6.1菱形的性质与判定(3)
6.1(1)菱形的性质
教学流程：二、 探索新知 （一）、自主学习：观察课本第二页的图片后，你能从中发现你熟悉的图形吗？你认为它们有什么样的共同特征呢？菱形定义： _________________________ 的平行四边形叫菱形几何语言：∵四边形ABCD 是平行四边形，AB=BC ∴四边形ABCD 是 _____________ 定义中强调的条件：（1） __________________（2）_____________________________ （二）合作交流：1、将平行四边形沿某条线对折，使线段AB 落在线段BD 上，点A 与点F 重合，BE 是折痕，沿EF 剪开，得到四边形ABFE有一组____________的_____________叫做菱形。
菱形是___________的平行四边形。
2、探究菱形的性质。
（1）边: __________________________________________________（位置和大小两方面） 几何语言：如图1， ∵四边形ABCD 是菱形, ∴________________________已知：四边形ABCD 是菱形，且AD=AB 求证：_____________________________(证明大小关系) 练习：如图，在菱形ABCD 中，AB=4，则菱形ABCD 的周长是_________。
规律：菱形的边长为a ，则菱形的周长c=_________。
（2）角：____________________________________________（平行四边形性质） 练习：如图1，在菱形ABCD 中，AB=5，∠ABC=60°，则AC 长为________。
（3）对角线：① _____________________________________（平行四边形性质） 根据__________________________________性质得到下面结论： ②______________________________________（两条对角线的位置关系） ③____________________________________（对角线和一组对角的关系）几何语言：如图1， ∵四边形ABCD 是菱形, ∴①____________②_____________③________________练习：在菱形ABCD 中，AC=6，∠ABC=60°，则BD 长为_______。
菱形性质与判定
班级________姓名________一.学习目标：1．理解菱形的定义，掌握菱形的性质和判定；2．能运用菱形的性质和判定进行简单的计算与证明．二．学习重点：菱形的性质、判定的理解和掌握；学习难点：菱形的性质、判定的综合应用．三．教学过程知识梳理1：菱形的定义：菱形的性质：（边）（角）（对角线）（对称性）菱形的面积等于．边讲边练：Ⅰ.菱形两条对角线、边长之间的关系：1. 如图所示，在菱形ABCD中，两条对角线AC＝6，BD＝8，则：①此菱形的边长为．(10 盐城)周长为．(10 北京)②此菱形的面积为．(10 株洲)③此菱形对角线的交点O到AB的距离为．(11 昆明)④菱形内部(包括边界)任取一点P，使△ACP的面积大于6 cm2的概率为．(10 淮安)2. 已知菱形的边长是5cm，一条对角线长为8cm，则另一条对角线长为___ ___cm．3．菱形ABCD的周长为40cm，两条对角线AC:BD=4:3，那么对角线AC=_____cm，BD=_____cm．4．(10 西安)若一个菱形的边长为2，则这个菱形两条对角线长的平方和为．Ⅱ.有一个内角为60°的菱形：1. 如图如图所示，在菱形ABCD中，若AB＝6，∠DAC＝60°则：①BD＝．(10 南通)②AC＝．(11 中山)③S菱形ABCD＝．归纳：有一个内角为60°的菱形，短的对角线等于；长的对角线等于．2. 菱形的两邻角之比为1:2，边长为2，则菱形的面积为__________．3. 己知：如图，菱形ABCD 中，∠B =60°，AB =4，则以AC 为边长的正方形ACEF 的周长为 ．4．(11 南京)如图，菱形ABCD 的边长是2㎝，E 是AB 中点，且DE ⊥AB ，则S 菱形ABCD = cm 2．5．(10 荷泽) 如图，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝2㎝，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连结AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为 cm ． 、知识梳理2：(11 益阳)如图，小聪在作线段AB 的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A 和B 为圆心，大于1,2AB 的长为半径画弧，两弧相交于C 、D ，则直线CD 即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC 一定是．．． 形，你判定的理由是： ． 归纳：第3题图 第4题图 第5题图的平行四边形是菱形 的四边形是菱形例题精讲1．已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AB，DF∥AC．试判断四边形AFED的形状，并加以证明．2．已知：如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．（1）(11 肇庆)求证：四边形OCED是菱形；（2）(10 眉山)若AB=6，BC=8，求四边形OCED的面积．（3）若∠ACB＝30 ，菱形OCED的面积为83，求AC的长．3．两张等宽的矩形纸片如图所示叠放在一起，他们重合的图形是什么形状，并加以证明．4．如图，□ABCD的对角线BD的垂直平分线与AD、BC分别交于点E、F．求证：四边形BEDF是菱形．变式．(11兰州)已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD>AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF 和CE．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC·AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．课外延伸1．(10 济南)如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蚂蚁由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2010厘米后停下，则这只蚂蚁停在点．2．(11 无锡)菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角互补3．