江苏省启东中学九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数》综合经典习题(答案解析)
九年级数学第二十八章锐角三角函数综合习题大全(含答案)(77)
九年级数学第二十八章锐角三角函数综合习题大全（含答案） 重庆是一座美丽的山坡，某中学依山而建，校门刀处，有一斜坡AB,长度 为13米，在坡顶6处看教学楼W的楼顶C的仰新C6G 53。，离6点4米 远的£处有一花台，在£处仰望C的仰角回63.4。，W的延长线交校门处 的水平面于。点，5米.
（1）求斜坡46的坡度/.
（2）求0C的长.
4 （参考数据:tan53°^- , tan63.4氏2 ）
C
【答案】（1）28的坡度/二1 : 2.4 ; （2）OC=21米. 【解析】 【分析】 过8作8GM。于G,则四边形8G。尸是矩形,求得BG=DF=S米，然后 根据勾股定理求得2G,即可求得斜坡28的坡度i . 汗 + CF 芸 CF CF 在旗叱中,BF;痴NCBF 」在旗朝中，EF=嬴引=不,
”CF 得到方程BF-EF=4 - - =4,解得CF=16 ,即可求得求0G21 . 3 2
知识点： 坡度：通常把坡面的垂直高度h和水平方向的距离I的比叫做坡度（或叫做 坡比）用字母i表示。【即坡角的正切值（可写作：i = Fn坡角=h:l ）］ 正切：把锐角2的对边与邻边的比叫做回2的正切，记作tanA. 【详解】 ⑴过8作灰妇4?于G, 则四边形8G。尸是矩形,
^AG= VAB2-BG2 = 12 米,
幽8的坡度/笔=1 : 2.4; CF ”
⑵在居始尸中，8尸二病去而、， 在能底「中,标二缶百•二号, 回8£二4米，
解得：CF= 16 . @DC=CF+DF= 16+5 = 21 米.
本题考查了解直角三角形的应用-仰角和俯角问题，解直角三角形的应用-
CF 0BF- E甩 4
牛4,
【点坡度和坡比问题，正确理解题意是解题的关键. 72 .(问题提出):如图(1),已知海岛A到海岸公路BD的距离为AB, C为
公
路BD上的酒店,从海岛A到酒店C先乘船到登陆点D,船速为a,再乘汽车，车速
九年级数学第二十八章锐角三角函数综合习题大全(含答案) (151)
九年级数学第二十八章锐角三角函数综合习题大全（含答案）如图，一轮船由南向北航行到O处时，发现与轮船相距40海里的A岛在北偏东33方向．已知A岛周围20海里水域有暗礁，如果不改变航向，轮船________（填“有”或“没有”）触暗礁的危险．（可使用科学记算器）【答案】没有【解析】【分析】求出AB后和20相比较，可以直接用正弦函数解答．【详解】解：已知OA=40，∠O=33°，则AB=40•sin33°≈21.79＞20．所以轮船没有触暗礁的危险．故答案为: 没有．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意得出AB的长是解题关键．AC=，52．矩形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，已知10△的周长是_________∠=︒，则CODACB30【答案】15【分析】直接利用矩形的性质得出60OCD ∠=︒，5DO CO ==，进而得出OCD 是等边三角形，即可得出答案．【详解】解：如图所示：矩形ABCD 的两条对角线AC 、BD 相交于点O ，10AC =，30ACB ∠=︒，9060OCD ACB ∴∠=︒-∠=︒，152DO CO AC ===， OCD ∴是等边三角形，DOC ∴的周长是：15．故答案为：15．【点睛】 此题主要考查了矩形的性质以及等边三角形的性质，正确得出OCD 是等边三角形是解题关键．53．如图，定义：若双曲线()0k y k x=>与它的其中一条对称轴y ＝x 相交于A 、B 两点，则线段AB 的长度为双曲线()0k y k x=>的对径．若双曲线()0k y k x =>的对径是4，则k=___．【答案】2【分析】根据题中的新定义：可得出对径AB=OA+OB=2OA ，由已知的对径长求出OA 的长，设A （a ，a ），a 大于0，利用勾股定理得到a 的值，确定出A 的坐标，将A 的坐标代入反比例解析式中，即可求出k 的值．【详解】过A 作AM ∠x 轴，交x 轴于点M ，如图所示：∠点A 在y x ＝上，∠设A （a ，a ），a 大于0，可得出AM=OM=a ，又∠双曲线的对径为4，∠OA=OB=2，在Rt ∠AOM 中，根据勾股定理得：AM 2+OM 2=OA 2，则2a +2a =22， 解得：a =a =，则A ），将x y ===， 解得：2k =．故答案为：2．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：勾股定理，坐标与图形性质以及待定系数法确定函数解析式．利用勾股定理求得点A 的坐标是解题的关键．54．在平面直角坐标系中，点A、B、C坐标分别为（0，1）、（0，5）、（3，0），D是平面内一点，且∠ADB＝45°，则线段CD的最大值是__________【分析】根据D是平面内一点，且∠ADB＝45°，可以构建圆心为P的圆，判断出C,P,D 在一条直线上为最大值，根据已知条件求出P的坐标，进而求出半径及PC得值，从而得到答案.【详解】解：如图设圆心为点P，连接PA，PB，PC，最大值为C，P，D在一条直线上∠点A、B、C坐标分别为（0，1）、（0，5）、（3，0），D是平面内一点，且∠ADB＝45°∠∠APB=90°则PE=2，圆的半径=∠ P(-2,3) PE=FO=2,PF=EO=3,PD=∠ PC2=PF2+CF2=OE2+(PE+OC)2=32+(2+3)2=34∠∠ 线段CD 的最大值：【点睛】此题主要考查了点与圆的关系、圆周角定理及等腰直角三角形，灵活判断最大值是解题的关键.55．如图，正方形ABCD 的边长为5，O 是AB 边的中点，点E 是正方形内一动点，OE ＝2，将线段CE 绕C 点逆时针旋转90°得CF ，连OF ，线段OF 的最小值为_____．【分析】如图，连接DO ，将线段DO 绕点D 逆时针旋转90°得DM ，连接OF ，FM ，OM ，根据全等三角形的性质得到FM ＝OE ＝2，根据勾股定理得到OC ＝2，求得OC ＝2，，于是得到结论． 【详解】解：如图，连接DO ，将线段DO 绕点D 逆时针旋转90°得DM ，连接OF ，FM ，OM ，∠∠ECF ＝∠OCM ＝90°，∠∠ECO ＝∠FCM ，∠CE＝CF，CO＝CM，∠∠ECO∠∠FCM（SAS），∠FM＝OE＝2，∠正方形ABCD中，AB＝5，O是AB边的中点，∠OB＝2.5，∠OC，，2∠OF+MF≥OM，．∠OF≥2．∠线段OF的最小值为2【点睛】此题主要考查正方形的性质证明，解题的关键是熟知全等三角形的证明与勾股定理的运用.。
九年级数学第二十八章锐角三角函数综合测试习题(含答案) (178)
