激光原理与技术 课后习题答案试题

1 为了使氦氖激光器的相干长度达到1KM ，它的单色性0λλ?应为多少？

解答：设相干时间为τ，则相干长度为光速与相干时间的乘积，即

c L c ?=τ

根据相干时间和谱线宽度的关系 c

L c =

=

?τ

ν1

又因为

γν

λλ

?=

?，0

0λνc

=

，nm 8.6320=λ

由以上各关系及数据可以得到如下形式： 单色性=

0νν

λλ

?=?=

c

L 0λ=

10

12

10

328.610

18.632-?=?nm

nm

8 一质地均匀的材料对光的吸收系数为1

01.0-mm ，光通过10cm 长的该材料后，出射

光强为入射光强的百分之几？

如果一束光通过长度为1M 地均匀激励的工作物质，如果出射光强是入射光强的两倍，试求该物质的增益系数。

解答：设进入材料前的光强为0I ，经过z 距离后的光强为()z I ，根据损耗系数

()()

z I dz

z dI 1?

-

=α的定义，可以得到：

()()z I z I α-=exp 0

则出射光强与入射光强的百分比为：

()()(

)

%8.36%100%100exp %10010001.00

1

=?=?-=?=

?--mm

mm

z e

z I z I k α

根据小信号增益系数的概念：()()

z I dz

z dI g 10?

=，在小信号增益的情况下，

上式可通过积分得到 ()()()()1

4

00

010

93.61000

2ln ln ln

exp exp --?===

=

?=?=

?=mm

z

I z I g

I z I z g I z I z g z g I z I

1．试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。

证：设光线在球面镜腔内的往返情况如下图所示：

其往返矩阵为：

由于是共焦腔，有

12R R L ==

往返矩阵变为

若光线在腔内往返两次，有

可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。 于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔。

2 试求平凹、双凹、凹凸共轴球面腔的稳定条件。

解答如下：共轴球面腔的

()2

12

2

1

22212

1R R L

R L R L D A +

-

-

≡+，如果满足()12

11<+<

-D A ，

则腔是稳定腔，反之为非稳腔,两者之间存在临界腔，临界腔是否是稳定腔，要具体分析。

1

2

2

2

12111210101122110101212(1)

222222[(1)][(1)(1)]A B L L T C

D R R L L L R R L L L L R R R R R R ??

??

??????

?

?==

? ? ? ? ?--??????

? ???

???

?

--

? ?

= ?-+-----

???

1

001T -??=

?-??

2

1001T

??= ???

下面我们就根据以上的内容来分别求稳定条件。 对于平凹共轴球面腔，

()2

2

12

2

1

2122212

1R L R R L

R L R L D A -

=+

-

-

=+ (∞→1R )

所以，如果12112

<-

<-R L ，则是稳定腔。因为L 和2R 均大于零，所以不等式的后半部分

一定成立，因此，只要满足

12

12

稳定条件。

类似的分析可以知道， 凸凹腔的稳定条件是：L R R ><210,且L R R <+21。

双凹腔的稳定条件是：L R >1，L R >2 （第一种情况） L R <1，L R <2且L R R >+21（第二种情况） 2

21L R R R >== （对称双凹腔）

求解完毕。

6．试求出方形镜共焦腔面上30T EM 模的节线位置，这些节线是等距分布的吗？ 解：在厄米高斯近似下，共焦腔面上的30T EM 模的场分布可以写成

令2/()X L x πλ=

，则I 式可以写成

()2

2

(/)

30303(,)H e

x y

L v x y C X λπ+-=

式中()3H X 为厄米多项式，其值为

()3

3H 8-12X X X =

由于厄米多项式的零点就是场的节点位置，于是令()3H 0X =，得

1230;3/2;3/2X X X ==

=-

考虑到0s /L ωλπ=

，于是可以得到镜面上的节点位置

2

2

(/)

303032(,)H e I x y

L v x y C x L λππλ+-?