(11武汉)如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE=DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．下列结论正确的是（）①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG=34CG2；③若AF=2DF，则BG=6GF．其中结论A．只有①② B．只有①③ C．只有②③ D．①②③4．(11湖州) 如图已知E 、F 分别是□ABCD 的边BC 、AD 上的点，且BE=DF ．(1) 求证：四边形AECF 是平行四边形；(2) 若BC ＝10，∠BAC ＝90°，且四边形AECF 是菱形，求BE 的长 ．5．(11 株洲)如图，矩形ABCD 中，点P 是线段AD 上一动点，O 为BD 的中点， PO 的延长线交BC 于Q . （1）求证： OP =OQ ；（2）若AD =8厘米，AB =6厘米，P 从点A 出发，以1厘米/秒的速度向D 运动（不与D 重合）.设点P 运动时间为t第1题图 第3题图 第4题图秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD 是菱形．一、选择题1．下列命题正确的是（）A．有两组邻角相等的四边形是菱形 B．有一组邻边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形2. 如图3所示，菱形ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，E、F为垂足，AE=EB，则∠EDF等于（）A．75° B．60° C．50° D．45°ACDEF第2题ABCDEFP第5题D CBOAE第3题3. 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为AB 的中点，且OE=a ，则菱形ABCD 的周长为（ ） A ．16a B ．12a C ．8a D ．4a 二、填空题4.菱形周长为20，相邻两角的比为1:2，则菱形的两对角线的长为 .5. 如图，P 为菱形ABCD 的对角线上一点，PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥AD 于点F ，PF=3cm ，则P 点到AB 的距离是 cm. 6. 如图，菱形ABCD 中，∠B=60°，AB=2，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为 . 三、解答题7. 如图，ΔABC 为等腰三角形，把它沿底边BC 翻折后，得到ΔDBC ..请你判断四边形ABDC 的形状，并说出你的理由.F ADEBC第6题CABD8.已知：如图，菱形ABCD 中，E ，F分别是CB，CD上的点，且BE=DF．（1）求证：AE=AF．（2）若∠B=60°，点E，F分别为BC和CD的中点．求证：△AEF为等边三角形．备选题1.如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，则点D的坐标为．(222)，O(B)A Dx yCAB DCE F2.如图，菱形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，AB=5cm ，AO=4cm ，则BD= cm ． 63. 如图，下列条件之一能使□ABCD 是菱形的为（ A ）① ② ③ ④A ．①③B ．②③C ．③④D ．①②③4. 菱形ABCD 中，AB=4，E 为BC 中点，AE ⊥BC ，AF ⊥CD 于点F ，CG ∥AE ，CG 交AF 于点H ，交AD 于点G ．如图，求菱形ABCD 的面积．AC BD ⊥90BAD ∠=o AB BC =AC BD = AB C D4. 在菱形ABCD 中，AB=BC=4，又因为E 为BC 中点，所以BE=2，又因为AE ⊥BC ，在Rt △ABE 中，，所以S 菱形ABCD =BC ×AE=4×，所以菱形ABCD 的面积为．答案一、1.D 2.B 3.C 二、4.5，55.36.3三、7.四边形ABCD 为菱形，理由是： 由翻折得△ABC ≌△DBC.所以AC=CD ，AB=BD 因为△ABC 为等腰三角形， 所以AB=AC=33所以AC=CD=AB=BD，故四边形ABCD为菱形8.证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠B=∠D，又∵BE=DF∴△ABE≌△ADF∴AE=AF(2)连接AC∵AB=BC，∠B=60°∴△ABC是等边三角形，E是BC的中点∴AE⊥BC，∴∠BAE=90°=60°=60°，同理∠DAF=30°∵∠DAF=120°∴∠EAF=∠BAD-∠BAE-∠DAF=60°又∵AE=AF∴△AEF是等边三角形．。
1 菱形的性质与判定(3)
菱形的面积公式
A B
菱形
O E
C
D
S菱形=BC × AE
思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利 用对角线能 计算菱形的面积公式吗?
S菱形=对角线乘积的一半
做一做
如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起， 重叠部分ABCD是菱形吗？为什么？
解：重叠部分为菱形，理由如下： 过点A作AE⊥BC于E,CF⊥AB于F ∠AEB=∠CFB=900 因纸条等宽，故AE=CF 又 AB∥CD,AD∥BC ∴四边形ABCD为平行四边形 ∴∠ABE=∠CBF ∴△ABE≌△CBF(A.A.S) ∴AB=BC ∴四边形ABCD是菱形。
(1)对角线AC的长度;
(2)菱形ABCD的面积.
解：⑴∵四边形ABCD是菱形， AC与BD相交于点E， ∴∠AED=90°（菱形的对角线互相垂直），
1 1 DE BD 10 5(cm) 2 2
（菱形的对角线互相平分）
AE AD 2 DE 2 132 52 12、如图，在□ ABCD中，对角线AC、BD相交 于点O，AC=6厘米，BD=8厘米，AD=5厘米， 20厘米 则□ ABCD的周长=—————— , 24平方厘米 □ABCD的面积=————————
A
5
D
3
O
4
B
C
例题欣赏
学习新知 例3 如图所示,四边形ABCD是边长为13 cm的菱形,其中对角线BD长10 cm.求:
课本第9页随堂练习1，2题
1、菱形ABCD的周长为40cm，它的一条对角线BD长10cm. （1）求这个菱形的每一个内角的度数； （2）求这个菱形另一条对角线的长.
2、如图，在Rt△ABC=90°， BAC=60°，BC的垂直平分线分别交 BC和AB于点D、E，点F在DE延长线 上，且AF=CE,求证：四边形ACEF是 菱形.