九年级数学第二十八章锐角三角函数综合测试习题（含答案）如图，ABC ∆内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，AC CE =，连接AE 交BC 于点D ，延长DC 至F 点，使CF CD =，连接AF ．（1）判断直线AF 与⊙O 的位置关系，并说明理由．（2）若10AC =，3tan 4CAE ∠=，求AE 的长．【答案】（1）直线AF 是⊙O 的切线，理由见解析；（2）16.【解析】【分析】（1）连接AC ，根据圆周角定理得到⊙ACB=90°，根据等腰三角形的性质得到⊙CAN=⊙EAC ，⊙E=⊙EAC ，得到⊙B=⊙FAC ，等量代换得到⊙FAC+⊙BAC=90°，求得OA ⊙AF ，于是得到结论；（2）过点C 作CM ⊙AE ，根据三角函数的定义得到34CM AM =，设CM=3x ，则AM=4x ，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：（1）直线AF 是⊙O 的切线，理由是：连接AC ，⊙AB 为⊙O 直径，⊙90ACB ∠=，⊙AC BC ⊥，⊙CF CD =，⊙CAF EAC ∠=∠，⊙AC CE =，⊙E EAC ∠=∠，⊙B E ∠=∠，⊙B FAC ∠=∠，⊙90B BAC ∠+∠=，⊙90FAC BAC ∠+∠=，⊙OA AF ⊥，又⊙点A 在⊙O 上，⊙直线AF 是⊙O 的切线；（2）过点C 作CM AE ⊥，⊙3tan 4CAE ∠=， ⊙34CM AM =， ⊙10AC =，⊙设3CM x =，则4AM x =，在Rt ACM ∆中，根据勾股定理，222CM AM AC +=，⊙()()2234100x x +=，解得2x =，⊙8AM =，⊙AC CE =，⊙22816AE AM ==⨯=．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理以及解直角三角形，是基础知识比较简单．87．一种笔记本的售价为2.2元/本，如果买100本以上，超过100本部分的售价为2元/本．（1）小强和小明分别买了50本和200本，他们俩分别花了多少钱？（2）如果小红买这种笔记本花了380元，她买了多少本？（3）如果小红买这种笔记本花了n 元，她又买了多少本？【答案】（1）小强：110元；小明：420元；（2）180本；（3）n ≤220时，本数=2.2n ；n ＞220时，本数=102n -； 【详解】（1）小强的总花费=2.2×50=110（元）；小明的总花费为：2.2×100+（200－100）×2=220+200=420（元）.（2）小红买的本数为：100+380 2.21002-⨯=100+80=180（本）. （3）当n ≤220时，本数=2.2n ； 当n ＞220时，本数=100+ 2.21002n -⨯=100+2202-n =2n -10． 88．如图，CD 垂直平分AB 于点D ，连接CA ，CB ，将BC 沿BA 的方向平移，得到线段DE ，交AC 于点O ，连接EA ，EC ．（1）求证：四边形ADCE 是矩形；（2）若CD ＝1，AD ＝2，求sin ⊙COD 的值．【答案】（1）见解析；（2）4．5【分析】（1）根据“有一内角为直角的平行四边形为矩形”进行证明即可；（2）如图，过D作DF⊙AC于F，利用矩形的对角线相互平分的性质、勾股定理求得OD的长度；然后利用面积法可以求得DF的长度，所以通过解Rt⊙ODF得到答案．【详解】（1）证明：由已知得BD//CE，BD＝CE，⊙CD垂直平分AB，⊙AD＝BD，⊙CDA＝90°，⊙结合平移的性质得到：AD//CE，AD＝CE，⊙四边形ADCE是平行四边形，⊙平行四边形ADCE是矩形；（2）解：过D作DF⊙AC于F，在Rt⊙ADC中，⊙CDA＝90°，⊙CD＝1，AD＝2，由勾股定理可得：AC⊙O为AC中点，⊙OD，⊙AC•DF＝AD•DC，⊙DF ， 在Rt ⊙ODF 中，⊙OFD ＝90°，⊙sin ⊙COD ＝45DF OD =．【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质以及平移的性质，解决本题的关键是要熟练掌握勾股定理和矩形的性质.89．计算：|1|+（﹣12）﹣2﹣1cos 45︒4）0． 【答案】0.【解析】【分析】可以先去绝对值和将余弦值化简，再根号求解后再进行求值即可.【详解】原式=﹣1+4﹣﹣2﹣1=0．【点睛】本题考查了多项式的求值，绝对值，余弦根号的化简是解决本题的关键.90．如图，在平面直角坐标系中，点A 坐标（0，6），AC ⊙y 轴，且AC=AO ，点B ，C 横坐标相同，点D 在AC 上，tan ⊙AOD=13，若反比例函数y=k x（x ＞0）的图象经过点B 、D ．（1）求：k 及点B 坐标；（2）将⊙AOD 沿着OD 折叠，设顶点A 的对称点A 1的坐标是A 1（m ，n ），求：代数式m+3n 的值以及点A 1的坐标．【答案】（1）（6，2）；（2）（3.6，4.8）【解析】试题分析：（1）先根据tan ⊙AOD =13，A 坐标（0，6）得出AD 的长，再根据点D 在反比例函数y =k x（x ＞0）的图象上可求出k 的值，由BC ⊙AO ，得出B 点坐标；（2）过点A 1作EF ⊙OA 交AC 于E ，交x 轴于F ，连接OA 1，根据AC ⊙x 轴可知⊙A 1ED =⊙A 1FO =90°，由相似三角形的判定定理得出⊙DEA 1⊙⊙A 1FO ，设A 1（m ，n ），可得出62m n n m -=-，m 2+n 2=2m +6n ，，再根据勾股定理可得出m 2+n 2=36，于是得到结论．解：（1）⊙点A 坐标（0，6），tan ⊙AOD=，⊙AD=2，⊙D （2，6）⊙点D 在反比例函数y=（x ＞0）的图象上，⊙6=，解得k=12，⊙AC=AO ，点B ，C 横坐标相同，⊙点B 、C 的横坐标都是6，⊙BC ⊙AO ，⊙B（6，2）；（2）过点A1作EF⊙OA交AC于E，交x轴于F，连接OA1，⊙AC⊙x轴，⊙⊙A1ED=⊙A1FO=90°，⊙⊙OA1D=90°，⊙⊙A1DE=⊙OA1F，⊙⊙DEA1⊙⊙A1FO，⊙A1（m，n），⊙=，⊙m2+n2=2m+6n，⊙m2+n2=OA12=OA2=36，⊙m+3n=18，即m=18﹣3n，⊙（18﹣3n）2+n2=36，解得n1=6（舍去），n2=4.8，⊙m=18﹣3×4.8=3.6，即点A1的坐标为（3.6，4.8）．点睛：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，翻折的性质，勾股定理、相似三角形的判定与性质、反比例函数图象上点的坐标特点等知识，难度适中．。
九年级数学第二十八章锐角三角函数综合习题大全(含答案) (40)
