D4_2微积分基本定理
微积分学基本定理
原式 2 xdx 5dx 6.
0 1
1
2
o
1
2
x
例3
求
1
2
解
1 当 x 0 时， 的一个原函数是ln | x | , x 1 1 1 dx 2 x ln | x | 2 ln1 ln 2 ln 2.
1 dx. x
例 4 计算曲线 y sin x 在[0, ]上与 x 轴所围 成的平面图形的面积.
微积分学基本定理
一、问题的提出
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系
设某物体作直线运动，已知速度v v ( t ) 是时 t 的一个连续函数，且v ( t ) 0 ， 间间隔[T1 , T2 ]上 求物体在这段时间内所经过的路程.
变速直线运动中路程为
T
T2
1
v ( t )dt
另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) s(T1 )
b a b b a a
(4)性质 : 1) Cf ( x )dx C f ( x )dx 2) f ( x ) g ( x )dx
a b
b
a
f ( x )dx g ( x )dx
a b c
b
3) f ( x )dx
a
b
c
a
f ( x )dx f ( x )dx
解
面积 A sin xdx
0
y
cos x 2.
0
o
x
计算定积分的方法: f ( x )dx
a
b
(1)定义法 : f ( x )dx lim
b a n i 1
微积分学基本定理
(2)
3
(2x
1
1 x2
)dx
(3)0 sin xdx;
2
(4) sin xdx;
2
(5)0 sin xdx;
例1
求
2 0
(
2
cos
x
sin
x
1)dx
.
解
原式
2sin x cos x
x2 0
3
. 2
例2
设
f
(x)
2x 5
0 1
x x
b a
f
( x)dx
F ( x) |ba
F (b)
F (a)
计算定积分的方法:
b
f ( x)dx
a
(1)定 义 法
( 2)面 积 法(曲 边 梯 形 面 积)
(3)公式法(微积分基本定理)F / ( x) f ( x)
b a
f
( x)dx
F ( x) |ba
F (b)
T2 v(t )dt
T1
s(T2 ) s(T1).
其中 s(t) v(t).
三、牛顿—莱布尼茨公式
微积分基本定理
如果F ( x) 是连续函数 f ( x) 在区间[a,b] 上
的一个原函数，则ab f ( x)dx F (b) F (a).
牛顿—莱布尼茨公式
b
a
f
( x)dx
a
(1)定义法:
b a
n
f ( x)dx lim n i 1
f
(
微积分学基本定理
x ln x x (7 ) log a xdx ln a (9) cos xdx sin x C
计算不定积分: (1) ( x 3)( x 2)dx; ( x 1)( x 2) ( 2) dx; x cos 2 x ( 3) dx cos x sin x
10
( 2) ( 2 x 1) dx;
3
( 3) sin 2 xdx (4) cos(3 x 1)dx (5) sin mxdx
2
例1:计算由曲线y2=x,y=x2所围图形 的面积S
例2:计算由直线y=x-4,曲线 y 以及x轴所围图形的面积S.
2x
作业:P67A#1(注意画图)
b
1 计算 : (1) dx; 1 x 3 1 ( 2) ( 2 x 2 )dx 1 x
2
( 3) sin xdx;
0
(4) sin xdx;
2
(5) sin xdx;
0
2
例1
求 ( 2 cos x sin x 解
原式 2 sin x cos x x 0
2
2 2 x 0 x 1 例2 设 f ( x ) , 求 0 f ( x )dx . 1 x 2 5
3 . 2
解
0
2
f ( x )dx 0 f ( x )dx 1 f ( x )dx
1
2
y
在[1,2]上规定当x 1 时， f ( x ) 5 ,
解
面积 A sin xdx
0
y
cos x 2.
0
o
x
计算定积分的方法: f ( x )dx
微积分基本定理
例1.4 计算例5.1.1中的积分.
解 由微积分基本公式(5 - 4)得
1 x2dx 0
1 3
x3
1 0
1 3
例1.5 求定积分
1 dx
11 x2
解
1 dx
11 x2
(arctan) 1 1
4
4
2
例1.6 求
解 因为 所以
3
x 1 dx 1
1 x, 1 x 1
x
1
x
1,
1 x 3
d x3 dt
d 0 dt
x3 dt
dx x2
1 t2
dx
x2
1t2 0
1t2
d x3 dt
x2 dt 3x2
2x
dx
0
1t2 0
1 t2 1 x6 1 x4
例1.2 求
x cos t2dt
lim 0
x0
x
解 该极限的分子、分母都趋于零,故可用洛必达法则求解,即
lim
对f(x)在[x, x+Δx] 上应用定积分中值定理得
x x
x f (t)dt f ( )x
( [x, x x])
于是
'(x) lim (x) lim f ( ) f (x)
x0 x
x
x
例如,设f(t)=2t, a=1, b=10,则(x) a f (t)dt 表示由y=2t, t=1, t=x
F(x) - Φ(x) = F(a)
接着将上式代入 ( x) 得
x
a
f
(t)dt
x
a f (t)dt F (x) F (a)
令上式中的x=b, 即可证明.
