圆锥曲线大题训练(文科)

3. （本小题共13分）

已知椭圆

1(0)

y x

a b

+=>>的离心率为

，斜率为(0)

k k≠的直线l过椭圆的上焦点且与

椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点(0,)

M m．（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）求的取值范围；

（Ⅲ）试用表示△MPQ的面积，并求面积的最大值．

4．（本小题共14分）

已知椭圆

x y

a b

+=(0)

a b

>>经过点

(1,),

M其离心率为

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

(Ⅱ)设直线

:(||)

l y kx m k

=+≤与椭圆C相交于A、B两点，以线段,

OA OB为邻边作平行四边

形OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点.求OP的取值范围.

解析几何大题参考答案： 1．（共13分）

（Ⅰ）解：由已知，动点P 到定点1

(0,)4F 的距离与动点P 到直线1

y =-

的距离相等．由抛物线定义可知，动点P 的轨迹为以1(0,)4

为焦点，直线1

y =-

为准线的抛物线．

所以曲线C 的方程为2

y x =． ………………3分

（Ⅱ）证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ．

由2,1,

y x y kx ?=?=+?得210x kx --=．所以12x x k +=，121x x =-．设00(,)M x y ，则02

k x =．因为MN x ⊥轴，所以N 点的横坐标为

k ．由2

y x =，可得'2y x = 所以当2

x =

时，'y k =．所以曲线C 在点N 处的切线斜率为k ，与直线AB 平行．………………8分（Ⅲ）解：由已知，0k ≠．

设直线l 的垂线为'l ：1

y x b k

+．代入2

y x =，可得2

0x x b k

-= （*）若存在两点3344(,),(,)D x y E x y 关于直线l 对称，

则

34122x x k +=-，3421

22y y b k +=+

又3434

(

,)22

x x y y ++在l 上，所以

211()122b k k k +=-+， 2

22b k =-

．由方程（*）有两个不等实根

所以2

1()40b k

?=+>，即

221220k k

+-> 所以

k <

，解得2k <-

或2k >． ………………13分 2.（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）因为椭圆M 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为246+，

所以24622+=+c a ， ……………1分

又椭圆的离心率为

，即3c a =

，所以3

c =

， ………………2分所以3a =

，c =………………4分

所以1b =，椭圆M 的方程为19

=+y x . ………………5分（Ⅱ）方法一：不妨设BC 的方程(3),(0)y n x n =->，则AC 的方程为)3(1

=x n

y . 由22

(3),

y n x x y =-???+=??得0196)91(2

222=-+-+n x n x n ， ………………6分设),(11y x A ，),(22y x B ，

因为222819391n x n -=+，所以193

272

22+-=n n x ， ………………7分同理可得22

19327n n x +-=， ………………8分

所以1

1||22

++=n n BC ，22

2961||n n n n AC ++=， ………………10分

64)1()

(2||||2

12+

++==?n n n n AC BC S ABC ， ………………12分

设21

≥+=n n t ，

则2223

6464899t S t t t ==≤++

， ………………13分

当且仅当3

=t 时取等号，

所以ABC ?面积的最大值为

. ………………14分方法二：不妨设直线AB 的方程x ky m =+.

由22

,1,9

x ky m x y =+???+=?? 消去x 得222

(9)290k y kmy m +++-=， ………………6分设),(11y x A ，),(22y x B ，

则有12229

y y k +=-+，212299m y y k -=+. ① ………………7分

因为以AB 为直径的圆过点C ，所以 0CA CB ?=. 由 1122(3,),(3,)CA x y CB x y =-=-，

得 1212(3)(3)0x x y y --+=. ………………8分将1122,x ky m x ky m =+=+代入上式，

得 22

1212(1)(3)()(3)0k y y k m y y m ++-++-=.

