特殊的平行四边形培优题

特殊的平行四边形

知识点归纳:

1. 菱形:四条边相等的四边形。

(1)菱形具有一切平行四边形的性质，其特殊点在于:对角线互相垂直，对角线平

分对角。

(2)菱形的对称性:菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形(对称轴是对角线)，

它有两条对称轴。

(3)在60?的菱形中，短对角线等于边长，长对角线是短对角线的3倍。 (4)菱形的面积可以用对角线乘积的一半来计算。对角线互相垂直，这个特性容易和勾股定理相结合。

2(矩形:四个角都是直角的四边形。

(1)矩形具有一切平行四边形的性质，其特殊点在于:四个角均为直角，对角线相等。 (2)矩形的对称性:矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形(对称轴是任何一组

对边中点的连线)，它有两条对称轴。

3(正方形:四边相等且四个角都是直角的四边形。

(1)正方形具有平行四边形的一切性质，确切的说，它是矩形和菱形的交集，因此

具有矩形和菱形的一切特性。

(2)正方形的对称性:既是中心对称图形，又是轴对称图形(有四条对称轴，分别

是两条对角线和两条中点连线)。

(3)正方形的两条对角线把正方形分成8个等腰直角三角形。典型例题讲解及练习:

例1 已知菱形的一条对角线是另一条的对角线的2倍，面积为S，则它的边长是________.

练习:

1. 边长为13的菱形ABCD的对角线BD长10cm，则对角线AC长为_________,面积是

________.

2(菱形两个邻角度数比是1:3，边长是，则高是________. 52

3. 菱形ABCD的周长为16，一个内角为60?，则这个菱形的两条对角线AC、BD 的长度分别是__________,菱形的面积是__________.

Rt,ABC，BAC例2 如图，CD为斜边AB边上的高，的平分线交CD于E，交BC 于F，FG,AB于G，求证:四边形EGFC是菱形。

BAGD

练习:

,ABC1(中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE//AB交MN于E，连接AE、CD。求证:ADCE为菱形。

DMEON

2(菱形ABCD的边长为2，对角线BD=2，E、F分别是AD、CD上的两个动点，且满足AE，CF,2,BDE,,BCF,BEF。求证:(1);(2)判断的形状，并说明理由，同,BCF,BDE时指出是由如何变换得到的,

FCA

例3 矩形ABCD中，，BE:ED=1:3,AB=2,AC长为________. AE,BD

练习:

,1. 在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，，AE平分，交BC于点，BAD，AOB,60

，BOEE，则=________.

,2. 在矩形ABCD中，E为BC中点，，AE=2，AC=________. ，BAE,30

3. 在矩形ABCD中,AD=12,AB=5,P是AD上的动点，有，E、F为垂足，

PF,BD,PE,AC

则PE+PF=__________.

APD

例4

3 练习

3.矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度运动，Q沿DA边从点D向A以1cm/s的速度运动，若P、Q同时出发，t表示运动时间(0

PAB(2)试求四边形QABC的面积，并提出一个相关结论。

初中几何经典培优题型(三角形)

全等三角形辅助线找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；（3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。三角形中常见辅助线的作法： ①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。常见辅助线的作法有以下几种： 1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”． 2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”． 3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． 6)特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．常见辅助线写法： ⑴过点A作BC的平行线AF交DE于F ⑵过点A作BC的垂线，垂足为D ⑶延长AB至C，使BC＝AC ⑷在AB上截取AC，使AC＝DE ⑸作∠ABC的平分线，交AC于D ⑹取AB中点C，连接CD交EF于G点

浙教版八下数学第五章：特殊平行四边形培优训练(二)

浙教版八下数学第五章：特殊平行四边形培优训练（二）一．选择题 1.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，BC 的垂直平分线EF 交BC 于点D ，交AB 于点E ，且BE=BF ，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF 为正方形的是（ D ） A ．BC=AC B ．CF ⊥BF C ．BD=DF D ．AC=BF 2.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M 为边AD 的中点，延长MD 至点E ，使ME=MC ，以DE 为边作正方形DEFG ，点G 在边CD 上，则DG 的长为（ D ） A ．13- B ．35- C ．15+ D ．15- 3.下列命题中，真命题是（ C ） A ．对角线相等的四边形是矩形 B ．对角线互相垂直的四边形是菱形 C ．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 4.如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=80°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，垂足为E ，连接DF ，则∠CDF 等于（ C ） A ．50° B ．60° C ．70° D ．80° 5.如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 和点C′重合，若AB=2，则C′D 的长为（ B ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.如图，在△ABC 中，AC=BC ，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，将△ADE 绕点E 旋转180°得△CFE ，则四边形ADCF 一定是（ A ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 梯形 7.如图，在?ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点O 作EF ⊥AC 交BC 于点E ，交AD 于点F ，连接AE 、CF ．则四边形AECF 是（ C ） A.梯形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 8.如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，△AEF 是等边三角形，连接AC 交EF 于G ，下列结论：①BE=DF ，②∠DAF=15°，③AC 垂直平分EF ，④BE+DF=EF ，