微积分学基本定理
计算不定积分: (1) ( x 2)( x 2)dx;
2 2
( 2)
x x5 dx; 2 x
4 2
( 3) ( x 2) x dx (4) (sin x cos x ) sin 2 xdx
2
( 5)
xx e dx 3 x
3 x
计算不定积分: (1) ( x 1) dx;
v ( t )dt s(T2 ) s(T1 ). 其中 s(t ) v(t ). T
1
T2
三、牛顿—莱布尼茨公式
微积分基本定理
[a , b ] 上 如果F ( x ) 是连续函数 f ( x ) 在区间
的一个原函数，则a f ( x )dx F (b) F (a ) .
b a b b a a
(4)性质 : 1) Cf ( x )dx C f ( x )dx 2) f ( x ) g ( x )dx
a b
b
a
f ( x )dx g ( x )dx
a b c
b
3) f ( x )dx
a
b
c
a
f ( x )dx f ( x )dx
2
2 2 x 0 x 1 例2 设 f ( x ) , 求 0 f ( x )dx . 1 x 2 5
3 . 2
解
0
2
f ( x )dx 0 f ( x )dx 1 f ( x )dx
1
2
y
在[1,2]上规定当x 1 时， f ( x ) 5 ,
解
面积 A sin xdx
0
y
定积分的微积分基本定理
定积分的微积分基本定理微积分是数学中非常重要的一门学科，通过微积分的学习可以更好地解决现实生活中的问题。
其中，定积分是微积分中非常重要的一个概念，定积分的微积分基本定理则是定积分的核心概念。
本文将围绕这个主题进行详细讲解。
一、什么是定积分在学习定积分之前，首先需要了解什么是积分。
积分可以被理解为对函数曲线下的面积进行求和的过程。
而定积分则是指在一定范围内对函数进行积分的过程。
比如我们要求在区间$[a,b]$上函数$f(x)$的定积分，可以写作$\int_{a}^{b}f(x)dx$，其中dx表示微小的区间。
二、微积分基本定理微积分基本定理是定积分中非常重要的一个概念，它表明了某个函数的导数和积分之间存在一定的关系。
具体来说，微积分基本定理有两条，分别如下。
第一条基本定理：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则定义在区间[a,b]上的函数F(x) = $\int_{a}^{x}f(t)dt$在[a,b]上可导，且$F'(x)=f(x)$。
这个定理说明了定积分和导数之间的关系，即如果我们知道了一个函数在某一个区间内的导数，那么我们就可以求出它在该区间内的积分。
相对于求导数，求积分的过程要更加复杂，所以这个定理对于我们来说有很大的帮助。
第二条基本定理：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$，其中$F(x)$是函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的一个原函数。
这个定理则说明了积分和原函数之间的关系。
由于在求导数的时候，我们还需要知道函数的一个原函数，而求原函数的过程又比求导数更加复杂，因此这个定理对我们的作用同样非常重要。
三、微积分基本定理的应用微积分基本定理可以应用于很多领域中的问题。
比如在物理学中，我们需要求出某个物体的位移、速度和加速度的变化率，这些都需要通过积分来求解。
而在金融学中，我们需要通过定积分来求出复利的收益率。
此外，在实际应用中，我们常常还需要通过微积分基本定理来计算某个函数在某个区间内的平均值、变化率等等。
微积分基本公式和基本定理
(14) sh xdx ch x C
sh x ex ex 2
ch x ex ex 2
(15) ch xdx sh x C
23
例11. 求
dx . x3 x
解: 原式 =
x
4 3
dx
x
4 3
1
4 3
1
C
3x13 C
例12 求
sin
x 2
cos
x 2
dx
.
解: 原式=
xdx,
于是
2 e xdx
2
xdx.
2
2
0
0
例9
证明2e
1 4
2 e x2 xdx 2e2 .