将 ① 代入上式，解得 12

m =

或3m =（舍）. ………………10分所以125m =（此时直线AB 经过定点12

(,0)5D ，与椭圆有两个交点），

所以121

||||2

ABC S DC y y ?=-

12==

……………12分设2

,099

t t k =

<≤+，

则ABC S ?= 所以当251(0,]2889

t =

∈时，ABC S ?取得最大值83

. ……………14分

3.（共13分）

解：（Ⅰ）依题意可得，

=a c ，c b =，又2

c b a +=，

可得1,b a ==

所以椭圆方程为2

212

y x +=．（Ⅱ）设直线l 的方程为1y kx =+，

由22

1,1,2

y kx y x =+???+=??可得22(2)210k x kx ++-=．

设1122(,),(,)P x y Q x y ，则12222k x x k -+=

+，122

x x k =-+．可得121224

()22

y y k x x k +=++=

+．设线段PQ 中点为N ，则点N 的坐标为222

(,)22

k k k -++，由题意有1-=?k k MN ，

可得

222

212m k k k k -

+?=-+．可得2

m k =

+，又0k ≠，所以102

m <<

．（Ⅲ）设椭圆上焦点为F ，

则121

MPQ S FM x x ?=

??-.

12x x -== 由2

12m k =

+，可得2

12k m

+=．

所以12x x -=

又1FM m =-，

所以MPQ S ?=

所以△MPQ 的面积为3)1(2m m -（2

10<

)1()(m m m f -=，则)41()1()('2m m m f --=．

可知)(m f 在区间)41,0(单调递增，在区间)2

1,41(单调递减．所以，当41=

m 时，)(m f 有最大值64

27)41(=f ．所以，当4

m 时，△MPQ 的面积有最大值863．

4. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知(

,0)2p

F ,设11(,)A x y ，则2112y px =，圆心坐标为112(,)42x p y +，圆心到y 轴的距离为1

x p

+， …………………2分圆的半径为

1121()2224

FA x p p

x +=?--=， …………………4分所以，以线段FA 为直径的圆与y 轴相切. …………………5分（Ⅱ）解法一：设022(0,),(,)P y B x y ，由1FA AP λ=,2BF FA λ=,得

111101(,)(,)2p x y x y y λ-

=--，22211(,)(,)22

p p

x y x y λ--=-， …………………6分所以1111101,()2p

x x y y y λλ-=-=-，

221221(),22

p p

x x y y λλ-=-=-， …………………8分由221y y λ=-，得222

221y y λ=. 又2112y px =，2

222y px =，

所以 2

221x x λ=. …………………10分

代入

221()22p p x x λ-=-，得22121()22p p x x λλ-=-，2122(1)(1)2

x λλλ+=+，整理得12

2p x λ=

， …………………12分

代入1112

x x λ-

=-，得

122222p p p λλλ-=-，所以

1λλλ=-

， …………………13分因为

1211[,]42λλ∈，所以2λ的取值范围是4

[,2]3

. …………………14分解法二：设),(),,(2211y x B y x A ，:2

AB x my =+

，将2

p x my =+

代入22y px =，得22

20y pmy p --=，所以2

12y y p =-（*）， …………………6分

由1FA AP λ=，2BF FA λ=，得

111101(,)(,)2p x y x y y λ-

=--，22211(,)(,)22

p p

x y x y λ--=-， …………………7分所以，1111101,()2p

x x y y y λλ-=-=-，

221221(),22

p p

x x y y λλ-=-=-， …………………8分将122y y λ-=代入（*）式，得2

p y λ=

， …………………10分

所以2

2p px λ=

，12

2p x λ=

. …………………12分

代入1112

x x λ-

=-，得12211λλλ=-. …………………13分

因为1211[,]42λλ∈，所以2λ的取值范围是4

[,2]3

. …………………14分

6.解：（Ⅰ）由已知可得222

a b e a -==，所以22

34a b = ① ……………1分又点3

(1,)2M 在椭圆C 上，所以

221914a b

+= ② ……………2分由①②解之，得2

4,3a b ==.

故椭圆C 的方程为22

143

x y +=. ……………5分 (Ⅱ) 由22

1.4

3y kx m x y

=+???+=?

