2012年浙江大学819数学分析考研真题【圣才出品】
2012年浙江大学819数学分析考研真题
浙江大学2012年攻读硕士学位研究生入学考试试题
考试科目:数学分析(A )(819)
考生注意:
1.本试卷满分为150分,全部考试时间总计180分钟;
2.答案必须写在答题纸上,写在试题纸上或草稿纸上均无效。
一、(15分) 设n 为正整数,121()(1)cos ,n n f x t xtdt x R -=-∈?.
证明:
212()2(21)()4(1)(),2n n n x f x n n f x n n f x n --=---≥.
二、(15分) 设f 在
[]0,1上连续,且对任意[],0,1x y ∈有: ()()()22x y f x f y f ++≤. 证明:
101()()2f x dx f ≥?.
三、(20分) 设实数
,1λλ<,求0()ln(1cos )f x dx πλλ=+?.
四、(20分) 设函数:,(0)i f R R a i +→≥为实数,且对充分大的x ,有 10()n n a a f x a x x =++++
证明:1
()n f n ∞=∑收敛的充要条件是
010a a ==. 五、(20分) 如果任意0ε>,存在N ,当,n m N >时,有m n x x ε-<,则称数列{}n x 为
cauchy 数列.证明:函数f 在有界区间A 上一致连续的充要条件是对A 中任意cauchy 数列{}n x ,数列{}()n f x 为cauchy 数列.
六、(30分) 设()f x 在0x =的邻域内有连续的一阶导数,且
(0)0,(0)1f f '''==.
求()30()ln(1)lim x f x f x x →-+.
七、(30分) 设实数4λ>-,数列{}n x 满足2111,,122n n x x x x n λ
+==+≥. 试讨论数列
{}n x 的收敛性.