幂指对函数
指、对、幂函数知识点
（1指、对、幂函数知识点）指数函数轴对称 比较指数式大小的方法：1.当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较； 2. 当底数中含有字母时要注意分类讨论；3. 当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较；4.对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较（2）对数函数(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断.(2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论.(3)若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较.(4)若底数、真数都不相同，则常借助1、0、-1等中间量进行比较.（3）幂函数=叫做幂函数，其中x为自变量，α是常数．一般地，函数y xα幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)； 幂函数是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)； 幂函数是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)． ③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴． ④奇偶性： 当qpα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈）， 若p 为奇数q 为奇数时，则q py x =是奇函数； 若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数； 若p 为偶数q 为奇数时，则qp y x =是非奇非偶函数．幂函数y x α=（x ∈R ，α是常数）的图像在第一象限的分布规律是：当0>α时，幂函数y x α=有下列性质：（1）图象都通过点(0,0),(1,1)； （2）在第一象限内都是增函数；（3）在第一象限内，α>1时，图象是“抛物线”型的；α<<01时，图象是“眉毛”型的； （4）在第一象限内，过点(1,1)后，图象向右上方无限伸展。
幂指对函数及方程
幂、指、对函数及方程方法指导：一、幂函数1. 幂函数的定义函数(k y x k =为常数，)k ∈Q 称为幂函数，其中x 是自变量，前面的系数为1．2. 幂函数的图像 研究pq y x =的图像特点，其中p q是既约分数（最简分数）．3. 幂函数的性质（1） 对于一切幂函数，当0x >时，总有0y >，所以幂函数在第一象限均有图像，且幂函数图像不可能出现在第四象限．（2） 幂函数一定过点(1,1)．（3） 当0k >时，k y x =在(0,)+∞上递增，图像过点(0,0),(1,1)；① 当01k <<时，k y x =向x 轴正方向递增；② 当1k >时，k y x =向y 轴正方向递增．当0k =时，k y x =是一条不过点(0,1)的直线；当0k <时，k y x =在(0,)+∞上递减，图像过点(1,1)，图像向上与y 轴无限接近，向右与x 轴无限接近．（4） 在1x =的右侧由上至下k 递减．二、指数函数1. 指数运算法则（1） (0,)x y x y a a a a x y +⋅=>∈R 、 （2） ()(0,)x y xy a a a x y =>∈R 、（3） ()(0,0,)x x x a b a b a b x ⋅=⋅>>∈R2. 指数函数的定义函数(0,1,)x y a a a x =>≠∈R 称为指数函数．3. 指数函数的图像4. 指数函数的性质（1） 函数图像在x 轴上方，函数值恒大于零，故函数图像不可能在三、四象限．（2） 指数函数的图像经过点(0,1)，01a =．（3） 函数定义域为R ，值域为(0,)+∞．（4） 非奇非偶函数（5） 无零点（6） 函数(1)x y a a =>在(,)-∞+∞内是增函数；函数(01)x y a a =<<在(,)-∞+∞内是减函数．（7） 在1a >时，第一象限内1y >，增长速度十分惊人；第二象限内01y <<，增长缓慢；在01a <<时，第一象限内01y <<；第二象限内1y >．（8） 无最值（9） 函数图像与x 轴无限接近，x 轴叫做函数的渐近线．（10） x y a =的图像与1()x y a=的图像关于y 轴对称． 三、指数方程（1） 同底型：()()()()(0,1)f x g x a a f x g x a a =⇔=>≠．（2） 基本型：① ()()log (0,1,0)f x a a b f x b a a b =⇔=>≠>；② ()()()lg ()lg (0,1,0,1)f x g x a b f x a g x b a a b b =⇔=>≠>≠．（3） 代换型：① 20x x Aa Ba C ++=，令x t a =（注意t 的范围），转化为20At Bt C ++=求解； ② 2220()()0x x x x x x a a Aa Ba b Cb A B C b b ++=⇒++=，令()x a t b= （注意t 的范围），转化为20At Bt C ++=求解．（4） 图解型：一般不可直接求解的可利用图象法求近似值．四、对数1. 对数的定义若(0,1)b a N a a =>≠，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N b =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．