三角形全等培优证明题50题(有答案)

全等三角形证明题专项练习(100题) 1．已知如图，△ABC≌△ADE，∠B=30°，∠E=20°，∠BAE=105°，求∠BAC的度数．∠BAC=_________．2．已知：如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．求证：△ABD≌△CDB． 3．如图，点E在△ABC外部，点D在边BC上，DE交AC于F．若∠1=∠2=∠3，AC=AE，请说明△ABC≌△ADE 的道理．

4．如图，△ABC的两条高AD，BE相交于H，且AD=BD．试说明下列结论成立的理由．（1）∠DBH=∠DAC；（2）△BDH≌△ADC． 5．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE=DF，则AB=AC，并说明理由． 6．如图，AE是∠BAC的平分线，AB=AC，D是AE反向延长线的一点，则△ABD与△ACD全等吗？为什么？

7．如图所示，A、D、F、B在同一直线上，AF=BD，AE=BC，且AE∥BC．求证：△AEF≌△BCD． 8．如图，已知AB=AC，AD=AE，BE与CD相交于O，△ABE与△ACD全等吗？说明你的理由． 9．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，点E在AD上，找出图中全等的三角形，并说明它们为什么是全等的．

10．如图所示，CD=CA，∠1=∠2，EC=BC，求证：△ABC≌△DEC． 11．已知AC=FE，BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，要使△ABC≌△FDE，应增加什么条件？并根据你所增加的条件证明：△ABC≌△FDE． 12．如图，已知AB=AC，BD=CE，请说明△ABE≌△ACD．

(完整word版)三角形提高题培优卷

1 、如图，三角形ABC 内任一点P ，连接PA 、PB 、PC ，求证：1/2（AB+BC+AC ）∠CAD 4、1}一个等腰三角形的一个外角等于110?，则这个三角形的三个角应该为。 2}在⊿ABC 中，AB = AC ，周长为20cm ，D 是AC 上一点，⊿ABD 与⊿BCD 面积相等且周长差为3cm ，⊿ABC 各边的长为。 5、如图，已知△ABC 中，∠C=90°，AC=1.5BC ，在AC 上取点D ，使得AD=0.5BC ，量得BD=1cm ，求△ABD 的面积。 6、如图，在七星形ABCDEFG 中，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G 的度数。 7、如图，△ABC 中，∠C ＞∠B ，AE 为角平分线，AD ⊥BC 于D 。（1）求证：∠EAD =2 1(∠C －∠B) ；（2）当垂足D 点在直线BC 上运动时（不与点E 重全），垂线交直线AE 于A ’，其它条件不变，画出相应的图形，并指出与(1)相应的结论是什么？是否仍成立？ A B C P B E C A D

8、如图，△ABC 中，AD 是高，AE ，BF 是角平分线，它们相交于点O ，∠CAB ＝50°，∠ C ＝60°，求∠DAC 及∠BOA ． 9．观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由。（1）如图①，△ABC 中，P 为边BC 上一点，试观察比较BP + PC 与AB + AC 的大小，并说明理由。 C B A P 图① （2）将（1）中点P 移至△ABC 内，得图②，试观察比较△BPC 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由。 C B A P 图② （3）将（2）中点P 变为两个点P 1、P 2得图③，试观察比较四边形BP 1P 2C 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由。 C B A P 1P 2 图③ （4）将（3）中的点P 1、P 2移至△ABC 外，并使点P 1、P 2与点A 在边BC 的异侧，且∠P 1BC ＜∠ABC ，∠P 2CB ＜∠ACB ，得图④，试观察比较四边形BP 1P 2C 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由。图④ C B A P 1P 2

