聚类分析发法

聚类分析，亦称群分析或点分析，是研究多要素事物分类问题的数量方法。

其基本原理是，根据样本自身的属性，用数学方法按照某些相似性或差异性指标，定量地确定样本之间的亲疏关系，并按亲疏关系的程度对样本进行聚类（徐建华，1994）。

聚类分析方法，应用在地下水中，是在各种指标和质量级别标准约束条件下，通过样品的各项指标监测值综合聚类，以判别地下水质量的级别。

常见的聚类分析方法有系统聚类法、模糊聚类法和灰色聚类法等。

（一）系统聚类法系统聚类法的主要步骤有：数据标准化、相似性统计量计算和聚类。

1.数据标准化在聚类分析中，聚类要素的选择是十分重要的，它直接影响分类结果的准确性和可靠性。

在地下水质量研究中，被聚类的对象常常是多个要素构成的。

不同要素的数据差异可能很大，这会对分类结果产生影响。

因此当分类要素的对象确定之后，在进行聚类分析之前，首先对聚类要素进行数据标准化处理。

假设把所考虑的水质分析点（G）作为聚类对象（有m个），用i 表示（i=1，2，…，m）；把影响水质的主要因素作为聚类指标（有n个），用j表示（j=1，2，…，n），它们所对应的要素数据可用表4-3给出。

在聚类分析中，聚类要素的数据标准化的方法较多，一般采用标准差法和极差法。

表4-3 聚类对象与要素数据对于第j个变量进行标准化，就是将x ij变换为x′ij。

（1）总和标准化区域地下水功能可持续性评价理论与方法研究这种标准化方法所得的新数据x′ij满足区域地下水功能可持续性评价理论与方法研究（2）标准差标准化区域地下水功能可持续性评价理论与方法研究式中：；由这种标准化方法所得的新数据x′ij，各要素的平均值为0，标准差为1，即有区域地下水功能可持续性评价理论与方法研究（3）极差标准化区域地下水功能可持续性评价理论与方法研究经过这种标准化所得的新数据，各要素的极大值为1，极小值为0，其余的数值均在［0，1］闭区间内。

上述式中：x ij为j变量实测值；x j为j变量的样本平均值；s j为样本标准差。

2.相似性统计量系统聚类法要求给出一个能反映样品间相似程度的一个数字指标，需要找到能量度相似关系的统计量，这是系统聚类法的关键。

相似性统计量一般使用距离系数和相似系数进行计算。

距离系数是把样品看成多维空间的点，用点间的距离来表示研究对象的紧密关系，距离越小，表明关系越密切。

相似系数值表明样本和变量间的相似程度。

（1）距离系数常采用欧几里得绝对距离，其中i样品与j样品距离d ij为区域地下水功能可持续性评价理论与方法研究d ij越小，表示i，j样品越相似。

（2）相似系数常见的相似系数有夹角余弦和相关系数，计算公式为1）夹角余弦区域地下水功能可持续性评价理论与方法研究在式（4-20）中：-1≤cosθij≤1。

2）相关系数区域地下水功能可持续性评价理论与方法研究式中：d ij为i样品与j样品的欧几里得距离；cosθij为i样品与j样品的相似系数；r ij为i样品与j样品的相关系数；x ik为i样品第k个因子的实测值或标准化值；x jk为j样品第k个因子的实测值或标准化值；为i样品第k个因子的均值，；为j样品第k个因子的均值，；n为样品的数目；k为因子（变量）数。

3.聚类在选定相似性统计量之后，根据计算结果构成距离或相似性系数矩阵（n×n），然后通过一定的方法把n个样品组合成不同等级的分类单位，对类进行并类，即将最相似的样品归为一组，然后，把次相似的样品归为分类级别较高的组。