注意底数的范围是(0,1)(1,)+∞；真数的取值范围是(0,)+∞．2. 对数的性质若0,1,0,0,0,0,1a a M N n b b >≠>>>>≠，那么（1） 零和负数没有对数（2） log 1a a =，log 10a =，log a N a N =（3） log ()log log a a a MN M N =+，log ()log log a a a M M N N =- （4） log log n a a M n M =，log log m n a a n b b m =（5） log log log a b a N N b =（换底公式），特别地1log log a b b a=【拓展公式】 3. 常用的对数 以10为底的对数叫做常用对数，通常写做lg N ；以无理数 2.71828e =为底的对数叫做自然对数，通常写做ln x ．五、对数函数1. 对数函数的定义函数log (0,1,0)a y x a a x =>≠>称为对数函数．2. 对数函数的图像3. 对数函数的性质（1） 对数函数log (0,1)a y x a a =>≠的图像都在y 轴右侧．（2） 对数函数log (0,1)a y x a a =>≠的图像都经过点(1,0)．（3） 函数定义域(0,)+∞，值域R ．（4） 非奇非偶函数．（5） 对数函数log (1)a y x a =>在(0,)+∞上是增函数，函数值开始增长较快，到了某一值后增长速度变慢；对数函数log (01)a y x a =<<在(0,)+∞上是减函数，函数值开始减小较快，到了某一值后减小速度变慢．（6） 对数函数log (1)a y x a =>，当1x >时，0y >；当01x <<时，0y <； 对数函数log (01)a y x a =<<，当1x >时，0y <；当01x <<时，0y >．（7） y 轴是对数函数的渐近线．（8） 当1a >时，底数越大，图像越靠近x 轴；当01a <<时，底数越小，图像越靠近x 轴．（9） 对数函数log (0,1)a y x a a =>≠与指数函数(0,1)x y a a a =>≠互为反函数．六、对数方程（1） 同底型：()0log ()log ()(0,1)()0()()0()()a a f x f x g x a a g x f x g x f x g x >⎧⎪=>≠⇔>⇔=>⎨⎪=⎩．（2） 基本型：log ()(0,1)()b a f x b a a f x a =>≠⇔=．（3） 代换型：2log ()log ()0a a A f x B f x C ++=，令log ()a t f x =（注意t 的范围），转化为20At Bt C ++=求解．（4） 图解型：一般不可直接求解的可利用图像法求近似值．典型题解：幂、指、对函数的图像及性质特殊方程1.比较下列各题中两个值的大小（1）323()4和233()4 （2）0.63()4-和0.64()3-（3）0.62()5-和1 （4）12π和1()2π 2．若4333423494434334log log log log (log log )()log log x ⋅=+-+，则x =（ ）． A ．4 B ．16 C ．256 D ．813．如图，幂函数223()Z m m y xm --=∈的图像关于y 轴对称，且与x 轴y 轴均无交点，求此函数解析式．4. 关于x 的方程lg 3x x +=，103xx +=的根分别为,αβ．则αβ+=__________．5． 使2log ()1x x -<+成立的x 的取值范围是______.6.方程2log (4)3x x +=实数解的个数是（ ）A 0B 1C 2D 37．已知关于x 的方程2212730x x a a ---+=有一个根是2，求a 的值和方程的其余的根．8． 已知1(1)()22,x x f x --+=-则1(2)f -=_________.9.若关于x 的方程2(3)24log log x x a +-=的根在区间（3,4）内，则a 的取值范围为______. 10.设集合1{420,},x x A a x R +=-+=∈若A 为单元素集，求实数a 的取值范围.。
幂函数、指数函数与对数函数(解析版))
幂函数、指数函数与对数函数知识方法扫描一、指数函数及其性质形如y =a x (a >0,a ≠1)的函数叫作指数函数，其定义域为R ，值域为(0,+∞)．当0<a <1时，y =a x 是减函数，当a >1时，y =a x 为增函数，它的图像恒过定点(0,1)．二、分数指数幂a 1n=na ,a m n=n a m ,a -n=1an ,a -mn =1na m三、对数函数及其性质对数函数y =log a x (a >0,a ≠1)的定义域为(0,+∞)，值域为R ，图像过定点(1,0)．它是指数函数y =a x (a >0,a ≠1)的反函数，所有性质均可由指数函数的性质导出．当0<a <1时，y =log a x 为减函数，当a >1时，y =log a x 为增函数．四、对数的运算性质(M >0,N >0)(1)a log M a =M (这是定义)；(2)log a (MN )=log M a +log a N ；(3)log a MN=log a M -log a N ；(4)log a M n =n log a M ；(5)log a b =log c blog c a (a ,b ,c >0,a ,c ≠1)(换底公式)．由以上性质(4)、(5)容易得到以下两条推论：1)log a mb n =n m log a b ；2)log a b =1log b a．