特殊的平行四边形培优测试

1．下列说法正确的有（） ①对角线互相平分的四边形是平行四边形②对角线相等的四边形是矩形 ③对角线互相垂直的四边形是菱形④对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形⑤对角线相等的平行四边形是矩形 2．若一个多边形的内角和等于720，则这个多边形的边数是（） 3．四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AB=AD；②∠DAB=900；③AO=CO，BO=DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD，⑥正方形ABCD，则在下列推理不成立的是 ( ) A、①④?⑥ B、①③?⑤ C、①②?⑥ D、②③?④ 4．已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm，则菱形的面积为（） 5．菱形的周长为8cm，高为1cm，则菱形两邻角度数比为（） 6．如图边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB′C′D′，两图叠成一个“蝶形风筝”（如图所示阴影部分），则这个风筝的面积是（）。 7.如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点 O顺时针旋转75°至OA’B’C’的位置.若OB=C=120°，则点B’的坐标为 . 8.如图，点P是矩形ABCD的边AD的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是． 6题图7题图8题图 9.如图,E为正方形ABCD的边AB上的一点,AE=3,BE=1,P为AC上的动点,则PB+PE的最小值为_________. 10.如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是_________ ． 11.如图，菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，M、N分别是BC、CD的中点，P是线段BD上的一个动点，则PM+PN 的最小值是．

全等三角形经典培优题型(含答案)

全等三角形的提高拓展训练全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等. 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1) 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边. (2) 全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角. (3) 有公共边的，公共边常是对应边. (4) 有公共角的，公共角常是对应角. (5) 有对顶角的，对顶角常是对应角. (6) 两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角). 要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键. 全等三角形的判定方法： (1)边角边定理(SAS :两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. ⑵角边角定理(ASA:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. (3) 边边边定理(SSS :三边对应相等的两个三角形全等. (4) 角角边定理(AAS :两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. (5) 斜边、直角边定理(HL):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线. 拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系. 而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础. 全等三角形证明经典题 1已知：AB=4, AC=2 D是BC中点，AD是整数，求AD

C F D

3 已知：/ 仁/ 2, CD=DE EF//AB，求证：EF=AC 4 已知：AD平分/ BAC AC=AB+BD 求证：/ B=2/ C A 5 已知：AC平分/ BAD CE±AB, / B+Z D=180°，求证：AE=AD+BE 6如图，四边形ABCD中, AB// DC BE、CE分别平分Z ABC / BCD且点E在AD上。求证: BC=AB+DC

北师大八年级下三角形的证明练习题培优训练

北师大八年级下三角形的证明练习题培优训练 Revised by Chen Zhen in 2021

第一章培优训练 1．在△ABC 中，∠BAC=130°，若PM 、QN 分别垂直平分AB 和AC ，那么∠PAQ= 度． 2．在等腰三角形ABC 中，AB=AC=5，BC=6，D 是BC 上一点，作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，则DE+DF= ． 3．如图，一张直角三角形的纸片，象图中那样折叠，使A 与B 重合，∠B=30°，AC=3，则折痕DE 等于． 4．如图，△ABC ≌△ADE ，BC 的延长线交DE 于F ，∠B=∠D=25°，∠ACB=∠E=105° ∠DAC=10°则∠DFB= ． (3题图) (4题图) 5.如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=1200，D 、F 分别为AB 、AC 的中点，DE AB FG AC ⊥⊥，，E 、G 在BC 上，BC=15cm ，求EG 的长度 6、如图，∠AOB 是一钢架，且∠AOB=10°，为了使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管EF 、FG 、GH …… 添加的钢管长度都与OE 相等，则最多能添加这样的钢管根。 7．两个三角形如果具有下列条件： ①三边对应相等；②两边和其中一边上的中线对应相等；③两边和第三边上的高对应相等；④三个角对应相等；⑤两边和一个角对应相等；其中一定全等的有 ( )个 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 (1题图) (2题图) (5题图) E D (B) B C A