?=

? ??

?

所以，30T EM 模在腔面上有三条节线，其x 坐标位置分别在0和0s 3/2ω±处，节线之间位置是等间距分布的，其间距为0s 3/2ω；而沿y 方向没有节线分布。

7 求圆形镜共焦腔20

TEM

和02

TEM

模在镜面上光斑的节线位置。

解答如下：圆形镜共焦腔场函数在拉盖尔—高斯近似下，可以写成如下的形式

()??

????

?

???

??

?

??=-

?

?

ωω?υωm m e r L r C r s

r

s n m m

s mn mn sin cos 22,2

02202

0 （这个场对应于mn

TEM ，两个三角

函数因子可以任意选择，但是当m 为零时，只能选余弦，否则整个式子将为零） 对于20

TEM

：()?

?

????

?

???

??

?

??=-

??

ωω?υω2sin 2cos 22,2

02202202

02020s

r

s s

e r L r

C r 并且122

02

20=????

??s

r L ω，代入上式，得到 ()??

????

?

??=-

?

?

ω?υω2sin 2cos 2,2

022

02020s

r

s

e r C r ，我们取余弦项，根据题中所要求的结果，我们取()02cos 2,2

022

02020=???

?

??=-?ω?υωs

r

s

e r

C r ，就能求出镜面上节线的位置。既

4

3,4

02cos 21π?π

??=

=

?=

对于02

TEM

，可以做类似的分析。

()2

022

022

02

202202

020

00202222,s

s

r

s

r

s s

e r L C e r L r C r ωωωωω?υ-

-

???

? ??=???

?

???

??

? ??=

404

2022

02

02

2412s s s

r r r L ωωω+-=???

? ??，代入上式并使光波场为零，得到 ()02412,2

02404

2020

00202=???

? ?

?+-????

??=-

s

r

s s s e r r r C r ωωωω?υ

120s 30s

330;;2

2

x x x ωω==

=-

显然，只要02412404

202202

02=+-=???

?

??s

s s

r r r L ωωω即满足上式 最后镜面上节线圆的半径分别为：

s s r r 02012

21,2

21ωω-

=

+

=

解答完毕。

8．今有一球面腔，1 1.5m R =，21m R =-，80cm L =。试证明该腔为稳定腔；求出它的等价共焦腔的参数；在图上画出等价共焦腔的具体位置。

解：该球面腔的g 参数为

由此，120.85g g =，满足谐振腔的稳定性条件1201g g <<，因此，该腔为稳定腔。 两反射镜距离等效共焦腔中心O 点的距离和等价共焦腔的焦距

分别为

根据计算得到的数据，在下图中画出了等价共焦腔的具体位置。

20．激光器的谐振腔有两个相同的凹面镜组成，它出射波长为λ的基模高斯光束，今给定功率计，卷尺以及半径为a 的小孔光阑，试叙述测量该高斯光束公焦参数f 的实验原理及步骤。

解：

一、实验原理

通过放在离光腰的距离为z 的小孔(半径为a )的基模光功率为

11

10.47

L g R =-

=22

1 1.8

L g R =-

=2112121212122

12() 1.31m ()()

()0.51m

()()

()()()

0.50m

[()()]

L R L z L R L R L R L z L R L R L R L R L R R L f L R L R -==--+---=

=--+---+-==-+-

2

01

2ln(

)

P a

A P P πλ

=

-

(I)

式中，0P 为总的光功率，()P z 为通过小孔的光功率。记1()P P z =，则有

(II)

注意到对基模高斯光束有

在(II)式的两端同时乘以/πλ，则有

令

(III)

