莱布尼茨与微积分
莱布尼茨微积分
莱布尼茨微积分1从离散到连续莱布尼茨的微积分思想发源于其对数列的研究，进一步由离散类比到连续情形。
数列的求差与求和想象眼前铺成一条台阶，每一阶相对于地面的高度为，而阶差高度为，那么从登到共升高。
图3差和分定义：设为一个数列，令数列为（简记为）。
我们称为数列的（第一阶）差分。
叫做定积分（简称和分）。
我们可以得到差和分基本定理。
（我们这里只是为了方便描述，事实上莱布尼茨也没有明确给出过这样的定理。
）定理1：（差和分基本定理）对于给定的一个数列，如果可以找到另一个数列，使得，那么就有，其中且。
图4定理1引出两个基本问题：1. 研究差分在运算上的基本性质。
2. 已知一个数列，求另一个数列，使得，我们称为的原数列或不定积分。
差和分的学习对于微积分的了解非常有帮助，因为两者不过是离散与连续之间的类推与观照而已。
离散的差和分简单明了，再连续化就得到了微积分。
[3]函数的求差与求和首先考虑面积函数。
作的有限分割：, 由差和分基本定理知：图5差分变成微分、和分变成积分现在想象将分割成无穷多个的无穷小段（即微分），把它想成是差分的极致，然后考虑无穷小矩形的面积，从连续地累积到。
这样的求和跟和分有关但却不同，为了区别起见，Leibniz在1686年首度将记号改为。
理由是：表示求和Sum的第一个字母，将稍微拉伸变成，表示连续地求和。
因此，就用美妙的记号来表示图中黄色区域的面积，将说成在上的积分。
换言之，阴影部分的面积就是无穷多个无穷小矩形面积的连续求和，即定积分（definite integral）。
积分的牛顿莱布尼茨公式
积分的牛顿莱布尼茨公式
牛顿-莱布尼茨公式是微积分学中的基本公式，表示对定积分的求导与被积函数之间的关系。
公式表达如下：
如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，则其在该区间上的定积分∫[a, b] f(x)dx是一个关于上限变量b的函数，记为F(b)，即F(b) = ∫[a, b] f(x)dx。
如果f(x)在区间[a, b]上可导，则F(b)在该区间上也可导，且有F'(b) = f(b)。
换句话说，定积分的上限函数在某一点处的导数等于被积函数在该点的函数值。
拓展：牛顿-莱布尼茨公式是微积分中一个非常重要的定理，可以应用于各种实际问题的求解中。
它是定积分与微分之间的关系的实际体现，能够帮助我们理解和计算定积分以及相关的应用问题。
这个公式为计算面积、求曲线长度、求物体的质心等问题提供了理论基础，因此在工程、物理学、经济学等领域都有广泛的应用。
微积分论文：简述微积分发展史
微积分论文：简述微积分发展史[摘要]本文介绍了微积分学产生的背景、建立过程以及其产生重大的历史意义。
此外，在文章中也对微积分学的理论知识、基本内容进行了介绍和与说明。
[关键词]微积分微分积分发展史一、微积分学的创立微积分作为一门学科，是在十七世纪产生的。
它的主要内容包括两部分：微分学和积分学。
然而早在古代微分和积分的思想就已经产生了。
公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、旋转双曲体的体积等问题中，就隐含着近代积分学的思想。
作为微分学基础的极限理论来说，早在古代就有了比较清楚的论述。
如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
这些都是朴素的极限概念。
到了十七世纪，人们因面临着有许多科学问题需要解决，如研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题；求曲线的切线的问题等，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。
十七世纪的许多著名的数学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作。
十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作。
在创立微积分方面，莱布尼茨与牛顿功绩相当。
这两位数学家在微积分学领域中的卓越贡献概括起来就是：他们总结出处理各种有关问题的一般方法,认识到求积问题与切线问题互逆的特征，并揭示出微分学与积分学之间的本质联系。
两人各自建立了微积分学基本定理，并给出微积分的概念、法则、公式及其符号。
有了这些理论知识作为前提为以后的微积分学的进一步发展奠定了坚实而重要的基础。
微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。
可以说微积分学的诞生是数学发展的一个里程碑式的事件。
二、微积分诞生的重要意义微积分诞生之前，人类基本上还处在农耕文明时期。
微积分学是继解析几何产生后的又一个伟大的数学创造。
莱布尼茨微分法则
莱布尼茨微分法则是微积分中的一个重要定理，用于计算复杂函数的导数。
这个定理的核心思想是通过对求导的函数进行分解，将原函数分解成多个简单函数的乘积或和，然后对每个简单函数进行求导，最后再将求导结果进行组合，从而得到原函数的导数。
