ 收敛，则)(x ϕ'满足条件（ 0()0f x > ）。

二、单选题

1．近似数21047820.0⨯=a 的误差限是（ C ）。

Ａ．51021-⨯ Ｂ．41021-⨯ Ｃ．31021-⨯ Ｄ．21021

-⨯

２．矩阵Ａ满足（ ．D ）,则存在三角分解A=LR 。

A ．0det ≠A Ｂ． )1(0det n k A k <≤≠ Ｃ．0det >A Ｄ．0det

B ）。

Ａ．９ Ｂ．５ Ｃ．－３ Ｄ．－５ ４．已知切线法收敛，则它法具有（ ．A ）敛速．

Ａ．线性 Ｂ．超线性 Ｃ．平方 Ｄ．三次 ５．设)}({x P k 为勒让德多项式，则=))(),((53x P x P （ B ）。

Ａ．52 Ｂ．72 Ｃ．92 Ｄ．112

三、计算题

１．已知)(x f 数表： 求抛物插值多项式，并求)5.0(f 近似值。

利用反插值法得 ２．已知数表： 求最小二乘一次式。 010

14648

614102a a a a +=⎧⎨

+=⎩，解得： 由方程组：

013,6a a ==，所以x x g 63)(*

1+=。

３．已知求积公式：)2

1

()0()21()(21110f A f A f A dx x f ++-≈⎰-。求210,,A A A ，使其具有

尽可能高代数精度，并指出代数精度。

1

0118881

[]0.4062282910113

dx I x =≈++++≈+⎰

，