27.1 坐标系与坐标变换

27.1 坐标系与坐标变换

【知识网络】

1. 几种常用的坐标系：直角坐标系、极坐标系、球坐标系、柱坐标系及其相互转化.

2. 平面坐标系中几种常见变换：平移变换、伸缩变换. 【典型例题】

例1.（1）点M 的直角坐标是(-，则点M 的极坐标为 （C ）

A ．(2,

)3

π

B ．(2,)3π-

C ．2(2,)3π

D ．(2,2),()3k k Z π

π+∈

提示：2(2,2),()3

k k Z π

π+∈都是点M 的极坐标.

（2）在极坐标系中有下列各点：

(,),(,),(,),(,)A B C D ρθρθρθπρπθ-+-，(,)E ρθ-,

(,)(F ρθ--其中0)ρ≠.给出下列结论：①,C D 两点关于极轴所在的直线对称；②,A E 两点关于

过原点且垂直于极轴的直线对称；③,C E 两点重合；④,B D 两点关于极点对称；⑤,A F 两点重合.其 中正确的结论是 （A ）

A ．①③④

B ．①③⑤

C ．③④⑤

D ．①②③ 提示：在极坐标系中作出上述各点即可.

（3）伸缩变换的坐标表达式为4X x Y y

=⎧⎨=⎩，曲线C 在此变换下变为椭圆22

116Y X +=，则曲线C 的方程为 （A ）

A ．2

21x

y += B ．224x y += C ．22

16x y += D ．

2

2

14

y x +=

提示：直接将4X x

Y y

=⎧⎨

=⎩代入的方程.

（4）已知空间点

A 的球坐标为5(2,,)44

ππ

，则A 点的空间直角坐标为____________.

(1,1,--

提示：设一点的球坐标为(,,)r θϕ，直角坐标为(,,)x y z ， 则sin cos ,sin sin ,cos x r y

r z r θϕθϕθ===.

（5）在极坐标系中，若点

,A B 的坐标分别为(3,),(4,)36

ππ

-，则||AB =_________，AOB S ∆

= .（其中O 是极点）

5,6

提示：2

AOB π

∠=

， ∴AOB ∆为直角三角形.

例2.设平面上伸缩变换的坐标表达式为32X x Y y

=⎧⎨=⎩，求圆22

16x y +=在此伸缩变换下的方程，

并指出变换后的方程表示什么曲线.

解：由32X x Y y =⎧⎨=⎩可得13

12

x X y Y

⎧=⎪⎪⎨

⎪=⎪⎩，代入圆的方程得

221694X Y +=，即22

114464

X Y +=， 它表示中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆.

例3.证明：以(4,1,9),(10,1,6),(2,4,3)A B C -为顶点的三角形是等腰三角形.

证明：

(6,2,3),(2,3,6)AB AC =--=--.

∵不存在实数λ满足AB AC λ=, ∴,,A B C 三点不共线,即可以构成三角形.

又因为|

|||7AB AC ==, ∴ABC ∆是等腰三角形.

例4.在x 轴上求一点，使它到点(4,1,7)A -与到点(3,5,2)B -的距离相等.

解:设所求的点为(,0,0)C x

,|

|AC ==

||BC = ∵||||AC BC =,

= 解之得2x =-. ∴所求的点为(2,0,0)-.

【课内练习】

1.在极坐标系中，点(4,

)3

π

和(4,)3π

--的位置关系是 （D ）

A. 表示同一点 B ．关于极点对称

C ．关于极轴对称

D ．关于过极点且垂直于极轴的直线对称 2.空间一点的直角坐标为(1,1,3)，则其在相应的柱坐标系中的坐标为 （B ）

提示：设该点在相应的柱坐标系中的坐标为(,,)z ρθ，则2

22,tan ,y

x y z z x

ρ

θ=+=

=. 3. 点(5,)6M π为极坐标系中的一点，给出如下各点的坐标：①(5,)6π--；②7(5,

)6

π

； ③(5,)6π-；④7(5,)6

π

--

.其中可以作为点M 关于极点的对称点的坐标的是 （C ） A.①② B ．①③ C ．②③ D ．②④ 提示：在极坐标系中画出各点，或根据极坐标的意义.

4..平面直角坐标系中，点(4,3)P -按向量(1,5)a =--平移至点Q ，则点Q 的坐标为（B ）

A.

(3,8)- B ．(5,2)-- C ．(3,8)- D ．(5,2)

提示：设点Q 的坐标为(,)x y ''，则

(,)(4,3)(1,5)(5,2)x y ''=-+--=--

5. 点M 的直角坐标为1)-,在0,02ρθπ

≥≤≤的要求下,它的极坐标为 .

11(2,

)6

π

提示：点M 的直角坐标为1x

y ==-， ∴2ρ==，tan y x θ=

=

6. 在直角坐标系中，点(2,3)A -关于直线10x y --=对称的点是 . (2,1)-

提示：设点

A 关于直线10x y --=对称的点为(,)

B x y ，则AB 的中点为23(

,)22

x y M +-， 点M 在直线10x y -

-=上，且直线AB 与直线10x y --=垂直.

7.双曲线2

291636321240x

y x y --+-=的焦点坐标为 ；将此双曲线

按向量a 平移后，可化为标准方程，则a

= . (3,1),(7,1)-；(2,1)--

提示：将2

291636321240x

y x y --+-=配方，得229(2)16(1)1440x y ----=，

即

22

(2)(1)1169

x y ---=. ∴双曲线的中心为(2,1)，对称轴平行于坐标轴，又5c =， ∴焦点坐标为(3,1),(7,1)-. 设(,)a

h k =，则有20,10h k +=+=.

8.求直线:23120l x y --=按向量(2,3)a =-平移后的方程.

解：设直线l 上任意一点的坐标为(,)x y ''，平移后的直线上任意一点的坐标为(,)x y ，

则有23x x y y '=-⎧⎨'=+⎩， 即23

x x y y '=+⎧⎨'=-⎩，代入直线l 的方程，得2(2)3(3)120x y +---=，

化简得2310x y -+=. ∴直线l 平移后的方程为2310x y -+=.

9.把圆2

2

4x

y +=沿x 轴方向均匀压缩为椭圆.

2

2

14

Y X +=，写出坐标变换公式.