辽宁省六校协作体2020学年高一数学下学期期中试题
辽宁省沈阳市郊联体2020_2021学年高一数学下学期期中试题扫描版
沈阳市郊联体2020－2021学年第二学期期中测试高一数学试卷标准答案一、【单项选择题】1、D2、B3、C4、A5、B6、A7、B8、C二、【多项选择题】9、ACD 10、BC 11、ABC 12、ACD【详细解答】1、()23240sin 360600sin 600sin -==-= ，故选D ；2、若x 为第一象限角，则1111tan tan cos cos sin sin -=--=--=xx x x x x y ； 若x 为第二象限角，则3111tan tan cos cos sin sin =++=--=xx x x x x y ； 若x 为第三象限角，则1111tan tan cos cos sin sin -=-+-=--=x x x x x x y ； 若x 为第四象限角，则1111tan tan cos cos sin sin -=+--=--=xx x x x x y ； 故函数的值域为{}3,1-，选B ；3、因为0,AB CD AB DC +=∴=,所以四边形ABCD 为平行四边形，又因为()()()00022=-⇒=+⋅+⇒=⋅+AB ADAB AD AD AB BD AD AB ,所以AB AD =，所以四边形ABCD 为菱形.故选C ；4、因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=−−−−−−−−−→−⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34sin 32sin 21ππx y x y 为原来的纵坐标不变，横坐标变，故选A ； 5、由题意可知()Z k k x k x x ∈+=-+=-⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πππππππ2654264214sin 和， 整理可得）（和Z k k x k x ∈+=+=ππππ212132125 结合零点的定义，所以函数在[]π2,0的零点为1213125ππ和，故选B ； 6、依题意， ,所以，因为,所以，所以，故选A ；7、由题得：弓所在的弧长为：54488l ππππ=++=； 所以其所对的圆心角58524ππα==；故两手之间的距离2sin 2 1.25 1.7684d R π==⨯≈．故选B 8、由题意：()()ϕ+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=x x x x x x f sin 17cos 174sin 17117cos 4sin 其中1717cos ,17174sin ==ϕϕ，当Z k k x ∈+-=+,220ππϕ， 即Z k k x ∈+--=,220ππϕ时，函数有最小值，此时17174sin 2cos 22cos cos 0-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=ϕϕππϕπk x .故选C ； 9、2sin15°cos15°＝sin30°＝，故A 正确；cos45°cos15°+sin45°sin15°=cos （45°—15°）=cos30°=2123≠，故B 不正确； 21)40cos 1(240cos 1)40cos 1(2140cos 140cos 12140cos 1140cos 170cos 12=++=+-=++-=+-，故C 正确； ＝×tan45°＝，故D 正确，故选：ACD ．10、将函数()sin 3312sin 313πf x x x x ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度， 得到函数()2sin 312sin 31236πππg x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ A 选项：令59x π=，求得()112sin 106πg x =+=，不是最值，故()g x 的图象不关于直线59x π=对称，故A 不正确；B 选项：由2=A 可知振幅为23π，故B 正确；C 选项：当1118x π=时，()1g x =，故()g x 的图象关于点11,118π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故C 正确；D 选项：在519,39ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，35,6662πππx ππ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦，()g x 没有单调性，故D 错误， 故选BC.11、A 选项：()2cos 2cos =-，cos y x =在区间()0,π上为减函数，且023π<<<， cos 2cos3∴>，又sin10>，cos 20,cos30<<，∴()sin1cos 2cos3>-> ，故A 正确； B 选项：由α是第三象限角，则3224k k παπππ+<<+，又cos cos 22αα=-，即cos 02α<，则2α是第二象限角，故B 正确；C 选项：设b a c +与的夹角为θ，由于 ()()()()221111cos 12222-=+-=+-=+-≥⋅+⋅-=++⋅-⋅=-⋅-b a b a b a b a c c b a c b a c b c a θ故最小值为221-，故C 正确；D 选项：⎪⎭⎫ ⎝⎛+=42tan πx y 的对称中心：84242ππππ-=⇒=+k x k x ，即对称中心为()Z k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,84ππ，故D 不正确，故选ABC 12、A 选项，若与共线，则有，故A 正确； B 选项，因为，而，所以有，故选项B 错误， C 选项，⊙＝λqm ﹣λpn ，而⊙）＝λ（qm ﹣pn ）＝λqm ﹣λpn ，故C 正确， D 选项，（⊙）2+（）2＝（qm ﹣pn ）2+（mp +nq ）2＝（m 2+n 2）（p 2+q 2）＝||2||2，故D 正确；故选：ACD ．三、【填空题】13、⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-,4343,12 【写成不等式或集合也给满分】 14、()12-，15、3π 16、 ()Z k k x ∈+-=212ππ ； 211【第一空2分，第二空3分】 【备注：16题第一空Z k ∈不写不给分】【详细解答】13、由于a 与b 的夹角为锐角， 所以0>⋅，解得k >-12，又若a ∥b ，则4k =3，即k ＝43. 当k ＝43时，此时a 与b 同向，不合题意. 综上，k 的取值范围为⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-,4343,12 .14()()()2,1,,,0===⋅=y x y x B ，，即设 从而有5,0222=+=+y x y x ，解得1212=-=-==y x y x ，或，；由题意可知0<y ，所以()12-，B 15、因为02πβ-<<，02πα<<，所以02απ<<，0αβπ<-<，22ππαβ-<+<，即()sin 0αβ->，sin 20α>，因为()1cos 7αβ-=，11cos 214α=-，所以()sin αβ-=，sin 2α=，即()()()111sin sin 7142ααβαβ⎛⎫+==--= ⎪⎝⎭--， 故3παβ+=.16、（1）由2=ω，对称轴方程为()Z k k x ∈+=+πππ2322， 解得：()Z k k x ∈+-=212ππ（2）因为函数()x f 在区间(,)62ππ内只有最大值没有最小值，且()()62f f ππ=，所以函数在3x π=处取最大值，且263ππωω>⇒<，又由2()2sin()2333f πππω=+=， 解得12(2363)22k k Z k ππωππω=+∈⇒=-++， 0k =时，102ω=-<（舍去）；1k =时，112ω=，2k =时，2362ω=>（舍去）， 故112ω=.四、【解答题】【详细答案】17、【解析】（本小题满分10分） （Ⅰ）由题意可知43sin -=α，所以α为第三象限或第四象限角， 若选③，;773cos sin tan ,47sin 1cos 2==-=--=ααααα ………4分（ααtan ,cos 的值各占2分） 若选④，;773cos sin tan ,47sin 1cos 2-===-=ααααα ………4分（ααtan ,cos 的值各占2分）（Ⅱ）原式sin cos (cos )cos tan()ααααα-=-sin cos tan ααα-=-=ααααα2cos cos sin cos sin =⋅ ………8分 =1674312=⎪⎭⎫ ⎝⎛-- ………10分18、【解析】（本小题满分12分）（Ⅰ）由题意列出表格:⎪⎫ ⎛+-=3cos 21)(πx x f 3π+x0 2π π 32π 2πx 3π- 6π 32π 67π 35π ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-3cos 21πx 21-21 23 21 21- ………3分作出函数图像:………6分（Ⅱ）因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=3cos 21)(πx x f 结合（1）的图像可知()0f x >时，Z k k x k k x k x ∈+<<⇒+<+<+⇒<⎪⎭⎫ ⎝⎛+,3422352332213cos πππππππππ ………10分所以x 的取值集合为:⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<Z k k x k x ,3422|πππ ………12分19、【解析】（本小题满分12分）解：()()432222=+-=b ， ………2分()412122=⋅⇒-=-⋅⇒-=⋅-， ………4分()212641644422222=++=+⋅+=+=+b b a a b a b a ………6分 （Ⅱ）+=+=+=2121，2121+=+=+=， ………8分()()0,432222=⋅=+-=b a ， ………10分所以101621421452121=⨯+⨯=⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅b a b a b a AF AE ………12分20、【解析】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意0a <，所以sin 1x =-时，()f x 最大，sin 1x =时，()f x 最小，可得04a b a b -+=⎧⎨+=-⎩，∴22a b =-⎧⎨=-⎩； ………2分 （Ⅱ）由题意：()()242sin 2sin sin sin 1sin 1cos 22222++⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++-=-++=+=a a x x a x x x a x x f x g ………4分令[]()2421,1,sin 22++⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⇒-∈=a a t t g t x t 进行分类讨论：①若12a -＜，即2-<a ， ()12121max -=⇒=--=-=a a g g ，与2-<a 矛盾舍去； ………6分 ②若12a -≤≤1，即22≤≤-a ， 022422max =⇒=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a g g ； ………8分 ③若2a＞1，即2>a ， ()12121max =⇒=-+==a a g g ，与2>a 矛盾舍去； ………10分 综上所述：0=a ………12分21、【解析】（本小题满分12分）（Ⅰ）由三角函数定义，得445tan 335θ==--， ………2分 所以41tan tan134tan 4471tan tan 143πθπθπθ-++⎛⎫+===- ⎪⎛⎫⎝⎭--- ⎪⎝⎭. ………6分 （Ⅱ）由()95OA OB OB +⋅=，所以295OA OB OB ⋅+=，即4cos 5θ=， ………8分即3sin 5θ==，所以24sin 22sin cos 25θθθ==， 27cos 22cos 125θθ=-=， ………10分故217cos 2cos 2232250πθθθ⎛⎫-=-+=⎪⎝⎭. ………12分 22、【解析】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()21sin sin cos 2f x x x x ωωω=+-1cos 211sin 2222x x ωω-=+- 11sin 2cos 222x x ωω=-224x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭. ………2分 由()f x 图象相邻对称轴之间的距离为2π，所以242T ππω==，14ω=. ………4分 ()1sin 224f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由x ππ-≤≤，得314244x πππ-≤-≤，所以11sin 242x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭， 故()f x 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,22 ………6分 （Ⅱ）存在.由222f παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，322222f ππβββ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以312sin cos 22228f f ππααββ⎛⎫⎛⎫+⋅+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即sin cos 2αβ=， ………8分 又223παβ+=，223παβ=-，所以sin cos sin cos 234απβββ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭所以1sin cos 2βββ⎫-=⎪⎪⎝⎭，21sin cos 2βββ-=故1cos 21sin 22244ββ+⨯-=sin 20ββ-=，………10分所以tan 2β 又β为锐角，02βπ<<， 即23πβ=，6πβ=，从而2233ππαβ=-=.………12分。
2020年度高一数学下学期期中试卷及答案(六)
范文2020年度高一数学下学期期中试卷及答案(六)1/ 82020 年高一数学下学期期中试卷及答案（六）一、选择题(共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分） 1．过点 P（0，1）与圆（x﹣1）2+y2=4 相交的所有直线中，被圆截得的弦最长的直线方程是（）A．x+y﹣1=0 B．x﹣y+1=0 C．x=0D．y=1 2．已知直线 l 过点 P（，1），圆 C：x2+y2=4，则直线 l 与圆 C 的位置关系是（） A．相交 B．相切 C．相交和相切 D．相离 3．执行如图的程序框图，若输入的 a，b，k 分别为 1，2，3，则输出的 M=（） A． B． C． D． 4．已知平面向量 =（1，2）， =（﹣2，m），且，则 =（） A． B． C． D． 5．设是两个单位向量，则下列结论中正确的是（）第1页（共20页）A． B． C． D． 6．已知非零向量、满足向量 + 与向量﹣的夹角为，那么下列结论中一定成立的是（） A． = B．| |=| |，C．⊥ D．∥ 7．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：①f（x）=sinx，②f（x）=cosx，③f（x）= ，④f（x）=x2，则输出的函数是（） A．f（x）=sinx B．f（x）=cosx C．f（x）= D．f （x）=x2 8．函数 f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示，则 f（0）的值为（） A．1 B．0 C． D． 9．将函数 y=sin（2x+φ）的图象沿 x 轴向左平移个单位后，得到一个关于 y 轴对称的图象，则φ 的一个可能取值为（）第2页（共20页）3/ 8A． B． C．﹣ D．﹣ 10．在△ABC 中，AB=5，BC=2，∠B=60°，则 ? 的值为（） A． B．5 C． D．﹣5 11．在△ABC 中，点 P 是 AB 上一点，且，Q 是 BC 中点， AQ 与 CP 交点为 M，又，则 t=（） A． B． C． D． 12．设 O 在△ABC 的内部，且的面积之比为（） A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：1 ，△ABC 的面积与△AOC 二、填空题（共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分）13．函数 f（x）= sin（﹣），x∈R 的最小正周期为． 14．如果角θ 的终边经过点（﹣，），则sinθ= ． 15．已知角α 和角β 的终边关于直线y=x 对称，且β=﹣，则sinα= ． 16．函数 f（x）=3sin（2x﹣）的图象为 C，如下结论中正确的是①图象 C 关于直线x= π 对称；②图象 C 关于点（，0）对称；③函数即 f（x）在区间（﹣，）内是增函数；第3页（共20页）④由 y=3sin2x 的图角向右平移个单位长度可以得到图象 C．三、解答题（共 6 个小题，共 70 分） 17．求圆心在直线 3x+y﹣5=0 上，并且经过原点和点（4，0）的圆的方程． 18．在平面直角坐标系中，已知向量 =（﹣1，2），又点 A（8，0）， B（﹣8，t），C（8sinθ，t）．（I）若⊥ 求向量的坐标；（Ⅱ）若向量与向量共线，当tsinθ 取最大值时，求． 19．已知平行四边形 ABCD 中， = ， = ，M 为 AB 中点，N 为 BD 靠近 B 的三等分点．（1）用基底，表示向量，；（2）求证：M、N、C 三点共线．并证明：CM=3MN． 20．设A，B，C，D 为平面内的四点，且 A（1，3），B（2，﹣2），C （4，1）．（1）若 = ，求 D 点的坐标；（2）设向量 = ， = ，若 k ﹣与 +3 平行，求实数 k 的值． 21．已知 f（α）= ．（1）化简 f（α）；第4页（共20页）5/ 8（2）若α 是第三象限角，且 cos（α﹣）= ，求 f（α）的值． 22．已知| |= ，| |=2，与的夹角为30°，求| + |，| ﹣ |．第5页（共20页）参考答案与试题解析一、选择题(共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分） 1．过点 P（0，1）与圆（x﹣1）2+y2=4 相交的所有直线中，被圆截得的弦最长的直线方程是（） A．x+y﹣1=0 B．x﹣y+1=0 C．x=0D．y=1 【考点】J8：直线与圆相交的性质．【分析】最长的弦是直径，根据圆的方程可得圆心坐标，再根据直线过点 P（0，1），由截距式求得最长弦所在的直线方程．【解答】解：最长的弦是直径，根据圆的方程（x﹣1）2+y2=4 可得圆心坐标为（1，0），再根据直线过点 P（0，1），由截距式求得最长弦所在的直线方程为 + =1，x+y﹣1=0，故选：A． 2．已知直线 l 过点 P（，1），圆 C：x2+y2=4，则直线 l 与圆 C 的位置关系是（） A．相交 B．相切 C．相交和相切 D．相离【考点】J5：点与圆的位置关系．【分析】根据直线l 过点 P（，1），而点 P 在圆 C：x2+y2=4 上，可得直线和圆的位置关系．【解答】解：∵直线 l 过点 P（，1），而点 P 在圆 C：x2+y2=4 上，第6页（共20页）7/ 8故直线 l 和圆相交或相切，故选：C． 3．执行如图的程序框图，若输入的a，b，k 分别为1，2，3，则输出的M=（）A． B． C． D．【考点】EF：程序框图．【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出 M 的值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环 M=1+ = ，a=2，b= ，n=2；第二次循环 M=2+ = ，a= ，b= ，n=3；第三次循环 M= + = ，a= ，b= ，n=4．不满足。
