【优选整合】人教A版高中数学 高三一轮 3.3 三角函数的图象和性质 【课件】(共40张PPT)
高考数学(文)复习课件《3-3三角函数的图象与性质》
解析：∵x－π4≠kπ＋π2，∴π≠kπ＋43π，k∈Z.
有 限 公
答案：D
司
菜 单 隐藏
高考总复习 A 数学（文）
抓主干 考点 解密
研考向
要点 探究
悟典题
2．函数f(x)＝2cosx＋52π是(
)
能力 提升
A．最小正周期为2π的奇函数
提素能 高效
B．最小正周期为2π的偶函数
训练
C．最小正周期为2π的非奇非偶函数 山
山
东
φ)(ω>0)的形式，再根据三角函数的单调区间，求出x所在的区间，应特 金
太
别注意，考虑问题应在函数的定义域内．注意区分下列两种形式的函数 阳
书
单调性的不同．
业
有
(1)y＝sinωx－4π；(2)y＝sinπ4－ωx.
限 公 司
菜 单 隐藏
高考总复习 A 数学（文）
抓主干 考点 解密
研考向 要点 探究
研考向
要点
探究 悟典题
所以2kπ＋π6≤x≤2kπ＋56π，k∈Z.
能力
提升 提素能
即函数的定义域为2kπ＋π6，2kπ＋56π(k∈Z)．
高效
训练
(2)32＋sin
y－cos2x＝34－sin
x－cos2x＝sin
x－122＋112.又sin
y＝23－
山
东
sin x，∴－1≤23－sin x≤1，解得－13≤sin x≤1，∴112≤sin x－212＋112
＝
训练
π，a＝2，此时相应的最大值是2，这与所给的图象不相吻合，因此选项 山
B不正确．综上所述，选C.
东 金
答案：C
太 阳
高三一轮复习三角函数的图像与性质精品PPT课件
三角函数的单调性与周期性
例 2 写出下列函数的单调区间及周期： (1)y＝sin－2x＋π3；(2)y＝|tan x|.
(2)观察图象可知，y＝|tan x|的增区间是kπ，kπ＋π2，k∈Z，减 区间是kπ－π2，kπ，k∈Z.最小正周期：T＝π.
探究提高
(1)求形如 y＝Asin(ωx＋φ)或 y＝Acos(ωx＋φ) (其中 A≠0，ω>0) 的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答．列不等 式的原则是：①把“ωx＋φ (ω>0)”视为一个“整体”；②A>0 (A<0)时，所列不等式的方向与 y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R) 的单调区间对应的不等式方向相同(反)．
三角函数的图像和性质
考纲下载 理解正弦函数，余弦函数、正切函数的图像；会用 “五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y＝Asin(ωx＋ φ)的简图，理解A、ω、φ的物理意义． 了解周期函数与最小正周期的意义，会求一些简单 三角函数的周期，了解三角函数的奇偶性、单调性、对 称性，并会运用这些性质解决问题
三角函数的对称性与奇偶性
例 3 (1)已知 f(x)＝sin x＋ 3cos x(x∈R)，函数 y＝f(x＋φ) |φ|≤π2的图象关于直线 x＝0 对称，则 φ 的值为________． (2)如果函数 y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点43π，0中心对称， 那么|φ|的最小值为________．
Learning Is Not Over. I Hope You Will Continue To Work Hard
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
1. “五点法”作图原理
在确定正弦函数y＝sinx在[0, 2π]上的图象形状时,
人教A版高考总复习一轮理科数学精品课件 第4章 三角函数、解三角形 第4节 三角函数的图象与性质
π
0,
2
,
5π
2kπ- 6
π
≤x≤2kπ+6 (k∈Z).
5π
π
,
2π
+
6
6
,∴函数的单调递增区间为
π
0,
6
.
(k∈Z).
考向2.由单调性求参数
典例突破
例 4.已知 ω>0,函数 f(x)=sin
是
.
