运筹学习题解答(chap2)(1)(1)

运筹学习题解答(chap2)(1)(1)

第二章 对偶问题与灵敏度分析

一、写出下列线性规划的对偶问题

1、P89,2.1(a)

321422m in x x x Z ++=

s.t ⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≥=++≤++≥++.

,0,;534;332;2433213213

21321无约束x x x x x x x x x x x x

解：原模型可化为

321422m in x x x Z ++=

s.t ⎪⎪⎩⎪⎪

⎨

⎧≥=++≥≥++.

,0,;534;

3-3--2-;24332

13

21

321321321无约束x x x y y y x x x x x x x x x

于是对偶模型为

321532m ax y y y W +-=

s.t ⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≥≤+-≤+-≤+-.,0,;4334;243;223213213

21321无约束

y y y y y y y y y y y y

2、P89,2.1(b)

321365m ax x x x Z ++=

s.t ⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≤≥≤++≥-+-=++.

0,0,;8374;35;5223213213

21321x x x x x x x x x x x x 无约束

解：令033

≥-='x x 原模型可化为

3

21365m ax x x x Z '-+=

s.t ⎪⎪⎩⎪⎪

⎨⎧≥'≥≤'+≤'='+.

0,0,;83-74;3--5-;52-2321

3

21

3

213

21

321x x x y y y x x x x x x x x x 无约束

于是对偶模型为

321835m in y y y W +-=

s.t ⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≥-≥---≥+-=++.

0,,;332;6752;

543213213

21321y y y y y y y y y y y y 无约束 或

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≥≤++≥+-=++.

0,,;332;6752;

54321321321321y y y y y y y y y y y y 无约束

二、灵敏度分析

1、P92, 2.11线性规划问题

213m ax x x Z += s.t ⎪⎩⎪

⎨⎧≥≤+≤+0,10

25;

742

12121x x x x x x

最优单纯形表如下

C J

3 1 0 0 C B X B b x 1 x 2 x 3 x

4 3 x 1 4/3 1 0 2/3 -1/3 1

X 2

5/3

0 1 -5/3 4/3 j σ

-1/3

-1/3

试用灵敏度分析的方法，分析： （1） 目标函数中的系数21,c c 分别在什么范围内变化，最优解不变？ （2）

约束条件右端常数项21,b b 分别在什么范围内变化，最优基保持不变？

解：（1） 1c 的分析：要使得最优解不变，则需

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧

≤⨯-⨯+=≤⨯+⨯-=034131003513201413c c σσ 即 ⎪⎩⎪⎨⎧

≤≥4

2511

c c 所以：

42

5

1≤≤c 时可保持最优解不变。

2c 的分析：要使得最优解不变，则需

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧

≤⨯-⨯+=≤⨯+⨯-=0

34313003532302423c c σσ 即 ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥≤435

622c c 所以：

5

6

432≤≤c 时可保持最优解不变。

（2）1b 的分析：要使得最优基保持不变，则需

03405310-2103/43/53/1-3/21111≥⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-b b b b B 即 ⎪⎩

⎪⎨

⎧≥+-≥0

34050310

-211b b

⎩⎨

⎧≤≥⇒8

5

11b b

所以：851≤≤b 时可保持最优基不变。

2b 的分析：要使得最优基保持不变，则需

034353-1473/43/53/1-3/222

21≥⎪⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝

⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-b b b b B 即 ⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥0343503-1422

b b ⎪⎩

⎪⎨⎧≥≤⇒435

1412b b

所以：144

35

2≤≤b 时可保持最优基不变。

2、P92, 2.12 已知线性规划问题

3212m ax x x x Z +-=

⎪⎩⎪

⎨⎧≥≤+≤++0,,4263

212

1321x x x x x x x x 先用单纯形法求最优解，在讨论下列问题：

(1)目标函数中变量321,,x x x 的系数在什么范围内变化，最优解不变？ (2)两个约束的右端项分别在什么范围内变化，最优基不变？ (3)增加一个新的约束2221≥+-x x ，寻找新的最优解。

解：化标准型：

⎪⎩⎪

⎨⎧≥=++-=+++042652

14

321i

x x x x x x x x

j

C

2 -1 1

B C B X b 1x 2x 3

x

4x 5x

0 4x 6 【1】 1 1 1 0 0

5x

4

-1 2 0 0 1 j

σ

2

-1 1 0 0 2 1x 6 1 1 1 1 0 0

5x

10

0 3 1 1 1 j

σ

-4

-2

-3

已得最优解10,651==x x ，其余变量均为0. （1）1c 的分析：要使最优解不变，必须