切线的三个性质
切线的性质
A
l
复习
切线的作法： (1)连接半径； (2)过半径的外端点作半径的垂线。
复习
切线的证法： (1)知切点，连半径，证垂直。
(2)不知切点， 作垂直，证半径（d=r)。
练习1：如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°, AT=AB。 求证：AT是⊙O的切线。
B
C
T A
O
练习2、如图，AB是⊙O的直径， 直线PQ 过⊙O上的点C，∠BCP=∠A。 求证：PQ是⊙O的切线。 A O
C D E A O B
小结 切线的性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径。 切线的用法： 知切线，连半径，得垂直。
作业1：
.AB是⊙O的直径,AE平分∠BAC交⊙O于点 E,过点E作⊙O的切线交AC于点D,试判断 △AED的形状,并说明理由.
作业2：
3、AB是⊙O的直径,CD切⊙O于C， AE⊥CD，BC延长后与AE的延长线交于F， AF=BF，求∠A的度数。
切线的性质
复习回顾 1.切线的判定定理
2.切线的判定方法：
（１）定义
( 2 ) d=r
直线与圆相切
（３）切线的判定定理. 已知直线过圆上一点： (知切点，连半径，证垂直） 不明确直线是否过圆上一点： (不知切点，作垂直， 证半径d=r）
复习
切线的判定定理： 经过半径的外端点并且垂直于这 条半径的直线是圆的切线。
A O
B C F E D
作业3：
如图，△ABC为等腰三角形，O是 底边的中点，⊙O与腰AB相切于点D。 求证：AC与⊙O也相切。 A D
B
O
C
切线的用法：
见切点 (知切线）， 连半径，得垂直。
例2： 如图，以O为圆心的两个同心圆， 大圆的弦AB是小圆的切线，切点为P。 求证：AP=BP。 O A P
切线的性质
课堂小结
1. 判定切线的方法有哪些？ 直线l
与圆有唯一公共点 与圆心的距离等于圆的半径
经过半径外端且垂直这条半径
l是圆的切线 l是圆的切线 l是圆的切线
2. 常用的添辅助线方法？ ⑴直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半 径，再证半径垂直于该直线。（连半径，证垂直） ⑵直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的 垂线段，再证明这条垂线段等于圆的半径。（作垂 直，证半径）
O ●
A
B
又∵直线AB经过⊙O 上的A点 ∴直线AB是⊙O的切线
练 习
如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P， A PE⊥AC于E。 求证:PE是⊙O的切线。
O E B P C
证明：连结OP。 ∵AB=AC,∴∠B=∠C。 ∵OB=OP，∴∠B=∠OPB， ∴∠OPB=∠C。 ∴OP∥AC。 ∵PE⊥AC， ∴PE⊥OP。 ∴PE为⊙0的切线。
〖例1〗
已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。 求证：直线AB是⊙O的切线。
分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明 AB⊥OC即可。
O
证明：连结OC(如图)。 A ∵ OA＝OB,CA＝CB, ∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线。 ∴ AB⊥OC。 ∵ OC是⊙O的半径 ∴ AB是⊙O的切线。
切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这 条半径的直线是圆的切线OA⊥l于A ∴ l是⊙O的切线。
A
l
想一想
判断一条直线是圆的切线，你现在会有多少种方法?
有以下三种方法: 1.利用切线的定义:与圆有唯一公共点的直线 是圆的切线。 2.利用d与r的关系作判断:当d＝r时直线是圆 的切线。 3.利用切线的判定定理:经过半径的外端并且 垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的性质
O
A A`
T
[切线的性质定理]
圆的切线垂直于经过切点的半径
符号语言:
∵ AT是⊙O的切线 ∴ OA⊥L
O
A
T
小窍门:知道切线,经常构造的辅助线: 连接圆心与切点.
按图填空：(口答) (1). 如果AB切⊙O于A，
B
A O
那么 OA ⊥ AB.
(2). 如果半径OA⊥AB， 那么AB是 ⊙O的切线
、
A
D
O
?
、
C
∟
B
练习2
如图的两个圆是以O为圆 心的同心圆，大圆的弦AB 是小圆的切线， C为切点. 求证：C是AB的中点.
A C
O
B 证明：如图，连接OC, 因为AB是小圆的切线, 则
OC⊥AB 根据垂径定理，得 AC=BC ∴ C是AB的中点.
作
业
见: 作
业
本
义务教育课程标准实验教材
直线与圆的关系(3)
思考：
1.什么是圆的切线?判断一条直线是圆的 切线的方法有那些?
