高中数学求函数值域的方法

求函数值域的7类题型和16种方法

一、函数值域基本知识

1．定义：在函数中，与自变量x 的值对应的因变量y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（或函数值的集合）。

2．确定函数的值域的原则

①当函数用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合；

②当函数用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合；

③当函数用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定； ④当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。

二、常见函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。

函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。一般地，常见函数的值域：

1.一次函数的值域为R.

2.二次函数，当时的值域为，当时的值域为.，

3.反比例函数的值域为.

4.指数函数的值域为.

5.对数函数的值域为R.

6.正，余弦函数的值域为，正，余切函数的值域为R.

三、求解函数值域的7种题型

题型一：一次函数的值域（最值）

1、一次函数：当其定义域为，其值域为；

()y f x =()y f x =()y f x =()y f x =()y f x =()0y kx b k =+≠()2

0y ax bx c a =++≠0a >24,4ac b a ??

-+∞??

0a <24,4ac b a ??--∞ ??

?()0k

y k x

≠{}0y R y ∈≠()01x y a a a =>≠且{}

0y y >()log 01a y x a a =>≠且[]1,1-()0y ax b a =+≠()0y ax b a =+≠R R

2、一次函数在区间上的最值，只需分别求出，并比较它们的大小即可。若区间的形式为或等时，需结合函数图像来确定函数的值域。题型二：二次函数的值域（最值）

1、二次函数，当其定义域为时，其值域为

2、二次函数在区间上的值域(最值)

首先判定其对称轴与区间的位置关系（1）若,则当时，是函数的最小值，最大值为中较大

者；当时，是函数的最大值，最大值为中较

小者。

（2）若,只需比较的大小即可决定函数的最大（小）值。特别提醒：

①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；

②若给定的区间形式是等时，要结合图像来确函数的值域； ③当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。例1：已知的定义域为，则的定义域为。

！

例2：已知，且，则的值域为。题型三：一次分式函数的值域 1、反比例函数的定义域为，值域为 2、形如：的值域： ()0y ax b a =+≠[],m n ()(),f m f n (],n -∞[),m +∞)0()(2≠++=a c bx ax x f )0()(2≠++=a c bx ax x f R ()()22

4 044 04ac b y a a

ac b y a a ?-≥>???-?≤

)0()(2≠++=a c bx ax x f [],m n 2b

x a

[],m n [],2b m n a

∈0a >()2b

f a -(),()f m f n 0a <()2b

f a

-(),()f m f n [],2b

m n a

?(),()f m f n [)(]()(),,,,,,,a b a b +∞-∞+∞-∞()

22f x x --[)3,-+∞()f x (],1-∞()211f x x -=+()3,4x ∈-()f x ()1,17)0(≠=

k x

y {}0x x ≠{}0y y ≠cx d

y ax b

（1）若定义域为时，其值域为（2）若时，我们把原函数变形为，然后利用（即的有界性），

便可求出函数的值域。

例3：函数的值域为；若时，其值域为

。例4：当时，函数的值域。（2）已知，

且，则的值域为。

例5：函数的值域为；若，其值域为。题型四：二次分式函数的值域

一般情况下，都可以用判别式法求其值域。但要注意以下三个问题： ①检验二次项系数为零时，方程是否有解，若无解或是函数无意义，都应从值域中去掉该值；②闭区间的边界值也要考查达到该值时的是否存在；③分子、分母必须是既约分式。

例6：；

例7：；例8：；例9：求函数的值域

解：由原函数变形、整理可得：

求原函数在区间上的值域，即求使上述方程在有实数解时系数的取值范围

b x R x a ??∈≠-????

c y R y a ??∈≠

????

[],x m n ∈d by

x ay c

-=-[],x m n ∈x 23321x x y -=-[)1,3,3?

?-∞+∞ ???[]1,2x ∈11,511??

-????

(]3,1x ∈--1321x y x -=

+34,2?

?--????()312x f x x -+=-[)3,2x ∈-()f x 6,5

?-∞- ??

2sin 13sin 2x y x -=

+[)1,3,5??-∞?+∞ ???3,

x ππ

∈????

12,23??-????

22dx ex c y ax bx c

++=++x 2216x x y x x +-=+-()21,,7?

?+∞?-∞ ???22

x x y x +-=-{}1y R y ∈≠432+=

x x y 33,44??

-????

