数列通项公式习题精选精讲

数列通项公式的求法

几种常见的数列的通项公式的求法

一． 观察法

例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，…（2） ,1716

4,1093,542,211

（3） ,52,21,32

,1（4） ,5

4

,43,32,21-- 解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，…… ∴通项公式为：110-=n n

a

（2）;1

22++=n n n a n （3）;12+=n a n （4）1)1(1+?

-=+n n

a n n .点评：关键是找出各项与项数n 的关系。 二、公式法

例2： 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式；

解：(1)∵a 1=f (d －1) = (d －2)2，a 3 = f (d +1)= d 2，∴a 3－a 1=d 2－(d －2)2=2d ， ∴d =2，∴a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)；又b 1= f (q +1)= q 2，b 3 =f (q －1)=(q －2)2，

∴2213)2(q

q b b -==q 2，由q ∈R ，且q ≠1，得q =－2，∴b n =b ·q n －1=4·(－2)n －

1 例1. 等差数列

{}n a 是递减数列，且432a a a ??=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是（ ）

(A)

122-=n a n (B) 42+=n a n (C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n

解析：设等差数列的公差位d ，由已知??

?==+??+12

348

)()(3333a d a a d a ，

解得?

?

?±==24

3d a ，又{}n a 是递减数列， ∴ 2-=d ，81=a ，∴ =--+=)2)(1(8n a n 102+-n ，故选(D)。

例2. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<

a a

b ，求数列

{}n b 的通项公式。

解析：由题意，321

++++=n n n a a b ，又{}n a 是等比数列，公比为q

∴q a a a a b b n n n n n n =++=+++++2

1321，故数列{}n b 是等比数列，)1(211321+=+=+=q q q a q a a a b ，∴ )1()1(1+=?+=-q q q q q b n n n 点评：当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。 三、 叠加法

例3：已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项。 解 易知,

121-=--n a a n n ∵,

312=-a a ,

523=-a a ,

734=-a a ……,

121-=--n a a n n

各式相加得)12(7531-++++=-n a a n ∴)

(52

N n n a n ∈+=

点评：一般地，对于型如)(1n f a a n n +=+类的通项公式，只要)()2()1(n f f f +++ 能进行求和，则宜采用此方法求解。

例4. 若在数列{}n a 中，31=a ，n a a n n +=+1，求通项n a 。

解析：由n a a n n +=+1

得n a a n n =-+1，所以11-=--n a a n n ，221-=---n a a n n ，…，112=-a a ，

将以上各式相加得：1)2()1(1+???+-+-=-n n a a n ，又31=a 所以 n a =

32

)

1(+-n n

四、叠乘法

例4：在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式。 解：由(n+1)·1+n a =n ·n a 得11+=+n n a a n n ，1

a a n

=

12a a ·23a a ·3

4

a a …

1-n n a a =n n n 114

33221=-?? 所以n a n 1=

例4. 已知数列

{}n a 中，3

11=a ，前n 项和n S 与n a 的关系是 n n

a n n S )12(-= ，试求通项公式n a 。

解析：首先由n n a n n S )12(-=易求的递推公式：1

232,)32()12(11+-=∴

-=+--n n a a a n a n n n n n 5

1

12521221=--=∴

--a a n n a a n n 将上面n —1个等式相乘得： .

)

12(12(1

)

12)(12(357)32)(12)(12(13)72)(52)(32(1-+=∴-+=

?--+?---=n n a n n n n n n n n a a n n

点评：一般地，对于型如1+n a =f (n)·n a 类的通项公式，当)()2()1(n f f f ?? 的值可以求得时，宜采用此方法。 五、S n 法利用1--=n n n S S a (n ≥2)

例5：已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式，求}{n a 的通项公式。（1）13-+=n n S n 。 （2）12-=n s n

解： （1）11111

-+==S a n a =1--n n S S =[]1)1()1()1(33--+---+n n n n =3232

+-n n

此时，112S a ==。∴n a =3232+-n n 为所求数列的通项公式。

（2）011

==s a ，当2≥n 时 12]1)1[()1(221-=----=-=-n n n s s a n n n

由于1a 不适合于此等式 。 ∴?

?

?≥-==)2(12)1(0

n n n a n 点评：要先分n=1和2≥n 两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。

六、待定系数法：

例6：设数列}{n c 的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c 1=2，c 2=4，c 3=7，c 4=12，求通项公式c n

解：设1

)1(-+-+=n n bq d n a c 132

211121237242-+=????????=====???