π
+
4
在
π
,π
2
上单调递减,则 ω 的取值范围
答案:
1 5
,
2 4
π
π
解析:由2 <x<π,ω>0,得 2
,k∈Z
− 2 =-sin 2 −
π
3
的单调递减区间是函数
的单调递增区间.
π
≤2x-3
π
≤2kπ+ 2 ,k∈Z,得
π
kπ-12
故所给函数的单调递减区间为 π −
5π
≤x≤kπ+12 ,k∈Z.
5π
π
, π +
12
12
,k∈Z.
(2)作出函数y=|tan x|的图象,如图.
观察图象可知,函数 y=|tan x|的单调递增区间为
3π
, −1
2
,(2π,0)
.
在余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象上,五个关键点是:
(0,1)
,
π
2
, 0 ,(π,-1),
3π
,0
2
,(2π,1).
微点拨函数y=sin x,x∈[0,2π],y=cos x,x∈[0,2π]的五个关键点的横坐标分别
高三数学人教版a版数学(理)高考一轮复习教案：3.3 三角函数的图象与性质 word版含答案
第三节三角函数的图象与性质三角函数的图象及性质能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2内的单调性．知识点正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质易误提醒1．正切函数的图象是由直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )隔开的无穷多支曲线组成，单调增区间是⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π，k ∈Z 不能说它在整个定义域内是增函数，如π4<3π4，但是tan π4>tan 3π4，正切函数不存在减区间．2．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．3．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k ∈Z ”这一条件． 必记结论 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时是奇函数，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时是偶函数；函数y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时是偶函数，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时是奇函数．[自测练习]1．函数y ＝tan 3x 的定义域为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠3π2＋3k π，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π6＋k π，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－π6＋k π，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π6＋k π3，k ∈Z 解析：由3x ≠π2＋k π，得x ≠π6＋k π3，k ∈Z .答案：D2．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析：∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos 2x ， ∴f (x )是最小正周期为π的偶函数． 答案：B3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于直线x ＝π3对称B ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 C ．关于直线x ＝－π6对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称解析：∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，∴ω＝2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎫2x ＋π3. 经验证可知f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋π3＝sin π＝0， 即⎝⎛⎭⎫π3，0是函数f (x )的一个对称点． 答案：B4．函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为________，此时x ＝________. 解析：函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z )．答案：5 3π4＋2k π(k ∈Z )考点一 三角函数的定义域、值域|1．函数y ＝cos x －32的定义域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－π6，π6 B.⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π6，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π6，k ∈ZD ．R解析：∵cos x －32≥0，得cos x ≥32，∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z . 答案：C2．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－22C ．0D.22解析：因为0≤x ≤π2，所以－π4≤2x －π4≤3π4，由正弦函数的图象知，1≥sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4≥－22，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－22，故选B. 答案：B3．已知函数f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |，则f (x )的值域是________．解析：f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x (sin x ≥cos x )，sin x (sin x <cos x ).画出函数f (x )的图象(实线)，如图，可得函数的最小值为－1，最大值为22，故值域为⎣⎡⎦⎤－1，22.答案：⎣⎡⎦⎤－1，221．三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．求三角函数值域(最值)的三种方法(1)将所给函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，通过分析ωx ＋φ的范围，结合图象写出函数的值域．(2)换元法：把sin x (cos x )看作一个整体，化为二次函数来解决． (3)数形结合法，作出三角函数图象可求．考点二 三角函数的单调性|(2015·高考重庆卷)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，2π3上的单调性．