0
2
第二节
第三章
微积分基本公式与基本定理
一、微积分基本公式 二、微积分基本定理 三、不定积分
3
一、微积分基本公式
在变速直线运动中, s(t) v(t) 物体在时间间隔
内经过的路程为 vT2 (t)d t s(T2 ) s(T1 ) T1
定理 2.1 ( Newton Leibniz公式)
b f (x)dx F(b) F(a) F(x) b
a
a
----微积分基本公式
4
注意
当a
b时， b a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a ) 仍成立.
解(1)
6
例2
求
2 0
(
2
cos
x
sin
x
1)dx
.
解
原式
2sin
x
cos
x
x2 0
高中数学 第四章 定积分 4.2 微积分基本定理课件82高二选修22数学课件
sinx d x ( c o sx)0 2 ( c o s2 ) ( c o s0 ) 0
0 2021/12/8
第十页，共十八页。
2021/12/8
我们发现： （１）定积分的值可取(kěqǔ)正值也可取
(kěqǔ)负值，还可以是0；
（2）当曲边梯形(tīxíng)位于x轴上方时，
定积分的值取正值；
(2)解:∵ (sinx)' cosx
2cosxdxsin sin0101
0
2
（3）解: ∵ (cosx)' sinx
2sinxd x co s ( co s0 )0 1 1
0
2
公 式 3: a bsinxdx=(-cosx) | b a 公 式 4: abcosxdx=sinx|b a
y
上述(shàngshù)曲边梯形面积的负值。
b
Sa[f(x)]dx
b
f
(x)dx．，
a
Oa
S
2021/12/8
第十三页，共十八页。
yf (x)
b
Sa[f(x)]dx
bx S
yf (x)
定积分(jīfēn)的几何意义：
b f(x ) d x在几何上表示由yf (x)、xa、xb 与 a x 轴所围成的曲边图形面积(miàn jī)的代数和(即x轴上 方的面积减去x轴下方的面积).
第五页，共十八页。
hi
Si
…
S2 S1
t i … t n 1 b (b t n ) t
牛顿(niú dùn)—莱布尼茨公式
定理(dìnglǐ) （微积分基本定理）
如果 f ( x ) 是区间[a,b]上的连续函数,并且 F(x)f(x) ,则
微积分定理和公式
微积分定理和公式 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT一、函数【定义】 设在某一变化过程中有两个变量x 和y ,若对非空集合D 中的每一点x ,都按照某一对应规则f ,有惟一确定的实数y 与之相对应,则称y 是x 的函数,记作x 称为自变量,y 称为因变量,D 称为函数的定义域,y 的取值范围即集合{}D x x f y y ∈=),(|称为函数的值域.xoy 平面上点的集合{}D x x f y y x ∈=),(|),(称为函数)(x f y =的图形.定义域D (或记f D )与对应法则f 是确定函数的两个要素.因此称两个函数相同是指它们的定义域与对应法则都相同.（二）函数的几何特性 1．单调性（1）【定义】 设函数)(x f 在实数集D 上有定义,对于D 内任意两点21,x x ,当 1x ＜2x 时,若总有)(1x f ≤)(2x f 成立,则称D x f 在)(内单调递增（或单增）；若总有 )(1x f ＜)(2x f 成立,则称)(x f 在D 内严格单增,严格单增也是单增.当)(x f 在D 内单调递增时,又称D x f 是)(内的单调递增函数.单调递增或单调递减函数统称为单调函数.2．有界性【定义】 设函数内有定义在集合D x f )(,若存在实数M ＞0,使得对任意D x ∈,都有|)(|x f ≤M ,则称)(x f 在D 内有界,或称)(x f 为D 内的有界函数.【定义】 设函数内有定义在集合D x f )(,若对任意的实数M ＞0,总可以找到一D x ∈,使得|)(|x f ＞M ,则称)(x f 在D 内无界,或称)(x f 为D 内的无界函数.【定义】 设函数)(x f 在一个关于原点对称的集合内有定义,若对任意D x ∈,都有))()()(()(x f x f x f x f =--=-或,则称)(x f 为D 内的奇（偶）函数.奇函数的图形关于原点对称,当)(x f 为连续的函数时,)(x f =0,即)(x f 的图形过原点.偶函数的图形关于y 轴对称.关于奇偶函数有如下的运算规律： 设)()(21x f x f ±为奇函数,)(),(21y g x g 为偶函数,则)()(21x f x f ±为奇函数；)()(21x g x g ±为偶函数； )()(11x g x f ±非奇偶函数；)()(11x g x f ⋅为奇函数；)()(),()(2121x g x g x f x f ⋅⋅均为偶函数. 