? 消y 化简整理得：2

(34)84120k x kmx m +++-=，

222222644(34)(412)48(34)0k m k m k m ?=-+-=+-> ③ ……………8分设,,A B P 点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、

、，则 0120121222

86,()23434km m

x x x y y y k x x m k k

=+=-

=+=++=++. ……………9分由于点P 在椭圆C 上，所以 22

143

x y +=. ……………10分从而2222222

16121(34)(34)

k m m k k +=++，化简得22

434m k =+，经检验满足③式. ………11分

又||OP ==

= ………………………12分

因为12k ≤

，得23434k <+≤，有2331443

k ≤<+，

OP ≤≤

. 即所求OP

的取值范围是2

. ………………………14分 (Ⅱ)另解：设,,A B P 点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、

、，由,A B 在椭圆上，可得221122

2234123412x y x y ?+=?+=?①

②

………………………6分 ①—②整理得121212123()()4()()0x x x x y y y y -++-+=③ ………………………7分

由已知可得OP OA OB =+，所以120120x x x y y y +=??

+=?④

⑤

……………………8分

由已知当12

y y k x x -=

- ,即1212()y y k x x -=- ⑥ ………………………9分

把④⑤⑥代入③整理得0034x ky =- ………………………10分

与22003412x y +=联立消0x 整理得2

029

y k =+ ……………………11分

由22003412x y +=得2

00443

x y =-

，所以222

222000002

413

||4443343

OP x y y y y k =+=-+=-=-+ ……………………12分因为12k ≤

，得23434k ≤+≤，有233

1443

k ≤≤+，

OP ≤≤

. ………………………13分所求OP

的取值范围是. ………………………14分 5.（本小题共14分）

解：（Ⅰ）由椭圆的定义可知，动点P 的轨迹是以A ，B

为焦点，长轴长为

∴1c =

，a =2

2b =． ∴W 的方程是22132

x y +=． ………………4分

（Ⅱ）设C ，D 两点坐标分别为11(,)C x y 、22(,)D x y ，C ，D 中点为00(,)N x y ．

当0k =时，显然0m =；当0k ≠时，

由221

2y kx x y =+???+=?? 得 22(32)630k x kx ++-=．

所以122632k x x k +=-

+， ∴1202

3232

x x k

x k +==-+，从而002

132

y kx k =+=

+．

∴MN 斜率2002232332

y k k k x m m k +==

---+．又∵CM DM =， ∴CD MN ⊥， ∴222

132332

k k k m

k +=---+ 即 2

12323k m k k k =-=-+

+6[(0,]∈．

故所求m

的取范围是[． ……………… 6.（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）由题意得22222

411,,2a b a b c c a

?+=???=+??

?=??

解得a =b =

故椭圆C 的方程为22

163

x y +=． ……………………………………4分（Ⅱ）由题意显然直线l 的斜率存在，设直线l 方程为(3)y k x =-，

由22(3),

1,6

3y k x x y =-???+=??得2222(12)121860k x k x k +-+-=. …………………5分

因为直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，

所以4

1444(12)(186)24(1)0k k k k ?=-+-=->，解得11k -<<. ……6分设M ，N 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，

则21221212k x x k +=+，2122

186

12k x x k -=+，11(3)y k x =-，22(3)y k x =-．… 7分

所以1212(3)(3)BM BN x x y y ?=--+ ……………………………………8分

1212(1)[3()9]k x x x x =+-++

3312k k +=+

23322(12)

k =

++． ……………………………………9分

因为11k -<<，所以2332322(12)

k <

++≤．故BM BN ?的取值范围为(2, 3]． ……………………………………10分（Ⅲ）由（Ⅱ）得AM AN k k +121211

y y x x --=

+-- ……………………………………11分 122112(31)(2)(31)(2)

(2)(2)kx k x kx k x x x ---+---=

121212122(51)()124

2()4

kx x k x x k x x x x -++++=

-++

2222222(186)(51)12(124)(12)

186244(12)

k k k k k k k k k --+?+++=--++

222

k k -+==--．所以AM AN k k +为定值2-． ……………………………………14分

7.石景山一模

8. 顺义2 解（1）因为

3=a c ，且3=c ，所以1,222=-==c a b a 所以椭圆C 的方程为14

=+y x …………………………………………….3分 (2 ) 易知椭圆C 的左，右顶点坐标为)0,2(),0,2(B A -,直线AS 的斜率k 显然存在，且0>k 故可设直线AS 的方程为)2(+=x k y ，从而)3

,310(k M --

由?

