一元二次方程全章复习讲义

一元二次方程

内容简介：1. 了解一元二次方程的定义及一元二次方程的一般形式：2

0(0)ax bx c a ++=≠. 2. 掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活运用.3. 掌握一元二次方程根的判别式，并能运用它解相应问题.4. 掌握一元二次方程根与系数的关系，会用它们解决有关问题.5. 会解一元二次方程应用题.

知识点一：一元二次方程的定义及一般形式

【知识要点】

一元二次方程的一般形式：2

0(0)ax bx c a ++=≠ 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） / A ()()12132

+=+x x B

021

12=-+x

x

C 02

=++c bx ax

D 122

2

+=+x x x

变式：当k 时，关于x 的方程322

2

+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x m m

是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。

针对练习：

1、方程782

=x 的一次项系数是 ，常数项是 。

2、若方程()112

=?+

-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。

知识点二：一元二次方程的解

"

【知识要点】

1、 当已知一元二次方程的一个根时，要熟练地将这个根代入原方程，并灵活运用得到的等式。

2、 在2

0(0)ax bx c a ++=≠中，x 取特殊值时，a 、b 、c 之间满足的关系式。 例1、已知322

-+y y 的值为2，则1242

++y y 的值为 。

例2、关于x 的一元二次方程()0422

2

=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。

例3、一元二次方程()002

≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。

例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582

=+-m x x 的两个根，则m 的值为 。 :

针对练习：

1、已知方程0102

=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。 2、已知m 是方程012=--x x 的一个根，则代数式=-m m 2

。 3、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622

。 4、方程()()02

=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为（ ）

A 1-

B 1

C c b -

D a -

5、若=?=-+y

x

则y x 324,0352 。

知识点三：一元二次方程的解法

'

【知识要点】

一元二次方程的常用解法有（1）直接开平方法，（2）配方法，（3）求根公式法，（4）因式分解法。

通常可以这样选择合适的解法：

（1）当方程一边为含有未知数的完全平方式，另一边为非负数时，可用直接开平方法。 （2）当方程的一边为0，而另一边可以分解为两个一次因式的乘积的形式时，运用因式分解法求解。

（3）当方程的一边较易配成含未知数的完全平方式，另一边为非负数时，常用配方法。 （4）当不便用上面三种方法时，就用求根公式法。

例1、解方程：();08212

=-x ()();09122

=--x

￥

例2、若()()2

2

21619+=-x x ，则x 的值为 。

例3、()()3532-=-x x x 的根为（ ）

A 25=

x B 3=x C 3,2

521==x x D 52=x 例4、若()()044342

=-+++y x y x ，则4x+y 的值为 。

变式1：()()

=+=-+-+2222

2

2

2,06b 则a b a

b a 。

变式2：若()()032=+--+y x y x ，则x+y 的值为 。

#

变式3：若142

=++y xy x ，282

=++x xy y ，则x+y 的值为 。 例5、方程062=-+x x 的解为（ ）

A.232

1=-=，x x B.232

1-==，x

x C.332

1-==，x

x D.222

1-==，x

x

针对练习：

1、若实数x 、y 满足()()023=++-+y x y x ，则x+y 的值为（ ）

A 、-1或-2

B 、-1或2

C 、1或-2

D 、1或2

2、方程：21

22

=+

x x 的解是 。 3．解方程：122

44212=-+-++x

x x x

】

知识点四：配方法运用

【知识要点】

用配方法解一元二次方程的一般步骤： 例：用配方法解2

4610x x -+= 第一步，将二次项系数化为1：231

024

x x -+=，

（两边同除以4） 第二步，移项： 231

24

x x -

=- 第三步，两边同加一次项系数的一半的平方：2223313

()()2444

x x -

+=-+ @

第四步，完全平方：2

3

5()4

16

x -=

第五步，直接开平方：3544x -

=±，即:15344x =++,25344

x =-+ 例1、试用配方法说明322

+-x x 的值恒大于0，47102

-+-x x 的值恒小于0。

例2、已知x 、y 为实数，求代数式7422

2

+-++y x y x 的最小值。

，

例3、已知，x、y y x y x 013642

2

=+-++为实数，求y

x 的值。

变式：已知04112

2

=---+

x x x

x ，则=+x x 1

.