典型例题剖析1已知x 1是方程x +lg x =10的根，x 2是方程x +10x =10的根，求x 1+x 2的值．【解法1】由题意得lg x 1=10-x 110x 2=10-x 2，表明x 1是函数y =lg x 与y =10-x 的交点的横坐标，x 2是函数y =10x 与y =10-x 的交点的横坐标．因为y =lg x 与y =10x 互为反函数，其图像关于y =x 对称，由y =10-x y =x 得，x =5y =5 ，所以x 1+x 22=5，所以x 1+x 2=10．【解法2】构造函数f (x )=x +lg x ，由x 1+lg x 1=10知f x 1 =10，x 2+10x 2=10即10x 2+lg10x 2=10，则f 10x 2 =10，于是f x 1 =f 10x 2 ，又f (x )为(0,+∞)上的增函数，故x 1=10x 2，x 1+x 2=10x 2+x 2=10．【解法3】由题意得x 1=1010-x 110-x 2=10x 2，两式相减有x 1+x 2-10=1010-x 1-10x 2．若x 1+x 2-10>0，则1010-x 1-10x 2>0，得10-x 1>x 2，矛盾；若x 1+x 2-10<0，则1010-x 1-10x 2<0，得10-x 1<x 2，矛盾；而当x 1+x 2=10时，满足题意．【评注】解法1巧妙地利用了数形结合的方法，解法2巧妙地利用了函数的单调性，解法3巧妙地利用了反证法的技巧．2已知a >0，b >0，log9a =log 12b =log 16(a +b )，求ba的值．【解法1】设log 9a =log 12b =log 16(a +b )=k ，则a =9k ，b =12k ，a +b =16k ．由于9k ×16k =12k 2故(a +b )a =b 2，解得：b a =1+52(负根舍去)．【解法2】设log 9a =log 12b =log 16(a +b )=k ，则a =9k ，b =12k ，a +b =16k ．b a =12k 9k =43 k ，而9k +12k =16k，故1+12k 9k =16k 9k ，即43 k 2-43 k -1=0，故b a =43 k =1+52(负根舍去)．【评注】对数运算和指数运算互为逆运算，有关对数的运算和处理，往往可以转化为指数的运算和处理．3已知函数f (x )=1x +1+log 13x 2-x，试解不等式f x x -12 >12．【分析】本题为分式不等式与对数不等式混合．初看不易解决，但可以发现该函数在其定义域内单调递减，这是本题的解题关键．【解】易证函数y =f (x )在其定义域(0,2)内是单调减函数．并且f (1)=12，所以原不等式即为f x x -12 >f (1)等价于x x -12 <10<x x -12 <2⇒ x 12<x <1+174或1-174<x <0 ．【评注】利用函数单调性解决不易入手的不等式是一种常用方法．4设方程lg (kx )=2lg (x +1)仅有一个实根，求k 的取值范围．【分析】本题要注意函数的定义域．【解法1】当且仅当kx >0①x +1>0②x 2+(2-k )x +1=0③时原方程仅有一个实根，对方程③使用求根公式，得x 1,x 2=12k -2±k 2-4k ④Δ=k 2-4k ≥0⇒k <0或k ≥4．当k <0时，由方程③，得x 1+x 2=k -2<0,x 1x 2=1>0,所以x 1，x 2同为负根．又由方程程④知x 1+1>0,x 2+1<0,所以原方程有一个解x 1．当k =4时，原方程有一个解x =k2-1=1．当k >4时，由方程③，得x 1+x 2=k -2>0,x 1x 2=1>0. 所以x 1，x 2同为正根，且x 1≠x 2，不合题意，舍去．综上所述可得k <0或k =4为所求．【解法2】由题意，方程kx =(x +1)2，也即方程k =x +1x+2在满足关于x 的不等式kx >0x +1>0 的范围内有唯一实数根，以下分两种情况讨论：(1)当k >0时，k =x +1x +2在x >0范围内有唯一实数根，则有k =4；(2)当k <0时，k =x +1x+2在-1<x <0范围内有唯一实数根，则有k <0．综上可得k <0或k =4为所求．【评注】本题实质上是一道一元二次方程问题．5解不等式：log 12(x +3x )>log 64x ．【分析】若考虑到去根号，可设x =y 6(y >0)，原不等式变为log 12y 3+ y 2 >log 6446=log 2y ，即2log 12y +log 2(y +1)>log 2y ，陷入困境．原不等式即6log 12(x +3x )>log 2x ⇒2log 12x +log 121+x166>log 2x ，设t =log 2x ，则log 12x =1log x12=12log x 2+log x 3，同样陷入困境．下面用整体代换y =log 64x ．【解】设y =log 64x ，则x =64y，代人原不等式，有log 128y +4y >y ，8y +4y >12y，23 y +13 y >1，由指数函数的单调性知y =log 64x <1，则0<x <64．故原不等式的解集为(0,64)．6已知1<a ≤b ≤c 证明：log a b +log b c +log c a ≤log b a +log c b +log a c ．【证法1】注意到log a b +log b c +log c a -log b a +log c b +log a c=ln b ln a +ln c ln b +ln a ln c -ln a ln b+ln b ln c +ln c ln a =ln 2b ln c +ln 2c ln a +ln 2a ln b -ln 2b ln a +ln 2c ln b +ln 2a ln c ln a lnb ln c=-(ln a -ln b )(ln b -ln c )(ln c -ln a )ln a ln b ln c．