[解] (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32， 因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而 当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上单调递减．三角函数的单调区间的求法(1)代换法：求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的单调区间时，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可．若ω为负，则要先把ω化为正数．(2)图象法：作出三角函数的图象，根据图象直接写出单调区间．1．已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2]解析：由π2<x <π得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，又y ＝sin t 在区间⎝⎛⎭⎫π2，32π上递减．∴π2ω＋π4≥π2，且ωπ＋π4≤32π，解之得12≤ω≤54.答案：A2．求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调区间．解：把函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x 变为y ＝－tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3.由k π－π2<2x －π3<k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6<2x <k π＋5π6，k ∈Z ，即k π2－π12<x <k π2＋5π12，k ∈Z .故函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )．考点三 三角函数的奇偶性、周期性及对称性|正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一．归纳起来常见的命题角度有： 1．三角函数的周期性． 2．三角函数的奇偶性．3．三角函数的对称轴或对称中心． 4．三角函数性质的综合应用． 探究一 三角函数的周期性1．函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的最小正周期为________． 解析：∵y ′＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的最小正周期T ′＝π， ∴T ＝T ′2＝π2.答案：π22．(2015·高考湖南卷)已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________.解析：由题意，两函数图象交点间的最短距离即相邻的两交点间的距离，设相邻的两交点坐标分别为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，易知|PQ |2＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2，其中|y 2－y 1|＝2－(－2)＝22，|x 2－x 1|为函数y ＝2sin ωx －2cos ωx ＝22sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4的两个相邻零点之间的距离，恰好为函数最小正周期的一半，所以(23)2＝⎝⎛⎭⎫2π2ω2＋(22)2，ω＝π2. 答案：π2探究二 三角函数的奇偶性3．若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )A.π2 B.2π3 C.3π2D.5π3解析：由y ＝sin x ＋φ3是偶函数知φ3＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝3π2＋3k π，k ∈Z ，又∵φ∈[0,2π]，∴φ＝3π2.答案：C探究三 三角函数的对称轴或对称中心4．若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，则ω的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8解析：由题知πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z )⇒ωmin ＝2，故选B.答案：B5．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一条对称轴是( ) A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2解析：∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高(低)点， 故令x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π＋3π4，k ∈Z .即k ＝－1，则x ＝－π4.答案：C探究四 三角函数性质的综合应用6．(2015·揭阳一模)当x ＝π4时，函数f (x )＝sin(x ＋φ)取得最小值，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x ( ) A ．是奇函数且图象关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称 B ．是偶函数且图象关于点(π，0)对称 C ．是奇函数且图象关于直线x ＝π2对称D ．是偶函数且图象关于直线x ＝π对称 解析：∵当x ＝π4时，函数f (x )取得最小值，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝－1，∴φ＝2k π－3π4(k ∈Z )． ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2k π－3π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x －3π4. ∴y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x ＝sin(－x )＝－sin x .∴y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x 是奇函数，且图象关于直线x ＝π2对称． 答案：C7．(2015·高考天津卷)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．解析：f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4，因为函数f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)＝2sin ⎝⎛⎭⎫ω2＋π4＝±2，所以ω2＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，即ω2＝π4＋k π，k ∈Z ，又函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，所以ω2＋π4≤π2，即ω2≤π4，取k ＝0，得ω2＝π4，所以ω＝π2.