知识点五：降次思想的应用

【知识要点】

利用因式分解或整式的变形，巧妙地在运算中进行变形，从而达到降次的目的。

）

例1、已知0232

=--x x ，求代数式()1

1

123

-+--x x x 的值。

例2、如果012

=-+x x ，那么代数式722

3

-+x x 的值。

例3、已知a 是一元二次方程0132

=+-x x 的一根，求1

1

522

23++--a a a a 的值。

，

知识点六：根的判别式理解与应用

24b ac ?=-

【知识要点】

(1)一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠根的情况：

①当0?>时，方程有两个不相等的实数根； ②当0?=时，方程有两个相等的实数根； ③当0?<时，方程无实数根. (2)判定一元二次方程根的情况；

*

(3)确定字母的值或取值范围。

例1、若关于x 的方程0122

=-+x k x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 。

例2、关于x 的方程()0212

=++-m mx x m 有实数根，则m 的取值范围是( )

A.10≠≥且m m

B.0≥m

C.1≠m

D.1>m 例3、已知关于x 的方程()0222

=++-k x k x

(1)求证：无论k 取何值时，方程总有实数根；

(2)若等腰?ABC 的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求?ABC 的周长。 例4、已知二次三项式2)6(92

-++-m x m x 是一个完全平方式，试求m 的值.

￥

针对练习：

1、当k 时，关于x 的二次三项式92

++kx x 是完全平方式。

2、当k 取何值时，二次三项式k x x 2432

+-是一个完全平方式这个完全平方式是什么 3、已知方程022

=+-mx mx 有两个不相等的实数根，则m 的值是 . 4、若关于x 的一元二次方程2

210x x -+=有实数根，则m 的取值范围是( ) A.1m < B. 1m <且0m ≠ C.m ≤1 D. m ≤1且0m ≠ 5、 一元二次方程2210x x --=的根的情况为（ ）

A.有两个相等的实数根

B.有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根

D. 没有实数根

.

6、已知关于x 的一元二次方程2410x x m ++-=.请你为m 选取一个合适的整数，当

m =____________时，得到的方程有两个不相等的实数根；

7、若关于x 的方程227

(21)04

x k x k +-+-

=有两个相等的实数根，求k 的取值范围。

8、已知关于x 的方程2(2)2(1)10m x m x m ---++=，当m 为何非负整数时：

(1)方程只有一个实数根； (2)方程有两个相等的实数根； (3)方程有两个不等的实数根.

】

9、已知,,a b c 是三角形的三条边，求证：关于x 的方程2

2

2

2

2

2

()0b x b c a x c ++-+=没有实数根.

10、已知关于x 的一元二次方程22x m x -=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ） A.

1

m >- B.

2

m <- C.

m ≥0 D.0m <

、

11、一元二次方程2

(1)210k x x ---=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是__________. 12、求证：关于x 的方程2

(21)10x k x k +++-=有两个不相等的实数根。

知识点七：根与系数的关系（韦达定理）

【知识要点】

韦达定理:如一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x ，则12b x x a

+=-，12c x x a ?=

适用题型：(1)已知一根求另一根及未知系数；

~

(2)求与方程的根有关的代数式的值；

(3)已知两根求作方程；

(4)已知两数的和与积，求这两个数；

(5)确定根的符号:(12,x x 是方程两根)；

（6）题目给出两根之间的关系，如两根互为相反数、互为倒数、两根的平方和或平方差

是多少、两根是Rt ?的两直角边求斜边等情况.

注意：（1）222

121212()2x x x x x x +=+-? （2）22

121212()()4x x x x x x -=+-?；

（3）①方程有两正根，则1200x x ?≥??

+>?；

》

②方程有两负根，则1212

000x x x x ?≥??

+? ；

③方程有一正一负两根，则120

x x ?>??

?

（4）应用韦达定理时，要确保一元二次方程有根，即一定要判断根的判别式是否非负;求作一元二次方程时，一般把所求作得方程的二次项系数设为1，即以12,x x 为根的一元二次方程为

21212()0x x x x x x -++?=;求字母系数的值时，需使二次项系数0a ≠，同时满足?≥0;求代数式

的值，常用整体思想，把所求代数式变形成为含有两根之和12x x +，?两根之积12x x ?的代数式的形式，整体代入。

针对练习：

1、已知方程0132=+-x x 的两根是21,x x ，则：=+21x x ，21x x = ，

2、已知方程022=-+kx x 的一个根是1，则另一个根是 ，k 的值是 .