九年级数学第二十八章锐角三角函数综合习题大全（含答案）如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12cm ，OB=6cm.点P 从点O 开始沿0A 边向点A 以1cm/s 的速度移动；点Q 从点B 开始沿BO 边向点O 以1cm/s 的速度移动，如果点P 、Q 同时出发，用t(s)表示移动的时间(0≤t<6)，那么:(1)设ΔPOQ 的面积为y ，求y 关于t 的函数关系式；(2)当ΔPOQ 的面积为4.5cm ²时，ΔPOQ 沿直线PQ 翻折后得到ΔPCQ.试判断点C 是否落在直线AB 上，并说明理由；(3)当t 为何值时，△POQ 与△AOB 相似.【答案】（1）2132y t t =+；（2）点C 不在直线AB 上；（3）t=2或t=4【分析】（1）根据S △POQ = 12•PO •OQ ，再把OQ=6-t ，OP=t 代入整理即可；（2）令213 4.52t t +=，求出t ，即可求出OP=3，OQ=3，即可知△POQ 是等腰直角三角形，根据折叠的性质知点C 的坐标是(3，3)，求出直线AB 的函数关系式，把点C 代入函数解析式即可得出点C 不在直线AB 上；（3）分两种情形讨论即可①若△POQ △△AOB 时，得 OQ OPOB OA=，②若△POQ △△BOA 时，得OQ OPOA OB=，分别解方程即可． 【详解】(1)△OQ=6-t△211(6)322y t t t t =-=+(2)当△POQ 的面积为4.5cm ²时，即213 4.52t t +=△t=3易得△POQ 是等腰直角三角形 △点C 的坐标是(3，3)而直线AB 的函数关系式是162y x =-+当3x =时，1936322y =-⨯+=≠△点C 不在直线AB 上（3）△OB=6cm ，点P 从O 点开始沿OA 边向点A 以1cm/s 的速度移动， △OQ=（6-t ）cm ，△点Q 从点B 开始沿BO 边向点O 以1cm/s 的速度移动， △OP=t （cm ）， 若△POQ △△AOB 时，得OQ OP OB OA =即6612t t-= 整理得：12-2t=t ， 解得：t=4，则当t=4时，△POQ 与△AOB 相似； 若△POQ △△BOA 时，得OQ OPOA OB =， 即6126t t-= 解得：t=2，则当t=2时，△POQ与△BOA相似；综上所述：当t=4s或2s时，△POQ与△AOB相似.【点睛】本题考查相似三角形综合题、三角形面积问题等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．87．如图，已知直线l，点A是直线l外一点，用尺规作l的垂线，使它经过点A（请保留作图痕迹，不写做法）。
九年级数学第二十八章锐角三角函数综合习题大全(含答案) (150)
九年级数学第二十八章锐角三角函数综合习题大全（含答案）如图，已知直线l：y，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…；按此作法继续下去，则点A4的坐标为_____．【答案】（0，256）【分析】利用锐角三角函数分别计算得到12,A A的坐标，利用规律直接得到答案．【详解】x解：∵l：y＝3∵l与x轴的夹角为30°∵AB∵x轴∵∵ABO＝30°∵OA＝1∵AB∵A1B∵l∵∵ABA1＝60°∵AA1＝3∵A 1（0，4）同理可得A 2（0，16）…∵A 4纵坐标为44＝256∵A 4（0，256）故答案为：（0，256）．【点睛】本题考查的是一次函数综合题，先根据所给一次函数判断出一次函数与x 轴夹角是解决本题的突破点；根据含30°的直角三角形的特点依次得到123,,A A A …的点的坐标是解决本题的关键．47．已知：如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝4，∥B ＝60°，∥C ＝105°，点E 为BC 的中点，以CE 为弦作圆，设该圆与四边形ABCD 的一边的交点为P ，若∥CPE ＝30°，则EP 的长为_____．4或或2【分析】如图，连接AC ，AE ，根据已知条件得到∵ABC 是等边三角形，求得BE=CE=2，AE ∵BC ，∵EAC=30°，推出AC 是以CE 为弦的圆的直径，设圆心为O ，当∵O 与CD 边交于1P ，则130EPC ∠=︒，过C 作1CH PE ⊥于H ，解直角三角形得到1PE =；当∵O 与AD 交于2P ，A(3P )，由AD ∵CE ，推出四边形2AECP 是矩形，得到24P E AC ==，P 3E ，当∵O 与AB 交于4P ，得到4BP E 是等边三角形，求得42P E BE ==，于是得到结论．【详解】如图，连接AC ，AE ，∵AB =BC =4，∵B =60°，∵∵ABC 是等边三角形，∵点E 为BC 的中点，∵BE =CE =2，AE ∵BC ，∵EAC =30°，∵AC 是以CE 为弦的圆的直径，设圆心为O ，当∵O 与CD 边交于P 1，则∵EP 1C =∵EAC =30°，∵∵ECP 1=105°，∵∵P 1EC =45°，过C 作CH ∵P 1E 于H ，∵EH =CH =2CE ，∵P 1H ，∵1PE ；当∵O 与AD 交于P 2、A (P 3)，∵AD ∵CE ，∵∵ECP 2=∵AP 2C =90°，∵四边形AECP 2是矩形，∵P 2E =AC =4，P 3E CE ，当∵O 与AB 交于P 4，∵∵AP 4C =90°，∵EP 4C =30°，∵∵BP 4E =60°，∵∵BP 4E 是等边三角形，∵P 4E =BE =2，综上所述，若∵CPE =30°，则EP +4或2，4或或2．【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．48．已知2222(2)(2)5a b a b +++-=,那么22a b +=_____.【答案】3.【解析】【分析】把22a b +看成一个整体设为x ，再解一元二次方程舍去负值即可.【详解】设22a b x +=,则原方程化为:()()225x x +-=,29x=,x=±,3220+>,a b223a b∴+=,故答案为:3.【点睛】本题考查的是解方程，关键是将22+看成一个整体，即整体思想的应用，a b易错点是要注意22a b+的非负性，注意根的取舍.49．某校5个假日小队参加植树活动，平均每组植树10株．已知第一、二、三、五组分别植树9株、12株、9株、8株，则第四小组植树________株．【答案】12【解析】【分析】根据平均数求得5个假日小队共植树50株，再由已知条件即可求得第四小组植树株数.【详解】解：∵某校5个假日小队参加植树活动，平均每组植树10株，∵5个假日小队共植树：5×10=50（株），又∵第一、二、三、五组分别植树9株、12株、9株、8株，∵第四小组植树：50-9-12-9-8=12（株）.故答案为12.【点睛】本题考查平均数的概念，熟记公式是解题关键.50．|x＋1|＋|y－2|＝0，则y－x－13的值是____．【答案】83【解析】【分析】本题可根据非负数的性质“两个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0”列出二元一次方程组，解出x、y的值，再代入原式即可．【详解】解：根据题意得：1020xy⎧⎨-⎩＋＝＝，解得：12xy-⎧⎨⎩＝＝，则原式＝2－（－1）－1833＝．故答案是：83．【点睛】本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．。
九年级数学第二十八章锐角三角函数综合习题大全(含答案) (154)
