最大公约数和最小公倍数
五年级奥数最大公约数和最小公倍数的比较和应用
最大公约数和最小公倍数的比较和应用最大公约数与最小公倍数的应用比较在整除的应用当中，最大公约数和最小公倍数的应用最为广泛，也是最重要的部分。
一道应用题，到底是用最大公约数解题还是用最小公倍数解题，学生最容易混乱。
不妨试用下面这种土方法判断下，问题就会迎刃而解了。
判断法则：如果题目已知总体，求部分，一般用最大公约数解题，先求出总体的最大公约数，再依题意解答；如果题目已知部分，求总体，一般用最小公倍数解题，先求出部分的最小公倍数，再依题意解答。
对比例子（一）1．把一张长60厘米，宽40厘米的长方形纸板剪成边长是整数厘米数的小正方形，且无剩余，最少可以剪成多少块？分析：正方形是在长方形里面剪，所以长方形是总体，正方形是部分。
题目告诉你了长方形的长与宽，告诉了总体，求的是小正方形，求部分，所以用最大公约数解题。
具体分析：由于题中求剪后无剩余，所以小正方形的边长必须是60和40的公约数。
又因为求最少剪多少块，就要求小正方形的边长最大，所以小正方形的边长一定是60和40的最大公约数。
（60，40）=20 -------这就是小正方形的边长。
（60÷20）×（40÷20）=6（块）或用面积计算：（60×40）÷（20×20）=6（块）2．用长5CM，宽3CM的长方形硬纸片摆成一个正方形（中间无空隙），至少要用几个长方形硬纸片？分析：多个长方形摆成正方形，所以正方形是总体，长方形是部分。
题目告诉你了长方形的长与宽，即告诉了部分，求正方形，即求总体，所以用最小公倍数解题。
具体分析：由于拼摆后正好一个正方形，所以正方形的边长必须是长方形的长与宽的公倍数，又因为要用最少的长方形来摆，所以正方形的边长一定是最小的公倍数。
〔5，3〕=15 CM------这就是正方形的边长（15÷5）×（15÷3）=15（个）长方形或用面积计算：（15×15）÷（5×3）=15（个）对比例子（二）1．一长方体木块，长56CM，宽40CM，高24CM，把它锯成尽可能大，且大小相同的正方体，且无剩余，能锯成多少块？分析：小正方体是从长方体中锯出来的，长方体就是总体，小正方体为部分。
高中数学中的最小公倍数与最大公约数求解方法
高中数学中的最小公倍数与最大公约数求解方法最小公倍数与最大公约数都是高中数学中必须要掌握的基础知识，这两个概念在数学的各个领域中都有着广泛的应用。
在中学阶段，最小公倍数和最大公约数经常被用于解决各种数学问题，例如求解分数的通分和约分，解一元二次方程、不等式等。
本文将在探讨最小公倍数与最大公约数的定义和性质之后，介绍几种常见的求解方法。
1. 最小公倍数与最大公约数的定义和性质在介绍最小公倍数和最大公约数的求解方法之前，我们首先需要了解它们的定义和性质。
最大公约数，也称为最大公因数、公因数、最大公因子等，是指几个数中最大的公因数。
例如，数字 12 和 18 的最大公约数是 6，因为 12 和 18 都可以被 6 整除，而 6 是 12 和 18 的公因数中最大的一个。
如果几个数没有公约数，则它们的最大公约数为1。
最小公倍数是指几个数中最小的公倍数。
例如，数字 12 和 18 的最小公倍数是 36，因为 12 和 18 的倍数 36 是它们中最小的公倍数。
如果几个数没有公倍数，则它们的最小公倍数为0。
最大公约数和最小公倍数的性质有以下几点：1）最大公约数和最小公倍数都是正整数；2）最大公约数和最小公倍数是唯一的，也就是说，只有一个最大公约数和最小公倍数；3）最小公倍数是两个数的乘积除以它们的最大公约数，即$lcm(a,b) = \frac{ab}{gcd(a,b)}$；4）如果 $a$ 和 $b$ 是整数，那么它们的最大公约数是能写成$ax+by$ 的最小正整数 $d$，其中 $x$ 和 $y$ 是整数。
2. 辗转相减法求最大公约数所谓辗转相减法，即用两个数的差去替代其中一个数，不断重复这个过程，直到两个数相等，此时的数就是它们的最大公约数。
具体的求解过程如下：1）取两个不为0的正整数 $a$ 和 $b$，其中 $a>b$；2）计算 $a-b$ 的值，并用这个值去替代 $a$；3）如果 $b$ 大于新的 $a$，就将 $b$ 和 $a$ 互换，这样可以保证 $a$ 始终大于等于 $b$；4）将新的 $a$ 和 $b$ 再次进行第二步计算，重复这个过程，直到 $a=b$ 为止，此时 $a$ 或 $b$ 的值就是最大公约数。
最大公约数和最小公倍数课件(10)
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例2 求（319，377）.