()21

1,21

x y x x x -=

∈-+∞++()22110yx y x y +-++=()1,-+∞()1,-+∞y

当时，解得：也就是说，是原函数值域中的一个值 …① 当时，上述方程要在区间上有解，

即要满足或解得： ……②

综合①②得：原函数的值域为：

题型五：形如

这类题型都可以通过换元转化成二次函数在某区间上求值域问题，然后求其值域。

例10：求函数在时的值域题型六：分段函数的值域：

一般分别求出每一分段上函数的值域，然后将各个分段上的值域进行合并即可。如果各个分段

上的函数图像都可以在同一坐标系上画出，从图像上便可很容易地得到函数的值域。例11：例12：题型七：复合函数的值域

对于求复合函数的值域的方法是：首先求出该函数的定义域，然后在定义域的范围内由内层函数的值域逐层向外递推。例13：例14：四、函数值域求解的十六种求法

！

（1）直接法（俗名分析观察法）：

有的函数结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域。即从自变量的范围出发，推出的取值范围。或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。注意此法关键是定义域。

例1：已知函数

，，求函数的值域。

例2：求函数的值域。

0y =()11,x =∈-+∞

0y =0y ≠()1,-+∞()10f -<0

211

2y y ≥??

-?->-??

108y <≤10,8

??????

y ax b =+±x x y -+=142[]8,1x ∈-[]4,4-21++-=x x y [)3,+∞241y x x =-++(],5-∞)11y x =

-≤≤[]0,2y =50,2??????

x ()y f x =()112

--=x y {}2,1,0,1-∈x {}1,0,3-1y =

[1,)+∞

例3：求函数的值域。例4：求函数

（2）配方法：

二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解，但在转化的过程中要注意等价性，

特别是不能改变定义域。对于形如或

类的函数的值域问题，均可使用配方法。

例1．求函数的值域。

分析与解答：因为，即，，于是：

，。

例2．求函数在区间的值域。

分析与解答：由配方得：，当

时，函数是单调减函数，所以；当时，函数是单调增函数，所以。所以函数在区间的值域是。 -

（3）最值法：

对于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值、最小值，求函数的值域的方法。例1 求函数y =3-2x -x 2 的值域。

解：由3-2x -x 2≥0，解出定义域为［-3，1］。函数y 在［-3，1］内是连续的，在定义域内由3-2x -x 2 的最大值为4，最小值为0。 ∴函数的值域是［0,2］

例2：求函数，的值域。

()1y x ≥)

+∞y =[)1,+∞()20y ax bx c a =++≠()()()()2

0F x a f x bf x c a =++≠????322+--=x x y 0322≥+--x x 13≤≤-x 4)1(2++-=x y 44)1(02≤++-≤x 20≤≤y x x x y 422++=]4,4

[∈x x x x y 422++=62242

+????

?-=++=x x x x y 241≤≤x 24++=x x y 4

186≤≤y 42≤≤x 24

x y 76≤≤y ]4,4

1[∈x 4

118

6≤≤y 2x

y =[]2,2x ∈-1,44??

????

例3：求函数的值域。（4）反函数法（逆求或反求法）：

（

利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的

值域。即通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围。对于形如的值域，用函数和它的反函数定义域和值域关系，通过求反函数的定义域从而得到原函数的值域。

例1：求函数的值域。

解：由解得，

∵，∴

，∴ ∴函数的值域为。（5）分离常数法：

分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。小结：已知分式函数，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，

值域为；如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为，用复合函数法来求值域。例1：求函数的值域。 …

解：∵，

∵，∴，

∴函数的值域为。 2

256y x x =-++73,

8??

-∞ ???

y x x y )0(≠++=

a b

ax d

cx y 1212x

y -=+1212x x

y -=+121x

y y -=+20x

>101y

->+11y -<<1212

y -=+(1,1)y ∈-)0(≠++=c d

cx b

ax y ???

≠

c a y y )(bc a

d d

cx c ad b c a y ≠+-+

=125

y x -=

+177(25)112

222525225x x y x x x -++

-===-++++7

2025

x ≠+1

2y ≠-125x y x -=

+1{|}2

y y ≠-

（6）换元法（代数/三角）：

对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑运用代数或三角代换，将所给函数化成值域简单的熟悉的容易确定的基本函数，从而求得原函数的值域。当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。

对形如的函数，令；形如

的结构的函数，可利用三角代换，令

，或令.