答案：π2函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性、周期性和对称性(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.(2)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．11.换元法求三角函数的最值问题【典例】 (1)求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值与最小值． (2)求函数y ＝sin x ＋cos x ＋3cos x sin x 的最值．[思路点拨] 利用换元法求解，令t ＝sin x 或令t ＝sin x ＋cos x ．转化为二次函数最值问题．[解] (1)令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎡⎦⎤－22，22.∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54， ∴当t ＝12时，y max ＝54，t ＝－22时，y min ＝1－22.∴函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值为54，最小值为1－22. (2)令t ＝sin x ＋cos x ，∴t ∈[－2， 2 ]． 又(sin x ＋cos x )2－2sin x cos x ＝1， ∴sin x cos x ＝t 2－12，∴y ＝32t 2＋t －32，t ∈[－2，2]，∵t 对＝－13∈[－2，2]，∴y 小＝f ⎝⎛⎭⎫－13＝32×19－13－32＝－53， y 大＝f (2)＝32＋ 2.[方法点评] (1)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可设sin x ＝t ，再化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(2)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可设t ＝sin x ±cos x ，再化为关于t 的二次函数求值域(最值)．[跟踪练习] 当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________．解析：由π6≤x ≤7π6，知－12≤sin x ≤1.又y ＝3－sin x －2cos 2x ＝2sin 2x －sin x ＋1 ＝2⎝⎛⎭⎫sin x －142＋78，∴当sin x ＝14时，y min ＝78， 当sin x ＝1或－12时，y max ＝2.答案：782A 组 考点能力演练1．(2015·唐山期末)函数f (x )＝1－2sin 2x2的最小正周期为( )A ．2πB ．π C.π2D ．4π解析：∵f (x )＝1－2sin 2x 2＝cos x ，∴f (x )的最小正周期T ＝2π1＝2π，故选A.答案：A2．函数f (x )＝cos 2x ＋2sin x 的最大值与最小值的和是( ) A ．－2 B ．0 C ．－32D ．－12解析：f (x )＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －122＋32，所以函数f (x )的最大值是32，最小值是－3，所以最大值与最小值的和是－32，故选C.答案：C3．已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，则b －a 的值不可能是( ) A.π3 B.2π3 C ．πD.4π3解析：画出函数y ＝sin x 的草图分析知b －a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤2π3，4π3.答案：A4．已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＋f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2上递减，则ω＝( )A ．3B ．2C ．6D ．5解析：∵f (x )在⎝⎛⎭⎫π6，π2上单调递减，且f ⎝⎛⎭⎫π6＋f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π22＝0，∵f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π22＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3ω＋π3＝0， ∴π3ω＋π3＝k π(k ∈Z )，又12·2π≥π2－π6，ω>0，∴ω＝2. 答案：B5．若函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0成中心对称，且－π2<φ<π2，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3为( ) A ．奇函数且在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递增 B ．偶函数且在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增 C ．偶函数且在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减 D ．奇函数且在⎝⎛⎫0，π4上单调递减 解析：因为函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0成中心对称，则8π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .即φ＝k π－13π6，k ∈Z ，又－π2<φ<π2，则φ＝－π6， 则y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，所以该函数为奇函数且在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递减，故选D. 答案：D6．(2015·长沙一模)若函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1<T <2，则自然数k 的值为________．解析：由题意知，1<πk<2，即k <π<2k .又k ∈N ，所以k ＝2或k ＝3. 答案：2或37．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π4(ω>0)的最大值与最小正周期相同，则函数f (x )在[－1,1]上的单调增区间为________．解析：由题知2π2ω＝2，得ω＝12π， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx －π4，令－π2＋2k π≤πx －π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－14＋2k ≤x ≤34＋2k ，k ∈Z ，又x ∈[－1,1]，所以－14≤x ≤34，所以函数f (x )在[－1,1]上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－14，34.