九年级数学第二十八章锐角三角函数综合习题大全（含答案）如图，在边长为6的正方形ABCD 中，点P 是边AD 上一动点，连接BP ，将ABP △沿BP 翻折，点A 的对应点为点E ，连接,DE CE ．（1）如图1，当30ABP ︒∠=时，直接写出DEC ∠的度数为__________；（2）如图2，当2AP =时，求证：DE EC ⊥；（3）如图3，点M 是边BC 上一动点，当37.5ABP ︒∠=时，求EM BM +的最小值．【答案】（1）150°；（2）证明见解析；（3）【分析】（1）连接AE ，可得出△ABE 为等边三角形，BE=BC=AE=AD ，又△DAE=△CBE=30°，所以△ADE=△AED=△BCE=△BEC=75°，从而得到△EDC=△ECD=15°，根据三角形内角和定理求出△DEC 的度数即可；（2）过E 作MN 垂直AD 于M ，垂直BC 于N ，得到△PEM △△EBN ，通过相似的性质求出EM ，DM ，EN,CN 的长，再根据相似三角形的判定得出△DEC 为直角三角形；（3）通过构造等腰直角三角形，把2BM 转化求最小值即可．【详解】解：（1）连接AE，△30△沿BP翻折∠=，ABPABP︒△△ABE=60°，AB=BE△△ABE为等边三角形，△AE=BE=AB=BC=AD，△BAE=60°，△△EAD=30°，△EBC=30°，又AE=AD，BE=BC△△ADE=△AED=△BEC=△BCE=75°，△△EDC=△ECD=15°，△△DEC=150°故答案为：150°；(2) 过E作MN垂直AD于M，垂直BC于N，△ABP△沿BP翻折△△PEB=90°，△△MPB=△BEN，△PEM=△EBN△△PME△△ENB，△PE ME BE BN=， 又AP=2,BE=AB=6， △13PE ME BE BN ==， 设ME=x ，则BN=3x ，EN=6－x ，222BE BN EN =+，即()()222636x x =+－， 解得x=65， △ME=65，则NE=245，BN=185，PM=85， △DM=6－2－85=125， △DM EM EN CN=，又△DME=△ENC=90°， △△DME △△ENC ，△△MDE=△NEC ，△MED=△NCE ，又△DME=90°，△△MED+△NEC=90，△△DEC=90°，△DE EC ⊥；（3）以△CBG=45°在BC 下方作射线BG ，然后过M 向BG 作垂线，可得到△BGM 为等腰直角三角形，△2BM =MG ，△EM BM 的最小值即为EM+MG 的最小值，过E 作EQ 垂直BG 于Q 点，则2EM BM +的最小值即为EQ 的长， △37.5ABP ︒∠=△△PBE=37.5°△△EBC=15°，又△CBG=45°，△△EBQ=60°，在直角三角形EBQ 中，△EBQ=60°△△BEQ=30°，△EQ=cos BEQ ∠×，△2EM BM +的最小值为．【点睛】本题主要考查了与正方形折叠有关的综合题型，解题关键在于掌握折叠的性质与正方形的性质，并会灵活应用相似三角形的性质与判定解题．67．（1）如图①，点E是正方形ABCD边BC上任意一点，过点C作直线CF⊥AE，垂足为点H，直线CF交直线AB于点F，过点E作EG⊥AB，交直线AC于点G．则线段AD，EG，BF之间满足的数量关系是；（2）如图②，若点E在边CB的延长线上，其他条件不变，则线段AD，EG，BF之间满足的数量关系是，证明你的结论；，（3）如图③，在（2）的条件下，若正方形ABCD的边长为4，tan⊥F=23将一个45°角的顶点与点A重合，并绕点A旋转，这个角的两边分别交线段EG 于M，N两点．当EN=2时，求线段GM的长．【答案】（1）AD=EG+BF；（2）AD=EG-BF；证明见解析；（3）3.【解析】试题分析：（1）由正方形的性质得出AD=AB=BC，△ABC=90°，△ACB=45°，由平行线的性质得出△CEG=△ABC=90°，得出△CEG是等腰直角三角形，EG=CE，由AAS证明△ABE△△CBF，得出对应边相等BE=BF，即可得出AD=EG+BF；（2）由正方形的性质得出AD=AB=BC，△ABC=90°，△ACB=45°，由平行线的性质得出△CEG=△ABC=90°，得出△CEG是等腰直角三角形，EG=CE，由AAS证明△ABE△△CBF，得出BE=BF，即可得出AD=EG-BF；（3）过A 作AP △EG 于P ，过M 作MQ △AG 于Q ，则四边形ABEP 为矩形，得出AB=PE ，AP=BE ，由正方形的性质得出AB=BC=AD=PE=4，由三角函数得出BE=BF=AP=6，得出PN=2，证明△AQM △△APN ，得出对应边成比例，AQ=3QM ，由勾股定理求出AG ，证明△AGP △△GMQ ，得出对应边成比例，GM=QM ，设GM=x ，由勾股定理得出方程，解方程即可．试题解析：（1）AD=EG+BF ，理由如下：△四边形ABCD 是正方形，△AD=AB=BC ，△ABC=90°，△ACB=45°，△EG △AB ，△△CEG=△ABC=90°，△△CEG 是等腰直角三角形，△EG=CE ，△CF △AE ，垂足为点H ，△△CHE=△CBF=90°，△△F=△CEH ，△△CEH=△AEB ，△△F=△AEB ，在△ABE 和△CBF 中，{F AEBABE CBF AB BC∠=∠∠=∠=，△△ABE △△CBF （AAS ），△BE=BF ，△BC=EC+BE=EG+BF，△AD=EG+BF；（2）AD=EG-FB，理由如下：△四边形ABCD是正方形，△AD=AB=BC，△ABC=90°，△ACB=45°，△EG△AB，△△CEG=△ABC=90°，△△CEG是等腰直角三角形，△EG=CE，△CF△AE，垂足为点H，△△FHA=△FBC=△ABE=90°，△△FAH=△BCF，△△FAH=△BAE，△△BCF=△BAE，在△ABE和△CBF中，{FBC ABE BCF BAE AB BC∠=∠∠=∠=，△△ABE△△CBF（AAS），△BE=BF，EG=CE=BE+BC=BF+AD，△AD=EG-BF；故答案为AD=EG-BF；（3）过A作AP△EG于P，过M作MQ△AG于Q，如图所示：则四边形ABEP 为矩形，△AB=PE ，AP=BE ，△正方形ABCD 的边长为4，△AB=BC=AD=PE=4，△tan △F=23BC BF =， △BF=432⨯=6， △BE=BF=AP=6，△EN=2，△PN=2，△△PAQ=△MAN=45°，△△MAQ=△NAP ，△△APN=△AQM=90°，△△AQM △△APN ， △AQ QM AP PN=， 即62AQ QM =， △AQ=3QM ，△△APG 是等腰直角三角形，△==△△G=△G ，△GQM=△APG=90°，△△AGP△△GMQ，△GM QMAG AP=,6QM=，△QM，设GM=x，△GM2=QM2+（AG-AQ）2，则x2=）2+（2，解得：x=3或x=6（不合题意，舍去），△GM=3．考点：四边形综合题．68．如图，在⊥ABC中，AB=AC,AD⊥BC于D点，BE⊥AC于E点,AD=BC,BE=4.求:（1）tanC的值；（2）AD的长.【答案】（1）tanC=2.（2）AD=【解析】试题分析：（1）由等腰三角形三线合一定理得，BD=DC,由AD=BC,易知tanC.(2) Rt△EBC中，利用tanC，BE值，可求得BC边，试题解析：（1）△AB=AC,AD △BC ,△AD ＝BC ＝2DC .△tanC=2.（2）△tanC=2，BE △AC ,BE =4,△EC =2.△BC 2=BE 2+EC 2,△BC =△AD =69．如图，学校某数学兴趣小组想测量操场对面旗杆AB 的高度，他们在E 处测得旗杆顶部A 的仰角为65°，再向旗杆相方方向走了4米达到D 处，再继续沿着坡度为1:2的楼梯向上走了米达到C 处，在C 处测得旗杆顶部A 的仰角为35°，求旗杆的高度AB 为多少米？