)

2(2

2=++=y x x k y 得041616)41(2

222=-+++k x k x k 设),(11y x S ，则22141416)2(k k x +-=-，得2

14182k k x +-= 从而2

1414k

y +=，即)414,4182(222k k k k S ++- 又)0,2(B ,故直线BS 的方程为)2(41

=x k

y 由?????-=--=310)2(41x x k y 得??

?==-=k y x 34310，所以)34,310(k N - 故k

k MN 3434+=

又0>k ，所以3

8343423434=?≥+=

k k k k MN 当且仅当k

k 34

34=

时，即1=k 时等号成立所以1=k 时，线段MN 的长度取最小值3

………………………………..9分

（3）由（2）知，当线段MN 的长度取最小值时，1=k

此时AS 的方程为02=+-y x ，5

,56(-S ,

所以524=

AS ,要使TSA ?的面积为5

，

只需点T 到直线AS 的距离等于

2，所以点T 在平行于AS 且与AS 距离等于

2的直线'

l 上设0:'

=+-t y x l ，则由

-t ，解得2523==t t 或

① 当23=t 时，由??

???=+-=+0

23142

2y x y x 得051252=++x x

由于044>=?，故直线'

l 与椭圆C 有两个不同交点

②25=t 时，由??

???=+-=+0

25142

2y x y x 得0212052=++x x

由于020<-=?，故直线'

l 与椭圆C 没有交点

综上所求点T 的个数是2. ……………………………………………..14分

9.解：（Ⅰ） a c e ==

22， 12

122=+a

b ，222

c b a += ∴2=a ，2=b ，2=c

∴14

2=+y x --------------------------------------------------------------------------------------5分（Ⅱ）设直线BD 的方程为b x y +=

∴???=++=4

222

y x b x y 042242

2=-++?b bx x ∴06482

>+-=?b 2222<<-?b

,22

21b x x -=+ ----① 4

4221-=b x x -----② 22212

4864343)2(1b b x x BD -=-=?=-+= ，

设d 为点A 到直线BD ：b x y +=2的距离， ∴3

b d =

∴2)8(4

22122≤-==

?b b d BD S ABD ，当且仅当2±=b 时取等号. 因为2±)22,22(-∈，所以当2±=b 时，ABD ?的面积最大，最大值为

2--------10分

（Ⅲ）设),(11y x D ，),(22y x B ，直线AB 、AD 的斜率分别为：AB k 、AD k ，则

+AB AD k k 1

2122121222112211--++

--+=--+--x b x x b x x y x y =]1

)(2

[

22212121++--++x x x x x x b ------* 将（Ⅱ）中①、②式代入*式整理得

)(2

[

22212121++--++x x x x x x b =0，

即

=+AB AD k k 0----------------------------------------------------------------------------------------------14分

10．（Ⅰ）设椭圆方程为22

221,(0)x y a b a b

+=>> ， …………… 1分

∵ 抛物线2

4y x =的焦点坐标为(0,1) ∴1b = ……………… 2分

由已知得2c a =， ∴ 22

2a c a c ?-=??=??

，………………………… 3分

解得1a c == …………………………………… 4分

∴ 椭圆方程为2

212

x y += …………………………………… 5分（Ⅱ）设1122(,),(,),M x y B x y (1,0),(0,1),F B ，∴ 1BF k =-

∵F 是垂心，∴ 1MN K =

∴ 设MN 的方程为y x t =+， ……………………………… 7分