莱布尼茨微分法则可以表述为：如果u(x)和v(x)是定义在x区间上的两个函数，它们都是x的函数，那么u(x)v(x)的导数就等于u(x)的导数乘以v(x)再加上v(x)的导数乘以u(x)。
这个定理在微积分中有着广泛的应用，可以用于求解极值、曲线的切线和法线、曲线的弧长等问题。
同时，莱布尼茨微分法则也是微积分学中的基本定理之一，对于理解微积分学中的概念和原理具有重要的意义。
微积分的发展历史
微积分的发展历史微积分是数学中的一个重要分支，它的发展历史可以追溯到古希腊时期。
在这篇文章中，我们将探讨微积分的发展历史，从古希腊时期到现代，逐步了解微积分的发展过程。
古希腊时期，数学家欧多克斯提出了一种叫做“尽量大与尽量小”的方法，这种方法可以用来求解一些几何问题。
这种方法后来被称为“极限法”，它是微积分的基础之一。
在17世纪，牛顿和莱布尼茨分别独立地发明了微积分。
牛顿主要研究物理学问题，他发明了微积分中的“微分法”，用来研究物体的运动和力学问题。
莱布尼茨则主要研究数学问题，他发明了微积分中的“积分法”，用来求解曲线下面积和一些几何问题。
18世纪，欧拉和拉格朗日等数学家对微积分进行了深入的研究和发展。
欧拉发明了欧拉公式，它将三角函数、指数函数和虚数单位i 联系在了一起。
拉格朗日则发明了拉格朗日乘数法，用来求解约束条件下的极值问题。
19世纪，高斯和柯西等数学家对微积分进行了更加深入的研究和发展。
高斯发明了高斯-黎曼方程，它是复变函数理论的基础。
柯西则发明了柯西积分定理和柯西-黎曼方程，它们是复变函数理论的重要组成部分。
20世纪，微积分在应用数学和物理学中得到了广泛的应用。
微积分被用来研究物理学中的力学、电磁学、热力学等问题，也被用来研究应用数学中的概率论、统计学、控制论等问题。
微积分的应用范围越来越广泛，成为现代科学和工程技术的基础。
微积分的发展历史可以追溯到古希腊时期，经过了欧多克斯、牛顿、莱布尼茨、欧拉、拉格朗日、高斯、柯西等数学家的不断研究和发展，逐步形成了现代微积分的体系。
微积分在应用数学和物理学中得到了广泛的应用，成为现代科学和工程技术的基础。
浅谈牛顿、莱布尼茨对微积分的贡献[权威资料]
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浅谈牛顿、莱布尼茨对微积分的贡献本文档格式为WORD,感谢你的阅读。
摘要：如今微积分的应用无论是在科学研究，还是生产生活中都有着不可忽视的地位。
微积分也正是在解决一些科学问题的需要下而产生的，其创立与发展离不开两位时代巨匠牛顿和莱布尼茨的贡献。
莱布尼茨与牛顿在创立微积分过程中殊途同归，最终完成了创建微积分的盛业。
本文便详细论述了微积分的产生、牛顿和莱布尼茨对微积分的贡献以及他们在创立微积分时的异同。
关键词：牛顿莱布尼兹微积分一、微积分的产生微积分是微分学和积分学的总称。
微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等，积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。
如今，微积分已成为基本的数学工具而被广泛地应用于自然科学的各个领域。
主要有四种类型的问题：第一类，变速运动求即时速度的问题；第二类，求曲线的切线的问题；第三类，求函数的最大值和最小值问题；第四类，求曲线长、曲边梯形面积、不规则物体的体积、物体的重心、压强等问题。
解决这些科学问题的需要是促使微积分产生的因素。
许多著名的科学家，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多有建树的理论，为微积分的创立做出了贡献。
17世纪下半叶，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作。
他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题（积分学的中心问题）。
时代的需要与个人的才识，使他们完成了微积分创立中最后也是最关键的一步。
微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，对过去很多束手无策的数学问题运用微积分就会迎刃而解。
同时微积分也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展，并在这些学科中应用越来越广泛。
二、莱布尼茨对微积分的贡献莱布尼茨创立微积分首先是出于几何问题的思考。
微积分基本公式__牛顿—莱布尼茨公式
a f ( x )dx F (b) F (a )
b
牛顿－莱布尼兹公式沟通了微分学与积分学 之间的关系．所以又叫微积分基本公式。
思考题
x f ( u)du 是 x 的函数还是t 与u 的函数？它们
的导数存在吗？如存在等于什么？
b
设 f ( x ) 在[a , b]上连续，则 f ( t )dt 与
x
0
f ( t )( x t )dt
(
0
x
t
0
f ( u )du )dt .