专题16 菱形的判定与性质（含答案）
专题16 菱形的判定与性质知识解读菱形是一个特殊的平行四边形，理解菱形的定义，可从菱形的共性和特性两个方面来理解.共性：菱形是一个特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质，如对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分等。
菱形的特性主要体现在两个方面：①邻边相等；②对角线互相垂直判断一个四边形是菱形有三种方法方法1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形方法2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形方法3：四条边相等的四边形是菱形。
如果把一组邻边相等和对角线互相垂直看作菱形的特征，前两种判断方法可以理解为“平行四边形+菱形特征=菱形”，也就是说，要证明一个四边形是菱形，可先证明这个四边形是一个平行四边形，然后再添加一个菱形的特征。
培优学案典例示范一、菱形四边相等为全等提供了可能例1如图4-16-1①，在菱形ABCD中，点E，F分别为AB，AD的中点，连接CE，CF.（1）求证：CE=CF；（2）如图4-16-1②，若H为AB上一点，连接CH，使∠CHB=2∠ECB，求证：CH=AH+AB.BA EBAEHCFFCDD①②图4-16-1【提示】（1）由菱形ABCD中，点E，F分别为AB，AD的中点，易证得△BCE2A△DCF（SAS），则可得CE=CF；（2）延长BA与CF，交于点G，由平行线的性质，可得AG=AB，∠G=∠FCD，由全等三角形的对应角相等，可得∠BCE=∠DCF，然后由∠CHB=2∠ECB，易证得∠G=∠HCG，则可得CH=GH，则可证的结果。
【解答】【技巧点评】菱形的四条边相等、对角相等，这就为全等三角形提供了条件，因此菱形问题常常与全等三角形联系在一起．【跟踪训练】1．如图4－16－2，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE＝DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．下列结论：①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG＝34CG2；③若AF＝2DF，则BG＝6GF．其中正确的结论（）A．只有①②B．只有①③C．只有②③D．①②③二、菱形被两条对角线分成四个直角三角形例2已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（）A．12cm2B．24cm2C．48cm2D．96cm2【提示】菱形的周长是20cm，故边长为5cm，又两条对角线的比是4：3，不妨设两条对角线长为4k，3k，因菱形的对角线互相垂直平分，同勾股定理可得（4k）2＋（3k）＝100，可求出k的值，即可求出菱形的两条对角线的长，代入菱形的面积公式，可求出菱形的面积．【技巧点评】菱形的一边和两条对角线的一半构成直角三角形，在直角三角形中，应用勾股定理，是解决这个问题的基本思路，本题在计算菱形的面积的时候，应用了菱形的面积等于对角线之积的一半．【跟踪训练】1.如图4－16－3，菱形ABCD的周长为40cm，AC，BD相交于O，且BD:AC＝3：4．求AC，BD的长及菱形ABCD的面积．【解答】三、含60°角的菱形常与等边三角形结合在一起例3如图4－16－4，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E，F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE＋CF＝2．（1）求证：△BDE≌△BCF；（2）判断△BEF的形状，并说明理由；【提示】（1）由于菱形ABCD的边长为2，BD＝2，所以△ABD和△BCD是等边三角形，则∠BDE＝∠BCF＝60°，BC＝BD，又由于AE＋CF＝2，AE＋ED＝2可得DE＝CF，即可证明△BDE≌△BCF；（2）由△BDE≌△BCF可证BE＝BF，∠DBE＝∠CBF，由于∠CBF＋∠DBF＝60°，即可证明∠FBE＝60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形证得△DEF是等边三角形．【解答】【技巧点评】如果一个菱形有一个内角等于60°，那么这个菱形较短的对角线会把菱形分成两个等边三角形，此时常需要用等边三角形知识解决问题．【跟踪训练】3.如图4－16－5，菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是．四、菱形的判定思路，平行四边形＋菱形特性＝菱形由于菱形是一个特殊的平行四边形，因此判定一个四边形是菱形时，可考虑先证明这个四边形是平行四边形，然后再证明这个平行四边形具有菱形特征（如邻边相等或对角线互相垂直）．当然如果能直接证明四条边相等，就不需要先证明它是平行四边形．例4如图4－16－6，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于D．交AB于E，F在DE上，且AF＝CE＝AE．（1）说明四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？并说明理由．【提示】（1）用两组对边平行且相等，可以证明四边形ACEF是平行四边形．（2）通过探究得出当∠B＝30°时，四边形ACEF是菱形，可以用一组对边相等的平行四边形来证明．【解答】【技巧点评】要证明一个四边形是菱形，应尽可能先证明这个四边形是平行四边形，然后再证明一组邻边相等或者证明对角线互相垂直．【跟踪训练】4.如图4－16－7，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD，BC 于点E 和点F ，求证：四边形BEDF 是菱形．【解答】例5 如图4－16－8，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，点E ，F ，G ，H 分别是AD ，BD ，BC ，AC 的中点．试说明：四边形EFGH 是菱形．【提示】由于“点E ，F ，G ，H 分别是AD ，BD ，BC ，AC 的中点”，我们可联想到三角形中位线定理，EH ，HG ，GF ，FE 分别是△ACD ，△ABC ，△BCD ，△ABD 的中位线，EH ，HG ，GF ，FE 分别等于12CD ，12AB ，12CD ，12A B ．由于AB ＝CD ，所以EH ＝HG ＝GF ＝FE ，根据“四条边相等的四边形是菱形”可得四边形EFGH 是菱形．