高一数学人教b版必修4精练：1.2.1 三角函数的定义 含解析
2022人教版高中数学必修四课后提升作业 三 1.2.1任意角的三角函数(一)
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课后提升作业三任意角的三角函数(一)(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.sin(-660°)的值是( )A.12B.-12C.√32D.-√32【解析】选C.sin(-660°)=sin(-2×360°+60°)=sin60°=√32.2.(2022·菏泽高一检测)sin2022°cos2022°tan2022°的值( )A.大于0B.小于0C.等于0D.不存在【解析】选A.由于2022°=5×360°+216°,所以2022°与216°终边相同,是第三象限角,所以sin2022°<0,cos2022°<0,tan2022°>0,故sin2022°·cos2022°·tan2022°>0.3.已知点P(sinα,tanα)在第三象限,则角α的终边在( )A.第一象限B.其次象限C.第三象限D.第四象限【解析】选D.由于点P(sinα,tanα)在第三象限,所以有{sinα<0,tanα<0,所以角α为第四象限角.【补偿训练】若tanα·cosα<0,则α在第几象限( )A.二、四B.二、三C.三、四D.一、四【解析】选C.由tanα·cosα<0知tanα>0且cosα<0或tanα<0且cosα>0. 若tanα>0且cosα<0,则α在第三象限,若tanα<0且cosα>0,则α在第四象限.4.(2022·南昌高一检测)若cosα=-√32,且角α的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴,终边经过点P(x,2),则P点的横坐标x是( )A.2√3B.2√2C.-2√2D.-2√3【解析】选D.由三角函数的定义得cosα=√22=-√32,得x=-2√3.【补偿训练】(2022·宝鸡高一检测)已知角α终边经过点P(-8m,-6cos60°)且cosα=-45,则m的值为( )A.12B.-12C.-√32D.√32【解析】选A.点P的坐标可化为(-8m,-3),由r=√(−8m)2+(−3)2=√64m2+9,由三角函数的定义知cosα=xr=√2=-45.即100m2=64m2+9,解得m=±12,当m=-12时,点P的坐标为(4,-3),则cosα为正,不符合题意,故m=12.5.(2022·上饶高一检测)已知点P(sin α-cos α,tan α)在其次象限,则α的一个变化区间是( )A.(−π2,π2) B.(−π4,π4) C.(−3π4,−π2) D.(π2,π)【解析】选C.点P(sin α-cos α,tan α)在其次象限,则{sin α−cosα<0,tanα>0,由于tan α>0,排解A,B,D,故选C.6.在△ABC 中,若sinAcosBtanC<0,则△ABC 是( ) A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形或钝角三角形【解析】选C.由于A,B,C 为三角形ABC 的内角, 所以sinA>0,所以cosB ·tanC<0,即{cos B <0,tanC >0,或{cos B >0,tanC <0.因此角B 或角C 为钝角, 故△ABC 为钝角三角形.7.假如角α的终边经过点P(sin780°,cos(-330°)),则sin α=( ) A.√32B.12C.√22D.1【解题指南】先利用诱导公式一求出点P 的坐标,再求sin α的值. 【解析】选C.sin780°=sin(2×360°+60°)=sin60°=√32, cos(-330°)=cos(-360°+30°)=cos30°=√32, 所以P (√32,√32),sin α=√22. 8.(2022·浏阳高一检测)若点P 在2π3的终边上,且OP=2,则点P 的坐标为( )A.(1,√3)B.(√3,-1)C.(-1,-√3)D.(-1,√3)【解析】选D.设P(x,y),由于点P 在角2π3的终边上,2π3是其次象限角,所以x<0,y>0,又OP=2,所以依据正弦和余弦的定义得sin 2π3=y 2=√32,cos 2π3=x 2=-12,所以x=-1,y=√3,则点P 坐标为(−1,√3).二、填空题(每小题5分,共10分)9.若角α的终边与直线y=3x 重合且sin α<0,又P(m,n)是α终边上一点,且|OP|=√10,则m-n= .【解析】由于角α的终边与直线y=3x 重合且sin α<0, 所以α是第三象限角,所以m<0,n<0,又{√m 2+n 2=√10,n m=3,解得{m =−1,n =−3,或{m =1,n =3.(舍)所以m-n=2. 答案:210.sin780°·cos390°+sin(-330°)cos(-1020°)= . 【解析】原式=sin(2×360°+60°)·cos(360°+30°)+sin(-360°+30°)·cos(-3×360°+60°)=sin60°·cos30°+sin30°·cos60°=√32×√32+12×12=1.答案:1 三、解答题11.(10分)推断下列三角函数式的符号:(1)sin320°·cos385°·tan155°.(2)tan4·cos2·sin(−23π4).【解析】(1)由于320°,385°=360°+25°,155°分别为第四象限、第一象限、其次象限角.则sin320°<0,cos385°>0,tan155°<0,所以sin320°·cos385°·tan155°>0.(2)由于π2<2<π<4<3π2,-23π4=-6π+π4,所以4,2,-23π4分别为第三象限,其次象限,第一象限角,所以tan4>0,cos2<0,sin(−23π4)>0,所以tan4·cos2·sin(−23π4)<0.关闭Word文档返回原板块。
人教新课标版数学高一B版必修4课件 三角函数的定义
13 3.