2021-2022学年辽宁省六校协作体高一(下)第三次月考数学试卷(含答案解析)
2021-2022学年辽宁省六校协作体高一（下）第三次月考数学试卷1. 若复数z 满足iz =2+4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( ) A. (2,4)B. (2,−4)C. (4,−2)D. (4,2)2. 下列命题正确的是( )A. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形B. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台C. 四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面D. 棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形 3. sin77∘cos43∘+sin13∘cos47∘的值为( ) A. 12B. √32C. −12D. −√324. 将函数y =sin(2x +π4)图象上的所有点的横坐标变为原来的0.5倍(纵坐标不变)，然后再向右平移π6个单位长度，则所得图象的函数解析式是( )A. y =sin(4x −7π12) B. y =sin(4x −5π12) C. y =sin(x +5π12) D. y =sin(x +π12)5. 下列命题正确的有( )A. ∃α，β使得等式sin(α+β)=sinα+sinβ成立B. ∀α，β都有tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanα⋅tanβC. 已知α，β为第一象限角，若α>β，则sinα>sinβD. 若sinα+cosα=√32，则角α是第一象限角6. 玩具制造商设计并投产一种全新的益智玩具”智慧立方”它的形状为正四面体．通过大量的人体力学实验得知当“智慧立方系数“=12√2V−√3S+5aa∈[4,7]时尺寸最适合3−6岁的小朋友把玩，其中V 是正四面体的体积，S 是正四面体的表面积．则棱长a 尺寸最合适范围是( )A. [0.5,2]B. [0.5,1]C. [0.5,2.5]D. [1,2]7. 如图，四边形ABCD 四点共圆，其中BD 为直径，AB =4，BC =3，∠ABC =60∘，则△ACD的面积为( )A. √36 B. √32C. 5√36 D.7√368. 在△ABC 中，AB =5，AC =4，∠BAC =60∘，D 为BC 的中点，点E 满足AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =4EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，直线CE 与AD 交于点P ，则cos∠DPE =( )A. 45 B. √61122 C.√241482D. 24259. 已知复数z ，z 1，z 2，下列命题错误的有( ) A. 若z =z 1⋅z 2，则|z|=|z 1|⋅|z 2| B. 若z 1⋅z 2∈R ，那么z 1+z 2∈R C. 若z 1+z 2∈R ，那么z 1⋅z 2∈R D. 若|z 1⋅z 2|=1，那么z 1=1z 210. 函数f(x)=sin2x1+cos2x ，则( ) A. f(x)的值域为RB. f(x)在(π,2π)上单调递增C. f(x)有无数个零点D. f(x)在定义域内存在递减区间11. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别为棱AB ，CC 1，C 1D 1的中点，动点Q ∈平面MNP ，DQ =AB =2，则( )A. AC 1//MNB. 直线PQ//平面A 1BC 1C. 正方体被平面MNP 截得的截面为正六边形D. 点Q 的轨迹长度为2π12. 已知△ABC 中，AB =AC =√2,BC =2,D 是边BC 的中点，动点P 满足PD =1,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( )A. x+y的值可以等于2B. x−y的值可以等于2C. 2x+y的值可以等于−1D. x+2y的值可以等于313. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinA=sinB=3sinC，则a+b=______，ccosA=______.14. 已知圆锥的表面积为3π，且它的侧面展开图是一个半圆，则它的母线长为______ ；该圆锥的体积为______ .15. f(x)=sin(x+θ)⋅cosx为奇函数，那么θ的一个取值为______.16. 在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，BC=CC1=1；点E，F分别为AB、CD中点；那么长方体ABCD−A1B1C1D1外接球表面积为______；三棱锥的D1−BEF外接球的体积为______.17. 已知平面向量a⃗，b⃗ ，c⃗，满足a⃗=(1,−√3)，|b⃗ |=2，|c⃗|=1.(1)若a⃗与b⃗ 共线，求向量b⃗ 的坐标；(2)若(2a⃗+c⃗ )⊥(a⃗−3c⃗ )，求向量a⃗，c⃗的夹角．18. 正棱锥S−ABCD的底面边长为4，高为1.求：(1)棱锥的侧棱长和侧面的高；(2)棱锥的表面积与体积．19. 已知函数f(x)=asin(π2x +φ)(a >0,0<φ<π)的图象如图，其中A ，B 分别为最高点和最低点．C ，D 为零点，M(0,√3),S △ABD =4. (1)求f(x)的解析式；(2)求f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2022)的值．20. 如图所示，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，D 是AB 的中点．(1)证明：BC 1//平面A 1CD ；(2)设AA 1=AC =CB =2，AB =2√2，求几何体BDC −A 1B 1C 1的体积．21. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且2S =−√3BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，作AB ⊥AD ，使得如图所示的四边形ABCD 满足∠ACD =π3，AD =√3.(1)求B；(2)求BC的取值范围．22. 已知向量m⃗⃗⃗ =(sinx,1),n⃗=(√3cosx,−1).令函数f(x)=(m⃗⃗⃗ +n⃗ )⋅m⃗⃗⃗ .2(Ⅰ)求函数f(x)的最大值；(Ⅰ)△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠ACB的角平分线交AB于D.其中，函数f(C)恰好为函数f(x)的最大值，且此时CD=f(C)，求3a+b的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：复数z满足iz=2+4i，则有z=2+4ii =(2+4i)i−1=4−2i，故在复平面内，z对应的点的坐标是(4,−2)，故选C.由题意可得z=2+4ii，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化为4−2i，从而求得z对应的点的坐标．本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：对于A，棱柱的侧棱都相等，但侧面不一定是全等的平行四边形，A错误；对于B，用一个平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分才是棱台，B错误；对于C，四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面，C正确；对于D，棱台的侧棱延长后交于一点，但侧面不一定是等腰梯形，D错误．故选：C.棱柱的侧面不一定是全等的平行四边形，A错误；用平行于底面的平面去截棱锥，才满足，B错误；棱台的侧面不一定是等腰梯形，D错误，C正确．本题考查棱柱、棱锥、棱台的结构特征，属于基础题．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查三角函数的化简求值，熟练掌握两角差的余弦公式，诱导公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．结合诱导公式与两角差的余弦公式，即可得解．【解答】解：sin77∘cos43∘+sin13∘cos47∘=cos13∘cos43∘+sin13∘sin43∘=cos(13∘−43∘)=cos(−30∘)=√32.故本题选B.4.【答案】B【解析】解：将函数y =sin(2x +π4)图象上的所有点的横坐标变为原来的0.5倍(纵坐标不变)，可得y =sin(4x +π4)的图象；然后再向右平移π6个单位长度，则所得图象的函数解析式是y =sin(4x −4π6+π4)=sin(4x −5π12)， 故选：B.由题意，利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论． 本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：选项A ，当α=β=0时，sin(α+β)=0，sinα+sinβ=0，即选项A 正确； 选项B ，当α=β=π4时，等式两边均没有意义，即选项B 错误；选项C ，取α=2π+π6，β=π3，满足α，β为第一象限角，且α>β，所以sinα=12，sinβ=√32，此时sinα<sinβ，即选项C 错误； 选项D ，若sinα+cosα=√32，即√2sin(α+π4)=√32，所以sin(α+π4)=√64，显然α不只是第一象限角，即选项D 错误． 故选：A.选项A ，取特殊值，α=β=0，代入运算，可判断； 选项B ，取特殊值，当α=β=π4时，等式两边均没有意义； 选项C ，取α=2π+π6，β=π3，代入运算，可判断；选项D ，由辅助角公式，可得sin(α+π4)=√64，显然α不只是第一象限角．本题考查三角函数中的综合问题，熟练掌握特殊角的三角函数值，辅助角公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：如图正四面体ABCD 中，H 是△BCD 的中心，则AH 是高，AH ⊥DH ，正四面体棱长为a ，则S △BCD =√34a 2，DH =23×√32a =√33a,AH =a −(√33a)=√63a ， V =13×√34a 2×√63a =√212a 3,S =4S △BCD =√3a 2，所以12√2V−√3S+5a a=12√2×√212a 3−√3×√3a 2+5aa =2a 2−3a +5，由4≤2a 2−3a +5≤7，又a >12，因此解得1≤a ≤2. 故选：D.求出正四面体的体积和表面积，计算出12√2V−√3S+5aa，然后解相应不等式可得． 本题考查了正四面体的体积和表面积，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：在△ABC 中，∵AB =4，BC =3，∠ABC =60∘， ∴由余弦定理得AC =√42+32−2×4×3×12=√13， 由正弦定理，得BD =ACsin∠ABC=√13sin60∘=2√393， 在Rt △ABD 和Rt △BCD 中，AD =√BD 2−AB 2=√523−16=2√33， CD =√BD 2−BC 2=√523−9=5√33， ∵∠ADC =180∘−∠ABC =120∘，∴△ACD 的面积为S =12×2√33×5√33×√32=5√36. 故选：C.先在△ABC 中利用余弦定理求出边AC ，再利用正弦定理求出直径BD ，进而利用直角三角形求出AD ，CD ，再利用三角形的面积公式进行求解．本题考查三角形的面积的求法，考查余弦定理等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ， ∵D 为BC 的中点，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(a ⃗ +b ⃗ )， ∵点E 满足AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =4EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =45AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =45a ⃗ ， ∴CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =45AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −b ⃗ =45a ⃗ −b ⃗ ，∴|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=14(a ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2)=14(25+2×5×4×12+16)=614，|CE ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(45a ⃗ −b ⃗ )2=1625a ⃗ 2−2×45a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=16−16+16=16， AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(a ⃗ +b ⃗ )⋅(45a ⃗ −b ⃗ )=25a ⃗ 2−110a ⃗ ⋅b ⃗ −12b ⃗ 2=1， ∴|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√612，|CE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4， ∴cos∠DPE =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|CE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√612⋅4=√61122. 故选：B.设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，可得AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(a ⃗ +b ⃗ )，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =45a ⃗ −b ⃗ ，利用向量法可求cos∠DPE. 本题考查向量法在解三角形的应用，属中档题．9.【答案】BCD【解析】解：对于A ，由复数模的运算性质可知，|z 1z 2|=|z 1|⋅|z 2|，即|z|=|z 1|⋅|z 2|，故选项A 正确；对于B ，由复数的定义可得当z 1⋅z 2∈R 时，z 1+z 2不一定属于R ，如z 1=i ，z 2=i ，z 1⋅z 2=−1∈R ，z 1+z 2=2i ∉R ，故选项B 错误；对于C ，若z 1+z 2∈R ，可举例z 1=i ，z 2=−i ，则z 1+z 2=0∈R ，但z 1⋅z 2∉R ，故选项C 错误； 对于D ，若|z 1⋅z 2|=|z 1|⋅|z 2|=1，可举例z 1=−i ，z 2=−i ，但z 1=z 2≠1z 2，故选项D 错误． 故选：BCD.利用复数模的运算性质判断选项A ，由复数的定义可判断B ，由特殊例子判断选项C ，D. 本题考查了复数的综合应用，涉及了复数模的运算性质、虚数的定义、复数的几何意义，属于基础题．10.【答案】AC【解析】解：f(x)=sin2x1+cos2x =2sinxcosx2cos 2x =tanx ，(x ≠kπ+π2,k ∈Z)，其值域为R ，故A 正确； 在(π,2π)上，f(3π2)不存在，B 错误；显然f(kπ)=0，k ∈Z ，零点为x =kπ，k ∈Z 有无数个，C 正确；在定义域内每一个区间(kπ−π2,kπ+π2)，k ∈Z 上，函数都是增函数，无减区间，D 错误． 故选：AC.利用二倍角公式，同角关系化简函数式，再根据正切函数性质即可判断得解．本题考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简中的应用，考查了正切函数性质，属于基础题．11.