答案：⎣⎡⎦⎤－14，34 8．已知函数f (x )＝cos x sin x (x ∈R )，给出下列四个命题：①若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2；②f (x )的最小正周期是2π；③f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上是增函数； ④f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称． 其中真命题的是________．解析：f (x )＝12sin 2x ，当x 1＝0，x 2＝π2时，f (x 1)＝－f (x 2)，但x 1≠－x 2，故①是假命题；f (x )的最小正周期为π，故②是假命题；当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，2x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，故③是真命题；因为f ⎝⎛⎭⎫3π4＝12sin 3π2＝－12，故f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称，故④是真命题． 答案：③④9．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<2π3的最小正周期为π. (1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间． 解：∵由f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π， ∴ω＝2.∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )．∴sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)，展开整理得sin 2x cos φ＝0，由已知上式对∀x ∈R 都成立，∴cos φ＝0，∵0<φ<2π3，∴φ＝π2. (2)f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32时， sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝32， 即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝32. 又∵0<φ<2π3，∴π3<π3＋φ<π.∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3. ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z . ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z . 10．(2016·长沙模拟)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 3－π6－2cos 2πx 6. (1)求y ＝f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，当x ∈[0,1]时，求函数y ＝g (x )的最大值．解：(1)由题意知f (x )＝32sin πx 3－32cos πx 3－1＝3·sin ⎝⎛⎭⎫πx 3－π3－1， 所以y ＝f (x )的最小正周期T ＝2ππ3＝6. 由2k π－π2≤πx 3－π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得6k －12≤x ≤6k ＋52，k ∈Z ， 所以y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤6k －12，6k ＋52，k ∈Z . (2)因为函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以当x ∈[0,1]时，y ＝g (x )的最大值即为x ∈[3,4]时，y ＝f (x )的最大值，当x ∈[3,4]时，π3x －π3∈⎣⎡⎦⎤2π3，π，sin ⎝⎛⎭⎫π3x －π3∈ ⎣⎡⎦⎤0，32，f (x )∈⎣⎡⎦⎤－1，12， 即当x ∈[0,1]时，函数y ＝g (x )的最大值为12. B 组 高考题型专练1．(2014·高考陕西卷)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期是( ) A.π2B ．πC ．2πD ．4π解析：由周期公式T ＝2π2＝π. 答案：B2．(2015·高考四川卷)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2x D ．y ＝sin x ＋cos x解析：采用验证法．由y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，可知该函数的最小正周期为π且为奇函数，故选A.答案：A3．(2015·高考浙江卷)函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．解析：由题意知，f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋32，所以最小正周期T ＝π.令π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )，故单调递减区间为⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z )． 答案：π ⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z ) 4．(2014·高考北京卷)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． 解析：记f (x )的最小正周期为T . 由题意知T 2≥π2－π6＝π3， 又f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，且2π3－π2＝π6， 可作出示意图如图所示(一种情况)：∴x 1＝⎝⎛⎭⎫π2＋π6×12＝π3，x 2＝⎝⎛⎭⎫π2＋2π3×12＝7π12， ∴T 4＝x 2－x 1＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π. 答案：π5．(2015·高考北京卷)已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的最小值．解：(1)因为f (x )＝sin x ＋3cos x － 3＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3， 所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为0≤x ≤2π3， 所以π3≤x ＋π3≤π. 当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f (x )取得最小值． 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－ 3.。
