高中数学-4历年高考题全国卷含答案

1.（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ23）已知曲线C 1的参数方程为

45cos ,

55sin ,

x t y t =+??

=+? （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为θρsin 2=. （Ⅰ）把C 1的参数方程化为极坐标方程；

（Ⅰ）求C 1与C 2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）。 【解析】将??

?+=+=t

y t

x sin 55cos 54消去参数t ，化为普通方程25)5()4(22=-+-y x ,

即1C ：01610822=+--+y x y x . 将??

?==θ

ρθ

ρsin cos y x 代入01610822=+--+y x y x 得

016sin 10cos 82=+--θρθρρ.

（Ⅰ）2C 的普通方程为0222=-+y y x .

由?????=-+=+--+0

20161082222y y x y x y x ，解得???==11y x 或???==20y x . 所以1C 与2C 交点的极坐标分别为)4

,2(π，)2

,2(π

2.（2013·新课标全国Ⅱ高考理科·Ｔ23）已知动点P ，Q 都在曲线C ：()2cos 2sin x t

t y t

=??

=?为参数 上，对应参数分别为t=α

与t =2α（0＜α＜2π）,M 为PQ 的中点. （1）求M 的轨迹的参数方程.

（2）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点.

【解题指南】(1)借助中点坐标公式，用参数α表示出点M 的坐标，可得参数方程.

(2)利用距离公式表示出点M 到原点的距离d,判断d 能否为0,可得M 的轨迹是否过原点.

【解析】（1）依题意有()()2cos ,2sin ,2cos2,2sin 2,P Q αααα因此

()cos cos2,sin sin 2M αααα++.

M 的轨迹的参数方程为cos cos 2sin sin 2x y αα

αα=+??

=+?

()2ααπ<<为参数，0

（2）M 点到坐标原点的距离

()

02d απ==<<.

当απ=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点.

11.（2012·新课标全国高考文科·Ｔ23）与（2012·新课标全国高考理科· Ｔ23）相同

已知曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数???

??

?==，以坐标原点为极点，

x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ，正方形

ABCD 的顶点都在2C 上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐

标为(2,)3π

.

（1）求点,,,A B C D 的直角坐标. （2）设P 为1C 上任意一点，求

2

2

2

2

PA PB PC PD

+++的取值范围.

【解题指南】（1）利用极坐标的定义求得A ，B ，C ，D 的坐标. （2）由1C 方程的参数式表示出|PA|2+ |PB|2 + |PC|2+ |PD|2关于?的函数式，利用函数的知识求取值范围. 【解析】（1）由已知可得

2cos ,2sin ,2cos ,2sin 333232A B ππππππ????????++ ? ? ? ?

????????，

332cos ,2sin ,2cos ,2sin 333232

C D ππππ

ππ

ππ????

????????+++

+ ? ? ? ? ? ??????????

???，

即

(

(

)(

),,1,,1

A B C D

--.

(2)设

()2cos ,3sin ,

P ??令

2

2

2

2

S PA PB PC PD

=+++，则

2216cos 36sin 16S ??=++ 23220sin ?=+.

因为

2

0sin 1,?≤≤所以S 的取值范围是[]32,52. 12.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ23）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为

，

（为参数），M 是C 1上的动点，P 点满足OP 2OM =,P 点的轨迹为曲线C 2.

(Ⅰ)求C 2的方程.

2cos 22sin x y αα=??

=+?

α

(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C 1的异于极点的交

点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求.

【思路点拨】第（Ⅰ）问，2OP OM =意味着Ｍ为O P ,的中点，设出点P 的坐标，可由点M 的参数方程（曲线1C 的方程）求得点P 的参数方程；

第（Ⅱ）问，先求曲线1C 和2C 的极坐标方程，然后通过极坐标方程，求得射线3

π

θ＝与1

C 的交点A 的极径1ρ，求得射线3

π

θ＝

与2C 的交点B 的极径2ρ，最后只需求AB ｜｜＝

21|ρρ-｜即可.

【精讲精析】（I ）设P(x,y),则由条件知M(

).由于M 点在C 1上，所以 2cos ,2

22sin 2

?=???

?=+??x

y αα 即 4cos ,44sin ,=??=+?x y αα 从而的参数方程为

，

（为参数）. （Ⅱ）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.

射线与的交点的极径为，

射线与的交点的极径为.

所以.

3

π

θ=AB ,22

x y

2C 4cos 44sin x y αα

=??

=+?α1C 4sin ρθ=2C 8sin ρθ=3

π

θ=

1C A 14sin

3

π

ρ=3

π

θ=

2C B 28sin

3

π

ρ=

11.(2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T23) (2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T23)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐标方程为ρ=2cos θ,θ∈0,

2π??

????

. (1)求C 的参数方程.

(2)设点D 在C 上,C 在D 处的切线与直线

垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D 的坐标.

【解题提示】(1)先求出C 的普通方程,然后再化为参数方程.

(2)利用C 的参数方程设出点D 的坐标,利用切线与直线l 垂直,可得直线GD 与直线l 的斜率相同,求得点D 的坐标.

【解析】（1）C 的普通方程为()2

2

11x y -+= (0≤y ≤1).

可得C 的参数方程为1cos sin x t

y t =+??

=?

(t 为参数，0≤t ≤π).

（2）设D （1+cos t ,sin t ），由（1）知C 是以G （1，0）为圆心，1为半径的上半圆.因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t

,t =

3

π

. 故D 的直角坐标为1cos

,sin

3

3π

π??

+ ??

?

,

即32?

??

. 10.选修4-4:坐标系与参数方程(2015·新课标全国卷Ⅱ理科·T23)

在直角坐标系xOy 中,曲线

(t 为参数,且t ≠0),其中0≤α<π,在以O 为极

点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=2sin θ,C 3:ρ=2cos θ.

(1)求C 2与C 3交点的直角坐标.

1cos ,

:sin ,x t C y t αα=??

=?

(2)若C 1与C 2相交于点A,C 1与C 3相交于点B,求|AB|的最大值.

【解析】(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2-2y=0,曲线C 3的直角坐标方程为x 2+y 2-2

x=0.

联立x y y x y 2222?+-2=0??+-=0

??，解得x y =0??=0?

，或x y ?

=???

3?=??

2

. 与交点的直角坐标为(,)00

和).32

(2)曲线C 1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π.

因此A 的极坐标为(2sin α,α),B 的极坐标为(2cos α,α).

所以|AB|=|2sin α-2cos α|=4|sin(α-)|.

当α=时,|AB|取得最大值,最大值为4.

2C 3C