解：∵ 377÷319＝1（余58），
∴（377，319）＝（319，58）； ∵ 319÷58＝5（余29）， ∴（319，58）＝（58，29）； ∵ 58÷29＝2（余0）， ∴（58，29）＝29； ∴（319，377）＝29。
可以用下面的简便形式来求（319，377）.
2． 折一个角 谈话：我们已经认识了角，能用自己灵巧的 小手折一个角吗？看谁折得快折得好。（用准 备好的白纸折角） 3． 角的大小比较 （1）提问：能使你折的角变得再大一些吗？你 是怎么办的？能把它变得小一些吗？又是怎么 做到的？ （2）钟面上的时针和分针转动时，形成了大小 不同的角，同学们能比较出哪个角大些吗？用 什么方法比较？ （3）谈话：观察老师手上的这两个三角形（两 个纸做的一大一小的三角形），哪个三 角形大些呢？还是一样大呢？你知道角 的大小和什么有关吗？
∵ [a,b]•(a,b)=a • b, ∴ [a,b]=ab÷(a,b).
求两个数的最小公倍数，可以用两
个数的最大公约数，除两个数的积，所
得的商就是这两个数的最小公倍数。
例2
求[105,42].
解：∵（105,42）=21, ∴ [105,42] =105×42÷21 =210.
1、用分解质因数法求下列各组数的最小公倍数。 （1）36和48 （2）64和72 （3）4、12和42 （4）112、124和420 2、用求最大公约数法求下列各组数的最小公倍数； （1）185和338 （2）46和240 3、指出小明在求三个数的最小公倍数时的错误，并对他作正 确的解释。
（2）391和299
（3）252和180
（4）4935和13912
五年级最大公约数和最小公倍数
一、基本概念和知识1.公约数和最大公约数几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。
例如：12的约数有：1，2，3，4，6，12；18的约数有：1，2，3，6，9，18。
12和18的公约数有：1，2，3，6.其中6是12和18的最大公约数，记作（12，18）=6。
2.公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
例如：12的倍数有：12，24，36，48，60，72，84，…18的倍数有：18，36，54，72，90，…12和18的公倍数有：36，72，….其中36是12和18的最小公倍数，记作[12，18]=36。
3.互质数如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做互质数。
二、例题例1 用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？分析∵要求的数去除30、60、75都能整除，∴要求的数是30、60、75的公约数。
又∵要求符合条件的最大的数，∴就是求30、60、75的最大公约数。
解：∵（30，60，75）=5×3=15这个数最大是15。
例2 一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？分析由题意可知，要求的数是3、4、5的公倍数，且是最小的公倍数。
解：∵［3，4，5］=3×4×5=60，∴用3、4、5除都能整除的最小的数是60。
例3 有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米.现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？分析∵要截成相等的小段，且无剩余，∴每段长度必是120、180和300的公约数。
又∵每段要尽可能长，∴要求的每段长度就是120、180和300的最大公约数.（120，180，300）=30×2=60∴每小段最长60厘米。
120÷60+180÷60+300÷60=2＋3＋5=10（段）答：每段最长60厘米，一共可以截成10段。
最大公约与最小公倍学生版
阳光之萌小升初复习——最小公约数和最小公倍数一、公约数与公倍数1、公约数和最大公约数几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公．．．约数．．。
例如：12的约数有：1，2，3，4，6，12；18的约数有：1，2，3，6，9，18。
12和18的公约数有：1，2，3，6。
其中6是12和18的最大公约数，记做（12，18）＝6。
2、公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公．．．倍数．．。
例如：12的倍数有：12，24，36，48，60，72，84，90，…；18的倍数有：18，36，54，72，90，108，…。
12和18的公倍数有：36，72，90，…。
其中36是12和18的最小公倍数，记作[12，18]=36。
3、互质数如果两个数的最大公约数为1，那么这两个数叫做互质数．．．。