8．在数学活动课上，小明提出一个问题：“如图，在四边形ABCD 中，∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，∠CMD=35°，则∠MAB 是多少度”大家经过了一翻热烈的讨论交流之后，小雨第一个得出了正确结论，你知道他说的是( ) A ．20° B ．35° C ．55° D ．70° 9．从边长为1的等边三角形内一点分别向三边作垂线，三条垂线段长的和为( ) A ．23 B ．32 C ．2 D ．22 10．如图，在等边三角形ABC 的三边上有三点D 、E 、F ，且△DEF 也是等边三角形，其中BD=3，CF=1，则△ABC 的高等于( ) A ．3 B ． 23 C ．10 D ．4 11．在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，过C 作CE ⊥AB 于E ，且AE ＝ 21（AB ＋AD ），求∠ABC ＋∠ADC 的度数．（11题图） 12. 如图1、图2，△AOB ，△COD 均是等腰直角三角形，∠AOB ＝∠COD ＝90o ，（1）在图1中，AC 与BD 相等吗请说明理由（4分）（2）若△COD 绕点O 顺时针旋转一定角度后，到达力2的位置，请问AC 与BD 还相等吗为什么（8分） 13.在⊿ABC 中，点O 是AC 边上一动点，过点O 作直线M N ∥BC ，与 ∠ACB 的角平分线交于点E ，与∠ACB 的外角平分线交于点F ，求证：OE=OF A B C E D A B C D E F A B C D M (10题图)

一次函数与特殊四边形的存在性问题(培优拓展)

一次函数与特殊四边形的存在性问题（培优专题） 1．（2015春?通州区校级期中）如图，在直角坐标系中，A（0，1），B（0，3），P是x轴上一动点，在直线y=x上是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，画出所有满足情况的平行四边形，并求出对应的P、Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2015春?北京校级期中）已知直线y=x+3分别交x轴、y轴于点A、B．（1）求∠BAO的平分线的函数关系式；（写出自变量x的取值范围）（2）点M在已知直线上，点N在坐标平面内，是否存在以点M、N、A、O 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．

3．（2010秋?吴江市校级期中）已知：如图，在矩形ABCD中，点E在AD 边上，AE＞DE，BE=BC，点O是线段CE的中点．（1）试说明CE平分∠BED；（2）在直线AD上是否存在点F，使得以B、C、F、E为顶点的四边形是菱形？如果存在，试画出点F的位置，并作适当说明；如果不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系xOy，直线y=x+1与y=﹣2x+4交于点A，两直线与x轴分别交于点B和点C，D是直线AC上的一个动点，直线AB上是否存在点E，使得以E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

5．如图，点A的坐标是（2，1），点B的坐标是（5，1），过点A的直线l 的表达式为y=2x+b，点C在直线l上运动，在直线OA上是否存在一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2012春?雨花区校级期末）如图，已知等边△ABC的边长为2，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上移动．（1）当OA=时，求点C的坐标．（2）在（1）的条件下，求四边形AOBC的面积．（3）是否存在一点C，使线段OC的长有最大值？若存在，请求出此时点C 的坐标；若不存在，请说明理由．

《全等三角形》数学培优作业

A B C D E 固始三中八年级上期《全等三角形》数学培优作业（考查内容：边角边）命题人：吴全胜1、已知：如图，AB＝AC，F、E分别是AB、AC的中点。求证：△ABE≌△ACF。 2、已知：点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求证：△ABE≌△CDF． 3、已知：如图AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE，求证：△ABD≌△ACE 4、如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，试说明△ABD≌△ACD。 A B D C 5、已知：如图，AD∥BC，CB AD=。求证：CBA ADC? ? ?。 6、已知：如图，AD∥BC，CB AD=，CF AE=。求证：CEB AFD? ? ?。 7、已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，DB AC=，DF AE=，AD EA⊥，AD FD⊥，垂足分别是A、D。求证：FDC EAB? ? ?

8、已知：如图，AC AB=，AE AD=，2 1∠ = ∠。求证：ACE ABD? ? ?。 9、如图，在ABC ?中，D是AB上一点，DF交AC于点E，FE DE=，CE AE=， AB与CF有什么位置关系？说明你判断的理由。 10、已知：如图，DBA CAB∠ = ∠，BD AC=。求证∠C=∠D 11、已知：如图，AC和BD相交于点O，OC OA=，OD OB=。求证：DC∥AB。 12、已知：如图，AC和BD相交于点O，DC AB=，DB AC=。求证：C B∠ = ∠。 13、已知：如图,D、E分别是△ABC的边AB,AC的中点,点F在DE的延长线上,且EF=DE．求证：(1)BD=FC (2)AB∥CF 14、已知: 如图 , AB=AC , EB=EC , AE的延长线交BC于D．求证：BD=CD． 15、已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证： BE=AD D C A B E

(学生版)八下第一章《三角形证明》培优提高(三)