（结果精确到0.1米，参考数据：sin350.6︒≈，cos350.8︒≈，tan350.7︒≈，sin650.9︒≈，cos650.4︒≈，tan65 2.1︒≈）．【答案】旗杆的高度AB 约为15.0米．【分析】作CG AB ⊥于G ，DH CG 于H ， 则HG DB =，BG DH =；然后求出3BG DH ==，6CH =；在Rt ACG 中解直角三角形可得0.7AG CG ≈，然后根据题意和线段的和差求得6410EB DB DE CG CG =-=--=-，在Rt AEB 中解三角形求得CG,最后根据AB=AG+BG 计算即可．【详解】解：如图：作CG AB ⊥于G ，DH CG 于H ，则HG DB =，BG DH =， 楼梯CD 的坡度为1:2，CD =3BG DH ∴==，6CH =，在Rt ACG 中，35ACG ∠=︒，tan tan 350.7AG ACG CG∠==︒≈， 0.7AG CG ∴≈，0.73AB AG BG CG ∴=+=+，6DB HG CG CH CG ==-=-，6410EB DB DE CG CG ∴=-=--=-，在Rt AEB 中，65AEB ∠=︒，1t 5an tan 6 2.AB AEB EB∠==︒≈， 2.1AB EB ∴=，()0.73 2.110CG CG ∴+=-，解得：17.14CG =，0.717.14315.0AB ∴=⨯+=，即旗杆的高度AB 约为15.0米．【点睛】本题考查了解直角三角形，作出辅助线、构造合适的三角形成为解答本题的关键．70．如图①,在菱形ABCD 中,60B ︒∠= ，4AB =.点P 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿边AD 向终点D 运动，过点P 作PQ AC ⊥交边AB 于点Q ，过点P 向上作//PN AC ，且2PN PQ =，以PN 、PQ 为边作矩形PQMN .设点P 的运动时间为t （秒），矩形PQMN 与菱形ABCD 重叠部分图形的面积为S .（1）用含t 的代数式表示线段PQ 的长.（2）当点M 落在边BC 上时，求t 的值.（3）当0t 1<<时，求S 与t 之间的函数关系式，（4）如图②,若点O 是AC 的中点，作直线OM .当直线OM 将矩形PQMN 分成两部分图形的面积比为12：时，直接写出t 的值【答案】（1）PQ =；（2）45；（3）2-+-；（4） 23t = 或87t = ．【解析】【分析】（1）由菱形性质得△D=△B=60°，AD=AB=CD=4，△ACD 是等边三角形，证出△APQ 是等腰三角形，得出PF=QF ，PF=PA •sin60°，即可得出结果；（2）当点M 落在边BC 上时，由题意得：△PDN 是等边三角形，得出PD=PN ，由已知得，得出PD=3t ，由题意得出方程，解方程即可；（3）当0＜t ≤45时，，PN=，S=矩形PQMN 的面积=PQ ×PN ，即可得出结果；当45＜t ＜1时，△PDN 是等边三角形，得出PE=PD=AD-PA=4-2t ，△FEN=△PED=60°，得出NE=PN-PE=5t-4，5t-4），S=矩形PQMN 的面积-2△EFN 的面积，即可得出结果；（4）分两种情况：当0＜t ≤45时，△ACD 是等边三角形，AC=AD=4，得出OA=2，OG 是△MNH 的中位线，得出OG=4t-2，NH=2OG=8t-4，由面积关系得出方程，解方程即可； 当45＜t ≤2时，由平行线得出△OEF △△MEQ ，得出EF OF EQ MQ =，即23t t -=，解得+形面积关系得出方程，解方程即可．【详解】（1）△在菱形ABCD 中，△B=60°，△△D=△B=60°，AD=AB=CD=4，△ACD 是等边三角形，△△CAD=60°，△PQ △AC ，△△APQ 是等腰三角形，△PF=QF ，PF=PA •sin60°=2t t ，△；（2）当点M 落在边BC 上时，如图2所示：由题意得：△PDN 是等边三角形，△PD=PN ，△， △PD=3t ，△PA+PD=AD ，即2t+3t=4，解得：t=45． （3）当0＜t ≤45时，如图1所示：，， S=矩形PQMN 的面积=PQ ××t2； 当45＜t ＜1时，如图3所示：△△PDN 是等边三角形，△PE=PD=AD-PA=4-2t ，△FEN=△PED=60°，△NE=PN-PE=3t-（4-2t ）=5t-4，△5t-4），△S=矩形PQMN 的面积-2△EFN 的面积2-2×125t-4）2=-19t 2，即S=-19t2（4）分两种情况：当0＜t ≤45时，如图4所示：△△ACD 是等边三角形，△AC=AD=4，△O 是AC 的中点，△OA=2，OG 是△MNH 的中位线，△OG=3t-（2-t ）=4t-2，NH=2OG=8t-4，△△MNH 的面积=12MN ×NH=12××（8t-4）=13×t 2， 解得：t=23； 当45＜t ≤2时，如图5所示：△AC △QM ，△△OEF △△MEQ ， △EF OFEQ MQ =23t t -=，解得：，△+，△△MEQ 的面积=12×3t ×+=13×2， 解得：t=87； 综上所述，当直线OM 将矩形PQMN 分成两部分图形的面积比为1：2时，t 的值为23或87． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质、矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握菱形和矩形的性质，综合运用知识，进行分类讨论是解题的关键．。
九年级数学第二十八章锐角三角函数综合习题大全(含答案) (74)
九年级数学第二十八章锐角三角函数综合习题大全（含答案）如图，在1OAA △中，130AOA ∠=︒，A 90∠=︒，11AA =，以1OA 为边作12Rt OA A △，使1230AOA ∠=︒，1290OA A ∠=︒；再以2OA 为边作23Rt OA A △，使2330A OA ∠=︒，2390OA A ∠=︒；再以3OA 为边作34Rt OA A △，使3430A OA ∠=︒，3490OA A ∠=︒，…，如此继续，可以依次得到12Rt OA A △，23Rt OA A △，34Rt OA A △，…，1n n Rt OA A -△，则2020OA =__________．【分析】在直角三角形中，已知一个角是30°，一边边长，根据特殊角三角函数解直角三角形，依次求出OA 1、OA 2、OA 3、OA 4、OA 5、OA 6，然后找到规律，即可求出2020OA 的值．【详解】∵130AOA ∠=︒，A 90∠=︒，11AA =∵1223OA ===∵1230AOA ∠=︒，1290OA A ∠=︒∵12cos30332OA OA ====︒ ∵2330A OA ∠=︒，2390OA A ∠=︒∵233282cos3033OAOA====︒∵3430A OA∠=︒，3490OA A∠=︒∵34282cos303OAOA====︒∵4330A OA∠=︒，4590OA A∠=︒∵4232cos309325OAOA====︒同理可得5632cos30OAOA====︒综上所述，23nOA=∵2020OA=【点睛】本题考查了特殊角三角函数解直角三角形，是一道找规律题，本题根据已知多求出几个直角三角形斜边，然后从中找到规律是解题的关键．