反思与感悟 利用三角函数的定义，求一个角的三角函 数，需要确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的 点P的横坐标x、纵坐标y、点P到原点的距离r.特别注意， 当点的坐标含有参数时，应分类讨论.
跟踪训练 1 已知角 θ 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的正
半轴，若 P(4，y)是角 θ 终边上一点，且 sin θ＝－255，则 y ＝ －8 .
(2)当α是锐角时，此定义与初中定义相同；当α不是锐角 时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有 终边，终边就必然与单位圆有交点P(x，y)，从而就必然 能够最终计算出三角函数值. (3)正弦、余弦、正切函数都是以角为自变量，以单位圆 上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将这种 函数统称为三角函数.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
探要点·究所然
情境导学 在初中我们已经学过锐角三角函数，知道它们都是以锐 角为自变量，以比值为函数值的函数， 角的概念推广 后，这样的三角函数的定义明显不再适用，如何对三角 函数重新定义，这一节我们就来一起研究这个问题.
探究点一 锐角三角函数的定义 思考1 如图， Rt△ABC中，∠C＝90°，若 已知a＝3，b＝4，c＝5，试求sin A，cos B， sin B，cos A，tan A，tan B的值. 答 sin A＝cos B＝ac＝35； sin B＝cos A＝bc＝45； tan A＝ab＝34； tan B＝ba＝43.
3π (3) 2 . 解 当 α＝32π时，x＝0，y＝－r， 所以 sin 32π＝－1，cos 32π＝0，tan 32π不存在， csc 32π＝－1，sec 32π不存在，cot 32π＝0. 反思与感悟 求任意角的三角函数值，最后常常转化为求特 殊角的三角函数值，因此对特殊角的三角函数值应当适当加 强记忆.
高中数学 1.2.1三角函数的定义课件 新人教B版必修4
我们一起研究它们的定义
R
域
R
填表
填表
0
0
1
0
-1
0
1
0
-1
0
1
0
不存在
0
不存在
0
将填表结果核对准确以后加以记忆
总结
今天我们学到了什么？请同学们讨论一下
1、三角函数新的表示方法 2、新的三个三角函数 3、三角函数在锐角以外的推广 4、三角函数的定义域
三角函数的定义
回顾：
在初中阶段我们已经学习了三角函 数初步的内容，那么同学们请回想 一下我们学过哪些三角函数？又分 别是怎么定义的？
A
B
C
接下来：
我们今天要用新的方法来表示这些 新的三角函数。
A
B
C
余割 正割 余切
由这个问题，你发现 了什么？是不是只有 锐角才有三角函数？
既然第四象限的 角也可以得到六 个三角函数值， 那么其他象限呢？ 请同学们分组讨 论，并总结它们 的符号
人教B版高中数学必修4-1.2《三角函数的定义》教学课件1
y x
;
5)角α的余割：cscα=
1
sin
6)角α的余切：cotα=
1
tan
1.角α的终边经过点P(2,3),则有( C )
A.sin 2 13 13
C.sin 3 13
13
B.cos 13 2
D : tan 2 3
2.已知角的终边上一点P(-3a，4a)（a≠0)， （1）是第几象限角 （2）分别求角的六个三角函数值.
