概率论习题及答案

f ( x, y )dx dy

0
2 1 2
k (6 x y )dydx ，∴ k 3 8
4 2
1 8
（2） P ( X 1, Y 3)
dx
0 2 0
1
31 2
8
(6 x y )dy
（3） P ( X 1.5) P ( X 1.5, Y ) （4） P ( X Y 4)
练习八 班级_____________
1. 盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数， 以Y表示取到白球的只数，求X，Y的联合分布律. 解：（X，Y）的可能取值为(i, j)，i=0，1，2，3， j=0，12，i + j≥2，联合分布律为 P {X=0, Y=2 }=
类似地，在 Y
1 的条件下 X 的条件分布律为 0 X
P{ X | Y 1}
4/17
1 10/17
2 3/17
（3）P（X=0，Y=0） P（X=0）P（Y=0） 所以随机变量X和Y不是相互独立. 2. 设随机变量（X，Y）在由曲线 y x , y
2
x 所围成的区域 G 均匀分布.
6.
4 4 3 5 . 7 7 7 7
假设一电路装有三个同种电器元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数 为 0 的指数分布.
当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作，试求电路正常工作 的时间 T 的概率分布. 解 设 T 的分布函数为 FT (t ) ，第 i 件元件的寿命为 X i ，其分布函数为 F ( x) . 则
2 2 C2 C2 4 C7
姓名_____________
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1 35 6 35 12 35
P {X=1, Y=1 }=
1 1 2 C3 C2C2 4 C7 2 2 C3 C2 4 C7 2 2 C3 C2 4 C7

6 35
P {X=1, Y=2 }=
1 2 1 C3 C2 C2 4 C7 2 1 1 C3 C2C2 4 C7 3 1 C3 C2 4 C7

0 2

0



e 2 x f ( x)dx
e 2 x e x ex

1 3 x 1 e 3 0 3
3. 设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为
1, | y | x, 0 x 1, f ( x, y ) 0, 其它. 求 EX , EY , EXY , D (2 X 1) .
(1) 问随机变量X和Y是否相互独立? (2) 求条件概率密度 f Y | X ( y | x) . 解：（1）根据题意，（X，Y）的概率密度 f ( x, y ) 必定是一常数，故由
1 f ( x, y )dxdy dx f ( x, y )dy
G 0 x2
1
x
3, ( x, y ) G 1 。 f ( x, y ) ，得到 f ( x, y ) 3 0， 其 他
0
1
fY (u )du

z z 1
fY (u )du ,
0 , u 0, fY (u ) u e , u 0. 所以，当 z 0 时， f Z ( z ) 0 ，
当 0 z 1 时， f Z ( z ) 当 z 1 时， f Z ( z ) 综上所述
1 1 1 ( )i ( ) k i (k 1)( ) k 2 2 i 1 2
4. 设 X , Y 相互独立，其概率密度分别为
k 1
k 2,3,
1, 0 x 1, f X ( x) 0, 其他;
求 X Y 的概率密度.
e y , fY ( y ) 0 ,
P {X=2, Y=0 }=

3 35 3 35
P {X=2, Y=1 }=

P {X=2, Y=2 }=

P {X=3, Y=0 }=

2 35
P {X=3, Y=1 }=
3 1 C3 C2 4 C7

2 35
P {X=3, Y=2 }=0 X Y 0 1 2
0 0 0
1 0
2
3
3 35 12 35 3 35
x 3dy 3( x x 2 )， 0 x 1 ； f X ( x) f ( x, y )dy 2 x 0, 其 他

y 3dx， 0 y 1 3( y y 2 )， 0 y 1 y2 f Y ( y ) f ( x, y )dx 0， 其 他 0， 其 他
FT (t ) P (T t ) P{min( X 1 , X 2 , X 3 ) t}
1 [1 F (t )]3
1 e 3t , t 0, 0 , t 0. 即 T ~ E (3 )
练习十 班级_____________
1. 设随机变量X的分布为 X Pk 求 E (X)，E (3X2+5). 解： E (X)= (－2)×0.4+0×0.3+2×0.3=－0.2 E (X2)= (－2)2×0.4+02×0.3+22×0.3=2.8 E (3X2+5) = 3E (X2)+ E (5)= 8.4+5=13.4 2. 设随机变量X的概率密度为 －2 0.4 0 0.3 2 0.3
X 0 1 2
姓名_____________
Y
0 0.10 0.04 0.02
1 0.08 0.20 0.06
2 0.06 0.14 0.30
(1) 求至少有一根软管在使用的概率； (2) 求在 X 0 的条件下 Y 的条件分布律；在 Y 1 的条件下 X 的条件分布律. (3) 问随机变量X和Y是否相互独立? 解：（1）至少有一根软管在使用的概率为
5 y 21 2 7 2 d ydx y Y ~ f Y ( y) y 4 2 0
0 y 1 其它
o
y=x2 x
练习九 班级_____________
1. 设一加油站有两套用来加油的设备，设备A是加油站的工作人员操作的，设备B是有顾客自 己操作的. A，B均有两个加油管. 随机取一时刻，A，B正在使用的软管根数分别记为X，Y，它们的联合分布律为
3 35 12 35 3 35
2 35 2 35
0
6 35 6 35
1 35 1 35
1 7 20 35 2 7
1
12 35
18 35
4 35
4. 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
2 2 cx y, x y 1 f ( x, y ) 0, 其它
（1）试确定常数c ; （2）求边缘概率密度. 解: l=
2 35 2 35
0
6 35 6 35
1 35
2. 设随机变量（X，Y）概率密度为
k (6 x y ), 0 x 2, 2 y 4 f ( x, y ) 0, 其它
（1）确定常数k； （3）求P (X<1.5}； 解：（1）∵ 1 （2）求P {X<1, Y<3}； （4）求P (X+Y≤4}.
D
1
0
y
当 0 z 1 时， f Z ( z )