57．师大一中准备办自己的农场，如果设计成等腰三角形的样子，要求等腰三角形的一边长为20，面积为160，则该等腰三角形的周长为_____【答案】40＋40＋20+【分析】分别根据三角形的不同形状以及边长为20也可能是腰长也可能是底边长，分别分析得出答案即可．【详解】解：①如图，设AB ＝AC ＝20，过点C 作CD ∵AB 于点D ，∵ABC S ＝12×CD ×AB ＝160 ∵12×CD ×20＝160， 解得：CD ＝16， ∵222AD AC CD =- ∵AD ＝12， ∵BD ＝20－12＝8，∵BC =∵AB ＋BC ＋AC ＝40＋②如图，设AB ＝AC ＝20，过点C 作CD ∵AB 于点D ，∵ABCS＝12×CD ×AB ＝160∵12×CD ×20＝160， 解得：CD ＝16， ∵AD ＝12，∵BD ＝20+12＝32，∵BC =∵AB ＋BC ＋AC ＝40＋ ③设BC ＝20， 过点A 作AD ∵CB 于点D ，∵ABCS ＝12×AD ×BC ＝160 ∵12×AD ×20＝160， 解得：AD ＝16，∵AB =∵AB ＋BC ＋AC ＝20+故答案为：40＋40＋20+【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据已知分类讨论得出是解题关键．三、解答题58．已知直角△ABC ，△BAC=90°，D 是斜边BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC边上的点，且DE△DF连接EF（1）如图1，求证：△BED=△AFD；（2）求证：BE2+CF2=EF2；（3）如图2，当△ABC=45°，若BE=12，CF=5，求△DEF的面积．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）1694【分析】（1）利用四边形内角和得出∵AED+∵AFD=180°，再根据补角的性质即可得；（2）延长ED至点P，使ED=DP，构造全等三角形，利用全等三角形的性质得到直角三角形，由勾股定理及等量代换可得；（3）由（2）结论求EF长，再通过全等证明DE=DF,由面积公式求解.【详解】解：（1）∵DE∵DF,∵∵EDF=90°,∵∵BAC=90°,∵∵AED+∵AFD=180°,∵∵AED+∵BED=180°,∵∵BED=∵AFD；（2）如图，延长ED至点P，使ED=DP，连接CP,EP, ∵FD∵EP,∵FD为EP的垂直平分线，∵EF=FP,∵ED=DP, ∵EDB=∵CDP，BD=CD，∵∵EDB∵PDC,∵EB=CP, ∵B=∵DCP,∵∵BAC=90°,∵∵B+∵ACB=90°,∵∵DCP+∵ACB=90°,即∵ACP=90°,由勾股定理得，CP2+CF2=FP2，∵BE2+CF2=EF2；（3）如图，∵BE2+CF2=EF2∵52+122=EF2，∵EF=13，∵∵ABC是等腰直角三角形，BD=CD,∵AD ∵BC, ∵∵ADC=90°, ∵BAD=∵B=∵C=45°, ∵∵EDF=90° ∵∵ADE=∵CDF, ∵∵ADE ∵CDF,∵DE =DF=2, ∵S ∵DEF =1113213216922224DE DF.【点睛】本题为三角形的综合应用，主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，以及勾股定理等，构造全等三角形、掌握“倍长中线”型全等三角形的模型是解答此题的关键．59．如图，AB 为O 的直径，点D 为半径OB 的中点，过点D 作射线DE AB ⊥，交直径AB 上方的圆弧于点E ，点C 为AE 上一动点，连接BC 交DE 于点P ，连接AC ，在射线DE 上取一点F ，使得=FC FP ．（1）求证：FC 为O 的切线； （2）已知4AB =，填空：①若15ABC ∠=︒，则CF =__________； ②当PE =__________时，四边形AOEC 为菱形．【答案】（1）详见解析；（2）①2；． 【分析】（1）连接OC ，利用等腰三角形的性质可证得OBC OCB ∠=∠，FCP FPC ∠=∠，再利用角的和差关系即可求得90OCB FCP ∠+∠=︒；（2）①连接OC ，过点C 分别作,⊥⊥CQ AB CG DE 于点,Q G ，如解图2所示，则四边形CQDG 是矩形，已知15ABC ∠=︒，可得30AOC ∠=︒，再利用三角函数的定义cos30OQ OC =︒，即可求得CG QD OQ OD ==+，再由角的和差关系求得F ∠的度数，即可求解；②连接,OE CE ，当四边形AOEC 为菱形时，如解图3所示，易证AOC △和COE 均为等边三角形，利用三角函数的定义可得：sin60DE OE =︒，tan30PD DB =︒，再由PE DE PD =-即可求解．【详解】（1）证明：连接OC ，如解图1所示．∵DE AB ⊥， ∵90PDB ∠=︒， ∵90OBC BPD ∠+∠=︒， ∵OB OC =， ∵OBC OCB ∠=∠，又∵,∠=∠=BPD FPC FC FP ， ∵∠=∠=∠FCP FPC BPD ，∵90OCB FCP ∠+∠=︒，即90OCF ∠=︒， ∵FC 为O 的切线．（2）解：①连接OC ，过点C 分别作,⊥⊥CQ AB CG DE 于点,Q G ，如解图2所示，则四边形CQDG 是矩形．∵=CG QD ， ∵15ABC ∠=︒， ∵30AOC ∠=︒， 又∵122OC AB ==，∵在Rt CQO △中，cos30OQ OC =︒=∵点D 是OB 的中点，∵11124===OD OB AB ，∵1==+=CG QD OQ OD ， ∵9075DPB ABC ∠=︒-∠=︒， ∵75FCP FPC ∠=∠=︒， ∵18015030F ∠=︒-︒=︒，∵在Rt FCG ∆中，22==CF CG ．②连接,OE CE ，当四边形AOEC 为菱形时，如解图3所示，易证AOC △和COE 均为等边三角形，∵60AOC COE ∠=∠=︒， ∵60EOD ∠=︒，∵sin 60DE OE =︒=，又∵1302ABC COA ∠=∠=︒，112BD OB ==，∵tan 30PD DB =︒=∵33=-==PE DE PD ． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，切线的判定定理和性质，锐角三角函数，等腰三角形的性质，菱形的性质等相关知识点，综合性比较强，熟悉掌握各性质的特点并灵活运用是解题的关键．60．如图，在菱形ABCD中，已知△BAD＝120°，对角线BD长为12．（1）求菱形ABCD的周长；（2）动点P从点A出发，沿A→B的方向，以每秒1个单位的速度向点B 运动；在点P出发的同时，动点Q从点D出发，沿D→C→B的方向，以每秒2个单位的速度向点B运动．设运动时间为t（s）．①当PQ恰好被BD平分时，试求t的值；②连接AQ，试求：在整个运动过程中，当t取怎样的值时，△APQ恰好是一个直角三角形？【答案】①;②见解析.