secα
r x
x≠0
cscα
r y
y≠ 0
{α∣α≠kπ,k Z} {α∣α≠kπ+2 ,k Z}
{α∣α≠kπ,k Z}
3.函数
y tan(2x )
6
的定义域
解析：
y tan x的定义域为｛x x k , k Z｝
2
依题，则有 2x k (k Z )
++ 一全正
tan cot
+
r x2 y2 0
x 0, y 0
O
x , y 0
x
sin cos
_ _ csc sec
tan cot
+
sin cos tan
_ + _ csc sec cot
三正切
四余弦
练习
62
可得x k , (k Z )
32
该函数的定义域为｛ x x k 0
sin cos
+ _ csc sec 二正弦
tan
_cot
x 0, y 0
sin cos
csc sec
高中数学 1.2.1.1 三角函数的定义同步课件 新人教B版必修4
解析 r＝ 12＋－342＝54，
∴sinα＝－534＝－35，cosα＝15＝45，
4
4
tanα＝－134＝－34，cotα＝－134＝－43.
第二十五页，共35页。
例2 已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sinα， cosα，tanα，cotα的值．
剖析 根据任意角三角函数的定义，应首先求出点P到 原点的距离r，由于含有参数a，要注意分类讨论．
名师点拨 1.三角函数的概念 在高中教材中，三角函数定义的对象从锐角的三角函数 推广到任意角的三角函数，从四种三角函数增加到六种三角 函数；定义媒介则从直角三角形改为平面直角坐标系．在理 解三角函数概念时，要注意以下两点： (1)六个三角函数都是以角为自变量，以比值为函数值的 函数．
第十六页，共35页。
(2)明确sinα的意义：sinα是一个比值，它是一个整体， 离开α的“sin”不表示任何意义，其它五个三角函数也一样．
第十七页，共35页。
2．三角函数的定义域 函数的定义域是函数概念的三要素(定义域、值域、对 应法则)之一．确定函数的定义域时，应抓住分母等于0比值 没有意义这一关键．因为角α的终边上任意一点P(x，y)与原 点不重合，所以r＝ x2＋y2≠0，由此可知正弦函数、余弦函 数的定义域都为R；当角α的终边落在坐标轴上时，点P的坐 标中必有一个为零．当角α的终边落在y轴上时，终边上任意 一点P的横坐标x＝0时，正切函数tanα＝xy与正割函数secα＝xr
第九页，共35页。
自测自评
1.已知角α的终边上一点P(2,3)，则sinα的值为( )
3
2
A.2
B.3
2 13 C. 13
3 13 D. 13
人教版高中数学必修四第一章三角函数1.2任意角的三角函数(教师版)【个性化辅导含答案】
任意角的三角函数__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系； 2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。
3.牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用于解题. （一）任意角的三角函数： 任意点到原点的距离公式：22y x r +=1.三角函数定义：在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为(0)r r ==>，那么（1）比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=； （2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos xr α=；（3）比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan yxα=；（4）比值x y 叫做α的余切，记作cot α，即cot x yα=； 2.说明：（1）α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；（2）根据相似三角形的知识，对于确定的角α，四个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小； （3）当()2k k Z παπ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0，所以tan yxα=无意义；同理当()k k Z απ=∈时，y x =αcot 无意义；（4）除以上两种情况外，对于确定的值α，比值y r 、x r 、yx、x y 分别是一个确定的实数。
正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。
高中数学 1.2.1《三角函数的定义》教案1 新人教B版必修4