例1：求函数

解：令（），则，

∴

∵当，即

时，，无最小值。

∴函数

。

例2．求函数的值域。

分析与解答：令，则。

，

当时，，值域为

例3．求函数的值域。

分析与解答：由=，令，

因为，，则=，

于是，，

()

f x

=()

f x t=,,,,0)

y ax b a b c d ac

=+≠

均为常数

[]

cos,0,

x aθθπ

=∈sin,,

x a

ππ

θθ??

=∈-??

y x

t=0

t≥

1()

y t t t

=-++=--+

max

y x

(,]

-∞

)(

≥

()()5

t t

≥

min

≥

102-

y()25

xθ

cos

()1

cos

2≤

≤

≥

-θ

,0[π

θ∈()25

-x θ

sin

cos

sin

[

θ∈

，所以。（7）判别式法：

把函数转化成关于的二次方程；通过方程有实数根，判别式，从而求得

原函数的值域。对形如（、不同时为零）的函数的值域，通常转化成关于x 的二次方程，由于方程有实根，即从而求得y 的范围，即值域。值得注意的是，要对方

程的二次项系数进行讨论。

注意：主要适用于定义在R 上的分式函数，但定义在某区间上时，则需要另行讨论。

例1：求函数的值域。

、

解：由变形得，

当时，此方程无解；

当时，∵，∴，解得，又，∴ ∴函数的值域为

（8）函数单调性法：

确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。例如，

.当利用不等式法等号不能成立时，可考虑利用函数的单调性解题。例1：求函数

，

解：∵当增大时，随的增大而减少，随的增大而增大， ∴函数

上是增函数。

∴， ∴函数

。

14sin 22≤??? ?

+≤-

πθ725≤≤-y x (,)0F x y =0?≥21112

222

a x

b x

c y a x b x c ++=++1a 2a 0≥?223

x x y x x -+=-+223

x x y x x -+=-+2(1)(1)30y x y x y ---+-=1y =1y ≠x R ∈2(1)4(1)(3)0y y y ?=----≥1113y ≤≤

1y ≠1113

y <≤2231x x y x x -+=-+11

{|1}3

y y <≤()()0,0b

f x ax a b x

>>y x =-x 12x -x x y x =1(,]2

-∞1122

y ≤

=y x =1

(,]2

-∞

例2．求函数在区间上的值域。分析与解答：任取，且，则

，因为，所以：，

当时，，则；

【

当时，，则；而当时，于是：函数在区间上的值域为。构造相关函数，利用函数的单调性求值域。例3：求函数的值域。

分析与解答：因为，而与在定义域内的单调性不一致。

现构造相关函数，易知在定义域内单调增。，

，，，

又，所以：，。

（9）基本不等式法

利用基本不等式求函数值域, 其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值。

》

利用基本不等式

如利用

;②为定值；③取等号成立的条件.三个条件缺一不可。此外，有时需要合理地添项和拆项和两边平方等技巧, 添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量,比如求函数

的值域。例1 求函数

的值域.

x y 1

=()+∞∈,0x ()+∞∈,0,21x x 21x x <()()()()

12121211x x x x x x x f x f --=

-210x x <<0,02121><-x x x x 211x x <≤0121>-x x ()()21x f x f >1021<<

x y 1

=()+∞∈,0x ),2[+∞()x x x f -++=11110

1≤≤-????≥-≥+x x x x +1x -1()x x x g --+=11)(x g ()21max ==g g ()21min -=-=g g ()2≤?x g ()202≤≤x g ()()422

=+x g x f

()422

≤≤

x f

()22≤≤x f a b +≥a b +≥0,0a b >>()a b ab +或a b =(0,)n k

y x k n N x

>∈12

++=

x x y

解: , 当且仅当时成立. 故函数的值域为

此法可以灵活运用, 对于分母为一次多项式的二次分式, 当然可以运用判别式法求得其值域, 但是若能变通地运用此法, 可以省去判别式法中介二次不等式的过程.

例2：求函数的值域：.

解：

当且仅当时，即时等号成立，，所以元函数的值域为. 例3. 求函数的值域。

解：原函数变形为：

当且仅当

211

2≥+

+==

+++x x x x y 1=x ""=),2[+∞∈y 2211212x x y x x -+??

=> ?-??

()2

21121111

2121212122

x x x x y x x x x x x -+-+===+=-++----11

,022

x x >∴-

>112122x x ∴-

+≥=-11

x x -

-12x +=

12y ∴≥

12??++∞????