【解析】【分析】（1）连接AC交BD于O，由菱形的性质得出AB=BC=CD=AD，AC∵BD，∵BCD=∵BAD=120°，∵BCO=12∵BCD=60°，OB=OD=12BD=6，在Rt∵BOC中，由三角函数求出ABCD的周长；（2）①当点Q在CD边上时，设PQ交BD于M，则PM=QM，由平行线求出BP=DQ，根据题意得：AP=t，DQ=2t，则-t，得出，解方程即可；当点Q在CB边上时，不存在；②当点Q在CD边上时，若∵PAQ=90°，与平行线的性质得出∵AQD=∵PAQ=90°，则∵DAQ=30°，由直角三角形的性质得出DQ=12，求出t的值即可；若∵APQ=90°，作AN∵CD于N，则∵PAN=90°，NQ=AP=t，由直角三角形的性质得出DN=12+t，解方程即可；当点Q在CB边上时，证出∵BPQ=90°，即∵APQ=90°恒成立．得出当≤t≤4时∵APQ都为直角三角形；即可得出答案．【详解】解：（1）连接AC交BD于O，如图1所示：∵四边形ABCD是菱形，∵AB=BC=CD=AD，AC∵BD，∵BCD=∵BAD=120°，∵BCO=12∵BCD=60°，OB=OD=12BD=6，在Rt∵BOC中，BC=643sin603==︒，∵菱形ABCD的周长=4×43=163；（2）①当点Q在CD边上时，设PQ交BD于M，则PM=QM，∵AB∵CD，∵BP PMDQ QM=1，∵BP=DQ，根据题意得：AP=t，DQ=2t，则，∵，解得：t=3；当点Q在CB边上时，不存在；②当点Q在CD边上时，若∵PAQ=90°，如图2所示：∵AB∵CD，∵∵AQD=∵PAQ=90°，∵∵DAQ=30°，∵DQ=12AD=23，即2t=23，解得：t=3；若∵APQ=90°，如图3所示：作AN∵CD于N，则∵PAN=90°，NQ=AP=t，∵∵DAN=30°，∵DN=12AD=23，∵DQ=DN+NQ，∵2t=23+t，解得：t=23；当点Q在CB边上时，如图4所示：根据题意得：AP=t，BP=43-t，CQ=2t-43，∵BQ=43-（2t-43）=83-2t，∵BP=12 BQ，作QH∵BP于H，∵∵ABC=60°，∵∵BQH=30°，∵BH=12BQ=43-t，∵BP=BH，即H与P重合，∵∵BPQ=90°，即∵APQ=90°恒成立．∵当≤t≤∵APQ都为直角三角形．综上可得，当t≤∵APQ恰好为直角三角形．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质、三角函数、含30°角的直角三角形的性质、平行线的性质以及分类讨论等知识；本题综合性强，难度较大，进行分类讨论是解题关键．。
九年级数学第二十八章锐角三角函数综合习题大全(含答案) (174)
九年级数学第二十八章锐角三角函数综合习题大全（含答案） 计算：（3﹣π）0+（﹣12）﹣1+3tan30°+|1﹣√3|． 【答案】2√3-2． 【解析】 试题分析：原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用负整数指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果． 试题解析：（3-π）0+（﹣12）﹣1+3tan30°+|1﹣√3| =1﹣2+√3+√3﹣1 =2√3﹣2． 考点：1、实数的运算；2、零指数幂；3、负整数指数幂；4、特殊角的三角函数值 67．四边形ABCD内接于,OAB是O的直径，ADCD．
（1）如图1，求证2ABCACD； （2）过点D作O的切线，交BC延长线于点P（如图
2）．5tan,112CABBC，求PD的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）6.5 【分析】 （1）连接,,ODOC证明2,AODDOCACD结合1,,2ABCAOCAOCAODDOC从而可得结论；
（2）由AB为O的直径，得90,ACB 利用锐角三角函数求解AC，连接,OD 交AC于E，证明,AECE四边形DECP为矩形，从而可得答案． 【详解】 证明：（1）如图1，连接,,ODOC ,ADDC 2,AODDOCACD 1,,2ABCAOCAOCAODDOC
1222.2ABCACDACDACD
（2）如图2，连接,OD 交AC于E， AB为O的直径， 90,ACBACP 51,tan,12BCBAC
5,12BCAC 12,5AC
DP为O的切线， 90,ODP ,ADDC ,ADCD 6,,5ODACAECE
90,DEC 四边形DECP为矩形， 6.5DPCE
【点睛】 本题考查了圆的基本性质，考查圆心角，弧，弦的关系，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质，矩形的判定与性质，锐角三角函数，掌握以上知识是解题的关键． 68．如图，小明在操场上放风筝，已知风筝线AB长100米，风筝线与水平线的夹角α=37°，小王拿风筝线的手离地面的高AD为1.5米，求风筝离地面的高度BE（精确到0.1米）． 【答案】风筝离地面的高度BE为61.5米． 【解析】 【分析】先根据锐角三角函数的定义求出BC的长，再根据AD=CE=1.5米，BE=BC+CE进行解答即可． 【详解】∵AB=100米，α=37°， ∵BC=AB•sinα=100sin37°，
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学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________ 一、选择题 1．已知，一个小球由桌面沿着斜坡向上前进了10cm，此时小球距离桌面的高度为5cm，
则这个斜坡的坡度i为（ ）
A．2 B．1：2 C．1：2 D．1：3
2．如图，在O中，E是直径AB延长线上一点，CE切O于点E，若2CEBE，则
E的余弦值为（ ）
A．35 B．45 C．34 D．
4
3
3．已知如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=23，AB=4，连接AC，若
∠CAD=30°，则CD为（ ）
A．223 B．27 C．1033 D．123
4．如图，将一副三角尺如图所示叠放在一起，则BECE的值是（ ）
A．3 B．33 C．2 D．
3
2 5．如图，在矩形ABCD中，AB=3，做BD的垂直平分线E，F，分别与AD、BC交于点E、F，连接BE，DF，若EF=AE+FC，则边BC的长为（ ）
A．23 B．33 C．63 D．
93
2
6．在ABC中，(2sinA-1)2+1cos2B=0，则ABC是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．无法确定
7．一把5m长的梯子AB斜靠在墙上，梯子倾斜角α的正切值为34，考虑安全问题，现要
求将梯子的倾斜角改为30°，则梯子下滑的距离AA'的长度是（ ）
A．34m B．13m C．23m D．12m 8．如图，在△ABC中，sinB=13， tanC=2，AB=3，则AC的长为（ ）
A．2 B．52 C．5 D．2 9．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另
