基于复轮廓波变换的图像消噪

第36卷第10期 光电工程V ol.36, No.10 2009年10月Opto-Electronic Engineering Oct, 2009 文章编号：1003-501X(2009)10-0111-05基于复轮廓波变换的图像消噪陈新武1, 2，龚俊斌2，刘玮2，田金文2( 1. 信阳师范学院物理电子工程学院，河南信阳 464000；2. 华中科技大学多谱信息处理技术国家重点实验室，武汉 430074 )摘要：为了克服实轮廓波图像消噪后广泛存在的混叠现象，研究了基于双树复小波级联方向滤波器架构的复轮廓波变换图像消噪的若干性质，证明了对于高斯白噪声图像，该变换具有更好的分割能力和抑制能力，并在此基础上提出了一种基于该变换的图像消噪算法。

该算法采用蒙特卡罗方法来确定门限收敛因子，并采用这些因子修正3σ准则，对变换域系数模值采用硬阈值处理。

图像消噪实验结果表明：该消噪算法比基于实轮廓波变换的消噪算法，具有更高的峰值信噪比和更好的视觉效果。

关键词：图像消噪；复轮廓波变换；蒙特卡罗法；门限收敛因子；峰值信噪比中图分类号：TN911.73; TP391 文献标志码：A doi：10.3969/j.issn.1003-501X.2009.10.022 Image Denoising Based on Complex Contourlet TransformCHEN Xin-wu1, 2，GONG Jun-bin2，LIU Wei2，TIAN Jin-wen2( 1. College of Physics and Electronics, Xinyang Normal University, Xinyang 464000, Henan Province, China;2. State Key Laboratory for Multi-Spectral Information Processing Technology,Huazhong University of Science & Technology, Wuhan 430074, China )Abstract: In order to overcome the aliasing phenomenon commonly existing in real contourlet transform image denoising, some characters of complex contourlet transform whose structure is a cascading of dual tree complex wavelet and directional filter banks are discussed. It is proved that the transform performs well at division and restraining ability under white Gaussian noise condition. Then, an image denoising algorithm was proposed based on the transform.Furthermore, Mento-Carlo method was used to find convergence factors for modifying the 3σ rule, and hard threshold method was carried on complex contourlet tranform domain coefficients. Experimental results show that the image denoising algorithm proposed in this paper is superior to that using real contourlet transform both at Peak Signal-to-noise Ratio (PSNR) values and visual quality.Key words: image denoising; complex contourlet transform; Mento-Carlo method; threshold convergence factors; PSNR0 引 言如何有效地从含噪图像中尽可能准确地恢复出原始图像，一直是图像处理领域的重要课题之一。

小波能够稀疏的表示信号并能够有效地识别信号中的奇异点，因而在信号消噪领域受到广泛的关注和青睐[1-2]。

然而，采用一维小波张量积来表示图像信号则不能有效表示图像中的边界信息和纹理信息[3]。

也就是说，虽然小波在描述一维信号的情况下，能够表现出优良的性能，但是在二维情况下，由于物体边缘的光滑性与几何特征不能在变换域被张量小波稀疏的表示，因而小波消噪不能获得最优的效果[4]。

为了解决这个问题，许多学者展开了大量的研究工作。

其中，Do博士和他的导师Vetterli Martin提出的轮廓波变换[5](我们称之为第一代轮廓波变换)，备受业界推崇。

该变换采用拉普拉斯金字塔[6](LP)级联方向滤波器[7](DFB)，构收稿日期：2009-01-13；收到修改稿日期：2009-05-14基金项目：国家自然科学基金资助项目(60572048/F010204)作者简介：陈新武(1969-)，男(汉族)，河南修武人。

副教授，博士，研究方向为数字图像的多尺度几何分析。

E-mail: chenxinwu@。

光电工程 2009年10月 112 成一个双滤波器结构(PDFB)[5]。

拉普拉斯金字塔实现图像的多尺度分解，方向滤波器则通过合并同一尺度上方向相同或相近的系数实现方向信息的提取，从而使得对于自然图像的描述更加稀疏，能够更有效地识别图像中更多的纹理信息和几何特征，因此在消噪效果方面表现更佳[8]。

然而，由于消噪过程本身要丢弃一部分变换域系数，使得反变换与正变换之间微妙的完美重构特性遭到严重的破坏，导致恢复出的图像表现出较严重的人造纹理(Aritfacts)，即混叠现象。

为了克服这种现象，Chen 等提出了一种复轮廓波变换[9]，该变换采用二维双树复小波变换(2DDTDWT)[10] 级联临界下采样DFB [7]，具有较高的移不变水平和较低的系数振荡特性。