即当时，等号成立故原函数的值域为：

例4. 求函数的值域。

解：

当且仅当，即当时，等号成立。

由可得：

故原函数的值域为：

（10）函数有界性法：

利用某些函数有界性求得原函数的值域。对于对形如，由于正余弦函数都是有界

函数，值域为[-1，1]，利用这个性质可求得其值域。

例1：求函数的值域。

解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为，对函数进行变形可得

，

∵，∴（，）， ∴，∴，s ∴函数的值域为

形如可解出Yr 范围,从而求出其值域或最值。

x b c

x a y ++=cos sin 221

x y x -=+R 2(1)(1)y x y -=-+1y ≠2

y x y +=-

-x R ∈1y ≠1

y y +-

≥-11y -≤<221

x y x -=+{|11}y y -≤<2),(sin x y f =α0,1sin ),(2

≥≤=x y g α因为

例2．求函数的值域

[

解：由得

例3：求函数的值域。

例4：求函数的值域。

（11）数型结合法：

如果所给函数有较明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，可借助几何图形的直观性来求函数的值域，如由

可联想到两点与

连线的斜率或距离。

例1：求函数y =|x +1|+|x -2|的值域。解法1：将函数化为分段函数形式：

，画出它的图象，由图象可知，函数的

值域是

{y |y 3}。

解法2（几何法或图象法）：∵函数y =|x +1|+|x -2|表示数轴上的动点x 到两定点-1，2的距

离之和，∴易见y 的最小值是3，∴函数的值域是[3，+]。如图

）

例2．求函数的值域。

点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。解：原函数变形为

作一个长为4、宽为3的矩形ABCD ，再切割成12个单位正方形。设HK =,则EK =2

,KF =2

2--=x x y 1212--=x x y 112--=y y x

1101

,022-<>?>--∴

>y y y y 或 2cos 13cos 2x y x +=

-[)1,3,5?

?-∞?+∞ ??

?2sin 2sin x y x -=+1,33??

????

y y x x --()11,x y ()22,x y ??

??≥-<≤--<+-=)2(12)21(3)1(12x x x x x y ≥∞224548y x x x x =++-+2()(2)1f x x =++x x -2

-13

2 2

,AK ,

由三角形三边关系知，AK +KC ≥AC =5。当A 、K 、C 三点共线时取等号。

：

∴原函数的知域为｛y |y ≥5｝。

例3．求函数的值域。

解析：令，，则，，，原问题转化为：当直线与圆在直角坐标系的第一象限有公共点时，求直线的截距的取值范围。

由图1知：当经过点时，；

当直线与圆相切时，。

所以，值域为

例4. 求函数的值域。

解：将函数变形为上式可看成定点A （3，2）到点P （x ，0）的距离与定点到点的距离之差。即

由图可知：（1）当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时，如点，则构成，根据三角形两边之差小于第三边，有即

（2）当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时，有综上所述，可知函数的值域为

注：求两距离之和时，通常需要将函数式变形，使A 、B 两点在x 轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A ，B 两点在x 轴的同侧。（12）复合函数法：

）

x +22(2)2x -+2(2)1x ++x x y -++=11x u +=1x v -=10,0≥≥v u 222=+v u y v u =+y v u =+222=+v u uov y v u =+)2,0(2m in =y ()

2222

max ====OC OD y 22≤≤y 226+134+5y x x x x =-+2222

(3)(02)(2)(01)y x x =-+-++-(2,1)B -(,0)P x y AP BP =-P 'ABP '?22(32)(21)26AP BP AB -<=++-=2626y <<

26AP BP AB -==(26,26]

对函数，先求的值域充当的定义域，从而求出的值域的方法。

例1、求函数的值域

（复合函数法）设，

则

例2：求函数的值域。（13）非负数法

（

根据函数解析式的结构特征，结合非负数的性质，可求出相关函数的值域。

例1、(1)求函数的值域。 (2)求函数的值域。

解析：(1)，

故所求函数的值域为。 (2)，原函数可化为，即，当时，

，，，解得又，所以，故所求函数的值域为。（不等式性质法）

，

例2：求下列函数的值域：

（1）y =；（2）y =；（3）y =

(),()y f u u g x ==()u g x =()y f u =()y f u =1

33+=x x

y t x =+13()11

1131113113>-=+-=+-+=

t t y x x x 101

01<<∴<<∴>y t

t ()01原函数的值域为∴212

log (253)y x x =-++49,8??

+∞??

