高中物理讲义：运动图像 追及和相遇问题

高中物理讲义:运动图像追及和相遇问题一、运动图像[注1]1．x­t图像(1)物理意义:反映了物体做直线运动的位移随时间变化的规律。

(2)斜率的意义:图线上某点切线斜率的大小表示物体此时速度的大小,斜率正负表示物体速度的方向。

[注2]2．v­t图像(1)物理意义:反映了物体做直线运动的速度随时间变化的规律。

(2)斜率的意义:图线上某点切线斜率的大小表示物体此时加速度的大小,斜率正负表示物体加速度的方向。

(3)“面积”的意义①图线与时间轴围成的面积表示相应时间内的位移。

②若面积在时间轴的上方,表示位移方向为正方向；若面积在时间轴的下方,表示位移方向为负方向。

二、追及和相遇问题1．追及问题的两类情况[注3](1)若后者能追上前者,追上时,两者处于同一位置,且后者速度一定不小于前者速度。

(2)若后者追不上前者,则当后者速度与前者速度相等时,两者相距最近。

2．相遇问题[注4]相向运动的物体,当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇。

【注解释疑】[注1] 无论v­t图像还是x­t图像,描述的一定是直线运动。

[注2] 斜率是数学语言,表示直线的倾斜程度；斜率具有物理意义,可表示物体运动的速度或加速度。

[注3] 速度相等是判断追上或追不上的切入点。

[注4] 同向追及时,当追赶者位移等于被追赶者位移与初始间距之和时即相遇。

[深化理解]1．识图中常见的三类错误(1)错误地认为图像就是质点的运动轨迹。

(2)错将图线的交点都当成相遇,而v­t图线的交点表示该时刻速度相同。

(3)错误理解图线斜率的意义,比如认为v­t图像斜率为正,则质点一定做加速运动,斜率为负,则质点一定做减速运动。

2．追及和相遇问题分两类,一类为一定能追上,直接列位移方程,找位移关系；另一类为可能追上,需根据速度关系判断能否追上。

[基础自测]一、判断题(1)x­t图像和v­t图像都表示物体运动的轨迹。

(×)(2)x­t图像和v­t图像都只能描述直线运动。

(√)(3)x­t图像上两图线的交点表示两物体此时相遇。

(√)(4)v­t图像上两图线的交点表示两物体此时相遇。

(×)(5)同一直线上运动的两物体,后者若追上前者,后者速度必须大于前者。

(√)(6)同一直线上运动的两物体,速度相等时,两物体相距最近或最远。

(√)(7)两物体同向运动恰好不相碰,则此时两物体速度相等。

(√)二、选择题1．[沪科版必修1 P43T6改编](多选)如图所示为甲、乙两物体在同一直线上运动的位置坐标x随时间t变化的图像,已知甲对应的是图像中的直线,乙对应的是图像中的曲线,则下列说法正确的是( )A．甲做匀减速直线运动B．乙做变速直线运动C．0～t1时间内两物体平均速度大小相等D．两物体的运动方向相反解析:选BD 结合题意分析题图易知,题图中图像的斜率等于速度,知甲沿负方向做匀速直线运动,故A项错误；乙图线切线的斜率不断增大,说明乙的速度不断增大,做变速直线运动,故B项正确；根据坐标的变化量等于位移知,0～t1时间内两物体位移大小不相等,方向相反,所以平均速度不相等,故C项错误；根据图像的斜率等于速度可知,甲的速度为负,乙的速度为正,即两物体的运动方向相反,故D项正确。