二、最大公约数与最小公倍数最大公约数的定义：如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。
在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。
例如：（8，12）=4，（6，9，15）=3。
最小公倍数的定义：如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。
在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数。
例如：[8，12]=24，[6，9，15]=90。
求最大公约数的方法：1．分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。
例如：231=3×7×11，252=22×32×7，所以（231，252）=3×7=21；2．短除法：先找所有共有的约数，然后相乘。
例如：（12，18）=2×3=6 ；3．辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。
用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个数去除前一个余数，直到余数是0为止。
第4讲 最大公约数和最小公倍数
第4讲最大公约数和最小公倍数（二）解题思路：记住并灵活运用两个定理（定理1两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质.即如果（a，b）=d，那么（a÷d，b÷d）＝1 定理2两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积. 定理3 两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数例1 甲数是36，甲、乙两数的最大公约数是4，最小公倍数是288，求乙数.例2 已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？例3 已知两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，求这两个自然数。
例4 已知两个自然数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数。
例5 已知两个自然数的和为54，它们的最小公倍数与最大公约数的差为114，求这两个自然数。
例6 已知两个自然数的差为4，它们的最大公约数与最小公倍数的积为252，求这两个自然数。
习题1.已知某数与24的最大公约数为4，最小公倍数为168，求此数。
2.已知两个自然数的最大公约数为4，最小公倍数为120，求这两个数。
3.已知两个自然数的和为165，它们的最大公约数为15，求这两个数。
4.已知两个自然数的差为48，它们的最小公倍数为60，求这两个数。
5.已知两个自然数的差为30，它们的最小公倍数与最大公约数的差为450，求这两个自然数。
6.已知两个自然数的平方和为900，它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为432，求这两个自然数.第四讲最大公约数和最小公倍数本讲重点解决与最大公约数和最小公倍数有关的另一类问题——有关两个自然数.它们的最大公约数、最小公倍数之间的相互关系的问题。
定理1 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质.即如果（a，b）=d，那么（a÷d，b÷d）＝1。
证明：设a÷d=a1，b÷d=b1，那么a＝a1d，b=b1d。
假设（a1，b1）≠1，可设（a1，b1）＝m（m＞1），于是有a1=a2m，b1＝b2m.（a2，b2是整数）所以a=a1d＝a2md，b＝b1d＝b2md。
最小公倍数最大公约数
最小公倍数怎么算方法1：短除法步骤： 一、找出两数的最小公约数，列短除式，用最小约倍数去除这两个数，得二商；二、找出二商的最小公约数，用最小公约数去除二商，得新一级二商； 三、以此类推，直到二商为互质数； 四、将所有的公约数及最后的二商相乘，所得积就是原二数的最小公倍数。
例：求48和42的最小公倍数解：48与42的最小公约数为2 48/2=24；42/2=21；24与21的最大公约数为3 24/3=8；21/3=7；8和7互为质数 2*3*8*7=336方法2：质因数分解举例：12和27的最小公倍数12=2*2×3 27=3*3*3 必须用里面数字中的最大次方者，像本题有3和3的立方，所以必须使用3的立方(也就是3*3*3)，不能使用3 所以： 2*2×3*3*3=4×27=108 两数的最小公倍数是108方法3：借助最大公约数求最小公倍数步骤： 一、利用辗除法或其它方法求得最大公约数； 二、最小公倍数等于两数之积除以最大公约数。
举例：12和8的最大公约数为4 12*8/4=24 两数的最小公倍数是24求几个自然数的最小公倍数，有两种方法：（1）分解质因数法。