【答案】BCD【解析】解：连接AC1，BC1，取BC1中点H，连接MH，易得AC1//MH，则AC1MN不平行，A错误；如图，取棱D1A1，A1A，BC的中点E，F，G，易得MF//NP，M∈平面MNP，则MF⊂面MNP，同理可得EF，EP，GM，GN⊂平面MNP，即正六边形EFMGNP为正方体被平面MNP截得的截面，C正确；由C选项知：平面MNP即平面EFMGNP，易得FM//A1B，又FM⊄平面A1BC1，A1B⊂平面A1BC1，则FM//平面A1BC1，同理可得NG//平面A1BC1，又NG//PM，则PM//平面A1BC1，PM∩FM=M，则平面EFMGNP//平面A1BC1，又PQ⊂平面EFMGNP，则直线PQ//平面A1BC1，B正确；连接DB1，易得DB1与平面EFMGNP交于正方体的体心O，连接DB，易得DB⊥MG，又B1B⊥平面ABCD，MG⊂平面ABCD，则B1B⊥MG，又DB，BB1⊂平面DBB1，DB∩BB1=B，则MG⊥平面DBB1，DB1⊂平面DBB1，则MG⊥DB1，同理可得GN⊥DB1，又MG，GN⊂平面MNP，MG∩GN=G，则DB1⊥平面MNP，OQ⊂平面MNP，则DB1⊥OQ，又DO=12DB1=12×√4+4+4=√3，则OQ=√DQ2−DO2=1，即点Q的轨迹为以O为圆心1为半径的圆，故点Q 的轨迹长度为2π，D 正确． 故选：BCD.取BC 1中点H ，由AC 1//MH 即可判断A 选项；取棱D 1A 1，A 1A ，BC 的中点E ，F ，G ，由EF ，EP ，GM ，GN ⊂平面MNP 即可判断C 选项；先判断平面EFMGNP//平面A 1BC 1，由PQ ⊂平面EFMGNP 即可判断B 选项；连接DB 1，先判断DB 1⊥平面MNP ，进而求得点Q 的轨迹为以O 为圆心1为半径的圆即可判断D 选项．本题考查线面平行，考查学生的推理能力，属于中档题．12.【答案】AD【解析】解：连接AD ，∵AB =AC ，D 是边BC 的中点，∴AD ⊥BC ， 以D 为坐标原点，BC ，AD 所在直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系∵AB 2+AC 2=BC 2，∴AB ⊥AC ，∴AD =12BC =1，∴A(0,1)，B(−1,0)，C(1,0)， ∵PD =1，∴点P 的轨迹为以D 为圆心，1为半径的圆， ∴设点P 的坐标为(cosθ,sinθ)(θ∈R)， ∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴(cosθ,sinθ−1)=x(−1,−1)+y(1,−1)， ∴{cosθ=−x +y sinθ−1=−x −y ， ∴{x =1−sinθ−cosθ2y =1−sinθ+cosθ2， A .x +y =1−sinθ−cosθ2+1−sinθ+cosθ2=1−sinθ∵−1≤sinθ≤1，∴0≤1−sinθ≤2，即0≤x +y ≤2，故A 正确； B .x −y =1−sinθ−cosθ2−1−sinθ+cosθ2=−cosθ，∵−1≤cosθ≤1，∴−1≤−cosθ≤1，即−1≤x −y ≤1，即−1≤x −y ≤1， ∴x −y 的值不可以为2， 故B 错误C .2x +y =1−sinθ−cosθ+1−sinθ+cosθ2=32−32sinθ−12cosθ=32−√102sin(θ+φ)，其中cosφ=3√1010，sinφ=√1010，且φ为锐角， ∵−1≤sin(θ+φ)≤1，32−√102≤32−√102sin(θ+φ)≤32+√102，即32−√102≤2x +y ≤32+√102， ∵32−√102+1=5−√102>0，3105−V10∴32−√102>−1，∴2x +y 的值不可以等于−1， 故C 错误， D .x +2y =1−sinθ−cosθ2+1−sinθ+cosθ=32−32sinθ+12cosθ=32−√102sin(θ−φ)，其中cosφ=3√1010，sinφ=√1010，且φ为锐角， ∵−1≤sin(θ−φ)≤1， ∴32−√102≤32−√102sin(θ−φ)≤32+√102，即32−√102≤x +2y ≤32+√102，∵32−√102<3<32+√102，∴x +2y 的值可以等于3，故D 正确， 故选：AD.以点D 为原点、边BC 为x 轴建立平面直角坐标系，写出相关点坐标，设出P(cosθ,sinθ)，利用平面向量的坐标运算得到{x =1−sinθ−cosθ2y =1−sinθ+cosθ2，再结合角的范围逐一验证各选项． 本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题．13.【答案】616【解析】解：由正弦定理及sinA =sinB =3sinC ，得a =b =3c ，所以a+bc =6， 由余弦定理知，cosA =b 2+c 2−a 22bc=9c 2+c 2−9c 22⋅3c⋅c=16.故答案为：6；16.利用正弦定理化角为边，可得a=b=3c，从而知a+bc的值，再利用余弦定理，可得cosA的值．本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．14.【答案】2√33π【解析】解：设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，由πl=2πr，解得l=2r，又S=πr2+πr⋅2r=3πr2=3π，所以r2=1，解得r=1；所以圆锥的母线长为l=2r=2，圆锥的高为ℎ=√l2−r2=√22−12=√3，所以圆锥的体积为V=13πr2ℎ=13π×12×√3=√33π.故答案为：2，√3π3.根据圆锥的结构特征，求出底面圆半径和母线长、高，即可计算圆锥的体积．本题考查了圆锥的结构特征与表面积、体积的计算问题，是基础题．15.【答案】0(答案不唯一)【解析】解：因为f(x)为奇函数，则f(0)=sinθ=0，θ=kπ，k∈Z，当θ=kπ，k∈Z时，k为偶数时，f(x)=sinxcosx=12sin2x，是奇函数k为奇数时，f(x)=−sinxcosx=−12sin2x，是奇函数，所以θ的一个值为0.故答案为：0(答案不唯一).由奇函数的性质f(0)=0，求出θ，代入检验后可得结论．本题主要考查函数奇偶性的性质，三角函数的性质，考查运算求解能力，属于基础题．16.【答案】6π11√11π6【解析】解：长方体对角线长为l=√22+12+12=√6，所以长方体外接球半径为R=l2=√62，表面积为S=4π×(√622)=6π；如图，G，H，I，J分别是A1D1，AD，BC，B1C1中点，则GHIJ是矩形，平面GHIJ//平面CDD1C1，E，F分别是AB，CD中点，则EF//AD，而AD⊥平面CDD1C1，所以EF⊥平面CDD1C1，所以EF⊥平面GHIJ，而EF⊂平面D1EF，EF⊂平面BEF，所以平面D1EF⊥平面GHIJ，平面BEF⊥平面GHIJ，由EF⊥平面CDD1C1，D1F⊂平面CDD1C1，得EF⊥D1F，而EF⊥EB，设平面GHIJ与D1E，BF，EF的交点分别为N，M，Q，则N，M，Q分别是D1E，BF，EF的中点，所以N，M分别是ΔD1EF和△EFB的外心，在平面GHIJ内过N作PN⊥NQ，过M作PM⊥QM交PN于点P，由EF⊥平面CDD1C1，得EF⊥PNEF⊥PM，而NQ∩EF=Q，NQ，EF⊂平面D1EF，所以PN⊥平面D1EF，同理PM⊥平面BEF，所以P是三棱锥D1−BEF的外接球球心，四边形PMQN是圆内接四边形，由长方体性质知∠NQH=∠D1FD=π4，所以∠NQM=3π4,NQ=12D1F=√22,MQ=12，MN=√1 2+14−2×√22×12×cos3π4=√52，由PM⊥平面BEF，BM⊂平面BEF，得PM⊥BM，PQ=MNsin∠NQM =√52sin3π4=√102,PM=√PQ2−QM2=32，BM=12BF=√22，所以PB=√PM2+BM2=√112，所以三棱锥的D1−BEF外接球的体积为V=4π3×(√1132)=11√116π.故答案为：6π;11√116π.求出长方体的对角线即为长方体外接球的直径，由此可得球表面积，设G，H，I，J分别是A1D1，AD，BC，B1C1中点，可证明EF⊥平面GHIJ，设平面GHIJ与D1E，BF，EF的交点分别为N，M，Q，在平面GHIJ内过N作PN⊥NQ，过M作PM⊥QM交PN于点P，证得P是三棱锥D1−BEF的外接球球心，在四边形PMQN中求得四边形外接圆直径，然后求出PN，再求出三棱锥的D1−BEF 外接球的半径后可计算体积．本题考查了长方体外接球的表面积和三棱锥外接球的体积计算，属于中档题．17.【答案】解：(1)设b⃗ =(x,y)， 由题意得−√3x −y =0，x 2+y 2=4， 解得x =12，y =−√32或x =−12，y =√32，所以b ⃗ =(12,−√32)或(−12,√32)；(2)若(2a ⃗ +c ⃗ )⊥(a ⃗ −3c ⃗ )，则(2a ⃗ +c ⃗ )⋅(a ⃗ −3c ⃗ )=2a ⃗ 2−5a ⃗ ⋅c ⃗ −3c ⃗ 2=0， 所以8−5a ⃗ ⋅c ⃗ −3=0， 所以a ⃗ ⋅c ⃗ =1， 设向量a ⃗ ，c ⃗ 的夹角θ， 所以cosθ=a⃗ ⋅c ⃗ |a⃗ ||c ⃗ |=12×1=12，由θ∈[0,π]，得θ=π3.【解析】(1)由已知结合向量共线定理的坐标表示可求； (2)由已知结合向量数量积的性质的坐标表示可求．本题主要考查了向量共线定理及向量数量积性质的坐标表示的应用，属于基础题．18.【答案】解：(1)设SO 为正四棱锥S −ABCD 的高，则SO =1，作OM ⊥BC ，则M 为BC 中点，连结OM ，OB ，则SO ⊥OB ，SO ⊥OM ，BC =4，BM =2，则OM =2,OB =2√2， 在Rt △SOD 中，SB =√SO 2+OB 2=√1+8=3， 在Rt △SOM 中，SM =√5， ∴棱锥的侧棱长为3，侧面的高为√5.(2)棱锥的表面积：S =S 正方形ABCD +4S △SBC =4×4+4×(12×4×√5)=16+8√5 几何体的体积为：13×4×4×1=163 【解析】(1)直接利用公式计算； (2)直接利用公式计算；本题考查了几何体的表面积、体积，属于中档题．19.【答案】解：(1)∵f(x)=asin(π2x +φ)，∴周期T =2ππ2=4，∴CD =T 2=2，∴S△ABD=12×CD×(y A−y B)=12×2×2a=4，∴a=2，∴f(x)=2sin(π2x+φ)，又M(0,√3)，∴f(0)=2sinφ=√3，∴sinφ=√32，又M为上升点，且0<φ<π，∴φ=π3，∴f(x)=2sin(π2x+π3)；(2)由(1)知f(x)的周期为4，又2023=4×505+3，∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2022)=[f(0)+f(1)+f(2)+f(3)]×505+f(0)+f(1)+f(2)=(√3+1−√3−1)×505+(√3+1−√3)=1.【解析】本题考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，三角函数的图形与性质，由三角函数的周期性求和，考查了方程思想与化归转化思想，属于中档题．(1)根据三角函数的周期，振幅，三角形面积，y轴交点建立方程即可求解；(2)通过函数的周期性即可求解．20.【答案】证明：(1)连接AC1交A1C于E，连接ED，如图，则E是AC1中点，又D是AB中点，所以ED//BC1，又ED⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1//平面A1CD；解：(2)因为AC =BC =2,AB =2√2，所以AC ⊥BC ， 所以S △ABC =12×2×2=2,S △ACD =12S △ABC =1， V BCD−A 1B 1C 1=V ABC−A 1B 1C 1−V A 1−ACD =2×2−13×1×2=103. 【解析】(1)连接AC 1交A 1C 于E ，连接ED ，证明ED//BC 1后得证线面平行； (2)由直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的体积减去三棱锥A 1−ACD 的体积可得． 本题考查了线面平行的证明和几何体的体积计算，属于中档题．21.【答案】解：(1)由2S =−√3BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得2×12acsinB =−√3accosB ， 即sinB =−√3cosB ，可得tanB =−√3， 因为B ∈(0,π)，所以B =2π3.(2)设∠BAC =θ，则∠CAD =π2−θ，∠CDA =θ+π6， 在△ACD 中，由正弦定理得ACsin∠ADC =ADsin∠ACD ， 可得AC =ADsin∠ADCsin∠ACD=√3⋅sin(θ+π6)sin π3=2sin(θ+π6)，在△ABC 中，由正弦定理得ACsinB =BCsinθ，∴BC =√3+π6)sinθ=√3(√32sin 2θ+12sinθcosθ)=√3−√3cos2θ)+1 =2√33sin(2θ−π3)+1，因为0<θ<π3，可得−π3<2θ−π3<π3，当2θ−π3=π3时，即θ=π3，可得2√33sin π3+1=2， 当2θ−π3=−π3时，即θ=0，可得2√33sin(−π3)+1=0， 所以BC 的取值范围是(0,2).【解析】(1)利用三角形的面积公式，向量的数量积运算化简即可．(2)利用正弦定理，三角恒等变换得到BC =2√33sin(2θ−π3)+1，再利用正弦函数的图象与性质求解即可．本题考查了正弦定理的应用，三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题．22.【答案】解：(Ⅰ)∵m →=(sinx,1),n →=(√3cosx,−12)，∴m ⃗⃗⃗ +n ⃗ =(sinx +√3cosx,12)，∴f(x)=sinx(sinx+√3cosx)+1 2=sin2x+√3sinxcosx+1 2=1−cos2x2+√32sin2x+12=sin(2x−π6)+1，∴f(x)的最大值为2；(Ⅰ)由f(C)恰好为函数f(x)的最大值可得f(C)=sin(2C−π6)+1=2，即sin(2C−π6)=1，∵0<C<π，解得C=π3，则CD=f(C)=2，在△ACD中，由CDsinA =ADsin12C，可得AD=1sinA，在△BCD中，由CDsinB =BDsin12C，可得BD=1sinB，∴c=1sinA +1sinB，在△ABC中，asinA =bsinB=csinC=1sinA+1sinB√32=2√33(1sinA+1sinB)，则可得a=2√33(1+sinAsinB),b=2√33(sinBsinA+1)，则3a+b=2√3(1+sinAsinB )+2√33(sinBsinA+1)=2√3⋅sinAsinB+2√33⋅sinBsinA+8√33，∵sinA>0，sinB>0，∴3a+b≥22√3⋅sinAsinB ⋅2√33⋅sinBsinA+8√33=4+8√33，当且仅当√3sinA=sinB等号成立，故3a+b的最小值为4+8√33.【解析】(Ⅰ)根据数量积运算结合降幂公式以及辅助角公式化简f(x)，根据正弦函数的值域可得结果；(Ⅰ)根据条件求得c，C，由正弦定理表示a，b，利用基本不等式求解．本题考查了正弦型函数的最值问题以及正弦定理、基本不等式的应用，属于中档题．。
2020年辽宁省六校协作体高二(下)期中数学试卷(理科)
期中数学试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若全集U=R，集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x-1＞0}，则A∩∁U B=（）A. {x|0＜x≤1}B. {x|1＜x＜2}C. {x|0＜x＜1}D. {x|1≤x＜2}2.若复数z满足z（i-1）=2i（i为虚数单位），则为（）A. 1+iB. 1-iC. -1+iD. -1-i3.函数y=e|x|-4cos x（e为自然对数的底数）的图象可能是（）A. B.C. D.4.在菱形ABCD中，若，则•等于（）A. 2B. -2C. ||cos AD. 与菱形的边长有关5.已知F为抛物线y2=4x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，若点A在抛物线上，且|AF|=5，则|PA|+|PO|的最小值为（）A. B. 2 C. D. 26.已知x，y∈R且x-2y-4=0，则2x+的最小值为（）A. 4B. 8C. 16D. 2567.命题“∀x∈N，x2＞1”的否定为（）A. ∀x∈N，x2≤1B. ∃x0∈N，x2≤1C. ∀x∈N，x2＜1D. ∃x0∈N，x2＜18.在区间（0，6）中任取一个实数a，使函数f（x）=，在R上是增函数的概率为（）A. B. C. D.9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若点M为正方形ABCD的中心，则异面直线AB1与D1M所成角的余弦值为（）A. B. C. D.10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，a=4，b=2，c cos B=（2a-b）cos C，则△ABC的面积为（）A. B. C. 6 D. 1211.已知函数f（x）=e x（x-ae x）恰有两个极值点x1，x2（x1＜x2），则a的取值范围是（）A. （0，）B. （1，3）C. （，3）D. （，1）12.过双曲线C：=1（a＞0，b＞0）左焦点F的直线l与C交于M，N两点，且=3，若OM⊥FN，则C的离心率为（）A. 2B.C. 3D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设曲线y=x-a ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=______．14.若x，y满足约束条件，则z=3x-2y的最小值为______．15.如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以线段AB为腰作等腰直角△ABC（C、O两点在直线AB的两侧），当∠AOB变化时，OC≤m恒成立，则m的最小值为______．16.已知点A，B，C在半径为2的球O的球面上，且OA，OB，OC两两所成的角相等，则当三棱锥O-ABC的体积最大时，平面ABC截球O所得的截面圆的面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3+a5=18，S3+S5=50．数列{b n}为等比数列，且b1=a1，3b2=a1a4．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）记，其前n项和T n，证明：．18.