正切、余切余弦、正割-----+++++-+正弦、余割oo o xyxy x y 学习目标：1.理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号.2.理解并掌握终边相同的角的同一三角函数值相等. 教学重点：三角函数在各象限内的符号,终边相同的角的同一三角函数值相等 教学难点：正确理解三角函数可看作以“实数”为自变量的函数 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 教学环节 教学内容师生互动设计意图 复习引入 任意角的三角函数定义教师提出问题：任意角的三角函数是如何定义的？ 温故知新，为新课引入埋下伏笔 概念的形成1.设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x ,y ） 则P与原点的距离2222>+=+=y x y x r ，xyr y r x ,,比值只与角的大小有关.2．三角函数是以“比值”为函数值的函数。
3．三角函数值的符号的讨论①正弦值yr对于第一、二象限为正（0,0y r >>），对于第三、四象限为负（0,0y r <>）；②余弦值xr对于第一、四象限为正（0,0x r >>），对于第二、三象限为负（0,0x r <>）；③正切值yx对于第一、三象限为正（,x y 同号），对于第二、四象限为负（,x y 异号）．教师提出问题：我们发现xy r y r x ,,这三个比值中0>r 而x ,y 的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定请同学们探讨一下三角函数值的符号是如何？问题2。
你能否归纳出更易记忆的规律？学生甲：记忆法则：第一象限全为正,二正三切四余弦.学生乙：ααcsc sin 为正 全正ααcot tan 为正ααsec cos 为正学生丙：教师点评： 由学生讨论得出新的结论ry)(x,αP例1.确定下列三角函数值的符号 (1) cos260º (2))3sin(π-(3) tan(-672º20’) (4) )310tan(π例2.设sinθ<0且tanθ>0,确定θ是第几象限的角。
2022年高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修4 1.2.1 三角函数的定义》7
教学设计人教B版2021版。
必修4 三角函数的定义〔第一课时〕一、【教学目标】1、知识与技能目标：〔1〕理解任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解任意角的余切、正割、余割的定义。
〔2〕会利用三角函数的定义分析、解决一些三角函数求值、确定三角函数的符号问题。
2、过程与方法目标：由三角函数的定义引导学生自主研究同角三角函数的根本关系式，提高学生的建模意识。
培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力，特殊到一般的思维方法，渗透分类讨论思想及转化思想，优化思维品质．3、情感与态度目标：通过经历的用三角函数的定义出发，求三角函数值，激发学生的求知欲，鼓励学生积极参与、大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验。
引导学生养成自主学习的学习习惯。
二、【学情分析】1学生具备初中三角函数的定义，高中终边相同的角的概念方面的知识。
2、这个班级是营口市第二高级中学的理科普通班，学生根底知识掌握一般。
有学习积极性。
有一定的参与意识。
三、【教学重点、难点】〔一〕教学重点三角函数的定义，明确对应法那么和定义域。
〔二〕教学难点1 通过坐标求任意角的三角函数的值，判断三角函数在各个象限的符号。
2、对学生进行思维灵活性的培养。
在解题过程中常常要分类讨论思想，提高学生从特殊到一般的概括能力。
四、【教学方法】讲练结合【教学过程】1.2.1三角函数的定义〔第一课时〕教学活动【预习要求】1掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；2掌握正弦、余弦、正切函数的定义域。
【预习】教材第14-16页，1初中知识再现：在初中我们学习了锐角三角函数，它是以锐角为自变量，边的比值为函数值的三角函数:；2．任意角的三角函数：设是一个任意角，在的终边上任取〔异于原点的〕一点P,，那么P与原点的距离根据三角形的相似知识得到均为定值。
比值叫做的正弦,记作：比值叫做的余弦,记作：比值叫做的正切,记作：角的其它三种三角函数：比值叫做的余切,记作：比值叫做的正割,记作：比值叫做的余割,记作：3三角函数的定义域、值域：课堂学习【活动1】知识再现【提问】：1．与角α终边相同的角的集合为：．2．1弧度＝≈_＝_________3 1°＝_rad≈ rad4初中锐角的三角函数是如何定义的？in=,co=,tan=【活动2】【想一想】问题：根据刚刚我们在直角坐标系中讨论的锐角三角函数，你能给出任意角的三角函数定义吗,那么，，【探索新知】三角函数的定义1 用坐标形式表示出中所学的锐角三角函数设点P〔,〕是锐角终边上的任意一点，记OP=rr≠02 任意角的三角函数。