【证法2】设log b a =x ，log c b =y ，则log a c =1xy ，于是原不等式等价于x +y +1xy ≤1x +1y+xy ，即x 2y +xy 2+1≤y +x +x 2y 2，即xy (x +y )-(x +y )+1-x 2y 2 ≤0，也即(x +y -1-xy )(xy -1)≤0也即(x -1)(y -1)(xy -1)≥0，由1<a ≤b ≤c 知x ≥1,y ≥1，所以(x -1)(y -1)(xy -1)≥0，得证．因为1<a ≤b ≤c ，所以ln a ln b ln c >0，(ln a -ln b )(ln b -ln c )(ln c -ln a )≥0所以log a b +log b c +log c a -log b a +log c b +log a c ≤0即log a b +log b c +log c a ≤log b a +log c b +log a c °【评注】若令x =ln a ，y =ln b ，z =ln c 则原不等式等价于：设0<x ≤y ≤z ，求证：x 2y +y 2z +z 2x ≤xy 2+yz 2+zx 2．7设函数f (x )=|lg (x +1)|，实数a ，b (a <b )满足f (a )=f -b +1b +2，f (10a +6b +21)=4lg2，求a 、b 的值．【分析】利用已知条件构建关于a 、b 的二元方程组进行求解．【解】因为f (a )=f -b +1b +2 ，所以|lg (a +1)|=lg -b +1b +2+1 =lg 1b +2=|lg (b +2)|所以，a +1=b +2或(a +1)(b +2)=1，又因为a <b ，所以a +1≠b +2，所以(a +1)(b +2)=1又由于0<a +1<b +1<b +2，于是0<a +1<1<b +2，所以(10a +6b +21)+1=10(a +1)+6(b +2)=6(b +2)+10b +2>1，从而f (10a +6b +21)=lg 6(b +2)+10b +2=lg 6(b +2)+10b +2，又f (10a +6b +21)=4lg2，所以lg 6(b +2)+10b +2 =4lg2，故6(b +2)+10b +2=16．解得b =-13或b =-1(舍去)．把b =-13代故(a +1)(b +2)=1，解得a =-25．所以，a =-25,b =-13．同步训练一、选择题1已知a 、b 是方程log 3x 3+log 27(3x )=-43的两个根，则a +b =()．A.1027B.481C.1081D.2881【答案】C ．【解析】原方程变形为log 33log 3(3x )+log 3(3x )log 327=-43，即11+log 3x +1+log 3x 3=-43．令1+log 3x =t ，则1t +t 3=-43，解得t 1=-1,t 2=-3．所以1+log 3x =-1或1+log 3x =-3，方程的两根分别为19和181，所以a +b =1081．故选C ．2已知函数f (x )=1a x -1+12x 2+bx +6(a ,b 为常数，a >1)，且f lglog 81000 =8，则f (lglg2)的值是()．A.8 B.4 C.-4 D.-8【答案】B ．【解析】由已知可得f lglog 81000 =f lg33lg2=f (-lglg2)=8，又1a -x -1+12=a x 1-a x +12=-1+11-a x +12=-1a x -1-12，令F (x )=f (x )-6，则有F (-x )=-F (x )．从而有f (-lglg2)=F (-lglg2)+6=-F (lglg2)+6=8，即知F (lglg2)=-2，f (lglg2)=F (lglg2)+6=4．3如果f (x )=1-log x 2+log x 29-log x 364，则使f (x )<0的x 的取值范围为()．A.0<x <1 B.1<x <83C.x >1D.x >83【答案】B ．【解析】显然x >0，且x ≠1．f (x )=1-log x 2+log x 29-log x 364=1-log x 2+log x 3-log x 4=log x 38x ．要使f (x )<0．当x >1时，38x <1，即1<x <83；当0<x <1时，38x >1，此时无解．由此可得，使得f (x )<0的x 的取值范围为1<x <83．应选B ．4若f (x )=lg x 2-2ax +a 的值域为R ，则a 的取值范围是()．A.0<a <1 B.0≤a ≤1 C.a <0或a >1 D.a ≤0或a ≥1【答案】D ．【解析】由题目条件可知，(0,+∞)⊆y |y =x 2-2ax +a ，故Δ=(-2a )2-4a ≥0，解得a ≤0或a ≥1．选D ．二、填空题5设f (x )=log 3x -4-x ，则满足f (x )≥0的x 的取值范围是．【答案】[3,4]．【解析】定义域(0,4]．在定义域内f (x )单调递增，且f (3)=0．故f (x )≥0的x 的取值范围为[3,4]．6设0<a <1，0<θ<π4，x =(sin θ)log asin θ，y =(cos θ)log atan θ，则x 与y 的大小关系为．【答案】x <y ．