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不能
追问3 如何求该函数的值域？ 把sin x看成一个整体，利用换元法转化为求二次函数的值域．
高中数学人教A版必修第一册《三角函 数的图 象与性 质》PP T课件
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新知探究
例3 求下列函数的值域： （1）y＝3－2cos 2x，x∈R； （2）y＝cos2x＋2sin x－2，x∈R． 解：（1）∵－1≤cos 2x≤1，∴－2≤－2cos 2x≤2．
新知探究
例4 设函数 f (x) cos(x π ) ，则下列结论错误的是（ D ） 3
C．f（x＋π）的一个零点为 x π 6
D．f（x）在 ( π ,π) 单调递减 2
解析：对于D项，因为 f (x) cos(x π ) 的递减区间为 3
[2kπ π，2kπ 2π ](k Z) ，递增区间为[2kπ 2π，2kπ 5π ](k Z) ，
3
3
3
3
3
3
又f（x）是偶函数．
∴ f ( π ) f ( π ) sin π 3 ．
3
3
32
新知探究
例2 定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数，若f（x）的
最小正周期是π，且当 x [0 ，π ] 时，f（x）＝sin x， 2
（1）求当x∈[－π，0]时，f（x）的解析式；
（2）画出函数f（x）在[－π，π]上的简图；
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例2 定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数，若f（x）的
最小正周期是π，且当 x [0 ，π ] 时，f（x）＝sin x， 2
（2）画出函数f（x）在[－π，π]上的简图；
解：（2）如图．
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1
2
得到 y tan x ， x ( ， 0 ]的图象．
o
2
-1
2
2
x
y
1
2
o
2
-1
2
x
2
正切曲线
从左图可以看出，正 切曲线是被与 y 轴平行的
一系列直线 x k ， 2
k Z 所隔开的无穷多支 形状相同的曲线组成的．
正切曲线
3．单调性
观察正切曲线可知，正切函数在
区间
如何画出函数 y tan x ， x [0， )的图象？ 2
如图，设 x [0， )，在直角坐标系中画出角 2
x 的终边与单位圆的交点 B(x0，y0)．过点 B 作 x 轴的 垂线，垂足为 M；过点 A(1，0)作 x 轴的垂线与角 x 的 终边交于点 T，则 tanx y0 MB AT AT ．
大．相应地，函数 y tan x ，x [0， )的
A
2
图象从左向右呈不断上升趋势，且向右上方
无限逼近直线 x ． 2
你能借助以上结论，并根据正切函数的性质，画出正切函数的
图象吗？正切函数的图象有怎样的特征？
y
根据正切函数是奇函数，只要画 y tan x ，
x [0， )的图象关于原点的对称图形，就可
，
2
．
又 y tan x 的周期为 ，所以不等式成
立的
x
的取值范围为
3
k ，
2
k
k
Z ．
反馈练习
练习：求函数
y
tan
2x
4
的定义域、周期和单调区间．
解：要使函数
y
tan
2x
4
有意义，自变量
人教A版高中数学高三一轮33三角函数的图象和性质
3.3 三角函数的图象和性质考向1三角函数的定义域及简单的三角不等式1.函数f (x )＝－2tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠π6 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠－π12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π＋π6，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π6，k ∈Z 【解析】 由2x ＋π6≠π2＋k π得x ≠k π2＋π6，k ∈Z ， 所以f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π6，k ∈Z . 【答案】 D2．2sin x －1≥0的解集是________．【解析】 由2sin x －1≥0，得sin x ≥12，结合正弦函数的图象知2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6(k ∈Z)．【答案】 ⎣⎡⎦⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z)1．三角函数定义域的求法(1)应用正切函数y ＝tan x 的定义域求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域．(2)转化为求解简单的三角不等式求复杂函数的定义域．2．简单三角不等式的解法(1)利用三角函数线求解．(2)利用三角函数的图象求解．考向2三角函数的最值与值域(1)(2016·临沂模拟)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3在区间[0,9]上的最大值与最小值之和为________．(2)(2016·成都模拟)函数y ＝cos 2x －2sin x 的最大值为________，最小值为________．【解析】 (1)∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6.∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3≤1，则－3≤y ≤2.∴y max ＋y min ＝2－ 3. (2)y ＝cos 2x －2sin x ＝1－sin 2x －2sin x ＝－(sin x ＋1)2＋2，∵sin x ∈[－1,1]，∴y max ＝2，y min ＝－2.【答案】 (1)2－ 3 (2)2 －2三角函数最值或值域的三种求法1．直接法：利用sin x ，cos x 的值域．2．化一法：化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，确定ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域．3．换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，转化为二次函数，求给定区间上的值域(最值)问题．[变式训练]1．(2014·大纲全国卷)函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为________．【解析】 y ＝cos 2x ＋2sin x ＝－2sin 2x ＋2sin x ＋1，设t ＝sin x (－1≤t ≤1)，则原函数可以化为y ＝－2t 2＋2t ＋1＝－2⎝⎛⎭⎫t －122＋32， ∴当t ＝12时，函数取得最大值32. 【答案】 322．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________．