则

解此关于f 的二次方程，得

因为a 、0P 、1P 、z 都可以通过实验测得，所以由(III)及(IV)式就可以求得基模高斯光束的共焦参数f 。

二、实验步骤

1．如上图所示，在高斯光束的轴线上某一点B 处放入于光轴垂直的光阑(其孔半径为a )，用卷尺测量出B 到光腰O(此题中即为谐振腔的中心)的距离z ；

2．用激光功率计测出通过小孔光阑的光功率1P ； 3．移走光阑，量出高斯光束的总功率0P ；

2

2

2()

0()(1e

)a

z P z P ω-

=-2

2

001

2()ln(

)

a

z P P P ω=

-2

2

2

0(),z z

f f f

πωπωλ

λ

=+

=

2

2

001

2ln(

)

z

P a

f P P f πλ

+

=

-2

z

f A

f

+

=2

2

() (IV )

22

A A f z =

±

-O

B

a

2z

功率计探头

4．将所得到的数据代入(III)及(IV)式即可求出f (根据实际情况决定(IV)式根号前正负号的取

舍)。

11 短波长（真空紫外、软X 射线）谱线的主要加宽是自然加宽。试证明峰值吸收截面为

π

λσ22

0=

。

证明：根据P144页吸收截面公式4.4.14可知，在两个能级的统计权重f 1=f 2的条件下，在自然加宽的情况下，中心频率ν0处吸收截面可表示为：

N

v

A ννπσ?=

1

42

0222112 - -------------------------------------------------1

上式s

N

πτν

21=

?（P133页公式4.3.9）

又因为s

A τ1

21=

，把A 21和ΔνN 的表达式代入1式，得到：

π

λσ22

021=

证毕。（验证过）

12 已知红宝石的密度为3.98g/cm 3

，其中Cr 2O 3所占比例为0.05%（质量比），在波长为694.3nm 附近的峰值吸收系数为0.4cm -1，试求其峰值吸收截面（T=300K ）。 解：

分析：红宝石激光器的Cr 3+是工作物质，因此，所求峰值吸收截面就是求Cr 3+的吸收截面。

1

R 2

R 等价共焦腔

2z 1

z O

L

f f

根据题中所给资料可知：

Cr 2O 3的质量密度为3.98g/cm 3×0.05%=1.99×10-3g/cm 3,摩尔质量为52×2+16×3=152g/mol 设Cr 3+的粒子数密度为n ，则n=2×（1.99×10-3 /152）×6.02×1023=1.576×1019/cm 3 根据n ?=12σα可知，n

?=

α

σ12

根据n ≈n 1+n 2，Δn=n 1-n 2,且

KT

h e

n n ν-

=1

2，其中

69300

1038.1103.69410

31062.623

9

834

=?????

?=

---KT

h ν，可

知E 2能级粒子数密度接近于零，可求出Δn=n 1=1.756×1019/cm 3 ，代入到n

?=α

σ12，可求

出：

2

20

3

19

1

1210

55.2/10

576.1/4.0cm cm

cm n

--?=?=

?=

ασ

解答完毕。

1 激光器的工作物质长为l ，折射率η，谐振腔腔长为L ，谐振腔中除工作物质外的其余部分折射率为'η，工作物质中光子数密度为N ，试证明对频率为中心频率的光

'

'

21

L

c

N

L

l cN n dt

dN δσ

-?=，其中()l L l L -+=''ηη

证明：已知在工作伍之中单位体积内的平均光子数为N ，设谐振腔其余部分中的单位体积内的平均光子数为'N ，光束均匀（光强均匀）且截面为S ，则腔内总的光子数变化率为：

()

(

)()

R

l L S N NSl NSl n dt

l L S N NSl d τυσ

-+-

?=-+'

21

'

————————————（1）

其中()

c

L

c

l L l R δδηητ'

'

=-+=

又因为光强均匀（工作物质内与工作物质外），根据公式可得（P29-2.1.16）：

'

'2

'

1

η

η

νυ

νυ

N

N

h N Nh =

?

=

把上式和腔的寿命表达式代入（1），得到：

''21L

c

N L

l cN n dt

dN δσ-?=

命题得证