聚类主要有直接聚类法、距离聚类法（最短距离聚类法、最远距离聚类法）。

（1）直接聚类法直接聚类法，是根据距离或相似系数矩阵的结构一次并类得到结果，是一种简便的聚类方法。

它首先把各个分类对象单独视为一类，然后根据距离最小或相似系数最大的原则，依次选出一对分类对象，并成新类。

如果一对分类对象正好属于已归的两类，则把这两类并为一类。

每一次归并，都划去该对象所在的列与列序相同的行。

经过n-1次把全部分类对象归为一类，最后根据归并的先后顺序作出聚类分析谱系图。

（2）距离聚类法距离聚类法包括最短距离聚类法和最远距离聚类法。

最短距离聚类法具有空间压缩性，而最远距离聚类法具有空间扩张性。

这两种聚类方法关于类之间的距离计算可以用一个统一的公式表示：区域地下水功能可持续性评价理论与方法研究当γ=-0.5时，式（4-22）计算类之间的距离最短；当γ=0.5时，式（4-22）计算类之间的距离最远。

最短、最远距离法，是在原来的n×n距离矩阵的非对角元素中找出d pq=min（d ij）或d pq=max（d ij），把分类对象G p和G q归并为一新类G r，然后按计算公式：d pq=min（d pk，d qk）（k≠p，q）（4-23）d pq=max（d pk，d qk）（k≠p，q）（4-24）计算原来各类与新类之间的距离，这样就得到一个新的（n-1）阶的距离矩阵；再从新的距离矩阵中选出最小或最大的d ij，把G i和G j 归并成新类；再计算各类与新类的距离，直至各分类对象被归为一类为止。

最后综合整个聚类过程，作出最短距离或最远距离聚类谱系图（图4-1）。

图4-1 地下水质量评价的聚类谱系图（二）模糊聚类法模糊聚类法是普通聚类方法的一种拓展，它是在聚类方法中引入模糊概念形成的。

该方法评价地下水质量的主要步骤，包括数据标准化、标定和聚类3个方面（付雁鹏等，1987）。

1.数据标准化在进行聚类过程中，由于所研究的各个变量绝对值不一样，所以直接使用原始数据进行计算就会突出绝对值大的变量，而降低绝对值小的变量作用，特别是在进行模糊聚类分析中，模糊运算要求必须将数据压缩在［0，1］之间。

因此，模糊聚类计算的首要工作是解决数据标准化问题。

数据标准化的方法见系统聚类分析法。

2.标定与聚类所谓标定就是计算出被分类对象间的相似系数r ij，从而确定论域集U上的模糊相似关系R ij。

相似系数的求取，与系统聚类分析法相同。

聚类就是在已建立的模糊关系矩阵R ij上，给出不同的置信水平λ（λ∈［0，1］）进行截取，进而得到不同的分类。

聚类方法较多，主要有基于模糊等价关系基础上的聚类与基于最大树的聚类。

（1）模糊等价关系方法所谓模糊等价关系，是指具有自反性（r ii=1）、对称性（r ij=r ji）与传递性（R·R⊆R）的模糊关系。

基于模糊等价关系的模糊聚类分析方法的基本思想是：由于模糊等价关系R是论域集U与自己的直积U×U上的一个模糊子集，因此可以对R进行分解，当用λ-水平对R作截集时，截得的U×U的普通子集Rλ就是U上的一个普通等价关系，也就是得到了关于U中被分类对象元素的一种。

当λ由1下降到0时，所得的分类由细变粗，逐渐归并，从而形成一个动态聚类谱系图（徐建华，1994）。

此类分析方法的具体步骤如下。

第一步：模糊相似关系的建立，即计算各分类对象之间相似性统计量。

第二步：将模糊相似关系R改造为模糊等价关系R′。

模糊等价关系要求满足自反性、对称性与传递性。

一般而言，模糊相似关系满足自反性和对称性，但不满足传递性。

因此，需要采用传递闭合的性质将模糊相似关系改造为模糊等价关系。

改造的方法是将相似关系R自乘，即R2=R·RR4=R2·R2︙这样计算下去，直到：R2k=R k·R k=R k，则R′=R k便是一个模糊等价关系。

第三步：在不同的截集水平下进行聚类。

（2）最大树聚类方法基于最大树的模糊聚类分析方法的基本思路是：最大树是一个不包含回路的连通图（图4-2）；选取λ水平对树枝进行截取，砍去权重低于λ的枝，形成几个孤立的子树，每一棵子树就是一个类的集合。