【解析】 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ， ∴x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，a ＋π6， ∵x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，所以π3≤a ≤π. 【答案】 ⎣⎡⎦⎤π3，π考向3三角函数的性质●命题角度1 三角函数的奇偶性、周期性、对称性1．函数y ＝－2cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＋1是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的非奇非偶函数 【解析】 因为y ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＝sin 2x ，所以是最小正周期为π的奇函数． 【答案】 A2．当x ＝π4时，函数f (x )＝sin(x ＋φ)取得最小值，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x ( ) A ．是奇函数且图象关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称B ．是偶函数且图象关于点(π，0)对称C ．是奇函数且图象关于直线x ＝π2对称 D ．是偶函数且图象关于直线x ＝π对称【解析】 ∵当x ＝π4时，函数f (x )取得最小值， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝－1，∴φ＝2k π－3π4(k ∈Z)． ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2k π－3π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x －3π4. ∴y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x ＝sin(－x )＝－sin x .∴y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x 是奇函数，且图象关于直线x ＝π2对称． 【答案】 C●命题角度2 三角函数的单调性3．(2016·开封模拟)已知函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ，x ∈[－π，0]，则f (x )的单调递减区间是( )A.⎣⎡⎦⎤－712π，－π12B.⎣⎡⎦⎤－π，－π2 C.⎣⎡⎦⎤－π，－712π，⎣⎡⎦⎤－π12，0 D.⎣⎡⎦⎤－π，－512π，⎣⎡⎦⎤－π12，0 【解析】 f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π(k ∈Z)，得 －π12＋k π≤x ≤512π＋k π(k ∈Z)． 所以函数f (x )的减区间是⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，512π＋k π(k ∈Z)． 因为x ∈[－π，0]，所以函数f (x )的减区间是⎣⎡⎦⎤－π，－712π，⎣⎡⎦⎤－π12，0. 【答案】 C 4．若f (x )＝2sin ωx ＋1(ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上是增函数，则ω的取值范围是________． 【解析】 法一 由2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得f (x )的增区间是⎣⎡⎦⎤2k πω－π2ω，2k πω＋π2ω，k ∈Z.因为f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上是增函数，所以⎣⎡⎦⎤－π2，2π3⊆⎣⎡⎦⎤－π2ω，π2ω. 所以－π2≥－π2ω且2π3≤π2ω，所以ω∈⎝⎛⎦⎤0，34. 法二 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，2π3，ω>0. 所以ωx ∈⎣⎡⎦⎤－ωπ2，2πω3， 又f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上是增函数，所以⎣⎡⎦⎤－ωπ2，2πω3⊆⎣⎡⎦⎤－π2，π2， 则⎩⎨⎧ －ωπ2≥－π2，2πω3≤π2，又ω>0，得0<ω≤34. 【答案】 ⎝⎛⎦⎤0，341．奇偶性与周期性的判断方法(1)奇偶性：由正、余弦函数的奇偶性可判断y ＝A sin ωx 和y ＝A cos ωx 分别为奇函数和偶函数．(2)周期性：利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω>0)的周期为2πω，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0)的周期为πω求解． 2．求三角函数单调区间的两种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性列不等式求解．(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．3．已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法(1)子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解．(2)反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解．(3)周期法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14周期列不等式(组)求解．。
高中数学一轮复习课件：三角函数的图像和性质
解：(1)f(x)＝cos2x－2sinxcosx－sin2x＝cos2x－sin2x＝ 2 π cos(2x＋4)． 列表： π π π 3 9 π 2π 2x＋4 4 2 2π 4π π 3 5 7 x 0 π π π π 8 8 8 8 f(x) 1 0 － 2 0 2 1
• 图象如下图：
【例 3】 (2009· 福建卷)已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)．其中 π ω>0，|φ|<2. π 3π (1)若 cos4cosφ－sin 4 sinφ＝0，求 φ 的值； (2)在(1)的条件下， 若函数 f(x)的图象的相邻两条对称轴之 π 间的距离等于3，求函数 f(x)的解析式；并求最小正实数 m， 使得函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位后所对应的函数是偶函 数．
3π π 思路分析：(1)把 sin 变换成 sin ，然后利用两角和的余 4 4 弦公式解决；(2)正弦函数图象两相邻对称轴之间的距离是半 个周期，根据这点求出 ω，也就确定了函数 f(x)的解析式，若 要平移函数图象使其为偶函数， 则只保证 y 轴为这个函数图象 的一条对称轴即可．
π 3π 解：(1)由 cos cosφ－sin sinφ＝0 得 4 4 π π cos4cosφ－sin4sinφ＝0， π 即 cos( ＋φ)＝0. 4 π π 又|φ|<2，∴φ＝4.