2.前面我们已学过的切线的性质有哪些？ 答： ①、切线和圆有且只有一个公共点；
②、切线和圆心的距离等于半径。
3.切线还有什么性质？
观察右图：
如果直线AT是 ⊙O 的切线，A 为切 点，那么AT和半径 OA是 不 是一定垂直？ 过点O作OA` ⊥AT于点A` 直线AT切圆O于A AT OA
以M为圆心，• 2cm• 为半径作⊙M，• 当 OM=______cm时，⊙M与OA相切．
30°
判断对错
①、切线和圆有且只有一个公共点 ②、圆心到切线距离等于半径 ③、圆的切线垂直于经过切点的半径
④、 切点和圆心的连线垂直与切线
九年级数学下册29.3切线的性质和判定 课件 (共18张PPT)
共同探究2： 如图，在⊙O中经过半径OA的外 端点A作直线l⊥OA,则
（1）圆心O到直线 l 的距离是多少？ （2）直线 l 和⊙O有什么位置关系?
o
l
A
这时圆心O到直线 l 的距离就是⊙O的半径．
由d=r
直线 l 是⊙O的切线．
切线的判定定理 经过半径的外端并且垂 直于这条半径的直线是圆的切线。 几何符号表达：
r O
∵ OA是⊙O半径，OA⊥l于A ∴ l是⊙O的切线。
A
l
判 断
1. 过半径的外端的直线是圆的切线（ × ） 2. 与半径垂直的直线是圆的切线（ × ） 3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ × ）
O l O O l A A r A
r
r
l
利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条 件,缺一不可: (1)直线经过半径的外端; (2)直线与这半径垂直。
E C
小结
例2与例3的证法有何不同?
D O A
E A C B C O B
(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和 圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。 简记为：连半径,证垂直。 (2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共 点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线 段长等于半径长。简记为：作垂直,证半径。
判断一条直线是圆的切线，你现在会有 多少种方法? 有以下三种方法: 1.利用切线的定义:与圆有唯一公共点的 直线是圆的切线。 2.利用d与r的关系作判断:当d＝r时直线 是圆的切线。 3.利用切线的判定定理:经过半径的外端 并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
想一想
〖例2〗
已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且 OA=OB，CA=CB。 求证：直线AB是⊙O的切线。
切线的判定与性质
切线的判定与性质【知识要点】1．直线与圆的三种位置关系在图中，图(1)、图(2)、图(3)中的直线l 和⊙O 是什么关系?2.切线的判定定理：切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．对定理的理解：①经过半径外端；②垂直于这条半径．注意：定理中的两个条件缺少一个行不行?定理中的两个条件缺一不可．（如图）3.切线的判定方法判定一条直线是圆的切线的三种方法：(1)定义：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。
(2)数量关系：即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线．(3)图形位置关系（判定定理）：．经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．其中(2)和(3)本质相同，只是表达形式不同．解题时，灵活选用其中之一。
4.切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径.推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
注意：对于切线性质定理的两个推论：①垂直于切线；②经过切点；③经过圆心，知道任意二个就可以推出第三个【典型例题】例1．下列说法正确的是（ ）（1）与直径垂直的直线是圆的切线；（2）到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；（3）经过半径外端点的直线是圆的切线；（4）与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；（5）经过半径的外端点且垂直于半径的直线是圆的切线．A 、（1）（2）（3）B 、（2）（3）（5）C 、（2）（4）（5）D 、（3）（4）（5）例2．如图所示，PBC 是⊙O 的割线，A 点是⊙O 上一点，且PC PB PA ⋅=2．求证：PA 是⊙O 的切线．例3．如图所示，已知：梯形ABCD 中AB ∥CD ，∠A=︒90，腰BC 是⊙O 的直径，且BC=CD+AB ．求证：AD 和⊙O 相切．例4．如图所示，已知：两个同心圆O 中，大圆的弦AB 、CD 相等，且AB 与小圆相切于点E ．求证：CD 是小圆O 的切线．例5．如图所示，AB 是⊙O 的直径，BC 为弦，C 为弧AD 的中点，过C 作BD 的垂线交BD 的延长线于E 点．求证：CE 与⊙O 相切．例6． 如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DC ⊥BC ，AB=8，BC=5，若以AB 为直径为⊙O 与DC 相切于点E ，则DC= 。
切线的判定和性质
（打印3份）圆----切线的性质和判定（11月12）A、知识点、方法归纳总结知能点1：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的识别方法有三种：（1）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。
（2）和圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。
（3）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线辅助线的作法：证明一条直线是圆的切线的常用方法：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来,则得到半径，然后证明直线垂直于这条半径，记为“连半径，证垂直。
”知能点2：切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