此类分析方法的具体步骤如下。

图4-2 最大聚类支撑树图第一步：计算分类对象之间的模糊相似性统计量r ij，构建最大树。

以所有被分类的对象为顶点，当两点间r ij不等于0时，两点间可以用树干连接，这种连接是按r ij从大到小的顺序依次进行的，从而构成最大树。

第二步：由最大树进行聚类分析。

选择某一λ值作截集，将树中小于λ值的树干砍断，使相连的结点构成一类，即子树，当λ由1到0时，所得到的分类由细变粗，各结点所代表的分类对象逐渐归并，从而形成一个动态聚类谱系图。

在聚类方法中，模糊聚类法比普通聚类法有较大的突破，简化了运算过程，使聚类法更易于掌握。

（三）灰色聚类法灰色聚类是根据不同聚类指标所拥有的白化数，按几个灰类将聚类对象进行归纳，以判断该聚类对象属于哪一类。

灰色聚类应用于地下水水质评价中，是把所考虑的水质分析点作为聚类对象，用i表示（i=1，2，…，n）；把影响水质的主要因素作为聚类指标，用j表示（j=1，2，…，m），把水质级别作为聚类灰数（灰类），用k表示（k=1，2，3）即一级、二级、三级3个灰类（罗定贵等，1995）。

灰色聚类的主要步骤：确定聚类白化数、确定各灰色白化函数f jk、求标定聚类权重ηjk、求聚类系数和按最大原则确定聚类对象分类。

1.确定聚类白化数当各灰类白化数在数量上相差悬殊时，为保证各指标间的可比性与等效性，必须进行白化数的无量纲化处理。

即给出第i个聚类对象中第j个聚类指标所拥有的白化数，i=1，2，…，n；j=1，2，…，m。

2.确定各灰色白化函数建立满足各指标、级别区间为最大白化函数值（等于1），偏离此区间愈远，白化函数愈小（趋于0）的功效函数f ij（x）。

根据监测值C ki，可在图上（图4-3）解析出相应的白化函数值f jk（C ik），j=1，2，…，m；k=1，2，3。

3.求标定聚类权重根据式（4-25），计算得出聚类权重ηjk的矩阵（n×m）。

区域地下水功能可持续性评价理论与方法研究式中：ηjk为第j个指标对第k个灰类的权重；λjk为白化函数的阈值（根据标准浓度而定）。

图4-3 白化函数图注：图4-3白化函数f（x）∈［0，1］，具有下述特点：①平顶部分，表示该量的最佳程度。

这部分的值为最佳值，即系数（权）为1，f（x）=max=1（峰值），x∈［x2，x3］。

②白化函数是单调变化的，左边部分f（x）=L（x），单调增，x∈（x1，x2］，称为白化的左支函数；右边部分f（x）=R（x），单调减，x∈［x3，x4），称为白化的右支函数。

③白化函数左右支函数对称。

④白化函数，为了简便，一般是直线。

⑤白化函数的起点和终点，一般来说是人为凭经验确定。

4.求聚类系数σik=∑f jk（d ij）ηjk（4-26）式中：σik为第i个聚类对象属于第k个灰类的系数，i=1，2，…，n；k=1，2，3。

5.按最大原则确定聚类对象分类由σik构造聚类向量矩阵，行向量最大者，确定k样品属于j级对应的级别。

用灰色聚类方法进行地下水水质评价，能最大限度地避免因人为因素而造成的“失真、失效”现象。