某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如表（假设该区域空气质量指数不会超过300）：空气质量指数（0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，250]（250，300]空气质量等级1级优2级良3级轻度污染4级中度污染5级重度污染6级严重污染该社团将该校区在2018年11月中10天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如图，把该直方图所得频率估计为概率．（1）以这10天的空气质量指数监测数据作为估计2018年11月的空气质量情况，则2018年11月中有多少天的空气质量达到优良？（2）从这10天的空气质量指数监测数据中，随机抽取三天，求恰好有一天空气质量良的概率；（3）从这10天的数据中任取三天数据，记ξ表示抽取空气质量良的天数，求ξ的分布列和期望．19.如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=1，AB=AC=，D为BC的中点，过点D作DQ平行于AP，且DQ=1．连接QB，QC，QP．（1）证明：AQ⊥平面PBC；（2）求直线BC与平面ABQ所成角的余弦值．（3）求二面角B-AQ-C的余弦值．20.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，A1A2分别为椭圆C的左、右顶点，点P（2，-1）满足=1．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l经过点P且与C交于不同的两点M，N，试问：在x轴上是否存在点Q，使得QM与直线QN的斜率的和为定值？若存在，请求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由．21.已知函数f（x）=ax lnx-bx（a，b∈R）在点（e，f（e））处的切线方程为y=3x-e．（1）求a，b的值及函数f（x）的极值；（2）若m∈Z．且f（x）-m（x-1）＞0对任意的x＞1恒成立，求m的最大值．22.已知曲线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos（）（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设P（2，1），直线l与曲线交于点A，B，求|PA|•|PB|的值．23.已知函数f（x）=|x+a|+|x-1|．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤5的解集；（2）若∃x0∈R，f（x0）≤|2a-1|，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵全集U=R，集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x-1＞0}={x|x＞1}，∴A∩∁U B={x|0＜x＜2}∩{x|x≤1}={x|0＜x≤1}．故选：A．先求出集合B，进而求出C U B，由此能求出A∩∁U B．本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．2.【答案】A【解析】解：Z（i-1）=2i（i为虚数单位），∴-Z（1-i）（1+i）=2i（1+i），∴-2z=2（i-1），解得z=1-i．则=1+i．故选：A．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：∵y=e|x|-4cos x（e为自然对数的底数）是偶函数，∴函数y=e|x|-4cos x（e为自然对数的底数）的图象关于y轴对称，由此排除B和D，∴f（0）=e|0|-4cos0=1-4=-3＜0，由此排除A．故选：C．y=e|x|-4cos x（e为自然对数的底数）是偶函数，由此排除B和D，f（0）=e|0|-4cos0=1-4=-3＜0，由此排除A．由此能求出结果．本题考查函数的图象的判断，考查函数的奇偶性、特殖点的函数值的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．4.【答案】B【解析】解：∵ABCD为菱形，∴=，∵，∴，∴2，∴，∴===-2．故选：B．由菱形得AB=AD，进而把所给条件平方得到，所求数量积中把化为-（）展开即可得解．此题考查了向量的模与数量积，难度适中．5.【答案】D【解析】解：∵|AF|=5，由抛物线的定义得点A到准线的距离为5，即A点的横坐标为4，又点A在抛物线上，∴从而点A的坐标为（4，±4）；坐标原点关于准线的对称点的坐标为B（-2，0），则|PA|+|PO|的最小值为|AB|==2，故选：D．利用抛物线的定义由|AF|=5得到A到准线的距离为5，即可求出点A的坐标，根据：“|PA|+|PO|”相当于在准线上找一点，使得它到两个定点的距离之和最小，最后利用平面几何的方法即可求出距离之和的最小值．此题考查学生灵活运用抛物线的简单性质解决最小值问题，灵活运用点到点的距离、对称性化简求值，是一道中档题．6.【答案】B【解析】解：根据题意，x，y∈R且x-2y-4=0，则x=2y+4，2x+=22y+4+=16×4y+≥2=8，当且仅当x=2y时等号成立，即2x+的最小值为8；故选：B．根据题意，将x-2y-4=0变形可得x=2y+4，又由2x+=22y+4+=16×4y+，结合基本不等式分析可得答案．本题考查基本不等式的性质以及应用，注意分析xy的关系，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：命题“∀x∈N，x2＞1”的否定为“∃x0∈N，x02≤1”．故选：B．根据全称量词命题的否定是存在量词命题，写出即可．本题考查了全称量词命题的否定是存在量词命题的问题，是基础题．8.【答案】A【解析】解：∵函数f（x）=，在R上是增函数，∴，解得1＜a≤2，∴由几何概型得从区间（0，6）中任取一个值a，则函数f（x）是增函数的概率为p==．故选：A．由函数f（x）=，在R是增函数，解得1＜a≤2，由此利用几何概型能求出所求的概率．本题考查概率的求法，考查几何概型及分段函数单调性的应用，几何概型概率的值是常常通过长度、面积、或者体积的比值得到，本题属于中档题．9.【答案】C【解析】解：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设棱长为2a，则A（2a，0，0），B1（2a，2a，2a），D1（0，0，2a），M（a，a，0），∴，，则cos＜＞=．∴异面直线AB1与D1M所成角的余弦值为．故选：C．以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出与的坐标，由两向量所成角的余弦值可得异面直线AB1与D1M所成角的余弦值．本题考查异面直线及其所成角，考查利用空间向量求解空间角，是中档题．10.【答案】C【解析】（本题满分为10分）解：∵在△ABC中，由正弦定理知=2R，又∵（2a-b）•cos C=c•cos B，∴2sin A cos C=sin B cos C+cos B sin C，即2sin A cos C=sin A；………………（4分）∵0＜A＜π，∴sin A＞0；∴cos C=；………………（6分）又0＜C＜π，∴C=；………………（8分）∴S△ABC=ab sin C=4×2×=6．………………（10分）故选：C．由正弦定理和三角恒等变换求得cos C与C的值，利用三角形的面积公式即可得解．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：∵函数f（x）=e x（x-ae x），∴f′（x）=（x+1-2a•e x）e x，由于函数f（x）的两个极值点为x1，x2，即x1，x2是方程f′（x）=0的两不等实根，即方程x+1-2ae x=0(a≠0)有两个不等实根，方法一：=e x；设y1=（a≠0），y2=e x，在同一坐标系内画出这两个函数的图象，如图所示；要使这两个函数有2个不同的交点，应满足，解得0＜a＜，所以a的取值范围是（0，）．故选：A．方法二：，设y1=2a，，，在（-∞，0）上，y2'>0，y2单调递增；在（0，+∞）上，y2'<0，y2单调递减；且x→+∞时，y2→0，在同一直角坐标系中画出这两个函数的图象，如图所示；要使这两个函数有2个不同的交点，只需满足0<2a<1即可，解得0＜a＜，所以a的取值范围是（0，）．故选：A．根据题意，对函数f（x）求导数，得出导数f′（x）=0有两不等实根，转化为两函数有两个交点的问题，结合图象即可得出a的取值范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值的应用问题，也考查了转化思想与数形结合的应用问题，是综合性题目．12.【答案】B【解析】解：设M（x1，y1），N（x2，y2），F（-c，0），由=3，可得y2=3y1，设直线l的方程为x=my-c，联立双曲线方程可得（b2m2-a2）y2-2mcb2y+b2c2-a2b2=0，当时，可得y2+y1=，y2y1=，OM⊥FN，即为•=-1，即有y1=，y2=，可得m2=1+，=，化为c2=7a2，e==．故选：B．设M（x1，y1），N（x2，y2），F（-c，0），由向量的坐标表示可得y2=3y1，设直线l 的方程为x=my-c，联立双曲线方程，运用韦达定理，可得y2，y1的关系式，再由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，化简整理可得a，b，c的等式，由离心率公式可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，以及向量的坐标表示，直线方程和双曲线方程联立，运用韦达定理，考查化简运算能力，属于难题．13.【答案】-1【解析】解：由y=x-a ln（x+1），得y′=1-，∴y′|x=0=1-a，又当x=0时，y=0，∴曲线y=x-a ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=（1-a）x=2x，则a=-1．故答案为：-1．求出原函数的导函数，得到y′|x=0，再求出x=0时的函数值，写出直线方程，则a值可求．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查导数的几何意义，是基础题．14.【答案】0【解析】解：由z=3x-2y得y=x-，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=x-，由图象可知当直线y=x-经过点O时，直线的截距最大，此时z最小，将O（0，0）代入目标函数z=3x-2y，得z=0．故答案为：0．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求出结果．本题考查线性规划中的最值问题，利用数形结合是解决问题的基本方法．15.【答案】2+1【解析】解：根据题意，以O为坐标原点，OA为x轴建立坐标系，如图：则A（2，0），设∠AOB=θ，（0≤θ≤π），则B的坐标为（cosθ，sinθ），则=（cosθ-2，sinθ），△ABC为等腰直角三角形，则AC⊥AB且|AC|=|AB|，又由C、O两点在直线AB的两侧，则=（sinθ，2-cosθ），则=+=（2+sinθ，2-cosθ），则||2=（2+sinθ）2+（2-cosθ）2=9+4（sinθ-cosθ）=9+4sin（θ-），分析可得：当θ=时，||2取得最大值9+4，则OC的最大值为2+1，若OC≤m恒成立，则m≥2+1，即m的最小值为2+1；故答案为：2+1．根据题意，以O为坐标原点，OA为x轴建立坐标系，设∠AOB=θ，分析A、B的坐标，可得向量的坐标，又由△ABC为等腰直角三角形，则AC⊥AB且|AC|=|AB|，分析可得向量的坐标，进而由向量坐标的加法可得向量的坐标，进而可得向量的模，分析其最大值，若OC≤m恒成立，分析可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及三角函数的恒等变形，属于综合题．16.【答案】【解析】解：依题意三角形ABC为等边三角形，设AB=x，则正三棱锥O-ABC的高h 为=，又S△ABC=x2，∴V O-ABC=hS△ABC=וx2=×2×≤×=，（当且仅当x2=12-x2，即x2=8时取等），∴三角形ABC的外接圆的半径r=×x=x，∴平面ABC截球O所得的截面圆的面积为π（x）2=．故答案为：．依题意三角形ABC为等边三角形，设AB=x，则正三棱锥O-ABC的高h为=，在求出三角形ABC的面积和正三棱锥的体积后用基本不等式求得最大值以及取最大值时x的值，从而可求得．本题考查了球的性质，属中档题．17.【答案】解：（1）等差数列{a n}的公差设为d，前n项和为S n，a3+a5=18，S3+S5=50，可得2a1+6d=18，3a1+3d+5a1+10d=50，化为a1+3d=9，8a1+13d=50，解得a1=3，d=2，即a n=2n+1；数列{b n}为等比数列，且b1=a1，3b2=a1a4．可得b1=3，3b2=a1a4=27，即b2=9，公比q=3，b n=3n；（2）证明：==2（-），即有前n项和T n=2（-+-+…+-）=2（-）＜．【解析】（1）等差数列的公差设为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求；再由等比数列的通项公式，计算可得所求；（2）求得==2（-），由数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理，结合不等式的性质，可得证明．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理的运算能力，以及方程思想，属于中档题．18.【答案】解：（1）由频率分布直方图知：这10天中1级优1天，2级良2天，3-6级共7天，由题意知，这10天中空气质量达到优良的概率P=，∴2018年11月中有：30×=9天的空气质量达到优良．（2）记“从10天的空气质量指标监测数据中，随机抽取三天，恰有一天空气质量优良”为事件A，则恰好有一天空气质量良的概率P（A）==．（3）依据条件，ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，ξ0 1 2PE（ξ）==．【解析】（1）由频率分布直方图知这10天中1级优1天，2级良2天，3-6级共7天，这10天中空气质量达到优良的概率P=，由此能求出2018年11月中空气质量达到优良的天数．（2）记“从10天的空气质量指标监测数据中，随机抽取三天，恰有一天空气质量优良”为事件A，利用古典概型能求出恰好有一天空气质量良的概率．（3）依据条件，ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．本题考查概率的求法及应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）证明：连接AD，PD，由PA⊥平面ABC，得PA⊥AD，因为PA∥DQ且PA=DQ，即四边形ADQP为矩形，又AB=AC=，AB⊥AC，则AD=1=AP，所以四边形ADQP为正方形，AQ⊥PD且BC⊥AD，BC⊥DQ，则BC⊥平面ADQ，即BC⊥AQ，故AQ⊥平面PBC．（Ⅱ）解：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立如图所示直角坐标系，则B（，0，0），C（0，，0），P（0，0，1），D（，，0），A（0，0，0），Q（，，1），则=（-，，0），=（，0，0），=（，，1），设平面ABQ的的法向量为=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1，-），设直线BC与平面ABQ所成角为θ则sinθ==，cosθ==，∴直线BC与平面ABQ所成角的余弦值为．（3）解：=（0，，0），设平面ABQ的法向量=（x，y，z），则，取y=2，得=（0，2，-），设平面ACQ的法向量=（a，b，c），则，取a=2，得=（2，0，-），设二面角B-AQ-C的平面角为θ，由图知θ为钝角，∴cosθ=-=-=-．∴二面角B-AQ-C的余弦值为．【解析】（Ⅰ）连接AD，PD，由PA⊥平面ABC，得PA⊥AD，推导出四边形ADQP为正方形，AQ⊥PD，且BC⊥AD，BC⊥DQ，则BC⊥平面ADQ，由此能证明AQ⊥平面PBC．（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BC与平面ABQ所成角的余弦值．（3）求出平面ABQ的法向量和平面ACQ的法向量，利用向量法能求出二面角B-AQ-C 的余弦值．本题考查线面垂直的证明，考查线面角的余弦值、二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）依题意，A1（-a，0）、A2（a，0），又P（2，-1），∴，，则由=（-a-2，1）•（a-2，1）=5-a2=1，解得a=±2，又a＞0，得a=2，∵e=，∴c=，∴b2=a2-c2=1，故椭圆C的方程为；（Ⅱ）假设存在满足条件的点Q（t，0）．当直线l与x轴垂直时，它与椭圆只有一个交点，不满足题意．因此直线l的斜率k存在，设l：y+1=k（x-2），由，消取y得，（1+4k2）x2-（16k2+8k）x+16k2+16=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，∵===，∴要使对任意实数k，k QM+k QN为定值，则只有t=2，此时，k QM+k QN=1．故在x轴上存在点Q（2，0），使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值1．【解析】（Ⅰ）依题意求得与的坐标，利用=1求得a，再由离心率求得c，结合隐含条件求得b，则椭圆C的方程可求；（Ⅱ）假设存在满足条件的点Q（t，0）．当直线l与x轴垂直时，它与椭圆只有一个交点，不满足题意．因此直线l的斜率k存在，设l：y+1=k（x-2），联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系及斜率公式求解k QM+k QN=，可得要使对任意实数k，k QM+k QN为定值，则只有t=2，此时，k QM+k QN=1．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．21.【答案】解：（1）f（x）=ax lnx-bx，f′（x）=a ln x+a-b，∵函数f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y=3x-e，∴，解得a=1，b=-1．