16x y -=1

22+-=x x y 161602≤-≤x 41602≤-≤∴x []40，

∈y 012>+x ∴3)1(22-=+x x y 3)1(2+=-y y x 1≠y y y x -+=

13202≥x 013

≥-+∴

y 13≤≤-y 1≠y 13<≤-y ），13[-∈y 262x +22241022x x x x ++++62sin 1

x -

（4）y

（2）y =；（3）y = （14）导数法

若函数在内可导, 可以利用导数求得在内的极值, 然后再计算在,点的极限值. 从而求得的值域.

例1：求函数在内的值域.

分析:显然在可导，且. 由得的极值点为.

. .

所以, 函数的值域为.

（15）“平方开方法”

求函数值域的方法有很多种，如：“配方法”、“单调性法”、“换元法”、“判别式法”以及“平方开方法”等等.每一种方法都适用于求某一类具有共同特征的函数的值域.本文将指出适合采用“平方开方法”的函数有哪些共同的特征以及“平方开方法”的运算步骤，并给出四道典型的例题.

1.适合函数特征

设（）是待求值域的函数，若它能采用“平方开方法”，则它通常具有如下三个特征：

（1）的值总是非负，即对于任意的，恒成立；（2）具有两个函数加和的形式，即（）；（3）的平方可以写成一个常数与一个新函数加和的形式，即

（，为常数），

其中，新函数（）的值域比较容易求得. 2.运算步骤

若函数（）具备了上述的三个特征，则可以将先平方、再开方，从而得到

（，为常数）.然后，利用的值域便可轻易地求出的值域.例如

，则显然.

3.应用四例

13()4(1)2x x -+≤-2211log ()()42

x x +>f ),(b a f ),(b a f a b f x x x f 3)(3

-=)1,5(-f )3,5(-33)(2-='

x x f 0)(='x f f 1,1-==x x ,

2)1(=-f 2)01(-=-f 140)

05(=+-

f f )140,2(-()f x x D ∈()f x x D ∈()0f x ≥()f x 12()()()f x f x f x =+x D ∈()f x 2212()[()()]()f x f x f x c

g x =+=+x D ∈c ()g x x D ∈()f x x D ∈()f x ()f x =x D ∈c ()g x ()f x ()[,]g x u v ∈()f x ∈

能够应用“平方开方法”求值域的函数不胜枚举,这里仅以其中四道典型的例题来演示此法在解决具体问题时的技巧.

例1 求函数

，）的值域.

解：首先，当时，；

其次，是函数与的和；

最后，

可见，函数满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对平方、开方得

（）.这里，（）.

对根号下面的二次函数采用“配方法”，即可求得的值域为.于是，的值域为.

例2

求函数（，，）的值域.

解：显然，该题就是例1的推广，且此题的也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于

是，对平方、开方得（）.这里，

（）.对根号下面的二次函数采用“配方法”，即可求

得的值域仍为

.于是，的值域也仍为.

例

3 求函数（）的值域.

解：参照例1的验证步骤，显然，此题的也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对平方、开方得（）.这里，（）.易知，的值域为.于是，的值域为.

例4 求函数（）的值域.

解：参照例1的验证步骤，显然，此题的也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，

对平方、开方得（）.这里，（）

.易知，

的值域为.于是，的值域为.

例5 求函数的值域

解：（平方法）函数定义域为：

()f x

=[,]x a b ∈a b <[,]x a b ∈()0f x ≥()f x 1()f x =

)f x =

()f x b a b a =-+-+()f x ()f

x ()f x =[,]x a b ∈

()g x =[,]x a b ∈()g x ()g x [0,]b a -()f x

()f x =[,]a b

x k k

∈a b <0

k >()f x ()f x ()f x

[,]a b

x k k

∈()g x =

[,]a b

x k k

∈()g x ()g x [0,]b a -()f x

()|sin ||cos |f x x x =+x R ∈()f x ()f x ()f x =x R ∈()|sin 2|g x x =x R ∈()g x [0,1]()f x ()sin cos sin cos f x x x x x =++-x R ∈()f x ()f x ()f x =x R ∈()2|cos2|g x x =x R ∈()g x [0,2]()f x x x y -+-=53[]5,3∈x

平方法）函数定义域为：

（16）一一映射法

原理：因为在定义域上x 与y 是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。

例1. 求函数的值域。

解：∵定义域为

由得故或解得

故函数的值域为

（17）其他方法

其实，求解函数值域的方法，只不过是从解题过程中，对关键环节或典型步骤的一种称呼。

实际上，其解法也远非上面总结的16种方法，还有倒数法等。此外我们还要明白：多种方法的配合使用，以及一题采用多种方法，在不断积累过程中，体会不同方法的长短，和练就根据实际问题选择较为简捷方法的能力。

[][][]

[]

,24,21,0158,5,315

82)5()3(2

222原函数值域为得由∴∈∴∈-+-∈-+-+-+-=y x x x x x x x y []5,3∈x [][][]

[]

,24,21,0158,5,315

82)5()3(2

222原函数值域为得由∴∈∴∈-+-∈-+-+-+-=y x x x x x x x y )0c (d

cx b

ax y ≠++=

x 2x

31y +-=

??????