【解答】【技巧点评】当题目不容易证明两直线平行时，我们可考虑通过证明四条边相等来证明这个四边形是菱形． 【跟踪训练】5.如图4－16－9，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB，BC，CD，DA的中点分别为P，Q，M，N，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论．【解答】五、从对称的角度考虑菱形问题，可以为解决问题提供帮助例6如图4－16－10，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，点E，F分别是边AB，BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE＋PF的最小值，则这个最小值是（）A.3B．4C．5D．6【提示】找到点F关于AC的对称点（即CD的中点），连接CD的中点与点E交AC于点B P，则点P为AC 与BD的交点，此时PE＋PF的和最短，即等于AD的长，由于菱形的对角线互相垂直，由勾股定理可得AD ＝5，所以PE＋PF的长为5．【技巧点评】本题是把轴对称变换与菱形的轴对称性结合在一起的综合题，解决问题的方法是作出F点的对称点F'，线段EF'的长就是PE＋PF的最小值，同样道理，也可以作E点的对称点E’．菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，许多题目正是从对称的角度展开对问题的讨论，因此从对称的角度思考问题，常常会给解决问题带来便利．【跟踪训练】6.如图4－16－11，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．【解答】【拓展延伸】例7如图4－16－12，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝5，∠C＝30o．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）求证：AE＝DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．【提示】（1）在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，由已知条件求证；（2）求得四边形AEFD为平行四边形，若使口AEFD为菱形则还需要满足一组邻边相等；（3）①∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形．在直角三角形AED中利用AD＝2AE即求得．②∠DEF＝90°时，由（2）知EF//AD，则得∠ADE＝∠DEF＝90°，求得AD＝AE·cos60°列式得．③∠EFD＝90°时，此种情况不存在．【解答】【跟踪训练】7.如图4－16－13，菱形ABCD的边长为24厘米，∠A＝60°，质点P从点A出发沿着AB－BD－DA作匀速运动，质点Q从点D同时出发沿着线路DC－CB－BD作匀速运动．（1）求BD的长；（2）已知质点P，Q运动的速度分别为4cm/s、5cm/s，经过12秒后，P，Q分别到达M，N两点，若按角的大小进行分类，请问△AMN是哪一类三角形？并说明理由．【解答】【竞赛连接】例8（希望杯全国数学邀请赛试题）若某一个内角为30°的菱形中有一个点到四边的距离分别为1、2、3、4，则这个菱形的面积等于．【提示】菱形内的点到对边的距离之和为菱形的高线，故菱形的高为1＋4＝2＋3＝5，根据直角三角形中30°角的特殊性可以证明AB＝2AE，根据边长和高即可求菱形ABCD的面积．【跟踪练习】8．（湖北初中数学竞赛试题）如图4－16－14，在菱形ABCD中，∠A＝110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC＝（）A．35°B．45°C．50°D．55°培优训练1.如图4－16－15，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O，△AOB的周长为3＋，∠ABC＝60°，则菱形ABCD的面积为．2.如图4－16－16，在菱形ABCD中，∠BCD＝120°，点F是BD上一点，EF⊥CF，AE⊥EF，AE＝3，EF＝4，求AB长．3.如图4-16-17，在△ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于D ，CE 平分∠ACB ，交AD 于G ，交AB 于E ，EF ⊥BC 于F . 求证：四边形AEFG 是菱形.G DFECB A图4-16-174.如图4-16-18，在△ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于点D ，BE 平分∠ABC ，交AD 于点M ，AN 平分∠DAC ，交BC 于点N . 求证：四边形AMNE 是菱形.OENMD ACB图4-16-185.如图4-16-19，在菱形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 上的点，且CE =CF .试说明：AE =AF .F DABC图4-16-196.如图4-16-20，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于点F ，连接CF . （1）求证：AF =DC ；（2）若AB ⊥AC ，试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论.FED图4-16-207.如图4-16-21，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 边上的一点，连接AE ，BD 且AE =AB . （1）求证：∠ABE =∠EAD ；（2）若∠AEB =2∠ADB ， 求证：四边形ABCD 是菱形.ECBA图4-16-218.如图4-16-22，在四边形ABCD 中，AB =AC =AD ，BC =CD ，锐角∠BAC 的角平分线AE 交BC 于点E ，AF 是CD 边上的中线，且PC ⊥CD 与AE 交于点P ，QC ⊥BC 与AF 交于点Q . 求证：四边形APCQ 是菱形.QPEFACB图4-16-229.如图4-16-23，在△ABC 中，∠ABC =90°，BD 为AC 边的中线，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点F ，在AF 的延长线上截取FG =BD ，连接BG 、DF .