∴f（x）=x lnx+x，则f′（x）=ln x+2，由f′（x）=ln x+2=0，得．∴当x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0．∴f（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数，则当x=时，函数f（x）取得极小值为f（）=；（2）当x＞1时，由f（x）-m（x-1）＞0，得m＜．令g（x）==，则g′（x）=，设h（x）=x-2-ln x，则h′（x）=1-＞0，h（x）在（1，+∞）上为增函数，∵h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-ln4＞0，∴∃x0∈（3，4），且h（x0）=0，当x∈（1，x0）时，h（x）＜0，g′（x）＜0，g（x）在（1，x0）上单调递减；当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，g′（x）＞0，g（x）在（x0，+∞）上单调递增．∴g（x）min=g（x0）=，∵h（x0）=x0-2-ln x0=0，∴x0-1=1+ln x0，g（x0）=x0，∴m＜x0∈（3，4），∴m的最大值为3．【解析】（1）求出原函数的导函数，利用函数f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y=3x-e列关于a，b的方程组，求解可得a，b的值，再求出导函数的零点，得到原函数的单调区间，进一步求得极值；（2）把f（x）-m（x-1）＞0变形，可得m＜对任意x＞1都成立，等价于m＜，利用导数求得，即可得到m的最大值．本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，解题时合理构造函数是解题的关键，属难题．22.【答案】解（1）由ρ=4cos（θ-）得ρ2=4ρcosθ+4ρsinθ，∴ρ2=4ρcosθ+4ρsinθ，又x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴x2+y2=4x+4y即曲线C的直角坐标方程为（x-2）2+（y-2）2=8．（2）将代入C的直角坐标方程，得t2+（-t-1）2=8，∴t2+t-7=0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，∴t1t2=-7．则|PA||PB|=|t1t2|=7．【解析】（1）先将ρ=4cos（θ-）化为ρ2=4ρcosθ+4ρsinθ，进而可得出其直角坐标方程；（2）将直线参数方程代入（1）的结果，整理得到t2+t-7=0，再设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，进而可得|PA||PB|=|t1t2|，即可求出结果本题主要考查极坐标方程与直角坐标的互化，以及参数方程的应用，熟记公式即可求解，属于中档题型．23.【答案】解：（1）当a=2时，f（x）=|x-1|+|x+2|，①当x≤-2时，f（x）=-2x-1≤5，解得-3≤x≤-2；②当-2＜x＜1时，f（x）=3，显然f（x）≤5成立，所以-2＜x＜1；③当x≥1时，f（x）=2x+1≤5，解得1≤x≤2；综上所述，不等式的解集为{x|-3≤x≤2}；（2）f（x）=|x+a|+|x-1|≥|（x+a）-（x-1）|=|a+1|，因为∃x0∈R，有f（x0）≤|2a-1|成立，所以只需|a+1|≤|2a-1|，化简得a2-2a≥0，解得a≤0或a≥2，所以a的取值范围是（-∞，0]∪[2，+∞）．【解析】本题考查了绝对值不等式的解法，属于中档题．（1）分3段去绝对值解不等式，再相并；（2）先用绝对值不等式的性质求出f（x）的最小值，再将问题转化为f（x）min≤|2a-1|解不等式可得．。
辽宁省六校协作校2020学年高一数学下学期期2月开学考试试题(含解析)
辽宁省六校协作校2020学年高一（下）期开学考试数学试卷（2月份）一、选择题（本大题共11小题，共44.0分）1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用补集的定义求出集合B的补集，利用交集的定义求出．【详解】∵，，∴ ={﹣1，2}∵，∴故选：A．【点睛】求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解；在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2.函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据分母不为零、偶次根式下被开方数非负、对数中真数大于零列不等式，解得定义域.【详解】由题意得：，选B.【点睛】本题考查函数定义域，考查基本求解能力，属于基础题.3.如果log3m+log3n=4，那么m+n的最小值是（）A. B. 4 C. 9 D. 18【答案】D【解析】【分析】利用对数的运算法则求出mn的值，利用基本不等式求出m+n的最值．【详解】∵log3m+log3n＝4∴m＞0，n＞0，mn＝34＝81∴m+n答案为18故选：D．【点睛】本题考查对数的运算法则、对数方程的解法，考查了基本不等式的应用，属于基础题．4.如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，PA⊥平面ABC，则四面体P-ABC 的四个面中，直角三角形的个数有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】A【解析】【分析】由题意得出三角形ABC是直角三角形，根据线面垂直的性质定理得出PA垂直于AC，BC，从而得出两个直角三角形，又可证明BC垂直于平面PAC，从而得出三角形PBC也是直角三角形，从而问题解决．【详解】∵AB是圆O的直径∴∠ACB＝90°即BC⊥AC，三角形ABC是直角三角形又∵PA⊥圆O所在平面，∴△PAC，△PAB是直角三角形．且BC在这个平面内，∴PA⊥BC因此BC垂直于平面PAC中两条相交直线，∴BC⊥平面PAC，∴△PBC是直角三角形．从而△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的个数是：4．故选：A．【点睛】本题考查线面垂直的判定与性质定理的应用，要注意转化思想的应用，将线面垂直转化为线线垂直．5.函数的零点所在的一个区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：，，又因为是一个连续的递增函数，故零点在区间内，选C.考点：函数零点的概念及判定定理.6.对于空间中的直线m，n以及平面，，下列说法正确的是A. 若，，，则B. 若，，，则C. 若，，，则D. ，，，则【答案】D【解析】【分析】根据空间直线和平面的位置关系对四个选项逐一排除，由此确定正确的选项【详解】对于A选项，可能异面，故A错误；对于B选项，可能有，故B错误；对于C选项，的夹角不一定为90°，故C错误；因为，故，因为，故，故D正确，故选D.【点睛】本小题主要考查空间两条直线的位置关系，考查直线和平面、平面和平面位置关系的判断，属于基础题.7.使命题“对任意的x∈[1,2],”为真命题的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】x2≤a,∴(x2)max≤a,y=x2在[1,2]上为增函数,∴a≥(x2)max=22=4.∵a≥5⇒a≥4.反之不然.故选C.8.设∈，则使函数y=的定义域为R且为奇函数的所有的值为（）A. ，1，3B. ，1C. ，3D. 1，3 【答案】D【解析】【分析】根据幂函数的性质，分别讨论为﹣1，1，，3时，函数的定义域和奇偶性，即可得到答案．【详解】当＝﹣1时，函数的定义域为{x|x≠0}，不满足定义域为R；当＝1时，函数y＝的定义域为R且为奇函数，满足要求；当函数的定义域为{x|x≥0}，不满足定义域为R；当＝3时，函数y＝的定义域为R且为奇函数，满足要求；故选：D．【点睛】本题考查了幂函数的性质，特别是定义域和奇偶性与指数的关系，是解答本题的关键，属于基础题．9.能得出＜成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质和关系进行求解判断即可．【详解】由得0，∴当ab>0时，b-a<0,即有b<a<0或0<b<a，故A不成立，D成立；当ab<0时，b-a>0,即有b>0>a，故C不成立，故选：D．【点睛】本题主要考查不等式的关系和性质的应用，将不等式进行转化是解决本题的关键．10.已知函数f（x）的定义域为R，对任意＜，有＞-1，且f（1）=1，下列命题正确的是（）A. 是单调递减函数B. 是单调递增函数C. 不等式的解集为D. 不等式的解集为【答案】C【解析】【分析】根据题意，设g（x）＝f（x）+x，结合题意利用函数单调性的定义可得函数g（x）在R上为增函数，利用f（1）的值求出g（1）的值，据此分析原不等式可以转化为0＜＜2，解可得x的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，设g（x）＝f（x）+x，若函数f（x）满足对任意＜，有1，则0，则函数g（x）在R上为增函数，又由f（1）＝1，则g（1）＝1+1＝2，∴＜⇒+＜2,⇒g（）＜g（1）⇒＜1⇒0＜＜2，解可得：x＜1且x≠0，∴不等式的解集为；则A、B、D错误，C正确；故选：C．【点睛】本题考查函数单调性的判断与应用，关键是构造新函数g（x）＝f（x）+x，属于中档题．11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，例如：[-3.5]=-4，[2.1]=2，已知函数，则关于函数g（x）=[f（x）]的叙述正确的是（）A. 是偶函数B. 是奇函数C. 的值域是0，D. 的值域是【答案】D【解析】【分析】根据题意，分析可得f（x）≠f（﹣x）且﹣f（x）≠f（﹣x），则函数f（x）既不是奇函数又不是偶函数，可得A、B错误；分析函数的值域，可得f（x），结合高斯函数的定义分析可得C错误，D正确，即可得答案．【详解】根据题意，，则.则，所以函数g（x）既不是奇函数又不是偶函数，A、B错误；函数，又由＞0，则1+＞1，则有，则g（x）＝[f（x）]＝{﹣1，0}，C、错误，D正确；故选：D．【点睛】本题考查函数值域的计算，关键是理解“高斯函数”的定义，属于基础题．二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）12.函数恒过定点________【答案】（3,4）.【解析】当x＝3时，f(3)＝a3－3＋3＝4，∴f(x)必过定点(3，4)．13.已知集合A为数集，则“A∩{0，1}={0}”是“A={0}”的______条件．【答案】必要不充分【解析】【分析】由集合交集的运算得：“A＝{0}”可推出“A∩{0，1}＝{0}”，通过举反例说明“A∩{0，1}＝{0}”不能推出“A＝{0}”，即可得解．【详解】由“A＝{0}”可推出“A∩{0，1}＝{0}”，由“A∩{0，1}＝{0}”不能推出“A＝{0}”，比如可能是“A＝{0，2}”；故“A∩{0，1}＝{0}”是“A＝{0}”的必要不充分条件，故答案为：必要不充分条件【点睛】本题考查了集合交集的运算及必要充分条件，属于简单题．14.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是．【答案】【解析】试题分析：正四棱柱的高是4，体积是16，则底面边长为2，底面正方形的对角线长度为，所以正四棱柱体对角线的长度为，四棱柱体对角线为外接球的直径，所以球的半径为，所以球的表面积为．考点：正四棱柱外接球表面积．15.已知函数，当x1≠x2时，，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据题意，分析函数的定义域，结合函数为减函数，进而可得，解可得a的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，函数的定义域为（0，+∞）若f（x）满足当x1≠x2时，，则函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，则必有，解可得0＜a，即a的取值范围为（0，]；故答案为：（0，]．【点睛】本题考查分段函数的单调性的判断，关键是掌握函数单调性的定义，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共90.0分）16.不用计算器求下列各式的值（1）；（2）．【答案】（1）-1（2）5【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算法则求解即可；（2）根据对数的运算法则、对数恒等式求解．【详解】（1）原式．（2）原式．【点睛】本题考查指数幂的运算和对数的运算，解题时根据相应的运算性质求解即可，属于基础题．17.（1）函数f（x）=log3（-x2+6x-8）的定义域为集合A，求集合A；（2）函数g，求g（x）的值域．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题意可得，﹣x2+6x﹣8＞0，解不等式可求；（2）结合对数的运算性质先对已知函数进行化简，然后结合二次函数的性质即可求解．【详解】（1）由题意可得，﹣x2+6x﹣8＞0，解不等式可得，2＜x＜4，A＝{x|2＜x＜4}；（2）∵g，令t＝log2x，则t∈（1，2），∵h（t）＝﹣t2+t+2在（1，2）上单调递减，∴h（2）＜h（t）＜h（1），即0＜h（t）＜2，即g（x）的值域为（0，2）．【点睛】本题主要考查了对数函数的性质及对数运算性质的简单应用，二次函数性质的应用是求解本题的关键．18.如图：一个圆锥的底面半径为1，高为3，在其中有一个半径为x的内接圆柱．（1）试用x表示圆柱的高；（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大，最大侧面积是多少？【答案】（1）h＝3－3x（2）当时，它的侧面积最大为π【解析】【分析】(1)利用圆锥轴截面的特征可得圆柱的高h可表示为h＝3－3x.(2)由题意可得S圆柱侧＝6π(x－x2)，利用二次函数的性质可得当圆柱的底面半径为时，它的侧面积最大为π.【详解】(1)设所求的圆柱的底面半径为x，它的轴截面如图，BO＝1，PO＝3，圆柱的高为h，由图，得＝，即h＝3－3x.(2)∵S圆柱侧＝2πh x＝2π(3－3x)x＝6π(x－x2)，当x＝时，圆柱的侧面积取得最大值为π.∴当圆柱的底面半径为时，它的侧面积最大为π.【点睛】本题主要考查圆锥的空间结构特征，二次函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.某公司试销一种新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价500元/件，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y（件）与销售单价x（元/件），可近似看做一次函数y=kx+b 的关系（图象如图所示）．（1）根据图象，求一次函数y=kx+b的表达式；（2）设公司获得的毛利润（毛利润=销售总价-成本总价）为S元，①求S关于x的函数表达式；②求该公司可获得的最大毛利润，并求出此时相应的销售单价．【答案】(1) y＝－x＋1000(500≤x≤800)(2) 销售单价定为750元时，可获得最大毛利润62500元，此时销售量为250件【解析】解：（1）由图像可知，，解得，，所以．……4分（2）①由（1）,，．……6分②由①可知，，其图像开口向下，对称轴为，所以当时，．……9分即该公司可获得的最大毛利润为62500元，此时相应的销售单价为750元/件．…10分20.如图，直三棱柱的所有棱长都是2，D，E分别是AC，的中点．（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】【分析】(1)要证平面，转证平面平面ABC且即可；(2) 点到平面的距离等于点A到平面的距离，利用等积法得到所求的体积.【详解】（1）∵，D是AC的中点，∴，∵直三棱柱中平面ABC，∴平面平面ABC，∴平面，∴．又∵在正方形中，D，E分别是AC，的中点，∴．又，∴平面．（2）连结交于O，∵O为的中点，∴点到平面的距离等于点A到平面的距离．∴．【点睛】求解空间几何体体积的常用策略：（1）公式法：对于规则几何体的体积问题，直接利用公式即可破解；（2）切割法：对于不规则的几何体，可以将其分割成规则的几何体，再利用公式分别求解之后进行相加求和即可；（3）补形法：同样对于不规则的几何体，还可以将其补形成规则图形，求出规则几何体的体积后减去多于部分即可求解，但需注意的是补形后多于部分的几何体也应该是规则的，若不是规则的，此方法不建议使用.（4）等体积法：一个几何体无论怎样变化，其体积是不会发生变化的.如果遇到一个几何他的底面面积和高较难求解时，常常采用此种方法进行解题.21.已知函数.（1）用定义证明函数在上是增函数；（2）探究是否存在实数，使得函数为奇函数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，解不等式.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）.【解析】试题分析：（1）任取，作差、化简利用指数函数的单调性可得，从而可得结论；（2）利用，根据指数幂的运算法则化简可得，从而可求得的值；（3）利用函数的奇偶性化简原不等式可得，利用函数的单调性化简可得，解不等式即可的结果.试题解析：（1）任取且，则在R上是增函数，且，，，，，即函数在上是增函数.（2）是奇函数，则，即，故.当时，是奇函数.（3）在（2）的条件下，是奇函数，则由可得：，又在上是增函数，则得，.故原不等式的解集为：.【方法点睛】本题主要考查函数的奇偶性以及函数的单调性，属于中档题.利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取；（2）作差；（3）判断的符号，可得在已知区间上是增函数，可得在已知区间上是减函数.。