六、求函数 f ( x )
x
0
3t 1 dt 在区间 0 , 1 上的最 2 t t 1
大值与最小值 . 1 sin x , 当0 x 时， 七、设 f ( x ) 2 0 ，当x 0或x 时， x 求 （x ) 0 f ( t )dt 在( , ) 内的表达式 .
求定积分问题转化为求先求原函数，再求 增量的问题.
例1
求
1
2
1 解 当 x 0 时， 的一个原函数是ln | x | , x 1 1 1 dx 2 x ln | x | 2 ln 1 ln 2 ln 2. 例 2 计算曲线 y sin x 在[0, ]上与 x 轴所围
2、 4、
1 2 1 2
dx 1 x
2
;
2
0
sin x dx .
四、求下列极限： 1、 lim
( e dt ) 2
t2 x 0 x 0
x
e 2 t dt
2
;
2、 lim
x 0
1 x2
莱布尼茨与微积分
中西文化交 流之倡导者
莱布尼茨对中国的科学、 文化和哲学思想十分关注，他 是最早研究中国文化和中国哲 学的德国人。他向耶稣会来华 传教士格里马尔迪了解到了许 多有关中国的情况，包括养蚕 纺织、造纸印染、冶金矿产、 天文地理、数学文字等等，并 将这些资料编辑成册出版。他 认为中西相互之间应建立一种 交流认识的新型关系。
三、其他成就 （一）、数学方面
• 高等数学上的众多成就 • 1、莱布尼茨在数学方面的成就是巨大的，他的研 究及成果渗透到高等数学的许多领域。他的一系 列重要数学理论的提出，为后来的数学理论奠定 了基础。 • 2、莱布尼茨曾讨论过负数和复数的性质，得出复 数的对数并不存在，共扼复数的和是实数的结论。 在后来的研究中，莱布尼茨证明了自己结论是正 确的。他还对线性方程组进行研究，对消元法从 理论上进行了探讨，并首先引入了行列式的概念， 提出行列式的某些理论，此外，莱布尼茨还创立 了符号逻辑学的基本概念。
十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英 国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在 自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立 工作，虽然这只是十分初步的工作。他们的最 大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一 起，一个是切线问题（微分学的中心问题）， 一个是求积问题（积分学的中心问题）。 牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直 观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷 小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支 返回 名称的来源。
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二、智者的奋斗史
(一)、少年天才 从幼年时代起，莱布尼茨就明显展露出 一颗灿烂的思想明星的迹象。他13岁时就像 其他孩子读小说一样轻松地阅读经院学者的 艰深的论文了。 他提出无穷小的微积分算法，并且他发 表自己的成果比伊萨克·牛顿爵士将它的手 稿付梓早三年，而后者宣称自己第一个做出 了这项发现。
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莱布尼茨与微积分今天,微积分已成为基本的数学工具而被广泛地应用于自然科学的各个领域。
恩格斯说过:“在一切理论成就中,未有像十七世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了,如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩,那就正是在这里。
”接下来我将从五个方面来介绍莱布尼茨的生平事迹。
一、人物简介戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646年－1716年），德国哲学家、数学家。
涉与的领域与法学、力学、光学、语言学等40多个畴，被誉为十七世纪的亚里士多德。
和牛顿先后独立发明了微积分。