先把这几个数分解质因数，再把它们一切公有的质因数和其中几个数公有的质因数以及每个数的独有的质因数全部连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数。
例如，求[12，18，20]，因为12=2^2×3，18=2×3^2，20=2^2×5，其中三个数的公有的质因数为2，两个数的公有质因数为2与3，每个数独有的质因数为5与3，所以，[12，18，20]=2^2×3^2×5=180。
（可用短除法计算）（2）公式法。
由于两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的积。
即（a，b）×[a，b]=a×b。
所以，求两个数的最小公倍数，就可以先求出它们的最大公约数，然后用上述公式求出它们的最小公倍数。
经典难题：最大公约数与最小公倍数
最大公约数与最小公倍数（1）1、证明：对所有的正整数n，分数n2n-不可约。
n 2n2、正整数a-,a2, ,a49的和为999，令d为a-’a?, 849的最大公约数，d的最大值为多少？3、确定所有的三元正整数组（a,b,c），使得a b c是a,b,c的最小公倍数。
4、求所有的正整数a,b，使得（a,b） 9[a,b] 9（a b） 7ab。
5、从1,2,3 ,20这20个数中挑选几个数，要使选出的数中，任何两数的最小公倍数也在选出的数中，则最多可以选出多少个数？ab6、设正整数a,b,c的最大公约数为1，并且一竺c。
证明：a b是一个完全平方数。
a b最大公约数与最小公倍数（2）1、把1, 2，，19分成n组，每组至少1个数，使得有2个数以上的各组中任意2个数的最小公倍数不在同一组，求n的最小值。
2、自然数a1,a2, ,a n的和为1001，设d为&@, 4。
的最大公约数，求d的最大值。
3、设a, m,n为正整数，a 1，且a m1a n1。
证明：mn。
4、设k为正奇数，证明：1 2 n整除1k 2k n k。
5、设[r, s]表示正整数r和s的最小公倍数，求有序三元正整数组（a, b,c）的个数，其中[a,b] 1000,[b,c] 2000,[c,a] 2000。
能的n 值的总和是多少?（m, n ） m n ，证明： m,n 中有一个整除另一个。
m5、费尔马数F n 定义为F n 22 1。
证明：对任意不同的正整数 m,n ，有（F n ,F m ） 1。
6、两数之和为667，它们的最小公倍数除以最大公约数所得的商等于 120,求这两数。
最大公约数与最小公倍数（3）1、对自然数x, y ，称（x, y ）为一个数组，此外还规定当 x y 时，数组（x, y ）与（y,x ）是不同的数 组。
如果自然数 x, y 的最小公倍数为30，求这样的数组（x, y ）的个数。
2、一个大于1的自然数，如果它恰好等于其不同真因子（除 1及本身以外的因子）的积，那么称它 为“好的”。
小学五年级数学最大公约数和 最小公倍数应用题
最大公约数和最小公倍数应用题应用最大公约数与最小公倍数方法求解的应用题，叫做公约数与人数公倍数问题。
解题的关键是先求出几个数的最大公约数或最小公倍数，然后按题意解答要求的问题。
例1、有三根铁丝，一佷长18米，一根长24米，一根长30米。
现在要把它们截成同样长的小段。
每段最长可以有几米？一共可以截成多少段？截成的小段一定是18、24、30的最大公约数。
先求这三个数的最大公约数，再求一共可以截成多少段。
（18、24、30）＝6（18+24+30）÷6＝12段例2、一张长方形纸，长60厘米，宽36厘米，要把它截成同样大小的长方形，并使它们的面积尽可能大，截完后又正好没有剩余，正方形的边长可以是多少厘米？能截多少正方形？要使截成的正方形面积尽可能大，也就是说，正方形的边长要尽可能大，截完后又正好没有剩余，这样正方形边长一定是60和36的最大公约数。
（36、60）＝12（60÷12）×（36÷12）＝15个例3、用96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束。
如每个花束里的红玫瑰花的朵数相同，白玫瑰花的朵数也相同，最多可以做多少个花束？每个花束里至少要有几朵花？要把96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束，每束花里的红白花朵数同样多，那么做成花束的的个数一定是96和72的公约数，又要求花束的个数要最多，所以花束的个数应是96和72的最大公约数＞1、最多可以做多少个花束（96、72）＝242、每个花束里有几朵红玫瑰花96÷24＝4朵3、每个花束里有几朵白玫瑰花72÷24＝3朵4、每个花束里最少有几朵花4+3＝7朵例4、公共汽车站有三路汽车通往不同的地方。
第一路车每隔5分钟发车一次，第二路车每隔10分钟发车一次，第三路车每隔6分钟发车一次。
三路汽车在同一时间发车以后，最少过多少分钟再同时发车？这个时间一定是5的倍数、10的倍数、6的倍数，也就是说是5、10和6的公倍数，“最少多少时间”，那么，一定是5、10、6的最小公倍数。