常数C 是偶函数,因此,奇函数加非零常数后不再是奇函数了.利用函数奇偶性可以简化定积分的计算.对研究函数的单调性、函数作图都有很大帮助. 4．周期性【定义】 设函数内有定义在集合D d x f )(,如果存在非零常数T,使得对任意D x ∈,恒有)()(x f T x f =+成立,则称)(x f 为周期函数.满足上式的最小正数T,称为)(x f 的基本周期,简称周期.我们熟知的三角函数为周期函数(考纲不要求),除此以外知之甚少.][x x y -=是以1为周期的周期函数.][x y =与][x x y -=的图形分别如图1-1(a)和图1-1(b)所示.（三）初等函数 1．基本初等函数（1）常数函数 C y =,定义域为(-∞,+∞),图形为平行于x 轴的直线.在y 轴上的截距为c .（2）幂函数 αx y =,其定义域随着α的不同而变化.但不论α取何值,总在（1,+∞）内有定义,且图形过点（1,1）.当α＞0时,函数图形过原点（图1-2）（a ） (b )图1-2（3）指数函数 )1,0(≠=ααα x y ,其定义域为（-∞,+∞）.当0＜α＜1时,函数严格单调递减.当α＞1时,函数严格单调递增.子数图形过点（0,1）.微积分中经常用到以e 为底的指数函数,即x e y =（图1-3）（4）对数函数 )1,0(log ≠=ααα x y ,其定义域为（1,+∞）,它与x y α=互为反函数.微积分中常用到以e 为底的对数,记作nx y 1=,称为自然对数.对数函数的图形过点（1,0）（图1-4）(图1-3) (图1-4)另有两类基本初等函数：三角函数与反三角函数,不在考纲之内.对基本初等函数的特性和图形要熟练地掌握,这充分条件判断、导数和定积分应用中都很重要.例如,设f b a x b a x f ),,(,),()(∈对任意区间内二阶可导在″)(x ＜0.则 (1)f ′)(x 在),(b a 内严格单调减少；（2）)(x f 在),1(b 上为凸弧,均不充分.此题可以用举例的方法来说明（1）、（2）均不充分.由初等函数的图形可知,4x y -=为凸弧.y ′=34x -在（－∞,∞＋）上严格单调递减,但y ″=-122x ≤0,因此（1）,（2）均不充分,故选E.此题若把题干改成f ″)(x ≤0,则（1）,（2）均充分,差别就在等于零与不等于零.可见用初等函数图形来判断非常便捷.2．反函数【定义】 设函数)(x f y =的定义域为D ,值域为R ,如果对于每一个R y ∈,都有惟一确定的D x ∈与之对应,且满足)(x f y =x 是一个定义在R 以y 为自变量的函数,记作并称其为)(x f y =反函数.习惯上用x 作自变量,y 作因变量,因此)(x f y =反函数常记为R x x f y ∈=-),(1. 函数)(x f y =与反函数)(1x f y -=的图形关于直线x y =对称.严格单调函数必有反函数,且函数与其反函数有相同的单调性.x y a y a x log ==与互为反函.∈=x x y ,2[0,+∞]的反函数为x y =,而∈=x x y ,2（－∞,0）的反函数为x y -=（图1-2（b ））.3．复合函数【定义】 已知函数f f R y D u u f y ∈∈=,),(.又D x x u ∈=),(ϕϕ,u ≤R ϕ,若f f R D 非空,则称函数为函数)()(x u u f y ϕ==与的复合函数.其中y 称为因变量,x 称为自变量,u 称为中间变量.4．初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算而得到的一切函数统称为初等函数,初等函数在其定义域内有统一的表达式.（四）隐函数若函数的因变量y 明显地表示成)(x f y =的形式,则称其为显然函数.1),13(1,222-=-==x y x n y x y 等.设自变量x 与因变量y 之间的对应法则用一个方程式0),(=y x F 表示,如果存在函数)(x f y =（不论这个函数是否能表示成显函数）,将其代入所设方程,使方程变为恒等式： 其中f D 为非空实数集.则称函数)(x f y =由方程0),(=y x F 所确定的一个隐函数.如方程1=+y x 可以确定一个定义在[0,1]上的隐函数.此隐函数也可以表示成显函数的形式,即但并不是所有隐函数都可以用x 的显函数形式来表示,如0=++y x e xy 因为y 我法用初等函数表达,故它不是初等函数.另外还需注意,并不是任何一个方程都能确定隐函数,如0122=++y x .（五）分段函数有些函数,对于其定义域内的自变量x 的不同值,不能用一个统一的解析式表示,而是要用两个或两个以上的式子表示,这类函数称为分段函数,如 都是定义在（－∞,＋∞）上的分段函数.