高三指对幂函数讲义(供参考)
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幂、指、对函数综合复习
一、指数与指数函数
(1)根式的概念
①如果,,,1n
x a a R x R n =∈∈>,且n N +∈,那么x 叫做a 的n 次方根.当n 是奇数时,a 的n 次方根用
n 是偶数时,正数a 的正的n
n
次方根用符号0的n 次方根是0;负数a 没有n 次方根.
n 叫做根指数,a 叫做被开方数.当n 为奇数时,a 为任意实数;当n 为偶数时,
0a ≥.
③根式的性质:n
a =;当n
a =;当n 为偶数时,
(0)
|| (0)
a a a a a ≥⎧==⎨
-<⎩.
(2)分数指数幂的概念
①正数的正分数指数幂的意义是:0,,,m n
a a m n N +=>∈且1)n >.0的正分数指数幂等于0.
②正数的负分数指数幂的意义是:
1()0,,,m m n
n a
a m n N a -+==>∈且1)n >.0的负分数指数幂没有意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数.
(3)分数指数幂的运算性质
①(0,,)r
s
r s
a a a
a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r a
b a b a b r R =>>∈
(4)指数函数图像与性质
二、对数与对数函数
(1)对数的定义
①若(0,1)x
a N a a =>≠且,则x 叫做以a 为底N 的对数,记作log a x N =,其中a 叫做底数,N 叫做
真数.
②负数和零没有对数.
③对数式与指数式的互化:log (0,1,0)x
a x N a N a a N =⇔=>≠>.
(2)几个重要的对数恒等式
log 10a =,log 1a a =,log b a a b =.
(3)常用对数与自然对数
常用对数:lg N ,即10log N ;自然对数:ln N ,即log e N (其中 2.71828e =…). (4)对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>,那么
①加法:log log log ()a a a M N MN += ②减法:log log log a a a
M M N N
-= ③数乘:log log ()n
a a n M M n R =∈ ④log a N a N =
⑤log log (0,)b n a a n
M M b n R b
=
≠∈ ⑥换底公式:log log (0,1)log b a b N N b b a =
>≠且 (5)对数函数及其性质
(6)反函数的概念
设函数()y f x =的定义域为A ,值域为C ,从式子()y f x =中解出x ,得式子()x y ϕ=.如果对于y 在
C 中的任何一个值,通过式子()x y ϕ=,x 在A 中都有唯一确定的值和它对应,那么式子()x y ϕ=表示
x 是y 的函数,函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数,记作1()x f y -=,习惯上改写成1()y f x -=.
说明:反函数的求法
①确定反函数的定义域,即原函数的值域;②从原函数式()y f x =中反解出1
()x f y -=;
③将1
()x f
y -=改写成1()y f x -=,并注明反函数的定义域.
(7)反函数的性质
①原函数()y f x =与反函数1
()y f
x -=的图象关于直线y x =对称.
②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1
()y f
x -=的值域、定义域.
③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上,则'
(,)P b a 在反函数1
()y f x -=的图象上.
④一般地,函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数.
三、幂函数
(1)幂函数的定义:
一般地,函数y x α
=叫做幂函数,其中x 为自变量,α是常数. (2)幂函数的图象 (3)幂函数的性质
①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象分布在第一、
二象限(图象关于y 轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限.
②过定点:所有的幂函数在(0,)+∞都有定义,并且图象都通过点(1,1).
③单调性:如果0α>,则幂函数的图象过原点,并且在[0,)+∞上为增函数.如果0α<,则幂函数的图
象在(0,)+∞上为减函数,在第一象限内,图象无限接近x 轴与y 轴.
④奇偶性:当α为奇数时,幂函数为奇函数,当α为偶数时,幂函数为偶函数.当q
p
α=
(其中,p q 互质,p 和q Z ∈)
,若p 为奇数q 为奇数时,则q p
y x =是奇函数,若p 为奇数q 为偶数时,则q p
y x =是偶函数,若p 为偶数q 为奇数时,则q
p
y x =是非奇非偶函数.
⑤图象特征:幂函数,(0,)y x x α
=∈+∞,当1α>时,若01x <<,其图象在直线y x =下方,若1x >,
其图象在直线y x =上方,当1α<时,若01x <<,其图象在直线y x =上方,若1x >,其图象在直线y x =下方.
四、例题分析
例1 已知函数2
23
n
n y x --=()n ∈Z 的图象与两坐标轴都无公共点,且其图象关于y 轴对称,求n 的值,并画
出函数的图象.
解:因为图象与y 轴无公共点,故2230n n --≤,又图象关于y 轴对称,则223n n --为偶数,由
2230n n --≤,得13n -≤≤,又因为n ∈Z ,所以0123n =±,,,.
当0n =时,2233n n --=-不是偶数; 当1n =时,2234n n --=-为偶数; 当1n =-时,2230n n --=为偶数; 当2n =时,2233n n --=-不是偶数; 当3n =时,2230n n --=为偶数; 所以n 为1-,1或3. 此时,幂函数的解析为0(0)y x x =≠或4y x -=,其图象如图1所示.
在幂函数()f x 的图象上,
例
2 已知点
点124⎛
⎫- ⎪⎝
⎭,,在幂函
数()g x 的图象上.问当x 为何值
时有:
(
1
)
()()f x g x >;
(2)()()f x g x =;