若AG =13，CF =6，求四边形BDFG 的周长.EFDBC图4-16-2310.如图4-16-24，点D 是等腰Rt △ABC 的直角边BC 上一点，AD 的垂直平分线EF 分别交AC ，AD ，AB 于E ，O ，F ，且BC =2. （1）当CD =2时，求AE ；（2）当CD =2(21) 时，试证明四边形AEDF 是菱形.FE OACD图4-16-24直击中考11.★★（2017·湖北十堰）如图4-16-25，在菱形ABCD 中，AC 交BD 于点O ，DE ⊥BC 于点E ，连接OE ，若∠ABC =140°，则∠OED =________.O EDCABE D ABCP ADBC图4-16-25图4-16-26图4-16-2712.★★（2017·山东东营）如图4-16-26，已知菱形ABCD 的周长为16，面积为83，E 为AB 的中点，若P 为对角线BD 上一动点，则EP +AP 的最小值为________.13.★★★★（2017·湖南怀化）如图4-16-27，在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，AB =10cm ，点P 是这个菱形内部或边上的一点。
菱形的判定与性质
3、在平面直角坐标系中，画一个边长为5的
菱形ABCD，并写出各点坐标。（两种不同方法）
过关检测：
1、如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角 平分线，E为AD延长线上一点，CF//BE交AD于F， 连结BF、CE，求证：四边形BECF是菱形。
2、已知：如图，M是等腰三角形ABC底边BC上的中 点，DM⊥AB，EF⊥AB，ME⊥AC，DG⊥AC． 求证：四边形MEND是菱形．
谢
谢！
D
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4、如图，平行四边形ABCD的两条对角线
AC、 BD相交于点O，AB=5 ,AO=1,OB=2,
则AC、BD的位置关系是_______,四边形 ABCD是菱形的道理是________
B A
O C
D
范例讲解：
例1、已知：如图，菱形ABCD的周长为16 cm， ∠ABC＝60°，对角线AC和BD相交于点O， 求AC和BD的长。
1、______________的平行四边 形叫做菱形。 2、菱形是轴对称图形，它的对 称轴是_____________
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3、如图，在菱形ABCD中，对角线AC、 A BD相交于点O,则 （1）AB=AD=_______=_______, O 即菱形的____________相等 B （2）图中的等腰三角形有_______, C 直角三角形有__________, △AOD≌______≌_______≌______，由此可以 得出菱形的对角线______,每一条对角线 。
菱形的性质及判定的应用
初二数学组
学习目标
掌握菱形的性质与判定定理；
利用菱形的性质与判定定理 进行有关的计算和证明。
菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形。
菱形的性质
①AE=BE；
②△DEF 是等边三角形； ③△BEF 是等腰三角形；④∠ADE=∠BEF，
其中结论正确的个数是（） A. 3 B. 4 C. 1 D. 2
D
D
A E
A
图
B
C
F E
C
F
第 题图
9
题 第 11 题图
第 10
B
12.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，若菱形 ABCD 的顶点 A，B 的坐标分别为（-3,0） ， （2,0） ， 点 D 在 y 轴上，则点 C 的坐标是. 13. 菱形的周长为 20cm，两个相邻的内角的度数之比为 1：2，则较长的对角线长度是 cm. 14.一个平行四边形的一条边长为 3，两条对角线的长分别为 4 和 2 ������，则它的面积为 . 15. 如图，在四边形 ABCD 中，AB//DC，过对角线 AC 的中点 O 作 EF⊥AC，分别交边 AB，CD 于点 E，F， 连接 CE，AF. （1）求证：四边形 AECF 是菱形； （2）若 EF=4，OE：OA=2：3，求四边形 AECF 的面积.
A D F
B
E
C
9. 如图， 四边形 ABCD 是菱形， DE⊥AB 交 BA 的延长线于点 E， DF⊥BC 交 BC 的延长线于点 F. 求证：DE=DF.
F
D
C
E
A
B
10.如图，在菱形 ABCD 中，AC 为对角线，点 E，F 分别是边 BC，AD 的中点. （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若∠B=60° ，AB=4 ，求线段 AE 的长.
D
F
C
O
A
E
B
16. 如图，四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形，∠BAD=60°，对角线 AC 与 BD 交于点 O，过点 O 的直E≌△COF； （2）若∠EOD=30°，求 CE 的长.
初二数学下菱形(提高)知识讲解+巩固练习
菱形（提高）【学习目标】1. 理解菱形的概念.2. 掌握菱形的性质定理及判定定理．【要点梳理】要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.（2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.要点三、菱形的判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.【典型例题】类型一、菱形的性质1、如图所示，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE ＝18°．求∠CEF的度数．【思路点拨】由已知∠B＝60°，∠BAE＝18°，则∠AEC＝78°．欲求∠CEF的度数，只要求出∠AEF的度数即可，由∠EAF＝60°，结合已知条件易证△AEF为等边三角形，从而∠AEF＝60°．【答案与解析】解：连接AC．∵四边形ABCD是菱形，∴ AB＝BC，∠ACB＝∠ACF．又∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．∴∠ACF＝∠B＝60°．又∵∠EAF＝∠BAC＝60°∴∠BAE＝∠CAF．∴△ABE≌△ACF．∴ AE＝AF．∴△AEF为等边三角形．∴∠AEF＝60°．又∵∠AEF＋∠CEF＝∠B＋∠BAE，∠BAE＝18°，∴∠CEF＝18°．