3、若关于x 的一元二次方程x 2

+px+q=0的两根互为相反数，则p=______，若两根互为倒数，则q=_____． 4、已知一元二次方程 2 x 2

+ b x + c = 0的两个根是 – 1 、3 ，则 b= ，,c= . 《

5、若方程02=++n mx x 中有一个根为零，另一个根非零，则n m ,的值为 ( )

（A ） 0,0==n m （B ） 0,0≠=n m （C ） 0,0=≠n m （D ） 0≠mn 6、两根均为负数的一元二次方程是( )

+21x+5=0 =0 +5=0 +15x-8=0

7、已知方程22x x -=，则下列说中，正确的是 （ ） （A ）方程两根和是1 （B ）方程两根积是2

（C ）方程两根和是1- （D ）方程两根积是两根和的2倍 8、已知方程062=--kx x 的两个根都是整数，则k 的值可以是（ ） [

（A ） —1 （B ） 1 （C ） 5 （D ） 以上三个中的任何一个 9、已知一元二次方程的两根之和是3，两根之积是2-，则这个方程是（ ）

（A ）0232=-+x x （B ）0232=++x x （C ）0232=--x x （D ）0232

=+-x x

10、 如果方程062=--bx ax 与方程01522

=-+bx ax 有一个公共根是3，求a ,b 的值，并求方程的另一个根. `

11、已知关于x 的方程 ( a 2 – 3 ) x 2

– ( a + 1 ) x + 1 = 0的两个实数根互为倒数，求a 的

值.

12、在解方程x 2+px+q=0时，小张看错了p ，解得方程的根为1与－3；小王看错了q ，解得方程的根为4与－2。这个方程的根应该是什么

%

知识点八：一元二次方程应用题

【传播问题】

例1：有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人

【分析】：设平均一个人传染了x 个人。 最开始有一人患流感，

第一轮传染时，传染源是 人，新感染了 人，共有 人感冒。 】

第二轮传染时，传染源是 人，新感染了 人，共有 人感冒。 你发现题目的等量关系了吗请试着列出方程并求解。（教师注意点评）

￥

例2：某种树木的主干长出若干支杆，每个支杆又长出同样数目的小分支，主干、支杆和小分支的总数为91，每个支杆长出多少小分支

巩固练习：

1、生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x 名同学，那么根据题意列出的方程是（ ） …

A ．x （x+1）=182

B ．x （x-1）=182

C ．2x （x+1）=182

D ．x （1-x ）=182×2

2、一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共（ ）． A ．12人 B ．18人 C ．9人 D ．10人

3、学校组织了一次篮球单循环比赛（每两队之间都进行了一次比赛），共进行了15场比赛，那么有几个球队参加了这次比赛 如果按这样的传播

速度，三轮传染后有

多少人患了流感

|

4、一个多边形有35条对角线，求这个多边形的边数。

5、一个两位数等于它的个位数的平方，且十位数字比个位数字小3，求这个两位数。

~

6、三个连续奇数，其中最小的数的平方的3倍减去25等于较大两个数的平方和，试求这三个数。

7、一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新数与原数的乘积为736，求原来的两位数。

》

8、若直角三角形的三边长为连续偶数，求这个直角三角形的面积。

%

【变化率问题】

例：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨?乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨?乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大

分析：甲种药品的成本由5000元降至3000元是经历了几年下降

乙种药品的成本由6000元降至3600元是经历了几年下降

①、设甲种药品成本的年平均下降率为x，则：

（

一年后甲种药品的成本是元，两年后甲种药品的成本是元，

依此可列方程并求解：

②、设乙种药品成本的年平均下降率为x，则：

一年后乙种药品的成本是元，两年后乙种药品的成本是元，

依此可列方程并求解：

)

③、通过上面的求解，请作答：

点评：经过计算，你能得出什么结论成本下降额较大的药品，它的下降率一定也较大吗应怎样全面地比较几个对象的变化状态

巩固训练：

1、随县2008年农民人均年收入为7800元，计划到2010年，农民人均年收入达到9100元，求人均年收入的平均增长率。

）

2、某电脑公司2010年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，第一季度的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率。

3、某种药品零售价经过两次降价后的价格为降价前的81%，则平均每次降价（）

A、10%

B、19%

C、%

D、20%

-

4、国家实施惠农政策后，某镇农民人均收入经过两年提高44%，这两年，该镇农民人均收入平均年增长率是（）

A、22%

B、20%

C、10%

D、11%

5、党的十六大提出全面建设小康社会，加快推进社会主义现代化，力争国民生产总值到2020年比2000年翻两番，在本世纪的头20年，要实现这一目标，以10年为单位计算，每个10年的国民生产总值的增长率都是x，则可列方程是（）

A、（1+2x）2=2

B、（1+x）2=4

C、1+2x=2

D、（1+x）2+（1+x）=4

6、某电动自行车厂三朋份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量到1210辆，求该厂四、五月份的月平均增长率。

