高中数学高考解答题的常见题型及解答技巧
2016-2017学年广东省韶关市高三（上）期末数学试卷（理科）（1月份）
1．如图，在△ABC中，M是边BC的中点，tan∠BAM=，cos∠AMC=﹣
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若角∠BAC=，BC边上的中线AM的长为，求△ABC的面积．
3．已知四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，E 是BC中点，M是PD上的中点，F是PC上的动点．
（Ⅰ）求证：平面AEF⊥平面PAD
（Ⅱ）直线EM与平面PAD所成角的正切值为，当F是PC中点时，求二面角C﹣AF﹣E的余弦值．
3．随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如右图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品．现以x（单位：吨，100≤x≤150）表示下一个销售季度的市场需求量，T（单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．
（Ⅰ）视x分布在各区间内的频率为相应的概率，求P（x≥120）
（Ⅱ）将T表示为x的函数，求出该函数表达式；
（Ⅲ）在频率分布直方图的市场需求量分组中，以各组的区间中点值（组中值）
代表该组的各个值，并以市场需求量落入该区间的频率作为市场需求量取该组中值的概率（例如x∈[100，110），则取x=105，且x=105的概率等于市场需求量落入100，110）的频率），求T的分布列及数学期望E（T）．
4．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）．以点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=2
（Ⅰ）将直线l化为直角坐标方程；
（Ⅱ）求曲线C上的一点Q 到直线l 的距离的最大值及此时点Q的坐标．1．如图，在△ABC中，M是边BC的中点，tan∠BAM=，cos∠AMC=﹣
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若角∠BAC=，BC边上的中线AM的长为，求△ABC的面积．
【考点】HR：余弦定理；GR：两角和与差的正切函数．菁优网版权所有
【分析】（Ⅰ）由邻补角定义及诱导公式得到cos∠AMC=﹣cos∠AMB，求出cos ∠AMB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出tan∠AMB的值，再利用诱导公式求出tanB的值，即可确定出B的大小；
（Ⅱ）由三角形内角和定理及等角对等边得到AB=BC，设BM=x，则AB=BC=2x，利用余弦定理列出方程，求出方程的解得到x的值，确定出AB与BC的值，再利用三角形面积公式求出三角形ABC面积即可．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知∠AMB+∠AMC=π，
又cos∠AMC=﹣，
∴cos∠AMB=，sin∠AMB=，tan∠AMB=，
∴tanB=﹣tan（∠BAM+∠BMA）=﹣=﹣=﹣，
又B∈（0，π），
∴B=；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠B=，且∠BAC=，
∴∠C=，即∠BAC=∠C，
∴AB=BC，
设BM=x，则AB=2x，
在△AMB中，由余弦定理得AM2=AB2+BM2﹣2AB?BM?cosB，即7=4x2+x2+2x2，
解得：x=1（负值舍去），
∴AB=BC=2，
则S
=?4?sin=．
△ABC
【点评】此题考查了余弦定理，三角形面积公式，诱导公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
2．已知四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，E 是BC中点，M是PD上的中点，F是PC上的动点．
（Ⅰ）求证：平面AEF⊥平面PAD
（Ⅱ）直线EM与平面PAD所成角的正切值为，当F是PC中点时，求二面角C﹣AF﹣E的余弦值．
【考点】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面与平面垂直的判定；MI：直线与
平面所成的角．菁优网版权所有
【分析】（Ⅰ）连接AC，推导出AE⊥BC，AE⊥AD，PA⊥AE，由此能证明平面AEF ⊥平面PCD．
（Ⅱ）以AE，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣AF﹣E的余弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）连接AC，
∵底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC是正三角形，
∵E是BC中点，∴AE⊥BC，
又AD∥BC，∴AE⊥AD，…（1分）
∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，∴PA⊥AE，…（2分）
又PA∩AE=A，
∴AE⊥平面PAD，…（3分）
又AE?平面AEF，
∴平面AEF⊥平面PCD．…（4分）
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得，AE，AD，AP两两垂直，
以AE，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，…（5分）
∵AE⊥平面PAD，∴∠AME就是EM与平面PAD所成的角，…（6分）
在Rt△AME中，tan，即=，
设AB=2a，则AE=，得AM=，