（学生版）八下第一章《三角形证明》培优提高（三）八下第一章《三角形证明》培优提高（三） 3、（2012?广州）在 Rt △ AB 中, △ C=90°AC=9, BC=12,则点 C 到 AB 的距离是（ B . 12 25 B . 2 ; 7、（ 2012?贵阳）如图，在RtA AB C 中，/ ACB=90°,AB 的垂直平分线 DE 交于BC 的延长线于 F,若/ F=30 °, DE=1，则EF 的长是（）一、选择题: 1、已知△ ABC 中，AB = AC, 则^ ABC 的腰和底边长分别为 AB 的垂直平分线交 AC 于D,A ABC 和^ DBC 的周长分别是 60 cm 和38 cm , （） A . 24 cm 和 12 cm B . 16 cm 和 22 cm C. 20 cm 和 16 cm D . 22 cm 和 16 cm 2、（2013?郴州）如图，在 Rt△XCB 中，ZACB=90 °, △\=25 °, D 是 AB 上一点.将使B 点落在AC 边上的B 处，则△XDB 等于（） Rt △KBC 沿CD 折叠, A . 25 C . 35° D . 40 C. 9 4 4、（2011?恩施州）如图， AD 是△KBC 分别为 50和39,则ZEDF 的面积为（的角平分线，DF△XB ，垂足为F , ） DE=DG , ZADG 和 △KED 的面积（2012?广安）已知等腰^ ABC 中，AD 丄BC 于点D, 且 AD =2BC ，则^ ABC 底角的度数为（ A . 45 B . 75 C . 45 或 75 D . 60 （2012?毕节地区）如图.在接CD,若BD=1,则AC 的长是（ RtA ABC 中，/ ） A=30 °, DE 垂直平分斜边 AC ,交AB 于D , E 是垂足，连 D . A . 11 B . 第4题第6题 C . 7 D . 3.

特殊四边形培优习题精选(适合家教)

《特殊四边形习题精选》 1、矩形ABCD 的对角线相交于O ,AE 平分∠BAD 交BC 于E ,∠CAE=15°,则∠BOE=________° 2、菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ,△AOB 的周长为33 ,∠ABC=60o,则菱形ABCD 的面积为__________ 3、如图,矩形ABCD 长为a ,宽为b ,若s 1=s 2= 21(s 3+s 4,则s 4等于( (A ab 83 (B ab 43 (C ab 32 (D ab 21 4、菱形ABCD 中,∠B=∠EAF=60°,∠BAE=20°,则∠CEF=_________° 5、点M 、N 分别在正方形ABCD 的边CD 、BC 上,,已知△MCN 的周长等于正方形ABCD 周长的一半,求∠MAN 的度数。 6、如图,将矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠,使点B 落在点E 处,求证:EF=DF. 7、如图,在平行四边形ABCD 中,BC = 2AB ,E 为BC 的中点,求∠AED 的度数; B C D O E B C D E F S1S2 S4S3B C D E F F E D

C B A 8、如图,以正方形ABCD 的对角线AC 为一边,延长AB 到E ,使AE = AC , 以AE 为一边作菱形AEFC ,若菱形的面积为29,求正方形边长; 9、如图AD 是⊿ABC 边BC 边上的高线,E 、F 、G 分别是AB 、BC 、AC 的中点,求证:四边形EDGF 是等腰梯形; 10、如图1,正方形ABCD 边长为1,G 为CD 边上的一个动点(点G 与C 、D 不重合,以CG 为一边向正方形ABCD 外作正方形GCEF ,连接DE 交BG 的延长线于点H 。 (1求证:①△BCG ≌△DCE ;②BH ⊥DE 。 (2当点G 运动到什么位置时,BH 垂直平分DE ?请说明理由。 11、如图,正方形ABCD 中,过D 做DE ∥AC ,∠ACE =30°,CE 交AD 于点F ,求证:AE = AF ;

全等三角形证明题培优提高经典例题练习题

全等三角形证明题专练 1、已知，如图，AB ⊥AC ，AB ＝AC ，AD ⊥AE ，AD ＝AE 。求证：BE ＝CD 。 2、已知：如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，AB=AD ，若E 是AC 上一点。求证：EB=ED 。 D A E C B 3、已知：如图，AB 、CD 交于O 点，CE//DF ，CE=DF ，AE=BF 。求证：∠ACE=∠BDF 。 A E D C B A B C D E F O