7、商场将某种商品的售价从原来的每件40元经两次调价后调至每件元，若该商场两次调价的降价率相同，求这个降价率。

！

划投资1176万元。

①、求A 市投资改水工程的年平均增长率。

②、从2008年到2010年，A 市三年共投资改水工程多少万元

（

9、从社会效益和经济效益出发，某地制定了三年规划，投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，第一年度投入资金800万元，第二年度比第一年度减少3

1

，第三年度比第二年度减少

2

1，第一年度当地旅游业收入估计为400万元，要使三年内的投入资金与旅游业总收入持平，则旅游业收入的年平均增长率应是多少（以下数据供选用：2≈，13≈，计算结果精确到百分位）

》

【市场营销问题】

例1：李先生将1000元存入银行一年，到期后取出2000元购买彩电，剩余8000元及利息又全部按一年定期存入银行，若存款的年利率不变，则到期后本息和是8410元，试求不计利息税时这种存款的年利率（精确到）

（解题前教师引导学生熟悉存款问题中“本金、利率、利息、本息和”之间的关系，学生自已解决，教师注意点评）

.

本 金 × （1+利率）× 时 间 = 本 息 和

例2：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多

、

分析：设每件衬衫应降价x 元，则可用含x 的式子表示下面等量关系中的各个量：

单 利 润 × 销 量 = 总 利 润

注意：营销问题中关于利润的另一个等量关系式：总收入－总支出=总利润 巩固练习： >

1、某水果批发商城经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500kg 。经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量就减少20kg ，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元

2、某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件。市场调查反映： 如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于45元），那么每星期少卖10件。如何定价才能使每 星期的利润为1560元每星期的销量是多少

<

3、某西瓜经营户以2元每千克的价格购进一批西瓜，以3元每千克的价格出售，每天可出售200 千克。为了多销售，他决定降价销售,市场调查反映：如果每千克的售价降元，那么每天可多 卖40千克，另外，每天的房租等固定成本共24元，若每天的利润为200元，每千克的售价应降 …

多少元

4、某商店购进一种商品，单价30元。试销中发现这种商品每天的销售量p （件）与每件的销售价x （元）满足关系：1002p x =-。若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元每天要售出这种商品多少件

`

5、某宾馆有客房90间，当每间客房的定价为每天140元时，客房会全部住满．当每间客房每天 的定价每涨10元时，就会有5间客房空闲．如果旅客居住客房，宾馆需对每间客房每天支出60元 的各种费用。设某天的利润为8000元时客房定价应为多少元

\

6、某车间要生产220件产品，做完100件后改进了操作方法，每天多加工10件，这样一来共用4天完成了任务。求改进操作方法后，每天生产多少件产品 —

7、A B ，两地相距18公里，甲工程队要在A B ，两地间铺设一条输送天然气管道，乙工程队要在A B ，两地间铺设一条输油管道。已知甲工程队每周比乙工程队少铺设1公里，甲工程队提前3周开工，结果两队同时完成任务，求甲、乙两工程队每周各铺设多少公里管道

8、某种新产品进价是120元，试销阶段发现每件售价（元）与产品的日销量（件）始终存在下表中的数量关系，请你帮助商场经理策划每件商品定价为多少元时，每日的盈利可达到1600元。

】

】

【形积问题】

1、如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上，?修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个相同的部分作为耕地，要使得耕地的面积为500m2，道路的宽为多少

2、如图，某中学为方便师生活动，准备在长30 m，宽20 m的矩形草坪上修两横两纵四条小路，横纵路的宽度之比为3∶2，若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三，则路宽应为多少

。

.

3、一块长方形草地的长和宽分别为20m和15m ，在它的四周外围环绕着宽度相等的小路，已知小路的面积为246m2,求小路的宽度。

4、一个直角三角形的斜边长7cm，一条直角边比另一条直角边长1cm，求两条直角边的长度。

https://www.360docs.net/doc/d31395048.html,

(

5、一个菱形的两条对角线的和是10cm ，面积是12cm 2

，求菱形的周长。（精确到 ）

6、要为一幅长29cm ，宽22cm 的照片配一个镜框，要求镜框的四边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，镜框便的宽度是多少（精确到）

/

7、要做一个容积为750cm 3

，高是6cm ，底面的长比宽多5cm 的长方形盒子，底面的长及宽应该各是多少（精确到）

8、一次函数6+-=x y 和反比例函数x

k y =

，（1）k 满足什么条件时，这两个函数在同一坐标系 中的图象有两个交点（2）设（1）中的两个公共点为A 、B ，AOB ∠是锐角还是钝角

9、有一块面积为150米2

的长方形场鸡场的一边靠墙（墙长18米），另一边用竹篱笆围成，如果竹篱笆长35米,鸡场的长与宽各是多少

单元小结：