2020-2021学年辽宁省部分重点高中高一(下)期中数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年辽宁省部分重点高中高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 在等腰直角三角形ABC 中，若∠C =90°，AC =√2，则BA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值等于( ) A. −2B. 2C. −2√2D. 2√22. △ABC 中，sin(A +π2)=√32，则tan A2=( )A. √33B. √3C. 2−√3D. √2−13. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形(圆)，筒车的半径为2m ，筒车的轴心O 到水面的距离为1m ，筒车每分钟按逆时针转动2圈.规定：盛水筒M 对应的点P 从水中浮现(即P 0时的位置)时开始计算时间，设盛水筒M 从P 0运动到点P 时所用时间为t(单位：s)，且此时点P 距离水面的高度为ℎ(单位：m).若以筒车的轴心O 为坐标原点，过点O 的水平直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy(如图2)，则h 与t 的函数关系式为( )A. ℎ=2sin(π15t −π6)+1，t ∈[0,+∞) B. ℎ=2sin(π15t +π6)+1，t ∈[0,+∞) C. ℎ=2sin(πt −π6)+1，t ∈[0,+∞) D. ℎ=2sin(πt +π6)+1，t ∈[0,+∞)4. △ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c.设向量p ⃗ =(a +c,b)，q ⃗ =(b −a,c −a)，若向量p ⃗ //q ⃗ ，则角C 的大小是( )A. π6B. π3C. π2D. 2π35. 函数y =a x+3+3(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则cos(7π2−θ)=( )A. −35B. 35C. −45D. 456. 若象限角θ满足sinθ|sin(π−θ)|+sin(π2+θ)|cosθ|=−1，则θ是( )A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角7. 若△ABC 为锐角三角形，则下列式子一定成立的是( )A. log cosC sinAcosB >0 B. log sinC cosAcosB >0 C. log sinC sinAsinB >0D. log sinC cosAsinB >08. 在非等腰△ABC 中，内角A ，B ，C 满足(sin 2A −sin 2B)⋅sinC =(sin 2A +sin 2B)⋅sin(A −B)，若关于x 的不等式x 2cosA −x(1−x)+(1−x)2cos B >0对任意x ∈[0,1]恒成立，则角A 的取值范围为( )A. (π6,π4)∪(π4,π3) B. (π8,π4)∪(π4,3π8) C. (π3,5π12)D. (π12,π4)∪(π4,5π12)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9. 设向量a ⃗ =(2,0)，b ⃗ =(1,1)，则( )A. |a ⃗ |=|b ⃗ |B. a ⃗ 与b ⃗ 的夹角是π4C. (a ⃗ −b ⃗ )⊥b ⃗D. 与b ⃗ 同向的单位向量是(12,12)10. 下列各式中，值为12的是( )A. tan22.5°1−tan 222.5∘B. tan15°⋅cos 215°C. √33cos 2π12−√33sin 2π12D. 116sin50∘+√316cos50°11. 给出下列命题，其中正确的选项有( )A. 非零向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=|b ⃗ |=|a ⃗ −b ⃗ |，则a ⃗ 与a ⃗ +b ⃗ 的夹角为30°B. △ABC 中，sinA >sinB 是|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |>|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |成立的充要条件 C. 若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−4)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,−3)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5−m,−3−m)，∠ABC 为锐角，则实数m 的取值范围是(−34,+∞)D. 已知单位向量a ⃗ ，b ⃗ ，且<a ⃗ ，b ⃗ >=arccos(−12)，则当|2a ⃗ +x b ⃗ |(x ∈R)取最小值时，x =112. 函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )A. 函数f(x)的振幅是2，初相是π6B. 若把f(x)图像上所有点的横坐标缩短为原来的23倍，纵坐标不变，得到的函数在[−2π3,4π3]上是增函数C. 若把函数f(x)的图像向左平移π2个单位，则所得函数是奇函数D. ∀x ∈[−π3,π3]，若f(3x)+a ≥f(3π2)恒成立，则a 的范围为[√3+2,+∞)三、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. log 2(sin15°⋅sin75°)的值为______．14. 当x =θ时，函数f(x)=sinx −2cosx(x ∈R)取得最大值，则cosθ+2sinθ=______． 15. △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知cosC c+cosB b=1a，则A 的取值范围是______ ．16. 正△ABC 的边长为1，中心为O ，过O 的动直线l 与边AB ，AC 分别相交于点M 、N ，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ .给出下列四个结论： ①AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC⃗⃗⃗⃗⃗ ； ②若AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14； ③1λ+1μ不是定值，与直线l 的位置有关； ④△AMN 与△ABC 的面积之比的最小值为49． 其中所有正确结论的序号是______． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知向量m⃗⃗⃗ =(2,sinα)，n ⃗ =(cosα,−1)，其中α∈(0,π2)，且m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ． (1)求2sinα−3cosαsinα−9cosα+sin2α的值；(2)若sin(α−β)=√1010，且β∈(0,π2)，求角β．18. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，bsin B+C 2=asinB ，BC =3，如图所示，点D 在线段AC 上，满足AB =AD ． (Ⅰ)求A 的值；(Ⅱ)若BD =2CD ，求AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．19. 已知函数f(x)=msin(ωx +π6)(m >0,ω>0)只能同时满足下列三个条件中的两个：①函数f(x)的最大值为2；②函数f(x)的图象可由y =√2sin(2x −π4)的图象平移得到；③函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π． (1)请写出这两个条件的序号，并求出f(x)的解析式；(2)锐角△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．A =π3，a =f(A)，求△ABC 周长的取值范围．20.已知f(x)=2√3sin(ωx+π4)sin(π4−ωx)+sin2ωx+t(ω>0,t<0)的图象与直线y=1相切，并且每相邻两个切点间的距离为π．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，其中a=7，若锐角A满足f(A2−π6)=√3−1，且AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =52，求△ABC内切圆的面积．21.山顶有一座石塔BC，设塔顶B在地面上的正投影为点D.记石塔的高度BC=a，山的高度CD=ℎ．(1)如图(1)，若以B，C为观测点，在塔顶B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β，用a，α，β表示山的高度h．(2)如图(2)，若将观测点E选在地面的直线AD上，记DE=x，已知石塔高度a=20m，称∠BEC为在E点观测石塔BC的视角．请试着使用x，h表示tan∠BEC；并依据你的结论解决如下问题：如果满足当DE=60√10m时，观测BC的视角(即∠BEC)最大，求山的高度h．22.已知函数ℎ(x)=√3sin4x2+2sin x2cos x2−√3cos4x2．(1)若先将函数ℎ(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再将之向左平移π3个单位，得到函数f(x)图象，求函数f(x)的解析式(2)设g(x)=3−2m+mcos(2x−π6)(m≠0)，则是否存在实数m，满足对于任意x1∈[0,π4]，都存在x2∈[0,π4]，使得f(x1)≥g(x2)成立？如果存在，请求出实数m的取值范围；若不存在，请说明你的理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：如图，∵△ABC 是等腰直角三角形，且∠C =90°，AC =√2， ∴∠ABC =45°，BC =√2，AB =2．∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos45°=2×√2×√22=2．故选：B ．由已知画出图形，求出BC 与BA ，再求出∠ABC ，代入数量积公式得答案． 本题考查平面向量的数量积运算，考查数形结合思想，是基础题．2.【答案】C【解析】解：因为sin(A +π2)=cosA =√32，又A 为三角形内角，则A =30°， 则tan A2=tan15°=tan(45°−30°)=1−√331+√33=2−√3．故选：C ．由已知结合诱导公式可求A ，然后结合两角差的正切公式即可求解． 本题主要考查了诱导公式，两角差的正切公式，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：因为∠xOP 0=π6，所以−π6是以Ox 为始边，OP 0为终边的角， 由OP 在ts 内转过的角为2×2π60=π15t ，可知以Ox 为始边，以OP 为终边的角为π15t −π6，则点P的纵坐标为2sin(515t−π6)，所以点P距水面的高度hm表示为时间ts的函数关系是ℎ=2sin(π15t−π6)+1，t∈[0,+∞)．故选：A．根据题意得到以OP为终边的角为π15t−π6，得出点P的纵坐标为2sin(515t−π6)，从而得到点P距水面的高度hm表示为时间ts的函数关系．本题考查了函数解析式的求解、函数的应用，主要考查了三角函数解析式的理解和应用，属于中档题．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件及余弦定理和三角函数，同时着重考查了同学们的运算能力．因为p⃗//q⃗，根据向量平行定理可得(a+c)(c−a)=b(b−a)，展开即得b2+a2−c2= ab，根据余弦定理可得角C的值．【解答】解：∵p⃗//q⃗，∴(a+c)(c−a)=b(b−a)，∴b2+a2−c2=ab，即2cosC=1，∴C=π3，故选B．5.【答案】C【解析】解：∵函数y=a x+3+3(a>0且a≠1)的图象恒过定点A(−3,4)，且点A在角θ的终边上，∴sinθ=√(−3)2+42=45，∴cos(7π2−θ)=−sinθ=−45．故选：C．由指数函数的性质求得A的坐标，再由三角函数的定义求得sinθ，然后利用诱导公式化简所求即可得解．本题考查指数函数的性质，考查三角函数的定义及诱导公式在三角函数求值中的应用，是基础题．6.【答案】C【解析】解：象限角θ满足sinθ|sin(π−θ)|+sin(π2+θ)|cosθ|=−1，可得sinθ|sinθ|+cosθ|cosθ|=−1，∴−sin2θ−cos2θ=−1，∴{sinθ<0cosθ<0，∴θ是第三象限角．故选：C．根据同角的三角函数关系得出sinθ<0且cosθ<0，由此判断θ是第几象限角．本题考查了同角的三角函数关系应用与三角函数值符号的判断问题，是基础题．7.【答案】D【解析】解：∵△ABC为锐角三角形，∴A+B>π2，即A>π2−B，则sinA>cosB>0，sinAcosB>1，又0<cosC<1，∴log cosC sinAcosB<0，A错误；∵0<sinC<1，当A=70°，B=80°时，cosAcosB >1，log sinC cosAcosB<0，B错误；当A=80°，B=70°时，sinAsinB >1，log sinC sinAsinB<0，C错误；由A+B>π2，即B>π2−A，则sinB>cosA>0，0<cosAsinB<1，log sinC cosAsinB>0，D正确．故选：D．由△ABC为锐角三角形，得A+B>π2，移向后利用三角函数的单调性借助于诱导公式可说明sinAcosB >1，0<cosAsinB<1，从而可得A错误，D正确；举例说明B，C错误．本题考查了锐角三角形的性质、锐角三角函数的单调性、对数函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：在ABC中，由sinC=sin(A+B)，代入可得：(sin2A−sin2B)⋅sin(A+B)= (sin2A+sin2B)⋅sin(A−B)，所以：(sin2A−sin2B)(sinAcosB+cosAsinB)=(sin2A+sin2B)(sinAcosB−cosAsinB)，整理可得：sinAcosA=sinBcosB，即：sin2A=sin2B，因为非等腰△ABC，所以A+B=π2，cosB=sinA，代入x2cosA−x(1−x)+(1−x)2cosB>0，两边同除x(1−x)，可得：xcosA1−x +(1−x)sinAx>1，在x∈[0,1]恒成立，可得xcosA1−x +(1−x)sinAx≥2√sinAcosA>1，即sin2A>12，又因为A+B=π2，则0<A<π2，所以π6<2A<5π6，即π12<A<5π12，又因为△ABC非等腰，所以A≠π4，所以A∈(π12,π4)∪(π4,5π12).故选：D．首先整理式子(sin2A−sin2B)⋅sinC=(sin2A+sin2B)⋅sin(A−B)，可得sin2A=sin2B，由非等腰△ABC，可得A+B=π2，则：xcosA1−x+(1−x)sinAx>1在x∈[0,1]恒成立，整理移项，再利用基本不等式得：xcosA1−x +(1−x)sinAx≥2√sinAcosA>1，再利用三角函数的性质，即可得解．本题考查了解三角形，考查了三角形的性质及恒等变换公式，考查了转化思想和基本不等式，本题解题的关键是对原式的处理，使之能使用基本不等式，而不能走进一元二次不等式的误区，进行讨论，属于较难题．9.【答案】BC【解析】解：向量a ⃗ =(2,0)，b ⃗ =(1,1)，对于A ，|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=√2，∴|a ⃗ |≠|b ⃗ |，故A 错误； 对于B ，cos <a ⃗ ,b ⃗ >=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |⋅|b⃗ |=2√2=√22， ∴<a ⃗ ,b ⃗ >=π4，故B 正确；对于C ，a ⃗ −b ⃗ =(1,−1)，(a ⃗ −b ⃗ )⋅b ⃗ =0，∴(a ⃗ −b ⃗ )⊥b ⃗ ，故C 正确； 对于D ，与b ⃗ 同向的单位向量是：b⃗ |b ⃗ |=(√22,√22)，故D 错误．故选：BC ．求出向量的模，判断A ；利用向量数量积表示两个向量的夹角判断B ；向量向量坐标运算和向量垂直的性质判断C ；利用单位向量定义判断D ．本题考查命题真假的判断，考查向量的模、向量夹角、向量垂直、单位向量等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.【答案】AC【解析】解：对于A ：tan22.5°1−tan 222.5∘=12×2tan22.5°1−tan 222.5∘=12tan45°=12，故A 正确；对于B ：tan15°⋅cos 215°=sin15°cos15∘⋅cos 215°=sin15°cos15°=12sin30°=14，故B 错误； 对于C ：√33cos 2π12−√33sin 2π12=√33×cos π6=12，故C 正确；对于D ：116sin50∘+√316cos50°=(cos50°+√3sin50°)16sin50°cos50°=2sin(50°+30°)8sin100∘=14，故D 错误；故选：AC ．直接利用三角函数关系式中倍角公式和诱导公式的变换求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，三角函数的倍角公式和诱导公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．11.【答案】ABD【解析】解：A.由|a ⃗ |=|b ⃗ |=|a ⃗ −b ⃗ |，得|a ⃗ |，|b ⃗ |，|a ⃗ −b ⃗ |是正三角形的边长， 则a ⃗ 与b ⃗ 的夹角是60°，则a ⃗ 与a ⃗ +b ⃗ 的夹角为30°，故A 正确，B .△ABC 中，sinA >sinB 等价为a >b ，即|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |>|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |成立，即sinA >sinB 是|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |>C . BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,−1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1−m,−m)，由∠ABC 为锐角，得 BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >0，且不同向共线，由−3(−1−m)+m >0得3+3m +m =4m +3>0，得m >−34，若两向量共线，则−1−m −3=−m−1，得m+13=m ，得m +1=3m ，得m =12，若∠ABC 为锐角，则实数m 的取值范围是m >−34且m ≠12，故C 错误，D .