2．(多选)物体做直线运动的v­t图像如图所示,根据图像提供的信息可知( )A．第4 s初物体运动的加速度为2 m/s2B．前8 s内物体运动的位移为32 mC．在0～4 s内与4～6 s内物体运动的加速度方向相反D．在0～4 s内与4～6 s内物体运动的平均速度相等解析:选BC 图像的斜率表示加速度,则第4 s初物体运动的加速度a＝ΔvΔt＝8－44m/s2＝1 m/s2,故A项错误；图像与坐标轴围成面积代表位移,前8 s内物体运动的位移x＝12×(4＋8)×4 m＋12×8×2 m＝32 m,故B项正确；在0～4 s 内与4～6 s内物体运动的速度都为正,加速度方向相反,故C项正确；在0～4 s内的平均速度v1＝4＋82m/s＝6 m/s,4～6 s内的平均速度v2＝0＋82m/s＝4 m/s,故D项错误。

3．[粤教版必修1 P47T17改编]一步行者以6.0 m/s的速度跑去追赶被红灯阻停的公共汽车,在跑到距汽车25 m处时,绿灯亮了,汽车以1.0 m/s2的加速度匀加速启动前进,则( ) A．人能追上公共汽车,追赶过程中人跑了36 mB．人不能追上公共汽车,人、车最近距离为7 mC．人能追上公共汽车,追上车前人共跑了43 mD．人不能追上公共汽车,且车开动后,人车距离越来越远解析:选B 在跑到距汽车25 m处时,绿灯亮了,汽车以1.0 m/s2的加速度匀加速启动前进,当汽车加速到6.0 m/s时二者相距最近。

汽车加速到6.0 m/s所用时间t＝6 s,人运动距离为6×6 m＝36 m,汽车运动距离为18 m,二者最近距离为18 m＋25 m－36 m＝7 m,选项A、C错误,B 正确。

人不能追上公共汽车,且车开动后,人车距离先减小后增大,选项D错误。

高考对本节内容的考查,主要集中在x­t图像、v­t图像及追及相遇问题。

其中对x­t图像和v­t图像的考查,主要以选择题的形式呈现,难度中等,而对追及相遇问题的考查,常结合具体的生活情景,题型有选择题,也有计算题,难度更大一些。

考点一运动图像的理解和应用[多维探究类]1．读图——获取解题信息第一层(1)确认纵、横坐标轴对应的物理量及其单位(2)注意纵、横坐标是否从零刻度开始关注坐标轴第二层图线在坐标轴上的截距表示运动的初始情况理解截距、斜率、面积斜率通常能够体现某个物理量(如v­t图像的斜率反映了加速度)的大小、方向及变化情况最常见的是v­t图像中面积表示位移,但要注意时间轴下方的面积为负,说明这段位移与正方向相反第三层交点往往是解决问题的切入点,注意交点表示物理量相等,不一定代表物体相遇分析交点、转折点、渐近线转折点表示物理量发生突变,满足不同的函数关系式,如v­t图像中速度由增变减,表明加速度突然反向利用渐近线可以求出该物理量的极值或确定它的变化趋势2．作图和用图——快速解题依据物体的状态或物理过程所遵循的物理规律,做出与之对应的示意图或数学函数图像,往往可以快速、直观地研究和处理问题。

考法(一) 图像信息类问题[例1] (多选)(2018·全国卷Ⅲ)甲、乙两车在同一平直公路上同向运动,甲做匀加速直线运动,乙做匀速直线运动。

甲、乙两车的位置x随时间t的变化如图所示。

下列说法正确的是( )A．在t1时刻两车速度相等B．从0到t1时间内,两车走过的路程相等C．从t1到t2时间内,两车走过的路程相等D．在t1到t2时间内的某时刻,两车速度相等[解析] x­t图像斜率表示两车速度,则可知t1时刻乙车速度大于甲车速度,故A错误。

由两图线的纵截距知,出发时甲车在乙车前面,t1时刻图线相交表示两车相遇,可得0到t1时间内乙车比甲车多走了一段距离,故B错误。

t1和t2时刻两图线相交,表明两车均在同一位置,从t1到t2时间内,两车走过的路程相等；在t1到t2时间内,两图线有斜率相等的一个时刻,即该时刻两车速度相等,故C、D正确。