4、如图，△ABC 中，AB=AC ，过A 作GE ∥BC ，角平分线BD 、CF 交于点H ，它们的延长线分别交GE 于E 、G ，试在图中找出三对全等三角形，并对其中一对给出证明。 5、如图，在△ＡＢＣ中，点Ｄ在ＡＢ上，点Ｅ在ＢＣ上，ＢＤ＝ＢＥ。（１）请你再添加一个条件，使得△ＢＥＡ≌△ＢＤＣ，并给出证明。你添加的条件是：________ ___ （2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形： ______________（不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母，不必写出证明过程） 6、已知：如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，E 是AD 上一点，BE 的延长线交AC 于F ，若BD=AD ，DE=DC 。求证：BF ⊥AC 。 F E D C A B G H A B C D E F

7、已知：如图，△ABC 和△A ＇B ＇C ＇中，∠BAC=∠B ＇A ＇C ＇，∠B=∠B ＇，AD 、A ＇D ＇分别是∠BAC 、∠B ＇A ＇C ＇的平分线，且AD=A ＇D ＇。求证：△ABC ≌△A’B’C’。 8、已知：如图，AB=CD ，AD=BC ，O 是AC 中点，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F 。求证：OE=OF 。 A B C D E F O 9、已知：如图，AC ⊥OB ，BD ⊥OA ，AC 与BD 交于E 点，若OA=OB ，求证：AE=BE 。 O B A C D E A B C D A' B' C' D' 1 2 3 4

平行四边形培优讲义新打印版

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平边四边形知识点一．知识框架二．知识概念平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线。平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。两组对边分别相等的四边形是平行四边形。一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。对角线相等的平行四边形是矩形。四个角都相等的四边形是矩形。推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。对角线互相垂直的平行四边形是菱形。四条边都相等的四边形是菱形。 S菱形=1/2×ab（a、b为两条对角线）或底×高正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有四条对称轴）正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；

北师大版八年级下册《三角形的证明》培优提高

三角形的证明单元检测卷 1．(4分)（２0１3?钦州)等腰三角形的一个角是8０°,则它顶角的度数是( ）Ａ．80°B．80°或20°C．80°或5０°Ｄ. 20° 2.（４分）下列命题的逆命题是真命题的是（） A．如果a＞0，ｂ＞0,则a+b>０B．直角都相等 C．两直线平行,同位角相等D．若a=6，则|a|=｜b| ３.△AＢＣ中,∠A:∠B:∠C＝1:２：３,最小边BC=4cm,最长边AB的长是A．5cm B. ６cm Ｃ. 7cm D. 8cｍ 4.(4分）如图，已知AE=CF,∠AFＤ=∠CＥB,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△AＤF≌△ＣBE的是（) Ａ. ∠A=∠ＣB．A D＝CＢC．ＢE=DF D．ＡD∥BC ５．(4分）如图，在△ＡBＣ中,∠B=30°,BC的垂直平分线交ＡＢ于E,垂足为Ｄ．若EＤ=５，则CE的长为（） A. 1０ B. ８Ｃ．5D．2．5 ６.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，ＢE⊥ ＣD,垂足为Ｄ，交AC于点Ｅ,∠A=∠ABE．若AC= ５,BC＝3,则BD的长为( ） A．２.5 B．1．5 C．2 D. 1 7.(４分)如图，AＢ=AC,BE⊥AC于点Ｅ,ＣF⊥AB于点F,B Ｅ、CF相交于点D，则①△ABE≌△ＡCF； ②△BDF≌△CDE;③点Ｄ在∠BAC的平分线上.以上结论正确的是() A. ① B. ②C．①② D. ①②③8．（４分)如图所示,AＢ⊥BC，ＤＣ⊥ＢC,E是BC上一点， ∠BAE=∠ＤEＣ=６０°，AB=3，ＣＥ＝4,则AD等于（）A．10 B. 12 C. 24 Ｄ．48 9．如图所示，在△AＢC中,ＡB=AＣ,D、Ｅ是△ＡBC内两点,ＡD平分 ∠BAC．∠EBC=∠E＝60°，若BE=６,DE＝2,则ＢＣ的长度是（) A．６Ｂ. 8 C．9 D．１0 10.(４分)(2013?遂宁)如图，在△ABＣ中，∠C=９０°，∠B=3 ０°，以A为圆心,任意长为半径画弧分别交ＡB、ＡC于点M 和N，再分别以M 、Ｎ为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P,连结AＰ并延长交BC于点Ｄ,则下列说法中正确的个数是（) ①AD是∠BＡC的平分线;②∠ADC=6０°；③点D在AＢ的中垂线上；④S△DAＣ:S△ABC＝1:3. A. 1 Ｂ．2C．3 D. 4 1２.（4分）如图,在平面直角坐标系xOy中,Ａ(0，２),B（0，６）,动点Ｃ在直线y=x上.若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点Ｃ的个数是(）Ａ. 2 B．３ C. 4 D. 5 1３.(4分)如图，在等腰Rｔ△ABＣ中，∠Ｃ=90°，ＡC=8,F是AB边上的中点,点Ｄ，E分别在ＡC,BC边上运动,且保持AD=CE．连接ＤE,DF，EF.在此运动变化的过程中,下列结论: ①△DFE是等腰直角三角形； ②四边形CDFＥ不可能为正方形, ③DE长度的最小值为4; ④四边形CDFE的面积保持不变; ⑤△ＣＤE面积的最大值为８．其中正确的结论是（)