∵<a ⃗ ，b ⃗ >=arccos(−12)，∴<a ⃗ ，b ⃗ >=120°，则a⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |cos120°=−12， 则|2a ⃗ +x b ⃗ |2=4|a ⃗ |2+4x a ⃗ ⋅b ⃗ +x 2|b ⃗ |2=x 2−2x +4=(x −1)2+3， 则当x =1时，|2a ⃗ +x b ⃗ |2取得最小值3，|2a ⃗ +x b ⃗ |取得最小值√3，故D 正确， 故选：ABD ．A .根据向量长度关系得到a ⃗ 与b ⃗ 的夹角是60°，然后进行判断即可．B .根据正弦定理进行判断即可．C .根据锐角条件，转化为向量的等价条件进行求解即可．D .求出向量夹角，利用向量长度与向量数量积的关系进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，涉及平面向量数量积的应用，根据向量夹角，向量长度公式是解决本题的关键，是中档题．12.【答案】BCD【解析】解：函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示， 所以T =4×(7π2−4π2)=6π，故ω=2π6π=13，当x =2π时，f(2π)=2sin(13×2π+φ)=2， 由于：|φ|<π，解得：φ=−π6.故A 错误；故函数的解析式为：f(x)=2sin(13x −π6).析式为g(x)=2sin(12x−π6)；令：−π2+2kπ≤12x−π6≤2kπ+π2(k∈Z)，整理得：−2π3+4kπ≤x≤4kπ+4π3(k∈Z)，当k=0时，函数的单调增区间为[−2π3,4π3]；故B正确；对于C：若把函数f(x)的图像向左平移π2个单位，得到ℎ(x)=2sin13x，则所得函数是奇函数，故C正确；对于D：由于f(3π2)=√3，∀x∈[−π3,π3]，f(3x)+a≥f(3π2)恒成立，故2sin(x−π6)+a≥√3，在x∈[−π3,π3]恒成立，当x−π6∈[−π2,π6]时，f(x)∈[−1,1]即a≥[√3−2sin(x−π6)]max=√3−2×(−1)=√3+2，故a的范围为[√3+2,+∞)，故D正确；故选：BCD．直接利用函数的图象求出函数的关系式，进一步利用正弦型函数的性质的应用和函数的图象的平移变换和函数的恒成立问题的应用判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的求法，三角函数的图象的平移变换，函数的恒成立问题，三角函数的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．13.【答案】−2【解析】解：因为log2(sin15°⋅sin75°)=log2(sin15°⋅cos15°)=log2(12sin30°)=log214=−2．故答案为：−2．利用诱导公式，二倍角的正弦公式化简所求即可得解．本题主要考查了诱导公式，二倍角的正弦公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．14.【答案】0【解析】解：f(x)=sinx−2cosx=√5(sinx⋅√5cosx√5)=√5sin(x−α)(sinα=√5cosα=√5)，当θ−α=2kπ+π2时，即θ=2kπ+π2+α(k∈Z)时，cosθ=−sinα=√5，sinθ=cosα=√5故cosθ+2sinθ=√5√5=0．故答案为：0．直接利用三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，是属于基础题．15.【答案】(0,π3]【解析】解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知cosCc +cosBb=1a，则a2+b2−c22abc +a2+c2−b22abc=1a，整理得a2=bc．由余弦定理的得cosA=b2+c2−a22bc =b2+c2−bc2bc≥2bc−bc2bc=12，当且仅当b=c时取等号，所以cosA≥12，故0<A≤π3，即A的取值范围是(0,π3].故答案为：(0,π3].直接利用余弦定理的应用和三角函数的关系式的应用和函数值的应用求出结果．本题考查的知识要点：余弦定理的应用，三角函数值的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于中档题．16.【答案】①②④【解析】解：在△ABC 中，O 为中心，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则A 、O 、D 三点共线且AD 为边BC 上的中线，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =32AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ∴32AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，即AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故①正确；以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 为基底，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =16(12+1)=14，故②正确； ∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1μAN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴32AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12μAN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，由于O ，M ，N 三点共线，即1λ+1μ=3，定值且与l 的位置无关，故③错误； ∵S △AMN =√34|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√34λμ|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√34λμ(λ>0,μ>0)，由③知1λ+1μ=3， ∴λμ=11λ1μ≥1(1λ+1μ2)2=49，当且仅当λ=μ时等号成立，∵S △ABC =√34 ∴S △AMN S △ABC≥49，故④正确．故答案为：①②④①只需根据向量求和即可判断；②建立基底AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，将AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示后，利用数量积的定义直接求解； ③验证M 、N 、O 三点共线，可得1λ+1μ为定值；④利用面积公式S =12absinA 、③的定值和均值不等式可以求得最小值为49． 本题考查了向量的相关知识，考查面广，对向量的表示、三点共线及面积问题、最值问题都有涉及，考查学生的逻辑思维能力．17.【答案】解：(1)∵m⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ，∴2cosα−sinα=0，即sinα=2cosα． 方法一：代入cos 2α+sin 2α=1，得5cos 2α=1，则cosα=√55，sinα=2√55， 则sin2α=2sinαcosα=2×√55×2√55=45，代入可解得2sinα−3cosα4sinα−9cosα+sin2α=−15，方法二：∴tanα=22sinα−3cosα4sinα−9cosα+sin2α=2tanα−34tanα−9+2tanα1+tan 2α=−15． (2)∵α∈(0,π2)，β∈(0,π2)，∴α−β∈(−π2,π2) 又sin(α−β)=√1010，∴cos(α−β)=3√1010． ∴sinβ=sin[α−(α−β)]=sinαcos(α.−β)−cosαsin(α−β)=2√55×3√1010−√55×√1010=√22， 由β∈(0,π2)，得β=π4．【解析】(1)由m⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ，得到sinα=2cosα． 法一：代入cos 2α+sin 2α=1，得5cos 2α=1，由此能求出结果． 法二：tanα=22sinα−3cosα4sinα−9cosα+sin2α=2tanα−34tanα−9+2tanα1+tan 2α，由此能求出结果．(2)推导出α−β∈(−π2,π2)，cos(α−β)=3√1010，sinβ=sin[α−(α−β)]=sinαcos(α.−β)−cosαsin(α−β)，由此能求出结果．本题考查三角函数的运算，考查向量垂直的性质、三角函数恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)bsinB+C 2=bsinπ−A 2=bcos A2=asinB ，由正弦定理得：sinBcos A2=sinAsinB =2sin A2cos A2sinB ， 故sin A2=12，即A =π3，(Ⅱ)由于AB =AD ，A =π3，即△ABD 为正三角形，故不妨设DC =x ， 则BA =AD =BD =2x ，由余弦定理，9x 2+4x 2−912x=12⇒x =√7，故cosB =9−5x 212x=√714，即AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB||BC|cosB =97．【解析】(Ⅰ)把已知转化，再结合正弦定理求解即可；(Ⅱ)设DC=x，则AD=AB=BD=2x，然后结合余弦定理可求x，进而可求AC．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，二倍角公式在求解三角形中的应用，属于中档题．19.【答案】解：(1)函数f(x)=msin(ωx+π6)满足条件为①③，理由如下：由题意可知条件①②互相矛盾，故③为函数f(x)=msin(ωx+π6)满足的条件之一．由③可知：T=2π，所以ω=1.故②不合题意．∴函数f(x)=msin(ωx+π6)满足条件为①③，由①知：A=2．∴f(x)=2sin(x+π6 ).(2)a=f(A)=f(π3)=2sinπ2=2，由余弦定理得4=b2+c2−2bccosπ3，∴(b+c)2=3bc+4，∵b+c≥2√bc，∴(b+c)2≥4[(b+c)2−43]，(b+c)2≤16，∴0<b+c≤4，当且仅当b=c=2时取等号，∵b+c>a，∴b+c>2，∴2<b+c≤4，∴4<a+b+c≤6，∴△ABC周长的取值范围为(4,6]．【解析】(1)根据题意直接利用①③得到函数的解析式．(2)利用余弦定理得(b+c)2=3bc+4，再利用基本不等式求出b+c的范围即可求出．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)f(x)=2√3sin(ωx+π4)sin(π4−ωx)+sin2ωx+t=2√3sin(ωx+π4)sin[π2−(π4+ωx)]+sin2ωx+t=2√3sin(ωx+π4)cos(ωx+π4)+sin2ωx+t=√3sin(2ωx+π2)+sin2ωx+t=2sin(2ωx +π3)+t ，∵f(x)的图象与直线y =1相切，且t <0， ∴f(x)max =2+t =1，t =−1， 又每相邻两个切点间的距离为π， 所以，函数f(x)的最小正周期为T =π， ∴2π2ω=π，可得ω=1， ∴f(x)=2sin(2x +π3)−1，令−π2+2kπ≤2x +π3≤π2+2kπ(k ∈Z)，解得：−5π12+kπ≤x ≤π12+kπ(k ∈Z)， ∴函数f(x)的单调递增区间是[−5π12+kπ,π12+kπ]，k ∈Z ；(2)由f(A2−π6)=√3−1，得2sin[2(A2−π6)+π3]−1=√3−1，可得sinA =√32，∵A 为锐角，则A =π3，由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =bccosA =bccos π3=12bc =52，则bc =5， 由余弦定理得cosA =b 2+c 2−a 22bc=(b+c)2−2bc−a 22bc=(b+c)2−10−4910=12，∴b +c =8，记r 为内切圆半径，△ABC 的面积S =12(a +b +c)r =12bcsinA ，即12×(7+8)r =12×5×√32， ∴r =√36， ∴△ABC 内切圆的面积S′=πr 2=π×(√36)2=π12．【解析】(1)利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f(x)=2sin(2ωx +π3)+t ，由f(x)的图象与直线y =1相切，且t <0，可求t ，由每相邻两个切点间的距离为π，利用周期公式可求ω，可得函数解析式，进而根据正弦函数的单调性即可求解f(x)的单调递增区间．(2)由f(A2−π6)=√3−1，可得sinA =√32，结合A 为锐角，可求A =π3，由已知利用平面向量数量积的运算可求bc 的值，利用余弦定理可得b +c 的值，记r 为内切圆半径，利用三角形的面积公式可求√3，根据圆的面积公式即可求解△ABC 内切圆的面积．定理，三角形的面积公式，圆的面积公式的综合应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．21.【答案】(1)解：在△ABC 中，∠ABC =α−β，∠BCA =90°+β，由正弦定理可得，BCsin∠BAC =ABsin∠BCA ， 解得AB =αsin(90°+β)sin(α−β)=acosβsin(α−β)，则ℎ=AB ⋅sinα−a =acosβsinαsin(α−β)−a =acosαsinβsin(α−β)；(2)设DE =x ， 因为tan∠BED =ℎ+20x，tan∠CED =ℎx ，所以tan∠BEC =tan(∠BED −∠CED)=tan∠BED−tan∠CED1+tan∠BED⋅tan∠CED =20x1+(ℎ+20)ℎx 2=20x+ℎ(ℎ+20)x，又x +ℎ(ℎ+20)x≥2√ℎ(ℎ+20)，则20x+ℎ(ℎ+20)x≤√ℎ(ℎ+20)，当且仅当x =(ℎ+20)ℎx，即x =√ℎ(ℎ+20)时，tan∠BEC 最大，从而∠BEC 最大，由题意可得，√ℎ(ℎ+20)=60√10， 解得ℎ=180，所以山的高度h 为180m ．【解析】(1)在△ABC 中，利用正弦定理求出AB ，从而求解h 即可；(2)设DE =x ，求出tan∠BED 和tan∠CED ，然后由两角差的正切公式求出tan∠BEC ，利用基本不等式求最大值，进而求解h 即可．本题考查了解三角形的实际应用问题，正弦定理的应用，诱导公式的应用，两角差的正切公式的应用以及基本不等式求解最值的应用，考查了逻辑推理能力、转化化归能力与数学建模能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)ℎ(x)=√3sin 4x 2+2sin x 2cos x 2−√3cos 4x 2=√3(sin 2x2+cos 2x2)(sin 2x2−cos 2x2)+2sin x2cos x2=−√3cosx +sinx =2sin(x −π3)， 将函数ℎ(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到ℎ1(x)=再向左平移π3个单位，得到函数f(x)=2sin(2x+π3)，所以函数f(x)的解析式为：f(x)=2sin(2x+π3)．(2)∵x1∈[0,π4]，∴2x1+π3∈[π3,5π6]，∴sin(2x1+π3)∈[12,1]，即f(x1)∈[1,2]；∵x2∈[0,π4]，∴2x2−π6∈[−π6,π3]，∴cos(2x2−π6)∈[12,1]，又当m>0，∴mcos(2x2−π6)∈[m2,m]，即g(x2)∈[3−3m2,3−m]，假设存在实数m，满足对任意x1∈[0,π4]，都存在x2∈[0,π4]，使得f(x1)≥g(x2)成立，则1≥3−3m2，解得m≥43，又当m<0，mcos(2x2−π6)∈[m,m2]，即g(x2)∈[3−m,3−3m2,]，则依题意满足1≥3−m，则m≥2，与m<0矛盾．舍去．综上所述，m的取值范围是[43,+∞)．【解析】(1)利用三角函数恒等变换的应用化简函数ℎ(x)的解析式，根据函数y= Asin(ωx+φ)的图象变换即可求解函数f(x)的解析式．(2)由x1∈[0,π4]，利用正弦函数的性质可求f(x1)∈[1,2]，由x2∈[0,π4]，可求cos(2x2−π6)∈[12,1]，根据m的值，分类讨论即可求解．本题主要考查了三角函数恒等变换，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，正弦函数的性质的应用，考查了函数思想和分类讨论思想的应用，属于中档题．。
辽宁省重点六校协作体中考提前招生提前招生数学模拟试卷
辽宁省重点六校协作体中考提前招生提前招生数学模拟试卷一、选择题1．下列对电磁现象说法正确的是（）A．甲图中的POS刷卡机读出信息的原理是电磁感应现象，将电能转化为机械能B．乙图中水位达到物块A时绿灯亮报警C．丙图通电导体框在磁场中发生转动，原理是磁场对电流的作用D．丁图中同时改变电流方向和磁场方向，可以改变导体ab的运动方向2．如图所示，把一把钢尺紧压在桌面上，让其一端伸出桌面，改变钢尺伸出桌面的长度，用相同的力拨动钢尺，下列说法中正确的是（）A．钢尺发出的声音的音调不同B．钢尺发出的声音的响度不同C．钢尺发出的声音的音色不同D．钢尺伸出的长度越短其响度越大3．如图是某品牌榨汁机．为保障安全，该榨汁机设置了双重开关——电源开关S1和安全开关S2．当杯体倒扣在主机上时， S2自动闭合，此时再闭合S1，电动机才能启动，开始榨汁．下列电路图符合上述要求的是A．B．C．D．4．生活处处有物理，爱动脑的小张同学对图作出的解释错误的是（）A．吸管的一端一般是斜的，目的是为了增大压力B．在输液时，要将液瓶挂高是为了增大压强C．茶壶盖上有个小孔，目的是为了平衡气压D．船闸设计成上图形式，是利用了连通器原理5．有6位同学用一把刻度尺测量同一本《科学》课本的长度，测得数据分别为26.02厘米，26.09厘米、26.10厘米、26.00厘米和26.08厘米、31.38厘米。