Chen 等提出的复数轮廓变换的目的在于改善图像融合的质量，而没有深入探讨该变换的性质及其在图像处理其它领域的应用。

陈新武等将该变换应用拓展到纹理图像检索应用领域[11]，Dai 等将该变换应用拓展到图像消噪领域。

但他们都没有给出该变换的消噪相关性质，而且，对于变换域系数的处理，dai 等采用的是实数值处理方法，不能有效利用该变换的复系数优点，因而不能充分利用该变换较高的移不变水平和抗振荡特性[12]。

本文旨在探讨这种变换的相关性质，并提出更有效地图像消噪算法。

1 复轮廓波变换复数轮廓波变换包括两个组成部分：首先采用Kingsbury 提出的2DDTCWT 实现多尺度分解，并在尺度j 2上细节子空间j W 包含一个双树结构，得到6个方向子带，在位置),(21x x =x 上产生的系数可以用式(1) 进行描述：2,1,,)}({Ζx m m x ∈d d p γ (1)式中：p ∈{1, 2}，表示小波系数的实数部分和虚数部分；d 1∈{1, 2, 3}，d ∈{1, 2}，与p 结合在一起，可以用12个子带来描述6个不同的方向信息；m=(m 1, m 2)表示位置偏移。

复数小波变换的输出可以构成一个准Hilbert 变换对，因而细节子空间W j 具有近似的移不变性质。

为了进一步提高复小波变换的方向分辨率，可以将DFB 级联在其细节子带上[9]，将细节子空间进一步 分解，每一个子带可以被扩展至j l2个子带空间，即： )(][)(1,,,1,,,2x n m x m Ζm d d p m l k l k l d d p k j j jS g γμ∑∈−=(2) 其中：)(,1,,,x m jl d d p k μ表示尺度j 2上的方向子空间族j l k j W,，]2,,2,1[j l k …∈；)(•j l k g 表示重构滤波器的冲激响应。

在这种情况下，每一个方向子空间jl k j W ,包含一个复双树框架，该框架较DTCWT 的细节子空间j W 能够更灵活地表现图像中的几何信息。

我们把这种基于双树复小波和方向滤波器架构的复轮廓波变换称为“复轮廓波变换(Complex Contourlet Transform ，CCT)”。

2 CCT 的基本性质定理1：如果2DDTCWT 和DFB 均采用PR 滤波器，则CCT 能够完美重建，其冗余度为4。

证明：如果2DDTCWT 中的滤波器是完美重建的，则2DDTCWT 完美重建，对于DFB 也有同样的结论。

CCT 是由2DDTCWT 和DFB 级联而成的，因此也是完美重建的。

2DDTCWT 的冗余度42221===D R [9]，DFB 的冗余度12=R ，故CCT 的冗余度121==R R R 。

定理2：如果CCT 中2DDTCWT 和DFB 都采用正交滤波器，则它是一个紧框架且其框架边界为1。

证明：如果2DDTCWT 采用正交滤波器，它将是一个紧框架且其框架边界为1[10]，即：∑=+=J j j J b a a 12222220|||||||||||| (3) 类似的，如果构成DFB 的滤波器均为正交滤波器，则：∑−==12122,22||||||||j l j k j j c b (4) 将上面两式合并，则有：第36卷第10期 陈新武 等：基于复轮廓波变换的图像消噪113∑∑==−+=J j j k j J j l c a a 12122,222201|||||||||||| (5) 也就是说，CCT 具有保范性，它是一个紧框架且其框架边界为1。

定理3：对于n ∈Γ，假设),0(~2σN x ，框架运算符CCT 使得投影][n P x 满足：16/}|][{|22σ=n P E x 。

证明： )},~][(),~][{(|}][{|*∑∑∈∈〉〈〉〈=Γl n l Γp n p l p E n P E φφφφx x x由于 ),0(~2σN x ，][]}[][{2*l p l x p x E −=δσ因此 A C A n P E n Γp n p 2222222|||||,~|}|][{|σφσφφσ=≤〉〈=∑∈x 又从定理1知道，冗余度R=4, C 2=1，所以 164}|][{|2222σσ==n P E x (6) 运用几乎完全相同的证明方法，可以得到对于第一代轮廓波变换而言，有： 169)3/4(}|][{|2222σσ==′n P E x (7) 因此，CCT 能够在变换域上减弱白噪声的能量，它更容易区分噪声和信号，对图像消噪很有利。