四边形培优题

四边形培优题 1、矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，，AD=2，则AC 的长是（） 2、顺次连接矩形四边中点所得四边形是（） 3、如图，在矩形ABCD 中，AB =2，BC =4，对角线AC 的垂直平分线分别交AD 、AC 于点E 、O ，连接CE ，则CE 的长为（） 3题 4、如图，将边长为8㎝的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是（） 5、如图，CD 与BE 互相垂直平分，AD ⊥DB ,∠BDE =700，则∠CAD = 0. 6、如图1，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC ，CD ，DA 运动至点A 停止．设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则△ABC 的面积是（） 7、如图，O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，M 是AD 的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM 的周长为__________ 8、如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下：甲：连接AC ，作AC 的垂直平分线MN 分别交AD ，AC ，BC 于M ，O ，N ，连接AN ，CM ，则四边形ANCM 是菱形．乙：分别作∠A ，∠B 的平分线AE ，BF ，分别交BC ，AD 于E ，F ，连接EF ，则四边形ABEF 是菱形．根据两人的作法可判断（） A ．甲正确，乙错误 B ．乙正确，甲错误 C ．甲、乙均正确 D ．甲、乙均错误 9、（2013?河南）如图，矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，点 E 是BC 边上一点，连接AE ，把∠B 60AOD ∠=A B C D E O y x 图 1 O D C P 4 9 图 2 N M F E D C B A 4题

全等三角形专题培优[带答案]

全等三角形专题培优考试总分： 110 分考试时间： 120 分钟卷I（选择题）一、选择题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 1.如图为个边长相等的正方形的组合图形，则 A. B. C. D. 2.下列定理中逆定理不存在的是（） A.角平分线上的点到这个角的两边距离相等 B.在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等 C.同位角相等，两直线平行 D.全等三角形的对应角相等 3.已知：如图，，，，则不正确的结论是（） A.与互为余角 B. C. D. 4.如图，是的中位线，延长至使，连接，则的值为（） A. B. C. D. 5.如图，在平面直角坐标系中，在轴、轴的正半轴上分别截取、，使；再分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点．若点的坐标为，则与的关系为（）A. B. C. D. 6.如图，是等边三角形，，于点，于点，，则下列结论：①点在的角平分线上；②；③；④．正确的有（） A.个 B.个 C.个 D.个 7.如图，直线、、″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（） A.一处 B.二处 C.三处 D.四处 8.如图，是的角平分线，则等于（） A. B. C. D. 9.已知是的中线，且比的周长大，则与的差为（） A. B. C. D. 10.若一个三角形的两条边与高重合，那么它的三个内角中（） A.都是锐角 B.有一个是直角 C.有一个是钝角 D.不能确定卷II（非选择题）二、填空题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 11.问题情境：在中，，，点为边上一点（不与点，重合），交直线于点，连接，将线段绕点顺时针方向旋转得

全等三角形各种类型证明培优(经典)

全等三角形全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形．全等多边形：能够完全重合的多边形就是全等多边形．相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角．全等多边形的对应边、对应角分别相等．如下图，两个全等的五边形，记作：五边形 ABCDE ≌五边形 A'B'C'D' E' ．全等三角形：能够完全重合的三角形就是全等三角形．全等三角形的对应边相等，对应角分别相等；反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等．全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等．全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为 “≌ ”．全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1) 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2) 全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3) 有公共边的，公共边常是对应边． (4) 有公共角的，公共角常是对应角． (5) 有对顶角的，对顶角常是对应角．全等三角形的判定方法： (1) 边角边定理 ( SAS) ：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理 ( ASA) ：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理 ( SSS) ：三边对应相等的两个三角形全等． (4) 角角边定理 ( AAS) ：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理 ( HL) ：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．判定三角形全等的基本思路：找夹角 SAS 已知两边找直角 HL 找另一边 SSS 能够相互重合的顶这里符号“≌”表示全等，读作“全等于． E D