【解析】根据条件知，0<sin θ<cos θ<1，0<sin θ<tan θ<1，因为0<a <1，所以f (x )=log a x 为减函数，所以log a sin θ>log a tan θ>0，于是x =(sin θ)log a sin θ<(sin θ)log a tan θ<(cos θ)log a tan θ=y .7设f (x )=12x +5+lg 1-x 1+x ，则不等式f x x -12<15的解集为．【答案】1-174,0 ∪12,1+174．【解析】原不等式即为f x x -12<f (0)．因为f (x )的定义域为(-1,1)，且f (x )为减函数．所以-1<x x -12 <1x x -12 >0.解得x ∈1-174,0∪12,1+174．8设f (x )=11+2lg x +11+4lg x +11+8lg x ，则f (x )+f 1x =．【答案】3．【解析】f (x )+f 1x =11+2lg x +11+4lg x +11+8lg x +11+2-lg x +11+4-lg x +11+8-lg x =3．三、解答题9已知函数f (x )=a x +3a (a >0,a ≠1)的反函数是y =f -1(x )，而且函数y =g (x )的图像与函数y =f -1(x )的图像关于点(a ,0)对称．(1)求函数y =g (x )的解析式；(2)若函数F (x )=f -1(x )-g (-x )在x ∈[a +2,a +3]上有意义，求a 的取值范围．【解析】(1)由f (x )=a x +3a (a >0,a ≠1)，得f -1(x )=log a (x -3a )．又函数y =g (x )的图像与函数y =f -1(x )的图像关于点(a ,0)对称，则g (a +x )=-f -1(a -x )，于是，g (x )=-f -1(2a -x )=-log a (-x -a )，(x <-a )．(2)由(1)的结论，有F (x )=f -1(x )-g (-x )=log a (x -3a )+log a (x -a )．要使F (x )有意义，必须满足x -3a >0,x -a >0. 又a >0，故x >3a ．由题设F (x )在x ∈[a +2,a +3]上有意义，所以a +2>3a ，即a <1．于是，0<a <1．10设f (x )=log a (x -2a )+log a (x -3a )，其中a >0且a ≠1．若在区间[a +3,a +4]上f (x )≤1恒成立，求a 的取值范围．【解析】f (x )=log a x 2-5ax +6a 2=log a x -5a 2 2-a 24．由x -2a >0x -3a >0, 得x >3a ，由题意知a +3>3a ，故a <32，从而(a +3)-5a 2=-32(2-a )>0，故函数g (x )=x -5a 2 2-a 24在区间[a +3,a +4]上单调递增．若0<a <1，则f (x )在区间[a +3,a +4]上单调递减，所以f (x )在区间[a +3，a +4]上的最大值为f (a +3)=log a 2a 2-9a +9 ．在区间[a +3,a +4]上不等式f (x )≤1恒成立，等价于不等式loglog a 2a 2-9a +9 ≤1恒成立，从而2a 2-9a +9≥a ，解得a ≥5+72或a ≤5-72．结合0<a <1，得0<a <1．若1<a <32，则f (x )在区间[a +3,a +4]上单调递增，所以f (x )在区间[a +3,a +4]，上的最大值为f (a +4)=log a 2a 2-12a +16 ．在区间[a +3,a +4]上不等式f (x )≤1恒成立，等价于不等式log a 2a 2-12a +16 ≤1恒成立，从而2a 2-12a +16≤a ，即2a 2-13a +16≤0，解得13-414≤a ≤13+414．易知13-414>32，所以不符合．综上所述，a 的取值范围为(0,1)．11解方程组x x +y=y 12y x +y =x 3，(其中x ,y ∈R * ．【解析】两边取对数，则原方程组可化为(x +y )lg x =12lg y ①(x +y )lg y =3lg x ②把式①代入式②，得(x +y )2lg x =36lg x ，所以(x +y )2-36 lg x =0．由lg x =0，得x =1；代入式①，得y =1．由(x +y )2-36=0x ,y ∈R * 得x +y =6．代入式①得lg x =2lg y ，即x =y 2，所以y 2+y -6=0．又y >0，所以y =2,x =4．所以方程组的解为x 1=1y 1=1 ，x 2=4y 2=2 ．12已知f (x )=lg (x +1)-12log 3x ．(1)解方程f (x )=0；(2)求集合M =n f n 2-214n -1998 ≥0,n ∈Z 的子集个数．【解析】(1)任取0<x 1<x 2，则f x 1 -f x 2 =lg x 1+1 -lg x 2+1 -12log 3x 1-log 3x 2=lgx 1+1x 2+1-12log 3x 1x 2=lg x 1+1x 2+1-log 9x 1x 2，因为x 1+1x 2+1>x 1x 2，所以lg x 1+1x 2+1>lg x 1x 2．故f x 1 -f x 2 =lg x 1+1x 2+1-log 9x 1x 2>lg x 1x 2-lg x1x 2lg9，因为0<lg9<1，lg x 1x 2<0，所以f x 1 -f x 2 >lg x 1x 2-lg x1x 2=0，f (x )为(0,+∞)上的减函数，注意到f (9)=0，当x >9时，f (x )<f (9)=0；当<x <9时，f (x )>f (9)=0，所以f (x )=0有且仅有一个根x =9．