二、人物生平早期（致力于哲学）：1. 生于公元1646年7月1日书香之家，父亲道德哲学教授，母亲出身于教授家庭。
2. 8岁时，莱布尼茨进入尼古拉学校，学习拉丁文、希腊文、修辞学、算术、逻辑、音乐以与《圣经》、路德教义等。
3. 1661年，15岁的莱布尼茨进入莱比锡大学学习法律。
4. 1663年5月，他以《论个体原则方面的形而上学争论》一文获学士学位。
晚期（致力于自然科学）：1. 1667年2月，莱布尼茨发表了他的第一篇数学论文《论组合的艺术》2. 1672年，莱布尼茨作为一名外交官出使巴黎，深受惠更斯的启发，决心钻研高等数学，并研究了笛卡儿、费尔马、帕斯卡等人的著作，开始微积分的创造性工作。
3. 1684年10月在《教师学报》上发表的论文《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以与这种新方法的奇妙类型的计算》，是最早的微积分文献。
4. 1686年发表他的第一部积分学论文《深奥的几何与不可分量与无限的分析》，提出摆线方程y=，这篇论文中⎰第一次出现在印刷板物上。
5. 1713年，莱布尼茨发表了《微积分的历史和起源》一文，总结了自己创立微积分学的思路，说明了自己成就的独立性。
6.公元1716年11月14日，由于胆结石引起的腹绞痛卧床一周后，莱布尼茨孤寂地离开了人世，终年70岁。
三、个人成就（一）微积分的创立1．创立了很多微积分符号1675年到1677年他创造出了,,dx dy ⎰这些符号，用dx 表示相邻两个x 的差；dy 表示相邻两个y 的差，也是函数的微分；用dy dx表示成切线的斜率；⎰代替了以前的和号“omn ”（⎰是sum 的第一个字母）；ydx ⎰表示面积。
2. 给出了dy 的演算法则加法和减法：如果 v x y w z =-++，则 dv dx dy dw dz =-++乘 法：,y vx dy xdv vdx ==+除 法： 2v vdy ydv d y y ⎛⎫±= ⎪⎝⎭ ，等。
3.微积分基本定理莱布尼兹在手稿中阐述：给定一条曲线，其纵坐标为y ，求该曲线下的面积。
他假设可以求出一条曲线（他称之为割圆曲线），它的纵坐标为z ，使得：dz y dx= 即dz ydx = 。
他发现曲线的面积ydx dz z ==⎰⎰ ，莱布尼兹通常假设曲线z 通过原点。
这就将求面积的问题转化成了反切线的问题，即要求曲线的面积只需要找到一条曲线，使它的切线的斜率为 dz y dx=，如果实在区间(),a b 上，则只需用在()0,b 的面积减去()0,a 的面积便得到()()b a ydx z b z a =-⎰。
问题的关键：没有发现微分和积分是互逆的两种运算，而这正是微积分建立的关键所在。
只有确立了这一基本关系，才能在此基础上构建系统的微积分学 。
微积分创建工作的完成：1、莱布尼茨1684年10月在《教师学报》上发表的论文《一种求极大极小的奇妙类型的计算》，是最早的微积分文献。
对微积分的创建有着划时代的意义。
2、莱布尼茨从几何问题出发，运用分析学方法引进微积分概念、得出微积分运算法则。
3、莱布尼茨创建巧妙简洁的微积分符号 ，对微积分的发展有极大影响 。
4、1713年，莱布尼茨发表《微积分的历史和起源》一文，总结了自己创建微积分的历程。
牛顿、莱布尼兹创立微积分的比较：牛顿坚持唯物论的经验论,特别重视实验和归纳推理。
他在研究经典力学规律和万有引力定律时,遇到了一些无法解决的数学问题,，因此牛顿着手研究新的以求曲率、面积、曲线的长度、重心、最大最小值等问题的方法———流数法。
“牛顿的研究采用了最初比和最后比的方法。
他认为流数是初生量的最初比或消失量的最后比。
初生量的最初比就是在初生的瞬间的比值,消失量的最后比就是量在消失的瞬间的比值。
”这个解释太模糊了,算不上精确的数学概念,只不过是一种直观的描述。
最初比和最后比的物理原型是初速度与末速度的数学抽象,在物体作位置移动的过程中的每一瞬间具有的速度是自明的,牛顿就是从这个客观事实出发提出了最初比和最后比的直观概念。
这样他就给出了极限的观点。
莱布尼兹的微积分创造始于研究“切线问题”和“求积问题”,他从微分三角形认识到:求曲线的切线依赖于纵坐标之差与横坐标之差的比值;求曲边图形的面积则依赖于在横坐标的无限小区间上的纵坐标之和或无限薄的矩形之和。
莱布尼兹认识到求和与求差运算是可逆的。
莱布尼兹用无穷小的思想给出了微积分的基本定理,并发展成为高阶微分。