2
sin2x＋cos2x 1 (2)化简可得 f(x)＝ 2 ＋2tanx＋1＝ ＋2tanx cos x cos2x ＋1＝tan2x＋1＋2tanx＋1＝tan2x＋2tanx＋2＝(tanx＋1)2＋1， π π 因为 x∈[－ ， ]，tanx∈[－ 3，1]．显然，当 tanx＝ 3 4 π －1，即 x＝－ 时，函数有最小值 1；当 tanx＝1，即 x＝ 4 π 时，函数有最大值 5. 4
高三数学(理)一轮总复习(人教通用)课件第3章 第3节 三角函数的图象与性质ppt版本
考点三 三角函数的奇偶性、周期性及对称性 常考常新型考点——多角探明 [命题分析]
正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图 形．正切函数的图象只是中心对称图形，应把三角函数的对 称性与奇偶性结合，体会二者的统一．
常见的命题角度有： (1)三角函数的周期； (2)求三角函数的对称轴或对称中心； (3)三角函数对称性的应用．
4．(易错题)求函数 y＝cos2x＋sin x|x|≤π4的最大值与最小值．
解：令 t＝sin x，∵|x|≤π4，∴t∈－ 22， 22.
∴y＝－t2＋t＋1＝－t－122＋54，
∴当 t＝12时，ymax＝54，当 t＝－ 22时，ymin＝1－2
2 .
[即时应用]
1．函数 f(x)＝sin－2x＋π3的单调减区间为______． 解析：由已知函数为 y＝－sin2x－π3，欲求函数的单调减 区间，只需求 y＝sin2x－π3的单调增区间即可． 由 2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z， 得 kπ－1π2≤x≤kπ＋51π2，k∈Z. 故所给函数的单调减区间为kπ－1π2，kπ＋51π2(k∈Z)． 答案：kπ－1π2，kπ＋51π2(k∈Z)
解析：π6ω＋π6＝kπ＋π2(k∈Z)⇒ω＝6k＋2(k∈Z)⇒ωmin＝2．
答案：B
5.设偶函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，
ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，
△ KLM 为等 腰直角三角 形， ∠
KML＝90°，KL＝1，则 f 16的值
为
()
A．－
3 4
B．－14
C．－12
3 D. 4
解析
[方法归纳]
函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性、周期性和对称性 (1)若 f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则当 x＝0 时，f(x)取得 最大或最小值；若 f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则当 x＝0 时， f(x)＝0. (2)对于函数 y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最 高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线 x ＝x0 或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验 f(x0)的值进行判断．
202X版高中全程复习方略配套课件：3.3三角函数的图象与性质(数学文人教A版湖南专用)(共54张P
(3)函数 y 2sin x 的最小正周期是_______.
2
【解析】y 2sin x 2sin( x 2) 2sin 1 (x 4),
2
2
2
∴由周期函数的定义知原函数的最小正周期是4π.
答案：4π
2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数
y=sinx
y=cosx
y
1
图象 O
π
2
k， 所以
24
( k ,0)(k∈Z)为y=cos2x的对称中心，故⑥不正确.
24
(2)如图所示:
y=sinx,x∈［-2π,2π)有两个周期, 故若y=sinx与y=a有4个交点,则-1＜a＜1.
(3)由 x kk∈ Z,得
xk∈kZ,所3以,
4
2
4
y=tan( -x)的定义域为{x|
1.周期函数和最小正周期 对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的 每一个值时,都有_f_(_x_+_T_)_=_f_(_x_)_,则称f(x)为周期函数,T 为它 的一个周期.若在所有周期中,有一个_最__小___的正数,则这个最 小的正数叫做f(x)的__最__小__正__周__期___.
第三节 三角函数的图象与性质
三年9考 高考指数:★★★ 1.能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象,了解三角函数的周期性. 2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在［0,2π］,正切函数在
( , ) 上的性质.
22
1.三角函数的图象和性质是考查的重点，特别是定义域、值域、 周期性、奇偶性和单调性的应用.同时还考查数形结合思想的 理解和应用. 2.主要以选择题、填空题的形式考查，性质的综合应用有时会 在解答题中考查，属中档题.