(2)由f n 2-214n -1998 ≥0⇒f n 2-214n -1998 ≥f (9)所以n 2-214n -1998≤9n 2-214n -1998>0 ⇔n 2-214n -2007≤0n 2-214n -1998>0⇔(n -223)(n +9)≤0(n -107)2>1998+1072=13447>1152⇔-9≤n ≤223n >222或n <-8 ⇔⇔-9≤n ≤223n ≥223或n ≤-9 ，所以n =223或n =-9,M ={-9,223},M 的子集的个数是4．13已知a >0，a ≠1，试求使得方程log a (x -ak )=log a x 2-a 2 有解的k 的取值范围．【解析】由对数性质知，原方程的解x 应满足(x -ak )2=x 2-a 2x -ak >0x 2-a 2>0(1)(2)(3)若式(1)、式(2)同时成立，则式(3)必成立，故只需要解(x -ak )2=x 2-a 2x -ak >0.由式(1)可得2kx =a 1+k 2(4)当k =0时，式(4)无解；当k ≠0时，式(4)的解是x =a 1+k 2 2k ，代人式(2)，得1+k 22k>k ．若k <0，则k 2>1，所以k <-1；若k >0，则k 2<1，所以0<k <1．综上所述，当k ∈(-∞,-1)∪(0,1)时，原方程有解．14已知0.301029<lg2<0.301030，0.477120<lg3<0.477121，求20001979的首位数字．【解析】lg20001979=1979lg2000=1979(3+lg2)．所以6532.736391<lg20001979<6532.73837．故20001979为6533位数，由lg5=1-lg2,lg6=lg2+lg3，得0.698970<lg5<0.6989710.778149<lg6<0.778151⇒lg5<0.736391<0.73837<lg6,说明20001979的首位数字是5．15已知3a +13b =17a ，5a +7b =11b ，试判断实数a 与b 的大小关系，并证明之．【解析】令a =1，则13b =14,5+7b =11b ，可见b >1．猜想a <b ．下面用反证法证明：若a ≥b ，则13a ≥13b ,5a ≥5b ，所以17a =3a +13b ≤3a +13a ,11b =5a +7b ≥5b +7b ，即317 a +1317 a ≥1,511 b +711 b ≤1，而函数f (x )=317 x +1317 x和g (x )=511 x +711 x在R 上均为减函数，且f (1)=317+1317=1617<1≤f (a ),g (1)=511+711=1211>1≥g (b )．所以a <1,b >1．这与a ≥b 矛盾，故a <b ．16解不等式log 2x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1 <1+log 2x 4+1 ．【解析】原不等式等价于log 2x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1 <log 22x 4+2 ．由于y =log 2x 为单调递增函数，于是x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1<2x 4+2，两端同时除以x 6，并整理得2x2+1x 6>x 6+3x 4+3x 2+1+2x 4+2=x 2+1 3+2x 2+1 构造函数g (t )=t 3+2t ，则上述不等式转化为g1x2>g x 2+1 .显然g (t )=t 3+2t 在R 上为增函数．于是以上不等式等价于1x2>x 2+1，即x 2 2+x 2-1<0，解得x 2<5-12．故原不等式的解集为-5-12,5-12．。
幂函数、指函数与对函数PPT课件
D. b > a > 1 O
思路二:
1b a
x
数形结合
26
题型三：幂函数性质的应用
3.比较下列各组数的大小：
< 1
1
(1)1.32 ____ 1.4 2
解后反思 两个数比较
(2)0.261
_>____
0.271
大小，何时 用幂函数模
(3)(5.2)2 _<____(5.3)2
型，何时用 指数函数模
即 log2 a log2 b 0 log2 1
a b 1 所以答案选C． 25
能力提升
变②：若0 < loga 2 < logb 2,则
C
()
A. 0 < a < b < 1 y
B. 0 < b < a < 1
1
C. a > b > 1
x=2
y= logb x
y= loga x
解析式 y = a x ( a > 0, a≠1)
y
图 象 0<a<1
y a>1
1
（描点）
1
0
x
0
x
y = log a x ( a > 0, a≠1)
y 0<a<1
y a>1
01
x
01
x
定义域
R
(0 , +∞)
值域
(0 , +∞)
R
定点
都过点(0,1)
都过点(1,0)
范围
x<0时,y>1；x>0时,y>10；<x<1时 x>0时 x<0时 y>0
指、对、幂函数
专题：指、对、幂函数一、知识点总结(0,,)()(0,,)()(0,0,)(01)1lo m n a n a r s r s a a a a r s Q r s rs a a a r s Q r r s ab a b a b r Q x y a a a x =+=>∈=>∈=>>∈=>≠=⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩为根指数，为被开方数分数指数幂指数的运算指数函数性质定义：一般地把函数且叫做指数函数。