【总结升华】当菱形有一个内角为60°时，连接菱形较短的对角线得到两个等边三角形，有助于求相关角的度数．在求角的度数时，一定要注意已知角与所求角之间的联系．2、已知：如图所示，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F．(1)求证：AM＝DM；(2)若DF＝2，求菱形ABCD的周长．【答案与解析】证明：(1)连接DB，则由菱形性质得BD⊥AC．又因为EF⊥AC，所以EF∥BD，即ME∥BD．又因为点E是AB的中点，所以点M是AD的中点．所以AM＝DM．(2)由(1)得DB∥EF．又BE∥DF，所以四边形EFDB是平行四边形．所以BE＝DF＝2．又因为12BE AB，即AB＝2BE＝2×2＝4．所以菱形ABCD的周长为4×4＝16．【总结升华】菱形四边相等，对角线互相垂直平分. 举一反三：【变式】（春•潍坊期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是AB 的中点，如果EO=2，求四边形ABCD的周长．【答案】解：∵四边形ABCD为菱形，∴BO=DO，即O为BD的中点，又∵E是AB的中点，∴EO是△ABD的中位线，∴AD=2EO=2×2=4，∴菱形ABCD的周长=4AD=4×4=16．类型二、菱形的判定3、（春•郑州校级月考）如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以lcm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿线射BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；（2）当t为多少时，四边形ACFE是菱形．【思路点拨】（1）由题意得到AD=CD，再由AG与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS即可得证；（2）若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，由E的速度求出E运动的时间即可．【答案与解析】（1）证明：∵AG∥BC，∴∠EAD=∠DCF，∠AED=∠DFC，∵D为AC的中点，∴AD=CD，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（AAS）；（2）解：①若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，则此时的时间t=6÷1=6（s）．故答案为：6s．【总结升华】此题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质等知识，弄清题意是解本题的关键.举一反三：【变式】已知，在△ABC中，AB＝AC＝a，M为底边BC上任意一点，过点M分别作AB、AC 的平行线交AC于P，交AB于Q.⑴求四边形AQMP的周长；⑵M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？说明你的理由.【答案】解：（1）∵MQ∥AP，MP∥AQ，∴四边形AQMP是平行四边形∴QM＝AP又∵AB＝AC，MP∥AQ，∴∠2＝∠C，△PMC是等腰三角形，PM＝PC∴QM＋PM＝AP＋PC＝AC＝a∴四边形AQMP的周长为2a（2）M位于BC的中点时，四边形AQMP为菱形.∵M位于BC的中点时,易证△QBM与△PCM全等,∴QM＝PM,∴四边形AQMP为菱形类型三、菱形的综合应用4、如图所示，菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF＝60°，∠EAF的两边分别交BC、CD于E、F．(1)当点E、F分别在边BC、CD上时，求CE＋CF的值．(2)当点E、F分别在CB、DC的延长线时，CE、CF又存在怎样的关系，并证明你的结论．【思路点拨】(1)由菱形的性质可知AB＝BC，而∠ABC＝60°，即联想到△ABC为等边三角形，∠BAC＝60°，又∠EAF＝60°，所以∠BAE＝∠CAF，可证△BAE≌△CAF，得到BE＝CF，所以CE+CF＝BC．(2)思路基本与(1)相同但结果有些变化．【答案与解析】解：(1)连接AC．在菱形ABCD中，BC＝AB＝4，AB∥CD．∵∠ABC＝60°，∴ AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°．∴∠ACF＝60°，即∠ACF＝∠B．∵∠EAF＝60°，∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF．∴△ABE≌△ACF(ASA)，∴ BE＝CF．∴ CE＋CF＝CE＋BE＝BC＝4．(2)CE－CF＝4．连接AC如图所示．∵∠BAC＝∠EAF＝60°，∴∠EAB＝∠FAC．∵∠ABC＝∠ACD＝60°，∴∠ABE＝∠ACF＝120°．∵ AB＝AC，∴△ABE≌△ACF(ASA)，∴ BE＝CF．∴ CE－CF＝CE－BE＝BC＝4．【总结升华】(1)菱形的性质的主要应用是证明角相等、线段相等、两直线平行、两线段互相垂直、互相平分等．(2)注意菱形中的60°角的特殊性，它让菱形这个特殊的平行四边形变得更加特殊，常与等边三角形发生联系．【巩固练习】一.选择题1.下列命题中，正确的是( )A.两邻边相等的四边形是菱形B.一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形C.对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形D.对角线垂直的四边形是菱形2. 菱形的周长为高的8倍，则它的一组邻角是（）A.30°和150°B.45°和135°C.60°和120°D.80°和100°3．已知菱形的周长为40cm，两条对角线的长度比为3：4，那么两条对角线的长分别为（）A．6cm，8cm B. 3cm，4cm C. 12cm，16cm D. 24cm，32cm4.（•青神县一模）如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD 于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是（）A.108°B.72°C.90°D.100°5. 如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH （不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为142cm ，四边形ABCD 面积是112cm ，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（ ）A.48cmB.36cmC.24cmD.18cm6. 