[答案] CD考法(二) 图像选择类问题[例2] 从塔顶由静止释放一个小球A的时刻为计时零点,t0时刻,在与A球t0时刻所在位置的同一水平高度,由静止释放小球B,若两球都只受重力作用,设小球B下落时间为t,在A、B两球落地前,A、B两球之间的距离为Δx,则Δxt­t0的图线为( )[解析] A、B两球释放后都做自由落体运动,B球释放时,A球的速度v A＝gt0,B球释放后t时间时,A、B两球之间的距离Δx＝v A t＋12gt2－12gt2＝gtt,则Δxt＝gt0,所以Δxt­t0的图线为一条过原点的倾斜直线,斜率为g,故B正确。

[答案] B[题型技法]解决这类问题时,首先要将题目给出的情景分析透彻,然后根据情景分析图像中物理量之间的关系,或者直接将图像与题目所描述的情景相对照,看是否吻合进行判断。

考法(三) 图像转换类问题[例3] 一物体由静止开始沿直线运动,其加速度随时间变化的规律如图所示。

取物体开始运动的方向为正方向,则下列关于物体运动的v­t图像正确的是( )[解析] 根据加速度随时间变化的图像可得,0～1 s内为匀加速直线运动,速度v＝at＝t,速度为正方向,选项D错误。

第1 s末的速度v＝1 m/s,1～2 s内加速度变为负值,而速度为正方向,因此为减速运动,v′＝1 m/s－a(t－1),到2 s末,速度减小为0,选项B错误。

2～3 s,加速度为正方向,初速度为0,物体做正方向的匀加速直线运动,v＝a(t－2)＝t－2,即从第2 s开始又重复前面的运动,选项C正确,A错误。

[答案] C[题型技法]解决图像转换类问题的一般流程:考法(四) 图像应用类问题[例4] 某同学欲估算飞机着陆时的速度,他假设飞机在平直跑道上做匀减速运动,飞机在跑道上滑行的距离为x,从着陆到停下来所用的时间为t,实际上,飞机的速度越大,所受的阻力越大,则飞机着陆时的速度应是( )A．v＝xtB．v＝2xtC．v＞2xtD.xt＜v＜2xt[解析]该同学假设飞机做匀减速运动,所用的时间为t,画出相应的v­t图像大致如图所示的虚线。

根据图像的意义可知,虚线下方的“面积”表示位移。

因为位移为x,则得出初速度为2xt。

实际上,当飞机的速度减小时,所受的阻力减小,因而它的加速度会逐渐变小,v­t图像切线的斜率减小,画出相应的v­t图像大致如图所示的实线。

根据图像的意义可知,实线下方的“面积”表示位移。

所以飞机着陆时的速度v＞2xt,故选项C正确。

[答案] C[题型技法]此类问题看似与图像无关,但常规解法晦涩难懂,掌握构图技巧,则难题迎刃而解。

(1)认真审题,根据需要确定纵、横坐标轴对应的物理量。

(2)结合具体的物理过程和相应的物理规律,找出两物理量的制约关系,作出函数图像。

(3)根据图像结合数学知识进行分析、判断。

[题点全练]1．[根据x ­t 图像分析两车的运动]在平直公路上行驶的a 车和b 车,其位移—时间(x ­t )图像分别为图中直线a 和曲线b ,已知b 车的加速度恒定且等于－2 m/s 2,t＝3 s 时,直线a 和曲线b 刚好相切,则( )A ．a 车做匀速运动且其速度为v a ＝83 m/sB ．t ＝3 s 时a 车和b 车相遇但此时速度不等C ．t ＝1 s 时b 车的速度为10 m/sD ．t ＝0时a 车和b 车的距离x 0＝9 m解析:选D x ­t 图像的斜率等于速度,由题图可知,a 车的速度不变,做匀速直线运动,速度为:v a ＝Δx Δt ＝8－23 m/s ＝2 m/s,故A 错误。