????=++=++=++=+∴n n n c a b d q bq d a bq d a bq d a b a 例6. 已知数列{}n c 中，b b c +=11，b

b

c b c n n ++?=-11，

其中b 是与n 无关的常数，且1±≠b 。求出用n 和b 表示的a n 的关系式。

解析：递推公式一定可表示为

)(1λλ-=--n n c b c 的形式。由待定系数法知：b

b b ++

=1λλ )1(1,1,12

122b b

c b b b c b b b n n --=--∴-=∴≠-λ

故数列??????--21b b c n 是首项为112221-=--b b b b c ，公比为b 的等比数列，故1

1112

1

2

11

222

--=∴-=-=--++-b b

b c b b b b b b b c n n n n n 点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n 项和公式为某一多项式，一般地，若数列}{n a 为等差数列：则c bn a n

+=，

cn bn s n +=2（b 、ｃ为常数），若数列}{n a 为等比数列，则1-=n n Aq a ，)1,0(≠≠-=q Aq A Aq s n

n 。

七、辅助数列法

例7：已知数}{n a 的递推关系为121+=+n n a a ，且11=a 求通项n a 。

解：∵121

+=+n n a a ∴)1(211+=++n n a a 令1+=n n a b 则辅助数列}{n b 是公比为2的等比数列 ∴11-=n n

q b b 即n n n q a a 2)1(111=+=+- ∴12-=n n a

例5.

在数列

{}n a 中，11=a ，22=a ，n n n a a a 3

13

212+=++，求n a 。

解析：在n n n a a a 313212

+=

++两边减去1+n a ，得)(3

1

112n n n n a a a a --=-+++ ∴ {}n n a a -+1是以112=-a a 为首项，以31-为公比的等比数列，∴1

1)3

1(-+-=-n n n a a ，由累加法得

n a =112211)()()(a a a a a a a n n n n +-+???+-+---- =+--2)31(n +--3)31(n …11)31(++-=

3

11)31(11

+---n =1])31(1[431+---n = 1)31(4347---n

例8： 已知数列｛n a ｝中11=a 且1

1+=

+n n

n a a a （N n ∈），

，求数列的通项公式。

解：∵11

+=

+n n n a a a ∴

11111+=+=+n n n n a a a a ， 设n n a b 1

=，则11+=+n n b b

故｛n b ｝是以111

1

==

a b 为首项，1为公差的等差数列 ∴n n b n =-+=)1(1 ∴n b a n n 1

1==

点评：这种方法类似于换元法, 主要用于已知递推关系式求通项公式。

利用递推关系求数列通项的九种类型及解法 1.形如)(1

n f a a n n =-+型

（1）若f(n)为常数,即：d a a n n =-+1,此时数列为等差数列，则n a =d n a )1(1-+.

（2）若f(n)为n 的函数时，用累加法. 方法如下： 由 )(1

n f a a n n =-+得：

2≥n 时，)1(1-=--n f a a n n ，

)2(21-=---n f a a n n ，

)2(23f a a =-

)1(12f a a =-

所以各式相加得 )1()2()2()1(1f f n f n f a a n

+++-+-=-

即：∑-=+=1

1

1)(n k n

k f a a .

为了书写方便，也可用横式来写：

2≥n 时，)1(1-=--n f a a n n ，

∴112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---

=

1)1()2()2()1(a f f n f n f ++++-+- .

例 1. （2003天津文） 已知数列｛a n ｝满足)2(3,1111

≥+==--n a a a n n n ,

证明2

1

3-=n n a

证明：由已知得：故,311--=-n n n

a a

112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---

=.213133

3

2

1

-=++++--n n n ∴2

1

3-=n n a .

例 2.已知数列

{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式. 答案：

12+-n n

例3.已知数列}{n a 满足31

=a ，)2()

1(1

1≥-+

=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.

答案：n

a n

12-

=

评注：已知a a =1

,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项n a .

①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和;

③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。 例4.已知数列}{n a 中, 0>n

a 且)(21n

n n a n

a S +=

,求数列}{n a 的通项公式. 解:由已知)(21n n n

a n a S +=

得)(211

1---+-=n n n n n S S n

S S S , 化简有n S S n n

=--2

12

,由类型(1)有n S S n ++++= 32212,

又11

a S =得11=a ,所以2

)

1(2+=

n n S n ,又0>n a ,2

)1(2+=n n s n ,

则2

)

1(2)1(2--+=

n n n n a n

此题也可以用数学归纳法来求解. 2.形如

)(1

n f a a n

n =+型 （1）当f(n)为常数，即：q a a n

n =+1（其中q 是不为0的常数），此时数列为等比数列，n a =1

1-?n q a . （2）当f(n)为n 的函数时,用累乘法. 由

)(1n f a a n n =+得 2≥n 时，)1(1

-=-n f a a

n n ， ∴11

2211a a a

a a a a a n n n n n ????=

--- =f(n)f(n-1)1)1(a f ?? . 例1.设

{}n a 是首项为1的正项数列，且()0112

21=+-+++n n n n a a na a n （n =1，2， 3，…），则它的通项公式是n a =________.

解：已知等式可化为：[]0)1()(11

=-++++n n n n na a n a a

0>n a (*N n ∈)∴(n+1)01=-+n n na a , 即

1

1+=+n n

a a n n ∴2≥n 时，

n

n a a n n 1

1-=-