如图，菱形ABCD 和菱形ECGF 的边长分别为2和3，∠A ＝120°，则图中阴影部分的面积是（ ）A.3B.2C.3D.2二.填空题7. （•江西三模）将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF ．若AB=3，则BC 的长为 ．8．如图，已知菱形ABCD ，其顶点A 、B 在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC ＝_____.9．如图，菱形ABCD 的边长是2cm ，E 是AB 中点， 且DE ⊥AB ，则菱形ABCD 的面积为FA B CDHE G①②③④⑤cm.______210．已知菱形ABCD的周长为20cm，且相邻两内角之比是1∶2，则菱形的两条对角线的长和面积分别是．11. 如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝．12.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝12，BD＝16，E为AD中点，点P在x轴上移动，小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标（－5，0）和（5，0）．请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标__________________.三.解答题13. （•建湖县一模）如图，△ABC中，∠ACB=60°，分别以△ABC的两边向形外作等边△BCE、等边△ACF，过A作AM∥FC交BC于点M，连接EM．求证：（1）四边形AMCF是菱形；（2）△ACB≌△MCE．14.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形.15．如图，菱形ABCD 的边长为2，BD ＝2，E 、F 分别是边AD ，CD 上的两个动点（不与端点重合），且满足AE ＋CF ＝2．(1)求证：△BDE ≌△BCF ；(2)判断△BEF 的形状，并说明理由；(3)设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围． 【答案与解析】 一.选择题 1.【答案】B ； 2.【答案】A ；【解析】由题意可知边长是高的2倍，所以一个内角为30°，另一个内角为150°. 3.【答案】C ；【解析】设两条对角线的长为6,8k k .所以有()()2223410k k +=，∴2k =，所以两条对角线的长为12 ，16.4.【答案】B ；【解析】连接PA ，如图所示： ∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ADP=∠CDP=∠ADC=36°，BD 所在直线是菱形的对称轴， ∴PA=PC ，∵AD 的垂直平分线交对角线BD 于点P ， ∴PA=PD ， ∴PD=PC ，∴∠PCD=∠CDP=36°，∴∠CPB=∠PCD+∠CDP=72°； 故选：B ．5.【答案】A ；【解析】菱形的面积等于11＋142＝18，设菱形边长为a ,则218,62a a ==，①②③④四个平行四边形周长的总和为菱形周长的2倍.6.【答案】A ；【解析】菱形的高分别是3和332，阴影部分面积＝两个菱形面积－△ABD 面积－△DEF 面积－△BGF 面积＝93152333333244+---=. 二.填空题7.【答案】． ；【解析】∵AECF 为菱形，∴∠FCO=∠ECO ，由折叠的性质可知，∠ECO=∠BCE ，又∠FCO+∠ECO+∠BCE=90°， ∴∠FCO=∠ECO=∠BCE=30°，在Rt △EBC 中，EC=2EB ，又EC=AE ， AB=AE+EB=3，∴EB=1，EC=2，∴BC=.8.【答案】5；【解析】菱形四条边相等. 9.【答案】23【解析】由题意∠A ＝60°，DE 310.【答案】5；53253； 【解析】菱形一个内角为60°，边长为5，所以两条对角线长为5和53，面积为125553322⨯⨯=11.【答案】512；【解析】431255AO BO OH AB ⨯⨯===. 12.【答案】()258,0,,08⎛⎫⎪⎝⎭； 【解析】由在菱形ABCD 中，AC ＝12，BD ＝16，E 为AD 中点，根据菱形的性质与直角三角形的性质，易求得OE 的长，然后分别从①当OP ＝OE 时，②当OE ＝PE 时，③当OP ＝EP 时去分析求解即可求得答案．三.解答题 13.【解析】 证明：（1）∵△ACF 是等边三角形， ∴∠FAC=∠ACF=60°，AC=CF=AF ， ∵∠ACB=60°， ∴∠ACB=∠FAC ， ∴AF ∥BC ， ∵AM ∥FC ，∴四边形AMCF 是平行四边形， ∵AM ∥FC ，∠ACB=∠ACF=60°， ∴∠AMC=60°， 又∵∠ACB=60°，∴△AMC 是等边三角形， ∴AM=MC ，∴四边形AMCF 是菱形；（2）∵△BCE 是等边三角形， ∴BC=EC ，在△ABC 和△MEC 中 ∵，∴△ABC ≌△MEC （SAS ）．14.【解析】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD ∥BC ，OB ＝OD ∵∠EDO ＝∠FBO, ∠OED ＝∠OFB ∴△OED ≌△OFB∴DE ＝BF 又∵ED ∥BF∴四边形BEDF 是平行四边形 ∵EF ⊥BD∴平行四边形BEDF 是菱形. 15．【解析】 解：（1）∵AE ＋CF ＝2＝CD ＝DF ＋CF ∴AE ＝DF ，DE ＝CF ， ∵AB ＝BD∴∠A ＝∠ADB ＝60° 在△BDE 与△BCF 中BD BC ADB C DE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△BCF（2）由（1）得BE ＝BF ，∠EBD ＝∠CBF∴∠EBF ＝∠EBD ＋∠DBF ＝∠DBF ＋∠CBF ＝∠CBD ＝60°∴△BEF 是等边三角形(3)∵3≤△BEF 的边长＜222S≤<S<11 / 11。
6.1.2菱形的判定
两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方 法可知四边形ADBC一定是菱形吗？请说明理由．
作的：分别以A和B为圆心，大于AB一半的长为半径画弧，
思考：四边都相等的四边形是菱形吗？ 如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA．