z 0
e y dy
e y 1 e z
0
z
当 z 1 时， f Z ( z ) 综上所述

z z 1
e y dy e z (e 1),
z 0, 0 , f Z ( z ) 1 e z , 0 z 1, z e (e 1), z 1.
姓名_____________
e x , x 0 f ( x) 0 , x 0
求（1）Y=2X 解：（1） E (Y ) （2）Y=e－2x的数学期望。



2 xf ( x)dx 2 xe x dx
0

2 xe x 2e x
（2） E (Y )
y 0, y 0.
解: 设 Z X Y ，由卷积分式， Z 的概率密度为
fZ ( z)

f X ( z y ) fY ( y )dy
e y , y 0, 0 z y 1, f X ( z y ) fY ( y ) 0 , 其它. 不等式 y 0, 0 z y 1 确定平面域 D 如图. z 当 z 0 时， f Z ( z ) 0
解
1 EX x 0 1 2 dy dx 2 x 2 dx ； x 0 3 x
1 x EY dx ydy 0； 0 x 1 x EXY x ydy dx 0 ； 0 x 1 x dx 1 2 x 3 dx 1 ， EX 2 x 2 dy 0 0 2 x 1 2 2 1 DX ( ) ； 2 3 18 4 2 D(2 X 1) 4 DX . 18 9

z 0
e u du 1 e z ，

z z 1
e u du e z (e 1) .
z0 0 , f Z ( z ) 1 e z , 0 z 1, z e (e 1), z 1.
5. 设 X 和 Y 为两个随机变量，且
f ( x, y ) f X ( x ) f Y ( y )
所以随机变量X和Y不是相互独立.
（3）当 0
x 1 时， f Y | X ( y | x)
1 , x2 y x f ( x, y ) x x2 f X ( x) 0, 其他
3. 设 X 与 Y 为独立同分布的离散型随机变量，其概率分布列为

1.5 0
dx
1 27 (6 x y )dy 8 32

dx

4 x 0
1 2 (6 x y )dy 8 3
3. 盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数， 以Y表示取到白球的只数，求的随机变量（X, Y ）的边缘分布律. X P(Y=j) 0 1 2 3 Y 0 1 2 P(X=i) 0 0 0




f ( x, y )dxdy

0
1
dy
y y
cx 2 ydx c

1 0
2 2 4 21 y dy cc 3 21 4
y
5
21 2 1 21 2 2 x ydy x (1 x 4 ), 1 x 1 X ~ f X ( x) x 4 8 0, 其它
解2 变量代换法：
fZ ( z)
fZ ( z)


f X ( x) fY ( z x)dx ，
令 uzx z 1 z
注意到当 0 x 1 时 f X ( x) =1，有
f X ( x) fY ( z x)dx fY ( z x)dx
1 P ( X n) P (Y n) ( ) n ， n 1, 2, ， 2
求 X Y 的分布列. 解 设 Z X Y ， Z 的分布为
P ( Z k ) P ( X Y k ) P ( X i ) P (Y k i )
i 1
k 1
P{ X Y 1} 1 P{ X 0, Y 0} 1 0.1 0.9
（2）根据公式 P{Y i | X 0}
P{Y i, X 0} ，得到在 X 0 的条件下 Y 的条件分布律为 P{ X 0}
0 5/12 1 1/3 2 1/4
Y
P{Y | X 0}
3 4 P{ X 0, Y 0} , P ( X 0) P (Y 0) , 7 7 求 P{max( X , Y ) 0}.
解 P{max( X , Y ) 0} P{( X 0) (Y 0)} P ( X 0) P (Y 0)
P{ X 0, Y 0}