辅助线的作法：有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径。
记为“见切线，连半径，得垂直。
”中考考点点击：切线的判定和性质在中考中是重点内容，试题题型灵活多样，填空、选择、作图、解答题较多。
B、证明圆的切线方法及例题一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，交AC 于E ，B 为切点的切线交OD 延长线于F.求证：EF 与⊙O 相切. 证明：连结OE ，AD. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴AD ⊥BC. 又∵AB=BC ， ∴∠3=∠4.∴BD=DE，∠1=∠2. 又∵OB=OE ，OF=OF ， ∴△BOF ≌△EOF （SAS ）. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF 与⊙O 相切， ∴OB ⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF 与⊙O 相切.说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的例2 如图，AD 是∠BAC 的平分线，P 为BC 延长线上一点，且PA=PD.求证：PA 与⊙O 相切. 证明一：作直径AE ，连结EC. ∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD ， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB ， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E ， ∴∠1=∠E∵AE 是⊙O 的直径， ∴AC ⊥EC ，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900.⌒ ⌒即OA ⊥PA.∴PA 与⊙O 相切.说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用. 变式练习： 如图，AB=AC ，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 于D ，DM ⊥AC 于M 求证：DM 与⊙O 相切.例3 如图，已知：AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且∠CAB=300，BD=OB ，D 在AB 的延长线上.求证：DC 是⊙O 的切线 证明：连结OC 、BC. ∵OA=OC ， ∴∠A=∠1=∠300. ∴∠BOC=∠A+∠1=600. 又∵OC=OB ，∴△OBC 是等边三角形. ∴∠CBO=600. OB=BC. ∵OB=BD ， ∴BC=BD.∴∠CDO=300∴∠OCD=180°-300-600=900. ∴OC ⊥CD.∴DC 是⊙O 的切线.变式练习：如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.求证：CE与△CFG的外接圆相切.二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”例4 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.证明一：连结DE，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB是⊙D的切线，∴DE⊥AB.∵DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=900.∵AB=AC，∴∠B=∠C.又∵BD=CD，∴△BDE≌△CDF（AAS）∴DF=DE.∴F在⊙D上.∴AC是⊙D的切线变式练习： 已知：如图，AC ，BD 与⊙O 切于A 、B ，且AC ∥BD ，若∠COD=900. 求证：CD 是⊙O 的切线.C 、作业部分1、如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于D ，且CO=CD ，则∠PCA=（ ）A ．30° B ．45° C ．60° D ．67.5°2、O ，并使较长边与O 相切于点C .假设角尺的较长边足够长，角尺的顶点B ，较短边8cm AB .若读得BC 长为cm a ，则用含a 的代数式表示r 为 .3、如图，已知AB 是⊙O 的一条直径，延长AB 至C 点，使得AC=3BC ，CD 与⊙O 相切，切点为D.若CD=3，则线段BC 的长度等于__________.4、如图，已知AB是⊙O的直径，锐角∠DAB的平分线AC交⊙O于点C，作CD⊥AD，垂足为D，直线CD与AB的延长线交于点E．（1）求证：直线CD为⊙O的切线；（2）当AB＝2BE，且CE＝3时，求AD的长．5如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O、D分别为AB、BC上的点．经过A、D两点的⊙O分别交AB、AC于点E、F，且D为弧EF的中点．求证：BC与⊙O相切；6、如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是AB 延长线上一点，BC ＝OB ，CE 是⊙O 的切线，切点为D ，过点A 作AE ⊥CE ，垂足为E ，求CD ：DE 的值7、如图，AB 是半圆O 的直径，点C 是⊙O 上一点（不与A ，B 重合），连接AC ，BC ，过点O 作OD ∥AC 交BC 于点D ，在OD 的延长线上取一点E ，连接EB ，使∠OEB=∠ABC ． ⑴求证：BE 是⊙O 的切线；⑵若OA=10，BC=16，求BE 的长．EB8、如图，⊙ O经过点B、D、E，BD是⊙ O的直径，∠C＝90°，BE 平分∠ABC. (1)试说明直线AC是⊙ O的切线；(2)当AE＝4，AD＝2时，求⊙ O的半径及BC的长．9、如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦，过点C作CD⊥AB 与点D，将△ACD沿AC翻折，点D落在点E处，AE交⊙O于点F ,连接OC、(1）求证：CE是⊙O的切线。
切线的性质
•①直线与圆有唯一公共点； •②直线到圆心的距离等于该圆的半径； •③切线的判定定理．即 •经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的 切线 •证明方法： 1、连半径，证垂直。2、作垂直，证半径。
1.圆的切线和圆只有一个公共点. 2.圆的切线和圆心的距离等于半径. 3.圆的切线垂直于过切点的半径. 4.经过圆心且垂直于切线的直线必过切点. 5.经过切点且垂直于切线的直线必过圆心.