最大公约数和最小公倍数的比较
最大公约数和最小公倍数的比较教学目标(一)进一步理解并掌握最大公约数和最小公倍数的概念，分清求最大公约数和最小公倍数的相同点和不同点。
(二)培养学生仔细、认真的做题习惯和比较的思维方法。
(三)培养学生观察、分析、比较的能力。
教学重点和难点最大公约数和最小公倍数异同点的比较。
教学用具教具：小黑板，投影片。
教学过程设计(一)复习准备教师：①什么叫最大公约数和最小公倍数？②怎样求最大公约数和最小公倍数？③求下面各题的最大公约数和最小公倍数？(口答)8和1613和262和97和15教师：对上面几道题你是怎么想的？各有什么特点？你能发现什么规律？明确：①两个数有倍数关系，最大公约数最较小数，最小公倍数是较大数。
②两个数互质，最大公约数是1，最小公倍数是两个数乘积。
(二)学习新课1．出示例1。
求28和42的最大公约数和最小公倍数。
(要求学生独立完成。
)学生口述教师板书。
28和42的最大公约数是：2×7=1428和42的最小公倍数是2×7×2×3=842. 出示例2求30和36的最大公约数和最小公倍数。
30和36的最大公约数是：2×3=630和36的最小公倍数是2×3×5×6=180教师：观察上面两道例题，谁能说出求最大公约数和求最小公倍数有什么地方相同？什么地方不同？(讨论)在讨论的基础上，总结出下面的结论。
教师：为什么求最大公约数只要把所有除数乘起来，而求最小公倍数就要把所有除数和商都乘起来呢？明确：求最大公约数是两个数公有质因数的积；求最小公倍数既要包含两个数公有质因数，又要包括各自独有的质因数。
教师：既然求两个数的最大公约数和最小公倍数的短除过程是相同的，那么，我们就可以用一个短除式来表示。
例5怎样做简便？(由学生完成。
)3．出示做一做。
根据下面的短除，你能很快说出24和36的最大公约数和最小公倍数吗？(三)巩固反馈1．根据下面的短除，选择正确答案。
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如果数a能被数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做作a的约数．约数和倍数都表示一个数
与另一个数的关系，不能单独存在．如只能说16是某数的倍数，2是某数的约数，而不能孤
立地说16是倍数，2是约数．倍与倍数是不同的两个概念，倍是指两个数相除的商，它可以
是整数、小数或者分数．倍数只是在数的整除范围内，相对于约数而言的一个数字概念，表
示的是能被某一个自然数整除的数，它必须是一个自然数．几个自然数公有的约数，叫做这
几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数．例如12，16的公约数有1，
2，4，其中最大的一个是4，4是12与16的最大公约数，一般记为（12，16）=4．12，15，
18的最大公约数是3，记为（12，15，18）=3．常用的求最大公约数的方法是分解质因数法
和短除法．分解质因数法，把每个数分别分解质因数，再把各数中的全部公有质因数提取出
来连乘，所得的积就是这几个数的最大公约数．例如，求24和60的最大公约数．24=2223，
60=2235，24与60的全部公有的质因数是2，2和3，它们的积是223=12，所以（24，60）
=12．短除法，先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所有的商互质为止，然后把所有的
除数连乘起来，所得的积就是这几数的最大公约数．例如，求24，48，60的最大的公约数．（24，
48，60）=232=12几个自然数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做
这几个数的最小公倍数．例如4的倍数有4，8，12，16，，6的倍数有6，12，18，24，4和
6的公倍数有12，24，，其中最小的是12，一般记为[4，6]=12．12，15，18的最小公倍数是
180，记为[12，15，18]=180．常用的求最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法．分解质
因数法，首先把这几个数先分别分解质因数，再把各数中的全部公有的质因数和独有的质因
数提取出来连乘，所得的积就是这几个数的最小公倍数．例如求6和15的最小公倍数．6=23，
15=35，6和15的全部公有的质因数是3，6独有质因数是2，15独有质因数是5，235=30，
30里面包含6的全部质因数2和3，还包含了15的全部质因数3和5，且30是6和15的公
倍数中最小的一个，所以[6，15]=30．短除法，先用这几个数的公约数去除每一个数，再用
部分数的公约数去除，并把不能整除的数移下来，一直除到所得的商中每两个数都是互质数
为止，然后把所有的除数和商连乘起来，所得的积就是这几个数的最小公倍数．例如求12，