指数函数性质：见表对数：基本初等函数对数的运算对数函数g ,log ()log log ;log log log ;.log log ;(0,1,0,0)log log (01)1log (,0,1,0)log c a c N a N a M N M N a a a M M N a a a N n M n M a a M N a a y x a a a b b a c a c b a ⋅=+=-=>≠>>=>≠⎧⎧⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪=>≠>⎪⎪⎩⎩⎧⎨⎩⎩为底数，为真数性质换底公式：定义：一般地把函数且叫做对数函数对数函数性质：见表且y x x αα⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧=⎪⎨⎪⎩⎩幂函数定义：一般地，函数叫做幂函数，是自变量，是常数。
性质：见表2对数运算公式1、x N N a a x=⇔=log ； 2、a aNa =log . 3、01log =a ，1log =a a .4、当0,0,1,0>>≠>N M a a 时： ⑴()N M MN a a a log log log +=；⑵N M N M a a a log log log -=⎪⎭⎫⎝⎛； ⑶M n M a na log log =. 5、换底公式：abb c c a log log log =()0,1,0,1,0>≠>≠>b c c a a . 6、ab b a log 1log =()1,0,1,0≠>≠>b b a a .二、课前热身1. 计算：33(lg 2)3lg 2lg5(lg5)++=_______________2. 若函数f (x )＝a |x －2|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝13，则f (x )的单调递减区间是________3. 设a ＝⎝⎛⎭⎫3525，b ＝⎝⎛⎭⎫2535，c ＝⎝⎛⎭⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是_______________4. 方程|3x－1|＝k 有两解，则k 的范围为________5. 设1a >，函数log a y x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为12，则a =________ 6. 若函数f (x )＝xa －1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a =________7. 已知12,x x-+=则1122x x-+=8. 设)0(2)log (2>=x x f x ,则=)log (232f三、典例分析 例1：计算：（1）11203217(0.027)()(2)1)79----+-；（2）132123321().40.1()a b --- （3）2lg 225lg 5.02161.1230++-+-；（4）2log 43774lg 25lg 327log +++【变式演练】（1）已知1>>b a 且310log log =+a b b a ，求a b lob b a log -的值。
幂函数指数函数对数函数总结
幂函数指数函数对数函数总结
幂函数、指数函数和对数函数是数学中常见的函数类型，它们的性质和图像特点有所不同，但也有一些共性。
幂函数的形式为$y=x^a$，其中$a$为常数。
当$a$为正整数时，幂函数的图像经过原点和函数的图像都在第一象限内，且函数值随$x$的增大而增大；当$a$为负整数时，幂函数的图像也经过原点，但它的图像在第二象限内，且函数值随$x$的增大而减小。
当$a$为分数时，幂函数的图像不过原点且不与坐标轴相交。
指数函数的形式为$y=a^x$，其中$a$为常数且$a＞0$。
指数函数的图像经过点$(1,a)$，且函数值随$x$的增大而增大。
指数函数的图像与坐标轴没有交点，且当$a＞1$时，图像向左平移，当$0＜a＜1$时，图像向右平移。
对数函数的形式为$y=log_ax$，其中$a$为常数且$a＞0$，$a\neq1$。
对数函数的图像经过点$(1,0)$，且函数值随$x$的增大而减小。
对数函数的图像与坐标轴没有交点，且当$a ＞1$时，图像向右平移，当$0＜a＜1$时，图像向左平移。
在学习幂函数、指数函数和对数函数时，需要注意它们的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质，以及它们的图像和应用。
这些函数在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
幂、指、对函数的知识要点及提醒
幂、指、对数函数的知识要点及提醒一、幂函数幂函数)(Q k x y k ∈=的定义域、值域、奇偶性、单调性因幂指数的不同而不同. 0>k 时，函数的图像都经过点)0,0(和)1,1(，在),0(+∞上是增函数.0<k 时，函数的图像都经过点)1,1(，在),0(+∞上是减函数.0=k 时，函数的图像是直线1=y ，去掉点)1,0(.能画出幂函数k x y =⎭⎬⎫⎩⎨⎧----∈31,21,31,21,3,2,3,2,1,0k 的图像.二、指数函数指数函数)1,0(≠>=a a a y x 的定义域为R .值域为),0(+∞.恒过定点)1,0(.当1>a 时，在R 上是增函数，当10<<a 时，在R 上是减函数(增减性)，指数函数既不是奇函数也不是偶函数.指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x 对任意实数y x ,满足)()()(y f x f y x f =+.