又AD=AB=2a，设PA=2b，则M（0，a，b），
∴AM==，
从而b=a，∴PA=AD=2a，…（7分）
则A（0，0，0），B（，﹣a，0），C（），D（0，2a，0），P（0，0，2a），E（），F（，，a），
∴=（），=（，，a），=（﹣），…（8分）设=（x，y，z）是平面AEF的一个法向量，
则，取z=a，得=（0，﹣2a，a），…（9分）
又BD⊥平面ACF，∴=（﹣）是平面ACF的一个法向量，…（10分）
设二面角C﹣AF﹣E的平面角为θ．
则cosθ===．…（11分）
∴二面角C﹣AF﹣E的余弦值为．…（12分）
【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
3．随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据往年的销售经验，得到一个销
售季度内市场需求量的频率分布直方图如右图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品．现以x（单位：吨，100≤x≤150）表示下一个销售季度的市场需求量，T（单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．
（Ⅰ）视x分布在各区间内的频率为相应的概率，求P（x≥120）
（Ⅱ）将T表示为x的函数，求出该函数表达式；
（Ⅲ）在频率分布直方图的市场需求量分组中，以各组的区间中点值（组中值）代表该组的各个值，并以市场需求量落入该区间的频率作为市场需求量取该组中值的概率（例如x∈[100，110），则取x=105，且x=105的概率等于市场需求量落入100，110）的频率），求T的分布列及数学期望E（T）．
【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．菁优网版权所有
【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图及两两互斥事件概率的可加性得P（x≥120）=P（120≤x＜130）+P（130≤x＜140）+P（140≤x≤150）．
（Ⅱ）当x∈[100，130）时，T=0.5x﹣0.3（130﹣x）=0.8x﹣39；当x∈[130，150]时，T=0.5×130，即可得出．
（Ⅲ）由题意及（Ⅱ）可得：当x∈[100，110）时，T=0.8×105﹣39，P（T=45）=0.010×10；当x∈[110，120）时，T=0.8×115﹣39，P（T=53）=0.020×10；当x∈[120，130）时，T=0.8×125﹣39，P（T=61）=0.030×10；当x∈[130，150）时，T=65，P（T=65）=（0.025+0.015）×10．即可得出T的分布列及其数学期望．
【解答】解：（Ⅰ）根据频率分布直方图及两两互斥事件概率的可加性得P（x≥120）=P（120≤x＜130）+P（130≤x＜140）+P（140≤x≤150）=0.030×10+0.025×10+0.015×10=0.7．
（Ⅱ）当x∈[100，130）时，T=0.5x﹣0.3（130﹣x）=0.8x﹣39；
当x∈[130，150]时，T=0.5×130=65．
∴T=．
（Ⅲ）由题意及（Ⅱ）可得：
当x∈[100，110）时，T=0.8×105﹣39=45，P（T=45）=0.010×10=0.1；
当x∈[110，120）时，T=0.8×115﹣39=53，P（T=53）=0.020×10=0.2；
当x∈[120，130）时，T=0.8×125﹣39=61，P（T=61）=0.030×10=0.3；
当x∈[130，150）时，T=65，P（T=65）=（0.025+0.015）×10=0.4．
所以T的分布列为
T 45 53 61 65
P 0.1 0.2 0.3 0.4 …（10分）
所以，E（T）=45×0.1+53×0.2+61×0.3+65×0.4=59.4（万元）．…（12分）【点评】本题考查了频率分布直方图及两两互斥事件概率的可加性、随机变量的分布列及其数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）．以点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=2
（Ⅰ）将直线l化为直角坐标方程；
（Ⅱ）求曲线C上的一点Q 到直线l 的距离的最大值及此时点Q的坐标．
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有
【分析】（Ⅰ）直线l的极坐标方程转化为ρcosθ+ρsinθ=4，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能示出直线l的直角坐标方程．
（Ⅱ）设点Q的坐标为（），点Q到直线l的距离为d=，由此能求出曲线C上的一点Q 到直线l 的距离的最大值
及此时点Q的坐标．
【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=2
∴ρ（cos+sin）=2，
化简得，ρcosθ+ρsinθ=4，…（1分）
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴直线l的直角坐标方程为x+y=4．…（3分）
（Ⅱ）由于点Q是曲线C上的点，则可设点Q的坐标为（），…（4分）
点Q到直线l的距离为d=…（5分）
=．…（7分）
当sin（）=﹣1时，即，
==3．…（9分）
d
max
此时，cos=﹣，sin，
∴点Q（﹣）．…（10分）
【点评】本题考查直线的直角坐标方程的求法，考查曲线上的一点到直线的距离的最大值及此时点的坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标与直角坐标的互化公式的合理运用．