下列测量结果最接近真实值的是（）A．26.058厘米B．26.06厘米C．26.95厘米D．无法确定，因为真实值未知6．2020央视春晚实现全媒体传播，并在4K、5G、VR、AR、AI等方面进行技术创新，是一场艺术与科技完美结合的春晚，关于此次春晚，下面说法正确的是（）A．5G是利用超声波传递信息的B．手机通过WiFi收看春晚，是利用电磁波传递信息的C．春晚节目中，杂技演员被抛出到空中后仍能继续运动，是由于惯性的作用D．春晚舞台上的灯与灯之间是相互串联的7．如图所示，在电子显微镜下观察2019新型冠状病毒（2019﹣nCoV）。
辽宁省六校协作体2020学年高二数学下学期期中试题 理
辽宁省六校协作体2020学年高二数学下学期期中试题 理本试卷共23题，时间：120分钟，共150分，共4页一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知命题:,sin 1p x R x ∃∈≤，则命题p 的否定是（ ）A ．,sin 1x R x ∃∈>B ．,sin 1x R x ∀∈≥C ．,sin 1x R x ∃∈≥D ．,sin 1x R x ∀∈>2．已知,a b 都是实数，“22a b >”是“a b >”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3. “所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理属于（ ）A ．演绎推理B ．类比推理C ．合情推理D ．归纳推理4. 已知复数2)1(212i i z -+-=，z 是z 的共轭复数，则z 的虚部等于（ ） A ．2 B ．i 2C ．2-D ．i 2-5．2532()x x-展开式中的常数项是 （ ） A ．80- B ．40C ．80D ．40-6．若e 是自然对数的底数，则=⎰-322dx e x （ ） A ．e11-B ．11-eC ．e -1D ．1-e7．已知实数,,,a b c d 满足1a b c d +=+=，1ac bd +>，用反证法证明：,,,a b c d中至少有一个小于0．下列假设正确的是 （ ） A ．假设,,,a b c d 至多有一个小于0 B ．假设,,,a b c d 中至多有两个大于0 C ．假设,,,a b c d 都大于0 D ．假设,,,a b c d 都是非负数8.函数32y x bx x =-+有极值点，则b 的取值范围为（ ） A ．[3,3]-B ．(,3]3,)-∞-+∞UC ．(,3)3,)-∞-+∞UD ．(3,3)-9．学校艺术节对同一类的,,,a b c d 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下： 甲说：“是c 或d 作品获得一等奖”； 乙说：“b 作品获得一等奖”；丙说：“,a d 两项作品未获得一等奖”； 丁说：“是c 作品获得一等奖”．若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是（ ） A ．a B ．b C ．cD ．d10．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB E =，为1AA 的中点，则异面直线BE 与1CD 所成角的余弦值为（ ）A ．1010 B ．51 C ．53D ．10103 11．张、王夫妇各带一个小孩儿到上海迪士尼乐园游玩，购票后依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸 ，另外两个小孩要排在一起，则这6个人的入园顺序的排法种数是（ ）A ．12B ．24C ．36D ．4812．过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点)0,(c F -作圆222a y x =+的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线cx y 42=于点P ，若E 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率为 （ ） A ．5 B ．25C ．215+ D ．15+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
辽宁省六校协作体高一数学下学期期中试题 文
辽宁省六校协作体2017-2018学年高一数学下学期期中试题 文第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1、已知集合22{|60}{|50}M x Z x x N x x =∈-+>=-<，则M N ⋂等于（ ） A ．{}1,2,3 B ．{}1,2 C ．{}2,3 D ．{}3,42、0sin 600=（ ）A.1212-3、已知点()tan ,sin P αα在第三象限，则角α的终边在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 4、设函数211log (2)(1)()2(1)x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩，则2(2)(l og 12)f f -+=（ ）A ．3B ．6C ．9D ．125、在下列向量组中，可以把向量()2,3=a 表示出来的是（ ） A. )2,1(),0,0(21==e e B . )2,5(),2,1(21-=-=e e C. )10,6(),5,3(21==e e D. )3,2(),3,2(21-=-=e e6、已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是 （ ）A.20x y +-=B.20x y -+=C. 30x y -+=D. 30x y +-= 7、下列命题正确的是（ ） A. 单位向量都相等B. 若a 与b 是共线向量，c 与b 是共线向量，则a 与c是共线向量C. 若b a b a-=+，则0=⋅b aD. 若a 与b是单位向量，则1=⋅b a8、设1cos 2sin 222a =-o o，22tan141tan 14b =-o o ，c =( )A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b9、已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A.12B.24C.36D.810、已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期是π，若将()f x 的图象向右平移3π个单位后得到的图象关于原点对称，则函数()f x 的图象( ) A ．关于直线12x π=对称 B ．关于直线512x π=对称C ．关于点,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 D ．关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称11、已知向量n m ,，2，且n m,的夹角为45o .在ABC ∆中，n m 22+=，n m AC62-=，BD BC 2==( )A ．2B ．C ．4D ．8 12、函数11-=x y 的图像与函数()2sin ,(24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）。
辽宁省六校协作体高一数学下学期期中试题 文
辽宁省六校协作体2017-2018学年高一数学下学期期中试题 文第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1、已知集合22{|60}{|50}M x Z x x N x x =∈-+>=-<，则M N ⋂等于（ ） A ．{}1,2,3 B ．{}1,2 C ．{}2,3 D ．{}3,42、0sin 600=（ ）A.1212-3、已知点()tan ,sin P αα在第三象限，则角α的终边在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 4、设函数211log (2)(1)()2(1)x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩，则2(2)(l og 12)f f -+=（ ）A ．3B ．6C ．9D ．125、在下列向量组中，可以把向量()2,3=表示出来的是（ ） A. )2,1(),0,0(21==e e B . )2,5(),2,1(21-=-=e e C. )10,6(),5,3(21==e e D. )3,2(),3,2(21-=-=e e6、已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是 （ ）A.20x y +-=B.20x y -+=C. 30x y -+=D. 30x y +-= 7、下列命题正确的是（ ） A. 单位向量都相等B. 若a 与b 是共线向量，c 与b 是共线向量，则a 与c是共线向量C. 若b a b a-=+，则0=⋅b aD. 若a 与b是单位向量，则1=⋅b a8、设1cos 2sin 222a =-o o，22tan141tan 14b =-o o ，c =( )A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b9、已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A.12B.24C.36D.810、已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期是π，若将()f x 的图象向右平移3π个单位后得到的图象关于原点对称，则函数()f x 的图象( ) A ．关于直线12x π=对称 B ．关于直线512x π=对称C ．关于点,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 D ．关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称11、已知向量n m ,，2，且n m,的夹角为45o .在ABC ∆中，n m 22+=，n m62-=，2==( )A ．2B ．C ．4D ．8 12、函数11-=x y 的图像与函数()2sin ,(24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）。
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2020---2020学年度下学期省六校协作体高一期中考试 数学试题 单选题：（每题4分，计40分） 1、计算4tan2cossin2的值等于（ ） A．1 B．2 C．3 D． 4 2、命题“x，1cossinxx”的否定为（ ） A．x，1cossinxx B．x，1cossinxx C．x，1cossinxx D．x，1cossinxx 3、若向量BA→＝(2,3)，CA→＝(4,7)，则BC→等于 ( ) A．(－2,－4) B．(2,4) C．(6,10) D．(－6,－10)
4、角的终边经过)4,3(P，那么角可以是（ ） A．54arcsin B．)53arccos( C．53arccos2 D． )34arctan( 5、某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10∶8∶7，从中抽取200名职员作为样本，若每人被抽取的概率是0.2，则该单位青年职员的人数为( ) A．280 B．320 C．400 D．1000 6、样本数据1021,,xxx的标准差为2，那么12,12,121021xxx标准差为（ ） A．16 B．8 C．4 D．2 7、函数)sin()(xxf)0,0(在某个周期内的递减区间为]3,6[那么,
的值分别为（ ） A．65,2 B．6,2 C．3,21D．32,21 8、1cosa，1sinb，1tanc，那么a，b，c的大小关系为（ ） A．cba B．abc C．acb D．bac 9、ABC中090,2,3AABAC，设PQ、满足APABuuuruuur，(1)AQACuuuruuur，R，若1BQCPuuuruuur，则（ ）
A． 31 B．32 C． 34 D．2 MOE
C
AB
DA1
10、函数xxxf2sin)()40()0(xx，方程mxf)(有三个根321,,xxx，那么321
xxx
取值范围是（ ） A．)1,0( B．)2,1( C．)3,1( D．)4,3( 多选题：（每题有多个答案，选对一个得2分，多选或不选不得分，全部选对得4分，计12分） 11、已知函数)321sin()(xxf，那么下列式子恒成立的是（ ） A． )2()2(xfxf B． )()310(xfxf C．)()65(xfxf D． )()35(xfxf 12、C是边长为2的等边三角形，已知向量ar，br满足2auuurr，C2abuuurrr，则下列结论正确的是（ ） A． 1b B． ba C． 1ba D． 4Cabuuurrr 13、如图，矩形ABCD中，ADAB2，E为边AB的中点，将ADE沿直线DE翻转成DEA1(1A平面ABCD)，若OM,分别为线段DECA,1的中点，则在ADE翻
转过程中，下列说法正确的是（ ） A．与平面DEA1垂直的直线必与直线MB垂直 B．BMEA//1 C．存在某个位置，使MODE D．三棱锥ADEA1外接球半径与棱AD的长之比为定值 填空题：（每题每空2分，计16分） 14、从三名男生和两名女生中选派三人参加数学竞赛，选派三人都是男生的概率为 ；选派三人既有男生又有女生的概率为 。 15、计算52tanlg10tanlg ；xxcoslogsinlog2244 。 16、将函数)32sin()(xxf向左平移个单位)20(得函数)(xg图像； 若)(xg为偶函数，那么 ；若)(xg为奇函数，那么 。 17、函数mxxf)62sin(2)(，]2,0[x；那么)(xf的值域为 ； 若以)(),(),(cfbfaf的值为边长可以构成一个三角形，那么实数m的取值范围是 。 解答题：（共6小题，计82分） 18、（本题满分10分）
已知向量)55,(cosa，)552,(sinb （1）若ba//，求tan； （2）若ba，求tan
19、（本题满分12分） 某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于60分到140分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组60,70，第二组70,80 ，……，第八组：130,140，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．
（1）求第七组的频率，完成频率分布直方图，并估计该组数据的众数和中位数； （2）请根据频率分布直方图估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分 （统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表）． F
CD
AB
E
20、（本题满分12分） 现有8名马拉松比赛志愿者，其中志愿者1A，2A，3A通晓日语，1B，2B，3B通晓俄语，1C，
2C通晓英语，从中选出通晓日语、俄语和英语的志愿者各1名，组成一个小组．
(1) 列出基本事件； (2) 求1A被选中的概率； (3) 求1B和1C不全被选中的概率．
21、（本题满分12分） 如图，四边形ABCD是边长为的正方形，ABE为等腰三角形，BEAE，平面ABCD平面ABE，动点F在棱CE上，无论点F运动到何处时，总有AEBF. （1）试判断平面ADE与平面BCE是否垂直，并证明你的结论； （2）若点F为CE中点，求三棱锥AEFD的体积. 22、（本题满分18分） 已知函数()sin()fxAx（0,0,||2A）的图象的相邻两条对称轴的距离是
2，当6x时取得最大值2．
（1）求函数)(xf的解析式； (2)求)(xf在],0[x上的递增区间
（3）若函数6()()5gxfx的零点为0x，求0cos23x．
23、（本题满分18分） 已知函数)1,0(2)(aaakaxfxx且是定义在R上的奇函数。 （1）求实数k的值； （2）若0)1(f，不等式)32()3sin1sin(2ttfxxf对Rx恒成立，求实数t的取值范围； （3）若23)1(f，1)(21)(22xmfaaxgxx在),1[x上的最小值为0，求实数m的值； 六校协作体高一期中考试数学参考答案 单选题： 1---5ADABC 6---10 CABDB 多选题： 11---13 AB CD AD 填空题：14、101，109 15、0，1 16、12，3 17、]2,1[mm，),4[ 解答题：（共6小题，计82分） 18、（本题满分10分）
（1）若ba//，则sin55cos552，所以2tan-----5分 （2）若ba，则052cossin，所以52cossincossin22 即521tantan2，02tan5tan22，解得2tan或21-----10分 19、（本题满分12分） （1众数为95. 设中位数为96 （2）设这次考试成绩的平均分为x 则9704.013508.012506.01152.01053.09516.08512.07504.065x （图表、众数、中位数、平均分各3分） 20、（本题满分12分）
现有8名马拉松比赛志愿者，志愿者，，通晓日语，，，通晓俄语，，通晓英语， 从中选出通晓日语、俄语和英语的志愿者各1名，组成一个小组．
基本事件空间，，，，，，， ，，，，，，，， ，，，共18个基本事件．-----4分 由于每个基本事件被选中的机会相等，这些基本事件是等可能发生的， 用M表示“被选中”， 则，，，，，，含有6个基本事件， 被选中的概率． -----8分 用N表示“和不全被选中”，则表示“和全被选中”，，，，含有3个基本事件，和不全被选中的概率
．-----12分 21、（本题满分12分）
（1）平面ADE与平面BCE垂直， 证明如下： 四边形ABCD是边长为2的正方形，所以ADBC， 因为平面ABCD平面ABE, BC平面，
动点在棱上，无论点运动到何处时，总有， 又平面， 平面平面平面.-----6分 （2）点为中点， 到平面的距离等于到平面距离的一半，而到平面的距离等于到平面距离， 由平面，可得 ，由平面，可得 ， 所以平面，为等腰直角三角形， 到平面的距离等于， ， 三棱锥的体积.-----12分 22、（本题满分18分） （1）由题意知，振幅A=2，周期T=222，∴2，∴()2sin2fxx． 将点,26代入得：2sin2sin133，又||2，故6． ∴()2sin26fxx．-----6分 （2）当226222kxk（)zk时，即63kxk