三、对数的概念及运算1 如果)1,0(≠>=a a N a b ，那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作N b a log =. 根据定义可知：对数的真数N 的范围是),0(+∞，底数a 的范围是),1()1,0(+∞ . 对数的性质：01log =a ，1log =a a ，b a b a =log ，N a N a =log .注意：任意一个实数都可以写成对数的形式，如233log 2-=-；任意一个正实数都可以写成指数的形式，如3log 223=.2 已知R n N M a a ∈>>≠>,0,0,1,0，则 N M N M a a a log log )(log +=⋅. N M N M a a alog log log -=. N n N a n a log log =. 3 换底公式：)1,0,1,0(log log log ≠>≠>=b b a a aN N b b a . 1log log =⋅a b b a ,)0(log log ≠=m b mn b a n a m .特别地, )0(log log ≠=n b b a n a n . 四、反函数 (1)若函数)(x f y =存在反函数，则)(1x f y -=的定义域为)(x f y =的值域.)(1x f y -=的值域为)(x f y =的定义域.(2) 求反函数的步骤：①由)(x f y =求得)(1y fx -=.②求)(x f y =的值域.③交换y x ,写出)(1x f y -=，并注明其定义域.(3) 互为反函数的两个函数)(x f y =与)(1x f y -=的图像关于直线x y =对称.点),(b a P 关于直线x y =对称的对称点为),(a b Q .若点),(b a P 在函数)(x f y =的图像上，则点),(a b Q 在)(1x fy -=的图像上. (4) 若函数)(x f y =的反函数是它本身，即)()(1x f x f=-，则函数)(x f y =的图像关于直线x y =对称.反之，也成立.五、对数函数(1) 对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 的定义域为),0(+∞，值域为R . 1>a 时在),0(+∞上是增函数；10<<a 时在),0(+∞上是减函数. 对数函数既不是奇函数也不是偶函数.(2) 对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 的图像在y 轴右侧，恒过点)0,1(.函数)1,0(log )(≠>=a a x x f a 对任意正实数y x ,都有)()()(y f x f xy f +=成立.六、简单的指数方程和对数方程)1,0(≠>=a a b a x ，若0≤b ，方程无解；若0>b ，b x a log =.换元(令)1,0(≠>=a a a t x )转化为关于t 的一元二次方程02=++r qt pt .注意t 的范围！ )1,0(log ≠>=a a b x a 的解为b a x =.换元(令)1,0(log ≠>=a a x t a )转化为关于t 的一元二次方程02=++r qt pt . 解对数方程一定要检验！七、图像变换平移变换：将)(x f y =的图像沿x 轴方向平移h 个单位，得到)(h x f y +=的图像.0>h 是向左平移，0<h 是向右平移.将)(x f y =的图像沿y 轴方向平移k 个单位，得到k x f y +=)(的图像.0>k 是向上平移，0<k 是向下平移.翻折变换：)(x f y =的图像关于y 轴对称，它在y 轴右侧的图像与)(x f y =的图像一样. )(x f y =的图像都在x 轴及其上方，)(x f y =的图像在x 轴下方的图像沿x 轴翻折到x 轴上方.。
指、对、幂函数
指数、对数、幂函数概览：整数指数幂，分数指数幂，实数指数幂；指数函数。
对数，对数函数。
幂函数。
1. 指数幂与根式 有理数指数幂 ①整数指数幂：正整数指数幂，负整数指数幂，零指数幂； ②分数指数幂： 正分数指数幂，负分数指数幂。
注：0的零次幂和负数次幂无意义实数指数幂的运算性质根式的性质〖注：根指数是不小于2的正整数。
奇次方根/偶次方根n na 的化简〗 2. 对数定义，运算法则〖正用，逆用〗3. 指数函数 定义。
例()xxx y y =-=,10不是指函。
图象与性质：两域，特殊点，单调性，图象位置与底数大小的关系〖“逆时针底变大”〗。
x x x x y y a y a y )21(2;)1(====与如与的图象关于y 轴对称。
可将xx a y a y -==化为)1(，对称变换。
比较两个指数式的大小：①底数同-用单调性；②指数同-用“逆时针底变大”看图；③底指都不同-通常分别与“1”相比较。
4. 对数函数定义。
图象与性质：两域，特殊点，单调性，图象位置与底数大小的关系〖“顺时针底变大”〗。
x y x y x y x y aa2121loglog;loglog====与如与的图象关于x 轴对称。
可将x y x y a al o g -l o g 1==化为，对称变换。
比较两个对数式的大小：①底数同-用单调性；②真数同-用“顺时针底变大”看图；③底真都不同-通常分别与“0”或“1”相比较。
注：指函与对函都有单调性，而无奇偶性。
5. 幂函数 定义。
注：指数a 可取任意实数，主要掌握3,31,2,1,21±±±，图象及性质。
所有幂函数在()+∞,0上都有定义，即在第一象限内都有图象，〖第四象限内不可能有图象〗，且恒过定点（1,1）；若a <0,则图象在()+∞,0上是减函数，且以两坐标轴为渐近线；若a >0，则图象在()+∞,0上是增函数，并恒过原点（0,0）。