2022年高中人教B版数学必修四优课教案：1.2.1三角函数的定义1
教 学 设 计课题：《任意角的三角函数》 教学目标：1.把握任意角的三角函数的定义；2.任意角的三角函数和锐角的三角函数的联系和区分；3.理解角的三角函数值与角终边上点的位置无关；4.正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域；5.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值。
教学重点：1. 任意角的三角函数的定义；2. 运用任意角的三角函数的定义求函数值。
教学难点：理解角的三角函数值与角终边上点的位置无关； 教学方法：1. 情境教学法；2. 问题驱动教学法。
教学过程： 一、 复习引入（情境1）前面我们学习了角的概念的推广，通过推广，使角动了起来，同时把角的范围也突破了0度和360度的界限，角可为任意大小。
这节课我们要争辩的问题是任意角的三角函数。
学校阶段我们学习了锐角的三角函数。
【问题1】在直角三角形中，锐角的三角函数是怎样定义的？（同学回答）二、 新授学问【目标一】任意角的三角函数的定义是什么？【情境二】事实上，锐角的三角函数定义，可以看作是在角的锐角的一边上任取一点，构造一个直角三角形，用直角三角形的边之比来定义。
我们可以看出，取的点不同，所构造的三角形的大小也不一样。
α的各三角函数值与所构造的三角形的大小有关吗？（无关，由三角形相像的性质可以得到。
）【情境三】角的概念推广之后，角可以是任意大小，把角放在直角三角形中定义它的三角函数明显已经达不到要求，必需寻求一种新的方法！前面我跟同学们示意过：今后在争辩任意角的相关时，我们经常把角放在坐标系里进行争辩！【问题2】任意角在坐标系中是如何放置的？（同学回答）将角的顶点放在原点，始边与x 轴正半轴重合。
角的终边可能会落在某一象限内，也可能在坐标轴上。
出示PPT 。
我们在角的终边上任取除顶点以外的一点P ，则P 有一确定的坐标，（x,y ），P 点到原点的距离也是确定的，。
在有意义的前提下这样我们可以得到三组比值：y r ，x r ，yx。
由相像三角形可以得到这些比值和取的点的位置无关，比值只和终边的位置有关！定义：y r 为α的正弦，sin α=y r ; x r 为α的余弦，cos α=xr ;y x 为α的正切，tan α=y x。
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第一章 1.2 1.2.1
一、选择题
1．(2014·全国大纲文，2)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cosα＝( )
A．45 B．35
C．－35 D．－45
[答案] D
[解析] 考查了三角函数的定义．
由条件知：x＝－4，y＝3，则r＝5，∴cosα＝xr＝－45.
2．(2015·湖南浏阳一中高一月考)若sinα<0且tanα>0，则α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
[答案] C
[解析] 设角α终边上一点P(x，y)，点P到坐标原点的距离r＝|OP|>0，
∵sinα＝yr<0，∴y<0.
又∵tanα＝yx>0，∴x<0，
故点P在第三象限，即α是第三象限角．
3．已知角α终边经过点(－8m，－6cos60°)且cosα＝－45，则m的值是( )
A．12 B．－12
C．－32 D．32
[答案] A
[解析] 由三角函数的定义得cosα＝－8m64m2＋9＝
－45，解得m＝12.
4．已知角α的终边经过点P(－b,4)，且sinα＝45，则b等于( )
A．3 B．－3
C．±3 D．5
[答案] C
[解析] r＝|OP|＝b2＋16，sinα＝4b2＋16＝45，
∴b＝±3.
5．设△ABC的三个内角为A、B、C，则下列各组数中有意义且均为正值的
是( )
A．tanA与cosB B．cosB与sinC
C．sinC与tanA D．tanA2与sinC
[答案] D
[解析] ∵0
6．如果角α的终边经过点(2sin30°，－2cos30°)，则sinα＝( )
A．12 B．－12
C．－32 D．－33
[答案] C
[解析] ∵2sin30°＝2×12＝1，
－2cos30°＝－2×32＝－3.
∴角α的终边经过点(1，－3)，
∴sinα＝－312＋－32＝－32.
二、填空题
7．已知角α终边上一点P(5,12)，则sinα＋cosα＝________.
[答案] 1713
[解析] ∵角α终边过点P(5,12)，∴x＝5，y＝12，r＝13.
∴sinα＝yr＝1213，cosα＝xr＝513，