一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边,,ABaBCbDAOx．则点C到x轴的距离等于（ ） A．cossinaxbx B．coscosaxbx C．sincosaxbx D．sinsinaxbx
10．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在
Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以
tan15°12323232323ACCD．类比这种方法，计算tan22.5°的值
为（ ）
A．21 B．2﹣1 C．2 D．
1
2
11．如图，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为1S、2S、3S；如
图2，分别以直角三角形的三边为直径向外半圆，面积分别为4S、5S、6S．其中
116S，245S，511S，614S，则34SS（ ）
A．86 B．64 C．54 D．48 12．如图，在扇形OAB中，120AOB，点P是弧AB上的一个动点（不与点A、B
重合），C、D分别是弦AP，BP的中点．若33CD，则扇形AOB的面积为（ ） A．12 B．2 C．4 D．
24
13．如图，正方形ABCD的边长为1，点A与原点重合，B在y轴正半轴上，D在x轴负
半轴上，将正方形ABCD绕着点A逆时针旋转30至ABCD，CD与BC相交于点E，则E坐标为（ ）
A．31,3 B．11,2 C．31,2 D．
21,3
14．如图所示，矩形ABCD的边长AB＝2，BC＝23，△ADE为正三角形．
若半径为R的圆能够覆盖五边形ABCDE（即五边形ABCDE的每个顶点都在圆内或圆上），则R的最小值是（ ）
A．23 B．4 C．2.8 D．2.5 二、填空题 15．小芳同学在学习了图形的镶嵌和拼接以后，设计了一幅瓷砖贴纸（图1），它是由图2这种基本图形拼接而成。图2中正方形ABCD边长为6cm,,EF分别是BC的三等分点，连接,,//,//,DEAFGFDEHEAFHE交GF于点O，且45GDEHAF，则图（1）中的一个阴影四边形的周长为________________ cm,图（1）中的阴影八边形的面积为______________2cm. 16．某人沿坡度是1:2的斜坡走了100米，则他上升的高度是_____米. 17．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OH⊥AB于H．若菱形ABCD的周长
为16，∠BAD=60°，则OH=_____．
18．某人顺着山坡沿一条直线型的坡道滑雪，当他滑过130米长的路程时，他所在位置的
竖直高度下降了50米，则该坡道的坡比是_________．
19．计算：tan60°﹣cos30°=________；如果∠A是锐角，且sinA= 12，那么∠A=________゜． 20．如图，长方形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C’处，BC’交AD于点E，则线段DE的长为____.
21．在ABCD中，若30B，BC10cm，6ABcm，则ABCD的面积是
__________. 22．如图所示，AOB是放置在正方形网格中的一个角，则sinAOB的值是________．
23．已知在矩形ABCD中，AC＝12，∠ACB＝15°，那么顶点D到AC的距离为_____．
24．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，F为DA上一点，连接BF，E为
BF中点，CD=6，sin∠ADB=1010，若△AEF的周长为18，则S△BOE
=_____． 25．如图，边长为6的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30后得到正方形
EFCG，EF交AD于点H，则DH____________．
26．如图，某建筑物的顶部有一块标识牌CD，小明在斜坡上B处测得标识牌顶部C的仰
角为45，沿斜坡走下来在地面A处测得标识牌底部D的仰角为60°，已知斜坡AB的坡角为30°，10ABAE米． 则标识牌CD的高度是米__________．
三、解答题 27．“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，它发明于隋而盛于唐，
距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造． 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘“筒车”的工作原理． 如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心 O 为圆心的圆，已知圆心 O 在水面上方，且当圆被水面截得的弦 AB 为6米时，水面下
盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）．
（1）求该圆的半径；
（2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦 AB 从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？
28．如图，矩形ABCD中，33,sin,5ABACBE为边BC上一点，将ABE△沿AE翻折，使点B恰好落在对角线AC上，记作B，
（1）求BE的长； （2）联结DB，求cotBDC的值．
29．小鹏学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：“如图所示，把一张长方形卡
片ABCD放在每格宽度为12mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知36a，求长方形卡片的周长．”请你帮小艳解答这道题．（精确到1mm）（参考数据：
360.60sin，360.80cos，360.75tan）
30．如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE＝3米，CE＝2米，CE平行于江面AB，DE⊥CE，迎水坡BC的坡度i＝1：0.75，坡长BC＝10米，求此时AB的长．（小数点后面保留一位，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
【参考答案】 一、选择题 1．D 2．B 3．B 4．B 5．B 6．C 7．D 8．B 9．A 10．B 11．C 12．A 13．A 14．C
二、填空题 15．【分析】（1）设得到求出OE即可得解；（2）延长OG作分别求出和计算即可；【详
解】（1）依题意设则延长OGOH分别交AD于MN作∵∴∴∴同理可知∴∴阴影四边形的周长为：故答案是（2）延长OG作在△D
16．【分析】先画出图形再根据坡度的可得然后设米从而可得米最后利用勾股定理求出x的值由此即可得出答案【详解】如图由题意得：米设米则米由勾股定理得：即解得（米）则米即他上升的高度是米故答案为：【点睛】本题考
17．【分析】由菱形的性质可得AB=BC=CD=ADBO=DO可证△ABD是等边三角形可得