求证：四边形ABCD是菱形．
操作探究
菱形除了定义判定之外，还有方法吗？
如图，用钉固定两根木条的中点，做成一个可转动的十 字，四周围装一根橡皮筋，做成一个四边形．转动木条， 这个四边形什么时候变成菱形？请说明理由．
思考：对角线垂直的平行四边形是菱形吗？ 已知：如图，在□ABCD中，对角线AC⊥BD． 求证：□ABCD是菱形．
画图探究
课堂小结
通过本节课的学习：
1. 我们学习了哪几种菱形的判定方法？每种判定方法的 条件是什么？ 2. 我们是怎样证明判定方法的？你能说一说菱形的判定 方法的探究思路吗？
3. 你还有什么疑惑？
课下作业
鲁教版数学八年级下册
§6.1.2菱形的判定
课前回顾： 1. 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2. 菱形的性质：①具有平行四边形的性质； ②四边相等，对角线垂直、平分内角，是轴对称图形;
③一条对角线分得两个全等的等腰三角形，两条对角
线分得四个全等的直角三角形； ④周长是边长的四倍，面积是底高之积、或对角线之 积的一半．
)
B．AB＝BC D．∠1＝∠2
D O
2 C
B
典型例题
如图，AD平分∠BAC，DE//AC交AB于点E，DF//AB交
AC于点F．求证：四边形AEDF是菱形．
思考：如图，在三角形纸片ABC中，AD平分∠BAC， AC于点E、F，连接DE、DF． 求证：四边形AEDF是菱形．
《菱形的性质与判定》学情分析及教学设计
《菱形的性质与判定》学情分析及教学设计第⼀章特殊平⾏四边形菱形的性质与判定（⼀）⼀、学⽣知识状况分析“菱形的性质与判定”是继⼋年级下册“第三章图形的平移与旋转”和“第六章平⾏四边形”之后的⼀个学习内容。
九年级的学⽣在学习菱形之前，已经掌握了简单图形平移旋转和平⾏四边形的性质和判定，学⽣完全能够借助图形的旋转平移和轴对称直观的理解菱形的定义和性质。
其次，经历了七年级下册“第⼆章相交线与平⾏线”、“第三章三⾓形”和⼋年级下册“第六章平⾏四边形”的学习，通过推理训练，学⽣们已经具备了⼀定的推理能⼒，树⽴了初步的推理意识，为严格的推理证明打下了基础。
再次，在以前的数学学习中，学⽣已经经历了很多合作学习的过程，具有了⼀定合作学习的经验，具备了⼀定的合作与交流的能⼒。
⼆、教学任务分析教科书基于学⽣在平⾏四边形相关知识的基础上，提出了本课的具体学习任务：①掌握菱形的定义；②探索并掌握菱形是轴对称图形；③探索并证明菱形“四条边相等”、“对⾓线互相垂直”等性质，并能应⽤这些性质计算线段的长度。
在教学过程中，要利⽤学⽣对图形的直观感知、已掌握的平⾏四边形的相关知识和已有的逻辑推理能⼒为基础，探索菱形的定义和性质，⼜要尝试利⽤它们解题。
所以在本节课的教学中，要帮助学⽣学会运⽤观察，分析，⽐较，归纳，概括等⽅法，得出解决问题的⽅法，使传授知识与培养能⼒融为⼀体，使学⽣不仅学到科学的探究⽅法，⽽且体验到探究的乐趣，体会到成功的喜悦。
综上所述，本节的教学⽬标为：1.经历从现实⽣活中抽象出图形的过程，了解菱形的概念及其与平⾏四边形的关系；2.体会菱形的轴对称性，经历利⽤折纸等活动探索菱形性质的过程，发展合情推理能⼒；3.在证明性质和运⽤性质解决问题的过程中进⼀步发展学⽣的逻辑推理能⼒三、教学过程设计本节课设计了六个教学环节：第⼀环节：课前准备；第⼆环节：设置情境，提出课题；第三环节：猜想、探究与证明；第四环节：性质应⽤与巩固；第五环节：课堂⼩结；第六环节：布置作业。
鲁教版(五四制)数学八年级下册6.1菱形的性质与判定说课稿
（三）巩固练习
为了帮助学生巩固所学知识并提升应用能力，我计划设计以下巩固练习或实践活动：
鲁教版（五四制）数学八年级下册6.1菱形的性质与判定说课稿
一、教材分析
（一）内容概述
本节课选自鲁教版（五四制）数学八年级下册6.1节，主题为“菱形的性质与判定”。在整个课程体系中，本节课起到了承上启下的作用。前面章节学习了平行四边形及其性质，为本节课菱形的学习奠定了基础；而后续章节将进一步研究特殊四边形，如矩形、正方形等。本节课的主要知识点包括：菱形的定义、性质、判定方法以及应用。
（三）学习动机
为了激发学生的学习兴趣和动机，我将采取以下策略或活动：
1.创设情境：通过展示美丽的菱形图案、实际生活中的菱形应用等，激发学生对菱形学习的兴趣；
2.操作实践：让学生动手画菱形，观察菱形的性质，增强学生的直观感受和动手能力；
3.小组讨论：组织学生进行小组讨论，让学生在交流中碰撞出思维的火花，提高解决问题的能力；
4.竞赛游戏：设计菱形知识竞赛或游戏，激发学生的竞争意识和合作精神，提高课堂的活跃度和学生的参与度。
四、教学过程设计
（一）导入新课
为了快速吸引学生的注意力和兴趣，我将以生活中的菱形为例进行导入。首先，我会向学生展示一些美丽的菱形图案，如珠宝、建筑、艺术作品等，让学生直观地感受到菱形的美。接着，我会提出问题：“你们在生活中还见过哪些菱形？它们有什么特别之处？”通过这个问题，引导学生思考菱形的特点和应用。此外，我还会让学生尝试用手指在空中比划出菱形，通过亲身体验，激发学生对菱形学习的兴趣。
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1
6.1菱形的性质与判定（3）
主备人：李卫国 审核人：梁德乾 班级：________ 姓名：________
【学习目标】
1、熟练掌握菱形的性质和判定方法，并能用来解决问题。
【知识准备】
菱形的性质 菱形的判定方法
边
角
对角线
菱形的面积：⑴________________________⑵_____________________________
【问题积累】
例3 如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm.
求：⑴对角线AC的长度；
⑵菱形ABCD的面积.
【共同释疑】
如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形吗？为什么
EDCB
A
2
对应练习：
1、已知：如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，BC的垂直平分线分别交BC
和AB于点D，E，点F在DE的延长线上，且AF＝CE.
求证：四边形ACEF是菱形.
【当堂测试】
1、已知：如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，且BE＝BF.
求证：△ADE≌△CDF.
2、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，点E，F，G，H分别是AB，CD，AC，
BD的中点，
求证：四边形EGFH是菱形。