O B
（3）
B
D
（2）
C
A
2、如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,⊙A与BC相切于 点D,与AB相交于点E,则∠ADE等于___ 60 _度. 3、如图,在△OAB中,OB：AB=3：2 , 0B=6，⊙O与AB相切 于点A, 则⊙O的直径为 。
4、如图,PA、PB是⊙O的切线,切点分别为A、B,且∠APB=50°, 点C是优弧上的一点,则∠ACB=___ 65 度.
变式一：在△ABC中，AB=2，AC= 半径的圆与边BC相切 ，则BC的长为 ，以A为圆心，1为 。
变式二：如图，点A是圆O外一点，OA=4，AB与圆相切于点 B，且AB=2 ，弦BC∥OA，则BC的长为 。
A
A C
O
A B
B
D
C B
C
7、如图,AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切 线互相垂直，垂足为D，求证：AC平分∠DAB。
D C
A
O
B
8、如图,AB为⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC 平行于弦AD，求证：CD是⊙O的切线。 D C
A
（8）
B
O
作业：
1、101页习题24.2第4、5、14题。
初中数学切线的性质和判定
图29－3
线的性质和判定
解 析 (1)由切线的性质，即可得OA⊥PA，OB⊥PB，又由圆周角 定理，求得∠AOB的度数，继而求得∠APB的大小； (2)由切线长定理，可求得∠APO的度数，继而求得∠AOP的度数，易得 PO是AB的垂直平分线，然后利用三角函数的性质，求得AD与OD的长．
┃ 切线的性质和判定
切线的性质和判定
中考预测
如图 29－6，△ABC 内接于⊙O，∠B＝60°，
CD 是⊙O 的直径，点 P 是 CD 延长线上的一点，
且 AP＝AC.
(1)求证：PA 是⊙O 的切线；
(2)若 PD＝ 3，求⊙O 的直径．
图29－6
切线的性质和判定
解
(1)证明：连接 OA, ∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°.
切线的性质和判定
[方法点析] 解三角形内切圆问题，主要是切线长定理的运 用．解决此类问题，常转化到直角三角形中，利用勾股定理或 直角三角形的性质及三角函数等解决．
┃ 切线的性质和判定
回归教材
切线问题中必需的半径
教材母题
如图 29－5，设 AB 是⊙O 的直径，如 果圆上点 D 恰使∠ADC＝∠B，那么直线 CD 与⊙O 相切吗？若相切，请给出证明．
∴S△AOB＝12×AB×OD＝12×10 3×5＝25 3(cm2)．
切线的性质和判定
[方法点析] (1)利用过圆外一点作圆的两条切线，这两条切 线的长相等，是解题的基本方法．(2)利用方程思想求切线长常 与勾股定理，切线长定理，圆的半径相等紧密相连．
切线的性质和判定
探究四 三角形的内切圆
命题角度： 1. 三角形的内切圆的定义； 2. 求三角形的内切圆的半径．
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切线的三个性质
很多人不知道切线是什么，它是被用来研究平面图形与三维图形的基础概念之一。
切线（tangent）是一条曲线在某一点（point）上，曲线的斜率与斜率做焦点，他们会形成一条切线。
斜率为零的切线是一条垂直于x轴的切线，斜率越大，则切线越接近斜率的方向。
切线有三个基本性质，分别是它的斜率，它的垂直距离和它的长度。
它的斜率表示在该点切线上垂线的斜率变化。
它的垂直距离是指在该点切线上到函数图像的垂线的距离。
它的长度是指从该点的切线起点到终点的距离。
斜率是线段的斜率被称为曲率，它是切线的重要特性。
切线的斜率（slope）表示切线与直线之间的关系，并可用于求出曲线的最大值、最小值、极点或拐点。
它是解决很多几何问题的基本工具，有时它也被用来表示函数图形的斜率，以及研究特定函数的最大值和最小值等。
它的垂直距离代表切线到函数图像的垂线之间的距离，这个距离可以用来判断曲线的形状，如平曲线的半径、凹曲线的最大值，以及最小值等。
切线的长度是指从一个点到另一个点之间的距离，可以用以表示在曲线中两点之间的最短距离。
它也可以用来确定曲线的长度，以及函数图像的面积。
切线具有三个基本性质，分别是它的斜率，它的垂直距离和它的长度。
它的斜率表示在该点切线上垂线的斜率变化，它的垂直距离是
指在该点切线上到函数图像的垂线的距离，它的长度是指从该点的切线起点到终点的距离。
切线的性质对图形的理解具有非常重要的作用，它可以用来计算函数图型的斜率、曲线的极值、函数图形的面积等多个方面。
掌握切线的三个性质可以加深对曲线特性的理解，使我们能够更好地分析函数图形，推出有关曲线的行为的推理，得出准确的结论。
因此，学习切线的三个特征对于我们对函数图形的理解也非常重要，我们可以通过对切线的三个特征进行深入的研究，得到准确的结果。