莱布尼兹在微积分的研究过程中,连续性原则成为其工作的基石,而连续性原则是扎根于他哲学中无限的本质的思想。
一、牛顿和莱布尼兹创立微积分的相同点：1、都使微积分不再是几何学的延伸，建立在符号运算的基础上，具有一般性，使之成具有广泛应用的学科；2、把求积问题归结为微分问题的逆问题，从而建立了微积分基本定理；3、把微积分建立在实无穷小的基础上，后来他们为回避无穷小运算上的矛盾，不自觉地使用了极限概念；4、用代数的方法从过去的几何形式中解脱出来;都研究了微分与反微分之间的互逆关系。
二、牛顿和莱布尼兹创立微积分的不同点：1、他们建立微积分的出发点不同。
牛顿是在力学研究的基础上，运用几何方法研究微积分的；莱布尼兹主要是在研究曲线的切线和面积的问题上，运用分析学方法引进微积分要领的。
2、微积分工作的侧重点不同。
牛顿关心微积分体系和基本方法的建立；而莱布尼兹运算公式的建立与推广。
在积分上，牛顿偏重于求积分的逆运算，即不定积分；而莱布尼茨侧重于求微分的和，即定积分。
牛顿在微积分的应用上更多地结合了运动学，造诣精深；但莱布尼兹的表达形式简洁准确，胜过牛顿。
3、对微积分具体容的研究不同。
牛顿先有导数概念，后有积分概念；莱布尼兹则先有积分概念，后有导数概念。
4、对无穷小认识的程度不一样。
牛顿不分阶，而莱氏分阶，认识比前者深刻。
虽然牛顿和莱布尼兹研究微积分的方法不同，但他们殊途同归，各自独立完成了创建微积分的盛业，正是因为有了牛顿与莱布尼兹的工作，才使微积分成为独立的学科并给整个自然科学带来革命性的影响。
他们创立的微积分,对科学发展具有深远的影响（二）数学上的贡献1、始创微积分。
2、对负数和复数的性质的探讨。
3、首次引入行列式的概念。
4、数理逻辑的首创者和真正奠基人。
（三）物理方面的贡献1、提出了能量守恒定律的雏形。
2、证明了永动机的荒谬性。
3、提出马里奥特——莱布尼茨理论。
4、利用微积分求极值的方法推导出折射定律。
（四）哲学❖突出了著名的“单子论”❖“没有两片完全相同的树叶，世界上没有性格完全相同的人。
”——莱布尼茨（五）“乘法机”的发明❖受八卦启发，率先为计算机设计系统提出二进制运算法则，为计算机的现代发展奠定了基础。
❖能进行乘除运算的“乘法机”的发明。
四、著作目录❖1663年5月，以《论个体原则方面的形而上学争论》一文获学士学位。
❖1664年1月，莱布尼茨完成了论文《论法学之艰难》，获哲学硕士学位。
❖1667年2月他以论文《论身份》获法学博士学位。
❖1667年发表了他的第一篇数学论文《论组合的艺术》。
❖1684年10月发表论文《一种求极大极小的奇妙类型的计算》，是最早的微积分文献。
❖1677年，莱布尼茨发表《通向一种普通文字》，人们公认他是世界语的先驱。
❖1677年，莱布尼茨发表《通向一种普通文字》，人们公认他是世界语的先驱。
❖1693年，莱布尼茨发表《原始地球》一书一定程度上促进了19世纪地质学理论的发展。
❖1703发表论文《二进位算术的阐述—关于只用0和1兼论其用处与伏羲氏所用数字的意义》，为二进制的创立奠定了基础。
❖1713年，莱布尼茨发表《微积分的历史和起源》一文，总结了其独立创建微积分的总过程。
五、评价“当一个人考虑到自己并把自己的才能和莱布尼茨的才能来作比较时，就会弄到恨不得把书都丢了去找个世界上比较偏僻的角落藏起来以便安静的死去。
这个人是混乱的大敌：罪错综复杂的事物一进入他的心灵就弄得秩序井然。
他把两种几乎不相容的品质结合在一起了，这就是探索发现的精神和讲求条理的精神；而他借以积累起最广泛的各种不同种类知识最坚毅又最五花八门的研究既没有剥弱这一品质，也没有剥弱另一种品质。
就哲学家和数学家这两个词所能具有的最充分的意义来说，他是一位哲学家和一位数学家。
”——狄德罗六、总结莱布尼茨是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。
现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。
微积分学的创立，极推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。
莱布尼茨科学天才远远不止我们这儿介绍的这么简简单单，他的研究成果还遍与力学、逻辑学、化学、地理学、解剖学、动物学、植物学、气体学、航海学、地质学、语言学、法学、哲学、历史、外交等等。
他是单子论奠基人，微积分的创立者，数理逻辑的先驱，中西文化交流之倡导者。