15，18的最小公倍数．[12，15，18]=32253=180在解有关最大公约数、最小公倍数的问题时，
常用到以下结论：（1）如果两个数是互质数，那么它们的最大公约数是1，最小公倍数是这
两个数的乘积．例如8与9，它们是互质数，所以（8，9）=1，[8，9] =72．（2）如果两个
数中，较大数是较小数的倍数，那么较小数就是这两个数的最大公约数，较大数就是这两个
数的最小公倍数．例如18与3，183=6，所以（18，3）=3，[18，3]=18．（3）两个数分别除
以它们的最大公约数，所得的商是互质数．例如8和14分别除以它们的最大公约数2，所得
的商分别为4和7，那么4和7是互质数．（4）两个数的最大公约数与它们的最小公倍数的
乘积等于这两个数的乘积．例如12和16，（12，16）=4，[12，16]=48，有448=1216．下面
讨论有关最大公约数、最小公倍数的问题．例1 将长200厘米，宽120厘米，厚40厘米的
长方体木料锯成同样大小的正方体木块，而没有剩余，共有多少种不同的锯法？当正方体的
边长是多少时，锯成的小木块的体积最大，共有多少块？分析：由题意知，锯成的小正方体
的边长应能整除200，120和40，也就是说，小正方体的边长是这三个数的公约数，得出的
不同的公约数的个数就代表有多少种不同的锯法．另外要求锯成的小木块的体积最大时的正
方体的边长，只要使小正方体的边长为最大就行了，即求200，120和40的最大公约数．最
后可求得锯的块数。解：40的约数个数为（3+1）（1+1）=8锯的块数（20040）（12040）（4040）
=531=15答：共有8种锯法，当正方体的边长是40厘米时，锯成的小木块的体积最大，共有
15块．例2 求1300到1400玻璃球数，使之分别按三个三个数，四个四个数，五个五个数，
六个六个数，最后都差一个，改为七个七个数时，正好数完．分析：这个数必然是3，4，5，
6的公倍数差1，而又是7的倍数．3，4，5，6的最小的公倍数是60，因此这个数可表示为
60k1（k是自然数）．当k=1时，601-1=59，被7除余3；当k=2时，602-1=119，被7整除．符
合三个三个数，四个四个数，五个五个数，最后都差一个，且七个七个数，正好数完，但所
求数要求在1300至1400之间，只要在119基础上，增加3，4，5，6，7的最小公倍数的整
数倍就可得到所求．解：因为（3，4，5，6）=60，因此这个数可表示为60k-1（k是自然数），
当k=2时，602-1=119能被7整除；又（3，4，5，6，7）=420，所以这个数可表示为119+420m
（m是自然数），当m=3时，119＋4203=1359，1359即为所求．例3 两个数的最大公约数是
15，最小公倍数是360，且这两个数相差75，求这两个数．分析：根据最大公约数、最小公
倍数的定义，36015=24，24是所求的两个数它们各自独有的不同的约数的乘积，并且它们的
这两个约数必然互质，即用所求的两个数的最大公约数分别除这两个数所得的商的积等于24，
且24必是两个互质数的乘积，很容易得到24=124=38，1与24，3与8分别互质，这样得到
两组解：151=15，1524=360；153=45，158=120；且120-45=75，得到了问题的解．解：因为
36015=24，24=124=38151=15，1524=360；153=45，158=120；且120-45=75所以这两个数分
别为45，120．例4 试用2，3，4，5，6，7六个数字组成两个三位数，使这两个三位数与
540的最大公约数尽可能大？分析：因为540=22335，而2，3，4，5，6，7中只有一个5，
因此这六个数字组成的两个三位数中不会有公约数5，所以这两个三位数与540的最大公约
数只可能为2233=108，再进行试验，1082=216，216中1不是已知数字，1083=324，还剩5，
6，7三个数字，而1087=756，于是问题得到解决．解：因为540=22335，所以2，3，4，5，
6，7这六个数组成的两位数与540的最大公约数只可能为2233=108，经试验得到1083=324，
1087=756，所以324，756即为所求．例5 在800米的环岛上，每隔50米插一面彩旗，后来
又增加了一些彩旗，就把彩旗的间隔缩短了，起点的彩旗不动，重新插完后发现，一共有4
根彩旗没动，问现在的彩旗间隔多少米？分析：800米环岛每隔50米插一面彩旗，共插
80050=16根，重新插完后，有4根没动，而这4根中的任意相邻的两根间的距离为50（164）
=200米，重新插完后每相邻的两根彩旗间的距离与50的最小公倍数是200，并且这个距离一
定小于50米，把符合这样条件的数求出来即为所求．解：因为80050＝16（根），重新插完
后，在这4根不动的彩旗中，任意相邻的两根间的距离为：50（164）=200米，重新插后，
任意相邻两根的距离为a米，则[a，50］=200，且a＜50．又因为200=2352，50＝252，根据
最小公倍数的定义，a=23或235，即现在的彩旗间隔是8米或40米．