分段函数不是初等函数,它不符合初等函数的定义.二、极限（不在考试大纲内,只需了解即可）极限是微积分的基础. （一）数列极限按照一定顺序排成一串的数叫做数列,如n n a a a a ⋅ 21,称为通项. 1．极限定义【定义】 设数列{}n a ,当项数n 无限增大时,若通项n a 无限接近某个常数A ,则称数列{}n a 收敛于A ,或称A 为数列{}n a 的极限,记作否则称数列{}n a 发散或n n a ∞→lim 不存在.2．数列极限性质（1）四则极限性质 设b y a x n n n n ==∞→∞→lim ,lim ,则（2）a x a x k n n n n =⇔=+∞→∞→lim lim （k 为任意正整数）.（3）若a x n n =∞→lim ,则数列{}n x 是有界数列.（4）夹逼定理 设存在正整数0N ,使得0N n ≥时,数列{}{}{}n n n z y x ,,满足不等式n n n y x z ≤≤. 若a z y n n n n ==∞→∞→lim lim ,则a x n n =∞→lim . 利用此定理可以证明重要极限e n nn =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim （=,是一个无理数）. （5）单调有界数列必有极限 设数列{}n x 有界,且存在正整数0N ,使得对任意0N n ≥都有n n x x ≤+1（或n n x x ≥+1）,则数列{}n x 的极限一定存在.利用此定理可以证明重要极限e n nn =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim （=,是一个无理数）. （二）函数的极限1．∞→x 时的极限【定义】 设函数)(x f 在)0(||>≥a a x 上有定义,当∞→x 时,函数)(x f 无限接近常数A ,则称)(x f 当∞→x 时以A 为极限,记作当+∞→x 或-∞→x 时的极限当x 沿数轴正（负）方向趋于无穷大,简记+∞→x （-∞→x ）时,)(x f 无限接近常数A ,则称)(x f 当+∞→x （-∞→x ）时以A 为极限,记作 3．0x x →时的极限【定义】 设函数)(x f 在0x 附近（可以不包括0x 点）有定义,当x 无限接近)(00x x x ≠时,函数)(x f 无限接近常数A ,则称当0x x →时,)(x f 以A 为极限,记作 4．左、右极限若当x 从0x 的左侧（0x x <）趋于0x 时,)(x f 无限接近一个常数A ,则称A 为0x x →时)(x f 的左极限,记作.)(lim 0A x f x x =-→ 或 A x f =-)0(0若当x 从0x 的左侧（0x x >）趋于0x 时,)(x f 无限接近一个常数A ,则称A 为0x x →时)(x f 的右极限,记作.)(lim 0A x f x x =+→ 或 A x f =+)0(0（三）函数极限的性质 1．惟一性若,B x f A x f x x x x ==→→)(lim ,)(lim 00则A=B . 2．局部有界性若A x f x x =→)(lim 0.则在0x 的某邻域内（点0x 可以除外）,)(x f 是有界的. 3．局部保号性若A x f x x =→)(lim 0.且A ＞0（或A ＜0＝,则存在0x 的某邻域（点0x 可以除外）,在该邻域内有)(x f ＞0（或)(x f ＜0＝。
微积分的基本定理(2)
b f (t)dt 称为积分下限函数. x
4
定理 6.1 (原函数存在性定理)
若 f (x) C([a,b]), 则 (x) x f (t) d t 在[a,b] a
上可导, 且
dx
'(x) d x a f (t) d t f (x) (a x b) .
5
例1
(
x
cost dt )
大 学 数 学（一）
—— 一元微积分学
第2节 微积分的基本定理
1
第六章 定积分
第二节 微积分的基本公式
一. 积分上限函数 二. 微积分基本公式
2
一. 积分上限函数 (变上限的定积分)
对可积函数 f (x) 而言, 每给定一对 a, b 值, 就有
确定的定积分值I
b
f
(x)d x
与之对应.
a
这意味着 f (x) 的定积分 b f (x)d x 与它的上下限 a
一个原函数, 则
b a
f
(x)d x
F ( x)
b a
F (b)
F (a).
牛顿— 莱布尼茨公式 将定积分的计算与求原函数的计算联系起来了.
10
例4
(sin x) cos x,
2 cos x d x
0
sin
x
2 0
sin
2
sin 0
1.
11
例5
1 1
11 x2
dx
arctan x
1 1
lim
x0
cos x
x2
lim x0
1
x2
罗必达法则
lim ecos2 x (sin x)