->-<21x 21x |x 或1

x 2x

31y +-=

3y 2y 1x +-=

213y 2y 1x ->+-=

13y 2y 1x -<+-=2

3y 23y ->-<或???

??+∞-??? ??-∞-,2323,

例1. 求函数的值域。

解：令，则

（1）当时，

，当且仅当t =1，即时取等号，所以

（2）当t =0时，y =0。

综上所述，函数的值域为：

注：先换元，后用不等式法

例2. 求函数的值域。

解： '

令，则

∴当时，当时，

此时都存在，故函数的值域为

注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用的有界性。例3.求函数的值域

…

解：（图象法）如图，值域为

x 2

x y ++=

)0t (2x t ≥+=1t 3x 2+=+0t >21

1t 11t t y 2≤+=+=

1x -=2

1y 0≤

???21,04

32x x 21x x x 2x 1y ++++-+=423

4242x x 21x x x x 21x x 21y +++++++-=22

2x 1x

x 1x 1++???

? ?

?+-=2tan x β

=β=???? ??+-22

22cos x 1x 1β=+sin 2

x 1x 21sin 21sin sin 21cos y 22+β+β-=β+β=∴161741sin 2

+??? ??

-β-=4

1sin =

β1617

y max =1sin -=β2y min -=2tan β?????

-1617,2βsin )0(2≤=x y x (]1,0

例4.求函数的值域

解（复合函数法）：令，则

由指数函数的单调性知，原函数的值域为

例5.求函数的值域解（三角代换法）：设

小结：

（1）若题目中含有，则可设

（2）若题目中含有则可设，其中

（3）若题目中含有，则可设，其中（4）若题目中含有，则可设，其中

（5）若题目中含有，则可设。其

中例6、求函数的值域

解法一：（逆求法）

解法二：（复合函数法）设，

x y 2231+-?

? ??=1)1(22

+--=+-=x x x t )1(31≤??

??=t y t

???

???+∞,3121x x y -+=11≤≤-x

∴[]πθθ,0cos ∈=x []

[]

,12,1)4sin(2sin cos sin cos -∴-∈+=+=+=原函数的值域为π

θθθθθy 1≤a )0,cos (2

,sin πθθπ

θπ

θ≤≤

=≤

≤-

=a a 或设122=+b a θ

θsin ,cos ==b a πθ20<≤21x -θcos =x πθ≤≤021x +θtan =x 2

θπ

)0,0,0(>>>=+r y x r y x θθ22sin ,cos r y r x ==??

?∈2,

0πθ1

22+-=x x y 110112<≤-∴≥-+=y y

x [)11-∴原函数的值域为

t x =+12

则

解法三：（判别式法）原函数可化为 1）时不成立

2）时，

综合1）、2）值域解法四：（三角代换法）设，则

[

原函数的值域为

小结：

已知分式函数，如果在其自然定义域内可采用判别式法求值

域；如果是条件定义域，用判别式法求出的值域要注意取舍，或者可以化为

的形式，采用部分分式法，进而用基本不等式法求出函数的最大

最小值；如果不满足用基本不等式的条件，转化为利用函数的单调性去解。注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用的有界性。

总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。五、与函数值域有关的综合题

例1设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm 2

,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画面的上、下各留8 cm 的空白，左右各留5 cm 空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小

(

)1(2

212

≥-=+-

=t t x y (]1,11

12201-∴<≤-∴≤<

∴≥原函数值域为y t

t 010)1(2=++?+-y x x y 1=y 1≠y 110)1)(1(400≤≤-?≥+--?≥?y y y 11<≤-∴y }11|{<≤-y y ∴∈R

x ??

??-∈=2,2tan ππθθx ()(]1,12cos ,22cos tan 1tan 122-∈∴-∈-=+--=θππθθθ

θ y ∴}11|{<≤-y y )0(2222≠+++++=d a f

ex dx c

bx ax y )(二次式

一次式

或一次式二次式==

y y )0(≠+=x x a

x y sin β