八年级数学全等三角形(培优篇)(Word版含解析)

八年级数学全等三角形（培优篇）（Word版含解析）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=10cm，点P是这个菱形内部或边上的一点．若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A（P，A两点不重合）两点间的最短距离为______cm． - 【答案】10310 【解析】解：连接BD，在菱形ABCD中， ∵∠ABC=120°，AB=BC=AD=CD=10，∴∠A=∠C=60°，∴△ABD，△BCD都是等边三角形，分三种情况讨论： ①若以边BC为底，则BC垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”，即当点P与点D重合时，PA最小，最小值PA=10； ②若以边PB为底，∠PCB为顶角时，以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC相交于一点，则弧BD（除点B外）上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P在AC上时，AP -；最小，最小值为10310 ③若以边PC为底，∠PBC为顶角，以点B为圆心，BC为半径作圆，则弧AC上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形，当点P与点A重合时，PA最小，显然不满足题意，故此种情况不存在； -（cm）．综上所述，PA的最小值为10310 -．故答案为：10310 点睛：本题考查菱形的性质、等边三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

2．在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=1 2 BC，则△ABC的顶角的度数为 _____．【答案】30°或150°或90° 【解析】试题分析：分两种情况；①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可．解：①BC为腰， ∵AD⊥BC于点D，AD=1 2 BC， ∴∠ACD=30°，如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°，如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°， ②BC为底，如图3， ∵AD⊥BC于点D，AD=1 2 BC， ∴AD=BD=CD， ∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，

人教版《特殊平行四边形》培优

人教版八年级下册第18章《特殊平行四边形》典型考题精讲精练一：知识精析： 1.矩形：（1）定义：有一个角是的平行四边形叫矩形（2）性质：矩形的四个角都是；矩形的对角线且互相平分；矩形既是图形，又是对称图形；矩形具有平行四边形的性质（3）判定：有一个角是的平行四边形是矩形；或者对角线的平行四边形是矩形；或者有角是直角的四边形是矩形 2.菱形：（1）定义：有一组相等的平行四边形叫做菱形（2）性质：菱形的条边都相等；菱形的对角线互相，并且每一条对角线一组对角；菱形是对称图形，也是对称图形（3）判定：一组相等的平行四边形是菱形；或者对角线的平行四边形是菱形；或者条边都相等的四边形是菱形（4）菱形的面积：菱形的面积等于两条对角线乘积的 3.正方形： (1) 定义：有一组的平行四边形叫做正方形（2）性质：两组对边分别平行，四条边都相等、相邻两边互相垂直；四个角都是直角；对角线互相垂直、对角线相等且互相平分；正方形即是轴对称图形，也是中心对称图形（3）判定：一组邻边相等的是正方形；或者有一个角是直角的是正方形；或者对角线互相垂直平分且相等的是正方形；或者四条边都相等且有一个角是直角的是正方形 4.方法与技巧：关联中点、角平分线、线段垂直平分线、等腰三角形、直角三角形等核心知识点，常以面积、周长、角度等计算或线段位置及数量关系命制考题；或命制成开放性命题如补充条件、翻折、剪拚等动手操作探究性考题，涉及对称、等积法、配方法、分类、转化、数形结合、方程与函数等数学思想方法的考查。二：类题精讲：类型一：勾股模型相关的计算与分类思想典例1：.（2017·哈尔滨）四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝6，对角线AC与BD 相交于点O，点E在AC上，若OE CE的长．

全等三角形培优(含答案)

三角形培优练习题 1已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 2已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 3已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 4已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C A D B C A B C D E F 2 1 B A C D F 2 1 E

5已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 6 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 7已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C 8.P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB

9已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC 10．如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ． 11如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B 12如图：AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE=CF 。 P D A C B F A E D C B P E D C B A D C B A

求证：AM 是△ABC 的中线。 13已知：如图，AB =AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点F 。求证：BE =CD ． 14在△ABC 中，?=∠90ACB ，BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证： ①ADC ?≌CEB ?；②BE AD DE +=； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由. 15如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE=AB ，AF=AC 。求证：（1）EC=BF ；（2）EC ⊥BF M F E C B A A C B D E F

特殊的平行四边形 培优题